장 69 범주에서의 극한 (작성 예정)

두 집합 $X$와 $Y$, 그리고 사상 $X\stackrel{f,g}{\to }Y$가 주어졌을 때, 이들의 등화자를 다음과 같이 정의합니다

$$\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.$$

이것 역시 범주론적으로 정의하는 방법이 있으면 좋겠습니다.

두 대상 $X$와 $Y$, 그리고 그 사이의 두 사상 $f$와 $g$를 생각합시다.

이 도식 위의 원뿔은 대상 $A$와, 도식을 가환하게 만드는 $X$ 및 $Y$ 위로의 화살표들로 이루어지며, 다음과 같습니다.

[LEI14]를 따라, 이 원뿔을 포크라고 부릅니다. 이 이름은 $A\to X\rightrightarrows Y$를 모두 한 줄에 쓸 때 얻어지는 모양에서 유래하였습니다. 다만 원뿔이라는 성질을 강조하기 위해 그림에서는 포크를 구부려 그렸습니다.

사실상 $Y$ 위로의 화살표는 단지 $f\circ q=g\circ q$를 강제할 뿐입니다. 어쨌든 $f$와 $g$의 등화자는 “보편 포크”입니다. 즉, 대상 $E$와 사상 $E\stackrel{𝑒}{\to }X$로서, 각 $A\stackrel{𝑞}{\to }X$에 대해 도식

이 유일한 $A\stackrel{ℎ}{\to }E$에 대해 가환하는 것입니다. 다시 말해, 위와 같은 임의의 사상 $A\stackrel{𝑞}{\to }X$는 $E$를 통해 유일하게 분해되어야 합니다.

이번에도 점선 화살표는 생략할 수 있으며, 이전과 마찬가지로 등화자는 존재하지 않을 수도 있습니다. 그러나 존재하는 경우에는 다음이 성립합니다.

(c)에 따르면, $𝖦𝗋𝗉$의 자명한 준동형사상처럼 특별히 구별되는 “자명한 사상”이 있을 때 등화자를 이용하여 핵의 개념에 접근할 수 있습니다. 이 아이디어는 아벨 범주에 관한 장에서 구체화하겠습니다.

좋은 예시: $(-3,1)$ 및 $(-1,3)$ 위의 미분 가능 함수

지금까지 $X{}_i$들의 이산 집합 위의 원뿔(곱을 얻기 위해)과 화살표 쌍 위의 원뿔(포크를 얻기 위해)을 정의했습니다. 사실 대상과 화살표로 이루어진 임의의 일반적인 도식 위에서도 원뿔을 정의할 수 있습니다. $A$에서 각 대상으로 가는 사영을 지정하고, $A$에서 나오는 사영들이 도식의 화살표들과 가환하도록 요구하면 됩니다.

여기에 더해 원뿔이 보편적이기를 요구하면, 매우 일반적인 극한의 정의를 얻습니다. 언제나처럼, 이들은 유일한 동형사상 아래에서 유일합니다. 같은 방식으로 쌍대 개념인 쌍대극한도 정의할 수 있습니다.

밀어내기 사각형은 텐서곱을 줍니다

p진

상대 중국인의 나머지 정리!!