장 29 멱급수와 테일러 급수

다항식은 매우 다루기 좋은 함수이며, 그런 이유로 광범위하게 연구됩니다. 예를 들어 해석적 관점에서 다항식은 매끄러우며, 그 도함수를 계산하기 쉽습니다.

이 장에서는 문자 그대로 ”무한 다항식” $\sum_{n}a_{n}x^{n}$ 인 멱급수를 공부하겠습니다. 급수와 미분에 대한 이해로 무장하여, 우리는 세 가지 훌륭한 사실을 보게 될 것입니다:

•

우리가 자연에서 보는 많은 함수들은 실제로 멱급수로 주어집니다. 그 가운데는 $e^{x}$ , $\log x$ , $\sin x$ 가 있습니다.
•

이들의 수렴 성질은 실제로 상당히 잘 다루어집니다: 계수들의 나열로부터, 이들이 어떤 $x$ 에 대해 수렴하는지 알아낼 수 있습니다.
•

$\sum_{n}a_{n}x^{n}$ 의 도함수는 사실 그저 $\sum_{n}na_{n}x^{n-1}$ 입니다.

29.1 동기

시작을 위해, 여러분이 알아볼 만한 하나의 무한 다항식으로 시작해봅시다: 임의로 고정된 수 $-1<x<1$ 에 대해 다음과 같은 급수 수렴이 성립합니다

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots

등비급수 공식에 의해서입니다.

이것을 문제 26D에서 이미 보지 않았다고 가정해봅시다. 그러면 대신 우리는 다음과 같은 매끄러운 함수 $f\colon(-1,1)\to\mathbb{R}$ 를 갖습니다

f(x)=\frac{1}{1-x}.

원점 근처에서 이것이 ”무한 다항식”과 같다고 가정하고 싶다고 합시다, 즉

(1-x)^{-1}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots.

우리가 그 다항식을 미리 알지 못했다면, 어떻게 그것을 찾을 수 있을까요?

먼저 우선 $x=0$ 을 대입함으로써 우리는 당연히 $a_{0}=1$ 을 원한다는 것을 알 수 있습니다.

도함수가 있으므로, 사실 우리는 양변을 미분하여 다음을 얻을 수 있습니다

(1-x)^{-2}=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+\cdots.

이제 $x=0$ 으로 놓으면, $a_{1}=1$ 을 얻습니다. 실제로, 계속 미분을 취하며 무엇을 얻는지 살펴봅시다.

\displaystyle(1-x)^{-1}

\displaystyle{}={}

\displaystyle a_{0}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{1}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{2}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{3}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{4}x^{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle a_{5}x^{5}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle(1-x)^{-2}

\displaystyle{}={}

\displaystyle a_{1}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 2a_{2}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 3a_{3}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 4a_{4}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 5a_{5}x^{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 2(1-x)^{-3}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 2a_{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 6a_{3}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 12a_{4}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 20a_{5}x^{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 6(1-x)^{-4}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 6a_{3}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 24a_{4}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 60a_{5}x^{2}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle 24(1-x)^{-5}

\displaystyle{}={}

\displaystyle 24a_{4}

\displaystyle{}+{}

\displaystyle 120a_{5}x

\displaystyle{}+{}

\displaystyle\dots

\displaystyle{}\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}{}.

$x=0$ 으로 놓으면 $1=a_{0}=a_{1}=a_{2}=\dots$ 를 발견하는데, 이는 우리가 기대하는 바입니다; 등비급수 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ 입니다. 그리하여 실제로 미분을 취하는 것만으로 올바른 주장을 얻기에 충분했습니다!

29.2 멱급수

대표적인 예: $\frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+\cdots$ 이며, 이는 $(-1,1)$ 에서 수렴합니다.

물론 이것은 엄밀하지 않은데, 우변이 무엇인지 기술하지 않았을 뿐만 아니라, 그것이 항별로 미분될 수 있음을 보이지도 않았기 때문입니다. 그러므로 이제 주인공을 정의하겠습니다.

정의 29.2.1.

멱급수는 다음과 같은 형태의 합입니다

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots

여기서 $a_{0}$ , $a_{1}$ , … 는 실수이고, $z$ 는 변수입니다.

표기의 남용 29.2.2 ( $0^{0}=1$ ).

매우 주의 깊게 살펴본다면, $z=0$ 이고 $n=0$ 일 때 $0^{0}$ 항이 나타남을 알아챌 수 있습니다. 이 장에서는 그러한 항들이 모두 1과 같다는 관례를 따릅니다.

이제, 만약 특정한 실수 $h$ 를 대입한다면, 실수들의 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}h^{n}$ 을 얻습니다. 그래서 우리는 이 급수가 언제 수렴하는지 물을 수 있습니다. 이에 대해 정확한 답이 존재함이 밝혀집니다.

정의 29.2.3.

멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 이 주어졌을 때, 수렴 반지름 $R$ 은 다음 공식으로 정의됩니다

\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\left\lvert a_{n}\right\rvert^{1/n}

우변이 $\infty$ 이면 $R=0$ 으로, 우변이 $0$ 이면 $R=\infty$ 로 정한다는 관례를 따릅니다.

정리 29.2.4 (코시-아다마르 정리).

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름이 $R$ 인 멱급수라 합시다. $h$ 를 실수라 하고, 다음과 같은 무한급수를 생각합시다

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}h^{n}

실수들의 급수를 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다:

•

$|h|<R$ 이면 급수는 절대수렴합니다.
•

$|h|>R$ 이면 급수는 발산합니다.

증명.

이는 실제로 어렵지는 않지만 필수적이지는 않으므로 포함하지 않습니다. ∎

비고 29.2.5.

$|h|=R$ 인 경우에는 어느 쪽으로도 갈 수 있습니다.

예제 29.2.6 ( $\sum z^{n}$ 의 반지름은 $1$ 입니다).

기하급수 $\sum_{n}z^{n}=1+z+z^{2}+\cdots$ 를 생각합시다. 모든 $n$ 에 대해 $a_{n}=1$ 이므로 $R=1$ 을 얻는데, 이는 우리가 예상한 바입니다.

따라서 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 이 수렴 반지름 $R>0$ 이 $0$ 이 아닌 멱급수라면, 이는 또한 다음과 같은 함수로 생각할 수 있습니다

(-R,R)\to\mathbb{R}\quad\text{~{}에 의해}\quad h\mapsto\sum_{n\geq 0}a_{n}h^{n}.

이는 훌륭합니다. 또한 $R=\infty$ 이면 이는 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 얻는다는 것을 뜻함을 유의하십시오.

표기의 남용 29.2.7 (멱급수 대 함수).

다시 한 번 대상들의 ”타입”과 관련하여 미묘한 점이 있습니다. 다항식과의 유비가 도움이 될 수 있습니다.

다항식 $P(x)=x^{3}+7x+9$ 를 생각합시다. 임의의 실수 $h$ 에 대해 $P(h)$ 에 대입하여 실수를 얻는 것이 가능합니다. 그러나 다항식 그 자체에서는 기호 $x$ 가 변수여야 하는데 — 때로는 여기에 실수를 대입하겠지만, 그것은 다항식이 정의된 이후에나 일어나는 일입니다.

그럼에도 불구하고 ”다항식 $P(x)=x^{3}+7x+9$ ”(계수들로 생각할 수 있음)와 ”실숫값 함수 $x\mapsto x^{3}+7x+9$ ”는 종종 서로 바꿔 쓰입니다. 멱급수에서도 비슷한 일이 일어나려 합니다: 멱급수는 처음에는 계수들의 수열로 여겨졌지만, 코시-아다마르 정리 덕분에 이를 함수로도 생각할 수 있게 되었고, 따라서 우리는 둘 사이의 구별을 흐리게 됩니다.

29.3 멱급수의 미분

대표적인 예: 앞서 $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ 의 도함수가 $1+2x+3x^{2}+\dots$ 임을 보았습니다.

약속드린 대로, 미분은 여러분이 원하는 대로 정확히 작동합니다.

정리 29.3.1 (미분은 항별로 작동합니다).

$\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름 $R>0$ 인 멱급수라 하고, 그에 대응하는 함수를 다음과 같이 생각합시다

f\colon(-R,R)\to\mathbb{R}\quad\text{~{}에 의해}\quad f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}x^{% n}.

그러면 $f$ 의 모든 도함수가 존재하며, 다음과 같은 멱급수로 주어집니다

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 1}na_{n}x^{n-1}$
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_{n}x^{n-2}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

이 멱급수들 또한 임의의 $x\in(-R,R)$ 에 대해 수렴합니다. 특히 $f$ 는 매끄럽습니다.

증명.

이 역시 생략합니다. 이를 증명하는 올바른 방법은 ”고르게 수렴한다”는 개념을 정의하고, 이것 또한 결론으로 갖도록 코시-아다마르 정리를 강화하는 것입니다. ∎

따름정리 29.3.2 (멱급수 계수에 대한 서술).

$\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ 을 수렴 반지름 $R>0$ 인 멱급수라 하고, 위와 같이 그에 대응하는 함수 $f(x)$ 를 생각합시다. 그러면

a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.

증명.

$n$ 번째 도함수를 취하고 $x=0$ 을 대입하십시오. ∎

29.4 해석적 함수

대표적인 예: 조각별로 $e^{-1/x}$ 또는 $0$ 으로 정의되는 함수는 해석적이지 않지만 매끄럽습니다.

멱급수에 관한 이 모든 좋은 결과들을 바탕으로, 이제 이 과정을 반대 방향으로 수행할 방법이 생겼습니다: $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 함수라고 합시다. 이를 멱급수로 표현할 수 있습니까?

이것이 성립하는 함수들을 해석적이라고 부릅니다.

정의 29.4.1.

함수 $f\colon U\to\mathbb{R}$ 가 점 $p\in U$ 에서 해석적이라 함은, $p$ 의 ( $U$ 내부의) 어떤 열린 근방 $V$ 와 다음을 만족하는 멱급수 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 이 존재하는 경우입니다.

f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}(x-p)^{n}

임의의 $x\in V$ 에 대해 성립합니다. 늘 그렇듯이, 함수 전체가 각 점에서 해석적이면 그 함수는 해석적입니다.

질문 29.4.2.

$f$ 가 해석적이면 매끄러움을 보이십시오.

게다가, $f$ 가 해석적이면 위의 따름정리에 의해 그 계수들이 실제로 정확히 다음과 같이 기술됩니다.

f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(p)}{n!}(x-p)^{n}.

$f$ 가 매끄럽지만 해석적이지 않더라도, 적어도 멱급수는 써 내려갈 수 있습니다. 이것에 이름을 붙여 봅시다.

정의 29.4.3.

매끄러운 $f$ 에 대해, 멱급수 $\sum_{n\geq 0}\frac{f^{(n)}(p)}{n!}z^{n}$ 을 $p$ 에서의 $f$ 의 테일러 급수라고 부릅니다.

예제 29.4.4 (해석적 함수의 예시).

(a)

다항식, $\sin$ , $\cos$ , $e^{x}$ , $\log$ 는 모두 해석적인 것으로 밝혀집니다.
(b)

앞서 다음과 같이 정의된 매끄러운 함수는

$f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&x>0\\ 0&x\leq 0\\ \end{cases}$

해석적이 아닙니다. 실제로, 모순을 이끌어내기 위해 그렇다고 가정해봅시다. 모든 도함수가 0이므로, 그 테일러 급수는 $0+0x+0x^{2}+\cdots$ 가 될 것입니다. 이 테일러 급수는 수렴하지만, 올바른 값으로 수렴하지는 않습니다 — 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 $f(\varepsilon)>0$ 이므로, 모순입니다.

예시 (b)는 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 있을 때, $f$ 가 매끄럽다는 것과 $p$ 에서의 완전한 테일러 급수를 안다고 하더라도, $f$ 의 다른 값들을 복원하거나 $f$ 가 $p$ 를 포함하는 어떤 구간에서 해석적이라고 추론하는 것이 여전히 불가능함을 보여줍니다.

하지만 적어도 다음은 참입니다.

명제 29.4.5 (한 점에서의 해석성은 구간에서의 해석성을 함의함).

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 매끄럽고, $p\in\mathbb{R}$ 가 정의역 내의 한 점이라고 합시다. 다음을 가정합시다.

•

$p$ 에서의 $f$ 의 테일러 급수가 수렴 반지름 $R>0$ 을 가진다. 그리고
•

그 테일러 급수는 수렴 반경 내의 모든 입력 $x\in(p-R,p+R)$ 에 대해 실제로 값 $f(x)$ 로 수렴합니다.

그러면 $f$ 는 $(p-R,p+R)$ 에서 해석적입니다.

이 결과가 자명하지 않은 이유는, 사전에 우리는 $f$ 가 $p$ 에서 해석적이라는 것만 알고 있기 때문입니다. 이 결과는 이를 확장하여 $R>0$ 이면 수렴 반지름 전체에서 해석적임을 보여 줍니다. 잠시 후 실제로 멱급수로 정의되는 $\exp$ 에 대해 이를 사용할 것입니다.

미분가능 함수의 경우와 마찬가지로:

명제 29.4.6 (해석적 함수에 대한 통상적인 모든 폐포 성질).

해석적 함수들의 합, 곱, 합성, 0이 아닌 나눗셈은 해석적입니다.

이것의 요점은, 자연에서 나타나는 대부분의 통상적인 함수들, 심지어 $f(x)=e^{x}+x\sin(x^{2})$ 같은 인위적인 함수들조차도 해석적이며, 따라서 국소적으로 테일러 급수로 기술될 수 있다는 것입니다.

29.5 오일러 상수와 지수화의 정의

이제 우리가 가진 도구들을 사용하여 실제로 $e^{x}$ 의 정의를 줄 수 있습니다.

정의 29.5.1.

다음과 같이 무한한 수렴 반지름을 가지는 멱급수를 사용하여 사상 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 를 정의합니다.

\exp(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}.

그러면 오일러 상수를 $e=\exp(1)$ 로 정의합니다.

질문 29.5.2.

이 정의 아래에서 $\exp^{\prime}=\exp$ 임을 보이십시오. 또한 명제 29.4.5로부터 $\exp$ 가 해석적임을 결론지으십시오.

그러면 다음과 같이 정리됩니다:

명제 29.5.3 ( $\exp$ 는 곱셈적이다).

이 정의 아래에서,

\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y).

증명의 아이디어..

여기서 합의 순서를 바꾸는 것과 관련된 다소 미묘한 부분이 있는데, 이는 다루지 않겠습니다. 그 점을 제외하면:

	$\displaystyle\exp(x)\exp(y)$	$\displaystyle=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{m\geq 0}\frac{y^{m}}{m!}=% \sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\frac{x^{n}}{n!}\frac{y^{m}}{m!}$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\sum_{\begin{subarray}{c}m+n=k\\ m,n\geq 0\end{subarray}}\frac{x^{n}y^{m}}{n!m!}=\sum_{k\geq 0}\sum_{\begin{% subarray}{c}m+n=k\\ m,n\geq 0\end{subarray}}\binom{k}{n}\frac{x^{n}y^{m}}{k!}$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\frac{(x+y)^{k}}{k!}=\exp(x+y).\qed$

따름정리 29.5.4 ( $\exp$ 는 양수이다).

(a)

임의의 실수 $x$ 에 대해 $\exp(x)>0$ 입니다.
(b)

함수 $\exp$ 는 강한 의미로 증가합니다.

증명.

먼저

\exp(x)=\exp(x/2)^{2}\geq 0

이므로 $\exp$ 가 음이 아님을 알 수 있습니다. 또한 $1=\exp(0)=\exp(x)\exp(-x)$ 로부터 임의의 $x$ 에 대해 $\exp(x)\neq 0$ 임이 따라오며, 이로써 (a)가 증명됩니다.

(b)는 $\exp^{\prime}$ 가 항상 양수라는 사실(경주로 원리)에서 바로 따라옵니다. ∎

그다음으로 로그 함수가 나옵니다.

정의 29.5.5.

$\exp$ 의 역함수로서 $\log\colon\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ 을 정의할 수 있습니다.

그 도함수가 $1/x$ 이므로 매끄러우며, 이후 그 계수들을 계산하여 해석적임을 보일 수 있습니다.

이것이 실제로 모든 $a>0$ 과 $r>0$ 에 대해 $a^{r}$ 을 엄밀하게 정의하는 방법을 제공한다는 점에 유의하십시오. 즉,

a^{r}\coloneqq\exp\left(r\log a\right).

29.6 이는 복소수에 대해서도 마찬가지로 성립하는데, 다만 복소해석학 또한 천국이라는 점만 다릅니다

이제 위에서 언급했던 모든 정리가 $\mathbb{C}$ 위에서 작업하더라도 본질적으로 수정 없이 그대로 성립한다는 점을 언급합니다.

•

거듭제곱 급수는 $a_{n}\in\mathbb{R}$ 대신 $a_{n}\in\mathbb{C}$ 인 $\sum_{n}a_{n}z^{n}$ 으로 정의됩니다.
•

수렴 반경 $R$ 의 정의는 변하지 않습니다! 급수는 $|z|<R$ 이면 수렴합니다.
•

미분도 여전히 훌륭하게 작동합니다. (도함수의 정의는 변하지 않습니다.)
•

해석성도 $U\subseteq\mathbb{C}$ 가 열린집합일 때 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 에 대해 여전히 훌륭하게 작동합니다.

특히 이제 복소 지수함수까지 정의할 수 있으며, 멱급수가 여전히 $R=\infty$ 를 가지므로 함수

\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}

가 주어집니다. 더 일반적으로 $a>0$ 이고 $z\in\mathbb{C}$ 이면 여전히

a^{z}\coloneqq\exp(z\log a).

로 정의할 수 있습니다. (다만 $\log a$ 가 정의되도록 밑 $a$ 는 여전히 양의 실수여야 합니다. 따라서 이 $i^{i}$ 문제는 여전히 남아 있습니다.)

그러나 실수의 경우에서 했던 것처럼 복소함수에 대해 미적분학을 연구하려 하면, 대부분의 결과가 그대로 성립하는 것 외에도 커다란 놀라움을 마주하게 됩니다:

만약 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 가 미분가능하다면, 이는 해석적입니다.

그리고 이것은 복소 해석 함수에 대해 성립하는, 거의 믿기 어려운 결과들의 시작에 불과합니다. 하지만 이 부분은 실해석학에 관한 것이므로, 이에 대해서는 나중에 읽어보아야 할 것입니다!

29.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 29A.

$\log(1-x)$ 의 테일러 급수를 구하십시오.

문제 29B (오일러 공식).

임의의 실수 $\theta$ 에 대해

\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta

임을 보이십시오.

힌트. $\sin$ 과 $\cos$ 의 모든 도함수를 알고 있으므로, $\mathbb{R}$ 전체에서 수렴하는 이들의 테일러 급수를 계산할 수 있습니다. 동시에 $\exp$ 는 테일러 급수로 정의되었으므로 이 역시 계산할 수 있습니다. 이들을 모두 써서 비교해 보십시오.

문제 29C (테일러 정리, 라그랑주 형식).

$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 연속이고 $(a,b)$ 에서 $n+1$ 번 미분가능하다고 합시다. 다음을 정의합니다.

P_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot(b-a)^{k}.

다음을 만족하는 $\xi\in(a,b)$ 가 존재함을 증명하십시오.

f^{(n+1)}(\xi)=(n+1)!\cdot\frac{f(b)-P_{n}}{(b-a)^{n+1}}.

이는 평균값 정리를 일반화한 것입니다 ( $P_{0}=f(a)$ 인 특수한 경우 $n=0$ 이 평균값 정리에 해당합니다).

힌트. 롤의 정리를 반복 적용하십시오. 이를 풀기 위해 이 장의 이론이 전혀 필요하지 않으므로 훨씬 앞에서 제시될 수도 있었지만, 그러면 동기가 상당히 부족했을 것입니다.

문제 29D (Putnam 2018 A5).

^†^†margin:

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 매끄럽고, $f(0)=0$ , $f(1)=1$ 이며 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x)\geq 0$ 이라고 가정하십시오. 어떤 양의 정수 $n$ 과 실수 $x$ 에 대해 $f^{(n)}(x)<0$ 임을 증명하십시오.

힌트. 테일러 정리를 사용하십시오.

문제 29E.