장 10 고유한 것들

이 장에서는 고윳값과 고유벡터의 이론, 이른바 ”조르당 표준형(Jordan canonical form)”을 전개합니다. (이후에는 이를 이용하여 특성다항식을 정의할 것입니다.)

10.1 관심을 가져야 하는 이유

정사각행렬 $T$ 는 사실상 $V$ 에서 $V$ 로 가는 선형 사상일 뿐입니다. 가장 단순한 형태의 선형 사상은 무엇일까요? 그것은 단순히 어떤 스칼라 $\lambda$ 를 곱하는 것으로, 이는 (어떤 기저에서든!) 다음과 같은 행렬을 갖습니다

T=\begin{bmatrix}\lambda&0&\dots&0\\ 0&\lambda&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda\end{bmatrix}.

하지만 이는 어쩌면 지나치게 단순합니다. 만약 고정된 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 가 있다면, 또 다른 매우 ”단순한” 연산은 각 기저 원소 $e_{i}$ 를 $\lambda_{i}$ 로 스케일하는 것, 즉 다음과 같은 형태의 대각행렬(diagonal matrix)일 것입니다

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}.

이러한 사상은 더 일반적입니다. 실제로 예를 들어 $T^{100}$ 을 순식간에 계산할 수 있습니다: 이 사상은 $e_{i}\to\lambda_{i}^{100}e_{i}$ 로 보냅니다. (임의의 $n\times n$ 행렬로 그렇게 해보십시오.)

물론 대부분의 선형 사상은 아마 그렇게 좋지 않을 것입니다. 정말 그럴까요?

예제 10.1.1 (운이 좋은 경우).

$V$ 를 $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 를 기저 원소로 갖는 어떤 2차원 벡터 공간이라 합시다. $e_{1}\mapsto 2e_{1}$ 이고 $e_{2}\mapsto e_{1}+3e_{2}$ 인 사상 $T\colon V\to V$ 를 생각해 봅시다. 이는 다음과 같이 구체적으로 쓸 수도 있습니다

T=\begin{bmatrix}2&1\\ 0&3\end{bmatrix}\quad\text{기저 $e_{1}$, $e_{2}$에서}.

이는 다음과 같이 다시 쓸 수 있음을 깨닫기 전까지는 전혀 좋아 보이지 않습니다

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle\mapsto 2e_{1}$
	$\displaystyle e_{1}+e_{2}$	$\displaystyle\mapsto 3(e_{1}+e_{2}).$

이제 기저를 $e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 로 바꾼다고 합시다. 그러면 새로운 기저에서는

T=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&3\end{bmatrix}\quad\text{기저 $e_{1}$, $e_{1}+e_{2}$에서}.

이렇게 우리의 완전히 무작위로 보이던 사상이, 적절한 기저 변환 아래에서는 앞서 설명한 매우 좋은 사상들처럼 보입니다!

이 장에서 우리는 그러한 운을 만들어낼 것이며, 행렬에 대한 더 나은 이해가 이를 생각하는 올바른 방법을 준다는 것을 보게 될 것입니다.

10.2 가정에 관한 주의사항

이 장의 대부분의 정리는 다음의 경우에만 성립합니다

•

유한 차원 벡터 공간 $V$ 에 대하여,
•

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위에서.

반면 정의는 이러한 가정 없이도 잘 성립합니다.

10.3 고유벡터와 고윳값

$k$ 를 체라 하고 $V$ 를 그 위의 벡터 공간이라 합시다. 위의 예에서 우리는 $V$ 에 대해 매우 단순한 작용을 하는 두 개의 매우 좋은 벡터, $e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 가 있음을 보았습니다. 당연히 이러한 벡터들에는 이름이 있습니다.

정의 10.3.1.

$T\colon V\to V$ 이고 $v\in V$ 를 영이 아닌 벡터라 합시다. 어떤 $\lambda\in k$ 에 대해 $T(v)=\lambda v$ 이면 (영일 수도 있지만, $v\neq 0$ 임을 기억하십시오) $v$ 를 고유벡터(eigenvector)라고 합니다. 값 $\lambda$ 는 $T$ 의 고윳값(eigenvalue)이라고 합니다.

때로는 ” $v$ 는 고윳값 $\lambda$ 를 갖는 고유벡터이다”를 간단히 ” $v$ 는 $\lambda$ -고유벡터이다”로 줄여 쓸 것입니다.

물론, 어디에도 기저에 대한 언급은 없습니다.

예제 10.3.2 (고유벡터와 고윳값의 예).

$T=\begin{bmatrix}2&1\\ 0&3\end{bmatrix}$ 을 사용한 앞의 예를 생각해 봅시다.

(a)

$e_{1}$ 과 $e_{1}+e_{2}$ 는 각각 $2$ -고유벡터와 $3$ -고유벡터임에 유의하십시오.
(b)

물론 $5e_{1}$ 또한 $2$ -고유벡터입니다.
(c)

그리고 $7e_{1}+7e_{2}$ 또한 $3$ -고유벡터입니다.

그러므로 다음 관찰을 빠르게 확인할 수 있습니다.

질문 10.3.3.

$\lambda$ -고유벡터들이 $\{0\}$ 과 함께 부분공간을 이룸을 보이십시오.

정의 10.3.4.

임의의 $\lambda$ 에 대해, $\lambda$ - 고유공간을 $\lambda$ -고유벡터들과 $0$ 을 함께 모은 집합으로 정의합니다.

이를 통해 “ $2$ 는 $T$ 의 고윳값이며 그 고유공간은 $e_{1}$ 이 생성하는 1차원 공간이다”라고 간결하게 서술할 수 있습니다.

안타깝게도, 고윳값이 항상 존재한다는 것은 정확히 참이 아닙니다.

예제 10.3.5 (고윳값은 존재하지 않을 수도 있습니다).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 이라 하고, $T$ 를 원점을 중심으로 벡터를 $90^{\circ}$ 회전시키는 사상이라 합시다. 그러면 자명한 경우인 $v=0$ 을 제외하면, 어떠한 $v\in V$ 에 대해서도 $T(v)$ 는 $v$ 의 배수가 아닙니다.

그러나 $k$ 를 대수적으로 닫힌 체로 바꾸면 이는 참입니다.¹¹1체가 대수적으로 닫혀 있다는 것은 그 체의 모든 다항식이 근을 가짐을 뜻하며, 그 대표적인 예가 $\mathbb{C}$ 입니다.

정리 10.3.6 (대수적으로 닫힌 체 위에서는 고윳값이 항상 존재합니다).

$k$ 가 대수적으로 닫힌 체라고 가정합시다. $V$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간이라고 합시다. 그러면 $T\colon V\to V$ 가 선형 사상이면, 고윳값 $\lambda\in k$ 가 존재합니다.

증명.

([AXL97]에서 인용) 이 증명의 핵심 아이디어는 $T$ 에 대한 “다항식”을 고려하는 것입니다. 예를 들어 $2T^{2}-4T+5$ 는 $2T(T(v))-4T(v)+5v$ 의 축약 표기입니다. 이런 식으로 “다항식” $P(T)$ 를 고려할 수 있으며, 이를 통해 “대수적으로 닫혀 있다”라는 조건을 결부시킬 수 있습니다. 이 다항식들은 다음과 같이 잘 작동합니다:

질문 10.3.7.

$P(T)+Q(T)=(P+Q)(T)$ 이고 $P(T)\circ Q(T)=(P\cdot Q)(T)$ 임을 보이십시오.

$n=\dim V<\infty$ 라 하고 임의의 0이 아닌 벡터 $v\in V$ 를 고정한 다음, 벡터 $v$ , $T(v)$ , …, $T^{n}(v)$ 를 생각해 봅시다. 이들은 $n+1$ 개이므로 차원상의 이유로 선형독립일 수 없습니다. 따라서 $v$ 에 적용했을 때 $P(T)$ 가 0이 되는 0이 아닌 다항식 $P$ 가 존재합니다. 일반성을 잃지 않고 $P$ 가 모닉 다항식이라 하면, $P(z)=(z-r_{1})\dots(z-r_{m})$ 이라 할 수 있습니다. 그러면 다음을 얻습니다

0=(T-r_{1}\mathrm{id})\circ(T-r_{2}\mathrm{id})\circ\dots\circ(T-r_{m}\mathrm{% id})(v)

( $\mathrm{id}$ 는 항등행렬입니다). 이는 $T-r_{i}\mathrm{id}$ 중 적어도 하나는 단사가 아니라는 것, 즉 자명하지 않은 핵을 가진다는 것을 의미하며, 이는 고유벡터를 가지는 것과 같습니다. ∎

그래서 일반적으로 우리는 대수적으로 닫힌 체를 고려하는 것을 선호합니다. 이는 큰 손실이 아닙니다: 예를 들어, 임의의 실행렬은 그 성분이 우연히 실수인 복소행렬로 해석할 수 있습니다.

10.4 조르당 형식

제가 어디로 향하는지 정확히 알 수 있도록, 여기 주요 정리를 소개합니다.

정의 10.4.1.

조르당 블록은 다음과 같은 형태의 $n\times n$ 행렬입니다.

\begin{bmatrix}\lambda&1&0&0&\dots&0&0\\ 0&\lambda&1&0&\dots&0&0\\ 0&0&\lambda&1&\dots&0&0\\ 0&0&0&\lambda&\dots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&\dots&\lambda&1\\ 0&0&0&0&\dots&0&\lambda\end{bmatrix}.

다시 말해, 대각선 위에는 $\lambda$ 가, 그 바로 위에는 $1$ 이 있습니다. $n=1$ 도 허용하므로, $\begin{bmatrix}\lambda\end{bmatrix}$ 도 조르당 블록입니다.

정리 10.4.2 (조르당 표준형).

$T\colon V\to V$ 가 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간들 사이의 선형 사상이라고 합시다. 그러면 $V$ 의 기저를 적절히 선택하여, 각 블록이 조르당 블록이 되도록 행렬 $T$ 가 “블록 대각”이 되게 할 수 있습니다.

이러한 행렬을 조르당 형식이라고 합니다. 이 형식은 블록들의 순서를 재배열하는 것을 제외하면 유일합니다.

예를 들어, 이는 행렬이 다음과 같은 모습이어야 함을 의미합니다:

\begin{bmatrix}\lambda_{1}&1\\ 0&\lambda_{1}\\ &&\lambda_{2}\\ &&&\lambda_{3}&1&0\\ &&&0&\lambda_{3}&1\\ &&&0&0&\lambda_{3}\\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&&\lambda_{m}&1\\ &&&&&&&0&\lambda_{m}\end{bmatrix}

질문 10.4.3.

각 블록이 $1\times 1$ 일 때가 대각행렬의 특수한 경우임을 확인하십시오.

이것은 무엇을 의미할까요? 기본적으로, 이는 우리의 꿈이 거의 실현되었음을 의미합니다. 여기서 일어나는 일은 $V$ 가 다음과 같은 직합으로 분해될 수 있다는 것입니다

V=J_{1}\oplus J_{2}\oplus\dots\oplus J_{m}

그리고 $T$ 는 이 부분공간들 각각에 독립적으로 작용합니다. 이 부분공간들은 위 행렬의 블록들에 대응됩니다. 가장 단순한 경우, $\dim J_{i}=1$ 이므로, $J_{i}$ 는 $T(e)=\lambda_{i}e$ 를 만족하는 기저 원소 $e$ 를 가지게 됩니다. 다시 말해, 우리는 단순히 단순 고윳값을 가지는 것입니다. 하지만 때로는 상황이 그리 단순하지 않아서, $1$ 보다 큰 크기의 블록을 가지게 되는데, 이는 대각선 바로 위에 $1$ 들이 나타나게 만듭니다.

$1$ 들을 어떻게 해석해야 하는지는, 제가 하강 계단이라는 단어를 만들 때 나중에 설명하겠습니다. 지금은 $\dim J_{i}\geq 2$ 이더라도, 우리는 여전히 고윳값 $\lambda_{i}$ 를 가지는 고유벡터인 기저 원소를 가진다는 점에 주목하십시오.

예제 10.4.4 (조르당 표준형의 구체적인 예시).

$T\colon k^{6}\to k^{6}$ 이라 하고, $T$ 가 다음 행렬로 주어진다고 합시다

T=\begin{bmatrix}5&0&0&0&0&0\\ 0&2&1&0&0&0\\ 0&0&2&0&0&0\\ 0&0&0&7&0&0\\ 0&0&0&0&3&0\\ 0&0&0&0&0&3\\ \end{bmatrix}.

행렬을 읽으면, 우리는 모든 고유벡터와 고윳값을 계산할 수 있습니다. 임의의 상수 $a,b\in k$ 에 대해 우리는 다음을 가집니다

	$\displaystyle T(a\cdot e_{1})$	$\displaystyle=5a\cdot e_{1}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{2})$	$\displaystyle=2a\cdot e_{2}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{4})$	$\displaystyle=7a\cdot e_{4}$
	$\displaystyle T(a\cdot e_{5}+b\cdot e_{6})$	$\displaystyle=3\left[a\cdot e_{5}+b\cdot e_{6}\right].$

반면 원소 $e_{3}$ 는 $T(e_{3})=e_{2}+2e_{3}$ 이므로 고유벡터가 아닙니다.

10.5 멱영 사상

잠시만 참아 주십시오. 먼저, 다음과 같이 정의합니다:

정의 10.5.1.

사상 $T\colon V\to V$ 는, 어떤 정수 $m$ 에 대해 $T^{m}$ 이 영사상이면 멱영이라고 합니다. (여기서 $T^{m}$ 은 ” $T$ 를 $m$ 번 적용한 것”을 의미합니다.)

멱영 사상의 예시는 무엇일까요?

예제 10.5.2 (”하강 계단”).

$V=k^{\oplus 3}$ 이 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 가진다고 합시다. 그러면 다음을 보내는 사상 $T$ 는

e_{3}\mapsto e_{2}\mapsto e_{1}\mapsto 0

$T(e_{1})=T^{2}(e_{2})=T^{3}(e_{3})=0$ 이므로 멱영이며, 따라서 모든 $v\in V$ 에 대해 $T^{3}(v)=0$ 입니다.

$3\times 3$ 하강 계단은 다음과 같은 행렬 표현을 가집니다

T=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}.

이것이 조르당 블록임을 알아차리실 것입니다.

연습문제 10.5.3.

위의 하강 계단이 $0$ 을 유일한 고윳값으로 가짐을 보이십시오.

이것은 꽤 좋은 예시입니다. 또 다른 예시로, 우리는 이러한 계단을 여러 개 가질 수 있습니다.

예제 10.5.4 (이중 계단).

$V=k^{\oplus 5}$ 가 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ , $e_{4}$ , $e_{5}$ 를 가진다고 합시다. 그러면 다음 사상은

e_{3}\mapsto e_{2}\mapsto e_{1}\mapsto 0\text{그리고}e_{5}\mapsto e_{4}\mapsto 0

멱영입니다.

강조를 위해 일부 $0$ 을 생략한 그림입니다.

T=\begin{bmatrix}0&1&0&&\\ 0&0&1&&\\ 0&0&0&&\\ &&&0&1\\ &&&0&0\\ \end{bmatrix}

이것이 앞의 예와 실제로 그리 다르지 않다는 것을 알 수 있는데, 같은 아이디어가 여러 번 반복된 것에 불과합니다. 그리고 실제로 이제 우리는 모든 멱영 사상이 본질적으로 그러한 형태를 가진다고 주장합니다.

정리 10.5.5 (멱영 조르당).

$V$ 가 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. $T\colon V\to V$ 가 멱영 사상이라고 합시다. 그러면 $V=\bigoplus_{i=1}^{m}V_{i}$ 로 쓸 수 있는데, 여기서 각 $V_{i}$ 는 어떤 $v_{i}\in V_{i}$ 에 대해 $v_{i}$ , $T(v_{i})$ , …, $T^{\dim V_{i}-1}(v_{i})$ 형태의 기저를 가지며, $T^{\dim V_{i}}(v_{i})=0$ 을 만족합니다.

따라서:

모든 멱영 사상은 독립적인 계단들로 볼 수 있습니다.

각 사슬 $v_{i}$ , $T(v_{i})$ , $T(T(v_{i}))$ , … 는 그저 하나의 계단일 뿐입니다. 증명은 나중에 제시하겠지만, 먼저 이것이 어디로 향하는지 짚어보겠습니다.

여기 핵심이 있습니다. 다시 이중 계단을 살펴봅시다. 이를 행렬로 나타내면, 예를 들어

S=\begin{bmatrix}0&1&0&&\\ 0&0&1&&\\ 0&0&0&&\\ &&&0&1\\ &&&0&0\end{bmatrix}.

그러면 다음을 계산할 수 있습니다

S+\lambda\mathrm{id}=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&&\\ 0&\lambda&1&&\\ 0&0&\lambda&&\\ &&&\lambda&1\\ &&&0&\lambda\end{bmatrix}.

$\lambda$ 조르당 블록들이 잔뜩 나옵니다! 이는 우리에게 나아갈 방향을 제시해 줍니다: $V$ 를 여러 부분공간으로 쪼개어 각 부분공간에서 $T-\lambda\mathrm{id}$ 가 멱영이 되도록 해야 합니다. 그러면 멱영 조르당 정리가 나머지를 마무리해 줄 것입니다.

10.6 멱영인 경우로의 환원

정의 10.6.1.

$T\colon V\to V$ 라 합시다. 부분공간 $W\subseteq V$ 는 임의의 $w\in W$ 에 대해 $T(w)\in W$ 일 때 $T$ - 불변이라고 부릅니다. 이렇게 하면 $T$ 는 사상 $W\to W$ 로 생각할 수 있습니다.

이런 식으로, 조르당 표준형은 $V$ 를 불변 부분공간들로 분해한 것입니다.

이제 조금 편한 방법을 써서, 다음과 같이 정의하겠습니다:

정의 10.6.2.

사상 $T\colon V\to V$ 는, $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 가 모두 자명하지 않은 $T$ -불변 공간인 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 를 쓰는 것이 불가능할 때 분해 불가능하다고 부릅니다.

분해 가능한 사상의 그림:

\begin{bmatrix}\lx@intercol\hfil\hbox{\multirowsetup$W_{1}$}\hfil\lx@intercol% \vrule\lx@intercol&0&0&0\\ \lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\vrule\lx@intercol&0&0&0\\ \hline\cr 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hbox{\multirowsetup$W_{2}$}\hfil% \lx@intercol\\ 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\\ 0&0&\vrule\lx@intercol\hfil\hfil\lx@intercol\end{bmatrix}

예상하시다시피, 공간을 ”분해 불가능한” 부분들로 쪼갤 수 있습니다.

명제 10.6.3 (불변 부분공간 분해).

$V$ 를 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. 임의의 사상 $T\colon V\to V$ 가 주어지면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다

V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\dots\oplus V_{m}

여기서 각 $V_{i}$ 는 $T$ -불변이며, 임의의 $i$ 에 대해 사상 $T\colon V_{i}\to V_{i}$ 는 분해 불가능합니다.

증명.

모든 정수가 소수의 곱이라는 증명과 같습니다. $V$ 가 분해 가능하지 않다면 증명이 끝납니다. 그렇지 않다면, 정의에 따라 $V=W_{1}\oplus W_{2}$ 로 쓰고 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 각각에 대해 반복합니다. ∎

놀랍게도, 이것만으로도 거의 끝난 셈입니다! 위와 같은 분해를 생각해 봅시다. 즉 $T\colon V_{1}\to V_{1}$ 이 분해 불가능한 사상이라고 합시다. 그러면 $T$ 는 고윳값 $\lambda_{1}$ 을 가지므로, $S=T-\lambda_{1}\mathrm{id}$ 라 하면 $\ker S\neq\{0\}$ 입니다.

질문 10.6.4.

$V_{1}$ 이 또한 $S$ -불변임을 보이십시오. 따라서 $S\colon V_{1}\to V_{1}$ 을 고려할 수 있습니다.

문제 9I에 의해, 다음을 얻습니다

V_{1}=\ker S^{N}\oplus\operatorname{im}S^{N}

어떤 $N$ 에 대해서 말입니다. 그런데 $T$ 가 분해 불가능하다고 가정했으므로, 이는 $\operatorname{im}S^{N}=\{0\}$ 이고 $\ker S^{N}=V_{1}$ 일 때만 일어날 수 있습니다( $\ker S^{N}$ 이 우리의 고유벡터를 포함하기 때문입니다). 따라서 $S$ 는 멱영이므로 계단들의 모임입니다. 사실, $T$ 가 분해 불가능하므로 계단은 오직 하나뿐입니다. 따라서 $V_{1}$ 은 원하는 대로 조르당 블록입니다.

10.7 (선택 사항) 멱영 조르당 정리의 증명

증명은 그저 $\dim V$ 에 대한 귀납법입니다. $\dim V\geq 1$ 이라 가정하고, $W=T^{\text{img}}(V)$ 를 $V$ 의 상이라 합시다. $T$ 가 멱영이므로 $W\subsetneq V$ 일 수밖에 없습니다. 더욱이, $W=\{0\}$ 이면(즉 $T$ 가 영사상이면) 이미 증명이 끝납니다. 따라서 $\{0\}\subsetneq W\subsetneq V$ 라 가정합시다.

귀납 가정에 의해, $W$ 의 좋은 기저를 선택할 수 있습니다:

	$\displaystyle\mathcal{B}^{\prime}=\Big{\{}$	$\displaystyle T(v_{1}),T(T(v_{1})),T(T(T(v_{1}))),\dots$
		$\displaystyle T(v_{2}),T(T(v_{2})),T(T(T(v_{2}))),\dots$
		$\displaystyle\dots,$
		$\displaystyle T(v_{\ell}),T(T(v_{\ell})),T(T(T(v_{\ell}))),\dots\Big{\}}$

어떤 $T(v_{i})\in W$ 에 대해서 말입니다(여기서 $W$ 의 각 원소가 그 자체로 어떤 $v$ 에 대해 $T(v)$ 의 형태라는 사실을 활용했습니다).

또한, $\mathcal{B}^{\prime}$ 의 원소 중 정확히 $\ell$ 개가 $\ker T$ 에 속함을 주목하십시오(즉 $\ell$ 개의 계단 각각의 마지막 원소입니다). 따라서 이를 확장하여 기저 $v_{\ell+1},\dots,v_{m}$ 을 만들 수 있습니다(여기서 $m=\dim\ker T$ 입니다). (다시 말해, 각 계단의 마지막 원소와 새로 추가된 $m-\ell$ 개의 원소가 $\ker T$ 의 기저를 이룹니다.)

이제 다음을 고려합시다

	$\displaystyle\mathcal{B}=\Big{\{}$	$\displaystyle v_{1},T(v_{1}),T(T(v_{1})),T(T(T(v_{1}))),\dots$
		$\displaystyle v_{2},T(v_{2}),T(T(v_{2})),T(T(T(v_{2}))),\dots$
		$\displaystyle\dots,$
		$\displaystyle v_{\ell},T(v_{\ell}),T(T(v_{\ell})),T(T(T(v_{\ell}))),\dots$
		$\displaystyle v_{\ell+1},v_{\ell+2},\dots,v_{m}\Big{\}}.$

질문 10.7.1.

원소가 정확히 $\ell+\dim W+(\dim\ker T-\ell)=\dim V$ 개 있음을 확인하십시오.

연습문제 10.7.2.

모든 원소가 선형독립임을 보이십시오. (귀류법으로 어떤 선형종속 관계가 있다고 가정한 다음, 양변에 $T$ 를 취하십시오.)

따라서 $\mathcal{B}$ 는 원하는 형태의 기저입니다.

10.8 대수적 중복도와 기하적 중복도

대표적인 예: 아래의 행렬 $T$ .

이는 편리한 표기법입니다: 조르당 형식으로 된 행렬을 살펴봅시다

T=\begin{bmatrix}7&1\\ 0&7\\ &&9\\ &&&7&1&0\\ &&&0&7&1\\ &&&0&0&7\end{bmatrix}.

여러 번 등장하는 고윳값 $7$ 에 주목합니다. 이는 분명히 ”중복”됩니다. 하지만 이것이 중복된다고 말할 수 있는 서로 다른 두 가지 의미가 있습니다.

•

대수적: 대각선에 다섯 번 등장하므로 다섯 번 중복된다고 말할 수 있습니다.
•

기하적: 실제로는 두 번만 등장한다고 말할 수 있습니다. 고윳값 $7$ 을 갖는 고유벡터는 $e_{1}$ 과 $e_{4}$ 단 두 개뿐이기 때문입니다.

실제로 예를 들어 벡터 $e_{2}$ 는 $T(e_{2})=7e_{2}+e_{1}$ 을 만족하므로 진정한 고유벡터가 아닙니다! 하지만 $e_{2}$ 에 $T-7\mathrm{id}$ 를 두 번 적용하면 정말로 영이 됩니다.

질문 10.8.1.

이 예제에서 $e_{6}$ 에 $T-7\mathrm{id}$ 를 몇 번 적용해야 영이 되겠습니까?

두 개념 모두 타당하므로 둘 다 이름을 붙이겠습니다. 일반성을 유지하기 위해 먼저 ”본질적인” 정의를 서술하겠습니다.

정의 10.8.2.

$T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라 하고 $\lambda$ 를 스칼라라 합시다.

•

$\lambda$ 의 기하적 중복도는 $\lambda$ -고유공간의 차원 $\dim V_{\lambda}$ 입니다.
•

일반화된 고유공간 $V^{\lambda}$ 를 어떤 $n\geq 1$ 에 대해 $(T-\lambda\mathrm{id})^{n}(v)=0$ 을 만족하는 $V$ 의 부분공간으로 정의합니다. $\lambda$ 의 대수적 중복도는 차원 $\dim V^{\lambda}$ 입니다.

(사소한 경계 사례: $\lambda$ 가 애초에 고윳값이 아닌 경우 ”중복도 영”을 허용합니다.)

하지만 실제로는 그저 조르당 블록의 개수를 세면 됩니다.

예제 10.8.3 (조르당 형식을 통한 고유공간의 예).

앞서 언급한 행렬 $T$ 를 그대로 사용하고 $\lambda=7$ 이라 합시다.

•

고유공간 $V_{\lambda}$ 는 기저 $e_{1}$ 과 $e_{4}$ 를 가지므로 기하적 중복도는 $2$ 입니다.
•

일반화된 고유공간 $V^{\lambda}$ 는 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{4}$ , $e_{5}$ , $e_{6}$ 을 가지므로 대수적 중복도는 $5$ 입니다.

완전히 명시적으로 설명하자면, 실제로는 다음과 같이 생각하면 됩니다:

명제 10.8.4 (조르당 블록에 대한 기하적 중복도와 대수적 중복도).

$T\colon V\to V$ 가 유한 차원 벡터공간 사이의 선형 사상이며 조르당 형식으로 쓰여 있다고 가정합시다. $\lambda$ 를 스칼라라 합시다. 그러면

•

$\lambda$ 의 기하적 중복도는 고윳값 $\lambda$ 를 갖는 조르당 블록의 개수이며, 고유공간은 각 조르당 블록마다 하나씩의 기저 원소를 가집니다.
•

$\lambda$ 의 대수적 중복도는 고윳값 $\lambda$ 를 갖는 조르당 블록들의 차원의 합이며, 고유공간은 그 블록들에 대응하는 부분공간들의 직합입니다.

증명.

정의 10.8.2는 본질적으로 이 명제를 기저 없이 다시 서술한 것으로 선택되었습니다. ∎

질문 10.8.5.

기하적 중복도가 항상 대수적 중복도 이하임을 보이십시오.

이는 실제로 잠정적인 정의를 제공합니다:

•

대각합은 대수적 중복도를 고려하여 센 고윳값들의 합입니다.
•

행렬식은 대수적 중복도를 고려하여 센 고윳값들의 곱입니다.

이 정의는 괜찮지만, 기저체가 대수적으로 닫혀 있어야 한다는 단점이 있습니다. 또한 계산상 다루기 가장 쉬운 정의도 아닙니다. 다음 두 장에서 더 나은 정의를 제공하겠습니다.

10.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 10A (대수적 중복도의 합).

$2018$ 차원 복소 벡터 공간 $V$ 와 사상 $T\colon V\to V$ 가 주어졌을 때, $T$ 의 모든 고윳값의 대수적 중복도의 합은 얼마입니까?

풀이. 그것은 그냥 $\dim V=2018$ 입니다. 결국 조르당 블록들의 차원을 더하는 것이기 때문입니다…

문제 10B (“대각화 가능”이라는 단어).

선형 사상 $T\colon V\to V$ ( $\dim V$ 가 유한한 경우)는, 각 $e_{i}$ 가 고유벡터가 되는 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 가질 때 대각화 가능하다고 합니다.

(a)

“대각화 가능”이라는 이름을 설명하십시오.
(b)

대수적으로 닫힌 체 위에서 작업한다고 합시다. 이때 $T$ 가 대각화 가능한 것은 임의의 $\lambda$ 에 대해 $\lambda$ 의 기하적 중복도가 $\lambda$ 의 대수적 중복도와 같은 것과 동치임을 보이십시오.

풀이. (a): $T$ 를 그러한 기저에서 행렬로 표현하면 대각행렬을 얻습니다. (b): 이는 단지 각 조르당 블록의 차원이 $1$ 이라는 것을 말하는 것이며, 이것이 우리가 원했던 바입니다. (여기서는 조르당 표준형의 유일성을 암묵적으로 사용하고 있습니다.)

문제 10C (뒤바꾸기).

$V$ 를 기저 $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 를 갖는 $\mathbb{C}$ -벡터 공간이라고 합시다. 사상 $T\colon V\to V$ 는 $T(e_{1})=e_{2}$ 이고 $T(e_{2})=e_{1}$ 입니다. $T$ 의 고유공간을 구하십시오.

풀이. $+1$ 고유공간은 $e_{1}+e_{2}$ 로 생성됩니다. $-1$ 고유공간은 $e_{1}-e_{2}$ 로 생성됩니다.

문제 10D.

$T\colon\mathbb{C}^{\oplus 2}\to\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 가 $T^{2011}=\mathrm{id}$ 를 만족하는 $\mathbb{C}$ -벡터 공간의 선형 사상이라고 합시다. $T$ 는 반드시 대각화 가능합니까?

힌트. 답은 그렇다는 것입니다. 사실, $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 가 임의의 유한차원 $\mathbb{C}$ -벡터 공간이어도 이 결과는 성립합니다.

문제 10E (다항식을 거꾸로 쓰기).

차수가 $2$ 이하인 다항식들의 복소 벡터 공간 $V$ 를, 즉 $V=\left\{ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{C}\right\}$ 를 정의합시다. $T\colon V\to V$ 를 다음과 같이 정의합니다

T(ax^{2}+bx+c)=cx^{2}+bx+a.

$T$ 의 고유공간을 구하십시오.

풀이. $+1$ 고유공간은 $1+x^{2}$ 과 $x$ 로 생성됩니다. $-1$ 고유공간은 $1-x^{2}$ 으로 생성됩니다.

문제 10F (다항식의 미분).

$V=\mathbb{R}[x]$ 를 실수 계수를 갖는 모든 다항식으로 이루어진 무한차원 실수 벡터 공간이라고 합시다. $\frac{d}{dx}\colon V\to V$ 가 선형 사상임에 유의하십시오 (예를 들어 $x^{3}$ 을 $3x^{2}$ 으로 보냅니다). 어떤 실수들이 이 사상의 고윳값입니까?

힌트. $0$ 만이 그렇습니다. 차수를 살펴보십시오.

풀이. 상수 함수는 미분하면 $0$ 이 되며, 이들이 유일한 $0$ -고유벡터입니다. 다른 고유벡터는 있을 수 없습니다. 왜냐하면 $\deg p>0$ 이면 $\deg p^{\prime}=\deg p-1$ 이므로, $p^{\prime}$ 이 $p$ 의 상수 실수배라면 반드시 $p^{\prime}=0$ 이어야 하고, 따라서 $p$ 는 상수이기 때문입니다.

문제 10G (함수의 미분).

$V$ 를 무한히 미분 가능한 모든 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 로 이루어진 무한차원 실수 벡터 공간이라고 합시다. $\frac{d}{dx}\colon V\to V$ 가 선형 사상임에 유의하십시오 (예를 들어 $\cos x$ 를 $-\sin x$ 로 보냅니다). 어떤 실수들이 이 사상의 고윳값입니까?

힌트. 모두 다입니다!

풀이. $e^{cx}$ 는 모든 $c$ 에 대한 $c$ -고유벡터의 예시입니다. 미분방정식을 알고 있다면, 이것들이 모든 예시를 생성한다는 것을 알 수 있습니다!