장 45 미분 형식의 적분

이제 셀 위에서 미분 형식을 적분하는 방법을 보이고, 이 맥락에서 스토크스 정리를 서술합니다. 이 장에서 모든 벡터 공간은 유한 차원 실벡터 공간입니다.

45.1 동기: 선적분

함수 $g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 주어지면, 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립함을 압니다.

\int_{[a,b]}g(t)\;dt=f(b)-f(a)

여기서 $f$ 는 $g=df/dt$ 를 만족하는 함수입니다. 이와 동치로, $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

\int_{[a,b]}g\;dt=\int_{[a,b]}df=f(b)-f(a)

여기서 $d f$ 는 앞에서 정의한 외미분입니다.

좋습니다. 이렇게 $[a,b]$ 위에서는 적분할 수 있습니다. 이제 더 일반적으로, 실벡터 공간 $V$ 의 열린 부분집합 $U$ 와 $1$ -형식 $\alpha\colon U\to V^{\vee}$ 가 있다고 합시다. 매끄러운 함수 $c\colon[a,b]\to U$ 인 매개화된 곡선을 생각합니다. 그림은 다음과 같습니다.

다음을 만족하는 $\int_{c}\alpha$ 를 정의하고자 합니다.

적분 $\int_{c}\alpha$ 는 곡선 $c$ 를 따라 모든 $\alpha$ 를 더해야 합니다.

미분 형식 $\alpha$ 는 먼저 점 $p$ 를 받아 $\alpha_{p}\in V^{\vee}$ 를 얻습니다. 그다음 곡선 $c$ 의 접벡터 $v\in V$ 를 받아 최종적으로 실수 $\alpha_{p}(v)\in\mathbb{R}$ 를 내놓습니다. 우리는 $[a,b]$ 위의 적분이라는 개념만을 사용하여 “이 수들을 모두 더하고” 싶습니다.

연습문제 45.1.1.

적분의 정의가 무엇이어야 할지 추측해 보십시오. (타입을 맞춰 보면 합리적인 답은 하나뿐입니다.)

따라서 우리가 제시하는 정의는 다음과 같습니다.

\int_{c}\alpha\coloneqq\int_{[a,b]}\alpha_{c(t)}\left(c^{\prime}(t)\right)\;dt.

여기서 $c^{\prime}(t)$ 는 $(Dc)_{t}(1)$ 의 약칭입니다. 이는 시각 $t$ 에서 점 $p=c(t)$ 에서의 곡선 $c$ 의 접벡터를 나타냅니다. (여기서는 $[a,b]$ 가 1차원이라는 사실을 활용하고 있습니다.)

그런데 이 정의는 쓰기가 번거로우므로, 이 전체를 한꺼번에 담는 $[a,b]$ 위의 미분 $1$ -형식 $c^{\ast}\alpha$ 를 정의하겠습니다. 구체적으로, 이 경우 $c^{\ast}\alpha$ 를 다음과 같이 정의합니다.

\left(c^{\ast}\alpha\right)_{t}(\varepsilon)=\alpha_{c(t)}\cdot(Dc)_{t}(\varepsilon)

(여기서 $\varepsilon$ 는 시간상의 어떤 변위입니다). 따라서 더 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\int_{c}\alpha\coloneqq\int_{[a,b]}c^{\ast}\alpha.

이는 당겨오기의 특수한 경우입니다. 대략적으로 말하면, $\phi\colon U\to U^{\prime}$ 이면( $U\subseteq V$ , $U^{\prime}\subseteq V^{\prime}$ ), $U^{\prime}$ 위의 임의의 미분 $k$ -형식 $\alpha$ 를 $U$ 위의 $k$ -형식으로 바꿀 수 있습니다. 특히 $U=[a,b]$ 이면,¹¹1네, $[a,b]$ 는 사실 열린집합이 아닙니다. 죄송합니다. $(a-\varepsilon,b+\varepsilon)$ 같은 것으로 써야 마땅합니다. 예전의 적분 정의를 그대로 쓸 수 있습니다. 이제 이를 완전히 일반적인 상황에서 해 봅시다.

45.2 당겨오기

$V$ 와 $V^{\prime}$ 을 (차원이 다를 수도 있는) 유한 차원 실벡터 공간이라 하고, $U$ 와 $U^{\prime}$ 이 각각의 열린 부분집합이라고 합시다. 다음으로 $U^{\prime}$ 위의 $k$ -형식 $\alpha$ 를 생각합니다.

사상 $\phi\colon U\to U^{\prime}$ 이 주어졌을 때, 이제 앞에서와 거의 같은 방식으로 당겨오기를 정의하고자 합니다. 그림은 다음과 같습니다.

사실 우리가 할 수 있는 일은 대략 하나뿐입니다. 구체적으로 말하면, $\alpha$ 는 $U^{\prime}$ 의 점 하나와 $V^{\prime}$ 의 접벡터 $k$ 개를 받아 실수 하나를 돌려줍니다. 우리는 $\phi^{\ast}\alpha$ 가 점 $p\in U$ 하나와 $V$ 의 접벡터 $k$ 개 $v_{1},\dots,v_{k}$ 를 받아서, 그에 대응하는 정보를 $\alpha$ 에 넘겨주기를 원합니다.

점으로는 당연히 $q=\phi(p)$ 를 줍니다. 접벡터의 경우, 우리는 부피에 관심이 있으므로 $p$ 에서의 $\phi$ 의 도함수 $(D\phi)_{p}$ 를 취합니다. 이 도함수는 각 벡터 $v_{i}$ 를 대상 공간 $V^{\prime}$ 의 어떤 벡터로 보냅니다. 간단히 말하면 다음과 같습니다.

정의 45.2.1.

$\phi\colon U\to U^{\prime}$ 과 $k$ -형식 $\alpha$ 가 주어졌을 때, 당겨오기를 다음과 같이 정의합니다.

(\phi^{\ast}\alpha)_{p}(v_{1},\dots,v_{k})\coloneqq\alpha_{\phi(p)}\left((D% \phi)_{p}(v_{1}),\dots,(D\phi)_{p}(v_{k})\right).

기저를 사용하여 당겨오기를 더 구체적으로 정의하는 방법도 있습니다. $w_{1},\dots,w_{n}$ 이 $V^{\prime}$ 의 기저이고 $e_{1},\dots,e_{m}$ 이 $V$ 의 기저라고 합시다. 그러면 사영 원리(정리 43.2.1)에 의해 사상 $\phi\colon V\to V^{\prime}$ 을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

\phi(v)=\phi_{1}(v)w_{1}+\dots+\phi_{n}(v)w_{n}

여기서 각 $\phi_{i}$ 는 $v\in V$ 를 받아 실수를 돌려줍니다. 또한 $\alpha$ 를 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있다는 것도 알고 있습니다.

\alpha=\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\}}f_{I}\;dw_{I}.

그러면 다음과 같이 정의합니다.

\phi^{\ast}\alpha=\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\}}(f_{I}\circ\phi)(D\phi_{i_{1}}% \wedge\dots\wedge D\phi_{i_{k}}).

부지런한 독자라면 이 정의들이 동치임을 확인할 수 있습니다.

예제 45.2.2 (당겨오기의 계산).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 의 기저를 $\mathbf{e}_{1}$ 과 $\mathbf{e}_{2}$ 라 하고, $\phi\colon V\to V^{\prime}$ 가 다음과 같이 보내는 사상으로 주어졌다고 합시다.

\phi(a\mathbf{e}_{1}+b\mathbf{e}_{2})=(a^{2}+b^{2})w_{1}+\log(a^{2}+1)w_{2}+b^% {3}w_{3}

여기서 $w_{1}$ , $w_{2}$ , $w_{3}$ 는 $V^{\prime}$ 의 기저입니다. $f\colon V^{\prime}\to\mathbb{R}$ 에 대하여 형식 $\alpha_{q}=f(q)w_{1}^{\vee}\wedge w_{3}^{\vee}$ 를 생각합시다. 그러면

(\phi^{\ast}\alpha)_{p}=f(\phi(p))\cdot(2a\mathbf{e}_{1}^{\vee}+2b\mathbf{e}_{% 2}^{\vee})\wedge(3b^{2}\mathbf{e}_{2}^{\vee})=f(\phi(p))\cdot 6ab^{2}\cdot% \mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}.

당겨오기는 기본적으로 최대한 좋은 성질을 가진다는 것이 밝혀져 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

•

$\phi^{\ast}(c\alpha+\beta)=c\phi^{\ast}\alpha+\phi^{\ast}\beta$ (선형성)
•

$\phi^{\ast}(\alpha\wedge\beta)=(\phi^{\ast}\alpha)\wedge(\phi^{\ast}\beta)$
•

$\phi_{1}^{\ast}(\phi_{2}^{\ast}(\alpha))=(\phi_{2}\circ\phi_{1})^{\ast}(\alpha)$ (자연성)

다만 여기서는 이를 확인하는 데 시간을 들이지 않겠습니다(모두 기저로 전개하여 검증할 수 있습니다).

45.3 세포

대표적인 예: $\mathbb{R}^{2}$ 의 원판은 $(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta)\mathbf{e}_{1}+(r\sin\theta)\mathbf{e}_{2}$ 로 주어지는 세포 $[0,R]\times[0,2\pi]\to\mathbb{R}^{2}$ 로 생각할 수 있습니다.

이제 당겨오기의 개념을 갖추었으므로, 더 일반적인 공간에서 적분의 개념을 정의할 수 있습니다. 구체적으로, 앞서 다룬 적분의 개념을 일반화하기 위해 다음을 정의합니다.

정의 45.3.1.

$k$ -세포란 매끄러운 함수 $c\colon[a_{1},b_{1}]\times[a_{2},b_{2}]\times\dots[a_{k},b_{k}]\to V$ 입니다.

예제 45.3.2 (세포의 예).

편의상 $V=\mathbb{R}^{2}$ 라 합시다.

(a)

$0$ -세포는 한 점으로 이루어집니다.
(b)

앞서 보았듯이, $1$ -세포는 임의의 곡선입니다.
(c)

$2$ -세포는 $2$ 차원 곡면에 대응합니다. 예를 들어, 다음과 같이 주어지는 사상 $c\colon[0,R]\times[0,2\pi]\to V$ 는

$c\colon(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$

반지름이 $R$ 인 원판으로 생각할 수 있습니다.

이제 정의를 제시할 수 있습니다.

정의 45.3.3 (미분 $k$ -형식을 적분하는 방법).

미분 $k$ -형식 $\alpha$ 와 $k$ -세포 $c\colon[0,1]^{k}\to V$ 를 택합시다. 적분 $\int_{c}\alpha$ 를 당겨오기를 사용하여 다음과 같이 정의합니다.

\int_{c}\alpha\coloneqq\int_{[0,1]^{k}}c^{\ast}\alpha.

$c^{\ast}\alpha$ 는 $k$ 차원 단위 상자 위의 $k$ -형식이므로 $f(x_{1},\dots,x_{k})\;dx_{1}\wedge\dots\wedge dx_{k}$ 로 쓸 수 있습니다. 따라서 위의 적분은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

\int_{0}^{1}\dots\int_{0}^{1}f(x_{1},\dots,x_{k})\;dx_{1}\wedge\dots\wedge dx_% {k}.

예제 45.3.4 (원의 넓이).

$V=\mathbb{R}^{2}$ 를 생각하고, 앞에서와 같이 $[0,R]\times[0,2\pi]$ 위에서 $c\colon(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta)\mathbf{e}_{1}+(r\sin\theta)\mathbf{e}_{2}$ 라 합시다. 모든 점 $p$ 에서 $\alpha_{p}=\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 를 주는 $2$ -형식 $\alpha$ 를 택합시다. 그러면

	$\displaystyle c^{\ast}\alpha$	$\displaystyle=\left(\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta\right)\wedge\left(\sin% \theta dr+r\cos\theta d\theta\right)$
		$\displaystyle=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)(dr\wedge d\theta)$
		$\displaystyle=r\;dr\wedge d\theta$

따라서

\int_{c}\alpha=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}r\;dr\wedge d\theta=\pi R^{2}

이는 원의 넓이입니다.

여기서 무슨 일이 일어나는지 기하학적 직관을 설명하겠습니다. $V$ 안의 $k$ -셀이 주어지면, 미분 $k$ -형식 $\alpha$ 는 점 $p$ 와 접벡터 $v_{1}$ , …, $v_{k}$ 를 받아 수 $\alpha_{p}(v_{1},\dots,v_{k})$ 를 내놓습니다. 앞에서와 마찬가지로 이 수는 부호 있는 초부피로 봅니다. 그러면 적분은 셀 전체에 걸쳐 이 무한소들을 모두 더합니다. 특히 $V=\mathbb{R}^{k}$ 이고 형식 $\alpha\colon p\mapsto\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\dots\wedge\mathbf{e}_{k}^{\vee}$ 를 택하면, 이 $\alpha$ 들이 주는 값은 셀의 $k$ 차원 초부피입니다. 이런 이유로 이 $\alpha$ 를 $\mathbb{R}^{k}$ 위의 부피 형식이라고 부릅니다.

제가 “셀”이라는 용어를 느슨하게 쓰기 시작했다는 것을 눈치채셨을 것입니다. 셀 $c\colon[0,R]\times[0,2\pi]\to\mathbb{R}^{2}$ 는 원래 함수인데도, 저는 이것을 단위 원판으로(즉 그 상의 관점에서) 생각하라고 말해 왔습니다. 같은 맥락에서 곡선 $[0,1]\to V$ 는 시간에 대한 함수가 아니라 공간 속의 곡선으로 생각해야 합니다.

이 오류는 해가 없는 것으로 밝혀집니다. $\alpha$ 를 $U$ 위의 $k$ -형식, $c\colon[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{k},b_{k}]\to U$ 를 $k$ -셀이라고 합시다. $\phi\colon[a_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime}]\times\dots[a_{k}^{\prime},b_{k}^{% \prime}]\to[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{k},b_{k}]$ 가 있다고 합시다. $\phi$ 가 전단사이고 $(D\phi)_{p}$ 가 항상 가역이면 $\phi$ 를 재매개화라고 합니다(“변수 변환”을 생각하십시오). 따라서

c\circ\phi\colon[a_{1}^{\prime},b_{1}^{\prime}]\times\dots\times[a_{k}^{\prime% },b_{k}^{\prime}]\to U

도 $k$ -셀입니다. 이때 모든 $p$ 에 대해 $\det(D\phi)_{p}>0$ 이면 $\phi$ 가 방향을 보존한다고 하고, 모든 $p$ 에 대해 $\det(D\phi)_{p}<0$ 이면 방향을 뒤집는다고 합니다.

연습문제 45.3.5.

왜 이 두 경우 중 정확히 하나가 반드시 일어나야 합니까?

정리 45.3.6 (변수 변환은 적분에 영향을 주지 않는다).

$c$ 를 $k$ -셀, $\alpha$ 를 $k$ -형식, $\phi$ 를 재매개화라고 합시다. 그러면

\int_{c\circ\phi}\alpha=\begin{cases}\int_{c}\alpha&\phi\text{방향을 보존합니다}\\ -\int_{c}\alpha&\phi\text{방향을 뒤집습니다}.\end{cases}

증명.

당겨오기의 자연성을 이용하여 일반 미적분학의 해당 정리로 귀착시키십시오. ∎

예를 들어 단위원을 $(r,t)\mapsto R\cos(2\pi t)\mathbf{e}_{1}+R\sin(2\pi t)\mathbf{e}_{2}$ 로 주어지는 $[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 로 매개화했더라도 같은 결과에 도달했을 것입니다. 따라서 $k$ -셀은 정말로 그것이 지정하는 점들만으로 생각할 수 있습니다.

45.4 경계

대표적인 예: $[a,b]$ 의 경계는 $\{b\}-\{a\}$ 입니다. 정사각형의 경계는 그 가장자리를 따라 반시계 방향으로 돕니다.

먼저 여러 셀을 한꺼번에 다룰 수 있게 해 주는 전문 용어를 도입하겠습니다.

정의 45.4.1.

$k$ -사슬 $U$ 는 $U$ 위의 $k$ -세포들의 형식적 선형 결합, 즉 다음 꼴의 합입니다.

c=a_{1}c_{1}+\dots+a_{m}c_{m}

여기서 각 $a_{i}\in\mathbb{R}$ 이고 $c_{i}$ 는 $k$ -셀입니다. $\int_{c}\alpha=\sum_{i}a_{i}\int_{c_{i}}\alpha$ 로 정의합니다.

특히 $0$ -사슬은 각각 주어진 가중치를 갖는 여러 점으로 이루어집니다.

이제 경계는 어떻게 정의합니까? 앞에서 암시했듯이 $1$ -셀 $[a,b]\to U$ 에 대해서는 답이 $0$ -사슬 $\{c(b)\}-\{c(a)\}$ 가 되기를 원합니다. 일반적인 경우에는 다음과 같이 합니다.

정의 45.4.2.

$c\colon[0,1]^{k}\to U$ 가 $k$ -셀이라고 합시다. 그러면 $\partial c\colon[0,1]^{k-1}\to U$ 로 표기하는 $c$ 의 경계는 다음과 같이 정의되는 $(k-1)$ -사슬입니다. 각 $i=1,\dots,k$ 에 대해 $(k-1)$ -사슬을 다음과 같이 정의합니다.

	$\displaystyle c_{i}^{\text{시작}}\colon(t_{1},\dots,t_{k-1})$	$\displaystyle\mapsto c(t_{1},\dots,t_{i-1},0,t_{i},\dots,t_{k-1})$
	$\displaystyle c_{i}^{\text{끝}}\colon(t_{1},\dots,t_{k-1})$	$\displaystyle\mapsto c(t_{1},\dots,t_{i-1},1,t_{i},\dots,t_{k-1}).$

그러면

\partial c\coloneqq\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}\left(c_{i}^{\text{끝}}-c_{i}^{\text% {시작}}\right).

마지막으로, 사슬의 경계는 각 세포의 경계를 (적절한 가중치와 함께) 더한 합입니다. 즉, $\partial(\sum a_{i}c_{i})=\sum a_{i}\partial c_{i}$ 입니다.

질문 45.4.3.

이 정의를 ( $[0,1]^{k}\to V$ 대신) $c\colon[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{k},b_{k}]\to V$ 로 정의된 $k$ -셀 $c$ 로 확장할 수 있음을 스스로 확인하십시오.

예제 45.4.4 (경계의 예).

아래에 나타낸 $2$ -셀 $c\colon[0,1]^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ 를 생각합시다.

여기서 $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ , $p_{4}$ 는 각각 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(0,1)$ 의 상입니다. 형식적으로 $\partial c$ 는 다음과 같이 주어집니다.

\partial c=(t\mapsto c(1,t))-(t\mapsto c(0,t))-(t\mapsto c(t,1))+(t\mapsto c(t% ,0)).

인라인 함수 때문에 표기가 보기 흉해진 점을 사과드립니다. 만회하는 의미에서 간단히 다음과 같이 씁시다.

\partial c=[p_{2},p_{3}]-[p_{1},p_{4}]-[p_{4},p_{3}]+[p_{1},p_{2}]

여기서 각 “구간”은 음의 부호를 반영한 뒤 오른쪽의 붉은 화살표로 나타낸 $1$ -셀을 나타냅니다. 이것의 경계도 구할 수 있으며, 다음과 같이 빈 사슬을 얻습니다.

\partial(\partial c)=\sum_{i=1}^{4}\{p_{i+1}\}-\{p_{i}\}=0.

예제 45.4.5 (단위 원판의 경계).

다음과 같이 주어진 단위 원판을 생각합시다.

c\colon[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^{2}\quad\text{에 의해}\quad(r,\theta)\mapsto r% \cos(2\pi\theta)\mathbf{e}_{1}+r\sin(2\pi\theta)\mathbf{e}_{2}.

경계의 네 부분은 아래 그림에 나와 있습니다.

두 화살표는 적분하면 서로 거의 상쇄된다는 점에 유의하십시오. 또한 흥미롭게도 원의 중심에 퇴화된 $1$ -셀이 있습니다. 이 셀은 항상 원점을 내놓는 상수 함수 $[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 입니다.

$d^{2}=0$ 에 대응하는 필수 정리이며, 연습 문제로 남겨 둡니다.

정리 45.4.6 (경계의 경계는 공집합입니다).

임의의 $k$ -사슬 $c$ 에 대하여 $\partial^{2}(c)=0$ 이 성립한다는 의미에서 $\partial^{2}=0$ 입니다.

45.5 스토크스 정리

대표적인 예: $\int_{[a,b]}dg=g(b)-g(a)$ .

이제 셀에 대한 스토크스 정리를 서술하는 데 필요한 재료를 모두 갖추었습니다.

정리 45.5.1 (셀에 대한 스토크스 정리).

평소와 같이 $U\subseteq V$ 를 잡고, $c\colon[0,1]^{k}\to U$ 를 $k$ -셀, $\alpha\colon U\to\bigwedge^{k-1}(V^{\vee})$ 를 $(k-1)$ -형식이라 합시다. 그러면

\int_{c}d\alpha=\int_{\partial c}\alpha.

특히 $d\alpha=0$ 이면 좌변은 0이 됩니다.

예를 들어 $c$ 가 구간 $[a,b]$ 이면 $\partial c=\{b\}-\{a\}$ 이므로, 미적분학의 기본 정리를 얻습니다.

45.6 현실로 돌아와서: 벡터 미적분학에서 배운 내용과의 비교

지금까지 모든 것을 추상적으로 다루었으니, 이제 우리가 배운 내용을 일반적인 대학의 벡터 미적분학 강의에서 $\mathbb{R}^{3}$ 에 대해 접할 법한 내용과 비교해 봅시다.

그림 45.1에는 제가 2024년 가을에 MIT의 18.02 강의를 위해 그린 그림을 옮겨 두었습니다. 18.02는 많은 1학년 학생이 수강하는 다변수 미적분학 강의입니다. 이 그림은 각 $0\leq d\leq n\leq 3$ 에 대하여( $d=n=0$ 인 경우는 제외) 정의역이 $\mathbb{R}^{n}$ 인 함수를 $d$ 차원에서 적분할 때 그 강의에서 어떤 종류의 적분이 등장했는지를 보여 줍니다. 이 그림의 모든 적분은 실숫값이라는 점에 유의하십시오.

저는 MIT에서 실제로 쓰인 표기법을 일부러 사용했으며, 이를 18.02 표기법이라고 부르겠습니다. 이 표기법이 위키백과를 비롯한 여러 곳에서 보게 될 표기법과 비슷하기 때문입니다. 이 절의 목표는 18.02 표기법을 Napkin 표기법으로 옮기는 번역 체계를 제공하는 것입니다. (이 절 전체에서 $\mathbb{R}^{n}$ 은 노름 벡터 공간으로 간주하므로, $\mathbf{e}_{1}\mapsto\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 등의 동일시는 표준적입니다.)

18.02 차트.

그림 45.1: 대학 1학년 시절이 떠오르십니까? 고해상도 버전은 https://web.evanchen.cc/textbooks/poster-stokes.pdf에 있습니다.

그림 45.1에는 많은 내용이 담겨 있으니, 하나씩 나누어 살펴봅시다.

$0$ -형식.

$0$ -형식은 그냥 함수와 같으므로, 0차원 적분의 열은 이해하기 쉬울 것입니다. 이는 단지 한 점에서의 값을 구하는 것, 또는 여러 점에서의 값의 합일 뿐입니다.

$n$ -형식.

The case $n=d$ is also easy: 우리는 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 $n$ -형식을 적분하여 수를 얻을 수 있음을 알고 있습니다. 즉,

•

일반적인 적분 $\int_{a}^{b}\mathop{}\!\mathrm{d}x$ 는 $1$ -셀 $[a,b]$ 위에서 $1$ -형식 $f\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}$ 를 적분한 것입니다.
•

넓이 적분 $\int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}f(x,y)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}% \!\mathrm{d}y$ 는 $2$ -형식 $f\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}$ 를 적분하는 것에 해당합니다.
•

부피 적분 $\int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}\int_{a_{3}}^{b_{3}}f(x,y,z)\mathop{}% \!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}z$ 는 $3$ -형식 $f\cdot\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}$ 를 적분하는 것에 해당합니다.

이로써 대각선 위에 초록색으로 표시된 것들은 해결됩니다.

나머지 세 개의 초록색 그림은 해석할 수 없습니다!

까다로운 부분은 $0<d<n<3$ 인 경우입니다. 이러한 경우는 세 가지로, $d=1$ 이고 $n\in\{2,3\}$ 일 때의 두 선적분과 $d=2$ 이고 $n=3$ 일 때의 면적분입니다.

사실 이것들은 우리의 미분 형식 이론으로 다뤄지지 않습니다! 실제로 $f=1$ 이 상수 함수인 특수한 경우에도 선적분은 사실 호의 길이이며, 절 44.6에서 언급했듯이 그 적분은 어떤 미분 형식의 적분으로도 볼 수 없습니다. 마찬가지로 곡면의 넓이 역시 미분 형식이 아닙니다.

$1$ -형식과 $2$ -형식.

하지만 (벡터장 위에서의) 세 보라색 적분은 우리의 체계 안에서 바라볼 수 있습니다.

•

$d=1$ 이고 $n=3$ 인 경우, 즉 3차원 선적분을 생각해 봅시다. 입력으로 벡터값 함수 $\mathbf{F}\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ 이 주어집니다. 사영 원리(정리 43.2.1)에 의해, 이는 다음 데이터와 같습니다.

$\mathbf{F}(p)=F_{1}(p)\mathbf{e}_{1}+F_{2}(p)\mathbf{e}_{2}+F_{3}(p)\mathbf{e}% _{3}$

여기서 $F_{i}\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ ( $i=1,2,3$ )는 세 함수입니다.

18.02 표기법 $\mathbf{F}(p)$ 를 Napkin 표기법으로 바꾸기 위해, $\mathbf{F}$ 를 다음 미분 형식과 동일시합니다.

$\alpha_{p}=F_{1}(p)\mathbf{e}_{1}^{\vee}+F_{2}(p)\mathbf{e}_{2}^{\vee}+F_{3}(p% )\mathbf{e}_{3}^{\vee}.$

한편, 시간 $t\in[t_{0},t_{1}]$ 로 매개화된 경로 $\mathbf{r}(t)$ 는 $1$ -형식 $c:[t_{0},t_{1}]\to\mathbb{R}^{3}$ 의 개념에 대응합니다. 적분에서의 “일”은 다음과 같이 씁니다.

$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}^{\prime}(t)$

그런데 그 점곱은 정확히 당겨오기 $c^{\ast}\alpha$ 입니다.
•

$d=1$ 이고 $n=2$ 인 경우도 $3$ 을 $2$ 로 바꾸기만 하면 완전히 같습니다.

•

가장 이상한 경우는 $d=2$ 이고 $n=3$ 일 때의 선속 적분입니다. 매개화 $\mathbf{r}(u,v)$ 는 문제없으며, 이는 $2$ -세포 $c$ 에 대응합니다. 그러나 $\mathbf{F}(p)$ 는 타입이 맞지 않는 것처럼 보입니다.

그러나 다시 다음과 같이 써 봅시다.

\mathbf{F}(p)=F_{1}(p)\mathbf{e}_{1}+F_{2}(p)\mathbf{e}_{2}+F_{3}(p)\mathbf{e}% _{3}.

이를 Napkin 표기법으로 바꾸는 데에는 꽤 이상한 편법이 사용됩니다. 원하는 형식은 다음과 같습니다.

\alpha_{p}=F_{1}(p)\mathbf{e}_{2}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}+F_{2}(p)% \mathbf{e}_{3}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{1}^{\vee}+F_{3}(p)\mathbf{e}_{1}^{\vee}% \wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}.

네, 이것이 정말로 그 동일시입니다! 이 정의가 가능하려면 다음 사실을 이용해야 했습니다.

\binom{3}{1}=\binom{3}{2}.

즉, 3차원 공간 $\bigwedge^{2}(\mathbb{R}^{3})$ 이 마침 $\bigwedge^{1}(\mathbb{R}^{3})\cong\mathbb{R}^{3}$ 과 같은 개수의 기저 원소를 가지므로, 다음 사상

	$\displaystyle\star\colon\bigwedge^{2}(\mathbb{R}^{3})$	$\displaystyle\to\mathbb{R}^{3}$
	$\displaystyle\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}$	$\displaystyle\mapsto\mathbf{e}_{3}$
	$\displaystyle\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}$	$\displaystyle\mapsto\mathbf{e}_{1}$
	$\displaystyle\mathbf{e}_{3}\wedge\mathbf{e}_{1}$	$\displaystyle\mapsto\mathbf{e}_{2}$

은 기저 원소를 기저 원소로 보내므로 실제로 동형사상입니다. 이 사상은 더 높은 차원에서 이른바 호지 스타 연산자로 일반화되기 때문에, 이 사상을 $\star$ 로 나타냅니다.

이제 지금까지 일부러 피해 왔던 벡터곱 이야기를 할 차례입니다. 벡터곱은 $\mathbb{R}^{3}$ 의 벡터 두 개를 받아 $\mathbb{R}^{3}$ 의 벡터 하나를 출력하는 이상한 연산입니다. 구체적으로, $\mathbf{v}=x\mathbf{e}_{1}+y\mathbf{e}_{2}+z\mathbf{e}_{3}$ 이고 $\mathbf{w}=x^{\prime}\mathbf{e}_{1}+y^{\prime}\mathbf{e}_{2}+z^{\prime}\mathbf% {e}_{3}$ 일 때, 학교에서 가르치는 벡터곱의 정의는 다음과 같습니다.

\mathbf{v}\times\mathbf{w}\coloneqq(yz^{\prime}-y^{\prime}z)\mathbf{e}_{1}+(zx% ^{\prime}-xz^{\prime})\mathbf{e}_{2}+(xy^{\prime}-x^{\prime}y)\mathbf{e}_{3}.

이것은 어디에서 온 것입니까? 답은 이것이 바로 $\star(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w})$ 라는 것입니다:

	$\displaystyle\mathbf{v}\wedge\mathbf{w}$	$\displaystyle=(x\mathbf{e}_{1}+y\mathbf{e}_{2}+z\mathbf{e}_{3})\wedge(x^{% \prime}\mathbf{e}_{1}+y^{\prime}\mathbf{e}_{2}+z^{\prime}\mathbf{e}_{3})$
		$\displaystyle=(xy^{\prime}-x^{\prime}y)\mathbf{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{2}+(yz^% {\prime}-y^{\prime}z)\mathbf{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}+(zx^{\prime}-xz^{% \prime})\mathbf{e}_{3}\wedge\mathbf{e}_{1}$
	$\displaystyle\star(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w})$	$\displaystyle\mapsto(xy^{\prime}-x^{\prime}y)\mathbf{e}_{3}+(yz^{\prime}-y^{% \prime}z)\mathbf{e}_{1}+(zx^{\prime}-xz^{\prime})\mathbf{e}_{2}.$

이것을 정리하고 나면, 이상한 내적-외적 곱

\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\left(\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\right% )\mathop{}\!\mathrm{d}{u}\mathop{}\!\mathrm{d}{v}

은 이제 당겨오기 $c^{\ast}\alpha$ 에 대응하도록 맞춰져 있습니다. 따라서 이 호지 스타를 사용하면, 선속은 사실 $2$ -형식의 적분임을 알 수 있습니다.

외미분

그림 45.1의 모든 빨간 화살표는 해당 형식의 외미분에 대응합니다. 즉, 다음과 같습니다.

•

“grad” 연산은 $0$ -형식 $f$ 를 받아, $1$ -형식 $d f$ 자체에 대응하는 벡터장을 출력합니다.

•

“curl” 연산은 $1$ -형식 $\alpha$ 를 받아, $2$ -형식 $d\alpha$ 에 대응하는 벡터장을 출력합니다. $n=3$ 일 때 이 대응 체계가 잘 맞아떨어지는데, $1$ -형식의 공간은 $\binom{3}{1}$ 차원이고 $2$ -형식의 공간은 $\binom{3}{2}$ 차원이며, 다행히도 $\binom{3}{1}=3=\binom{3}{2}$ 이기 때문입니다.

기묘한 표기 $\nabla\times\mathbf{F}$ 가 외미분에 대응한다는 것을 확인할 수 있습니다. 18.02 쪽에서 다음이 주어졌다고 하면

\mathbf{F}=F_{1}\mathbf{e}_{1}+F_{2}\mathbf{e}_{2}+F_{3}\mathbf{e}_{3}

18.02에서 회전(curl)의 정의는 다음과 같습니다.

\operatorname{curl}(\mathbf{F})\coloneqq\nabla\times\mathbf{F}\coloneqq\left(% \frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)% \mathbf{e}_{1}+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{% \partial x}\right)\mathbf{e}_{2}+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac% {\partial F_{1}}{\partial y}\right)\mathbf{e}_{3}

$\nabla\times$ 라는 터무니없는 표기를 쓰는 이유는, 표기를 정말로 남용하면 이것을 벡터 $\nabla=\left<\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{% \partial}{\partial z}\right>$ 와 벡터 $\mathbf{F}=\left<F_{1},F_{2},F_{3}\right>$ 의 벡터곱으로 거의 생각할 수 있기 때문입니다.

이제 $\mathbf{F}$ 를 Napkin 표기로 바꾸기 위해, 우리가 $\mathbf{F}$ 를 다음 미분 형식과 동일시했음을 떠올리십시오.

\alpha=F_{1}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+F_{2}\mathbf{e}_{2}^{\vee}+F_{3}\mathbf{e}_{% 3}^{\vee}.

정의 44.4.4의 외미분 공식을 따르면 다음을 얻습니다.

	$\displaystyle d\alpha$	$\displaystyle=dF_{1}\wedge\mathbf{e}_{1}^{\vee}+dF_{2}\wedge\mathbf{e}_{2}^{% \vee}+dF_{3}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}$
		$\displaystyle=\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+% \frac{\partial F_{1}}{\partial y}\mathbf{e}_{2}^{\vee}+\frac{\partial F_{1}}{% \partial z}\mathbf{e}_{3}^{\vee}\right)\wedge\mathbf{e}_{1}^{\vee}$
		$\displaystyle+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+% \frac{\partial F_{2}}{\partial y}\mathbf{e}_{2}^{\vee}+\frac{\partial F_{2}}{% \partial z}\mathbf{e}_{3}^{\vee}\right)\wedge\mathbf{e}_{2}^{\vee}$
		$\displaystyle+\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\mathbf{e}_{1}^{\vee}+% \frac{\partial F_{3}}{\partial y}\mathbf{e}_{2}^{\vee}+\frac{\partial F_{3}}{% \partial z}\mathbf{e}_{3}^{\vee}\right)\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}$
		$\displaystyle=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{% \partial z}\right)\mathbf{e}_{2}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{3}^{\vee}+\left(\frac% {\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\mathbf{e% }_{3}^{\vee}\wedge\mathbf{e}_{1}^{\vee}+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x% }-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\mathbf{e}_{1}^{\vee}\wedge\mathbf{e% }_{2}^{\vee}.$

호지 스타를 취한 뒤 $\vee$ 를 모두 떼어 내면 $\nabla\times\mathbf{F}$ 와 같은 것을 얻으므로, 이로써 18.02 표기와 Napkin 표기 사이의 대응이 완성됩니다.

•

18.02 용어로 발산 $\operatorname{div}$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

$\operatorname{div}(\mathbf{F})\coloneqq\nabla\cdot\mathbf{F}\coloneqq\frac{% \partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F% _{3}}{\partial z}$

이는 입력점 $p\in\mathbb{R}^{3}$ 에 대한 스칼라값 함수입니다. 이것은 문제 45C에서 여러분이 직접 해 보도록 남겨 둡니다.

$\nabla\cdot$ 라는 말도 안 되는 표기를 쓰는 이유는, 표기를 정말로 남용하면 이것을 벡터 $\nabla=\left<\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{% \partial}{\partial z}\right>$ 와 벡터 $\mathbf{F}=\left<F_{1},F_{2},F_{3}\right>$ 의 점곱으로 거의 생각할 수 있기 때문입니다.

이중 미분

우리는 $d^{2}=0$ 임을 알고 있으며, 이는 그림 45.1에서 두 화살표를 합성하면 0이 된다는 뜻입니다. 18.02에서는 이것을 다음과 같이 보게 됩니다.

•

기울기의 회전은 0입니다.
•

회전의 플럭스는 0입니다.

하지만 사실 이들은 같은 정리입니다.

스토크스 정리

각 빨간 화살표는 또한 셀에 대한 스토크스 정리의 한 사례를 줍니다. 따라서 셀에 대한 스토크스 정리만으로도 정말 훌륭합니다. 18.02의 정리 여섯 개를 특수한 경우로 얻기 때문입니다!

•

0차원 적분에서 1차원 적분으로 가는 세 화살표는 모두 “미적분학의 기본 정리”라고 불립니다. $n>1$ 일 때는 대신 “선적분에 대한 미적분학의 기본 정리”라고 부르는 저자도 있습니다.
•

$n=2$ 일 때 나머지 빨간 화살표는 “그린 정리”라고 불립니다. 이것은 문제 45A에서 여러분이 직접 확인해 보도록 남겨 둡니다.
•

$n=3$ 일 때 일에서 플럭스로 가는 화살표는 헷갈리게도 역시 “스토크스 정리”라고 불립니다. 이 정리는 2차원 곡면의 플럭스가 1차원 경계에서의 일과 같다는 것을 말합니다.
•

$n=3$ 일 때 가장 오른쪽의 빨간 화살표는 “발산 정리”라고 불립니다. 이 정리는 3차원 부피의 발산이 2차원 경계 곡면의 플럭스와 같다는 것을 말합니다.

45.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 45A (그린 정리).

$f,g\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 가 매끄러운 함수이고 $c$ 가 $2$ -셀이라고 합시다. 다음을 증명하십시오.

\int_{c}\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}% \right)\;dx\wedge dy=\int_{\partial c}(f\;dx+g\;dy).

힌트. $\alpha=f\;dx+g\;dy$ 에 스토크스 정리를 직접 적용하면 됩니다.

문제 45B.

$\partial^{2}=0$ 임을 보이십시오.

힌트. 이것은 시그마 표기법 연습에 불과합니다.

문제 45C.

18.02 표기 체계와 Napkin 표기 체계 사이의 대응을 완성하십시오. 즉, $\mathbf{F}\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ 를 벡터장이라 하고, $\alpha$ 를 Napkin 방식에서 이에 대응하는 $2$ -형식이라 합시다. 다음으로 정의되는 스칼라 값 함수가

\operatorname{div}(\mathbf{F})\coloneqq\nabla\cdot\mathbf{F}\coloneqq\frac{% \partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F% _{3}}{\partial z}

$3$ -형식 $d\alpha$ 에서 평가한 값과 일치함을 보이십시오.

문제 45D (당겨오기와 $d$ 는 교환 가능합니다).

$U$ 와 $U^{\prime}$ 를 각각 벡터 공간 $V$ 와 $V^{\prime}$ 의 열린집합이라 하고, $\phi\colon U\to U^{\prime}$ 를 그 사이의 매끄러운 사상이라 합시다. $U^{\prime}$ 위의 임의의 미분 형식 $\alpha$ 에 대하여 다음이 성립함을 증명하십시오.

\phi^{\ast}(d\alpha)=d(\phi^{\ast}\alpha).

힌트. 이것은 간단한 (하지만 번거로운) 계산입니다.

문제 45E (호의 길이는 형식이 아닙니다).

곡선 $c\colon[0,1]\to\mathbb{R}^{2}$ 에 대하여 적분 $\int_{c}\alpha$ 가 $c$ 의 호의 길이를 주는 $\mathbb{R}^{2}$ 위의 $1$ -형식 $\alpha$ 는 존재하지 않음을 보이십시오.

힌트. $\alpha_{p}(v)=\left\lVert v\right\rVert$ 이기를 원하게 됩니다.

문제 45F.

완전 $k$ -형식 $\alpha$ 란 어떤 $\beta$ 에 대하여 $\alpha=d\beta$ 를 만족하는 형식입니다. 다음을 증명하십시오.

\int_{C_{1}}\alpha=\int_{C_{2}}\alpha

여기서 $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 는 평면 위의 임의의 동심원이고 $\alpha$ 는 어떤 완전 $1$ -형식입니다.

힌트. $d^{2}=0$ 이면 완전 형식 $\alpha$ 에 대하여 $\int_{\partial c}\alpha=0$ 임을 보이십시오. 고리 영역을 그려 보십시오.