장 85 아핀 스킴: 층

이제 $X=\operatorname{Spec}A$ 위에 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의하여 이를 환 달린 공간으로 만들어 $X=\operatorname{Spec}A$ 의 정의를 완성합니다. 이 작업은 첫 번째 절에서 빠르게 이루어집니다.

이전과 마찬가지로, 우리의 목표는 다음과 같습니다.

층 $\mathcal{O}_{X}$ 는 아핀 다양체 위의 정칙 함수의 층과 일치하며, 따라서 $A$ 가 임의의 환일 때에도 $\operatorname{Spec}A$ 에 우리의 기하학적 직관을 적용할 수 있습니다.

그러나 그다음 여러 장에 걸쳐서는, 실제로는 우리가 제시한 정의를 잊어버리도록 독자를 설득하는 데 시간을 들일 것입니다. 실용적으로 볼 때, 층의 단면은 정의를 직접 사용하기보다 다른 몇몇 결과를 사용하여 계산하는 것이 가장 좋기 때문입니다.

그 과정에서 관련된 이론도 일부 전개합니다. 줄기를 계산하면서 국소환의 정의를 알게 되고, 단면을 계산하면서 특수 열린집합에 대해 알게 됩니다.

다시 한번 상기시켜 드립니다. 장 86에는 훨씬 더 많은 구체적인 예가 있습니다. 이 장의 내용 중 막히는 부분이 있다면 그곳에서 더 많은 예를 살펴보는 것도 나쁘지 않은 생각입니다.

85.1 구조층의 쓸모없는 정의

대표적인 예: 여전히 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 입니다.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 에 자리스키 위상을 부여하였으므로, 남은 일은 그 위에 층 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}$ 를 얹는 것뿐입니다. 이를 위해 이전과 같이 “정칙 함수”의 개념이 필요합니다.

국소화를 이미 갖추고 있으므로 이는 쉽게 할 수 있습니다.

정의 85.1.1.

먼저, $\mathscr{F}$ 를 “대역적으로 유리적인” 함수들의 준층이라고 합시다. 즉, $\mathscr{F}(U)$ 를 다음 국소화로 정의합니다

\mathscr{F}(U)=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in A\text{그리고}g(\mathfrak{p})\neq 0% \;\forall\mathfrak{p}\in U\right\}=\left(A\setminus\bigcup_{\mathfrak{p}\in U}% \mathfrak{p}\right)^{-1}A.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 위의 구조층을 정의합니다. 그것은 다음과 같습니다

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}=\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}

즉, 방금 정의한 $\mathscr{F}$ 의 층화입니다.

연습문제 85.1.2.

이것을 $V$ 가 복소 다양체일 때의 $\mathcal{O}_{V}$ 의 정의와 비교하고, 둘이 본질적으로 일치함을 확인하십시오.

이리하여 아핀 스킴의 완전한 정의와 함께 우리는 성인으로의 이행을 마쳤습니다.

호환되는 싹을 정말 좋아한다면, 다음과 같이 정의를 풀어 쓸 수 있습니다.

정의 85.1.3.

$A$ 를 환이라고 합시다. 그러면 다음과 같이 두어 $\operatorname{Spec}A$ 를 환 달린 공간으로 만듭니다

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(U)=\left\{(f_{\mathfrak{p}}\in A_{\mathfrak% {p}})_{\mathfrak{p}\in U}\text{국소적으로 몫인}\right\}.

즉, 이는 각 $f_{\mathfrak{p}}\in A_{\mathfrak{p}}$ 인 열 $(f_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}\in U}$ 들로 이루어지며, 모든 점 $\mathfrak{p}$ 에 대해 열린 근방 $U_{\mathfrak{p}}$ 와 $f,g\in A$ 가 존재하여 모든 $\mathfrak{q}\in U_{\mathfrak{p}}$ 에 대해 $f_{\mathfrak{q}}=\frac{f}{g}\in A_{\mathfrak{q}}$ 를 만족합니다.

이제 우리는 이 정의를 사실상 잊어버릴 것입니다. 실제로는 이 정의를 결코 사용하지 않을 것이기 때문입니다. 다음 두 절에서 다음을 보여 드리겠습니다.

•

줄기 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}$ 가 그저 $A_{\mathfrak{p}}$ 라는 것, 그리고
•

임의의 열린집합 $U$ 에 대하여 단면 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(U)$ 는 $U=D(f)$ 가 특수 열린집합인 특수한 경우에만 집중하여 계산할 수 있다는 것입니다.

이 두 결과만으로도 우리의 모든 목적에 충분하므로, 이 정의를 사용하지 않아도 될 것입니다. (그래서 이 절에는 예가 없습니다.)

85.2 특수 열린집합의 가치 (또는: 단면을 실제로 계산하는 방법)

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 $D(x)$ 는 구멍 뚫린 직선입니다.

이제 특수 열린집합의 중요성을 확실히 강조하겠습니다. 정의는 앞에서와 유사합니다.

정의 85.2.1.

$f\in A$ 라고 합시다. 그러면 $D(f)$ 는 $f(\mathfrak{p})\neq 0$ 인 $\mathfrak{p}$ 들의 집합이며, 이를 특수 열린집합이라고 합니다.

특수 열린집합은 절대적으로 중요한 세 가지 성질을 가지며, 이 성질들은 서로를 토대로 쌓아 올려집니다.

85.2.1 자리스키 위상의 기저

첫 번째는 위상적인 관찰입니다:

정리 85.2.2 (특수 열린집합은 기저를 이룬다).

특수 열린집합 $D(f)$ 들은 자리스키 위상의 기저를 이룹니다. 즉, 임의의 열린집합 $U$ 는 특수 열린집합들의 합집합입니다.

증명.

$U$ 를 열린집합이라 하고, 이것이 닫힌집합 $V(I)$ 의 여집합이라고 가정합시다. 그러면 다음을 확인하십시오.

U=\bigcup_{f\in I}D(f).\qed

85.2.2 단면은 계산할 수 있습니다

두 번째로 중요한 사실은 특수 열린집합 위의 단면을 명시적으로 계산할 수 있다는 것입니다.

정리 85.2.3 ( $D(f)$ 의 단면은 $f$ 를 가역으로 만드는 국소화입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $f\in A$ 라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(D(f))\cong A[1/f].

증명.

증명은 생략하지만, 정리 78.6.1과 비슷합니다. ∎

예제 85.2.4 (구멍 뚫린 직선은 쌍곡선과 동형입니다).

“쌍곡선 효과”가 다시 나타납니다:

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]}(D(x))=\mathbb{C}[x,x^{-1}]\cong% \mathbb{C}[x,y]/(xy-1).

여담으로, $\operatorname{Spec}A=D(1)$ 자체가 구별된 열린집합이므로 대역적 단면을 복원할 수 있다는 점도 어딘가에 적어 두는 것이 좋겠습니다.

따름정리 85.2.5 ( $A$ 는 대역적 단면의 환입니다).

$\operatorname{Spec}A$ 의 대역적 단면의 환은 $A$ 입니다.

증명.

앞의 정리에 의해 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(\operatorname{Spec}A)=\mathcal{O}_{% \operatorname{Spec}A}(D(1))=A[1/1]=A$ 입니다. ∎

85.2.3 이들은 아핀입니다

우리는 $\mathcal{O}_{X}(D(f))=A[1/f]$ 임을 알고 있습니다. 실제로 $\operatorname{Spec}A[1/f]$ 를 그려 보면 $D(f)$ 와 정확히 똑같이 생겼음을 알 수 있습니다. 따라서 세 번째이자 마지막 중요한 사실은 $D(f)$ 가 실제로 $\operatorname{Spec}A[1/f]$ 와 동형이라는 것입니다(원점을 뺀 직선이 쌍곡선과 동형인 것과 마찬가지입니다). 아직 스킴의 사상을 다루지 않았으므로 이를 엄밀하게 서술할 수는 없지만, (당장은 아니더라도) 나중에 유용하게 쓰일 것입니다.

85.2.4 고전적인 예: 구멍 뚫린 평면

이제 층화를 한 번도 좋아한 적이 없다면 층화를 잊어버려도 된다는 것을 보여 주는 고전적인 계산 예를 제시하겠습니다.¹¹1이 관점은 매우 유용해서, Vakil [VAK17, §4.1]과 같은 일부 문헌에서는 우리처럼 층화를 사용하는 대신 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(D(f))=A[1/f]$ 를 요구하여 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}$ 를 정의하기도 합니다. 핵심 아이디어는 다음과 같습니다:

실제로 임의의 단면 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 는 특수 열린집합과 층 공리를 이용하여 계산할 수 있습니다.

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고, 원점, 즉 점 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 생각합시다. 이 아이디얼은 극대이므로 닫힌 점에 대응하며, $\mathfrak{m}$ 을 제외한 모든 점으로 이루어진 열린집합 $U$ 를 생각할 수 있습니다. 우리는 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 계산하고자 합니다.

안타깝게도 $U$ 는 구별된 열린집합이 아닙니다. 하지만 $U=D(x)\cup D(y)$ 로 쓰면 어쨌든 계산할 수 있습니다. 편리하게도 $D(x)\cap D(y)=D(xy)$ 입니다. 층 공리에 의해 다음과 같은 당겨오기 사각형을 얻습니다

다시 말해, $\mathcal{O}_{X}(U)$ 는 다음과 같은 쌍들로 이루어집니다.

	$\displaystyle f$	$\displaystyle\in\mathbb{C}[x,y,x^{-1}]$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\in\mathbb{C}[x,y,y^{-1}]$

이 쌍들은 겹치는 부분에서 일치합니다. 즉, $D(x)\cap D(y)$ 위에서 $f=g$ 입니다. 그런데 $f$ 는 분모에 $x$ 가 몇 개 있는 다항식으로, $g$ 는 분모에 $y$ 가 몇 개 있는 다항식으로 나타낼 수 있습니다. 이 둘이 일치한다면 분모는 사실 상수입니다. 거칠게 말하면 다음과 같습니다.

\mathbb{C}[x,y,x^{-1}]\cap\mathbb{C}[x,y,y^{-1}]=\mathbb{C}[x,y].

결론적으로,

\mathcal{O}_{X}(U)=\mathbb{C}[x,y].

즉, 추가로 얻어지는 함수는 없습니다.

85.3 구조층의 줄기

대표적인 예: $\mathfrak{m}=(x,y)$ 에서 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 줄기는 원점에서 정의된 유리함수들입니다.

걱정하지 마십시오. 이번 절은 지난 절보다 쉽습니다.

85.3.1 줄기는 국소화입니다

정리 85.3.1 ( $\operatorname{Spec}A$ 의 줄기는 $A_{\mathfrak{p}}$ 이다).

$A$ 를 환이라 하고 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 라고 합시다. 그러면

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}.

입니다. 특히 $\operatorname{Spec}A$ 는 국소환 달린 공간입니다.

증명.

층화는 줄기를 보존하므로, 우리의 정의에 나오는 대역적 유리함수들의 준층 $\mathscr{F}$ 에 대해서만 확인하면 충분합니다. 증명은 정리 82.3.7의 증명과 사실상 같습니다. 싹에 대해 다음과 같이 주어지는 자명한 사상 $\mathscr{F}_{\mathfrak{p}}\to A_{\mathfrak{p}}$ 가 있습니다.

\left(U,f/g\in\mathscr{F}(U)\right)\mapsto f/g\in A_{\mathfrak{p}}.

(왼쪽의 $f/g$ 는 $\mathscr{F}(U)$ 에 속하지만 오른쪽의 $f/g$ 는 $A_{\mathfrak{p}}$ 에 속한다는 점에 주의하십시오.) 단사성과 전사성을 보이겠습니다.

•

단사성: $(U_{1},f_{1}/g_{1})$ 과 $(U_{2},f_{2}/g_{2})$ 가 $f_{1}/g_{1}=f_{2}/g_{2}\in A_{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 두 싹이라고 합시다. 이는 어떤 $h\notin\mathfrak{p}$ 에 대해 $A$ 에서 $h(f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1})=0$ 이라는 뜻입니다. 그러면 두 싹은 모두 싹 $(U_{1}\cap U_{2}\cap D(h),f_{1}/g_{1})$ 과 동일시됩니다.
•

전사성: $U=D(g)$ 로 두십시오. ∎

예제 85.3.2 (분모가 $x$ 로 나누어떨어지지 않음).

이 예는 이미 여러 번 보았으므로 새로운 표기로만 적고 더 이상 설명하지 않겠습니다. $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 이면 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{X,(x)}=\mathbb{C}[x]_{(x)}=\left\{\frac{f}{g}\mid g(0)\neq 0% \right\}.

예제 85.3.3 (분모가 $x$ 로도 $y$ 로도 나누어떨어지지 않음).

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 원점이라 합시다. 그러면 다음과 같습니다.

\mathbb{C}[x,y]_{(x,y)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.

더 많은 예를 원한다면 절 83.4의 예 중 아무것이나 골라 그것이 기하학적으로 무엇을 뜻하는지 생각해 보십시오.

85.3.2 국소환의 동기: 싹은 값을 담고 있어야 합니다

익숙한 예인 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 로 돌아가서 원점 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 생각해 봅시다. 줄기는 다음과 같았습니다.

\mathcal{O}_{X,\mathfrak{m}}=\mathbb{C}[x,y]_{(x,y)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,% y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.

이제 $f=\frac{1}{xy+4}$ 와 같은 단면을 하나 잡아 봅시다. 이는 $U=D(xy+4)$ 위의 단면입니다(더 작은 열린집합 위의 단면으로 볼 수도 있지만, 간단하게 이 열린집합을 쓰겠습니다). 또한 $U\ni\mathfrak{m}$ 이므로 $f$ 는 $\mathfrak{m}$ 에서의 싹을 줍니다.

한편 $f$ 는 $\mathfrak{m}$ 에서 값도 가집니다. 그 값은 $f\pmod{\mathfrak{m}}=\frac{1}{4}$ 입니다. 그리고 일반적으로 원점 $\mathfrak{m}$ 에서 단면이 가질 수 있는 값들의 환은 $\mathbb{C}[x,y]/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}$ 입니다.

앞에서 제가 싹을 “풍부해진 값”으로 생각할 수 있다는 관점을 강조했던 것을 기억하실 것입니다. 그렇다면 점 $\mathfrak{m}$ 에서 단면 $f$ 의 싹을 안다면 — 즉 “풍부해진 값”을 안다면 — 그 값도 계산할 수 있어야 한다는 것은 자연스럽습니다. 이는 다음과 같은 어떤 사상이 있어야 한다는 뜻입니다.

A_{\mathfrak{m}}\to A/\mathfrak{m}

이 사상은 싹을 그에 대응하는 값으로 보냅니다.

실제로 그렇게 할 수 있으며, 이로부터 다음 내용으로 이어집니다…

85.4 국소환과 잉여체: 싹과 값을 잇기

대표적인 예: $\mathfrak{m}=(x,y)$ 에서 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 잉여체는 $\mathbb{C}$ 입니다.

85.4.1 국소화는 국소환을 줍니다

이제 표기법이 정말 끔찍해지겠지만, 조금만 참아 주십시오.

정리 85.4.1 (줄기는 국소환입니다).

$A$ 를 환, $\mathfrak{p}$ 를 임의의 소 아이디얼이라고 합시다. 그러면 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 정확히 하나의 극대 아이디얼을 가지며, 이는 명시적으로 다음과 같이 주어집니다.

\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\left\{\frac{f}{g}\mid f\in\mathfrak{p},\;g\notin% \mathfrak{p}\right\}.

따라서 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 “ $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 싹”이라는 개념을 포착합니다.²²2표기 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 실제로는 $f\in\mathfrak{p}$ ( $f\mapsto\frac{f}{1}$ 에 의해 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 부분집합으로 봅니다)이고 $h\in A_{\mathfrak{p}}$ 인 $f\cdot h$ 들의 집합을 뜻합니다. 저는 개인적으로 이것이 도움이 되기보다 오히려 더 혼란스럽다고 생각하므로 각주로 넣습니다.

증명은 잠시 후에 하겠습니다. 지금은 예시를 적절한 언어로 제시할 수 있도록 몇 가지 용어를 도입합시다.

정의 85.4.2.

정확히 하나의 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 을 갖는 환 $R$ 을 국소환이라고 부릅니다. 잉여체는 몫 $R/\mathfrak{m}$ 입니다.

질문 85.4.3.

체는 국소환입니까?

따라서 우리가 알게 되는 것은 다음과 같습니다.

줄기는 가능한 풍부해진 값(싹)들로 이루어지고, 잉여체는 (풍부해지지 않은) 값들의 집합입니다.

예제 85.4.4 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 원점에서의 줄기).

다시 $A=\mathbb{C}[x,y]$ , $X=\operatorname{Spec}A$ , $\mathfrak{p}=(x,y)$ 로 두어 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$ 가 되도록 합시다. (국소환 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 극대 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 와 혼동하지 않도록 원점을 $\mathfrak{p}$ 로 바꾸어 표기했습니다.) 이미 여러 번 말했듯이, $A_{\mathfrak{p}}$ 는 $f=\frac{1}{xy+4}$ 처럼 원점에서 소멸하지 않는 유리함수들로 이루어집니다.

유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 무엇입니까? 답: 이는 원점에서 소멸하는 유리함수들로 이루어집니다. 예를 들면 $\frac{x}{x^{2}+3y}$ , $\frac{3x+5y}{2}$ , $\frac{-xy}{4(xy+4)}$ 등입니다. 이러한 함수들로 몫을 취하는 것을 허용하면 잉여체 $\mathbb{C}$ 를 얻고, $f$ 는 값 $\frac{1}{4}$ 를 가지게 됩니다. 왜냐하면 다음이 성립하기 때문입니다.

\frac{1}{xy+4}-{\underbrace{\frac{-xy}{4(xy+4)}}_{\text{원점에서 소멸합니다}}}=\frac{1}% {4}.

더 일반적으로, $f$ 가 $\mathfrak{p}$ 를 포함하는 어떤 열린집합의 임의의 단면이라고 합시다. $c\in\mathbb{C}$ 를 값 $f(\mathfrak{p})$ , 즉 $f\pmod{\mathfrak{p}}$ 라고 합시다. 그러면 $f-c$ 는 원점 $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 또 다른 단면이 되므로, 약속했던 대로 $f\equiv c\pmod{\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}}$ 입니다.

좋습니다. 이제 정리의 증명을 적을 수 있습니다.

정리 85.4.1의 증명.

집합 $I=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 가 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 아이디얼임을 확인할 수 있습니다. 게다가 $1\notin I$ 이므로 $I$ 는 진아이디얼입니다.

이것이 극대이고 유일함을 증명하려면, $f\notin I$ 인 임의의 $f\in A_{\mathfrak{p}}$ 가 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 단원임을 증명하면 충분합니다. 이로부터 $I$ 가 극대임이 따라 나옵니다. 더 추가할 비단원이 없기 때문입니다. 또한 $I$ 가 유일한 극대 아이디얼임도 따라 나옵니다. 임의의 진 아이디얼은 단원을 포함할 수 없으므로 $I$ 에 포함되기 때문입니다.

이는 사실 쉽습니다. $I$ 에 속하지 않는 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 원소는 $f,g\in A$ 이고 $f,g\notin\mathfrak{p}$ 인 $x=\frac{f}{g}$ 꼴이어야 합니다. 이러한 원소에 대해 $x^{-1}=\frac{g}{f}\notin\mathfrak{p}$ 역시 성립합니다. 따라서 $x$ 는 가역원입니다. 증명을 마칩니다. ∎

더욱 일반적으로는 다음과 같습니다.

층 $\mathscr{F}$ 가 “체에 값을 갖는 함수”들로 이루어져 있다면, 줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 는 아마도 $p$ 에서 소멸하는 싹들로 이루어진 극대 아이디얼을 가질 것입니다.

예제 85.4.5 (대수기하학이 아닌 분야의 층에서의 국소환).

$X=\mathbb{R}$ 이고 $\mathscr{F}(U)$ 가 매끄러운 함수들인 예시로 돌아가서, $p\in X$ 에 대한 줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 를 생각해 봅시다. 아이디얼 $\mathfrak{m}_{p}$ 를 $s(p)=0$ 인 싹 $(s,U)$ 들의 집합으로 정의합니다.

그러면 $\mathfrak{m}_{p}$ 는 극대입니다. 다음과 같은 완전열이 있기 때문입니다.

0\to\mathfrak{m}_{p}\to\mathscr{F}_{p}\xrightarrow{(s,U)\mapsto s(p)}\mathbb{R% }\to 0

따라서 $\mathscr{F}_{p}/\mathfrak{m}_{p}\cong\mathbb{R}$ 이며, 이는 체입니다.

이제 0이 아닌 극대 아이디얼이 없음을 확인하는 일만 남았습니다. $s\notin\mathfrak{m}_{p}$ 이면 $s$ 는 $p$ 의 어떤 열린 근방에서 0이 아니므로, 그 위에서 함수 $1/s$ 를 구성할 수 있다는 점에 주목하십시오. 따라서 $\mathscr{F}_{p}\setminus\mathfrak{m}_{p}$ 의 모든 원소는 단원입니다. 그리고 이번에도 $\mathfrak{m}_{p}$ 는 사실 유일한 극대 아이디얼입니다!

따라서 다음 각 종류의 층의 줄기도 국소환입니다.

•

위상 공간 위의 연속 실함수/복소함수의 층
•

임의의 다양체 위의 매끄러운 함수의 층
•

등.

85.4.2 값 계산하기: 편리한 사각형

아주 주의 깊은 독자라면 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 이고 $\mathfrak{p}=(x,y)$ 가 원점인 $\operatorname{Spec}A$ 에 대한 긴 예제에서 조금 불편한 점을 눈치챘을지도 모릅니다. $f=\frac{1}{xy+4}$ 를 생각해 봅시다. 우리는 값이 $\frac{1}{4}$ 가 “되어야 한다”고 판단하기 위해 원래의 환 $A$ 에서 $f\pmod{x,y}$ 를 취했습니다. 그러나 실제로 우리의 모든 계산은 환 $A$ 가 아니라 환 $A_{\mathfrak{p}}$ 에서 이루어졌습니다. 이것이 문제를 일으킵니까?

다행히도 그렇지 않습니다. 일반적인 환 $A$ 에서도 잘못되는 것은 없습니다.

정의 85.4.6.

몫 $A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ , 즉 $\mathfrak{p}$ 에서 $\operatorname{Spec}A$ 의 줄기의 잉여체를 $\kappa(\mathfrak{p})$ 로 나타냅니다.

그러면 다음은 정리 83.7.1(국소화는 몫과 교환됩니다)의 특수한 경우입니다.

정리 85.4.7 (싹에서 값으로 가는 사각형).

$A$ 를 환, $\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라고 합시다. 다음 도식은 가환합니다.

특히 $\kappa(\mathfrak{p})$ 는 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ 로도 기술할 수 있습니다.

예를 들어 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 이고 $\mathfrak{p}=(x,y)$ 이면, 예상한 대로 $A/\mathfrak{p}=\mathbb{C}$ 이고 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})=\operatorname{Frac}(\mathbb{C})=\mathbb{C}$ 입니다. 실제로는 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\kappa(\mathfrak{p})$ 를 계산할 때 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ 를 쓰는 편이 아마 더 쉬울 것입니다.

85.5 요약

지난 두 장을 요약하기 위해 $A$ 를 환이라고 합시다.

•
$X=\operatorname{Spec}A$ 를 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합으로 정의합니다.
- –
  
  극대 아이디얼은 우리에게 익숙한 “닫힌 점”이지만, 소 아이디얼은 “일반점”입니다.
•
아이디얼 $I\subseteq A$ 에 대해 $\mathcal{V}(I)$ 를 닫힌집합으로 선언하여 $\operatorname{Spec}A$ 에 자리스키 위상을 줍니다.
- –
  
  특수 열린집합 $D(f)$ 들은 위상적 기저를 이룹니다.
- –
  
  기약 닫힌집합은 정확히 점들의 폐포입니다.
•
마지막으로 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의했습니다. 정의는 다음이 성립하도록 설정했습니다.
- –
  
  $\mathcal{O}_{X}(D(f))=A[1/f]$ : 특수 열린집합 $D(f)$ 에서도 국소화를 얻습니다.
- –
  
  $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$ : 줄기는 소 아이디얼에서의 국소화입니다.
$D(f)$ 가 기저이므로, 이 두 성질을 이용하면 임의의 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 명시적으로 계산할 수 있으며, 따라서 층화를 이용한 정의에 의존할 필요가 없습니다.

85.6 함수는 값이 아니라 싹에 의해 결정됩니다

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 위의 함수 $0$ 과 $x$ .

경고의 말로 이 장을 마무리하겠습니다. 임의의 환 달린 공간에서 단면은 그 싹들에 의해 결정됩니다. 따라서 $\operatorname{Spec}A$ 위에서 함수 $f\in A$ 는 각 줄기 $A_{\mathfrak{p}}$ 에서의 싹에 의해 결정됩니다. 그러나 이제 $f\in A$ 가 각 점에서의 값 $f(\mathfrak{p})=f\pmod{\mathfrak{p}}$ 에 의해서는 결정되지 않는다는 점을 언급하겠습니다.

유명한 예는 다음과 같습니다.

예제 85.6.1 (이중점 위에서는 $x$ 의 모든 배수가 모든 점에서 0입니다).

공간 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 단 하나의 점 $(x)$ 만을 가집니다. 함수 $0$ 과 $x$ (그리고 더 나아가 $2x$ , $3x$ , …)는 모두 이 점에서 0이 됩니다. 이는 일반적으로 함수가 값에 의해 유일하게 결정되지 않음을 보여 줍니다.

다행히도 이러한 “나쁜” 현상이 언제 일어나는지 명시적으로 특징지을 수 있습니다. 실제로 우리는 모든 $\mathfrak{p}$ 에 대하여 $f(\mathfrak{p})=g(\mathfrak{p})$ 가 되는 때, 즉 동치로 $h=f-g$ 가 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 위에서 0이 되는 때를 알고자 합니다. 이는 다음이 성립하는 것과 동치입니다.

h\in\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}=\sqrt{(0)}

즉 영 아이디얼의 근기입니다. 따라서 원형이 된 예에서 이러한 실패는 어떤 큰 $n$ 에 대하여 $x^{n}=0$ 이라는 사실에서 비롯되었습니다.

정의 85.6.2.

환 $A$ 에 대하여 영 아이디얼의 근기 $\sqrt{(0)}$ 을 $A$ 의 멱영근기라고 부릅니다. 멱영근기의 원소를 멱영원이라고 부릅니다. $0$ 이 유일한 멱영원일 때, 즉 $\sqrt{(0)}=(0)$ 일 때 $A$ 를 축소환이라고 합니다.

질문 85.6.3.

정역은 축소환입니까?

그러면 위의 논의로부터 다음을 얻습니다.

정리 85.6.4 (멱영원만이 유일한 문제입니다).

두 함수 $f$ 와 $g$ 가 $\operatorname{Spec}A$ 의 모든 점에서 같은 값을 가질 필요충분조건은 $f-g$ 가 멱영원인 것입니다.

특히 $A$ 가 축소환일 때에는 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 에서의 값 $f(\mathfrak{p})$ 만으로도 $f\in A$ 를 결정하기에 충분합니다.

85.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

장 86에는 직관을 기르기 위한 아핀 스킴의 예가 많이 담겨 있으므로, 이 문제들을 시도하기 전에 읽어 볼 가치가 있을 것입니다.

문제 85A (스펙트럼은 준콤팩트입니다).

^†^†margin:

임의의 환 $A$ 에 대하여 $\operatorname{Spec}A$ 가 준콤팩트임을 보이십시오.

문제 85B (구멍 뚫린 자이로톱, Aaron Pixton 제공).

자이로톱은 스킴 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y,z]/(xz,yz)$ 입니다. 닫힌 점 $\mathfrak{m}=(x,y,z)$ 를 제거하여 얻은 열린 부분집합을 $U$ 라고 합시다. $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 계산하십시오.

힌트. $k[x,y]\times k[z,z^{-1}]$ .

풀이. $V=D(x)\cup D(y)\subset U$ 를 구멍 뚫린 평면이라고 하면, 그 여집합 $D(z)$ 는 구멍 뚫린 직선처럼 보입니다. 그러면 $V\cap D(z)=\varnothing$ 이고 다음 제한 사상들의 도식이 가환합니다.

층 공리에 의해 실제로는 다음이 성립해야 합니다.

$\mathcal{O}_{X}(U)=\mathcal{O}_{X}(D(z))\times\mathcal{O}_{X}(V).$

$\mathcal{O}_{X}(D(z))=A_{z}=k[x,y,z,z^{-1}]/(xz,yz)\cong k[z,z^{-1}]$ 입니다. 한편 Vakil의 §4.4.1에서 보인 바와 같이 $\mathcal{O}_{X}(V)=k[x,y]$ 입니다. 따라서

$\mathcal{O}_{X}(U)=k[x,y]\times k[z,z^{-1}].$

문제 85C.

환 $R$ 이 국소환일 필요충분조건은 다음 성질이 성립하는 것임을 보이십시오: 임의의 $x\in R$ 에 대하여 $x$ 또는 $1-x$ 중 하나는 단원입니다.

문제 85D.

$R$ 을 국소환, $\mathfrak{m}$ 을 그 극대 아이디얼이라고 합시다. $R_{\mathfrak{m}}$ 을 설명하십시오.

힌트. $R$ 과 동형입니다!

문제 85E.

$A$ 를 환, $\mathfrak{m}$ 을 극대 아이디얼이라고 합시다. $\mathfrak{m}$ 을 $\operatorname{Spec}A$ 의 점으로 간주하십시오. $\kappa(\mathfrak{m})\cong A/\mathfrak{m}$ 임을 보이십시오.