장 23 양자 상태와 측정

이 장에서는 선형대수를 사용하여 양자 상태를 설정하는 방법을 설명하겠습니다. 이를 통해 다음 장에서 양자 회로에 대해 이야기할 수 있게 되며, 이는 쇼어 알고리즘을 위한 무대를 마련할 것입니다.

저는 물리학을 아주 많이 다루지는 않을 것입니다 (사실은: 전혀 다루지 않을 것입니다). 즉, 물리적 실재가 무엇인지를 선형대수의 언어로만 서술하고, 왜 이것이 참인지에 대한 철학적 논의는 여러분 주변의 ”양자역학의 철학” 강의(MIT에서는 ”사회과학” 과목입니다!)에 맡기겠습니다.

23.1 브라-켓 표기법

물리학자들은 벡터에 대해 자신들만의 표기법을 가지고 있습니다: 앞서 저는 $v$ , $e_{1}$ 등과 같은 표기를 사용했지만, 이 장에서는 악명 높은 브라-켓(bra-ket) 표기법을 보게 될 것입니다: 벡터는 $\ket{\bullet}$ 로 표기되며, 여기서 $\bullet$ 은 어떤 변수 이름입니다: 수학이나 파이썬에서와 달리, 이는 숫자, 기호, 유니코드 문자 등 무엇이든 포함할 수 있습니다. 이를 ”켓(ket)”이라고 부릅니다. 모든 물리학자들에게 경의를 표하기 위해, 이 장에서도 이 표기법을 사용하겠습니다.

표기의 남용 23.1.1 (이 부분에서는 $\dim H<\infty$ 입니다).

양자 계산에 관한 이 부분에서는 앞서 정의한 ”힐베르트 공간”이라는 용어를 사용할 것이지만, 실제로는 우리가 다루는 모든 힐베르트 공간이 유한 차원일 것입니다.

$\dim H=n$ 이면, 그 정규직교 기저 원소들은 흔히 다음과 같이 표기됩니다

\ket{0},\ket{1},\dots,\ket{n-1}

( $e_{i}$ 대신) 그리고 $H$ 의 일반적인 원소는 다음과 같이 표기됩니다

\ket{\psi},\ket{\phi},\dots

그리고 다양한 다른 그리스 문자들로 표기됩니다.

이제 임의의 $\ket{\psi}\in H$ 에 대해, $H^{\vee}$ 안에서 표준적인 쌍대 원소를 생각할 수 있는데 ( $H$ 가 내적 형식을 가지고 있으므로), 이를 $\bra{\psi}$ (“브라”)로 표기합니다. 예를 들어, $\dim H=2$ 이면 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\ket{\psi}=\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\end{bmatrix}

정규직교 기저에서, 이 경우

\bra{\psi}=\begin{bmatrix}\overline{\alpha}&\overline{\beta}\end{bmatrix}.

이 표기법으로 내적을 간결하게 쓸 수도 있습니다. $\ket{\phi}=\begin{bmatrix}\gamma\\ \delta\end{bmatrix}$ 일 때, $\bra{\psi}$ 와 $\ket{\phi}$ 의 내적은 다음과 같이 주어집니다.

\braket{\psi}{\phi}=\begin{bmatrix}\overline{\alpha}&\overline{\beta}\end{% bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma\\ \delta\end{bmatrix}=\overline{\alpha}\gamma+\overline{\beta}\delta.

따라서 좀 더 수학적인 $\left<\ket{\psi},\ket{\phi}\right>$ 대신 $\braket{\psi}{\phi}$ 라는 표기법을 사용하겠습니다. 특히 $\ket{\psi}$ 의 노름의 제곱은 그냥 $\braket{\psi}{\psi}$ 입니다. 구체적으로 $\dim H=2$ 일 때 $\braket{\psi}{\psi}=|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}$ 입니다.

23.2 상태 공간

이것이 이상하다고 생각하신다면, 상황은 더 심해집니다.

고전 계산에서 비트는 $0$ 또는 $1$ 입니다. 더 일반적으로, $n$ 개의 가능한 상태 $0$ , …, $n-1$ 로 이루어진 고전적 공간을 생각할 수 있습니다. 따라서 고전적인 상황에서 가능한 상태들의 공간은 단순히 $n$ 개의 원소를 가진 이산 집합입니다.

양자 계산에서 큐비트(qubit)는 그 대신 $0$ 과 $1$ 의 임의의 복소 선형 결합입니다. 정확히 말하면, 다음과 같은 노름을 가진 복소 벡터 공간을 생각해봅시다

H=\mathbb{C}^{\oplus 2}

그리고 정규직교 기저 원소들을 $\ket{0}$ 과 $\ket{1}$ 로 표기합니다. 그러면 큐비트는 영이 아닌 원소 $\ket{\psi}\in H$ 이며, 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다

\ket{\psi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}

여기서 $\alpha$ 와 $\beta$ 는 둘 다 영이 아닙니다. 일반적으로 $\ket{\psi}$ 의 노름이 $1$ 이 되도록 정규화합니다:

\braket{\psi}{\psi}=1\iff|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1.

특히, $\ket{0}\in H$ 와 $\ket{1}\in H$ 로 ”고전적인” 상황을 복원할 수 있지만, 이제는

\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{0}+\ket{1}\right).

과 같은 몇몇 ”중간적인” 상태들도 존재합니다. 철학적으로 보면, 일어난 일은 다음과 같습니다:

$\ket{0}$ 과 $\ket{1}$ 이라는 상태만 허용하는 대신, 이들의 임의의 복소 선형 결합을 허용합니다.

더 일반적으로, $\dim H=n$ 이면 가능한 상태들은 영이 아닌 원소들입니다

c_{0}\ket{0}+c_{1}\ket{1}+\dots+c_{n-1}\ket{n-1}

이는 보통 $|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+\dots+|c_{n-1}|^{2}=1$ 이 되도록 정규화합니다.

23.3 관찰

대표적인 예: $\mathrm{id}$ 은 모든 고윳값이 같으므로 측정을 하지 않는 것에 대응하지만, 서로 다른 고윳값을 가진 연산자는 어떤 것이든 붕괴를 일으킵니다.

이것이 이상하다고 생각한다면, 더 이상한 것이 있습니다. 먼저 선형대수 복습입니다(정의 15.5.1):

정의 23.3.1.

$V$ 를 유한 차원 내적 공간이라 합시다. 사상 $T\colon V\to V$ 에 대해 다음 조건들은 동치입니다.

•

임의의 $x,y\in V$ 에 대해 $\left<Tx,y\right>=\left<x,Ty\right>$ 입니다.
•

$T=T^{\dagger}$ .

이러한 조건을 만족하는 사상 $T$ 를 에르미트라고 부릅니다.

질문 23.3.2.

$T$ 가 정규임을 보이십시오.

따라서 $T$ 가 내적 형식에 대해 대각화 가능함을 알 수 있으므로, 적당한 기저에 대해 정규직교기저로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

T=\begin{bmatrix}\lambda_{0}&0&\dots&0\\ 0&\lambda_{1}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_{n-1}\end{bmatrix}.

앞서 말했듯이, 이는 대단합니다: 고유벡터로 이루어진 기저를 가질 뿐만 아니라, 고유벡터들이 쌍마다 직교하므로 $V$ 의 정규직교기저를 이룹니다.

질문 23.3.3.

$T$ 의 모든 고윳값이 실수임을 보이십시오. ( $T=T^{\dagger}$ .)

다시 양자 계산으로 돌아갑시다. $\dim H=2$ 인 $H$ 에서 상태 $\ket{\psi}\in H$ 가 있다고 합시다; 아직 특정 기저를 구분하지 않았으므로 그저 0이 아닌 벡터를 가지고 있는 것입니다. 그러면 관측이 작동하는 방식은 (이는 물리학이므로 제 말을 믿을 수밖에 없습니다) 다음과 같습니다:

에르미트 연산자 $T\colon H\to H$ 를 하나 고릅니다; 그러면 $T$ 에 대한 관측은 $T$ 의 고윳값을 반환합니다.

정확히 말하면:

•

에르미트 연산자 $T\colon H\to H$ 를 하나 고르며, 이를 관측가능량이라 부릅니다.
•

그 고윳값 $\lambda_{0}$ , …, $\lambda_{n-1}$ 과 이에 대응하는 고유벡터 $\ket{0}_{T}$ , …, $\ket{n-1}_{T}$ 을 생각합니다. 암묵적으로 $\ket{0}_{T}$ , …, $\ket{n-1}_{T}$ 이 $H$ 의 정규직교기저를 이룬다고 가정할 수 있습니다. (아래첨자 $T$ 는 $T$ 의 고유벡터를 $H$ 의 기저 원소와 구별하기 위한 것입니다.)
•

$\ket{\psi}$ 를 정규직교기저로 다음과 같이 씁니다

$c_{0}\ket{0}_{T}+c_{1}\ket{1}_{T}+\dots+c_{n-1}\ket{n-1}_{T}.$
•

그러면 $\lambda_{i}$ 를 관측할 확률은

$\frac{|c_{i}|^{2}}{|c_{0}|^{2}+\dots+|c_{n-1}|^{2}}.$

이를 $T$ 를 따른 관측을 한다고 부릅니다.

특히, 0이 아닌 임의의 상수 $c$ 에 대해 $\ket{\psi}$ 와 $c\ket{\psi}$ 는 구별할 수 없다는 점에 주목하십시오. 이것이 우리가 $\ket{\psi}$ 를 정규화하기를 선호하는 이유입니다. 하지만 가장 기이한 점은 $\ket{\psi}$ 에 일어나는 일입니다: 이를 측정함으로써 우리는 실제로 정보를 파괴합니다. 이러한 현상을 양자 붕괴라고 부릅니다.

•

간단히, 우리가 $\ket{\psi}$ 를 $T$ 로 관측하여 고윳값 $\lambda$ 를 얻었고, $\ket{i}_{T}$ 가 이 고윳값을 갖는 유일한 고유벡터라고 합시다. 그러면 상태 $\ket{\psi}$ 는 상태 $c_{i}\ket{i}_{T}$ 로 붕괴합니다: 나머지 정보는 모두 파괴됩니다. (사실, 다시 상수배는 중요하지 않으므로 $\ket{i}_{T}$ 로 붕괴한다고 말해도 무방합니다.)
•

더 일반적으로, $\lambda$ 를 관측했다면, 일반화된 고유공간 $H_{\lambda}$ (즉 같은 고윳값을 갖는 고유벡터들의 생성 공간)를 생각합시다. 그러면 물리적 상태 $\ket{\psi}$ 또한 변화합니다: 이제 고유공간 $H_{\lambda}$ 위로 사영된 것입니다. 다시 말해, 관측 이후 상태는 다음으로 붕괴합니다

$\sum_{\begin{subarray}{c}0\leq i\leq n-1\\ \lambda_{i}=\lambda\end{subarray}}c_{i}\ket{i}_{T}.$

다시 말해,

측정을 수행하면, 서로 다른 고유공간에서 온 계수들은 파괴됩니다.

왜 이런 일이 일어날까요? 저도 모릅니다… 물리학은 (따라서 현실도) 이상합니다. 하지만 어쨌든, 예시를 들어보겠습니다.

예제 23.3.4 (상태 $\ket{\psi}$ 의 양자 측정).

$H=\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 이고 정규직교 기저 $\ket{0}$ , $\ket{1}$ 을 가진다고 합시다. 그리고 다음 상태를 고려합시다.

\ket{\psi}=\frac{i}{\sqrt{5}}\ket{0}+\frac{2}{\sqrt{5}}\ket{1}=\begin{bmatrix}% i/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}\end{bmatrix}\in H.

(a)

$T=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}$

라고 합시다. 이는 고유벡터 $\ket{0}=\ket{0}_{T}$ 와 $\ket{1}=\ket{1}_{T}$ 를 가지며, 고윳값은 각각 $+1$ 과 $-1$ 입니다. 따라서 $\ket{\psi}$ 를 $T$ 에 대해 측정하면 $1/5$ 의 확률로 $+1$ 을, $4/5$ 의 확률로 $-1$ 을 얻습니다. 이 측정 이후, 원래 상태는 $+1$ 을 측정했다면 $\ket{0}$ 으로, $-1$ 을 측정했다면 $\ket{1}$ 으로 붕괴합니다. 따라서 우리는 원래의 확률을 결코 알아낼 수 없습니다.
(b)

이제 $T=\mathrm{id}$ 을 고려하고, 정규직교 고유벡터 $\ket{0}_{T}$ , $\ket{1}_{T}$ 를 임의로 선택합시다. 그러면 $\psi=c_{0}\ket{0}_{T}+c_{1}\ket{1}_{T}$ 입니다. $T$ 의 모든 고윳값이 $+1$ 이므로, 우리가 무엇을 하든 측정 결과는 항상 $+1$ 입니다. 하지만 붕괴 역시 일어나지 않는데, 계수 중 어느 것도 소멸되지 않기 때문입니다.
(c)

이제 다음을 생각해봅시다

$T=\begin{bmatrix}0&7\\ 7&0\end{bmatrix}.$

정규화된 두 고유벡터는 다음과 같습니다

$\ket{0}_{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}\qquad\ket{1}_{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix}$

고윳값은 각각 $+7$ 과 $-7$ 입니다. 이 기저에서 우리는 다음을 얻습니다

$\ket{\psi}=\frac{2+i}{\sqrt{10}}\ket{0}_{T}+\frac{-2+i}{\sqrt{10}}\ket{1}_{T}.$

따라서 우리는 확률 $\frac{1}{2}$ 로 $+7$ 을 얻고 확률 $\frac{1}{2}$ 로 $-7$ 을 얻으며, 측정 후 $\ket{\psi}$ 는 $\ket{0}_{T}$ 와 $\ket{1}_{T}$ 중 하나로 붕괴합니다.

질문 23.3.5.

$\ket{\psi}$ 를 $T$ 로 측정하여 $\lambda$ 를 얻었다고 합시다. $T$ 로 다시 측정하면 무슨 일이 일어날까요?

$H=\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 의 경우, 이른바 파울리 행렬을 이용하여 더 많은 종류의 예시를 만들어낼 수 있습니다. 이것은 다음 세 개의 에르미트 행렬입니다

\sigma_{z}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}\qquad\sigma_{x}=\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}\qquad\sigma_{y}=\begin{bmatrix}0&-i\\ i&0\end{bmatrix}.

이 행렬들이 중요한 이유는 다음과 같습니다

질문 23.3.6.

이 세 행렬과 항등 행렬이 함께 에르미트 $2\times 2$ 행렬 집합의 기저를 이룸을 보이십시오.

그러므로 파울리 행렬은 자연스러운 기저 선택입니다.¹¹1음, 물리학적 이유로 자연스럽습니다.

이들의 정규화된 고유벡터는 다음과 같습니다

\ket{\uparrow}=\ket{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}\qquad\ket{\downarrow}=\ket{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}

\ket{\rightarrow}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}\qquad\ket{\leftarrow}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ -1\end{bmatrix}

\ket{\otimes}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ i\end{bmatrix}\qquad\ket{\odot}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\ -i\end{bmatrix}

이를 각각 “ $z$ -업”, “ $z$ -다운”, “ $x$ -업”, “ $x$ -다운”, “ $y$ -업”, “ $y$ -다운”이라 부릅니다. (고윳값은 “업”의 경우 $+1$ 이고 “다운”의 경우 $-1$ 입니다.) 따라서 상태 $\ket{\psi}\in\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 가 주어지면, 해당하는 파울리 행렬을 사용하여 이 세 기저 중 어느 것에 대해서든 측정을 할 수 있습니다.

이를 고려하면, 앞선 예시들은 (a) $\sigma_{z}$ 를 따라 측정하는 것, (b) $\mathrm{id}$ 을 따라 측정하는 것, (c) $7\sigma_{x}$ 를 따라 측정하는 것이었습니다.

만약 상태 $\ket{\psi}$ 가 주어지고, 그것이 $\ket{\rightarrow}$ 또는 $\ket{\leftarrow}$ 중 하나(또는 다른 어떤 직교 상태들 중 하나)라고 미리 알려져 있다면, 우리는 어느 정도 고전적인 상황에 놓여 있음을 주목하십시오. 구체적으로, $\sigma_{x}$ 를 따라 측정을 하면, $\ket{\psi}$ 가 어느 상태였는지를 (100%의 확실성으로) 알아낼 수 있으며, 상태는 어떠한 붕괴도 겪지 않습니다. 따라서 직교 상태들은 신뢰성 있게 구별 가능합니다.

23.4 얽힘

대표적인 예: 단일항 상태: 유령 같은 원격 작용.

그것이 이상하다고 생각한다면, 음, 더 심해집니다.

큐비트는 단순히 독립적으로 작동하지 않습니다. 큐비트는 텐서곱을 통해 서로 소통할 수 있습니다. 구체적으로,

H=\mathbb{C}^{\oplus 2}\otimes\mathbb{C}^{\oplus 2}

에 문제 13D에서 설명한 노름을 부여한 것을 생각해봅시다. 이것은 공간 $H_{A}$ 에 있는 큐비트 $A$ 와 다른 공간 $H_{B}$ 에 있는 두 번째 큐비트 $B$ 가 어떤 방식으로 상호작용하도록 허용된 것으로 생각해야 하며, $H=H_{A}\otimes H_{B}$ 는 두 큐비트 모두의 가능한 상태들의 집합입니다. 따라서

\ket{0}_{A}\otimes\ket{0}_{B},\quad\ket{0}_{A}\otimes\ket{1}_{B},\quad\ket{1}_% {A}\otimes\ket{0}_{B},\quad\ket{1}_{A}\otimes\ket{1}_{B}

이것은 $H$ 의 정규직교 기저입니다. 여기서 $\ket{i}_{A}$ 는 첫 번째 $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 의 기저이고 $\ket{i}_{B}$ 는 두 번째 $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 의 기저이므로, 이 벡터들은 다른 모든 텐서곱에서와 마찬가지로 “서로 무관한” 것으로 생각해야 합니다. 순수 텐서는 정확히 여러분이 원하는 바를 의미합니다: 예를 들어 $\ket{0}_{A}\otimes\ket{1}_{B}$ 는 “큐비트 $A$ 에 대해서는 $0$ , 큐비트 $B$ 에 대해서는 $1$ ”을 의미합니다.

앞서와 마찬가지로, $H$ 에서 상태를 측정하려면 에르미트 사상 $H\to H$ 가 필요합니다. 특히, 큐비트 $B$ 만 $M_{B}$ 를 따라 측정하고자 한다면, 다음 연산자를 사용할 수 있습니다

\mathrm{id}_{A}\otimes M_{B}

이 연산자의 고윳값은 $M_{B}$ 의 고윳값과 일치하며, $\lambda$ 에 대한 고유공간은 $H_{A}\otimes(H_{B})_{\lambda}$ 가 되므로, 사영을 취할 때 $A$ 큐비트는 영향을 받지 않습니다.

이것은 $H$ 의 순수 텐서에 대해 여러분이 바라는 대로 작동합니다:

예제 23.4.1 (얽히지 않은 두 큐비트).

큐비트 $A$ 가 상태 $\frac{i}{\sqrt{5}}\ket{0}_{A}+\frac{2}{\sqrt{5}}\ket{1}_{A}$ 에 있고 큐비트 $B$ 가 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}_{B}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}_{B}$ 에 있다고 합시다. 그러면 두 큐비트를 함께 나타내는 것은 다음의 순수 텐서입니다

\ket{\psi}=\left(\frac{i}{\sqrt{5}}\ket{0}_{A}+\frac{2}{\sqrt{5}}\ket{1}_{A}% \right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0}_{B}+\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{1}_{B% }\right).

$\ket{\psi}$ 를 다음을 따라 측정한다고 합시다.

M=\mathrm{id}_{A}\otimes\sigma_{z}^{B}.

고유공간 분해는 다음과 같습니다.

•

$\ket{0}_{A}\otimes\ket{0}_{B}$ 와 $\ket{1}_{A}\otimes\ket{0}_{B}$ 의 생성 공간에 대해서는 $+1$ 이고,
•

$\ket{0}_{A}\otimes\ket{1}_{B}$ 와 $\ket{1}_{A}\otimes\ket{1}_{B}$ 의 생성 공간에 대해서는 $-1$ 입니다.

(첫 번째 고유공간에 대해 $\ket{\rightarrow}_{A}\otimes\ket{0}_{B}$ 와 $\ket{\leftarrow}_{A}\otimes\ket{0}_{B}$ 같은 다른 기저를 사용할 수도 있었지만, 상관없습니다.) $\ket{\psi}$ 를 네 원소로 이루어진 기저로 전개하면, 첫 번째 고유공간을 얻을 확률은 다음과 같음을 알 수 있습니다.

\left|\frac{i}{\sqrt{10}}\right|^{2}+\left|\frac{2}{\sqrt{10}}\right|^{2}=% \frac{1}{2}.

그리고 두 번째 고유공간을 얻을 확률도 마찬가지로 $\frac{1}{2}$ 입니다. ( $A$ 에 대한 계수가 아무 역할도 하지 않는다는 점에 주목하십시오!) 측정 후에는 다른 고유공간의 계수를 소거하며, 따라서 (재정규화 후) 다음과 같이 붕괴된 상태를 얻습니다.

\left(\frac{i}{\sqrt{5}}\ket{0}_{A}+\frac{2}{\sqrt{5}}\ket{1}_{A}\right)% \otimes\ket{0}_{B}\qquad\text{또는}\qquad\left(\frac{i}{\sqrt{5}}\ket{0}_{A}+% \frac{2}{\sqrt{5}}\ket{1}_{A}\right)\otimes\ket{1}_{B}

이번에도 각각 50%의 확률로 그렇게 됩니다.

따라서 이 모델을 사용하면 두 큐비트를 어느 정도 독립적으로 다룰 수 있습니다: 측정을 수행할 때는 그저 다른 큐비트를 건드리지 않도록(즉 항등 연산자에 대응하도록) 하면 됩니다.

연습문제 23.4.2.

이 예시에서 $\ket{\psi}$ 에 $\mathrm{id}_{A}\otimes\sigma_{x}^{B}$ 를 적용하면 전혀 붕괴가 일어나지 않음을 보이십시오. 이 측정의 결과는 무엇입니까?

$\otimes$ 를 계속 쓰기가 번거로워지므로, 다음과 같이 표기하기로 합니다.

표기의 남용 23.4.3.

앞으로 $\ket{0}_{A}\otimes\ket{0}_{B}$ 는 그냥 $\ket{00}$ 으로 줄여 쓰며, $\ket{01}$ , $\ket{10}$ , $\ket{11}$ 도 마찬가지로 표기합니다.

예제 23.4.4 (일반적인 $2$ -큐비트 상태의 동시 측정).

$H=\mathbb{C}^{\oplus 2}\otimes\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 안의 정규화된 상태 $\ket{\psi}$ 를 다음과 같이 생각해 봅시다.

\ket{\psi}=\alpha\ket{00}+\beta\ket{01}+\gamma\ket{10}+\delta\ket{11}.

다음을 만족하는 대각 행렬 $T\colon H\to H$ 를 따라 측정을 수행할 수 있습니다.

T(\ket{00})=0\ket{00},\quad T(\ket{01})=1\ket{01},\quad T(\ket{10})=2\ket{10},% \quad T(\ket{11})=3\ket{11}.

따라서 고윳값 $0$ , $1$ , $2$ , $3$ 을 각각 확률 $|\alpha|^{2}$ , $|\beta|^{2}$ , $|\gamma|^{2}$ , $|\delta|^{2}$ 로 얻게 됩니다. 그러므로 원한다면 한 큐비트를 측정할 때와 같은 방식으로 두 큐비트에 대해 ”동시” 측정을 수행할 수 있습니다.

그러나 어떤 상태는 매우 기묘하게 행동합니다.

예제 23.4.5 (단일항 상태).

다음 상태를 생각해 봅시다.

\ket{\Psi_{-}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{01}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{10}

이는 단일항 상태라고 불립니다. $\ket{\Psi_{-}}$ 가 단순 텐서가 아님을 알 수 있는데, 이는 곧 이 상태가 두 큐비트가 나란히 놓인 것에 지나지 않는 게 아님을 의미합니다: $H_{A}$ 와 $H_{B}$ 의 큐비트들이 얽힘(entangled) 상태가 된 것입니다.

이제 큐비트 $A$ 만을 측정하면 어떻게 될까요? 이는 다음 측정을 수행하는 것에 대응합니다.

T=\sigma_{z}^{A}\otimes\mathrm{id}_{B}.

$T$ 의 고유공간 분해는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

•

$\ket{00}$ 과 $\ket{01}$ 의 생성 공간, 고윳값 $+1$ .
•

$\ket{10}$ 과 $\ket{11}$ 의 생성 공간, 고윳값 $-1$ .

따라서 다음 두 가지 중 하나가 일어날 것입니다.

•

확률 $\frac{1}{2}$ 로 $+1$ 을 측정하며, 붕괴된 상태는 $\ket{01}$ 입니다.
•

확률 $\frac{1}{2}$ 로 $-1$ 을 측정하며, 붕괴된 상태는 $\ket{10}$ 입니다.

그런데 이제 $A$ 를 따른 측정이 비트 $B$ 의 상태가 무엇인지를 완전히 알려주었다는 것을 알 수 있습니다!

$A$ 에 대한 측정만을 살펴봄으로써 $B$ 를 알게 되는데, 이 역설은 유령 같은 원격 작용, 아인슈타인의 표현으로는 spukhafte Fernwirkung이라고 불립니다. 따라서,

힐베르트 공간의 텐서곱에서, 순수 텐서가 아닌 상태들은 ”얽힌” 상태에 해당합니다.

이것이 실제로 의미하는 바는 큐비트들을 독립적으로 기술할 수 없다는 것이며, 시스템의 상태는 전체로서 주어져야 한다는 것입니다. 이것이 바로 얽힌 상태가 의미하는 바입니다: 큐비트들은 어떤 식으로든 서로 의존합니다.

23.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 23A.

$\ket{\Psi_{-}}$ 를 $\sigma_{x}^{A}\otimes\mathrm{id}_{B}$ 로 측정하여 $+1$ 또는 $-1$ 을 얻습니다. 이 측정으로부터 큐비트 $B$ 의 상태를 결정하십시오.

힌트. $\ket{\Psi_{-}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\rightarrow}_{A}\otimes\ket{% \leftarrow}_{B}-\ket{\leftarrow}_{A}\ket{\rightarrow}_{B}\right)$ 로 다시 쓰십시오.

풀이. 간단한 계산에 의해, $\ket{\Psi_{-}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{\rightarrow}_{A}\otimes\ket{% \leftarrow}_{B}-\ket{\leftarrow}_{A}\ket{\rightarrow}_{B}\right)$ 입니다. 이제 $\ket{\rightarrow}_{A}\otimes\ket{\rightarrow}_{B}$ , $\ket{\rightarrow}_{A}\otimes\ket{\leftarrow}_{B}$ 는 $\sigma_{x}^{A}\otimes\mathrm{id}_{B}$ 의 한 고유공간을 생성하고, $\ket{\leftarrow}_{A}\otimes\ket{\rightarrow}_{B}$ , $\ket{\leftarrow}_{A}\otimes\ket{\leftarrow}_{B}$ 는 다른 고유공간을 생성합니다. 따라서 이는 이전과 동일합니다: $+1$ 은 $\ket{\leftarrow}_{B}$ 를, $-1$ 은 $\ket{\rightarrow}_{B}$ 를 줍니다.

문제 23B (그린버거-혼-자일링거 역설).

$(\mathbb{C}^{\oplus 2})^{\otimes 3}$ 에서 다음 상태를 고려하십시오

\ket{\Psi}_{\text{GHZ}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ket{0}_{A}\ket{0}_{B}\ket{0}_% {C}-\ket{1}_{A}\ket{1}_{B}\ket{1}_{C}\right).

다음 각각을 따른 측정값을 구하십시오

\sigma_{y}^{A}\otimes\sigma_{y}^{B}\otimes\sigma_{x}^{C},\quad\sigma_{y}^{A}% \otimes\sigma_{x}^{B}\otimes\sigma_{y}^{C},\quad\sigma_{x}^{A}\otimes\sigma_{y% }^{B}\otimes\sigma_{y}^{C},\quad\sigma_{x}^{A}\otimes\sigma_{x}^{B}\otimes% \sigma_{x}^{C}.

역설에 관해서는: 이 모든 측정값을 서로 곱하면 무슨 일이 일어나는지 살펴보십시오.

힌트. 각각 $1$ , $1$ , $1$ , $-1$ 입니다. 이들을 모두 곱하면 $\mathrm{id}^{A}\otimes\mathrm{id}^{B}\otimes\mathrm{id}^{C}$ 의 측정값이 $-1$ 이 되는데, 이것이 바로 역설입니다. 이것이 의미하는 바는 측정값들이 독립적으로 미리 준비될 수 없다는 것입니다. 다시 말해, 이는 특정 국소 숨은 변수 이론들과 모순됩니다.

이것은 차일링거가 2022년 노벨상을 (공동) 수상하게 된 여러 결과 중 하나였습니다.