장 15 쌍대, 수반, 전치

이 장에서는 행렬의 전치와 켤레 전치를 기저에 의존하지 않고 해석하는 방법을 다룹니다.

대표 따름정리: 실수 계수를 갖는 대칭 행렬은 대각화 가능하며 실수 고윳값을 갖는다는 것을 보게 됩니다.

15.1 사상의 쌍대

대표적인 예: 아래 예시를 보십시오.

이제 나중에 행렬의 전치로 자라날 개념을 정의하겠습니다.

정의 15.1.1.

$V$ 와 $W$ 를 벡터 공간이라고 합시다. $T\colon V\to W$ 가 선형 사상이라고 가정합시다. 그러면 실제로 다음과 같은 사상을 얻습니다.

	$\displaystyle T^{\vee}\colon W^{\vee}$	$\displaystyle\to V^{\vee}$
	$\displaystyle f$	$\displaystyle\mapsto f\circ T.$

이 사상을 쌍대 사상이라고 부릅니다.

예제 15.1.2 (쌍대 사상의 예시).

$\mathbb{R}$ 위에서 생각합시다. 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 를 갖는 $V$ 와 기저 $f_{1}$ , $f_{2}$ 를 갖는 $W$ 를 생각해 봅시다. 다음과 같다고 가정합시다.

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=f_{1}+2f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=3f_{1}+4f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=5f_{1}+6f_{2}.$

이제 쌍대 기저 $e_{1}^{\vee}$ , $e_{2}^{\vee}$ , $e_{3}^{\vee}$ 를 갖는 $V^{\vee}$ 와 쌍대 기저 $f_{1}^{\vee}$ , $f_{2}^{\vee}$ 를 갖는 $W^{\vee}$ 를 생각해 봅시다. $T^{\vee}(f_{1}^{\vee})=f_{1}^{\vee}\circ T$ 를 계산해 봅시다. 이는 다음과 같이 주어집니다.

	$\displaystyle f_{1}^{\vee}\left(T(ae_{1}+be_{2}+ce_{3})\right)$	$\displaystyle=f_{1}^{\vee}\left((a+3b+5c)f_{1}+(2a+4b+6c)f_{2}\right)$
		$\displaystyle=a+3b+5c.$

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

T^{\vee}(f_{1}^{\vee})=e_{1}^{\vee}+3e_{2}^{\vee}+5e_{3}^{\vee}

마찬가지로,

T^{\vee}(f_{2}^{\vee})=2e_{1}^{\vee}+4e_{2}^{\vee}+6e_{3}^{\vee}.

이것으로 $T^{\vee}$ 가 완전히 결정됩니다.

$T$ 와 $T^{\vee}$ 의 행렬을 우리가 택한 기저로 나타내면, 이제 다음을 알 수 있습니다.

T=\begin{bmatrix}1&3&5\\ 2&4&6\end{bmatrix}\quad\text{그리고}\quad T^{\vee}=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\\ 5&6\end{bmatrix}.

따라서 우리가 선택한 기저에서 두 행렬은 서로 전치, 즉 대각선을 기준으로 서로의 거울상임을 알 수 있습니다.

물론 이는 일반적으로도 성립해야 합니다.

정리 15.1.3 ( $T^{\vee}$ 의 전치 해석).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 $k$ -벡터 공간이라고 하고, $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 $V$ 의 임의의 기저, $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $W$ 의 임의의 기저라고 합시다. 그러면 임의의 $T\colon V\to W$ 에 대해 다음 두 행렬은 서로 전치입니다.

•

기저 $(e_{i})$ , $(f_{j})$ 로 나타낸 $T\colon V\to W$ 의 행렬입니다.
•

기저 $(f_{j}^{\vee})$ , $(e_{i}^{\vee})$ 로 나타낸 $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 의 행렬입니다.

증명.

행렬 $T$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 $T(e_{j})$ 에서 $f_{i}$ 의 계수에 해당하며, 이는 다시 $f_{i}^{\vee}\circ T$ 에서 $e_{j}^{\vee}$ 의 계수에 해당합니다. ∎

이것의 좋은 점은 $T^{\vee}$ 의 정의가 기저에 의존하지 않는다는 것입니다. 즉, 임의의 선형 사상 $T$ 에서 시작하여 원하는 어떤 기저를 고르더라도 $T$ 와 $T^{\vee}$ 는 여전히 서로 전치라는 뜻입니다.

15.2 (선택) $V\cong V^{\vee}$ 인 자연 동형사상이 없으면 무엇이 잘못되는지에 관한 경고성 이야기

이 절 이후로는 $V$ 와 $W$ 가 실제로 내적 공간이라고 가정하겠습니다. 이 선택적인 경고 절은 그 가정이 없을 때 무엇이 잘못되는지를 설명하기 위한 것입니다. 그러나 이 절은 정말 혼란스럽고 갈피를 잡기 어려우므로, 일단 건너뛰었다가 이 장의 나머지 부분을 마치고 끝에 있는 문제 몇 개(문제 15C 등)를 푼 뒤에 읽는 것이 좋을 수 있습니다.

예를 들어, 정리 15.1.3만 사용해도 다음을 이미 증명할 수 있으며, 이는 전형적인 고등학교 선형대수학 수업에서 가장 중요한 정리 중 하나입니다.

정리 15.2.1 (행 계수 = 열 계수).

어떤 체 $k$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어졌다고 합시다. $M$ 의 열 계수는 $M$ 의 $n$ 개의 열벡터가 $k^{\oplus m}$ 에서 생성하는 공간의 차원입니다. $M$ 의 행 계수는 $M$ 의 $m$ 개의 행벡터가 $k^{\oplus n}$ 에서 생성하는 공간의 차원입니다. 행 계수와 열 계수가 같음을 증명하십시오.

증명.

문제 15B와 문제 15C로 남겨 둡니다. 한 가지 방법은 정리 9.7.6와 정리 15.1.3을 결합하는 것입니다. ∎

그러나 $e_{i}\mapsto e_{i}^{\vee}$ 로 주어지는 비표준적인 동형사상 $V\to V^{\vee}$ 를 지나치게 활용하려 하면 무엇이 잘못될 수 있는지 살펴봅시다. 다음 “정리”를 생각해 봅시다.

거짓 정리. 어떤 체 $k$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어졌다고 합시다. 그러면 $M^{\top}M$ 과 $M$ 의 계수는 같습니다.

이제 이 결과에 대한 엉터리 증명을 제시하겠습니다.

거짓 정리의 틀린 증명.

$V=k^{\oplus n}$ , $W=k^{\oplus m}$ 이라 하고, $T\colon V\to W$ 를 $M$ 으로 표현되는 선형 사상이라 합시다. 정리 15.1.3에 의해 $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 는 $M^{\top}$ 으로 표현됩니다.

정리 9.7.6에 의해, 다음을 만족하는 서로 다른 기저 $e_{i}$ ( $V$ 의 기저)와 $f_{j}$ ( $W$ 의 기저)가 존재합니다.

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=f_{1},\;\dots,\;T(e_{k})=f_{k}$
	$\displaystyle T(e_{k+1})$	$\displaystyle=\dots=T(e_{n})=0$

여기서 $k=\operatorname{rank}T$ 입니다. (계수와 기저 체 모두에 문자 $k$ 를 사용한 점은 양해해 주십시오.) 이 새로운 기저는 행렬 표현에는 전혀 사용하지 않고, 계수를 계산하는 데에만 사용합니다.

그러면 $T^{\vee}\colon W^{\vee}\to V^{\vee}$ 의 정의로부터 다음을 알 수 있습니다.

	$\displaystyle T^{\vee}(f_{1}^{\vee})$	$\displaystyle=e_{1}^{\vee},\;\dots,\;T^{\vee}(f_{k}^{\vee})=e_{k}^{\vee}$
	$\displaystyle T^{\vee}(f_{k+1}^{\vee})$	$\displaystyle=\dots=T^{\vee}(f_{m}^{\vee})=0.$

이제 이를 우리의 (비표준적인) 동형사상 $W\to W^{\vee}$ 와 결합하면, $M^{\top}M$ 이 다음과 같이 주어지는 합성 사상 $V\to V^{\vee}$ 의 행렬임을 얻습니다.

	$\displaystyle e_{1}$	$\displaystyle\mapsto f_{1}\mapsto f_{1}^{\vee}\mapsto e_{1}^{\vee}$
	$\displaystyle e_{2}$	$\displaystyle\mapsto f_{2}\mapsto f_{2}^{\vee}\mapsto e_{2}^{\vee}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}\mapsto{}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle e_{k}$	$\displaystyle\mapsto f_{k}\mapsto f_{k}^{\vee}\mapsto e_{k}^{\vee}$
	$\displaystyle e_{k+1}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0$
	$\displaystyle e_{k+2}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}\mapsto{}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle e_{n}$	$\displaystyle\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0.$

$e_{1}$ 부터 $e_{k}$ 까지에서의 출력은 선형 독립이고 $e_{k+1}$ 부터 $e_{n}$ 까지에서의 출력은 모두 $0$ 이므로, 이 합성 사상의 계수 역시 $k$ 임이 분명합니다. 따라서 원하던 대로 $M^{\top}M$ 의 계수도 $k$ 입니다. ∎

괜찮아 보입니까? 그런데 문제 15H에서 보겠지만, 이 정리는 $k=\mathbb{R}$ 일 때 실제로 참입니다. 하지만 다음 연습 문제가 보여 주듯이 $k=\mathbb{C}$ 일 때는 거짓입니다.

연습문제 15.2.2.

복소수 성분을 가지면서 $M^{\top}M$ 이 영행렬이 되는 영이 아닌 $2\times 2$ 행렬 $M$ 의 예를 들어, 이 가짜 정리의 반례를 찾으십시오.

그렇다면 엉터리 증명의 잘못은 어디에 있습니까? 제가 보기에 문제는 위에서 다음과 같이 주어진 사상이

e_{i}\mapsto f_{i}\mapsto f_{i}^{\vee}\mapsto e_{i}^{\vee}

$T^{\vee}\circ T$ (이것은 정의조차 되지 않습니다)가 아니라, $\iota\colon W\to W^{\vee}$ 가 우리가 아무것도 알지 못하는 “임의의” 동형사상일 때 $T^{\vee}\circ\iota\circ T$ 라는 점입니다. 따라서 이를 행렬로 표현하면 실제로 얻는 행렬은 $M^{\top}NM$ 이며, 여기서 $N$ 은 우리가 전혀 통제할 수 없는 어떤 임의의 가역 행렬입니다.

다음과 같이 하면 $k=\mathbb{R}$ 인 경우에 이 증명을 고칠 수 있습니다.

•

$\iota$ 를 다음 절에서 정의하는 사상 $w\mapsto\left\langle-,w\right\rangle$ 로 택하여 $N$ 이 항등 행렬로 표현되도록 합니다. 그리고
•

추가로 정리 9.7.6에서 $f_{i}$ 가 정규직교이도록 요구하여(이는 가능합니다) $\iota(f_{i})=f_{i}^{\vee}$ 가 되도록 합니다.

하지만 제 생각에 이것은 상당히 보기 흉한 증명입니다. 이 장이 끝날 무렵이면 문제 15H에 대해 기저를 쓰지 않는 증명을 작성할 도구를 갖추게 되기 때문입니다.

15.3 쌍대 공간과의 동일시

하지만 이 장의 나머지 부분에서는 이제 내적 곱(inner products)을 함께 다루겠습니다.

앞에서 저는 자연 동형사상 $V\cong V^{\vee}$ 가 없다고 불평했습니다. 그러나 사실 내적 형식이 주어지면 실제로 그러한 동일시를 할 수 있습니다. 즉, 모든 선형 사상 $\xi\colon V\to k$ 를 벡터 $v\in V$ 와 자연스럽게 대응시킬 수 있습니다.

이를 어떻게 할 수 있는지 알아보기 위해, 우선 $V=\mathbb{R}^{3}$ 이고 정규직교 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 가 주어져 있다고 가정합시다. 내적을 사용하여 $V\to\mathbb{R}$ 인 사상을 어떻게 표현할 수 있겠습니까? 예를 들어, $\xi(e_{1})=3$ , $\xi(e_{2})=4$ , $\xi(e_{3})=5$ 로 $\xi\in V^{\vee}$ 를 잡습니다. 사실 다음이 성립한다고 주장합니다.

\xi(v)=\left<v,3e_{1}+4e_{2}+5e_{3}\right>

이 식은 모든 $v$ 에 대하여 성립합니다.

질문 15.3.1.

이를 확인해 보십시오.

그리고 이는 실수의 경우에 아주 잘 작동합니다.

정리 15.3.2 (실 내적 형식에 대한 $V\cong V^{\vee}$ ).

$V$ 를 유한 차원 실 내적 공간이라 하고 $V^{\vee}$ 를 그 쌍대 공간이라 합시다. 그러면 다음으로 주어지는 사상 $V\to V^{\vee}$

v\mapsto\left<-,v\right>\in V^{\vee}

는 실벡터 공간의 동형사상입니다.

증명.

이 사상이 단사이자 전사임을 보이면 충분합니다.

•

단사: 모든 벡터 $v\in V$ 에 대하여 $\left<v,v_{1}\right>=\left<v,v_{2}\right>$ 라고 가정합시다. 이는 모든 벡터 $v\in V$ 에 대하여 $\left<v,v_{1}-v_{2}\right>=0$ 임을 뜻합니다. 이는 $v_{1}-v_{2}=0$ 일 때만 가능합니다. 예를 들어 $v=v_{1}-v_{2}$ 로 잡고 양의 정부호성을 사용하면 됩니다.
•

전사성: 정규직교 기저 $e_{1}$ , … $e_{n}$ 을 잡고 $e_{1}^{\vee}$ , …, $e_{n}^{\vee}$ 를 $V^{\vee}$ 위의 쌍대 기저라고 합시다. 그러면 $e_{1}$ 은 $e_{1}^{\vee}$ 로 가는 사상이 되며, 나머지도 마찬가지입니다. ∎

사실 우리는 이미 $\dim V=\dim V^{\vee}$ 임을 알고 있으므로 위의 둘 중 하나만 증명하면 충분했습니다. 개인적인 취향으로는 단사성의 증명이 더 우아하고 전사성의 증명이 더 많은 깨달음을 준다고 생각하기 때문에 둘 다 실었습니다. 따라서 다음이 성립합니다.

실 내적 공간 $V$ 에 내적 형식이 주어지면, $V$ 와 $V^{\vee}$ 는 표준적으로 동형입니다.

안타깝게도 $V$ 가 복소 공간이면 일이 틀어집니다. 결과는 다음과 같습니다.

정리 15.3.3 (복소 내적 형식에 대한 $V$ 와 $V^{\vee}$ 의 비교).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라 하고 $V^{\vee}$ 를 그 쌍대 공간이라 합시다. 그러면 다음으로 주어지는 사상 $V\to V^{\vee}$

v\mapsto\left<-,v\right>\in V^{\vee}

는 집합 사이의 전단사입니다.

잠깐, 뭐라고 했습니까? 위의 증명은 이 사상이 단사이자 전사임을 보여 주는데, 왜 동형사상이 아닌 것입니까? 그 답은 이것이 선형 사상이 아니기 때문입니다. 형식이 반쌍선형이므로 예를 들어 다음이 성립합니다.

iv\mapsto\left<-,iv\right>=-i\left<-,v\right>

여기서 음의 부호가 생겨났습니다! 사실 이것은 앞에서 정의한 의미에서의 반선형 사상입니다.

열성적인 독자라면 대신 동형사상을 $v\mapsto\left<v,-\right>$ 로 정의하여 이를 고치려 할 수도 있습니다. 그러나 이것 역시 실패합니다. 우변은 $V^{\vee}$ 의 원소조차 아니기 때문입니다. 이는 선형이 아니라 “반선형”입니다.

그래서 우리는 막혀 버립니다. 다행히도 이후의 내용에서는 “전단사” 결과만 필요하므로 어쨌든 계속 진행할 수 있습니다. (이를 고치고 싶다면 문제 15D에서 그 방법을 제시합니다.)

15.4 수반 (켤레 전치)

위의 뒤집힘 때문에 내적 공간에서는 사실 켤레 전치가 더 나은 개념임을 보게 될 것입니다. 켤레 전치는 쌍대 공간을 전혀 언급하지 않고 내적만을 사용하여 정의할 수 있기 때문입니다.

정의 15.4.1.

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 내적 공간이라 하고 $T\colon V\to W$ 라 합시다. $T$ 의 수반(또는 켤레 전치)은 $T^{\dagger}\colon W\to V$ 로 표기하며 다음과 같이 정의합니다. 모든 벡터 $w\in W$ 에 대하여 $T^{\dagger}(w)\in V$ 를 다음을 만족하는 유일한 벡터로 둡니다.

\left<v,T^{\dagger}(w)\right>_{V}=\left<T(v),w\right>_{W}

이 식은 모든 $v\in V$ 에 대하여 성립합니다.

이 정의에 대해 바로 몇 가지 짚어 두겠습니다.

•

$v\mapsto\left<T(v),w\right>_{W}$ 는 $V^{\vee}$ 에 속하는 어떤 함수이므로, 앞서 본 전단사에 의해 어떤 $v\in V$ 에 대하여 $\left<-,v\right>$ 꼴로 유일하게 나타납니다. 따라서 $T^{\dagger}$ 는 잘 정의됩니다.
•

이 사상 $T^{\dagger}$ 는 실제로 선형 사상입니다(왜 그렇습니까?).
•

이 정의의 좋은 점은 어떤 기저도, 심지어 $V^{\vee}$ 도 언급하지 않는다는 것입니다. 그러므로 이것이 내적 공간에 대한 “올바른” 정의입니다.

예제 15.4.2 (수반 사상의 예).

켤레가 더 잘 드러나도록 $\mathbb{C}$ 위에서 작업하겠습니다. 정규직교 기저 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ 을 갖는 $V$ 와 정규직교 기저 $f_{1}$ , $f_{2}$ 를 갖는 $W$ 를 생각합시다. 다음과 같이 놓습니다.

	$\displaystyle T(e_{1})$	$\displaystyle=if_{1}+2f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{2})$	$\displaystyle=3f_{1}+4f_{2}$
	$\displaystyle T(e_{3})$	$\displaystyle=5f_{1}+6if_{2}.$

$T^{\dagger}(f_{1})$ 을 계산하겠습니다. 이는 다음을 만족하는 유일한 벡터 $x\in V$ 입니다.

\left<v,x\right>_{V}=\left<T(v),f_{1}\right>_{W}

이 식은 임의의 $v\in V$ 에 대하여 성립해야 합니다. $v=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}$ 으로 전개하면 위의 등식은 다음과 같이 됩니다.

	$\displaystyle\left<ae_{1}+be_{2}+ce_{3},x\right>_{V}$	$\displaystyle=\left<T(ae_{1}+be_{2}+ce_{3}),f_{1}\right>_{W}$
		$\displaystyle=ia+3b+5c.$

그런데 $x$ 는 두 번째 인자에 있으므로, 실제로는 다음과 같이 잡아야 합니다.

T^{\dagger}(f_{1})=-ie_{1}+3e_{2}+5e_{3}

그래야 반쌍선형성에 의해 $i$ 가 켤레로 바뀝니다.

나머지도 같은 방식으로 계속됩니다. 다만 이렇게 진행하려면 기저가 정규직교여야 한다는 점을 다시 한번 짚어 둡니다.

정리 15.4.3 (수반 사상은 켤레 전치입니다).

유한 차원 내적 공간 $V$ 의 정규직교 기저를 하나 고정합니다. $T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라고 합시다. 이 기저에서 $T$ 를 행렬로 나타내면, (같은 기저에서의) 행렬 $T^{\dagger}$ 는 $T$ 의 행렬의 켤레 전치입니다. 즉, $T^{\dagger}$ 의 $(i,j)$ 번째 성분은 $T$ 의 $(j,i)$ 번째 성분의 복소켤레입니다.

증명.

한 줄 요약: $v$ 와 $w$ 를 기저 원소로 잡으면 결과가 바로 나옵니다.

전체 증명: 다음과 같이 둡니다.

T=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}

여기서 기저는 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 입니다. 이제 $w=e_{i}$ , $v=e_{j}$ 로 두면 다음을 얻습니다.

\left<e_{i},T^{\dagger}(e_{j})\right>=\left<T(e_{i}),e_{j}\right>=a_{ji}% \implies\left<T^{\dagger}(e_{j}),e_{i}\right>=\overline{a_{ji}}

이 식이 임의의 $i$ 에 대하여 성립하므로 결과를 이끌어 내기에 충분합니다. ∎

15.5 정규 사상의 고윳값

이제 앞서 예고한 정리에 이르렀습니다. $T\colon V\to V$ 인 경우로 한정합시다. 고유벡터들로 이루어진 기저를 잡되 그 기저가 정규직교이기도 하다면 세상은 무척 아름다운 곳일 것입니다. 물론 이것은 지나친 기대입니다. 정규직교 조건이 없더라도 조르당 표준형에는 대각선 밖에 여전히 $1$ 이 있을 수 있음을 이미 보았습니다.

그러나 이 지나친 꿈이 정확히 언제 이루어지는지는 완전하게 특징지을 수 있습니다.

정의 15.5.1.

(유한 차원 내적 공간에서 자기 자신으로 가는) 선형 사상 $T$ 가 $TT^{\dagger}=T^{\dagger}T$ 를 만족하면 $T$ 를 정규라고 합니다.

복소 $T$ 가 $T=T^{\dagger}$ 를 만족하면 $T$ 를 자기수반 또는 에르미트라고 합니다. 즉, 임의의 정규직교 기저에서 행렬로 나타낸 $T$ 가 자기 자신의 켤레 전치와 같다는 뜻입니다. 실수 $T$ 의 경우에는 “자기수반”, “에르미트” 또는 대칭이라고 합니다.

정리 15.5.2 (정규 $\iff$ 정규직교 기저로 대각화 가능).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라고 합시다. 선형 사상 $T\colon V\to V$ 가 정규일 필요충분조건은 고유벡터들로 이루어진 정규직교 기저를 잡을 수 있는 것입니다.

연습문제 15.5.3.

그러한 정규직교 기저가 존재하면 그 기저에서 $T$ 를 대각 행렬로 나타내어 $T\colon V\to V$ 가 정규임을 보이십시오.

증명.

이 증명은 길므로 처음 읽을 때는 건너뛰어도 좋습니다. $T$ 가 고유벡터들로 이루어진 정규직교 기저를 가지면 이 결과는 바로 나옵니다.

이제 $T$ 가 정규라고 가정합시다. 먼저 $T$ 가 대각화 가능함을 증명합니다. 이것이 어려운 부분입니다.

주장 15.5.4.

$T$ 가 정규이면, $r\geq 1$ 에 대하여 $\ker T=\ker T^{r}=\ker T^{\dagger}$ 입니다. (여기서 $T^{r}$ 은 $T$ 를 $r$ 번 적용한 것입니다.)

주장의 증명.

$S=T^{\dagger}\circ T$ 라 두면, 이는 자기수반입니다. 먼저 $S$ 가 에르미트이고 $\ker S=\ker T$ 임을 확인합니다. 에르미트임을 보이려면 $\left<Sv,w\right>=\left<Tv,Tw\right>=\left<v,Sw\right>$ 임에 주목하십시오. $v=w$ 로 두면 $\ker S\subseteq\ker T$ 도 따라옵니다(자명하게 $\ker T\subseteq\ker S$ 이므로 결국 등호가 성립합니다).

먼저, $\left<S^{r}(v),S^{r-2}(v)\right>=\left<S^{r-1}(v),S^{r-1}(v)\right>$ 이므로 귀납법에 의해 $r\geq 1$ 에 대하여 $\ker S=\ker S^{r}$ 임을 알 수 있습니다. 이제 $T$ 가 정규이므로 $S^{r}=(T^{\dagger})^{r}\circ T^{r}$ 이고, 따라서 다음 포함 관계를 얻습니다.

\ker T\subseteq\ker T^{r}\subseteq\ker S^{r}=\ker S=\ker T

여기서 마지막 등호는 첫 번째 주장으로부터 따라옵니다. 따라서 실제로 $\ker T=\ker T^{r}$ 입니다.

마지막으로, $\ker T^{\dagger}$ 와 같음을 보이기 위해 다음과 같이 합니다.

	$\displaystyle\left<Tv,Tv\right>$	$\displaystyle=\left<v,T^{\dagger}Tv\right>$
		$\displaystyle=\left<v,TT^{\dagger}v\right>$
		$\displaystyle=\left<T^{\dagger}v,T^{\dagger}v\right>.\qed$

이제 주어진 $T$ 와 임의의 $\lambda$ 를 생각합시다.

질문 15.5.5.

$(T-\lambda\mathrm{id})^{\dagger}=T^{\dagger}-\overline{\lambda}\mathrm{id}$ 임을 보이십시오. 따라서 $T$ 가 정규이면 $T-\lambda\mathrm{id}$ 도 정규입니다.

특히 $T$ 의 임의의 고윳값 $\lambda$ 에 대하여 $\ker(T-\lambda\mathrm{id})=\ker(T-\lambda\mathrm{id})^{r}$ 임을 알 수 있습니다. 이는 $T$ 의 모든 조르당 블록의 크기가 $1$ 임을, 즉 $T$ 가 실제로 대각화 가능함을 뜻합니다. 마지막으로, $T$ 와 $T^{\dagger}$ 의 고유벡터가 일치하고 고윳값은 서로 켤레복소수라고 결론짓습니다.

그러므로 $T$ 를 대각화합시다. $v$ 와 $w$ 가 서로 다른 고윳값을 갖는 $T$ 의 고유벡터이면 이들이 서로 직교함을 보이기만 하면 됩니다. (여러 번 나타나는 고윳값에 대해서는 그람-슈미트 과정을 사용할 수 있습니다.) 이를 위해 $T(v)=\lambda v$ 이고 $T(w)=\mu w$ 라고 가정합시다(따라서 $T^{\dagger}(w)=\overline{\mu}w$ 입니다). 그러면

\lambda\left<v,w\right>=\left<\lambda v,w\right>=\left<Tv,w\right>=\left<v,T^{% \dagger}(w)\right>=\left<v,\overline{\mu}w\right>=\mu\left<v,w\right>.

$\lambda\neq\mu$ 이므로 $\left<v,w\right>=0$ 이라고 결론짓습니다. ∎

이는 다음과 같이 쓸 수 있을 뿐만 아니라

T=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\dots&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{bmatrix}

더 나아가 이 행렬에 대응하는 기저가 마침 정규직교 벡터들로 이루어진다는 것을 의미합니다.

따름정리로서 다음을 얻습니다:

정리 15.5.6 (에르미트 행렬은 실수 고윳값을 가집니다).

에르미트 행렬 $T$ 는 대각화 가능하며, 그 고윳값은 모두 실수입니다.

증명.

자명하게 에르미트 $\implies$ 정규이므로, 고유벡터들로 이루어진 정규직교 기저로 나타내십시오. 고윳값이 실수임을 보이려면, $T=T^{\dagger}$ 가 모든 $i$ 에 대하여 $\lambda_{i}=\overline{\lambda_{i}}$ 임을 뜻한다는 점에 주목하십시오. ∎

15.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 15A (이중 쌍대).

^†^†margin:

$V$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 합시다. 다음을 증명하십시오.

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to(V^{\vee})^{\vee}$
	$\displaystyle v$	$\displaystyle\mapsto\left(\xi\mapsto\xi(v)\right)$

이 동형사상을 줌을 증명하십시오. (이 동형사상은 표준적이며, 특히 기저의 선택에 의존하지 않으므로 이 사실은 중요합니다. 그래서 이 결과는 더 인상적입니다.)

힌트. $V$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 잡고, 이것이 $e_{1}$ 을 기저 $(e_{1}^{\vee})^{\vee}$ 로 보내는 선형 사상임을 보이기만 하면 결과를 증명할 수 있습니다.

문제 15B (선형대수학의 기본 정리).

$T\colon V\to W$ 를 유한차원 $k$ -벡터 공간 사이의 사상이라 합시다. 다음을 증명하십시오.

\dim\operatorname{im}T=\dim\operatorname{im}T^{\vee}=\dim V-\dim\ker T=\dim W-% \dim\ker T^{\vee}.

힌트. 정리 9.7.6를 사용하면 바로 따라옵니다(네 양은 모두 정리의 $k$ 와 같습니다).

풀이. 정리 9.7.6에 의해, $V$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 과 $W$ 의 기저 $f_{1}$ , …, $f_{m}$ 을 $i\leq k$ 이면 $T(e_{i})=f_{i}$ 이고 $i>k$ 이면 $T(e_{i})=0$ 이 되도록 고를 수 있습니다. 그러면 $i\leq k$ 이면 $T^{\vee}(f_{i}^{\vee})=e_{i}^{\vee}$ 이고 $i>k$ 이면 $T^{\vee}(f_{i}^{\vee})=0$ 입니다. 따라서 위의 네 양은 모두 $k$ 와 같습니다.

문제 15C (행 계수는 열 계수와 같습니다).

어떤 체 $k$ 위에서 $m\times n$ 행렬 $M$ 이 주어졌다고 합시다. $M$ 의 열 계수는 $M$ 의 $n$ 개의 열벡터가 $k^{\oplus m}$ 에서 생성하는 공간의 차원입니다. $M$ 의 행 계수는 $M$ 의 $m$ 개의 행벡터가 $k^{\oplus n}$ 에서 생성하는 공간의 차원입니다. 행 계수와 열 계수가 같음을 증명하십시오.

힌트. 이것은 사실 앞 문제를 모양만 바꾼 것에 불과합니다! 행 계수는 $\dim\operatorname{im}T^{\vee}$ 이고 열 계수는 $\dim\operatorname{im}T$ 입니다.

문제 15D (복소 켤레 공간).

$V=(V,+,\cdot)$ 를 복소 벡터 공간이라고 합시다. 곱셈만 다음과 같이 바꾸어 복소 켤레 벡터 공간을 정의하고, 이를 $\overline{V}=(V,+,\ast)$ 로 표기합니다:

c\ast v=\overline{c}\cdot v.

$V$ 위의 임의의 반쌍선형 형식에 대하여, $V$ 가 유한 차원이면 다음 사상

	$\displaystyle\overline{V}$	$\displaystyle\to V^{\vee}$
	$\displaystyle v$	$\displaystyle\mapsto\left<-,v\right>$

이 복소 벡터 공간의 동형사상임을 보이십시오.

문제 15E ( $T^{\dagger}$ 대 $T^{\vee}$ ).

$V$ 와 $W$ 를 실내적 공간이라 하고 $T\colon V\to W$ 를 선형 사상이라고 합시다. 다음 도식이 가환함을 보이십시오:

여기서 동형사상은 $v\mapsto\left<-,v\right>$ 입니다. 따라서 실내적 공간에서 $T^{\dagger}$ 는 (정리 15.3.2에 의해) 쌍대를 제거한 $T^{\vee}$ 에 불과합니다.

문제 15F (정규성에 대한 다항식 판정법).

$V$ 를 유한 차원 복소 내적 공간이라 하고 $T\colon V\to V$ 를 선형 사상이라고 합시다. $T$ 가 정규일 필요충분조건은

T^{\dagger}=p(T)

를 만족하는 다항식¹¹1여기서 $p(T)$ 는 케일리-해밀턴 정리에서와 같은 합성의 의미입니다. $p\in\mathbb{C}[t]$ 가 존재하는 것임을 보이십시오.

힌트. 다항식이 존재한다면 $TT^{\dagger}=T^{\dagger}T$ 를 직접 확인하십시오. $T$ 가 정규라면 $T$ 를 대각화하십시오.

풀이. 먼저 $T^{\ast}=p(T)$ 라고 가정합시다. 그러면 $T^{\ast}T=p(T)\cdot T=T\cdot p(T)=TT^{\ast}$ 이므로 증명이 끝납니다.

역으로, $T$ 가 내적 형식과 호환되는 방식으로 대각화 가능하다고 가정합시다( $V$ 가 유한 차원이므로 괜찮습니다). 정규직교 기저를 생각합시다. 그러면 $T$ 는 주대각선에 고윳값이 있고 나머지는 0으로 이루어지며, 예를 들어

$T=\left(\begin{array}[]{cccc}\lambda_{1}&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{2}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n}\end{array}\right).$

이 경우, 임의의 다항식 $q$ 에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다

$q(T)=\left(\begin{array}[]{cccc}q(\lambda_{1})&0&\dots&0\\ 0&q(\lambda_{2})&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&q(\lambda_{n})\end{array}\right).$

그리고

$T^{\ast}=\left(\begin{array}[]{cccc}\overline{\lambda_{1}}&0&\dots&0\\ 0&\overline{\lambda_{2}}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\overline{\lambda_{n}}\end{array}\right).$

따라서 모든 $i$ 에 대하여 $q(\lambda_{i})=\overline{\lambda_{i}}$ 를 만족하는 다항식 $q$ 만 있으면 됩니다. $\lambda_{i}$ 는 유한 개이므로 라그랑주 보간법을 이용하여 그러한 다항식을 구성할 수 있습니다.

문제 15G (행렬의 크로네커 곱).