장 15 쌍대, 수반, 그리고 전치

이 장은 행렬의 전치와 켤레 전치에 대한 기저 없는 해석을 다룹니다.

포스터 따름정리: 실수 계수를 갖는 대칭행렬은 대각화 가능하며 실수 고윳값을 가짐을 보일 것입니다.

15.1 사상의 쌍대

대표적인 예: 아래의 예제입니다.

이제 행렬의 전치로 발전하게 될 개념을 정의해 보겠습니다.

정의 15.1.1.

$V$ 와 $W$ 를 벡터 공간이라 합시다. $T\colon V\to W$ 가 선형 사상이라고 합시다. 그러면 실제로 다음과 같은 사상을 얻습니다

	$\displaystyle T^{\vee}\colon W^{\vee}$	$\displaystyle\to V^{\vee}$
	$\displaystyle f$	$\displaystyle\mapsto f\circ T.$

이 사상을 쌍대 사상이라고 부릅니다.

예제 15.1.2 (쌍대 사상의 예).

$\mathbb{R}$ 위에서 작업합니다. 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 를 갖는 $V$ 와 기저 $f_{1}$ , $f_{2}$ 를 갖는 $W$ 를 생각해 봅시다. 다음과 같다고 합시다

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=f_{1}+2f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=3f_{1}+4f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=5f_{1}+6f_{2}.$

이제 쌍대 기저 $e_{1}^{\vee}$ , $e_{2}^{\vee}$ , $e_{3}^{\vee}$ 를 갖는 $V^{\vee}$ 와 쌍대 기저 $f_{1}^{\vee}$ , $f_{2}^{\vee}$ 를 갖는 $W^{\vee}$ 를 생각해 봅시다. $T^{\vee}(f_{1}^{\vee})=f_{1}^{\vee}\circ T$ 를 계산해 봅시다. 이는 다음과 같이 주어집니다

	$\displaystyle f_{1}^{\vee}\left(T(ae_{1}+be_{2}+ce_{3})\right)$	$\displaystyle=f_{1}^{\vee}\left((a+3b+5c)f_{1}+(2a+4b+6c)f_{2}\right)$
		$\displaystyle=a+3b+5c.$

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다

T^{\vee}(f_{1}^{\vee})=e_{1}^{\vee}+3e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee}

마찬가지로,

T^{\vee}(f_{2}^{\vee})=2e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+6e_{3}^{\vee}.

이는 $T^{\vee}$ 를 완전히 결정합니다.

$T$ 와 $T^{\vee}$ 의 행렬을 우리의 기저에 대해 쓰면, 이제 다음을 알 수 있습니다.

T=\begin{bmatrix}1&3&5\\ 2&4&6\end{bmatrix}\quad\text{그리고}\quad T^{\vee}=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\\ 5&6\end{bmatrix}.

따라서 우리가 선택한 기저에서, 그 행렬들이 전치, 즉 대각선을 기준으로 서로의 거울상임을 알 수 있습니다.

물론 이는 일반적으로도 성립해야 합니다.

정리 15.1.3 ( $T^{\vee}$ 의 전치 해석).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간이라 하고, $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 임의의 기저, $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $W$ 의 임의의 기저라고 합시다. 그러면 임의의 $T\colon V\to W$ 에 대해, 다음 두 행렬은 서로 전치입니다:

•

기저 $(e_{i})$ , $(f_{j})$ 로 표현된 $T\colon V\to W$ 의 행렬입니다.
•

기저 $(f_{j}^{\vee})$ , $(e_{i}^{\vee})$ 로 표현된 $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 의 행렬입니다.

증명.

행렬 $T$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 $T(e_{j})$ 에서 $f_{i}$ 의 계수에 대응하며, 이는 다시 $f_{i}^{\vee}\circ T$ 에서 $e_{j}^{\vee}$ 의 계수에 대응합니다. ∎

이것의 좋은 점은 $T^{\vee}$ 의 정의가 기저와 무관하다는 것입니다. 즉, 임의의 선형 사상 $T$ 에서 시작하여 원하는 어떤 기저든 선택하더라도, $T$ 와 $T^{\vee}$ 는 여전히 서로 전치가 된다는 뜻입니다.

15.2 (선택) 자연스러운 동형사상 $V\cong V^{\vee}$ 가 없을 때 무엇이 잘못될 수 있는지에 대한 교훈적인 이야기

이 절 이후로는 $V$ 와 $W$ 가 실제로 내적 공간이라고 가정하겠습니다. 이 선택적인 주의 사항 절은 그 가정이 없을 때 무엇이 잘못되는지 설명하기 위한 것입니다. 하지만 이 절은 상당히 헷갈리고 갈피를 잡기 어려우므로, 이 장의 나머지 부분을 마치고 끝부분의 문제 몇 개(예를 들어 문제 15C)를 풀어본 후에 읽는 것도 좋습니다.

예를 들어 정리 15.1.3만 사용해도 다음을 증명할 수 있는데, 이는 전형적인 고등학교 선형대수 수업에서 가장 중요한 정리 중 하나입니다.

정리 15.2.1 (행 계수 = 열 계수).

어떤 체 $k$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어져 있습니다. $M$ 의 열 계수는 $k^{\oplus m}$ 에서 $M$ 의 $n$ 개 열벡터가 생성하는 부분공간의 차원입니다. $M$ 의 행 계수는 $k^{\oplus n}$ 에서 $M$ 의 $m$ 개 행벡터가 생성하는 부분공간의 차원입니다. 행 계수와 열 계수가 같음을 증명하십시오.

증명.

문제 15B와 문제 15C로 남겨둡니다. 한 가지 접근 방법은 정리 9.7.6와 정리 15.1.3를 결합하는 것입니다. ∎

하지만 $e_{i}\mapsto e_{i}^{\vee}$ 로 주어지는 비표준적 동형사상 $V\to V^{\vee}$ 를 지나치게 활용하려고 하면 무엇이 잘못될 수 있는지 살펴봅시다. 다음 ”정리”를 생각해 봅시다.

거짓 정리. 어떤 체 $k$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어져 있습니다. 그러면 $M^{\top}M$ 과 $M$ 은 같은 계수를 갖습니다.

이제 이 결과에 대한 가짜 증명을 제시하겠습니다.

거짓 정리에 대한 잘못된 증명.

$V=k^{\oplus n}$ , $W=k^{\oplus m}$ 이라 하고, $T\colon V\to W$ 를 $M$ 으로 부호화된 선형 사상이라 합시다. 정리 15.1.3에 의해, $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 는 $M^{\top}$ 으로 부호화됩니다.

정리 9.7.6에 의해, ( $V$ 에 대한) 기저 $e_{i}$ 와 ( $W$ 에 대한) 기저 $f_{j}$ 로서 서로 다른 기저가 존재하여 다음을 만족합니다.

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=f_{1},\;\dots,\;T(e_{k})=f_{k}$
	$\displaystyle T(e_{k+1})$	$\displaystyle=\dots=T(e_{n})=0$

여기서 $k=\operatorname{rank}T$ 입니다. (계수와 기저체 모두에 문자 $k$ 를 사용해서 죄송합니다.) 이 새로운 기저는 어떤 행렬 부호화에도 사용하지 않고, 오직 계수를 계산하는 데에만 사용하겠습니다.

그러면 $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 의 정의로부터 다음을 알 수 있습니다.

	$\displaystyle T^{\vee}(f_{1}^{\vee})$	$\displaystyle=e_{1}^{\vee},\;\dots,\;T^{\vee}(f_{k}^{\vee})=e_{k}^{\vee}$
	$\displaystyle T^{\vee}(f_{k+1}^{\vee})$	$\displaystyle=\dots=T^{\vee}(f_{m}^{\vee})=0.$

이제 이것을 우리의 (비표준적인) 동형사상 $W\to W^{\vee}$ 와 결합하면, $M^{\top}M$ 이 합성된 사상 $V\to V^{\vee}$ 에 대한 행렬이 됨을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle\mapsto f_{1}\mapsto f_{1}^{\vee}\mapsto e_{1}^{\vee}$
	$\displaystyle e_{2}$	$\displaystyle\mapsto f_{2}\mapsto f_{2}^{\vee}\mapsto e_{2}^{\vee}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}\mapsto{}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle e_{k}$	$\displaystyle\mapsto f_{k}\mapsto f_{k}^{\vee}\mapsto e_{k}^{\vee}$
	$\displaystyle e_{k+1}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0$
	$\displaystyle e_{k+2}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}\mapsto{}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle e_{n}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0.$

이 합성된 사상 역시 계수 $k$ 를 가짐이 명백한데, $e_{1}$ 부터 $e_{k}$ 까지의 출력값은 선형독립이고 $e_{k+1}$ 부터 $e_{n}$ 까지의 출력값은 모두 $0$ 이기 때문입니다. 따라서 원하는 대로 $M^{\top}M$ 역시 계수 $k$ 를 갖습니다. ∎

괜찮아 보입니까? 하지만 문제 15H에서 보게 되겠지만, 이 정리는 $k=\mathbb{R}$ 일 때는 실제로 참입니다. 하지만 $k=\mathbb{C}$ 일 때는 다음 연습문제가 보여주듯이 거짓입니다.

연습문제 15.2.2.

$M^{\top}M$ 이 영행렬이 되는, 복소수 성분을 갖는 영이 아닌 $2\times 2$ 행렬 $M$ 의 예를 들어 거짓 정리에 대한 반례를 찾으십시오.

그렇다면 이 가짜 증명의 오류는 어디에 있을까요? 위에서 주어진 사상

e_{i}\mapsto f_{i}\mapsto f_{i}^{\vee}\mapsto e_{i}^{\vee}

은 $T^{\vee}\circ T$ (이는 애초에 정의조차 되지 않습니다)가 아니라, 오히려 $T^{\vee}\circ\iota\circ T$ 이며, 여기서 $\iota\colon W\to W^{\vee}$ 는 우리가 아무것도 알지 못하는 ”임의의” 동형사상입니다. 따라서 행렬로 부호화하면, 우리가 실제로 얻게 되는 행렬은 $M^{\top}NM$ 이며, 여기서 $N$ 은 우리가 전혀 통제할 수 없는 임의의 가역행렬입니다.

$k=\mathbb{R}$ 인 경우에는 다음과 같이 하면 이 증명을 고칠 수 있습니다.

•

$\iota$ 를 다음 절에서 정의될 사상 $w\mapsto\left\langle-,w\right\rangle$ 로 선택하여, $N$ 이 항등행렬로 부호화되도록 합니다. 그리고
•

추가로 정리 9.7.6에서 $f_{i}$ 가 정규직교이도록 요구하여(이는 가능합니다) $\iota(f_{i})=f_{i}^{\vee}$ 가 되도록 합니다.

하지만 이는 제 생각에는 상당히 지저분한 증명인데, 이 장이 끝날 무렵에는 문제 15H에 대해 기저에 의존하지 않는 증명을 쓸 수 있는 도구를 갖추게 될 것이기 때문입니다.

15.3 쌍대 공간과의 동일시

하지만 이 장의 나머지 부분에서는 이제 내적을 논의에 끌어들이겠습니다.

앞서 저는 자연스러운 동형사상 $V\cong V^{\vee}$ 가 없다고 불평했습니다. 하지만 사실 내적 형식이 주어지면 실제로 이러한 동일시를 만들 수 있습니다: 즉 모든 선형 사상 $\xi\colon V\to k$ 를 벡터 $v\in V$ 와 자연스럽게 대응시킬 수 있습니다.

이를 어떻게 할 수 있는지 보기 위해, 우선 $V=\mathbb{R}^{3}$ 이고 정규직교 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 가진다고 합시다. 내적을 사용하여 $V\to\mathbb{R}$ 인 사상을 어떻게 나타낼 수 있을까요? 예를 들어 $\xi(e_{1})=3$ , $\xi(e_{2})=4$ , $\xi(e_{3})=5$ 로 $\xi\in V^{\vee}$ 를 취합시다. 사실 저는 다음과 같이 주장합니다:

\xi(v)=\left<v,3e_{1}+4e_{2}+5e_{3}\right>

모든 $v$ 에 대하여.

질문 15.3.1.

이를 확인해 보십시오.

그리고 이는 실수의 경우 아름답게 작동합니다.

정리 15.3.2 (실수 내적 형식에 대한 $V\cong V^{\vee}$ ).

$V$ 를 유한 차원 실 내적 공간이라 하고 $V^{\vee}$ 를 그 쌍대 공간이라 하겠습니다. 그러면 사상 $V\to V^{\vee}$ 는 다음과 같이

v\mapsto\left<-,v\right>\in V^{\vee}

실수 벡터 공간의 동형사상입니다.

증명.

이 사상이 단사이고 전사임을 보이면 충분합니다.

•

단사: 모든 벡터 $v\in V$ 에 대해 $\left<v,v_{1}\right>=\left<v,v_{2}\right>$ 라고 가정합시다. 이는 모든 벡터 $v\in V$ 에 대해 $\left<v,v_{1}-v_{2}\right>=0$ 임을 의미합니다. 이는 오직 $v_{1}-v_{2}=0$ 일 때만 일어날 수 있습니다; 예를 들어 $v=v_{1}-v_{2}$ 로 놓고 양의 정부호성을 사용하십시오.
•

전사: 정규직교 기저 $e_{1}$ , … $e_{n}$ 을 취하고, $e_{1}^{\vee}$ , …, $e_{n}^{\vee}$ 를 $V^{\vee}$ 위의 쌍대 기저라 합시다. 그러면 $e_{1}$ 은 $e_{1}^{\vee}$ 로 대응되고, 나머지도 마찬가지입니다. ∎

사실 우리는 이미 $\dim V=\dim V^{\vee}$ 임을 알고 있으므로 위의 것 중 하나만 증명하면 되었습니다. 개인적인 취향으로는, 단사성의 증명이 더 우아하고 전사성의 증명이 더 깨우침을 준다고 생각하여 둘 다 포함시켰습니다. 따라서

실수 내적 공간 $V$ 에 내적 형식이 주어지면, $V$ 와 $V^{\vee}$ 는 표준적으로 동형입니다.

안타깝게도 $V$ 가 복소수인 경우에는 일이 어긋나 버립니다. 그 결과는 다음과 같습니다:

정리 15.3.3 (복소수 내적 형식에 대한 $V$ 와 $V^{\vee}$ 의 비교).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라 하고 $V^{\vee}$ 를 그 쌍대 공간이라 하겠습니다. 그러면 사상 $V\to V^{\vee}$ 는 다음과 같이

v\mapsto\left<-,v\right>\in V^{\vee}

집합의 전단사입니다.

잠깐, 뭐라고요? 위의 증명은 이 사상이 단사이면서 전사임을 보여주는데, 왜 동형사상이 아닐까요? 그 답은 이것이 선형 사상이 아니라는 것입니다: 형식이 반쌍선형이기 때문에 예를 들어 다음과 같이

iv\mapsto\left<-,iv\right>=-i\left<-,v\right>

음의 부호가 도입됩니다! 사실 이는 앞서 정의한 의미에서 반선형 사상입니다.

열정적인 독자라면 대신 동형사상 $v\mapsto\left<v,-\right>$ 를 정의하여 이를 고치려 할 수도 있습니다. 하지만 이 또한 실패하는데, 우변이 $V^{\vee}$ 의 원소조차 아니기 때문입니다: 이는 선형이 아니라 ”반선형”입니다.

그래서 우리는 막다른 길에 이르렀습니다. 다행히도 앞으로는 ”전단사” 결과만 필요하므로, 어쨌든 계속 진행할 수 있습니다. (이를 고치고 싶다면, 문제 15D에서 그 방법을 제시합니다.)

15.4 딸림사상 (켤레 전치)

위에서 본 뒤바뀜의 결과로, 켤레 전치가 실제로 내적 공간에 있어 더 나은 개념임을 보게 될 것입니다: 왜냐하면 이는 쌍대 공간을 전혀 언급하지 않고 오직 내적만을 사용하여 정의할 수 있기 때문입니다.

정의 15.4.1.

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 내적 공간이라 하고, $T\colon V\to W$ 라 하겠습니다. $T$ 의 딸림사상(또는 켤레 전치), 즉 $T^{\dagger}\colon W\to V$ 는 다음과 같이 정의됩니다: 모든 벡터 $w\in W$ 에 대해, $T^{\dagger}(w)\in V$ 를 다음을 만족하는 유일한 벡터로 둡니다.

\left<v,T^{\dagger}(w)\right>_{V}=\left<T(v),w\right>_{W}

모든 $v\in V$ 에 대해.

이 정의에 대한 몇 가지 즉각적인 소견:

•

우리의 $T^{\dagger}$ 는 잘 정의됩니다. 왜냐하면 $v\mapsto\left<T(v),w\right>_{W}$ 는 $V^{\vee}$ 안의 어떤 함수이므로, 앞서의 전단사에 의해 어떤 $v\in V$ 에 대해 유일하게 $\left<-,v\right>$ 꼴이어야 하기 때문입니다.
•

이 사상 $T^{\dagger}$ 는 실제로 선형 사상입니다 (왜 그럴까요?).
•

이 정의의 장점은 어떤 기저에도, 심지어 $V^{\vee}$ 에도 의존하지 않는다는 것이며, 그래서 이것이 내적 공간에 대한 ”올바른” 정의입니다.

예제 15.4.2 (수반 사상의 예).

$\mathbb{C}$ 위에서 작업하여 켤레가 더 잘 보이도록 하겠습니다. 정규직교 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 갖는 $V$ 와 정규직교 기저 $f_{1}$ , $f_{2}$ 를 갖는 $W$ 를 생각해봅시다. 다음과 같이 둡니다

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=if_{1}+2f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=3f_{1}+4f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=5f_{1}+6if_{2}.$

$T^{\dagger}(f_{1})$ 을 계산해봅시다. 이는 다음을 만족하는 유일한 벡터 $x\in V$ 입니다

\left<v,x\right>_{V}=\left<T(v),f_{1}\right>_{W}

임의의 $v\in V$ 에 대해. $v=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}$ 로 전개하면 위 등식은 다음이 됩니다

	$\displaystyle\left<ae_{1}+be_{2}+ce_{3},x\right>_{V}$	$\displaystyle=\left<T(ae_{1}+be_{2}+ce_{3}),f_{1}\right>_{W}$
		$\displaystyle=ia+3b+5c.$

하지만 $x$ 가 두 번째 인자에 있으므로, 이는 사실 우리가 다음을 취하고자 함을 의미합니다

T^{\dagger}(f_{1})=-ie_{1}+3e_{2}+5e_{3}

세스퀴선형성이 $i$ 를 켤레화하도록 하기 위해서입니다.

이 패턴은 계속되지만, 진행하려면 기저가 정규직교여야 함을 독자에게 상기시켜 드립니다.

정리 15.4.3 (수반 사상은 켤레 전치이다).

유한 차원 내적 공간 $V$ 의 정규직교 기저를 하나 고정합니다. $T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라 합시다. 이 기저에서 $T$ 를 행렬로 쓰면, (같은 기저에서의) 행렬 $T^{\dagger}$ 는 $T$ 의 행렬의 켤레 전치입니다. 즉, $T^{\dagger}$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 $T$ 의 $(j,i)$ 번째 성분의 복소켤레입니다.

증명.

한 줄 버전: $v$ 와 $w$ 를 기저 원소로 두면, 이는 바로 도출됩니다.

전체 증명: 다음과 같이 둡시다

T=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}

이 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 에서. 그러면 $w=e_{i}$ 이고 $v=e_{j}$ 로 두면 다음을 알 수 있습니다

\left<e_{i},T^{\dagger}(e_{j})\right>=\left<T(e_{i}),e_{j}\right>=a_{ji}% \implies\left<T^{\dagger}(e_{j}),e_{i}\right>=\overline{a_{ji}}

임의의 $i$ 에 대해, 이는 결과를 도출하기에 충분합니다. ∎

15.5 정규 사상의 고윳값

이제 예고한 정리에 도달합니다. $T\colon V\to V$ 인 상황으로 제한합시다. 아시다시피, 고유벡터로 이루어진 기저를 고를 수 있고 그 기저가 정규직교이기도 하다면 세상은 매우 아름다운 곳이 될 것입니다. 물론 이는 너무 많은 것을 바라는 것입니다. 정규직교 조건이 없어도, 조르당 표준형은 여전히 대각선 밖에 $1$ 을 가질 수 있음을 보았습니다.

하지만 우리의 과욕에 찬 꿈이 정확히 언제 참인지에 대한 완전한 특징 규명이 존재한다는 것이 밝혀집니다.

정의 15.5.1.

선형 사상 $T$ (유한 차원 내적 공간에서 자기 자신으로 가는)가 $TT^{\dagger}=T^{\dagger}T$ 를 만족하면 정규라고 합니다.

복소수 $T$ 가 $T=T^{\dagger}$ 를 만족하면 자기수반이거나 에르미트라고 합니다. 즉, 임의의 정규직교 기저에서 행렬로 나타냈을 때 $T$ 가 자기 자신의 켤레 전치라는 것입니다. 실수 $T$ 에 대해서는 ”자기수반”, ”에르미트” 또는 대칭이라고 합니다.

정리 15.5.2 (정규 $\iff$ 정규직교 기저로 대각화 가능).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라 합시다. 선형 사상 $T\colon V\to V$ 가 정규인 것은 고유벡터로 이루어진 정규직교 기저를 고를 수 있는 것과 동치입니다.

연습문제 15.5.3.

그러한 정규직교 기저가 존재하면 $T\colon V\to V$ 가 정규임을, 그 기저에서 $T$ 를 대각행렬로 씀으로써 보이십시오.

증명.

이는 길기 때문에 첫 독서에서는 생략해도 좋습니다. $T$ 가 고유벡터로 이루어진 정규직교 기저를 가지면 이 결과는 즉각적입니다.

이제 $T$ 가 정규(normal)라고 가정합니다. 먼저 $T$ 가 대각화 가능함을 증명합니다; 이것이 어려운 부분입니다.

주장 15.5.4.

$T$ 가 정규이면, $r\geq 1$ 에 대해 $\ker T=\ker T^{r}=\ker T^{\dagger}$ 입니다. (여기서 $T^{r}$ 은 $T$ 를 $r$ 번 적용한 것입니다.)

주장의 증명.

$S=T^{\dagger}\circ T$ 라 하면, 이는 자기수반입니다. 먼저 $S$ 가 에르미트(Hermitian)이고 $\ker S=\ker T$ 임을 주목합니다. 에르미트임을 보이려면, $\left<Sv,w\right>=\left<Tv,Tw\right>=\left<v,Sw\right>$ 임에 주목하십시오. $v=w$ 로 두면 또한 $\ker S\subseteq\ker T$ 가 성립함을 알 수 있으며 (그리고 자명하게 $\ker T\subseteq\ker S$ 이므로 결과적으로 등식이 성립합니다).

먼저, $\left<S^{r}(v),S^{r-2}(v)\right>=\left<S^{r-1}(v),S^{r-1}(v)\right>$ 이므로, 귀납법에 의해 $r\geq 1$ 에 대해 $\ker S=\ker S^{r}$ 임을 보일 수 있습니다. 이제 $T$ 가 정규이므로 $S^{r}=(T^{\dagger})^{r}\circ T^{r}$ 이 성립하며, 따라서 다음 포함 관계를 얻습니다

\ker T\subseteq\ker T^{r}\subseteq\ker S^{r}=\ker S=\ker T

여기서 마지막 등식은 첫 번째 주장으로부터 따라옵니다. 따라서 실제로 $\ker T=\ker T^{r}$ 입니다.

마지막으로, $\ker T^{\dagger}$ 와의 등식을 보이기 위해 우리는

	$\displaystyle\left<Tv,Tv\right>$	$\displaystyle=\left<v,T^{\dagger}Tv\right>$
		$\displaystyle=\left<v,TT^{\dagger}v\right>$
		$\displaystyle=\left<T^{\dagger}v,T^{\dagger}v\right>.\qed$

이제 주어진 $T$ 와 임의의 $\lambda$ 를 고려합니다.

질문 15.5.5.

$(T-\lambda\mathrm{id})^{\dagger}=T^{\dagger}-\overline{\lambda}\mathrm{id}$ 임을 보이십시오. 따라서 $T$ 가 정규이면 $T-\lambda\mathrm{id}$ 또한 정규입니다.

특히, $T$ 의 임의의 고윳값 $\lambda$ 에 대해, $\ker(T-\lambda\mathrm{id})=\ker(T-\lambda\mathrm{id})^{r}$ 임을 알 수 있습니다. 이는 $T$ 의 모든 조르당 블록(Jordan block)의 크기가 $1$ 임을, 즉 $T$ 가 실제로 대각화 가능함을 의미합니다. 마지막으로, $T$ 와 $T^{\dagger}$ 의 고유벡터가 서로 일치하며, 고윳값은 서로 켤레 복소수임을 결론짓습니다.

그럼 이제 $T$ 를 대각화합시다. 서로 다른 고윳값을 갖는 $T$ 의 고유벡터 $v$ 와 $w$ 가 있다면 이들이 서로 직교함을 보이기만 하면 됩니다. (여러 번 나타나는 고윳값에 대해서는 그람-슈미트(Gram-Schmidt)를 사용할 수 있습니다.) 이를 보이기 위해, $T(v)=\lambda v$ 이고 $T(w)=\mu w$ 라고 가정합시다 (따라서 $T^{\dagger}(w)=\overline{\mu}w$ 입니다). 그러면

\lambda\left<v,w\right>=\left<\lambda v,w\right>=\left<Tv,w\right>=\left<v,T^{% \dagger}(w)\right>=\left<v,\overline{\mu}w\right>=\mu\left<v,w\right>.

$\lambda\neq\mu$ 이므로, $\left<v,w\right>=0$ 임을 결론짓습니다. ∎

이는 다음을 쓸 수 있을 뿐만 아니라

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\dots&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}

나아가 이 행렬과 연관된 기저가 마침 정규직교 벡터들이라는 것도 의미합니다.

따름정리로서:

정리 15.5.6 (에르미트 행렬은 실수 고윳값을 갖습니다).

에르미트 행렬 $T$ 는 대각화 가능하며, 그 모든 고윳값은 실수입니다.

증명.

자명하게 에르미트 $\implies$ 정규이므로, 고유벡터의 정규직교 기저로 표현합니다. 고윳값이 실수임을 보이려면, $T=T^{\dagger}$ 가 모든 $i$ 에 대해 $\lambda_{i}=\overline{\lambda_{i}}$ 를 의미함에 주목하십시오. ∎

15.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 15A (이중 쌍대).

^†^†margin:

$V$ 를 유한 차원 벡터 공간이라 합시다. 다음을 증명하십시오

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to(V^{\vee})^{\vee}$
	$\displaystyle v$	$\displaystyle\mapsto\left(\xi\mapsto\xi(v)\right)$

동형사상을 이룸을. (이것이 중요한 이유는 이 동형사상이 정준적(canonical)이며, 특히 기저의 선택에 의존하지 않기 때문입니다. 그래서 이 결과는 더욱 인상적입니다.)

힌트. $V$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 취하여, 이것이 $e_{1}$ 을 기저 $(e_{1}^{\vee})^{\vee}$ 로 보내는 선형 사상임을 보이는 것만으로 결과를 증명할 수 있습니다.

문제 15B (선형대수학의 기본정리).

$T\colon V\to W$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간 사이의 사상이라 합시다. 다음을 증명하십시오

\dim\operatorname{im}T=\dim\operatorname{im}T^{\vee}=\dim V-\dim\ker T=\dim W-% \dim\ker T^{\vee}.

힌트. 정리 9.7.6를 사용하면 즉시 성립할 것입니다 (네 개의 값이 정리에서의 $k$ 와 같습니다).

풀이. 정리 9.7.6에 의해, $V$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 과 $W$ 의 기저 $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $i\leq k$ 에 대해 $T(e_{i})=f_{i}$ 이고 $i>k$ 에 대해 $T(e_{i})=0$ 이 되도록 선택할 수 있습니다. 그러면 $i\leq k$ 에 대해 $T^{\vee}(f_{i}^{\vee})=e_{i}^{\vee}$ 이고 $i>k$ 에 대해 $T^{\vee}(f_{i}^{\vee})=0$ 입니다. 위의 네 값은 모두 $k$ 와 같습니다.

문제 15C (행 계수는 열 계수와 같다).

어떤 체 $k$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어져 있습니다. $M$ 의 열 계수는 $k^{\oplus m}$ 에서 $n$ 개의 열벡터가 생성하는 부분공간의 차원입니다. $M$ 의 행 계수는 $k^{\oplus n}$ 에서 $m$ 개의 행벡터가 생성하는 부분공간의 차원입니다. 행 계수와 열 계수가 같음을 증명하십시오.

힌트. 이는 사실 앞 문제를 위장한 것에 불과합니다! 행 계수는 $\dim\operatorname{im}T^{\vee}$ 이고 열 계수는 $\dim\operatorname{im}T$ 입니다.

문제 15D (복소 켤레 공간).

$V=(V,+,\cdot)$ 을 복소 벡터 공간이라 합시다. 곱셈만을 바꾸어 복소 켤레 벡터 공간을 정의하고, 이를 $\overline{V}=(V,+,\ast)$ 로 표기합니다:

c\ast v=\overline{c}\cdot v.

$V$ 위의 임의의 반쌍선형 형식에 대해, $V$ 가 유한 차원이면 다음이

	$\displaystyle\overline{V}$	$\displaystyle\to V^{\vee}$
	$\displaystyle v$	$\displaystyle\mapsto\left<-,v\right>$

복소 벡터 공간의 동형사상임을 보이십시오.

문제 15E ( $T^{\dagger}$ 와 $T^{\vee}$ ).

$V$ 와 $W$ 를 실수 내적 공간이라 하고 $T\colon V\to W$ 를 선형 사상이라 합시다. 다음 도식이 가환함을 보이십시오:

여기서 동형사상은 $v\mapsto\left<-,v\right>$ 입니다. 따라서 실수 내적 공간에서는, $T^{\dagger}$ 는 (정리 15.3.2에 의해) 쌍대가 제거된 $T^{\vee}$ 에 지나지 않습니다.

문제 15F (정규성에 대한 다항식 판정법).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라 하고 $T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라 하십시오. $T$ 가 정규 사상일 필요충분조건이 다음을 만족하는 다항식¹¹1여기서 $p(T)$ 는 케일리-해밀턴 정리에서와 같은 합성의 의미로 사용합니다. $p\in\mathbb{C}[t]$ 가 존재하는 것임을 보이십시오:

T^{\dagger}=p(T)

힌트. 다항식이 존재한다면 $TT^{\dagger}=T^{\dagger}T$ 를 직접 확인하십시오. $T$ 가 정규 사상이라면 이를 대각화하십시오.

풀이. 먼저, $T^{\ast}=p(T)$ 라고 합시다. 그러면 $T^{\ast}T=p(T)\cdot T=T\cdot p(T)=TT^{\ast}$ 이므로 완료됩니다.

역으로, $T$ 가 내적 형식과 양립하는 방식으로 대각화 가능하다고 합시다( $V$ 가 유한 차원이므로 이는 성립합니다). 정규직교 기저를 생각합시다. 그러면 $T$ 는 주대각선상에 고윳값들을, 그 외 자리에는 0을 가지며, 이를

$T=\left(\begin{array}[]{cccc}\lambda_{1}&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{array}\right).$

이 경우, 임의의 다항식 $q$ 에 대해 다음이 성립함을 알 수 있습니다

$q(T)=\left(\begin{array}[]{cccc}q(\lambda_{1})&0&\dots&0\\ 0&q(\lambda_{2})&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&q(\lambda_{n})\end{array}\right).$

그리고

$T^{\ast}=\left(\begin{array}[]{cccc}\overline{\lambda_{1}}&0&\dots&0\\ 0&\overline{\lambda_{2}}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\overline{\lambda_{n}}\end{array}\right).$

따라서 우리는 단순히 모든 $i$ 에 대해 $q(\lambda_{i})=\overline{\lambda_{i}}$ 가 되는 다항식 $q$ 만 있으면 됩니다. $\lambda_{i}$ 가 유한 개이므로, 라그랑주 보간법을 이용하여 이러한 다항식을 구성할 수 있습니다.

문제 15G (행렬의 크로네커 곱).