장 80 보너스: Bézout 정리

이 장에서는 Bézout 정리를 다룹니다. 이 정리는 $\mathbb{CP}^{2}$ 안에서 차수가 $d$ 와 $e$ 인 두 곡선이 “정확히” $d e$ 개의 점에서 만나야 한다는 생각을 엄밀하게 만들어 줍니다. (사영 공간에서 다루므로 예를 들어 임의의 두 직선은 서로 만납니다.)

80.1 근기 아이디얼이 아닌 아이디얼

대표적인 예: 포물선에 접합니다.

중복도를 고려해야 합니다. 따라서 $I$ 가 근기 아이디얼이 아닐 가능성을 허용하기 위해, 가능한 한 다양체 $V$ 대신 동차 아이디얼 $I$ 를 다루겠습니다. 이를 어떻게 할 수 있는지 살펴봅시다.

첫 번째 예로, $y=x^{2}$ 와 직선 $y=1$ 을 교차시킨다고 합시다. 더 정확히 말하면, $\mathbb{CP}^{2}$ 의 사영 좌표에서 포물선 $zy=x^{2}$ 와 $y=z$ 를 교차시킵니다. 교집합의 아이디얼은 다음과 같습니다.

(zy-x^{2},y-z)=(x^{2}-z^{2},y-z)\subseteq\mathbb{C}[x,y,z].

따라서 이는 두 점을 갖는 것에 대응하며, 두 교점 $(1:1:1)$ 과 $(-1:1:1)$ 을 줍니다. 다음은 아핀 $z=1$ 차트에서 두 다양체를 나타낸 그림입니다.

여기까지는 괜찮습니다. 그런데 이번에는 $zy=x^{2}$ 를 직선 $y=0$ 과 교차시킨다고 합시다. 그러면 대신 “이중점”을 얻습니다.

이번에 대응하는 아이디얼은 다음과 같습니다.

(zy-x^{2},y)=(x^{2},y)\subseteq\mathbb{C}[x,y,z].

이 아이디얼은 근기 아이디얼이 아니며, $\sqrt{(x^{2},y)}=(x,y)$ 를 취하면 $\mathbb{CP}^{2}$ 의 단일 사영 점 $(0:0:1)$ 에 대응하는 아이디얼을 얻습니다. 이것이 다양체 대신 아이디얼을 다루는 이유입니다. 즉, $(x^{2},y)$ 와 $(x,y)$ 를 구별해야 합니다.

80.2 유한 개의 점의 힐베르트 함수

대표적인 예: 이중점 $(x^{2},y)$ 에 대응하는 힐베르트 함수는 결국 상수 $2$ 가 됩니다.

정의 80.2.1.

공집합이 아닌 사영 다양체 $V$ 가 주어지면, $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 를 만족하는 근기 아이디얼 $I$ 가 유일하게 존재합니다. 이 장에서는 이를 $\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)$ 로 나타냅니다. 빈 다양체에 대해서는 무관 아이디얼을 택하는 대신 $\mathcal{I}_{\text{rad}}(\varnothing)=(1)$ 로 둡니다.

정의 80.2.2.

$I\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 가 동차라고 합시다. $I$ 의 힐베르트 함수 $h_{I}\colon\mathbb{Z}_{\geq 0}\to\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 를 다음과 같이 정의합니다.

h_{I}(d)=\dim_{\mathbb{C}}\left(\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I\right)^{d}

즉 $h_{I}(d)$ 는 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I$ 의 $d$ 번째 등급 부분의 차원입니다.

정의 80.2.3.

$V$ 가 사영 다양체이면 $h_{V}=h_{\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)}$ 로 둡니다. 여기서 $I=\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)$ 는 위에서 정의한 대로 $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 를 만족하는 근기 아이디얼입니다.

이 경우 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I$ 는 바로 $\mathbb{C}[V]$ 입니다.

예제 80.2.4 (0차원에서 힐베르트 함수의 예).

구체적으로 $\mathbb{CP}^{2}$ 를 사용합시다.

(a)

$V$ 가 아이디얼 $\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)=(x,y)$ 를 갖는 단일 점 $(0:0:1)$ 이면 다음과 같습니다.

$\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x,y,z]/(x,y)\cong\mathbb{C}[z]\cong\mathbb{C}\oplus z% \mathbb{C}\oplus z^{2}\mathbb{C}\oplus z^{3}\mathbb{C}\dots$

이는 모든 차수에서 차원이 $1$ 입니다. 따라서 다음이 성립합니다.

$h_{I}(d)\equiv 1.$
(b)

이제 “이중점” 아이디얼 $I=(x^{2},y)$ 를 사용한다고 합시다. 이번에는 다음과 같습니다.

$\displaystyle\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2},y)$ $\displaystyle\cong\mathbb{C}[z]\oplus x\mathbb{C}[z]$

$\displaystyle\cong\mathbb{C}\oplus(x\mathbb{C}\oplus z\mathbb{C})\oplus(xz% \mathbb{C}\oplus z^{2}\mathbb{C})\oplus(xz^{2}\mathbb{C}\oplus z^{3}\mathbb{C}% )\oplus\dots.$

이로부터 다음을 얻습니다.

$h_{I}(d)=\begin{cases}2&d=1,2,3,\dots\\ 1&d=0.\end{cases}$
(c)

이제 $\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)=(x^{2}-z^{2},y-z)$ 인, 두 점으로 이루어진 다양체 $V=\{(1:1:1),(-1:1:1)\}$ 를 생각합시다. 그러면 다음과 같습니다.

$\displaystyle\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2}-z^{2},y-z)$ $\displaystyle\cong\mathbb{C}[x,z]/(x^{2}-z^{2})$

$\displaystyle\cong\mathbb{C}[z]\oplus x\mathbb{C}[z].$

따라서 이 예는 앞의 예와 같은 힐베르트 함수를 가집니다.

표기의 남용 80.2.5.

여기서는 동형 기호를 남용하여 $\mathbb{C}[z]\cong\mathbb{C}\oplus z\mathbb{C}\oplus z^{2}\mathbb{C}$ 로 쓰고 있으며, 다른 예시에서도 마찬가지입니다. 이것은 $\mathbb{C}$ -벡터 공간 수준에서만 동형사상입니다. 그러나 다른 예시의 힐베르트 함수를 계산할 때에도 이 표기 남용을 계속 사용하겠습니다.

예제 80.2.6 (공집합 다양체의 힐베르트 함수).

$I\subsetneq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 가 아이디얼이며, 근기 아이디얼이 아닐 수도 있지만

\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing

을 만족한다고 가정합시다. 그러면 $\sqrt{I}=(x_{0},\dots,x_{n})$ 는 무관 아이디얼입니다. 따라서 $i=0,\dots,n$ 에 대하여 정수 $d_{i}$ 가 존재하여 모든 $i$ 에 대해 $x_{i}^{d_{i}}\in I$ 가 성립합니다. 결과적으로, 임의의 $d>d_{0}+\dots+d_{n}$ 에 대해 $h_{I}(d)=0$ 입니다. 이를 요약하면 다음과 같습니다.

h_{I}(d)=0\text{모든 $d\gg 0$에 대하여}.

여기서 $d\gg 0$ 이라는 표기는 “충분히 큰 모든 $d$ ”를 뜻합니다.

이 예들로부터 $I$ 가 아이디얼이면 힐베르트 함수가 결국 상수가 되는 것으로 보이며, 그 상수는 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 의 크기와 같다는 것을 알 수 있습니다. 이때 $I$ 가 근기 아이디얼이 아닌 경우에는 “중복도를 포함하여” 셉니다.

이를 증명해 봅시다. 진행하기 전에 독자에게 짧은 완전열을 간단히 상기시켜 드리겠습니다. 사상들의 열 $0\to V\hookrightarrow W\twoheadrightarrow X\to 0$ 이 짧은 완전열이라는 것은 $\operatorname{im}(V\hookrightarrow W)=\ker(W\twoheadrightarrow X)$ 를 만족한다는 뜻입니다(물론 사상 $V\hookrightarrow W$ 와 $W\twoheadrightarrow X$ 는 각각 단사와 전사입니다). $V$ , $W$ , $X$ 가 $\mathbb{C}$ 위의 유한 차원 벡터 공간이면, 이로부터 $\dim W=\dim V+\dim X$ 가 성립합니다.

명제 80.2.7 ( $I\cap J$ 와 $I+J$ 의 힐베르트 함수).

$I$ 와 $J$ 가 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 의 동차 아이디얼이라고 합시다. 그러면

h_{I\cap J}+h_{I+J}=h_{I}+h_{J}.

가 성립합니다.

증명.

임의의 $d\geq 0$ 을 생각합시다. 간결하게 $S=\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 라고 둡시다. 그러면

는 벡터 공간의 짧은 완전열입니다. 따라서 모든 $d\geq 0$ 에 대해 다음이 성립합니다.

\dim\left[S/I\right]^{d}\oplus\left[S/J\right]^{d}=\dim\left[S/(I\cap J)\right% ]^{d}+\dim\left[S/(I+J)\right]^{d}

이로부터 결론을 얻습니다. ∎

예제 80.2.8 ( $\mathbb{CP}^{1}$ 의 두 점의 힐베르트 함수).

좌표환이 $\mathbb{C}[s,t]$ 인 $\mathbb{CP}^{1}$ 에서, 점 $(0:1)$ 에 대응하는 아이디얼 $I=(s)$ 와 점 $(1:0)$ 에 대응하는 아이디얼 $J=(t)$ 를 생각합시다. 그러면 $I\cap J=(st)$ 는 이 두 점의 서로소 합집합에 대응하는 아이디얼이고, $I+J=(s,t)$ 는 무관 아이디얼입니다. 따라서 $d\gg 0$ 에 대해 $h_{I+J}(d)=0$ 입니다. 그러므로 다음을 얻습니다.

h_{I\cap J}(d)=h_{I}(d)+h_{J}(d)\text{$d\gg 0$에 대하여}

따라서 두 점으로 이루어진 사영 다양체의 힐베르트 함수는 $d\gg 0$ 에 대해 상수 $2$ 입니다.

이 예는 주요 결과의 내용을 잘 보여 줍니다:

정리 80.2.9 (영차원 다양체의 힐베르트 함수).

$V$ 가 $m$ 개의 점으로 이루어진 사영 다양체라고 합시다(여기서 $m\geq 0$ 은 정수입니다). 그러면

h_{V}(d)=m\text{ ($d\gg 0$에 대해)}.

입니다.

증명.

$m=0$ 인 경우는 이미 다루었으므로 $m\geq 1$ 이라고 가정합시다. $I=\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)$ 라 하고, $k=1,\dots,m$ 에 대해 $I_{k}=\mathcal{I}_{\text{rad}}(\text{$V$의 $k$번째 점})$ 이라 합시다.

연습문제 80.2.10.

모든 $d$ 에 대해 $h_{I_{k}}(d)=1$ 임을 보이십시오. (예제 80.2.4(a)를 변형하십시오.)

따라서 $m\geq 2$ 에 대한 귀납법으로 진행할 수 있으며, 기저 사례 $m=1$ 은 위에서 이미 다루었습니다. 귀납 단계에서는 정리 77.4.2의 사영 버전을 사용합니다. $d\gg 0$ 에 대해 $h_{I_{1}\cap\dots\cap I_{m-1}}(d)=m-1$ 임을 알고 있습니다(이는 처음 $m-1$ 개의 점에 해당합니다. $I_{1}\cap\dots\cap I_{m-1}$ 이 근기 아이디얼이라는 점에 유의하십시오). $m$ 번째 점을 추가하기 위해 다음에 주목합니다.

h_{I_{1}\cap\dots\cap I_{m}}(d)=h_{I_{1}\cap\dots\cap I_{m-1}}(d)+h_{I_{m}}(d)% -h_{J}(d)

여기서 $J=(I_{1}\cap\dots\cap I_{m-1})+I_{m}$ 입니다. 아이디얼 $J$ 는 근기 아이디얼이 아닐 수도 있지만, 앞의 예에 의해 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(J)=\varnothing$ 을 만족하므로 $d\gg 0$ 에 대해 $h_{J}=0$ 입니다. 이로써 증명이 완료됩니다. ∎

정확히 같은 방법으로 다음을 증명할 수 있습니다:

따름정리 80.2.11 ( $\dim\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=0$ 일 때 $h_{I}$ 는 결국 상수).

$I$ 가 반드시 근기 아이디얼일 필요는 없는 아이디얼이며, $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 가 유한 개의 점으로 이루어져 있다고 합시다. 그러면 힐베르트 함수 $h_{I}$ 는 결국 상수가 됩니다.

증명.

점의 개수 $m\geq 1$ 에 대한 귀납법을 사용합니다. 기저 사례 $m=1$ 은 본질적으로 예제 80.2.4(b)와 연습문제 80.2.10에서 이미 다루었습니다. 귀납 단계는 근기 아이디얼에 대해 신경 쓸 필요가 없다는 점을 제외하면 위의 증명과 문자 그대로 동일합니다. ∎

80.3 힐베르트 다항식

지금까지는 0차원 다양체의 힐베르트 함수만 다루었고, 이 함수가 결국 상수가 됨을 보였습니다. 몇 가지 예를 더 살펴봅시다.

예제 80.3.1 ( $\mathbb{CP}^{n}$ 의 힐베르트 함수).

$\mathbb{CP}^{n}$ 의 힐베르트 함수는 다음과 같습니다.

h_{\mathbb{CP}^{n}}(d)=\binom{d+n}{n}=\frac{1}{n!}(d+n)(d+n-1)\dots(d+1)

이는 “공과 항아리” 논법으로 얻어집니다. 이것은 $n$ 차 다항식입니다.

예제 80.3.2 (포물선의 힐베르트 함수).

좌표 $\mathbb{C}[x,y,z]$ 를 갖는 $\mathbb{CP}^{2}$ 안의 포물선 $zy-x^{2}$ 를 생각하십시오. 그러면 다음이 성립합니다.

\mathbb{C}[x,y,z]/(zy-x^{2})\cong\mathbb{C}[y,z]\oplus x\mathbb{C}[y,z].

조합론적으로 계산하면 다음을 얻습니다.

$\displaystyle h_{(zy-x^{2})}(0)$	$\displaystyle=1$	기저 $1$
$\displaystyle h_{(zy-x^{2})}(1)$	$\displaystyle=3$	기저 $x, y, z$
$\displaystyle h_{(zy-x^{2})}(2)$	$\displaystyle=5$	$\displaystyle\text{기저 $xy$, $xz$, $y^{2}$, $yz$, $z^{2}$}.$

따라서 실제로 $h_{(zy-x^{2})}(d)=2d+1$ 임을 알 수 있습니다.

사실 이처럼 “결국 다항식이 되는” 현상은 항상 성립합니다.

정리 80.3.3 (힐베르트 다항식).

$I\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 을 동차 아이디얼이라고 합시다. 이때 $I$ 가 근기 아이디얼일 필요는 없습니다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a)

모든 $d\gg 0$ 에 대하여 $h_{I}(d)=\chi_{I}(d)$ 를 만족하는 다항식 $\chi_{I}$ 가 존재합니다.
(b)

$\deg\chi_{I}=\dim\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 입니다( $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing$ 이면 $\chi_{I}=0$ 입니다).
(c)

다항식 $m!\cdot\chi_{I}$ 는 정수 계수를 가집니다.

증명.

기저 단계는 앞 절에서 다루었습니다.

귀납 단계에서는 차원이 $m$ 인 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 를 생각하십시오. $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 의 어떤 기약 성분도 $H$ 안에 포함되지 않는 초평면 $H$ 를 생각하십시오(이 사실은 기하학적으로 자명하므로 증명 없이 인용합니다. 다만 지난번에 증명을 써 보려다가 실수를 했습니다). 편의상 일반성을 잃지 않고 $H=\mathcal{V}_{\text{pr}}(x_{0})$ 라고 가정합니다.

다시 $S=\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 이라고 합시다. 이제 다음 짧은 완전열을 생각하십시오.

(첫 번째 사상의 단사성은 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 의 기약 성분에 관한 가정에서 따라 나옵니다.) 이제 완전성에 의해 다음이 성립합니다.

h_{I}(d)-h_{I}(d-1)=h_{I+(x_{0})}(d).

마지막 항은 기하학적으로 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)\cap H$ 에 대응합니다. 이것은 차원이 $m-1$ 이므로, 귀납 가정에 의해 다음을 압니다.

h_{I}(d)-h_{I}(d-1)=\frac{c_{0}d^{m-1}+c_{1}d^{m-2}+\dots+c_{m-1}}{(m-1)!}% \qquad d\gg 0

여기서 $c_{0}$ , …, $c_{m-1}$ 은 어떤 정수들입니다. 그러면 다항식의 유한 차분 이론에 의해 증명이 끝납니다. ∎

80.4 베주(Bézout) 정리

정의 80.4.1.

$\chi_{I}$ 를 $I$ 의 힐베르트 다항식이라고 부릅니다. $\chi_{I}$ 가 0이 아니면 $m!\chi_{I}$ 의 최고차항 계수를 $I$ 의 차수라고 부르며, 이는 정수이고 $\deg I$ 로 나타냅니다.

물론 사영 다양체 $V$ 에 대해서는 $h_{V}=h_{\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)}$ , $\deg V=\deg\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)$ 로 둡니다.

비고 80.4.2.

아이디얼의 차수 $\deg I$ 는 $\deg h_{I}$ 와 같지 않다는 점에 주의하십시오!

차수의 몇 가지 성질을 보입시다. 이 성질들을 이용하면 임의의 사영 다양체의 차수를 그 기약 성분들로부터 계산할 수 있습니다.

명제 80.4.3 (차수의 성질).

두 다양체 $V$ 와 $W$ 에 대하여 다음이 성립합니다:

•

$V$ 와 $W$ 가 서로소이고 차원이 같으면, $\deg(V\cup W)=\deg V+\deg W$ 입니다.
•

$\dim V<\dim W$ 이면, $\deg(V\cup W)=\deg W$ 입니다.

따라서,

차수는 성분에 대하여 가법적이며, 가장 높은 차원을 갖는 성분의 “차수”를 측정합니다.

증명.

정리 80.3.3과 명제 80.2.7에 있는 힐베르트 다항식의 성질들, 그리고 최고차항 계수가 가장 큰 차수의 합항에만 의존한다는 사실로부터 따라 나옵니다. ∎

예제 80.4.4 (차수의 예).

(a)

$V$ 가 $n\geq 1$ 개의 점으로 이루어진 유한집합이면, $V$ 의 차수는 $n$ 입니다.
(b)

$I$ 가 이중점에 대응하면, 그 차수는 $2$ 입니다.
(c)

$\mathbb{CP}^{n}$ 의 차수는 $1$ 입니다.
(d)

임의의 직선이나 평면은 각각 $\mathbb{CP}^{1}$ 과 $\mathbb{CP}^{2}$ 에 “동형”이므로 차수가 $1$ 입니다.
(e)

포물선의 차수는 $2$ 입니다. (대수다양체로서 포물선은 직선과 동형이라는 점에 유의하십시오!)
(f)

포물선과 한 점의 합집합의 차수는 $2$ 입니다.

이제 $f$ 가 동차 이차 다항식이면 주 아이디얼 $(f)$ 의 차수가 $2$ 이고, 더 높은 차수에 대해서도 마찬가지일 것이라고 추측할 수 있습니다. (따라서 예를 들어 원의 차수는 $2$ 일 것이라고 기대합니다.) 이는 사실입니다:

정리 80.4.5 (Bézout의 정리).

$I$ 를 $\dim\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)\geq 1$ 을 만족하는 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 의 동차 아이디얼이라고 합시다. $f\in\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 를 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 의 어떤 기약 성분 위에서도 소멸하지 않는 $k$ 차 동차 다항식이라고 합시다. 그러면

\deg\left(I+(f)\right)=k\deg I.

기하학적으로,

$V$ 가 임의의 사영 다양체이고 $\mathcal{V}(f)$ 가 $k$ 차 초곡면이면, 그 교집합 $V\cap\mathcal{V}(f)$ 의 차수는 $k\deg V$ 입니다 — 단, $V$ 의 어떤 기약 성분이 $\mathcal{V}(f)$ 안에 포함되는 경우는 제외합니다.

이것이 이 장의 처음에 언급한 내용입니다.

아이디얼 $I$ 가 근기 아이디얼이 아닐 수 있으므로, 이 기하학적 해석 명제는 가능한 가장 일반적인 형태가 아닙니다 — 이 문제는 나중에 스킴으로 일반화하면서 바로잡을 것입니다.

증명.

다시 $S=\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 이라고 합시다. 이번에는 완전열이 다음과 같습니다.

이 올림피아드풍의 연습문제는 문제 80A으로 남겨 둡니다. ∎

80.5 응용

먼저 차수의 개념이 우리가 기대하는 바와 일치함을 보이겠습니다.

따름정리 80.5.1 (초곡면: 차수라는 이름에 걸맞음).

$V$ 를 초곡면, 즉 $k$ 차 동차 다항식 $f$ 에 대하여 $\mathcal{I}_{\text{rad}}(V)=(f)$ 라고 합시다. 그러면 $\deg V=k$ 입니다.

증명.

$\deg(0)=\deg\mathbb{CP}^{n}=1$ 임을 상기하십시오. Bézout의 정리에서 $I=(0)$ 으로 두십시오. ∎

$\mathbb{CP}^{2}$ 에서 흔히 쓰이는 특수한 경우는 다음과 같습니다.

따름정리 80.5.2 (곡선에 대한 Bézout의 정리).

공통된 기약 성분을 갖지 않는 $\mathbb{CP}^{2}$ 안의 임의의 두 곡선 $X$ 와 $Y$ 에 대하여,

\left\lvert X\cap Y\right\rvert\leq\deg X\cdot\deg Y.

이제 이를 이용하여 파스칼의 정리를 증명합니다.

정리 80.5.3 (파스칼의 정리).

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ 가 $\mathbb{CP}^{2}$ 안의 원뿔곡선 $\mathscr{C}$ 위에 있는 서로 다른 여섯 점이라고 합시다. 그러면 점 $AB\cap DE$ , $BC\cap EF$ , $CD\cap FA$ 는 한 직선 위에 있습니다.

증명.

$X$ 를 세 직선 $A B$ , $C D$ , $E F$ 의 합집합과 같은 대수다양체라고 합시다. 그러면 어떤 삼차 다항식 $f$ (세 일차 다항식의 곱)에 대하여 $X=\mathcal{V}_{\text{pr}}(f)$ 입니다. 마찬가지로 $Y=\mathcal{V}_{\text{pr}}(g)$ 를 세 직선 $B C$ , $D E$ , $F A$ 의 합집합과 같은 대수다양체라고 합시다.

이제 $P$ 를 $\mathscr{C}$ 위의 원뿔곡선 위에 있으면서 여섯 점 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ 와 다른 임의의 점이라고 합시다. 다음 사영 다양체를 생각합시다.

V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(\alpha f+\beta g)

여기서 상수 $\alpha$ 와 $\beta$ 는 $P\in V$ 가 되도록 선택합니다.

질문 80.5.4.

$\alpha$ 와 $\beta$ 를 어떻게 선택하든 $V$ 가 여섯 점 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ 뿐만 아니라 세 점 $AB\cap DE$ , $BC\cap EF$ , $CD\cap FA$ 도 포함함을 보이십시오.

이제 $|V\cap\mathscr{C}|\geq 7$ 임에 주목하십시오. 그런데 $\deg V=3$ 이고 $\deg\mathscr{C}=2$ 입니다. 이는 $V$ 와 $\mathscr{C}$ 가 기약 성분을 공유하지 않는 한 Bézout의 정리에 모순됩니다. 차수를 고려하면 이는 $V$ 가 직선과 원뿔곡선의 합집합일 때에만 일어날 수 있습니다. 즉 다음이 성립해야 합니다.

V=\mathscr{C}\cup\text{직선}.

마지막으로 세 교점 $AB\cap DE$ , $BC\cap EF$ , $CD\cap FA$ 는 $\mathscr{C}$ 위에 있지 않으므로 이 직선 위에 있어야 함에 주목하십시오. ∎

파스칼의 정리는 Cayley-Bacharach 정리의 특수한 경우에 불과하며, Cayley-Bacharach 정리를 이용하면 타원곡선 위의 덧셈 연산이 결합법칙을 만족함을 증명할 수 있다는 점을 언급해 둡니다. 관심 있는 독자는 같은 기법으로 Cayley-Bacharach 정리를 증명해 보십시오.

80.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 80A.

앞에서 다룬 Bézout의 정리의 증명을 완성하십시오.

풀이. 완전성으로부터 $h_{I}(d)=h_{I}(d-k)+h_{I+(f)}(d)$ 이며, 따라서 다음이 성립합니다.

$\chi_{I+(f)}(d)=\chi_{I}(d)-\chi_{I}(d-k).$

$m=\dim\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)\geq 1$ 이라고 합시다. 이제 $\dim\mathcal{V}_{\text{pr}}(I+(f))=m-1$ 이므로 다음을 얻습니다.

$\frac{\deg(I+(f))d^{m-1}+\dots}{(m-1)!}=\frac{1}{m!}\left(\deg I(d^{m}-(d-k)^{% m})+\text{저차항}\right)$

이로부터 다음을 읽어낼 수 있으며,

$\deg(I+(f))=\frac{(m-1)!}{m!}\cdot k\binom{m}{1}\deg I=k\deg I$

이것이 원하던 결과입니다.

문제 80B (USA TST 2016/6).

^†^†margin:

$A B C$ 를 예각 부등변삼각형이라 하고 $P$ 를 그 내부의 한 점이라고 합시다. $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ 을 각각 $P$ 에서 삼각형의 변 $B C$ , $C A$ , $A B$ 에 내린 정사영이라고 합시다. $AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ 이 한 점에서 만나고 $\angle PAB+\angle PBC+\angle PCA=90^{\circ}$ 를 만족하는 점 $P$ 의 자취를 구하십시오.

힌트. 이 문제를 풀려면 유클리드 기하학에서 복소수를 이용하는 방법을 알아야 합니다.

풀이. $A B C$ 의 외접원을 단위원으로 두고 복소수를 사용하면, 이는 다음 두 삼차방정식을 푸는 것과 동치입니다.

$\displaystyle(p-a)(p-b)(p-c)$ $\displaystyle=(abc)^{2}(q-1/a)(q-1/b)(q-1/c)$

$\displaystyle 0$ $\displaystyle=\prod_{\text{cyc}}(p+c-b-bcq)+\prod_{\text{cyc}}(p+b-c-bcq)$

이 방정식은 $p$ 와 $q=\overline{p}$ 에 대한 것입니다. 이를 $(p,q)\in\mathbb{C}^{2}$ 안의 두 삼차곡선으로 보면, Bézout의 정리에 의해 해는 최대 아홉 개입니다(두 곡선이 모두 기약이 아닌 경우는 예외이지만, 첫 번째 곡선이 인수분해되지 않음을 확인할 수 있습니다). 게다가 ( $A B C$ 가 부등변삼각형일 때) 아홉 개의 해를 쉽게 찾을 수 있습니다. 바로 세 꼭짓점, 세 방심, 그리고 $I$ , $O$ , $H$ 입니다. 따라서 답은 세 삼각형 중심 $I$ , $O$ , $H$ 뿐입니다.

	$\displaystyle\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2},y)$	$\displaystyle\cong\mathbb{C}[z]\oplus x\mathbb{C}[z]$
		$\displaystyle\cong\mathbb{C}\oplus(x\mathbb{C}\oplus z\mathbb{C})\oplus(xz% \mathbb{C}\oplus z^{2}\mathbb{C})\oplus(xz^{2}\mathbb{C}\oplus z^{3}\mathbb{C}% )\oplus\dots.$

	$\displaystyle\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2}-z^{2},y-z)$	$\displaystyle\cong\mathbb{C}[x,z]/(x^{2}-z^{2})$
		$\displaystyle\cong\mathbb{C}[z]\oplus x\mathbb{C}[z].$

	$\displaystyle(p-a)(p-b)(p-c)$	$\displaystyle=(abc)^{2}(q-1/a)(q-1/b)(q-1/c)$
	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\prod_{\text{cyc}}(p+c-b-bcq)+\prod_{\text{cyc}}(p+b-c-bcq)$