장 85 아핀 스킴: 층

이제 $X=\operatorname{Spec}A$ 위에 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의하여 이를 환 달린 공간으로 만듦으로써 정의를 완성합니다. 이는 첫 번째 절에서 신속하게 다룹니다.

이전과 마찬가지로, 우리의 목표는 다음과 같습니다:

층 $\mathcal{O}_{X}$ 는 아핀 다양체 위의 정칙 함수들의 층과 일치하므로, $A$ 가 임의의 환일 때에도 $\operatorname{Spec}A$ 에 우리의 기하학적 직관을 적용할 수 있습니다.

하지만 이어지는 여러 장에 걸쳐, 우리가 내린 정의를 실제로는 잊어버리도록 독자를 설득하는 데 시간을 쏟을 것입니다. 이는 실용적으로 볼 때, 층의 절편들이 정의를 직접 사용해서가 아니라 다른 결과들을 사용해서 가장 잘 계산되기 때문입니다.

그 과정에서 관련된 이론도 조금 전개할 것입니다: 줄기를 계산하면서 국소환의 정의를 알게 될 것이고, 절편을 계산하면서 특별 열린집합에 대해 알게 될 것입니다.

다시 한번 상기시켜 드립니다: 장 86에는 더 많은 구체적인 예시가 있습니다. 이 장의 어떤 부분에서 막힌다면 그곳을 살펴보는 것도 나쁘지 않은 방법입니다.

85.1 구조층의 쓸모없는 정의

대표적인 예: 여전히 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I$ 입니다.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 에 자리스키 위상을 부여하였으므로, 남은 일은 그 위에 층 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}$ 를 놓는 것뿐입니다. 이를 위해 이전과 마찬가지로 ”정칙 함수”라는 개념이 필요합니다.

이미 국소화를 갖추고 있으므로 이는 쉽게 할 수 있습니다.

정의 85.1.1.

먼저, $\mathscr{F}$ 를 ”전역적으로 유리적인” 함수들의 전층이라고 합시다: 즉, $\mathscr{F}(U)$ 를 다음의 국소화로 정의합니다

\mathscr{F}(U)=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in A\text{그리고}g(\mathfrak{p})\neq 0% \;\forall\mathfrak{p}\in U\right\}=\left(A\setminus\bigcup_{\mathfrak{p}\in U}% \mathfrak{p}\right)^{-1}A.

이제 $\operatorname{Spec}A$ 위의 구조층을 정의합니다. 그것은

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}=\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}

즉, 방금 정의한 $\mathscr{F}$ 의 층화입니다.

연습문제 85.1.2.

이를 $V$ 가 복소 다양체일 때의 $\mathcal{O}_{V}$ 에 대한 정의와 비교하여, 이들이 본질적으로 일치함을 확인하십시오.

그리하여 우리는 아핀 스킴의 완전한 정의와 함께 성인기로의 이행을 완수하였습니다.

정말로 호환 가능한 배아(germ)를 좋아한다면, 정의를 다음과 같이 풀어 쓸 수 있습니다:

정의 85.1.3.

$A$ 를 환이라 합시다. 그러면 $\operatorname{Spec}A$ 는 다음과 같이 설정함으로써 환 달린 공간이 됩니다

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(U)=\left\{(f_{\mathfrak{p}}\in A_{\mathfrak% {p}})_{\mathfrak{p}\in U}\text{국소적으로 몫인}\right\}.

즉, 이는 수열 $(f_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}\in U}$ 로 이루어지며, 각 $f_{\mathfrak{p}}\in A_{\mathfrak{p}}$ 이고, 모든 점 $\mathfrak{p}$ 에 대해 열린 근방 $U_{\mathfrak{p}}$ 와 $f,g\in A$ 가 존재하여 모든 $\mathfrak{q}\in U_{\mathfrak{p}}$ 에 대해 $f_{\mathfrak{q}}=\frac{f}{g}\in A_{\mathfrak{q}}$ 가 성립합니다.

이제 우리는 이 정의를 기본적으로 잊어버릴 것입니다, 왜냐하면 실제로는 이를 결코 사용하지 않을 것이기 때문입니다. 다음 두 절에서 다음을 보여드리겠습니다:

•

줄기 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}$ 가 단지 $A_{\mathfrak{p}}$ 일 뿐이라는 것과,
•

임의의 열린집합 $U$ 에 대해 절편 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(U)$ 는 $U=D(f)$ 가 특별 열린집합인 특수한 경우에만 초점을 맞춤으로써 계산될 수 있다는 것입니다.

이 두 결과는 우리의 모든 목적에 충분할 것이므로, 이 정의를 사용하지 않아도 될 것입니다. (그래서 이 절에는 예시가 없습니다.)

85.2 특별 열린집합의 가치 (또는: 실제로 절편을 계산하는 방법)

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 에서 $D(x)$ 는 구멍 뚫린 직선입니다.

이제 특별 열린집합의 중요성을 정말로 강조해보겠습니다. 정의는 이전과 유사합니다:

정의 85.2.1.

$f\in A$ 라 합시다. 그러면 $D(f)$ 는 $f(\mathfrak{p})\neq 0$ 인 $\mathfrak{p}$ 들의 집합으로, 특별 열린집합입니다.

특별 열린집합은 서로 이어지는 세 가지 절대적으로 중요한 성질을 가지고 있습니다.

85.2.1 자리스키 위상의 기저

첫 번째는 위상적 관찰입니다:

정리 85.2.2 (특별 열린집합은 기저를 이룹니다).

특별 열린집합 $D(f)$ 는 자리스키 위상의 기저를 이룹니다: 임의의 열린집합 $U$ 는 특별 열린집합들의 합집합입니다.

증명.

$U$ 를 열린집합이라 하고, 닫힌집합 $V(I)$ 의 여집합이라고 합시다. 그러면 다음을 확인해보십시오.

U=\bigcup_{f\in I}D(f).\qed

85.2.2 절단은 계산 가능합니다

두 번째 결정적인 사실은 특별 열린집합 위의 절단을 명시적으로 계산할 수 있다는 것입니다.

정리 85.2.3 ( $D(f)$ 의 절단은 $f$ 를 제외한 국소화입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $f\in A$ 라 합시다. 그러면

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(D(f))\cong A[1/f].

증명.

생략하지만, 정리 78.6.1과 유사합니다. ∎

예제 85.2.4 (구멍 뚫린 직선은 쌍곡선과 동형입니다).

”쌍곡선 효과”가 다시 나타납니다:

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]}(D(x))=\mathbb{C}[x,x^{-1}]\cong% \mathbb{C}[x,y]/(xy-1).

여담으로, $\operatorname{Spec}A=D(1)$ 자체가 특별 열린집합이므로 전역 절단을 복원할 수 있다는 점도 어딘가에 짚어두는 편이 좋겠습니다.

따름정리 85.2.5 ( $A$ 는 전역 절단의 환입니다).

$\operatorname{Spec}A$ 의 전역 절단의 환은 $A$ 입니다.

증명.

앞선 정리에 의해, $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(\operatorname{Spec}A)=\mathcal{O}_{% \operatorname{Spec}A}(D(1))=A[1/1]=A$ 입니다. ∎

85.2.3 그것들은 아핀입니다

$\mathcal{O}_{X}(D(f))=A[1/f]$ 임을 알고 있습니다. 실제로 $\operatorname{Spec}A[1/f]$ 를 그려보면, $D(f)$ 와 정확히 똑같이 생겼음을 발견하게 됩니다. 따라서 세 번째이자 마지막 중요한 사실은, $D(f)$ 가 실제로 $\operatorname{Spec}A[1/f]$ 와 동형이라는 것입니다(원점을 제외한 직선이 쌍곡선과 동형인 것과 마찬가지입니다). 아직 스킴의 사상을 다루지 않았으므로 이를 엄밀하게 만들 수는 없지만, (당장은 아니어도) 나중에 유용하게 쓰일 것입니다.

85.2.4 고전적인 예시: 구멍 뚫린 평면

이제 층화를 한 번도 좋아하지 않았던 분들이 어떻게 층화를 잊어버릴 수 있는지 보여주는 고전적인 계산 예시를 들겠습니다.¹¹1이러한 관점이 매우 유용하다 보니, Vakil [VAK17, §4.1]과 같은 일부 문헌에서는 우리가 했던 것처럼 층화를 사용하는 대신, $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}(D(f))=A[1/f]$ 를 요구함으로써 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}$ 를 정의합니다. 그 발상은 다음과 같습니다:

특별 열린집합과 층 공리를 이용하면 실제로 임의의 절단 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 계산할 수 있습니다.

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고, 원점, 즉 점 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 생각해봅시다. 이 아이디얼은 극대 아이디얼이므로 닫힌점에 대응하며, $\mathfrak{m}$ 을 제외한 모든 점들로 이루어진 열린집합 $U$ 를 생각할 수 있습니다. 우리는 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 계산하고자 합니다.

안타깝게도 $U$ 는 특별 열린집합이 아닙니다. 하지만 $U=D(x)\cup D(y)$ 로 씀으로써 어쨌든 계산할 수 있습니다: 편리하게도 $D(x)\cap D(y)=D(xy)$ 입니다. 층 공리에 의해, 다음과 같은 당겨오기 정사각형을 얻습니다

다시 말해, $\mathcal{O}_{X}(U)$ 는 다음과 같은 쌍들로 이루어집니다

	$\displaystyle f$	$\displaystyle\in\mathbb{C}[x,y,x^{-1}]$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\in\mathbb{C}[x,y,y^{-1}]$

겹치는 부분에서 일치하는 것들입니다: $D(x)\cap D(y)$ 에서 $f=g$ . 그런데 $f$ 는 분모에 $x$ 가 몇 개 있는 다항식으로, $g$ 는 분모에 $y$ 가 몇 개 있는 다항식으로 표현할 수 있습니다. 이 둘이 일치한다면, 분모는 사실상 상수가 됩니다. 대략적으로 말하면,

\mathbb{C}[x,y,x^{-1}]\cap\mathbb{C}[x,y,y^{-1}]=\mathbb{C}[x,y].

결론적으로,

\mathcal{O}_{X}(U)=\mathbb{C}[x,y].

즉, 추가적인 함수는 얻지 못합니다.

85.3 구조층의 줄기

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 에서의 줄기는 원점에서 정의된 유리함수입니다.

걱정하지 마십시오, 이번 것은 지난 절보다 쉽습니다.

85.3.1 이들은 국소화입니다

정리 85.3.1 ( $\operatorname{Spec}A$ 의 줄기는 $A_{\mathfrak{p}}$ 입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 라 합시다. 그러면

\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A,\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}.

특히 $\operatorname{Spec}A$ 는 국소 환달린 공간입니다.

증명.

층화 과정이 줄기를 보존하므로, 우리의 정의에서 전역 유리함수들의 전층인 $\mathscr{F}$ 에 대해서만 확인하면 충분합니다. 증명은 정리 82.3.7과 기본적으로 동일합니다: 다음과 같이 배아(germ)들에 대한 자명한 사상 $\mathscr{F}_{\mathfrak{p}}\to A_{\mathfrak{p}}$ 가 존재합니다

\left(U,f/g\in\mathscr{F}(U)\right)\mapsto f/g\in A_{\mathfrak{p}}.

(왼쪽의 $f/g$ 는 $\mathscr{F}(U)$ 에 속하지만 오른쪽의 것은 $A_{\mathfrak{p}}$ 에 속함에 유의하십시오). 단사성과 전사성을 보이겠습니다:

•

단사: $(U_{1},f_{1}/g_{1})$ 과 $(U_{2},f_{2}/g_{2})$ 가 $f_{1}/g_{1}=f_{2}/g_{2}\in A_{\mathfrak{p}}$ 를 만족하는 두 배아라고 합시다. 이는 $A$ 에서 어떤 $h\notin\mathfrak{p}$ 에 대해 $h(f_{1}g_{2}-f_{2}g_{1})=0$ 임을 뜻합니다. 그러면 두 배아 모두 배아 $(U_{1}\cap U_{2}\cap D(h),f_{1}/g_{1})$ 과 동일시됩니다.
•

전사: $U=D(g)$ 라 합시다. ∎

예제 85.3.2 ( $x$ 로 나누어떨어지지 않는 분모들).

이 예시는 이미 여러 번 보았으므로, 새로운 표기법으로만 적고 더 이상의 설명은 하지 않겠습니다: $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 라면

\mathcal{O}_{X,(x)}=\mathbb{C}[x]_{(x)}=\left\{\frac{f}{g}\mid g(0)\neq 0% \right\}.

예제 85.3.3 ( $x$ 나 $y$ 로 나누어떨어지지 않는 분모들).

$X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 원점이라 합시다. 그러면

\mathbb{C}[x,y]_{(x,y)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.

더 많은 예시를 원한다면, 절 83.4에 있는 것들 중 아무거나 가져와서 그것들이 기하학적으로 무엇을 의미하는지 생각해 보십시오.

85.3.2 국소환의 동기: 배아는 값들을 담아내야 합니다

우리에게 익숙한 예시 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 로 돌아가서 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 를 원점이라고 합시다. 줄기는

\mathcal{O}_{X,\mathfrak{m}}=\mathbb{C}[x,y]_{(x,y)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,% y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.

이제 $f=\frac{1}{xy+4}$ 와 같은 어떤 절편을 살펴봅시다. 이는 $U=D(xy+4)$ 의 절편입니다(또는 더 작은 열린집합의 절편일 수도 있지만, 편의를 위해 이것만 사용하겠습니다). 또한 $U\ni\mathfrak{m}$ 이므로, $f$ 는 $\mathfrak{m}$ 에서의 배아를 줍니다.

한편, $f$ 는 $\mathfrak{m}$ 에서 값도 갖습니다: 이는 $f\pmod{\mathfrak{m}}=\frac{1}{4}$ 입니다. 그리고 일반적으로, 원점 $\mathfrak{m}$ 에서 절편이 가질 수 있는 값들의 환은 $\mathbb{C}[x,y]/\mathfrak{m}\cong\mathbb{C}$ 입니다.

이제, 배아를 ”풍부화된 값”으로 생각할 수 있다는 관점을 제가 강조했던 것을 기억하실 것입니다. 그렇다면 점 $\mathfrak{m}$ 에서의 절편 $f$ 의 배아를 안다면 — 즉 ”풍부화된 값”을 안다면 — 그 값 또한 계산할 수 있어야 한다는 것이 이치에 맞습니다. 이것이 의미하는 바는, 우리가 다음과 같은 사상을 가져야 한다는 것입니다

A_{\mathfrak{m}}\to A/\mathfrak{m}

배아를 그에 대응하는 값으로 보내는 사상입니다.

실제로 가능하며, 이는 우리를 다음으로 이끕니다…

85.4 국소환과 잉여체: 싹과 값을 잇는 다리

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 에서의 잉여체는 $\mathbb{C}$ 입니다.

85.4.1 국소화는 국소환을 줍니다

이 표기법은 이제 정말 끔찍해질 참이지만, 조금만 참아주십시오.

정리 85.4.1 (줄기는 국소환입니다).

$A$ 를 환이라 하고 $\mathfrak{p}$ 를 임의의 소 아이디얼이라 합시다. 그러면 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 정확히 하나의 극대 아이디얼을 가지며, 이는 다음과 같이 명시적으로 주어집니다

\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\left\{\frac{f}{g}\mid f\in\mathfrak{p},\;g\notin% \mathfrak{p}\right\}.

따라서 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 “ $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 싹”이라는 개념을 포착합니다.²²2표기법 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 실제로 $f\in\mathfrak{p}$ (여기서 $f\mapsto\frac{f}{1}$ 에 의해 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 부분집합으로 간주됩니다)이고 $h\in A_{\mathfrak{p}}$ 인 $f\cdot h$ 의 집합을 뜻합니다. 저 개인적으로는 이것이 도움이 되기보다 혼란스럽다고 느껴서, 각주로 처리합니다.

증명은 잠시 후에 하겠습니다. 지금은 우리의 예시를 적절한 언어로 제시할 수 있도록 몇 가지 용어를 도입해봅시다.

정의 85.4.2.

정확히 하나의 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 을 가지는 환 $R$ 을 국소환이라 부릅니다. 잉여체는 몫 $R/\mathfrak{m}$ 입니다.

질문 85.4.3.

체는 국소환입니까?

따라서 우리가 발견하는 것은 다음과 같습니다:

줄기는 가능한 강화된 값들(싹)로 이루어져 있습니다; 잉여체는 (강화되지 않은) 값들의 집합입니다.

예제 85.4.4 ( $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]$ 의 원점에서의 줄기).

다시 $A=\mathbb{C}[x,y]$ , $X=\operatorname{Spec}A$ , $\mathfrak{p}=(x,y)$ 로 설정하여 $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$ 가 되도록 합시다. (국소환 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 극대 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 와의 혼동을 피하기 위해, 원점을 나타내는 데 $\mathfrak{p}$ 로 표기를 바꾸었습니다.) 이미 여러 번 말했듯이, $A_{\mathfrak{p}}$ 는 원점에서 소멸하지 않는 유리함수들로 이루어져 있으며, 예를 들면 $f=\frac{1}{xy+4}$ 와 같습니다.

유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 는 무엇입니까? 답: 이는 원점에서 소멸하는 유리함수들로 이루어져 있습니다: 예를 들어 $\frac{x}{x^{2}+3y}$ , 또는 $\frac{3x+5y}{2}$ , 또는 $\frac{-xy}{4(xy+4)}$ 입니다. 이런 함수들로 나머지를 취하는 것을 허용하면, 잉여체 $\mathbb{C}$ 를 얻으며, $f$ 는 값 $\frac{1}{4}$ 를 가지게 됩니다. 그 이유는

\frac{1}{xy+4}-{\underbrace{\frac{-xy}{4(xy+4)}}_{\text{원점에서 소멸합니다}}}=\frac{1}% {4}.

더 일반적으로, $f$ 가 $\mathfrak{p}$ 를 포함하는 어떤 열린집합의 임의의 절단이라고 합시다. $c\in\mathbb{C}$ 를 값 $f(\mathfrak{p})$ , 즉 $f\pmod{\mathfrak{p}}$ 라 합시다. 그러면 $f-c$ 는 원점 $\mathfrak{p}$ 에서 소멸하는 또 다른 절단이 될 것이므로, 약속했던 대로 $f\equiv c\pmod{\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}}$ 입니다.

좋습니다, 이제 정리의 증명을 적어봅시다.

정리 85.4.1의 증명.

집합 $I=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ 가 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 아이디얼임을 확인할 수 있습니다. 더욱이, $1\notin I$ 이므로 $I$ 는 진 아이디얼입니다.

이것이 극대이며 유일함을 증명하려면, $f\notin I$ 인 임의의 $f\in A_{\mathfrak{p}}$ 가 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 단원임을 증명하면 충분합니다. 이는 $I$ 가 극대임을 함의합니다: 더 이상 추가할 비단원이 없기 때문입니다. 또한 이는 $I$ 가 유일한 극대 아이디얼임을 함의합니다: 어떤 진 아이디얼도 단원을 포함할 수 없으므로, $I$ 에 포함되기 때문입니다.

이는 사실 쉽습니다. $I$ 에 속하지 않는 $A_{\mathfrak{p}}$ 의 원소는 $f,g\in A$ 이고 $f,g\notin\mathfrak{p}$ 인 $x=\frac{f}{g}$ 의 형태여야 합니다. 이러한 원소에 대해, $x^{-1}=\frac{g}{f}\notin\mathfrak{p}$ 또한 성립합니다. 따라서 $x$ 는 단원입니다. 증명 끝. ∎

더욱 일반적으로:

층 $\mathscr{F}$ 가 “체 값을 가지는 함수”들로 이루어져 있다면, 줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 는 아마도 $p$ 에서 소멸하는 싹들로 이루어진 극대 아이디얼을 가질 것입니다.

예제 85.4.5 (비대수기하학적 층에서의 국소환).

$X=\mathbb{R}$ 이고 $\mathscr{F}(U)$ 가 매끄러운 함수들인 예시로 돌아가서, $p\in X$ 일 때 줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 를 생각해봅시다. 아이디얼 $\mathfrak{m}_{p}$ 를 $s(p)=0$ 을 만족하는 싹 $(s,U)$ 들의 집합으로 정의합시다.

그러면 $\mathfrak{m}_{p}$ 는 극대입니다: 다음과 같은 완전열이 있습니다

0\to\mathfrak{m}_{p}\to\mathscr{F}_{p}\xrightarrow{(s,U)\mapsto s(p)}\mathbb{R% }\to 0

따라서 $\mathscr{F}_{p}/\mathfrak{m}_{p}\cong\mathbb{R}$ 이며, 이는 체입니다.

0이 아닌 극대 아이디얼이 없음을 확인하는 일이 남아 있습니다. 이제 $s\notin\mathfrak{m}_{p}$ 이면 $s$ 는 $p$ 의 어떤 열린 근방에서 0이 아니며, 그 위에서 함수 $1/s$ 를 구성할 수 있다는 점에 주목하십시오. 따라서 $\mathscr{F}_{p}\setminus\mathfrak{m}_{p}$ 의 모든 원소는 단원입니다. 그리고 다시 한번 $\mathfrak{m}_{p}$ 가 실제로 유일한 극대 아이디얼임을 알 수 있습니다!

따라서 다음 각 유형의 층의 줄기들 역시 국소환입니다.

•

위상 공간 위의 연속 실/복소 함수 층
•

임의의 다양체 위의 매끄러운 함수 층
•

기타 등등

85.4.2 값 계산하기: 편리한 사각형

매우 꼼꼼한 독자라면 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 이고 원점인 $\mathfrak{p}=(x,y)$ 인 $\operatorname{Spec}A$ 를 다룬 확장된 예제에서 다소 불편한 점을 눈치챘을 수 있습니다. $f=\frac{1}{xy+4}$ 를 생각해 봅시다. 값이 $\frac{1}{4}$ ”이어야 한다”고 판단하기 위해 원래 환 $A$ 에서 $f\pmod{x,y}$ 를 취했습니다. 하지만 사실 우리의 모든 계산은 환 $A$ 에서가 아니라 환 $A_{\mathfrak{p}}$ 에서 이루어졌습니다. 이것이 문제를 일으킬까요?

다행히도, 일반적인 환 $A$ 에서도 아무 문제가 없습니다.

정의 85.4.6.

몫 $A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ , 즉 $\mathfrak{p}$ 에서의 $\operatorname{Spec}A$ 의 줄기의 잉여체를 $\kappa(\mathfrak{p})$ 로 표기하겠습니다.

그러면 다음은 정리 83.7.1(국소화는 몫과 교환됩니다)의 특수한 경우입니다:

정리 85.4.7 (배아-값 사각형).

$A$ 를 환이라 하고 $\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라 합시다. 다음 도식은 가환합니다:

특히, $\kappa(\mathfrak{p})$ 는 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ 로도 나타낼 수 있습니다.

그래서 예를 들어 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 이고 $\mathfrak{p}=(x,y)$ 이면, $A/\mathfrak{p}=\mathbb{C}$ 이고 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})=\operatorname{Frac}(\mathbb{C})=\mathbb{C}$ 이며, 이는 우리가 예상한 바입니다. 실제로는 어떤 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해서도 $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ 가 $\kappa(\mathfrak{p})$ 를 계산하는 더 쉬운 방법일 것입니다.

85.5 요약

지난 두 장을 요약하기 위해, $A$ 를 환이라고 합시다.

•
$X=\operatorname{Spec}A$ 를 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합으로 정의합니다.
- –
  
  극대 아이디얼은 우리에게 익숙한 ”닫힌점”이지만, 소 아이디얼은 ”일반점”입니다.
•
아이디얼 $I\subseteq A$ 에 대해 $\mathcal{V}(I)$ 를 닫힌집합으로 선언함으로써 $\operatorname{Spec}A$ 에 자리스키 위상을 부여합니다.
- –
  
  특별 열린집합 $D(f)$ 들은 위상 기저를 이룹니다.
- –
  
  기약 닫힌집합은 정확히 점들의 폐포입니다.
•
마지막으로, 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의했습니다. 정의를 다음과 같이 설정했습니다.
- –
  
  $\mathcal{O}_{X}(D(f))=A[1/f]$ : 특별 열린집합 $D(f)$ 에서도 국소화를 얻습니다.
- –
  
  $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$ : 줄기는 소 아이디얼에서의 국소화입니다.
$D(f)$ 가 기저이므로, 이 두 성질을 이용하면 임의의 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 명시적으로 계산할 수 있으며, 따라서 층화(sheafification)를 이용한 정의에 의존할 필요가 없습니다.

85.6 함수는 값이 아니라 싹에 의해 결정됩니다

대표적인 예: $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 위의 함수 $0$ 과 $x$ .

이 장을 마치며 한 가지 경고의 말을 덧붙입니다. 임의의 환 달린 공간에서 단면은 그 싹에 의해 결정됩니다. 따라서 $\operatorname{Spec}A$ 위에서 함수 $f\in A$ 는 각 줄기 $A_{\mathfrak{p}}$ 에서의 싹에 의해 결정됩니다. 그러나 이제 $f\in A$ 가 각 점에서의 값 $f(\mathfrak{p})=f\pmod{\mathfrak{p}}$ 에 의해 결정되는 것은 아닙니다.

유명한 예는 다음과 같습니다:

예제 85.6.1 (이중점에서, $x$ 의 모든 배수는 모든 점에서 영이 됨).

공간 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 는 점을 오직 하나, 즉 $(x)$ 만 가집니다. 함수 $0$ 과 $x$ (그리고 이에 관해서라면 $2x$ , $3x$ , …도)는 모두 이 점에서 영이 됩니다. 이는 일반적으로 함수가 값에 의해 유일하게 결정되지는 않음을 보여줍니다.

다행히도, 이러한 종류의 “나쁜” 현상이 언제 일어나는지 명시적으로 특징지을 수 있습니다. 실제로, 우리는 모든 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $f(\mathfrak{p})=g(\mathfrak{p})$ 인 경우, 즉 동등하게 $h=f-g$ 가 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에서 영이 되는 경우가 언제인지 알고자 합니다. 이는 다음을 가지는 것과 동등합니다

h\in\bigcap_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}=\sqrt{(0)}

영 아이디얼의 근기. 따라서 원형적인 예에서, 그 실패는 어떤 큰 $n$ 에 대해 $x^{n}=0$ 이라는 사실에 의해 일어난 것입니다.

정의 85.6.2.

환 $A$ 에 대해, 영 아이디얼의 근기인 $\sqrt{(0)}$ 을 $A$ 의 멱영근기라고 부릅니다. 멱영근기의 원소를 멱영원이라고 부릅니다. $0$ 이 유일한 멱영원일 때, 즉 $\sqrt{(0)}=(0)$ 일 때, $A$ 를 축소환이라고 말합니다.

질문 85.6.3.

정역은 축소환입니까?

그렇다면 위의 논의로부터 다음을 얻습니다:

정리 85.6.4 (멱영원만이 문제가 됨).

두 함수 $f$ 와 $g$ 가 $\operatorname{Spec}A$ 의 모든 점에서 같은 값을 가지는 것은 $f-g$ 가 멱영원인 것과 동치입니다.

특히, $A$ 가 축소환일 때는, $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 에서의 값 $f(\mathfrak{p})$ 만으로도 $f\in A$ 를 결정하기에 충분합니다.

85.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

장 86에는 직관을 기르기 위한 아핀 스킴의 예시가 많이 담겨 있으므로, 이 문제들을 시도하기 전에 미리 읽어보는 것이 도움이 될 것입니다.

문제 85A (스펙트럼은 준콤팩트입니다).

^†^†margin:

임의의 환 $A$ 에 대해 $\operatorname{Spec}A$ 가 준콤팩트임을 보이십시오.

문제 85B (구멍 뚫린 자이로톱, Aaron Pixton 전달).

자이로톱은 스킴 $X=\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y,z]/(xz,yz)$ 입니다. 닫힌점 $\mathfrak{m}=(x,y,z)$ 를 제거하여 얻은 열린집합을 $U$ 라 합니다. $\mathcal{O}_{X}(U)$ 를 계산하십시오.

힌트. $k[x,y]\times k[z,z^{-1}]$ .

풀이. $V=D(x)\cup D(y)\subset U$ 를 뚫린 평면이라 합시다. 그러면 그 여집합 $D(z)$ 는 뚫린 직선처럼 보입니다. 이때 $V\cap D(z)=\varnothing$ 이며, 다음 제한 사상들의 도식이 가환합니다

층 공리에 의해 실제로는 다음이 성립해야 합니다

$\mathcal{O}_{X}(U)=\mathcal{O}_{X}(D(z))\times\mathcal{O}_{X}(V).$

$\mathcal{O}_{X}(D(z))=A_{z}=k[x,y,z,z^{-1}]/(xz,yz)\cong k[z,z^{-1}]$ 입니다. 한편 Vakil의 §4.4.1에 나타난 바와 같이 $\mathcal{O}_{X}(V)=k[x,y]$ 입니다. 따라서

$\mathcal{O}_{X}(U)=k[x,y]\times k[z,z^{-1}].$

문제 85C.

환 $R$ 이 국소환인 것과 다음 성질이 성립하는 것이 동치임을 보이십시오: 임의의 $x\in R$ 에 대해, $x$ 또는 $1-x$ 가 단원입니다.

문제 85D.

$R$ 을 국소환이라 하고, $\mathfrak{m}$ 을 그 극대 아이디얼이라 합니다. $R_{\mathfrak{m}}$ 을 서술하십시오.

힌트. 이것은 $R$ 과 동형입니다!

문제 85E.

$A$ 를 환이라 하고, $\mathfrak{m}$ 을 극대 아이디얼이라 하십시오. $\mathfrak{m}$ 을 $\operatorname{Spec}A$ 의 점으로 생각하십시오. $\kappa(\mathfrak{m})\cong A/\mathfrak{m}$ 임을 보이십시오.