장 29 멱급수와 테일러 급수

다항식은 매우 다루기 좋은 함수이며, 그런 이유로 폭넓게 연구됩니다. 예를 들어 해석학적 관점에서 다항식은 매끄럽고, 그 도함수도 쉽게 계산할 수 있습니다.

이 장에서는 문자 그대로 “무한 다항식” $\sum_{n}a_{n}x^{n}$ 인 멱급수를 공부하겠습니다. 급수와 미분에 대한 이해를 바탕으로, 다음 세 가지 멋진 사실을 확인하게 됩니다.

•

자연에서 볼 수 있는 많은 함수는 실제로 멱급수로 주어집니다. 그 예로 $e^{x}$ , $\log x$ , $\sin x$ 가 있습니다.
•

멱급수의 수렴 성질은 실제로 꽤 다루기 좋습니다. 계수들의 나열로부터 어떤 $x$ 에서 수렴하는지 알아낼 수 있습니다.
•

$\sum_{n}a_{n}x^{n}$ 의 도함수는 실제로 그저 $\sum_{n}na_{n}x^{n-1}$ 입니다.

29.1 동기

시작하기 위해, 여러분이 알아볼 만한 무한 다항식 하나로 출발합시다. 임의로 고정된 수 $-1<x<1$ 에 대해 다음 급수 수렴이 성립합니다.

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots

이는 등비급수 공식에 의한 것입니다.

이것을 문제 26D에서 이미 보지 않았다고 가정합시다. 그러면 대신 다음과 같이 매끄러운 함수 $f\colon(-1,1)\to\mathbb{R}$ 가 주어집니다.

f(x)=\frac{1}{1-x}.

이 함수가 원점 근처에서 “무한 다항식”과 같다고 가정하고 싶다고 합시다. 즉,

(1-x)^{-1}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots.

그 다항식을 미리 알지 못했다면, 어떻게 찾을 수 있었겠습니까?

우선 첫째로, $x=0$ 을 대입하면 당연히 $a_{0}=1$ 이어야 한다는 점에 주목할 수 있습니다.

우리에게는 도함수가 있으므로, 실제로 양변을 미분하여 다음을 얻을 수 있습니다.

(1-x)^{-2}=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+\cdots.

이제 $x=0$ 으로 두면 $a_{1}=1$ 을 얻습니다. 사실, 계속 미분하면서 무엇이 나오는지 봅시다.

\displaystyle(1-x)^{-1}

\displaystyle{}={}

\displaystyle a_{0}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{1}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{2}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{3}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{4}x^{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{5}x^{5}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle(1-x)^{-2}

\displaystyle{}={}

\displaystyle a_{1}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 2a_{2}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 3a_{3}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 4a_{4}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 5a_{5}x^{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 2(1-x)^{-3}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 2a_{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 6a_{3}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 12a_{4}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 20a_{5}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 6(1-x)^{-4}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 6a_{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 24a_{4}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 60a_{5}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 24(1-x)^{-5}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 24a_{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 120a_{5}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle{}\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}{}.

$x=0$ 으로 두면 $1=a_{0}=a_{1}=a_{2}=\dots$ 를 얻는데, 이는 예상한 대로 등비급수 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ 입니다. 그러니 실제로 미분하는 것만으로도 올바른 주장을 얻기에 충분했습니다!

29.2 멱급수

대표적인 예: $\frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+\cdots$ 이며, 이는 $(-1,1)$ 에서 수렴합니다.

물론 이것은 엄밀하지 않습니다. 우변이 무엇인지 설명하지 않았고, 하물며 그것을 항별로 미분할 수 있음을 보이지도 않았기 때문입니다. 그러므로 이제 주인공을 정의하겠습니다.

정의 29.2.1.

멱급수는 다음 꼴의 합입니다.

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots

여기서 $a_{0}$ , $a_{1}$ , … 는 실수이고, $z$ 는 변수입니다.

표기의 남용 29.2.2 ( $0^{0}=1$ ).

매우 주의 깊은 분이라면 $z=0$ 이고 $n=0$ 일 때 $0^{0}$ 항이 나타난다는 것을 알아차릴 수도 있습니다. 이 장에서는 이 항들이 모두 1과 같다고 약속합니다.

이제 특정한 실수 $h$ 를 대입하면 실수의 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}h^{n}$ 을 얻습니다. 그러면 이 급수가 언제 수렴하는지 물을 수 있습니다. 이에 대해서는 정확한 답이 있음이 밝혀집니다.

정의 29.2.3.

멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 이 주어졌을 때, 수렴 반지름 $R$ 은 다음 공식으로 정의됩니다.

\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\left\lvert a_{n}\right\rvert^{1/n}

단, 우변이 $\infty$ 이면 $R=0$ 으로, 우변이 $0$ 이면 $R=\infty$ 로 약속합니다.

정리 29.2.4 (코시-아다마르 정리).

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름이 $R$ 인 멱급수라 합시다. $h$ 를 실수라 하고, 다음 무한급수를 생각합시다.

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}h^{n}

이는 실수의 급수입니다. 그러면 다음이 성립합니다.

•

$|h|<R$ 이면 급수는 절대수렴합니다.
•

$|h|>R$ 이면 급수는 발산합니다.

증명.

사실 어렵지는 않지만, 꼭 필요한 내용은 아니므로 싣지 않습니다. ∎

비고 29.2.5.

$|h|=R$ 인 경우에는 어느 쪽도 될 수 있습니다.

예제 29.2.6 ( $\sum z^{n}$ 의 반지름은 $1$ 입니다).

등비급수 $\sum_{n}z^{n}=1+z+z^{2}+\cdots$ 를 생각해 봅시다. 모든 $n$ 에 대해 $a_{n}=1$ 이므로 $R=1$ 을 얻으며, 이는 예상한 결과와 같습니다.

따라서 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 이 $0$ 이 아닌 수렴 반지름 $R>0$ 을 갖는 멱급수라면, 이를 다음과 같은 함수로도 생각할 수 있습니다.

(-R,R)\to\mathbb{R}\quad\text{에 의해}\quad h\mapsto\sum_{n\geq 0}a_{n}h^{n}.

아주 좋습니다. 또한 $R=\infty$ 이면 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 얻는다는 점에도 주목하십시오.

표기의 남용 29.2.7 (멱급수 대 함수).

여기서도 대상의 “유형”과 관련된 미묘한 점이 있습니다. 다항식에 빗대어 보면 도움이 됩니다.

다항식 $P(x)=x^{3}+7x+9$ 를 생각합시다. 임의의 실수 $h$ 에 대해 $P(h)$ 에 대입하여 실수를 얻을 수 있습니다. 그러나 다항식 자체에서 기호 $x$ 는 변수로 간주됩니다 — 때로는 여기에 실수를 대입하기도 하지만, 그것은 다항식이 정의된 뒤에야 일어나는 일입니다.

그럼에도 “다항식 $P(x)=x^{3}+7x+9$ ”(계수들로 생각할 수 있는 것)와 “실숫값 함수 $x\mapsto x^{3}+7x+9$ ”는 흔히 혼용됩니다. 멱급수에서도 곧 같은 일이 일어납니다. 멱급수는 처음에는 계수의 수열로 생각되었지만, 코시-아다마르 정리 덕분에 함수로도 생각할 수 있게 되며, 따라서 우리는 둘 사이의 구분을 흐리게 됩니다.

29.3 멱급수의 미분

대표적인 예: 앞에서 $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ 의 도함수가 $1+2x+3x^{2}+\dots$ 임을 보았습니다.

약속한 대로, 미분은 바라는 그대로 작동합니다.

정리 29.3.1 (미분은 항별로 이루어집니다).

$\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름이 $R>0$ 인 멱급수라 하고, 이에 대응하는 다음 함수를 생각합시다.

f\colon(-R,R)\to\mathbb{R}\quad\text{에 의해}\quad f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}x^{n}.

그러면 $f$ 의 모든 도함수가 존재하며, 이들은 다음 멱급수로 주어집니다.

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 1}na_{n}x^{n-1}$
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_{n}x^{n-2}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

이 멱급수들 또한 임의의 $x\in(-R,R)$ 에 대해 수렴합니다. 특히 $f$ 는 매끄럽습니다.

증명.

이것도 생략합니다. 올바른 증명 방법은 “균등수렴”이라는 개념을 정의하고, 코시-아다마르 정리를 강화하여 이것도 결론에 포함되도록 하는 것입니다. ∎

따름정리 29.3.2 (멱급수 계수의 기술).

$\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름이 $R>0$ 인 멱급수라 하고, 위와 같이 이에 대응하는 함수 $f(x)$ 를 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.

증명.

$n$ 계 도함수를 구한 뒤 $x=0$ 을 대입하십시오. ∎

29.4 해석 함수

대표적인 예: 조각별로 $e^{-1/x}$ 또는 $0$ 으로 정의된 함수는 해석적이지 않지만 매끄럽습니다.

멱급수에 관한 이 모든 좋은 결과를 바탕으로, 이제 이 과정을 반대 방향으로 진행할 방법이 생겼습니다. $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 함수라고 합시다. 이 함수를 멱급수로 나타낼 수 있겠습니까?

이것이 실제로 성립하는 함수를 해석적이라고 부릅니다.

정의 29.4.1.

함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 에 대하여 ( $U$ 안에서) $p$ 의 열린 근방 $V$ 와 멱급수 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 이 존재하여 다음을 만족하면, $f$ 는 점 $p\in U$ 에서 해석적이라고 합니다.

f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}(x-p)^{n}

이는 모든 $x\in V$ 에 대하여 성립해야 합니다. 여느 때와 같이, 함수가 각 점에서 해석적이면 함수 전체가 해석적이라고 합니다.

질문 29.4.2.

$f$ 가 해석적이면 매끄러움을 보이십시오.

게다가 $f$ 가 해석적이면, 위의 따름정리에 의해 그 계수는 실제로 정확히 다음과 같이 기술됩니다.

f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(p)}{n!}(x-p)^{n}.

$f$ 가 매끄럽지만 해석적이지 않더라도, 적어도 멱급수를 적어 볼 수는 있습니다. 여기에 이름을 붙이겠습니다.

정의 29.4.3.

매끄러운 $f$ 에 대하여, 멱급수 $\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(p)}{n!}z^{n}$ 을 $p$ 에서 $f$ 의 테일러 급수라고 부릅니다.

예제 29.4.4 (해석 함수의 예).

(a)

다항식, $\sin$ , $\cos$ , $e^{x}$ , $\log$ 는 모두 해석적인 것으로 밝혀집니다.
(b)

앞에서 다음과 같이 정의한 매끄러운 함수는

$f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&x>0\\ 0&x\leq 0\\ \end{cases}$

해석적이지 않습니다. 실제로, 모순을 이끌어 내기 위해 해석적이라고 가정해 봅시다. 모든 도함수가 0이므로, 그 테일러 급수는 $0+0x+0x^{2}+\cdots$ 가 됩니다. 이 테일러 급수는 수렴하기는 하지만 올바른 값으로 수렴하지는 않습니다 — 모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $f(\varepsilon)>0$ 이므로 모순입니다.

예 (b)는 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 주어졌을 때, $f$ 가 매끄럽다는 사실과 $p$ 에서의 테일러 급수 전체를 알더라도 $f$ 의 다른 값을 복원하거나 $p$ 를 포함하는 어떤 구간에서 $f$ 가 해석적임을 이끌어 내는 것은 여전히 불가능함을 보여 줍니다.

그러나 적어도 다음은 참입니다.

명제 29.4.5 (한 점에서 해석적이면 구간에서 해석적이다).

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 매끄럽다고 하고, $p\in\mathbb{R}$ 를 정의역의 한 점이라고 합시다. 다음을 가정합니다.

•

$p$ 에서 $f$ 의 테일러 급수의 수렴 반지름이 $R>0$ 이고, 또한
•

그 테일러 급수가 수렴 반지름 안의 모든 입력 $x\in(p-R,p+R)$ 에 대하여 실제로 값 $f(x)$ 로 수렴합니다.

그러면 $f$ 는 $(p-R,p+R)$ 에서 해석적입니다.

이 결과가 자명하지 않은 이유는 선험적으로는 $f$ 가 $p$ 에서 해석적이라는 것만 알기 때문입니다. 이 결과는 $R>0$ 일 때 이를 수렴 반지름 전체에서 해석적인 것으로 확장합니다. 곧 이것을 $\exp$ 에 사용할 것인데, $\exp$ 는 실제로 멱급수로 정의됩니다.

미분 가능 함수의 경우와 마찬가지입니다.

명제 29.4.6 (해석 함수에 대한 익숙한 닫힘 성질들).

해석 함수들의 합, 곱, 합성, 그리고 0이 아닌 몫은 해석적입니다.

이로부터 얻는 결론은 자연에서 나타나는 대부분의 익숙한 함수들, 심지어 $f(x)=e^{x}+x\sin(x^{2})$ 와 같은 인위적인 함수들도 해석적이며, 따라서 국소적으로 테일러 급수로 기술할 수 있다는 것입니다.

29.5 오일러 상수와 거듭제곱의 정의

지금까지 갖춘 도구를 사용하여 실제로 $e^{x}$ 의 정의를 제시할 수 있습니다.

정의 29.5.1.

수렴 반지름이 무한대인 다음 멱급수를 사용하여 사상 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 정의합니다.

\exp(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}.

그다음 오일러 상수를 $e=\exp(1)$ 로 정의합니다.

질문 29.5.2.

이 정의 아래에서 $\exp^{\prime}=\exp$ 임을 보이십시오. 또한 명제 29.4.5로부터 $\exp$ 가 해석적임을 결론지으십시오.

그러면 다음이 확립됩니다.

명제 29.5.3 ( $\exp$ 의 곱셈성).

이 정의 아래에서,

\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y).

증명의 아이디어..

여기에는 합의 순서를 바꾸는 것과 관련된 미묘한 점이 있지만, 이를 다루지는 않겠습니다. 그 점을 제외하면 다음과 같습니다.

	$\displaystyle\exp(x)\exp(y)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{m\geq 0}\frac{y^{m}}{m!}=% \sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}\frac{y^{m}}{m!}$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\sum_{\begin{subarray}{c}m+n=k\\ m,n\geq 0\end{subarray}}\frac{x^{n}y^{m}}{n!m!}=\sum_{k\geq 0}\sum_{\begin{% subarray}{c}m+n=k\\ m,n\geq 0\end{subarray}}\binom{k}{n}\frac{x^{n}y^{m}}{k!}$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\frac{(x+y)^{k}}{k!}=\exp(x+y).\qed$

따름정리 29.5.4 ( $\exp$ 의 양수성).

(a)

임의의 실수 $x$ 에 대해 $\exp(x)>0$ 입니다.
(b)

함수 $\exp$ 는 순증가합니다.

증명.

먼저

\exp(x)=\exp(x/2)^{2}\geq 0

이므로 $\exp$ 는 음이 아닙니다. 또한 $1=\exp(0)=\exp(x)\exp(-x)$ 로부터 임의의 $x$ 에 대해 $\exp(x)\neq 0$ 임이 따라 나오므로 (a)가 증명됩니다.

(b)는 $\exp^{\prime}$ 이 순양수라는 사실(경주로 원리)에서 바로 따라 나옵니다. ∎

그다음으로 로그 함수가 등장합니다.

정의 29.5.5.

$\log\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 를 $\exp$ 의 역함수로 정의할 수 있습니다.

그 도함수가 $1/x$ 이므로 매끄럽습니다. 그리고 그 계수들을 계산하여 해석적임을 보일 수 있습니다.

이로써 실제로 임의의 $a>0$ 과 $r>0$ 에 대해 $a^{r}$ 을 엄밀하게 정의하는 방법을 얻는다는 점에 주목하십시오. 즉, 다음과 같습니다.

a^{r}\coloneqq\exp\left(r\log a\right).

29.6 이 모든 것은 복소수 위에서도 성립하며, 게다가 복소해석학은 천국입니다

이제 위에서 언급한 모든 정리가 $\mathbb{C}$ 위에서 작업하더라도 본질적으로 아무런 수정 없이 똑같이 성립한다는 점을 말씀드립니다.

•

멱급수는 $a_{n}\in\mathbb{R}$ 대신 $a_{n}\in\mathbb{C}$ 인 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 으로 정의됩니다.
•

수렴 반지름 $R$ 의 정의는 바뀌지 않습니다! $|z|<R$ 이면 급수는 수렴합니다.
•

미분도 여전히 잘 작동합니다. (도함수의 정의는 바뀌지 않습니다.)
•

해석성 역시 $U\subseteq\mathbb{C}$ 가 열린집합인 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 에 대해 여전히 잘 작동합니다.

특히 이제는 복소 지수 함수까지 정의할 수 있습니다. 멱급수가 여전히 $R=\infty$ 를 가지므로 함수

\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}

를 얻습니다. 더 일반적으로, $a>0$ 이고 $z\in\mathbb{C}$ 이면 여전히

a^{z}\coloneqq\exp(z\log a).

로 정의할 수 있습니다. (다만 $\log a$ 가 정의되도록 밑 $a$ 가 양의 실수여야 한다는 조건은 여전히 필요합니다. 따라서 이 $i^{i}$ 문제는 여전히 남아 있습니다.)

그러나 실수의 경우에 했던 것처럼 복소 함수에 대한 미적분학을 연구하려 하면, 대부분의 결과가 그대로 옮겨질 뿐만 아니라 엄청나게 놀라운 사실과 마주하게 됩니다.

$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 가 미분 가능하면, $f$ 는 해석적입니다.

그리고 이것은 복소 해석 함수에 대해 성립하는, 거의 믿기 어려운 결과들의 시작에 불과합니다. 하지만 이 부분은 실해석학을 다루는 부분이므로, 이에 대해서는 나중에 읽으셔야 합니다!

29.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 29A.

$\log(1-x)$ 의 테일러 급수를 구하십시오.

문제 29B (오일러 공식).

모든 실수 $\theta$ 에 대하여

\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta

임을 보이십시오.

힌트. $\sin$ 과 $\cos$ 의 모든 도함수를 알고 있으므로 이들의 테일러 급수를 계산할 수 있으며, 이 급수들은 $\mathbb{R}$ 전체에서 수렴합니다. 한편 $\exp$ 는 테일러 급수로 정의되었으므로 이것 또한 계산할 수 있습니다. 이들을 모두 전개하여 비교해 보십시오.

문제 29C (테일러 정리, 라그랑주 꼴).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속이고 $(a,b)$ 에서 $n+1$ 번 미분 가능하다고 합시다. 다음과 같이 정의합니다.

P_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot(b-a)^{k}.

다음을 만족하는 $\xi\in(a,b)$ 가 존재함을 증명하십시오.

f^{(n+1)}(\xi)=(n+1)!\cdot\frac{f(b)-P_{n}}{(b-a)^{n+1}}.

이는 평균값 정리를 일반화한 것입니다(평균값 정리는 $P_{0}=f(a)$ 가 되는 특수한 경우 $n=0$ 에 해당합니다).

힌트. 롤의 정리를 반복하여 적용하십시오. 이 문제를 푸는 데에는 이 장의 이론이 전혀 필요하지 않으므로 훨씬 앞에서 제시할 수도 있었습니다. 하지만 그랬다면 동기가 상당히 부족했을 것입니다.

문제 29D (Putnam 2018 A5).

^†^†margin:

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 매끄럽고, $f(0)=0$ , $f(1)=1$ 이며 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)\geq 0$ 이라고 가정합시다. 어떤 양의 정수 $n$ 과 실수 $x$ 에 대하여 $f^{(n)}(x)<0$ 임을 증명하십시오.

힌트. 테일러 정리를 이용하십시오.

문제 29E.