장 69 범주에서의 극한 (작성 예정)

두 집합 $X$와 $Y$, 그리고 사상 $X\stackrel{f,g}{\to }Y$가 주어졌을 때, 우리는 이들의 등화자를 다음과 같이 정의합니다

$$\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$$

우리는 이것을 정의하는 범주론적인 방법도 원합니다.

두 대상 $X$와 $Y$가 있고, 이들 사이에 두 사상 $f$와 $g$가 있다고 합시다:

이 도식 위의 원뿔은 대상 $A$와 $X$, $Y$ 위의 화살표로 이루어지며, 이는 도식을 가환하게 만듭니다. 다음과 같습니다.

[LEI14]에 따라, 우리는 이 원뿔을 포크라고 부릅니다. 이 이름은 $A\to X\rightrightarrows Y$를 한 줄로 나란히 쓸 때 얻어지는 모양에서 유래합니다. 다만 원뿔로서의 성질을 강조하기 위해, 그림에서는 포크를 구부려 그렸습니다.

사실상, $Y$ 위의 화살표는 단지 $f\circ q=g\circ q$를 강제할 뿐입니다. 어쨌든, 등화자란 $f$와 $g$의 “보편적 포크”입니다: 이는 대상 $E$와 사상 $E\stackrel{𝑒}{\to }X$로서, 각 $A\stackrel{𝑞}{\to }X$에 대해 다음 도식이

유일한 $A\stackrel{ℎ}{\to }E$에 대해 가환이 됩니다. 다시 말해, 위와 같은 임의의 사상 $A\stackrel{𝑞}{\to }X$는 $E$를 통해 유일하게 분해되어야 합니다.

여기서도 점선 화살표는 생략할 수 있으며, 앞서와 마찬가지로 등화자는 존재하지 않을 수도 있습니다. 하지만 존재하는 경우에는 다음과 같습니다.

(c)에 따르면 등화자는, $𝖦𝗋𝗉$에서의 자명한 준동형사상처럼 특별히 지정된 ”자명한 사상”이 존재할 경우 핵의 개념에 다가갈 수 있게 해줍니다. 이 개념은 아벨 범주에 관한 장에서 자세히 다루겠습니다.

좋은 예시: $(-3,1)$과 $(-1,3)$ 위의 미분가능 함수

우리는 $X{}_i$의 이산 집합 위의 원뿔(곱을 얻기 위해)과 화살표 쌍 위의 원뿔(포크를 얻기 위해)을 정의했습니다. 대상과 화살표로 이루어진 임의의 일반적인 도식 위에서도 원뿔을 정의할 수 있음이 밝혀졌습니다. 이때 각 대상으로 향하는 $A$로부터의 사영을 지정하고, $A$로부터의 사영들이 도식 안의 화살표들과 가환할 것을 요구합니다.

이제 원뿔이 보편적이기를 요구하면, 매우 일반적인 극한의 정의를 얻게 됩니다. 언제나처럼, 이들은 유일한 동형사상까지 유일합니다. 같은 방식으로 쌍대 개념인 쌍대극한도 정의할 수 있습니다.

밀어내기 정사각형은 텐서곱을 줍니다

p진

상대 중국인의 나머지 정리!!