장 65 기본군

위상수학자는 커피잔과 도넛을 구별하지 못합니다. 그렇다면 무엇이든 어떻게 구별할 수 있겠습니까?

이는 답하기 매우 어려운 질문이지만, 이를 답하려 시도할 수 있는 한 가지 방법은 공간의 불변량을 찾는 것입니다. 군의 유비를 들자면, 예를 들어 두 군의 위수가 다르거나, 한쪽은 단순군이고 다른 쪽은 그렇지 않은 경우 등에는 두 군이 동형이 아님이 명백합니다. 우리는 위상 공간에 대해서도 이와 비슷한 성질을 찾아내어 실제로 공간들을 구별할 수 있기를 바랍니다.

공간 $X$ 에 대한 이러한 불변량 두 가지는 다음과 같습니다

•

호몰로지 군 $H_{1}(X)$ , $H_{2}(X)$ , …정의하기
•

호모토피 군 $\pi_{1}(X)$ , $\pi_{2}(X)$ , …정의하기

호몰로지 군은 정의하기는 어렵지만 일반적으로 계산하기는 더 쉽습니다. 호모토피 군은 정의하기는 더 쉽지만 계산하기는 더 어렵습니다.

이 장은 기본군 $\pi_{1}$ 에 관한 것입니다.

65.1 경로를 융합하기

공간 $X$ 에서의 경로란 함수 $[0,1]\to X$ 임을 상기하십시오. $\gamma_{1}(1)=\gamma_{2}(0)$ 을 만족하는 경로 $\gamma_{1}$ 과 $\gamma_{2}$ 가 있다고 합시다. 우리는 이들을 융합¹¹1세상 사람들 거의 모두는 이러한 구성이나 다른 유형의 구성물을 기술할 때 “접합(gluing)”이라는 표현을 사용합니다. 하지만 저는 고등학교 시절 엘머 풀 때문에 트라우마가 생겼는데, 어리석은 “포스터 만들기” 과제가 싫었고 거기에 풀을 써야 하는 것도 싫었기 때문입니다. 그래서 저는 경로들을 “접합한다”고 말하기를 거부하고, 대신 어쨌든 더 멋지게 들리는 “융합한다”라는 표현을 쓰겠습니다. 하여 경로 $\gamma_{1}\ast\gamma_{2}$ 를 얻고자 합니다. 쉽지 않습니까?

안타깝지만 우리는 정의를 약간 편법적으로 손봐야 합니다. 이상적인 세계라면 경로 $\gamma_{1}\colon[0,1]\to X$ 와 $\gamma_{2}\colon[1,2]\to X$ 가 있을 때 이들을 그저 합쳐서 $\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\colon[0,2]\to X$ 를 얻을 수 있을 것입니다. 하지만 여기서 이 “ $2$ ”는 잘못되었습니다. 해법은 첫 번째 경로에는 $[0,\frac{1}{2}]$ 를, 두 번째 경로에는 $[\frac{1}{2},1]$ 을 할당하는 것입니다. 즉 “두 배 빠르게” 진행하는 것입니다.

정의 65.1.1.

$\gamma_{1}(1)=\gamma_{2}(0)$ 을 만족하는 두 경로 $\gamma_{1},\gamma_{2}\colon[0,1]\to X$ 가 주어졌을 때, 경로 $\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\colon[0,1]\to X$ 를 다음과 같이 정의합니다

(\gamma_{1}\ast\gamma_{2})(t)=\begin{cases}\gamma_{1}(2t)&0\leq t\leq\frac{1}{% 2}\\ \gamma_{2}(2t-1)&\frac{1}{2}\leq t\leq 1.\end{cases}

안타깝게도 이 편법은 두 번째 단점을 드러냅니다. 바로 이 “곱”이 결합법칙을 만족하지 않는다는 것입니다. 적절한 경로들에 대해 $(\gamma_{1}\ast\gamma_{2})\ast\gamma_{3}$ 을 취하면, $\gamma_{1}$ , $\gamma_{2}$ , $\gamma_{3}$ 에 할당되는 시간은 각각 $[0,\frac{1}{4}]$ , $[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$ , $[\frac{1}{2},1]$ 입니다.

질문 65.1.2.

$\gamma_{1}\ast(\gamma_{2}\ast\gamma_{3})$ 에 할당되는 시간은 무엇입니까?

하지만 이 연산이 결합법칙을 만족하지 않는다 해도, 그것이 결합법칙을 만족하지 못하는 이유는 다소 어이없다는 데 동의하시리라 생각합니다. 이는 그저 특정 구간에서 얼마나 빨리 진행하느냐의 문제일 뿐입니다.

따라서 경로들을 융합하는 한, 우리는 $[0,1]$ 자체를 너무 진지하게 받아들이고 싶지 않을 것입니다. 그래서 우리는 모든 것을 (경로) 호모토피 동치까지만 고려합니다. (두 경로 $\alpha$ 와 $\beta$ 사이에 경로 호모토피 $F\colon[0,1]^{2}\to X$ , 즉 $\alpha$ 에서 $\beta$ 로 가는 연속적인 변형이 존재하면 두 경로는 호모토픽하다는 것을 상기하십시오.) 다음이 확실히 성립합니다

\left(\gamma_{1}\ast\gamma_{2}\right)\ast\gamma_{3}\simeq\gamma_{1}\ast\left(% \gamma_{2}\ast\gamma_{3}\right).

또한 $\alpha_{1}\simeq\alpha_{2}$ 이고 $\beta_{1}\simeq\beta_{2}$ 이면 $\alpha_{1}\ast\beta_{1}\simeq\alpha_{2}\ast\beta_{2}$ 라는 것도 성립합니다.

당연히 호모토피는 동치 관계이므로, 경로 $\gamma$ 는 어떤 “호모토피 타입”, 즉 $\simeq$ 아래에서의 동치류에 속합니다. 이를 $[\gamma]$ 로 표기하겠습니다. 그러면 $[\alpha]\ast[\beta]$ 를 이야기하는 것이 의미가 있습니다. 따라서 $\ast$ 를 호모토피류에 대한 연산으로 생각할 수 있습니다.

65.2 기본군

대표적인 예: $\pi_{1}(\mathbb{R}^{2})$ 는 자명하며 $\pi_{1}(S^{1})\cong\mathbb{Z}$ 입니다.

이 시점에서 끝점을 계속 추적하는 것이 다소 성가시므로, 이제 특정한 유형의 경로로 논의를 한정하겠습니다.

정의 65.2.1.

루프란 $\gamma(0)=\gamma(1)$ 을 만족하는 경로입니다.

따라서 단일한 점 $x_{0}$ 에서 시작하는 경로들로 주의를 한정하면, 모든 것이 $x_{0}$ 에서 시작하고 끝나므로 더 이상 끝점과 시작점을 신경 쓸 필요가 없습니다. 우리에게는 심지어 매우 표준적인 루프도 있습니다. 바로 내내 $x_{0}$ 에 가만히 서 있는 것으로 주어지는 “아무것도 하지 않는” 루프²²2뚱보.입니다.

정의 65.2.2.

자명한 “아무것도 하지 않는 루프”를 $1$ 로 표기하겠습니다. 루프 $\gamma$ 가 $1$ 과 호모토픽하면, 즉 $\gamma\simeq 1$ 이면 널호모토픽하다고 합니다.

고리(loop)의 호모토피에 대해서는, 고리를 ”감아 들이는” 것을 상상하여 하나의 점으로 수축시키는 것으로 시각화할 수 있습니다.

예제 65.2.3 ( $S^{2}$ 의 고리는 영호모토픽(nulhomotopic)입니다).

다음 그림이 여러분을 납득시켜 주겠지만, 단일 연결(simply connected) 공간 $S^{2}$ 의 모든 고리는 영호모토픽입니다.

(보라색 고리에서 시작하여, 적갈색 점으로 수축시킵니다.)

따라서 어떤 공간이 단일 연결임을 보이려면 그 공간의 고리들을 이해하는 것으로 충분합니다. 이제 다음을 제시할 준비가 되었습니다:

정의 65.2.4.

기점 $x_{0}$ 을 갖는 $X$ 의 기본군은 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 으로 표기하며, 호모토피 동치류들의 집합으로

\left\{[\gamma]\mid\gamma\text{$x_{0}$에서의 루프}\right\}

$\ast$ 를 군 연산으로 갖춘 것입니다.

이것이 군 구조를 이룬다는 사실이 놀랍게 느껴질 수 있습니다. 예를 들어, 역원은 무엇일까요? 지금 정의해 봅시다.

정의 65.2.5.

경로 $\alpha\colon[0,1]\to X$ 가 주어졌을 때, 경로 $\overline{\alpha}$ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다

\overline{\alpha}(t)=\alpha(1-t).

이는 실질적으로 ” $\alpha$ 를 거꾸로 진행하는” 것입니다. $\overline{\alpha}$ 는 $\alpha$ 의 끝점에서 시작하여 $\alpha$ 의 시작점에서 끝난다는 점에 유의하십시오.

연습문제 65.2.6.

임의의 경로 $\alpha$ 에 대해, $\alpha\ast\overline{\alpha}$ 가 $\alpha(0)$ 에서의 ”아무것도 하지 않는” 고리와 호모토픽함을 보이십시오. (그림을 그려 보십시오.)

확인해 봅시다.

이것이 군 구조임을 증명.

분명히 $\ast$ 는 $x_{0}$ 에서의 두 고리를 받아 $x_{0}$ 에서의 고리를 내놓습니다. 우리는 또한 이미 $\ast$ 가 결합적임을 보이는 데 시간을 들였습니다. 따라서 우리는 (i) 항등원이 존재하는지, (ii) 역원이 존재하는지만 확인하면 됩니다.

•

우리는 항등원이 앞서 설명한 ”아무것도 하지 않는” 고리 $1$ 이라고 주장합니다. 독자는 임의의 $\gamma$ 에 대해 다음을 확인할 수 있습니다,

$\gamma\simeq\gamma\ast 1\simeq 1\ast\gamma.$
•

고리 $\gamma$ 에 대해, 그것의 ”역방향” 고리 $\overline{\gamma}$ 를 다음과 같이 정의했음을 다시 상기하십시오

$\overline{\gamma}(t)=\gamma(1-t).$

그러면 $\gamma\ast\overline{\gamma}=\overline{\gamma}\ast\gamma=1$ 이 성립합니다.

따라서 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 은 실제로 군입니다. ∎

더 나아가기 전에 몇 가지 예시를 드는 것이 좋겠습니다.

예제 65.2.7 (기본군의 예시들).

다음 결과들을 증명하는 것은 결코 자명하지 않다는 점에 유의하십시오. 지금은 그저 주장된 답이 ”왜” 옳아야 하는지를 직관적으로 파악해 보십시오.

(a)

$\mathbb{C}$ 의 기본군은 자명군입니다: 평면에서는 모든 고리가 영호모토픽입니다. (증명: 그것이 밧줄 한 조각이라고 상상하고 감아 들이는 것입니다.)
(b)

반면, $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ (앞서 나온 유성 예시)의 기본군은 어떤 기점을 택하더라도 실제로 $\mathbb{Z}$ 입니다! 이를 증명하기까지는 아직 시간이 걸리겠지만, 본질적으로 고리는 원점을 감는 횟수에 의해 결정되며 – 이를 소위 감김수(winding numbers)라 부릅니다. 한번 생각해 보십시오!
(c)

마찬가지로, 우리는 곧 $S^{1}$ (단위원)의 기본군이 $\mathbb{Z}$ 임을 보일 것입니다.

공식적으로는 기점이 무엇인지도 알려드려야 하지만, 이 예시들에서는 대칭성에 의해 그것이 중요하지 않습니다.

다음은 절 7.7의 유성처럼 구멍을 과장하여 나타낸 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 의 그림입니다.

질문 65.2.8.

$S^{1}$ 의 기본군이 $\mathbb{Z}$ 임을 스스로 확인하고, 이를 왜 ”감김수(winding numbers)”라고 부르는지 이해하십시오. (이는 이후 장들에서 기본군의 가장 중요한 예시가 될 것이므로, 지금 반드시 파악해 두는 것이 중요합니다.)

예제 65.2.9 (8자 도형).

8자 도형 $S^{1}\vee S^{1}$ 을 생각하고, $x_{0}$ 를 중심점이라 합시다. 그러면

\pi_{1}(S^{1}\vee S^{1},x_{0})\cong\left<a,b\right>

는 두 문자로 생성된 자유군입니다. 아이디어는 8자 도형의 한쪽 고리가 $a$ 이고 다른 쪽 고리가 $b$ 라는 것이며, 따라서 우리는 $\pi_{1}$ 이 이 고리들 $a$ 와 $b$ (그리고 그 역원 $\overline{a}$ 와 $\overline{b}$ )에 의해 생성되리라 기대합니다. 이 고리들은 서로 관계가 없습니다.

그래프 이론에서는 보통 그래프가 연결되어 있다고 가정한다는 것을 상기하십시오. 그렇지 않으면 각 연결 성분을 따로따로 고려하면 되기 때문입니다. 마찬가지로 우리는 일반적으로 경로 연결 공간에만 관심을 국한하고자 하는데, 이는 어떤 공간이 경로 연결되어 있지 않다면 여러 개의 ”경로 연결 성분”으로 나뉠 수 있기 때문입니다. (이것을 어떻게 정의할지 짐작할 수 있습니까?) 실제로, 제 책상 위의 물건들로 이루어진 (책상 자체는 제외한) 공간 $X$ 를 상상해 볼 수 있습니다. 제 휴대폰의 $\pi_{1}$ 은 제 머그컵의 $\pi_{1}$ 과 아무 관계가 없습니다. 이들은 비유적으로도 문자 그대로도 완전히 비연결되어 있습니다.

하지만 반대로, 경로 연결 공간에서는 이 군들이 서로 매우 밀접하게 관련되어 있다고 주장합니다!

정리 65.2.10 (기본군은 기준점에 의존하지 않습니다).

$X$ 를 경로 연결 공간이라 합시다. 그러면 임의의 $x_{1}\in X$ 와 $x_{2}\in X$ 에 대해 다음이 성립합니다

\pi_{1}(X,x_{1})\cong\pi_{1}(X,x_{2}).

증명을 읽기 전에, 아래 그림만 보고 이 동형사상을 짐작할 수 있는지 시도해 보십시오.

증명.

$\alpha$ 를 $x_{1}$ 에서 $x_{2}$ 로 가는 임의의 경로라 하고 (경로 연결성에 의해 가능합니다), $\overline{\alpha}$ 를 그 역경로라 합시다. 그러면 다음과 같은 사상을 구성할 수 있습니다

\pi_{1}(X,x_{1})\to\pi_{1}(X,x_{2})\text{에 의해}[\gamma]\mapsto[\overline{\alpha% }\ast\gamma\ast\alpha].

다시 말해, $x_{1}$ 에서의 고리 $\gamma$ 가 주어지면, $x_{2}$ 에서 시작하여 $\overline{\alpha}$ 를 따라 $x_{1}$ 로 간 다음 $\gamma$ 를 실행하고, 이어서 $\alpha$ 를 따라 다시 $x_{2}$ 로 돌아올 수 있습니다. 따라서 이는 $\pi_{1}(X,x_{1})$ 의 모든 고리로부터 $\pi_{1}(X,x_{2})$ 의 고리를 만들어내는 사상입니다. 이것이 군의 준동형사상인 이유는 다음과 같습니다

\left(\overline{\alpha}\ast\gamma_{1}\ast\alpha\right)\ast\left(\overline{% \alpha}\ast\gamma_{2}\ast\alpha\right)=\overline{\alpha}\ast\gamma_{1}\ast% \gamma_{2}\ast\alpha

$\alpha\ast\overline{\alpha}$ 가 널호모토픽이기 때문입니다.

마찬가지로, 다음과 같은 준동형사상도 존재합니다

\pi_{1}(X,x_{2})\to\pi_{1}(X,x_{1})\text{에 의해}[\gamma]\mapsto[\alpha\ast\gamma% \ast\overline{\alpha}].

이 두 사상이 서로의 역사상이므로, 이들은 동형사상이어야 함을 알 수 있습니다. 이것으로 끝입니다. ∎

이것이 우리가 보통 경로 연결 공간에만 관심을 두는 더 큰 이유입니다.

표기의 남용 65.2.11.

경로 연결 공간 $X$ 에 대해서는 어떤 $x_{0}\in X$ 를 선택하든 상관없으므로, 흔히 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 를 그냥 $\pi_{1}(X)$ 로 줄여 쓰겠습니다.

마지막으로, 우리가 원래 ”단순 연결(simply connected)”을 양 끝점이 같은 임의의 두 경로가 호모토픽이라는 뜻으로 정의했음을 상기하십시오. 이 조건을 완화한 다음, 기본군을 이용해 다시 표현하는 것이 가능합니다.

연습문제 65.2.12.

$X$ 를 경로 연결 공간이라 합시다. $X$ 가 단순 연결인 것과 $\pi_{1}(X)$ 가 자명군인 것이 동치임을 증명하십시오. (한쪽 방향은 쉽지만, 다른 쪽 방향은 조금 더 까다롭습니다.)

이것이 단순 연결의 ”일반적인” 정의입니다.

65.3 기본군은 위상동형사상에 대해 불변입니다

논의를 정리하기 위해 도입할 간단한 표기법이 하나 있습니다

정의 65.3.1.

$f\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 라는 표기는, $f\colon X\to Y$ 가 공간 사이의 연속함수이면서 동시에 점 $x_{0}$ 를 $y_{0}$ 로 보낸다는 것을 의미합니다.

$X$ 와 $Y$ 를 위상 공간이라 하고 $f\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 라 합시다. 이제 우리는 $X$ 와 $Y$ 의 기본군을 서로 연관 짓고자 합니다.

$(X,x_{0})$ 에서의 고리 $\gamma$ 란 $\gamma(0)=\gamma(1)=x_{0}$ 를 만족하는 사상 $\gamma\colon[0,1]\to X$ 임을 상기하십시오. 그러면 다음 합성을 생각해 보면

[0,1]\xrightarrow{\gamma}(X,x_{0})\xrightarrow{f}(Y,y_{0})

바로 $y_{0}$ 에서의 $Y$ 의 고리를 얻게 됩니다! 이 고리를 $f_{\sharp}\gamma$ 라고 부르겠습니다.

보조정리 65.3.2 ( $f_{\sharp}$ 는 호모토피 불변입니다).

$\gamma_{1}\simeq\gamma_{2}$ 가 경로 호모토픽이라면, 실제로

f_{\sharp}\gamma_{1}\simeq f_{\sharp}\gamma_{2}.

증명.

$\gamma_{1}$ 을 $\gamma_{2}$ 로 보내는 호모토피 $h$ 를 취하고 $f\circ h$ 를 생각해 보십시오. ∎

이 시점에서 $X$ 와 $Y$ 가 위상동형이면 그 기본군들이 모두 동형사상 관계에 있다는 점을 짚어둘 만합니다. 실제로 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 를 서로 역인 연속 사상이라 합시다. 그러면 $f_{\sharp}\colon\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})$ 와 $g_{\sharp}\colon\pi_{1}(Y,y_{0})\to\pi_{1}(X,x_{0})$ 가 두 군 사이의 서로 역인 사상임을 확인할 수 있습니다 (단, $f(x_{0})=y_{0}$ 이고 $g(y_{0})=x_{0}$ 이라고 가정합니다).

65.4 고차 호모토피 군

기본군에 왜 $\pi_{1}$ 이라는 표기를 사용할까요? 그리고 $\pi_{2}$ , …는 무엇일까요? 그 답은 다음과 같은 재서술에 있습니다:

질문 65.4.1.

고리가 연속 함수 $S^{1}\to X$ 와 같은 것임을 스스로 확인해 보십시오.

경로가 아닌 다른 대상에 대해서도 호모토피를 정의할 수 있음이 밝혀졌습니다. 두 함수 $f,g\colon Y\to X$ 는 $f$ 를 $g$ 로 연속적으로 변형하는 연속 함수 $Y\times[0,1]\to X$ 가 존재하면 호모토픽이라고 합니다. 따라서 위에서 했던 모든 것은 그저 $Y=S^{1}$ 인 특수한 경우였을 뿐입니다.

일반적인 $n$ 에 대해, 군 $\pi_{n}(X)$ 는 사상 $S^{n}\to X$ 의 호모토피 류들로 정의됩니다. 군의 연산은 좀 더 구체적으로 정하기 어렵습니다. $S^{n}$ 이 몇몇 끝점들을 붙인 $[0,1]^{n}$ 과 위상동형임을 보여야 합니다. 예를 들어 $S^{1}$ 은 $0$ 과 $1$ 을 붙인 $[0,1]$ 입니다. 이러한 정육면체들을 갖추면, 한 면을 따라 서로 합칠 수 있습니다. (다시 말하지만, 저는 일부러 몹시 부정확하게 설명하고 있습니다.)

$n\neq 1$ 일 때, $\pi_{n}$ 은 $\pi_{1}$ 과는 다소 다르게 행동합니다. ( $S^{n}$ 이 $n\geq 2$ 인 모든 경우에 단일 연결이지만 $n=1$ 일 때는 그렇지 않으므로, 그리 놀랍지 않을 수도 있습니다.) 특히 $\pi_{n}(X)$ 는 $n\geq 2$ 인 모든 경우에 아벨 군임이 밝혀졌습니다.

몇 가지 예를 살펴봅시다.

예제 65.4.2 ( $\pi_{n}(S^{n})\cong\mathbb{Z}$ ).

앞서 보았듯이 $\pi_{1}(S^{1})\cong\mathbb{Z}$ 이며, 기준이 되는 원 $S^{1}$ 이 주어지면 두 번째 원을 그 주위에 원하는 만큼 여러 번 감을 수 있습니다. 일반적으로 $\pi_{n}(S^{n})\cong\mathbb{Z}$ 임이 성립합니다.

예제 65.4.3 ( $n<m$ 일 때 $\pi_{n}(S^{m})$ 은 자명합니다).

$S^{2}$ 안의 원은 그저 한 점으로 감아 들일 수 있으므로 $\pi_{1}(S^{2})\cong\{1\}$ 임을 보았습니다. 마찬가지로 더 작은 $n$ 차원 구는 더 큰 $m$ 차원 구의 표면 위에서 감아 들일 수 있음이 밝혀졌습니다. 따라서 일반적으로 $n<m$ 일 때 $\pi_{n}(S^{m})$ 은 자명합니다.

그러나 이러한 관찰을 넘어서면, 이 군들은 상당히 기이하게 행동합니다. 다음은 $1\leq m\leq 8$ 이고 $2\leq n\leq 10$ 인 범위에서 $\pi_{n}(S^{m})$ 의 표이며, 이를 보면 제가 무엇을 말하는지 알 수 있을 것입니다. (위키백과에서 가져왔습니다.)

\begin{array}[]{r|ccccccccc}\pi_{n}(S^{m})&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline\cr m=1&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}&\{1\}\\ 2&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{% Z}/12\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/3% \mathbb{Z}&\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\\ 3&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/12% \mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/3\mathbb{Z% }&\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\\ 4&&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}\times% \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}&(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}% \times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{% Z}\\ 5&&&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/24% \mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\\ 6&&&&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/24% \mathbb{Z}&\{1\}\\ 7&&&&&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/24% \mathbb{Z}\\ 8&&&&&&&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\end{array}

실제로, 모든 $m$ 과 $n$ 에 대해 $\pi_{n}(S^{m})$ 을 계산할 수 있다면, 사실상 어떠한 호모토피 류도 계산할 수 있음이 밝혀졌습니다. 따라서 $\pi_{n}(S^{m})$ 을 계산하는 것은 일반적으로 일종의 가망 없는 일이며, 위 표에 나타난 혼돈과 패턴의 뒤섞임이 이를 증명하고 있습니다.

65.5 호모토피 동치인 공간

대표적인 예: 원판은 한 점과 호모토피 동치이고, 환형(annulus)은 $S^{1}$ 과 호모토피 동치입니다.

지금까지 저는 표기를 남용하여 두 경로에 대해 ”경로 호모토피”를 그냥 ”호모토피”라고 불러왔습니다. 유감스럽게도 앞으로도 계속 그렇게 할 것입니다 (따라서 제가 두 경로가 호모토픽이라고 말할 때는 언제나 ”경로 호모토픽”을 의미한다고 가정하시기 바랍니다). 하지만 먼저 호모토피의 일반적인 정의가 무엇인지 말씀드리겠습니다.

정의 65.5.1.

$f,g\colon X\to Y$ 를 연속 함수라 합시다. 호모토피란 연속 함수 $F\colon X\times[0,1]\to Y$ 로서, $s\in[0,1]$ , $x\in X$ 에 대해 $F_{s}(x)$ 로 쓰며, 다음을 만족하는 것입니다

F_{0}(x)=f(x)\text{그리고}F_{1}(x)=g(x)\text{모든 $x\in X$에 대해.}

이러한 함수가 존재하면, $f$ 와 $g$ 는 호모토픽이라고 합니다.

직관적으로 이는 다시 한번 ” $f$ 를 $g$ 로 변형하는 것”입니다. 이는 경로 호모토피와 거의 똑같은 정의임을 눈치채셨을 텐데, 다만 $f$ 와 $g$ 가 경로가 아니라 임의의 함수이며, 따라서 변형 과정에서 어떤 ”끝점”을 고정해야 한다는 제약이 없다는 점이 다릅니다.

이 호모토피는 상당히 극적일 수 있습니다:

예제 65.5.2.

영함수 $z\mapsto 0$ 과 항등함수 $z\mapsto z$ 는 함수 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 로서 호모토픽입니다. 필요한 변형은

[0,1]\times\mathbb{C}\to\mathbb{C}\text{에 의해}(s,z)\mapsto sz.

이것을 언급하는 이유는 다음을 정의하고 싶기 때문입니다:

정의 65.5.3.

$X$ 와 $Y$ 를 공간이라고 합시다. 다음을 만족하는 연속함수 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 가 존재하면, 이 둘은 호모토피 동치입니다.

(i)

$f\circ g\colon Y\to Y$ 는 $Y$ 위의 항등사상과 호모토픽하고,
(ii)

$g\circ f\colon X\to X$ 는 $X$ 위의 항등사상과 호모토픽합니다.

위상 공간이 한 점과 호모토피 동치이면, 그 공간을 수축가능하다고 합니다.

질문 65.5.4.

왜 동형인 두 공간은 호모토피 동치이기도 할까요?

직관적으로, 이것은 위상동형사상보다 더 관대한 형태의 늘이기와 구부리기라고 생각할 수 있습니다: 거대한 공간을 하나의 점으로 압축하는 것이 허용됩니다.

예제 65.5.5 ( $\mathbb{C}$ 는 수축가능합니다).

위상 공간 $\mathbb{C}$ 와 단일 점 $\{0\}$ 으로 이루어진 공간을 생각해봅시다. 우리는 이 두 공간이 호모토피 동치라고 주장합니다 ( $f$ 와 $g$ 가 무엇일지 짐작할 수 있습니까?). 실제로 확인해야 할 두 가지는 다음과 같습니다.

(i)

$z\mapsto 0\mapsto 0$ 으로 정의되는 $\mathbb{C}\to\{0\}\hookrightarrow\mathbb{C}$ 는, 우리가 방금 본 바와 같이 $\mathbb{C}$ 위의 항등사상과 호모토피 동치이고,
(ii)

$0\mapsto 0\mapsto 0$ 으로 정의되는 $\{0\}\hookrightarrow\mathbb{C}\to\{0\}$ 는 $\{0\}$ 위의 항등사상 그 자체입니다.

여기서 $\hookrightarrow$ 는 함수가 단순히 ”포함사상”인 특수한 경우의 $\to$ 를 의미합니다.

비고 65.5.6.

$\mathbb{C}$ 는 한 점과 위상동형일 수 없는데, 그 이유는 두 집합 사이에 전단사가 존재하지 않기 때문입니다.

예제 65.5.7 (뚫린 평면은 $S^{1}$ 과 호모토피 동치입니다).

위상 공간 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ , 즉 뚫린 평면과, $\mathbb{C}$ 의 부분집합으로 간주되는 원 $S^{1}$ 을 생각해봅시다. 우리는 이 공간들이 실제로 호모토피 동치라고 주장합니다! 필요한 함수는 포함사상과

S^{1}\hookrightarrow\mathbb{C}\setminus\{0\}

다음 함수입니다.

\mathbb{C}\setminus\{0\}\to S^{1}\quad\text{에 의해}\quad z\mapsto\frac{z}{\left% \lvert z\right\rvert}.

이들이 요구되는 조건을 만족함을 확인할 수 있습니다.

비고 65.5.8.

반면에, $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 는 $S^{1}$ 과 위상동형일 수 없습니다. 두 점을 제거하면 $S^{1}$ 을 비연결로 만들 수 있지만, $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에 대해서는 이것이 성립하지 않습니다.

예제 65.5.9 ( $\text{원판}=\text{점}$ , $\text{환형}=\text{원}$ ).

같은 이치로, 원판은 한 점과 호모토픽하며, 환형(annulus)은 원과 호모토픽합니다. (이것은 유한하기 때문에 시각화하기가 조금 더 쉬울 수 있습니다.)

이것을 언급하는 이유는 다음이 성립하기 때문입니다.

대수적 위상수학은 호모토피 동치인 공간들을 구별할 수 없습니다.

더 정확히 말하면,

정리 65.5.10 (호모토피 동치인 공간들은 동형인 기본군을 갖습니다).

$X$ 와 $Y$ 를 경로연결이고 호모토피 동치인 공간이라고 합시다. 그러면 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $\pi_{n}(X)\cong\pi_{n}(Y)$ 입니다.

증명.

$\gamma\colon[0,1]^{n}\to X$ 를 하나의 $S^{n}$ 이라 합시다. $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 를 $X$ 와 $Y$ 가 호모토피 동치임을 보이는 사상이라 합시다(즉 $f\circ g$ 와 $g\circ f$ 가 각각 항등사상과 호모토픽함을 의미합니다). 그러면 합성

[0,1]^{n}\xrightarrow{\gamma}X\xrightarrow{f}Y

은 $Y$ 에서의 $S^{n}$ 이며, 따라서 $f$ 는 자연스러운 준동형사상 $\pi_{n}(X)\to\pi_{n}(Y)$ 를 유도합니다. 마찬가지로 $g$ 는 자연스러운 준동형사상 $\pi_{n}(Y)\to\pi_{n}(X)$ 를 유도합니다. $f$ 와 $g$ 에 대한 조건은 이제 정확히 이 두 준동형사상이 서로 역사상임을 말하며, 이는 곧 이 사상들이 동형사상임을 의미합니다. ∎

특히,

질문 65.5.11.

수축 가능한 공간의 기본군은 무엇입니까?

이는 예를 들어 대수적 위상수학이 $\mathbb{R}^{2}$ 의 다음과 같은 호모토픽 부분공간들을 구별할 수 없다는 것을 의미합니다.

♀ ♂

65.6 점을 가진 호모토피 범주

이 절은 기본적인 범주론을 아는 독자를 위해 쓰였습니다. 그렇지 않은 분들은 장 67 and 68를 읽은 후 돌아오시기 바랍니다. 아는 분들은 범주론적 개념을 이용해 이 장의 내용을 얼마나 간결하게 요약할 수 있는지 즐기실 수 있을 것입니다.

정의 65.6.1.

점을 가진 호모토피 범주 $\mathsf{hTop}_{\ast}$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

•

대상: 점을 가진 공간; 즉, 구별된 기점 $x_{0}$ 을 갖는 공간 $X$ 의 쌍 $(X,x_{0})$ 이며,
•

사상: 연속함수 $(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 의 호모토피류입니다.

특히, 경로 연결인 두 공간이 이 범주에서 동형사상 관계에 있는 것은 정확히 이들이 호모토피 동치일 때입니다. 그러면 앞서의 여러 결과를 다음과 같이 요약할 수 있습니다:

정리 65.6.2 (기본군의 함자적 해석).

다음과 같은 함자가 존재합니다

\pi_{1}\colon\mathsf{hTop}_{\ast}\to\mathsf{Grp}

다음과 같이 대응시키는

$\pi_{1}$ 이 각 점을 가진 위상 공간 $(X,x_{0})$ 에 어떤 군 $\pi_{1}(X,x_{0})$ 을 단순히 대응시키는 것이 아니라 하나의 함자라는 사실은 자동적으로 여러 좋은 성질들을 함의합니다. 예를 들면:

•

이 함자는 $f_{\sharp}$ 의 정보를, 그것이 합성을 보존한다는 사실을 포함하여 하나로 묶습니다. 범주론적 언어로 말하면, $f_{\sharp}$ 는 $\pi_{1}(f)$ 입니다.
•

호모토픽인 공간들은 동형인 기본군을 갖습니다(이는 두 공간이 $\mathsf{hTop}$ 에서 동형사상 관계에 있고, 정리 68.2.8에 의해 함자가 동형사상을 보존하기 때문입니다). 실제로 정리 68.2.8과 정리 65.5.10의 증명이 은밀히 서로 동일함을 알아차리실 수 있을 것입니다.
•

사상 $f,g\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 가 호모토픽하다면, $f_{\sharp}=g_{\sharp}$ 입니다. 이는 기본적으로 보조정리 65.3.2입니다.

비고 65.6.3.

사실, $\pi_{1}(X,x_{0})$ 는 $\mathsf{hTop}_{\ast}$ 에서의 화살표 $(S^{1},1)\to(X,x_{0})$ 의 집합이므로, 이는 실제로 대상이 $\mathsf{Set}$ 대신 $\mathsf{Grp}$ 인 것을 제외하면 공변 요네다 함자(예제 68.2.6)입니다.

65.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 65A (조화 부채꼴).

경로 연결이지만, 점 $p$ 를 찾을 수 있어서 $r<1$ 인 $p$ 의 임의의 $r$ -근방이 경로 연결이 아니게 되는, 거리 공간 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간 $X$ 를 제시하십시오.

문제 65B (자이페르트-반 캄펀의 특수한 경우).

^†^†margin:

$X$ 를 위상 공간이라 합시다. $U$ 와 $V$ 가 $X$ 의 연결된 열린집합이고, $X=U\cup V$ 이며, $U\cap V$ 가 공집합이 아니고 경로 연결이라고 가정합시다.

$\pi_{1}(U)=\pi_{1}(V)=\{1\}$ 이면 $\pi_{1}(X)=\{1\}$ 임을 증명하십시오.

비고 65.7.1.

Seifert–van Kampen 정리는 $\pi_{1}(U)$ 와 $\pi_{1}(V)$ 가 임의의 군인 경우로 이를 일반화하며, $\pi_{1}(U)$ , $\pi_{1}(V)$ , $\pi_{1}(U\cap V)$ 를 이용하여 $\pi_{1}(X)$ 를 계산하는 공식을 제공합니다. 증명은 거의 동일합니다.

안타깝게도 이는 $\pi_{1}(S^{1})$ 를 계산하는 방법을 제공하지 않는데, $U\cap V$ 가 연결되도록 $S^{1}=U\cup V$ 로 쓰는 것이 불가능하기 때문입니다.

문제 65C (RMM 2013).