장 10 고유한 것들

이 장에서는 고윳값과 고유벡터의 이론, 이른바 “조르당 표준형”을 전개합니다. (나중에는 이를 사용하여 특성다항식을 정의할 것입니다.)

10.1 왜 관심을 가져야 하는가

정사각 행렬 $T$ 는 사실 $V$ 에서 $V$ 로 가는 선형 사상에 불과하다는 것을 우리는 알고 있습니다. 가장 단순한 종류의 선형 사상은 무엇입니까? 그것은 어떤 스칼라 $\lambda$ 에 의한 곱셈일 것이며, 이에 대응하는 행렬은 (어떤 기저에서든!) 다음과 같을 것입니다.

T=\begin{bmatrix}\lambda&0&\dots&0\\ 0&\lambda&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda\end{bmatrix}.

하지만 그것은 아마도 지나치게 단순합니다. 고정된 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 이 있다면, 또 다른 매우 “단순한” 연산은 각 기저 원소 $e_{i}$ 를 $\lambda_{i}$ 배 하는 것, 즉 다음 형태의 대각행렬일 것입니다.

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}.

이러한 사상은 더 일반적입니다. 실제로 예를 들어 $T^{100}$ 을 순식간에 계산할 수 있습니다. 이 사상은 $e_{i}\to\lambda_{i}^{100}e_{i}$ 로 보냅니다. (임의의 $n\times n$ 행렬로 같은 일을 해 보십시오.)

물론 대부분의 선형 사상은 아마 그렇게 좋지 않을 것입니다. 과연 그렇습니까?

예제 10.1.1 (운이 좋은 경우).

$V$ 를 $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 를 기저 원소로 갖는 어떤 2차원 벡터 공간이라고 합시다. $e_{1}\mapsto 2e_{1}$ , $e_{2}\mapsto e_{1}+3e_{2}$ 로 주어지는 사상 $T\colon V\to V$ 를 생각해 봅시다. 이는 구체적으로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

T=\begin{bmatrix}2&1\\ 0&3\end{bmatrix}\quad\text{기저 $e_{1}$, $e_{2}$에서}.

이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다는 것을 깨닫기 전까지는 전혀 좋아 보이지 않습니다.

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle\mapsto 2e_{1}$
	$\displaystyle e_{1}+e_{2}$	$\displaystyle\mapsto 3(e_{1}+e_{2}).$

그러면 기저를 $e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 로 바꾼다고 합시다. 그러면 새 기저에서는 다음과 같습니다.

T=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&3\end{bmatrix}\quad\text{기저 $e_{1}$, $e_{1}+e_{2}$에서}.

이렇게 완전히 무작위처럼 보이던 우리의 사상이 적절한 기저 변환을 거치면 앞서 설명한 매우 좋은 사상처럼 보입니다!

이 장에서 우리는 운을 만들어 낼 것이며, 행렬에 대한 더 나은 이해가 이에 대해 생각하는 올바른 방법을 제공한다는 것을 보게 될 것입니다.

10.2 가정에 대한 경고

이 장의 대부분의 정리는 다음 경우에만 성립합니다.

•

유한 차원 벡터 공간 $V$ ,
•

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위에서.

반면에 정의는 이러한 가정 없이도 잘 작동합니다.

10.3 고유벡터와 고윳값

$k$ 를 체라 하고 $V$ 를 그 위의 벡터 공간이라고 합시다. 위의 예에서 우리는 $V$ 가 매우 단순한 작용을 하는 두 개의 매우 좋은 벡터 $e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 가 있음을 보았습니다. 당연히 이러한 벡터에는 이름이 있습니다.

정의 10.3.1.

$T\colon V\to V$ 라 하고 $v\in V$ 를 영이 아닌 벡터라고 합시다. 어떤 $\lambda\in k$ 에 대하여 $T(v)=\lambda v$ 이면 (영일 수도 있지만, $v\neq 0$ 임을 기억하십시오) $v$ 를 고유벡터라고 합니다. 값 $\lambda$ 를 $T$ 의 고윳값이라고 합니다.

때때로 “ $v$ 는 고윳값이 $\lambda$ 인 고유벡터”를 줄여서 간단히 “ $v$ 는 $\lambda$ -고유벡터”라고 쓰겠습니다.

물론 어디에서도 기저를 언급하지 않습니다.

예제 10.3.2 (고유벡터와 고윳값의 예).

앞서 본 $T=\begin{bmatrix}2&1\\ 0&3\end{bmatrix}$ 인 예를 생각해 봅시다.

(a)

$e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 는 각각 $2$ -고유벡터와 $3$ -고유벡터임에 주목하십시오.
(b)

물론 $5e_{1}$ 도 $2$ -고유벡터입니다.
(c)

그리고 $7e_{1}+7e_{2}$ 도 $3$ -고유벡터입니다.

따라서 다음 사실을 금방 알 수 있습니다.

질문 10.3.3.

$\lambda$ -고유벡터들이 $\{0\}$ 과 함께 부분공간을 이룸을 보이십시오.

정의 10.3.4.

임의의 $\lambda$ 에 대하여, $\lambda$ -고유벡터들에 $0$ 을 더한 집합을 $\lambda$ - 고유공간이라고 정의합니다.

이렇게 하면 “ $2$ 는 $e_{1}$ 로 생성되는 1차원 고유공간을 가지는 $T$ 의 고윳값”이라고 간결하게 말할 수 있습니다.

안타깝게도 고윳값이 항상 존재한다고 할 수는 없습니다.

예제 10.3.5 (고윳값은 존재하지 않을 수도 있습니다).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고, $T$ 를 원점을 중심으로 벡터를 $90^{\circ}$ 만큼 회전시키는 사상이라 합시다. 그러면 자명한 $v=0$ 을 제외한 어떤 $v\in V$ 에 대해서도 $T(v)$ 는 $v$ 의 배수가 아닙니다.

하지만 $k$ 를 대수적으로 닫힌 체로 바꾸면 이는 참이 됩니다.¹¹1체의 모든 다항식이 근을 가지면 그 체를 대수적으로 닫힌 체라고 하며, 전형적인 예는 $\mathbb{C}$ 입니다.

정리 10.3.6 (대수적으로 닫힌 체 위에서는 고윳값이 항상 존재합니다).

$k$ 가 대수적으로 닫힌 체라고 가정합시다. $V$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간이라 합시다. 그러면 $T\colon V\to V$ 가 선형 사상일 때, 고윳값 $\lambda\in k$ 가 존재합니다.

증명.

([AXL97]에서 인용) 이 증명의 아이디어는 $T$ 에 대한 “다항식”을 생각하는 것입니다. 예를 들어 $2T^{2}-4T+5$ 는 $2T(T(v))-4T(v)+5v$ 의 약식 표기입니다. 이런 식으로 “다항식” $P(T)$ 를 생각할 수 있으며, 이를 통해 “대수적으로 닫힌”이라는 조건을 활용할 수 있습니다. 이 다항식들은 다음과 같이 좋은 성질을 가집니다:

질문 10.3.7.

$P(T)+Q(T)=(P+Q)(T)$ 이고 $P(T)\circ Q(T)=(P\cdot Q)(T)$ 임을 보이십시오.

$n=\dim V<\infty$ 라 하고 영이 아닌 임의의 벡터 $v\in V$ 를 고정한 다음, 벡터 $v$ , $T(v)$ , …, $T^{n}(v)$ 를 생각합시다. 이들은 $n+1$ 개이므로 차원상의 이유로 선형 독립일 수 없습니다. 따라서 $v$ 에 적용했을 때 $P(T)$ 가 영이 되는, 영이 아닌 다항식 $P$ 가 존재합니다. 일반성을 잃지 않고 $P$ 가 모닉 다항식이라 하고, 이를테면 $P(z)=(z-r_{1})\dots(z-r_{m})$ 이라 합시다. 그러면 다음을 얻습니다

0=(T-r_{1}\mathrm{id})\circ(T-r_{2}\mathrm{id})\circ\dots\circ(T-r_{m}\mathrm{% id})(v)

(여기서 $\mathrm{id}$ 는 항등 행렬입니다). 이는 $T-r_{i}\mathrm{id}$ 중 적어도 하나가 단사가 아니라는 것, 즉 자명하지 않은 핵을 가진다는 것을 의미하며, 이는 고유벡터를 가진다는 것과 같습니다. ∎

그래서 일반적으로 우리는 대수적으로 닫힌 체를 다루기를 선호합니다. 이는 큰 손실이 아닙니다. 예를 들어 임의의 실수 행렬은 성분이 마침 모두 실수인 복소수 행렬로 해석할 수 있습니다.

10.4 조르당 표준형

앞으로 어디로 향하는지 정확히 알 수 있도록, 주요 정리를 먼저 소개합니다.

정의 10.4.1.

조르당 블록은 다음과 같은 모양의 $n\times n$ 행렬입니다:

\begin{bmatrix}\lambda&1&0&0&\dots&0&0\\ 0&\lambda&1&0&\dots&0&0\\ 0&0&\lambda&1&\dots&0&0\\ 0&0&0&\lambda&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&\dots&\lambda&1\\ 0&0&0&0&\dots&0&\lambda\end{bmatrix}.

다시 말해, 대각선에 $\lambda$ 가 있고 그 바로 위에 $1$ 이 있습니다. $n=1$ 도 허용하므로 $\begin{bmatrix}\lambda\end{bmatrix}$ 도 조르당 블록입니다.

정리 10.4.2 (조르당 표준형).

$T\colon V\to V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간들 사이의 선형 사상이라 합시다. 그러면 행렬 $T$ 가 각 블록이 조르당 블록인 “블록 대각” 행렬이 되도록 $V$ 의 기저를 선택할 수 있습니다.

이러한 행렬을 조르당 표준형이라고 합니다. 이 표준형은 블록의 순서를 재배열하는 것을 제외하면 유일합니다.

예를 들어, 이는 행렬이 대략 다음과 같은 모양이어야 함을 뜻합니다:

\begin{bmatrix}\lambda_{1}&1\\ 0&\lambda_{1}\\ &&\lambda_{2}\\ &&&\lambda_{3}&1&0\\ &&&0&\lambda_{3}&1\\ &&&0&0&\lambda_{3}\\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&&\lambda_{m}&1\\ &&&&&&&0&\lambda_{m}\end{bmatrix}

질문 10.4.3.

대각행렬은 각 블록이 $1\times 1$ 인 특수한 경우임을 확인하십시오.

이것은 무슨 뜻입니까? 요컨대 우리의 꿈이 거의 이루어진다는 뜻입니다. 실제로 일어나는 일은 $V$ 를 다음과 같은 직합으로 분해할 수 있다는 것입니다

V=J_{1}\oplus J_{2}\oplus\dots\oplus J_{m}

그리고 $T$ 는 이 각각의 부분공간에 독립적으로 작용합니다. 이 부분공간들은 위 행렬의 블록들에 대응합니다. 가장 단순한 경우에는 $\dim J_{i}=1$ 이므로, $J_{i}$ 는 $T(e)=\lambda_{i}e$ 를 만족하는 기저 원소 $e$ 를 가집니다. 다시 말해 단순한 고윳값 하나가 있을 뿐입니다. 그러나 때로는 상황이 그렇게 단순하지 않아서 크기가 $1$ 보다 큰 블록이 생기며, 이 때문에 대각선 바로 위에 $1$ 들이 나타납니다.

이 $1$ 들을 어떻게 해석해야 하는지는 나중에 내림 계단이라는 용어를 만들어 낼 때 설명하겠습니다. 지금은 $\dim J_{i}\geq 2$ 이더라도 고윳값 $\lambda_{i}$ 에 대한 고유벡터인 기저 원소가 여전히 존재한다는 점에 주목하십시오.

예제 10.4.4 (조르당 표준형의 구체적인 예).

$T\colon k^{6}\to k^{6}$ 이라 하고, $T$ 가 다음 행렬로 주어진다고 가정합시다

T=\begin{bmatrix}5&0&0&0&0&0\\ 0&2&1&0&0&0\\ 0&0&2&0&0&0\\ 0&0&0&7&0&0\\ 0&0&0&0&3&0\\ 0&0&0&0&0&3\\ \end{bmatrix}.

행렬을 읽으면 모든 고유벡터와 고윳값을 계산할 수 있습니다. 임의의 상수 $a,b\in k$ 에 대하여 다음이 성립합니다

	$\displaystyle T(a\cdot e_{1})$	$\displaystyle=5a\cdot e_{1}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{2})$	$\displaystyle=2a\cdot e_{2}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{4})$	$\displaystyle=7a\cdot e_{4}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{5}+b\cdot e_{6})$	$\displaystyle=3\left[a\cdot e_{5}+b\cdot e_{6}\right].$

반면 원소 $e_{3}$ 는 $T(e_{3})=e_{2}+2e_{3}$ 이므로 고유벡터가 아닙니다.

10.5 멱영 사상

잠시만 참고 따라와 주십시오. 먼저 다음을 정의합니다:

정의 10.5.1.

어떤 정수 $m$ 에 대하여 $T^{m}$ 이 영사상이면 사상 $T\colon V\to V$ 를 멱영이라고 합니다. (여기서 $T^{m}$ 은 “ $T$ 를 $m$ 번 적용한 것”을 뜻합니다.)

멱영 사상의 예로는 무엇이 있습니까?

예제 10.5.2 (“내림 계단”).

$V=k^{\oplus 3}$ 의 기저를 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 라 합시다. 그러면 다음과 같이 보내는 사상 $T$ 는

e_{3}\mapsto e_{2}\mapsto e_{1}\mapsto 0

멱영입니다. $T(e_{1})=T^{2}(e_{2})=T^{3}(e_{3})=0$ 이므로 모든 $v\in V$ 에 대하여 $T^{3}(v)=0$ 이기 때문입니다.

$3\times 3$ 내림 계단의 행렬 표현은 다음과 같습니다

T=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}.

이것이 조르당 블록임을 알 수 있을 것입니다.

연습문제 10.5.3.

위의 내림 계단의 고윳값은 $0$ 뿐임을 보이십시오.

꽤 좋은 예입니다. 또 다른 예로, 이런 계단이 여러 개 있을 수도 있습니다.

예제 10.5.4 (이중 계단).

$V=k^{\oplus 5}$ 의 기저를 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $e_{4}$ , $e_{5}$ 라 합시다. 그러면 다음 사상은

e_{3}\mapsto e_{2}\mapsto e_{1}\mapsto 0\text{그리고}e_{5}\mapsto e_{4}\mapsto 0

멱영입니다.

강조를 위해 일부 0을 생략한 그림은 다음과 같습니다:

T=\begin{bmatrix}0&1&0&&\\ 0&0&1&&\\ 0&0&0&&\\ &&&0&1\\ &&&0&0\\ \end{bmatrix}

보다시피 이것은 앞의 예와 실제로 크게 다르지 않습니다. 같은 아이디어를 여러 번 반복한 것일 뿐입니다. 그리고 실제로 이제 우리는 모든 멱영 사상이 본질적으로 이러한 꼴을 가진다고 주장합니다.

정리 10.5.5 (멱영 조르당).

$V$ 를 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간이라 하고, $T\colon V\to V$ 를 멱영 사상이라 합시다. 그러면 $V=\bigoplus_{i=1}^{m}V_{i}$ 로 쓸 수 있는데, 여기서 각 $V_{i}$ 는 어떤 $v_{i}\in V_{i}$ 에 대하여 $v_{i}$ , $T(v_{i})$ , …, $T^{\dim V_{i}-1}(v_{i})$ 꼴의 기저를 가지며 $T^{\dim V_{i}}(v_{i})=0$ 을 만족합니다.

따라서:

모든 멱영 사상은 서로 독립적인 계단들로 볼 수 있습니다.

각 사슬 $v_{i}$ , $T(v_{i})$ , $T(T(v_{i}))$ , … 는 하나의 계단일 뿐입니다. 증명은 나중에 제시하겠지만, 먼저 이것이 어디로 향하는지 짚어 두겠습니다.

핵심은 이렇습니다. 이중 계단을 다시 살펴봅시다. 이를 행렬로 나타내면, 예를 들어 다음과 같습니다.

S=\begin{bmatrix}0&1&0&&\\ 0&0&1&&\\ 0&0&0&&\\ &&&0&1\\ &&&0&0\end{bmatrix}.

그러면 다음을 계산할 수 있습니다.

S+\lambda\mathrm{id}=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&&\\ 0&\lambda&1&&\\ 0&0&\lambda&&\\ &&&\lambda&1\\ &&&0&\lambda\end{bmatrix}.

$\lambda$ 조르당 블록 여러 개입니다! 이로써 앞으로 나아갈 계획이 생깁니다. $V$ 를 여러 부분공간으로 쪼개어 각 부분공간 위에서 $T-\lambda\mathrm{id}$ 가 멱영이 되도록 해야 합니다. 그러면 멱영 조르당 정리가 나머지를 마무리할 것입니다.

10.6 멱영인 경우로의 환원

정의 10.6.1.

$T\colon V\to V$ 라고 합시다. 부분공간 $W\subseteq V$ 가 임의의 $w\in W$ 에 대해 $T(w)\in W$ 를 만족하면 $W$ 를 $T$ - 불변이라고 합니다. 이렇게 하면 $T$ 를 사상 $W\to W$ 로 생각할 수 있습니다.

이런 식으로, 조르당 표준형은 $V$ 를 불변 부분공간들로 분해한 것입니다.

이제 조금 꾀를 부려서 다음과 같이 정의하겠습니다.

정의 10.6.2.

$W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 모두 자명하지 않은 $T$ -불변 공간이 되도록 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 로 쓰는 것이 불가능하면, 사상 $T\colon V\to V$ 를 분해 불가능하다고 합니다.

분해 가능한 사상의 그림:

\begin{bmatrix}\lx@intercol\hfil\hbox{\multirowsetup$W_{1}$}\hfil\lx@intercol% \vrule\lx@intercol&0&0&0\\ \lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\vrule\lx@intercol&0&0&0\\ \hline\cr 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hbox{\multirowsetup$W_{2}$}\hfil% \lx@intercol\\ 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\\ 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\end{bmatrix}

예상하셨겠지만, 공간을 “분해 불가능한” 부분들로 쪼갤 수 있습니다.

명제 10.6.3 (불변 부분공간 분해).

$V$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. 임의의 사상 $T\colon V\to V$ 가 주어지면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\dots\oplus V_{m}

여기서 각 $V_{i}$ 는 $T$ -불변이고, 임의의 $i$ 에 대해 사상 $T\colon V_{i}\to V_{i}$ 는 분해 불가능합니다.

증명.

모든 정수가 소수의 곱이라는 증명과 같습니다. $V$ 가 분해 가능하지 않으면 증명이 끝납니다. 그렇지 않으면 정의에 따라 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 로 쓴 다음, $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 각각에 대해 이를 반복하십시오. ∎

놀랍게도, 이것만으로 거의 다 끝났습니다! 위와 같은 분해를 생각하여 $T\colon V_{1}\to V_{1}$ 이 분해 불가능한 사상이 되도록 합시다. 그러면 $T$ 는 고윳값 $\lambda_{1}$ 을 가지므로 $S=T-\lambda_{1}\mathrm{id}$ 라고 합시다. 따라서 $\ker S\neq\{0\}$ 입니다.

질문 10.6.4.

$V_{1}$ 이 $S$ -불변이기도 하여 $S\colon V_{1}\to V_{1}$ 을 생각할 수 있음을 보이십시오.

문제 9I에 의해 다음이 성립합니다.

V_{1}=\ker S^{N}\oplus\operatorname{im}S^{N}

여기서 $N$ 은 적당한 수입니다. 그런데 $T$ 가 분해 불가능하다고 가정했으므로, 이는 $\operatorname{im}S^{N}=\{0\}$ 이고 $\ker S^{N}=V_{1}$ 인 경우에만 가능합니다( $\ker S^{N}$ 이 우리의 고유벡터를 포함하기 때문입니다). 따라서 $S$ 는 멱영이므로 계단들의 모임입니다. 사실 $T$ 가 분해 불가능하므로 계단은 하나뿐입니다. 따라서 원하던 대로 $V_{1}$ 은 조르당 블록입니다.

10.7 (선택) 멱영 조르당 정리의 증명

증명은 $\dim V$ 에 대한 귀납법일 뿐입니다. $\dim V\geq 1$ 이라고 가정하고, $W=T^{\text{img}}(V)$ 를 $V$ 의 상이라고 합시다. $T$ 가 멱영이므로 $W\subsetneq V$ 여야 합니다. 또한 $W=\{0\}$ 이면(즉 $T$ 가 영사상이면) 이미 증명이 끝납니다. 따라서 $\{0\}\subsetneq W\subsetneq V$ 라고 가정합시다.

귀납 가정에 의해 $W$ 의 좋은 기저를 고를 수 있습니다.

	$\displaystyle\mathcal{B}^{\prime}=\Big{\{}$	$\displaystyle T(v_{1}),T(T(v_{1})),T(T(T(v_{1}))),\dots$
		$\displaystyle T(v_{2}),T(T(v_{2})),T(T(T(v_{2}))),\dots$
		$\displaystyle\dots,$
		$\displaystyle T(v_{\ell}),T(T(v_{\ell})),T(T(T(v_{\ell}))),\dots\Big{\}}$

여기서 $T(v_{i})\in W$ 는 적당한 원소입니다(여기서는 $W$ 의 각 원소가 그 자체로 어떤 $v$ 에 대해 $T(v)$ 꼴이라는 사실을 이용했습니다).

또한 $\mathcal{B}^{\prime}$ 의 원소 중 $\ker T$ 에 속하는 것은 정확히 $\ell$ 개임에 주목하십시오(즉 $\ell$ 개의 계단 각각의 마지막 원소입니다). 따라서 $v_{\ell+1},\dots,v_{m}$ 을 추가하여 이를 기저로 확장할 수 있습니다(여기서 $m=\dim\ker T$ 입니다). (다시 말해, 각 계단의 마지막 원소와 새로운 $m-\ell$ 개의 원소를 합치면 $\ker T$ 의 기저가 됩니다.)

이제 다음을 생각해 봅시다.

	$\displaystyle\mathcal{B}=\Big{\{}$	$\displaystyle v_{1},T(v_{1}),T(T(v_{1})),T(T(T(v_{1}))),\dots$
		$\displaystyle v_{2},T(v_{2}),T(T(v_{2})),T(T(T(v_{2}))),\dots$
		$\displaystyle\dots,$
		$\displaystyle v_{\ell},T(v_{\ell}),T(T(v_{\ell})),T(T(T(v_{\ell}))),\dots$
		$\displaystyle v_{\ell+1},v_{\ell+2},\dots,v_{m}\Big{\}}.$

질문 10.7.1.

원소가 정확히 $\ell+\dim W+(\dim\ker T-\ell)=\dim V$ 개 있음을 확인하십시오.

연습문제 10.7.2.

모든 원소가 선형 독립임을 보이십시오. (귀류법을 위해 어떤 선형 종속 관계가 있다고 가정한 다음, 양변에 $T$ 를 적용하십시오.)

따라서 $\mathcal{B}$ 는 원하는 형태의 기저입니다.

10.8 대수적 중복도와 기하적 중복도

대표적인 예: 아래의 행렬 $T$ .

다음은 편리한 표기법입니다. 조르당 표준형으로 쓰인 다음 행렬을 생각해 봅시다

T=\begin{bmatrix}7&1\\ 0&7\\ &&9\\ &&&7&1&0\\ &&&0&7&1\\ &&&0&0&7\end{bmatrix}.

고윳값 $7$ 에 주목합시다. 이 고윳값은 여러 번 나타나므로 분명히 “중복”되어 있습니다. 하지만 이것이 중복되어 있다고 말할 수 있는 의미는 서로 다른 두 가지입니다.

•

대수적: 대각선에 다섯 번 나타나므로 다섯 번 중복되었다고 말할 수 있습니다.
•

기하적: 실제로는 두 번만 나타난다고 말할 수도 있습니다. 고윳값이 $7$ 인 고유벡터는 $e_{1}$ 과 $e_{4}$ 두 개뿐이기 때문입니다.

실제로 예를 들어 벡터 $e_{2}$ 는 $T(e_{2})=7e_{2}+e_{1}$ 이므로 진정한 고유벡터가 아닙니다! 하지만 $e_{2}$ 에 $T-7\mathrm{id}$ 를 두 번 적용하면 실제로 0이 됩니다.

질문 10.8.1.

이 예에서 $e_{6}$ 에 $T-7\mathrm{id}$ 를 몇 번 적용해야 0이 됩니까?

두 개념 모두 타당하므로 둘 다 이름을 붙이겠습니다. 일반성을 유지하기 위해 먼저 “내재적” 정의를 제시하겠습니다.

정의 10.8.2.

$T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라 하고 $\lambda$ 를 스칼라라 합시다.

•

$\lambda$ 의 기하적 중복도는 $\lambda$ -고유공간의 차원 $\dim V_{\lambda}$ 입니다.
•

일반화된 고유공간 $V^{\lambda}$ 를 어떤 $n\geq 1$ 에 대해 $(T-\lambda\mathrm{id})^{n}(v)=0$ 을 만족하는 $V$ 의 부분공간으로 정의합니다. $\lambda$ 의 대수적 중복도는 차원 $\dim V^{\lambda}$ 입니다.

(사소한 경계 사례: $\lambda$ 가 아예 고윳값이 아니면 “중복도 0”을 허용합니다.)

하지만 실제로는 조르당 블록의 개수를 세기만 하면 됩니다.

예제 10.8.3 (조르당 표준형을 통한 고유공간의 예).

앞에서 언급한 행렬 $T$ 를 그대로 사용하고 $\lambda=7$ 이라 합시다.

•

고유공간 $V_{\lambda}$ 는 기저 $e_{1}$ 과 $e_{4}$ 를 가지므로 기하적 중복도는 $2$ 입니다.
•

일반화된 고유공간 $V^{\lambda}$ 는 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{4}$ , $e_{5}$ , $e_{6}$ 을 가지므로 대수적 중복도는 $5$ 입니다.

완전히 명시적으로 말하자면, 실제로는 이것들을 다음과 같이 생각하면 됩니다:

명제 10.8.4 (기하적 중복도, 대수적 중복도와 조르당 블록).

$T\colon V\to V$ 가 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 사상이고 조르당 표준형으로 쓰여 있다고 가정합시다. $\lambda$ 를 스칼라라 합시다. 그러면

•

$\lambda$ 의 기하적 중복도는 고윳값이 $\lambda$ 인 조르당 블록의 개수이며, 고유공간은 조르당 블록마다 기저 원소를 하나씩 가집니다.
•

$\lambda$ 의 대수적 중복도는 고윳값이 $\lambda$ 인 조르당 블록들의 차원의 합이며, 고유공간은 그 블록들에 대응하는 부분공간들의 직합입니다.

증명.

정의 10.8.2는 본질적으로 이 명제를 기저 없이 바꾸어 말한 것이 되도록 정한 것입니다. ∎

질문 10.8.5.

기하적 중복도가 항상 대수적 중복도보다 작거나 같음을 보이십시오.

이로부터 사실 잠정적인 정의를 하나 얻습니다.

•

대각합은 고윳값을 대수적 중복도만큼 세어 모두 더한 것입니다.
•

행렬식은 고윳값을 대수적 중복도만큼 세어 모두 곱한 것입니다.

이 정의도 괜찮지만, 기초체가 대수적으로 닫혀 있어야 한다는 단점이 있습니다. 또한 계산할 때 다루기 가장 쉬운 정의도 아닙니다. 다음 두 장에서 더 나은 정의를 얻게 됩니다.

10.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 10A (대수적 중복도의 합).

$2018$ 차원 복소 벡터 공간 $V$ 와 사상 $T\colon V\to V$ 가 주어졌을 때, $T$ 의 모든 고윳값의 대수적 중복도를 더하면 얼마입니까?

풀이. 그냥 $\dim V=2018$ 입니다. 결국 조르당 블록들의 차원을 더하는 것이기 때문입니다…

문제 10B (“대각화 가능”이라는 말).

선형 사상 $T\colon V\to V$ (단, $\dim V$ 는 유한)에 대하여, 각 $e_{i}$ 가 고유벡터인 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 이 존재하면 $T$ 를 대각화 가능하다고 합니다.

(a)

“대각화 가능”이라는 이름이 붙은 이유를 설명하십시오.
(b)

대수적으로 닫힌 체 위에서 다루고 있다고 가정합시다. 그러면 $T$ 가 대각화 가능할 필요충분조건은 모든 $\lambda$ 에 대하여 $\lambda$ 의 기하적 중복도가 $\lambda$ 의 대수적 중복도와 같은 것임을 보이십시오.

풀이. (a): 그러한 기저로 $T$ 를 행렬로 나타내면 대각행렬을 얻습니다. (b): 이는 단지 각 조르당 블록의 차원이 $1$ 이라는 말이며, 이것이 바로 우리가 원하던 것입니다. (여기서는 조르당 표준형의 유일성을 암묵적으로 사용하고 있습니다.)

문제 10C (맞바꾸기).

$V$ 를 기저가 $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 인 $\mathbb{C}$ -벡터 공간이라고 합시다. 사상 $T\colon V\to V$ 는 $T(e_{1})=e_{2}$ , $T(e_{2})=e_{1}$ 로 보냅니다. $T$ 의 고유공간을 구하십시오.

풀이. $+1$ 고유공간은 $e_{1}+e_{2}$ 로 생성됩니다. $-1$ 고유공간은 $e_{1}-e_{2}$ 로 생성됩니다.

문제 10D.

$T\colon\mathbb{C}^{\oplus 2}\to\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 가 $T^{2011}=\mathrm{id}$ 를 만족하는 $\mathbb{C}$ -벡터 공간의 선형 사상이라고 합시다. $T$ 는 반드시 대각화 가능합니까?

힌트. 답은 ’그렇다’입니다. 사실 $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 가 임의의 유한차원 $\mathbb{C}$ -벡터 공간이어도 이 결과는 성립합니다.

문제 10E (다항식 거꾸로 쓰기).

차수가 $2$ 이하인 다항식들의 복소 벡터 공간 $V$ , 즉 $V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{C}\right\}$ 를 정의합시다. $T\colon V\to V$ 를 다음과 같이 정의합니다

T(ax^{2}+bx+c)=cx^{2}+bx+a.

$T$ 의 고유공간을 구하십시오.

풀이. $+1$ 고유공간은 $1+x^{2}$ 와 $x$ 로 생성됩니다. $-1$ 고유공간은 $1-x^{2}$ 로 생성됩니다.

문제 10F (다항식의 미분).

$V=\mathbb{R}[x]$ 를 실계수 다항식 전체로 이루어진 무한차원 실벡터 공간이라고 합시다. $\frac{d}{dx}\colon V\to V$ 는 선형 사상임에 주목하십시오(예를 들어 $x^{3}$ 을 $3x^{2}$ 로 보냅니다). 어떤 실수들이 이 사상의 고윳값입니까?

힌트. $0$ 뿐입니다. 차수를 살펴보십시오.

풀이. 상수 함수는 미분하면 0이 되며, 이들만이 유일한 $0$ -고유벡터입니다. 다른 고유벡터는 존재할 수 없습니다. $\deg p>0$ 이면 $\deg p^{\prime}=\deg p-1$ 이므로, $p^{\prime}$ 이 $p$ 의 상수 실수배라면 $p^{\prime}=0$ 이어야 하고, 따라서 $p$ 는 상수이기 때문입니다.

문제 10G (함수의 미분).

$V$ 를 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 인 무한 번 미분 가능 함수 전체로 이루어진 무한 차원 실벡터 공간이라고 합시다. $\frac{d}{dx}\colon V\to V$ 는 선형 사상임에 유의하십시오(예를 들어 이 사상은 $\cos x$ 를 $-\sin x$ 로 보냅니다). 어떤 실수들이 이 사상의 고윳값입니까?

힌트. 모든 실수가 고윳값입니다!

풀이. $e^{cx}$ 는 모든 $c$ 에 대하여 $c$ -고유벡터의 한 예입니다. 미분방정식을 아신다면, 이것들이 모든 예를 생성한다는 것을 아실 것입니다!