장 78 환 달린 공간으로서의 아핀 다양체

앞 장에서와 마찬가지로, 간단함을 위해 $\mathbb{C}$ 위의 아핀 다양체만을 다루겠습니다.

78.1 개요

19세기 초 군론은 기이한 존재였습니다. 19세기 동안 군은 문자 그대로 $\operatorname{GL}(n)$ 또는 $S_{n}$ 의 부분집합으로 정의되었습니다. 실제로 “군”이라는 단어는 아직 발명되지 않았습니다. 이는 터무니없게 들릴 수 있지만 사실이었습니다 – Sylow는 이 개념 없이 자신의 정리들을 전개했습니다. 훨씬 나중에야 비로소 군의 추상적 정의, 즉 $S_{n}$ 으로의 어떠한 매장으로부터도 독립적인 추상 집합 $G$ 이자 그 자체로 하나의 대상이라는 정의가 주어졌습니다.

우리는 이제 아핀 다양체에 대해서도 같은 종류의 변화를 이루려고 합니다. 이를 주변 공간 $\mathbb{A}^{n}$ 안에 갇힌 대상으로 생각하는 대신, 우리는 그것을 그 자체로 하나의 대상으로 만들고자 합니다. 구체적으로, 우리에게 아핀 다양체는 각 열린집합마다 함수의 환을 갖춘 위상 공간이 될 것입니다. 이것이 바로 우리가 이를 환 달린 공간이라 부르는 이유입니다.

위상 공간에 관한 부분은 그리 과격하지 않습니다. 핵심적인 통찰은 함수의 환을 추가하는 것입니다. 예를 들어, 지난 장의 이중점을 생각해 봅시다.

집합으로서는 그것은 하나의 점이며, 따라서 가능한 위상은 오직 하나뿐입니다. 그러나 함수 환을 추가하면 이를 단순한 하나의 점과 구별할 수 있게 해 줍니다.

이 구성은 상당히 복잡하므로, 다음과 같이 진행하겠습니다: $\mathbb{A}^{n}$ 안의 기존 아핀 다양체 위에 구조를 하나씩 정의해 나가서, 환 달린 공간의 모든 데이터를 갖출 때까지 진행하겠습니다. 이후의 장들에서는 이러한 개념들이 자라나 현대 대수기하학의 핵심, 즉 스킴이 될 것입니다.

78.2 $\mathbb{A}^{n}$ 위의 자리스키 위상

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}$ 에서 닫힌집합은 유한 개의 점들의 모임입니다. $\mathbb{A}^{2}$ 에서 공집합이 아닌 열린집합은 전체 공간에서 곡선/점들의 유한 모임을 뺀 것입니다.

먼저 모든 다양체 $V$ 에 위상 구조를 부여하는 것으로 시작합니다. (지금까지는) 아핀 다양체가 모두 $\mathbb{A}^{n}$ 안에 있으므로, $\mathbb{A}^{n}$ 에 적절한 위상을 주고 나서 $V$ 를 부분공간으로 보기만 하면 됩니다.

그러나 $\mathbb{A}^{n}$ 에 표준적인 유클리드 위상을 부여하는 대신, 우리는 훨씬 더 기이한 위상을 부여합니다.

정의 78.2.1.

$\mathbb{A}^{n}$ 위의 자리스키 위상에서, 닫힌집합은 다음과 같은 형태의 집합들입니다

\mathcal{V}(I)\qquad\text{여기서}\quad I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}].

물론 열린집합은 이러한 집합들의 여집합입니다.

예제 78.2.2 ( $\mathbb{A}^{1}$ 위의 자리스키 위상).

$\mathbb{A}^{1}$ 의 열린집합을 결정해 봅시다. $\mathbb{A}^{1}$ 은 평소와 같이 ( $\mathbb{C}$ 가 이차원이라는 사실을 무시하고) 직선으로 그려 보겠습니다.

$\mathbb{C}[x]$ 는 주 아이디얼 정역이므로, 모든 $I\subseteq\mathbb{C}[x]$ 에 대해 $\mathcal{V}(I)$ 를 살펴보는 대신, 단 하나의 $f$ 에 대한 $\mathcal{V}(f)$ 만 살펴보면 됩니다. 다항식 $f$ 에는 몇 가지 유형이 있습니다:

•

어디서나 소멸하는 영다항식 $0$ : 이는 전체 공간 $\mathbb{A}^{1}$ 이 닫힌집합임을 의미합니다.
•

어디서도 소멸하지 않는 상수다항식 $1$ . 이는 $\varnothing$ 이 닫힌집합임을 의미합니다.
•

차수 $n$ 인 다항식 $c(x-t_{1})(x-t_{2})\dots(x-t_{n})$ . 이는 $n$ 개의 근을 가지므로, $\{t_{1},\dots,t_{n}\}$ 은 닫힌집합입니다.

따라서 $\mathbb{A}^{1}$ 의 닫힌집합은 정확히 $\mathbb{A}^{1}$ 전체와 점들의 유한 집합들(공집합 $\varnothing$ 을 포함하여)입니다. 결과적으로, $\mathbb{A}^{1}$ 의 열린집합은

•

$\varnothing$ , 그리고
•

점들의 유한한 모임(공집합일 수도 있음)을 뺀 $\mathbb{A}^{1}$ 입니다.

따라서, $\mathbb{A}^{1}$ 의 “전형적인” 열린집합의 그림은 다음과 같을 수 있습니다

몇 개의 표시된 점들을 제외한 모든 것입니다!

예제 78.2.3 ( $\mathbb{A}^{2}$ 위의 자리스키 위상).

마찬가지로, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 흥미로운 닫힌집합은 다음의 유한 합집합(공집합일 수도 있음)으로 이루어집니다.

•

$\mathcal{V}(y-x^{2})$ (포물선)과 같은 닫힌 곡선, 그리고
•

$\mathcal{V}(x-3,y-4)$ (점 $(3,4)$ )와 같은 단일 점.

물론 전체 공간 $\mathbb{A}^{2}=\mathcal{V}(0)$ 와 공집합 $\varnothing=\mathcal{V}(1)$ 도 닫힌집합입니다.

따라서 $\mathbb{A}^{2}$ 에서 공집합이 아닌 열린집합은 유한한 점들의 모임과 일차원 곡선들을 제외한 전체 평면으로 이루어집니다.

질문 78.2.4.

$\mathbb{A}^{2}$ 에서 ”전형적인” 열린집합의 그림을 (본인의 그림 실력이 닿는 한) 그려보십시오.

이 모든 것이 말하고자 하는 바는

공집합이 아닌 자리스키 열린집합은 거대하다는 것입니다.

이는 여러분이 위상수학에서 익숙해져 있던 것과 중요한 차이점입니다. 아주 명확히 말하자면:

•

과거에 제가 ”점 $p$ 의 열린 근방에서 이러저러한 성질을 가진다”와 같은 말을 했다면, 이는 ” $p$ 주변의 작은 영역에서 참이다”라는 뜻으로 여겨졌을 것입니다.
•

자리스키 위상에서는, ”점 $p$ 의 열린 근방에서 이러저러한 성질을 가진다”는 말을 ”특정 곡선 위의 점들을 제외한 사실상 모든 점에서 참이다”라는 뜻으로 이해해야 합니다.

실제로 ”열린 근방”이라는 표현은 더 이상 정확한 서술이 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 앞으로 나올 여러 그림에서는 열린 근방을 원으로 그리는 것이 여전히 도움이 될 것입니다.

이제 제가 서술한 대로 닫힌집합들이 실제로 위상을 이룬다는 것을 확인하는 일이 남아 있습니다. 즉, 다음을 간단히 확인해야 합니다.

•

$\varnothing$ 과 $\mathbb{A}^{n}$ 은 둘 다 닫힌집합입니다.
•

닫힌집합들의 교집합은 (무한 교집합이라도) 여전히 닫힌집합입니다.
•

닫힌집합들의 유한 합집합은 여전히 닫힌집합입니다.

사실 닫힌집합은 아핀 다양체와 같은 것이므로, 우리는 이미 이를 알고 있습니다!

78.3 아핀 다양체 위의 자리스키 위상

대표적인 예: $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 가 포물선이라면, $V$ 에서 $(1,1)$ 을 뺀 것은 $V$ 에서 열려 있습니다. 또한, 평면에서 원점을 뺀 것은 $D(x)\cup D(y)$ 입니다.

앞서 말했듯이, 다양체 $V$ 를 $\mathbb{A}^{n}$ 의 부분공간으로 간주함으로써 $V$ 는 자리스키 위상을 물려받습니다. $V$ 의 열린 부분집합은 “ $V$ 에서 자리스키 닫힌집합 몇 개를 뺀 것”으로 생각해야 합니다. 예를 들어:

예제 78.3.1 (다양체의 열린집합).

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 를 포물선이라 하고, $U=V\setminus\{(1,1)\}$ 라 합시다. 우리는 $U$ 가 $V$ 에서 열린집합임을 주장합니다.

실제로 $\tilde{U}=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(1,1)\}$ 은 $\mathbb{A}^{2}$ 에서 열린집합이므로(이는 닫힌집합 $\mathcal{V}(x-1,y-1)$ 의 여집합이기 때문입니다), $U=\tilde{U}\cap V$ 는 $V$ 에서 열린집합입니다. 한편 집합 $U$ 는 $\mathbb{A}^{2}$ 에서는 열린집합이 아님에 유의하십시오.

이제 나중에 매우 유용하게 쓰일 정의를 하나 소개하겠습니다.

정의 78.3.2.

아핀 다양체 $V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 과 $f\in\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 가 주어졌을 때, 판별 열린집합(distinguished open set) $D(f)$ 를 $f$ 에서 소멸하지 않는 점들로 이루어진 $V$ 의 열린집합으로 정의합니다:

D(f)=\left\{p\in V\mid f(p)\neq 0\right\}=V\setminus\mathcal{V}(f).

[VAK17]에서 Vakil은 표기 $D(f)$ 를 ”소멸하지-않는 집합(doesn’t-vanish set)”으로 기억할 것을 제안합니다.

예제 78.3.3 (판별 열린집합의 (합집합) 예시).

(a)

$V=\mathbb{A}^{1}$ 이면 $D(x)$ 는 한 점을 제외한 직선에 대응됩니다.
(b)

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 이면, $D(x-1)$ 은 $(1,1)$ 을 제외한 포물선에 대응됩니다.
(c)

$V=\mathbb{A}^{2}$ 이면, $D(x)\cup D(y)=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 는 구멍 뚫린 평면입니다. 이 집합이 판별 열린집합이 아님을 보일 수 있습니다.

이 개념을 주 아이디얼(principal ideal)의 유사물로 생각할 수 있습니다: 모든 열린집합은 어떤 아이디얼 $I$ 에 대해 $V\setminus\mathcal{V}(I)$ 형태로 쓸 수 있지만, $I=(f)$ 가 주 아이디얼이라면 그 집합은 판별 열린집합 $D(f)$ 로 쓸 수 있습니다. 마찬가지로, 두 주 아이디얼의 곱(교집합이 아닙니다!)이 주 아이디얼인 것처럼, 두 판별 열린집합의 교집합도 판별 열린집합입니다.

명제 78.3.4 (판별 열린집합의 성질).

$\mathcal{V}$ 가 포함관계를 뒤집는다는 점을 상기하면, $\mathcal{V}$ 의 여집합이라는 점에서 $D$ 는 ”포함관계를 보존”할 것으로 기대됩니다. 실제로 그렇습니다:

•

$(f)\subseteq(g)$ (즉, $g\mid f$ )이면, $D(f)\subseteq D(g)$ 입니다.
•

$(fg)\subseteq(f)\cap(g)$ 임을 상기하십시오. 판별 열린집합에 대해서는 $D(fg)=D(f)\cap D(g)$ 가 성립합니다.

$D$ 의 거동에 익숙해지는 것이 유용합니다.

질문 78.3.5.

$V=\mathcal{A}^{2}$ 이면, $D(x)$ 는 $y$ 축을 제외한 평면이고, $D(y)$ 는 $x$ 축을 제외한 평면입니다. $D(xy)$ 는 무엇이겠습니까?

78.4 좌표환

대표적인 예: $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 이면 $\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x,y]/(y-x^{2})$ 입니다.

다음으로 할 일은 $V$ 에서 기저체 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수들을 살펴보는 것입니다. 우리는 다양체 $V$ 위의 대수적(다항) 함수로 관심을 제한합니다: 이 함수들은 $V$ 위의 모든 점 $(a_{1},\dots,a_{n})$ 을 어떤 복소수 $P(a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{C}$ 로 보내야 합니다. 예를 들어, 3차원 아핀 다양체 위의 유효한 함수로는 $(a,b,c)\mapsto a$ 가 있을 수 있는데, 이 사영을 그냥 ” $x$ ”라고 부릅니다. 마찬가지로 표준적인 사영 $y$ 와 $z$ 도 있으며, 이들을 조합하여 다항식을 만들 수 있습니다, 예컨대 $x^{2}y+2xyz$ 처럼 말입니다.

정의 78.4.1.

다양체 $V$ 의 좌표환(coordinate ring) $\mathbb{C}[V]$ 는 $V$ 위의 다항 함수들의 환입니다. (표기법은 다음 절에서 설명합니다.)

비고 78.4.2 (”좌표환”이라는 이름의 의미).

위의 함수 $x$ , $y$ , $z$ 를 좌표 함수(coordinate functions)라고 부르는데, 이는 이들이 다양체 $V$ 의 각 점을 그 좌표로 보내기 때문입니다. 따라서 좌표환 $\mathbb{C}[V]$ 는 단순히 $\mathbb{C}$ 와 좌표 함수들에 의해 생성되는 환입니다.

언뜻 보면 이것이 그냥 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이라고 생각할 수도 있습니다. 하지만 자세히 살펴보면 주어진 다양체 위에서는 이 함수들 중 일부가 서로 같다는 것을 깨닫게 됩니다. 예를 들어, $\mathbb{A}^{2}$ 안의 포물선 $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 을 생각해 봅시다. 그러면 다음 두 함수는

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto x^{2}$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto y$

실제로 같은 함수입니다! $V$ 를 생성하는 아이디얼 $I$ 로 ”나머지 취하기(mod out)”를 해야 합니다. 이는 자연스럽게 다음으로 이어집니다:

정리 78.4.3 (좌표환은 아이디얼에 대응됩니다).

$I$ 를 근기 아이디얼(radical ideal)이라 하고, $V=\mathcal{V}(I)\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 합시다. 그러면

\mathbb{C}[V]\cong\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I.

증명.

위와 같이 자연스러운 전사가 존재합니다

\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]\twoheadrightarrow\mathbb{C}[V]

그리고 핵은 $I$ 입니다. ∎

따라서 다양체 $V$ 의 성질은 환 $\mathbb{C}[V]$ 의 성질에 대응됩니다.

78.5 정칙 함수의 층

대표적인 예: $V=\mathbb{A}^{1}$ , $U=V\setminus\{0\}$ 이라고 합시다. 그러면 $1/x\in\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 $U$ 위에서 정칙입니다.

$V$ 를 아핀 다양체라 하고 $\mathbb{C}[V]$ 를 그 좌표환이라고 합시다. 이 장의 시작에서 언급했듯이, 우리는 다양체를 오직 그 내재적 성질에 기반하여 정의하고자 하며, 이는 그 위의 대수 함수들의 모임을 연구함으로써 이루어집니다.

[VAK17]의 ”동기가 되는 예시: 미분 가능 함수의 층” 절에서, 미분 가능 다양체를 그 위의 미분 가능 함수들을 연구함으로써 어떻게 연구할 수 있는지에 대한 비교를 볼 수 있습니다.

$V$ 위의 모든 유리 함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}$ 로 표기합시다(나중에 보게 되겠지만, 여러 표현을 허용해야 하므로 이 용어는 그다지 정확하지 않습니다). 우리는 이를 하나의 집합으로 볼 수 있지만, 이는 유리 함수의 전체 구조를 포착하지는 못합니다:

질문 78.5.1.

$\mathbb{C}[V]$ 의 임의의 두 원소 $f$ 와 $g$ 에 대해, $\frac{f(x)}{g(x)}$ 가 잘 정의되는 집합이 자리스키 위상에서 열린집합임을 보이십시오. (힌트: $g^{\text{pre}}(0)$ 는 닫혀 있습니다.)

그래서 우리는 임의의 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 라는 개념을 정의하고자 합니다: 임의의 열린 부분집합 위의 “좋은” 함수들입니다. 당연히 $\mathbb{C}[V]$ 의 임의의 함수는 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 의 함수로서 작동할 것입니다. 그러나 구조를 더 많이 포착하기 위해 유리 함수를 허용함으로써 “좋은” 함수의 정의를 약간 느슨하게 하고자 합니다.

주된 예시는 $1/x$ 가 $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 위에서 정칙 함수여야 한다는 것입니다. 첫 번째 자연스러운 추측은 다음과 같습니다:

정의 78.5.2.

$U\subseteq V$ 를 다양체 $V$ 의 열린집합이라고 합시다. $U$ 위의 유리 함수는 $\mathbb{C}[V]$ 의 두 원소 $f$ 와 $g$ 의 몫 $f(x)/g(x)$ 이며, 여기서 $x\in U$ 에 대해 $g(x)\neq 0$ 이기를 요구합니다.

그러나 이 정의는 다소 지나치게 제한적입니다; 우리는 여러 표현을 허용해야 합니다:

정의 78.5.3.

$U\subseteq V$ 를 열린집합이라고 합시다. 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 함수라 함은, 모든 점 $p\in U$ 에 대해 $p$ 를 포함하는 열린집합 $U_{p}\subseteq U$ 와 $U_{p}$ 위의 유리 함수 $f_{p}/g_{p}$ 를 찾을 수 있어서 다음이 성립함을 말합니다

\phi(x)=\frac{f_{p}(x)}{g_{p}(x)}\qquad\forall x\in U_{p}.

특히, 우리는 집합 $U_{p}$ 위에서 $g_{p}(x)\neq 0$ 이기를 요구합니다. $U$ 위의 모든 정칙 함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 표기합니다.

따라서,

$\phi$ 가 $U$ 위에서 국소적으로 유리 함수이면 $U$ 위에서 정칙입니다.

이 정의는 오해를 불러일으킬 정도로 복잡하며, 예시들이 이를 상당히 명확하게 밝혀줄 것입니다. 첫째로, 실제로는 대부분의 경우 정칙 함수의 “전역적” 표현을 몫의 형태로 찾을 수 있으므로, $p$ 들에 대해 신경 쓸 필요가 없을 것입니다. 예를 들어:

예제 78.5.4 (정칙 함수).

(a)

함수 $f\in\mathbb{C}[V]$ 는 분명히 정칙인데, 모든 $p$ 에 대해 $g_{p}=1$ , $f_{p}=f$ 로 택할 수 있기 때문입니다. 그러므로 임의의 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathbb{C}[V]\subseteq\mathcal{O}_{V}(U)$ 입니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{0}=V\setminus\{0\}$ 이라고 합시다. 그러면 $1/x\in\mathcal{O}_{V}(U_{0})$ 는 $U_{0}$ 위에서 정칙입니다.
(c)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{12}=V\setminus\{1,2\}$ 라고 합시다. 그러면

$\frac{1}{(x-1)(x-2)}\in\mathcal{O}_{V}(U_{12})$

는 $U_{12}$ 위에서 정칙입니다.

그렇지만 $p$ 들을 포함하는 “국소적” 조항은 여전히 필요합니다.

예제 78.5.5 (국소적 표현의 요구).

다음 다양체를 생각해봅시다

V=\mathcal{V}(ab-cd)\subseteq\mathbb{A}^{4}

그리고 열린집합 $U=V\setminus\mathcal{V}(b,d)$ 를 생각해봅시다. $U$ 위에는 다음과 같이 주어지는 정칙 함수가 있습니다

(a,b,c,d)\mapsto\begin{cases}a/d&d\neq 0\\ c/b&b\neq 0.\end{cases}

이들이 ( $ab=cd$ 이므로) ”같은 함수”임은 명백하지만, 0으로 나누는 문제가 발생하므로 이를 표현하기 위해 ” $a/d$ ”나 ” $c/b$ ”라고 쓸 수는 없습니다. 이것이 바로 정칙 함수의 정의에서 여러 표현을 허용해야 하는 이유입니다.

사실, 우리는 나중에 정칙 함수의 정의가 층화라 불리는 더 일반적인 구성의 특수한 경우임을 보게 될 것인데, 이 구성에서는 ” $P$ 인 함수들의 준층”이 ”국소적으로 $P$ 인 함수들의 층”으로 변환됩니다.

78.6 특수 열린집합 위의 정칙 함수

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 위의 정칙 함수는 $P(x)/x^{n}$ 입니다.

예상할 수 있듯이 0으로 나누는 문제는 본질적으로 공간 $V$ 전체에서의 정칙 함수를 금지합니다. 즉, $\mathcal{O}_{V}(V)$ 안에는 이미 $\mathbb{C}[V]$ 에 있던 것이 아닌 정칙 함수가 존재하지 않습니다. 사실, 우리는 특수 열린집합 위의 정칙 함수를 계산하는 더 일반적인 결과를 가지고 있습니다:

정리 78.6.1 (특수 열린집합 위의 정칙 함수).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 을 아핀 다양체라 하고 $D(g)$ 를 그 특수 열린 부분집합이라 합시다. 그러면

\mathcal{O}_{V}(D(g))=\left\{\frac{f}{g^{k}}\mid f\in\mathbb{C}[V]\text{그리고}k% \in\mathbb{Z}\right\}.

특히, $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathcal{O}_{V}(D(1))\cong\mathbb{C}[V]$ 입니다.

이 정리의 증명은 영점 정리(Nullstellensatz)를 필요로 하므로, $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실에 의존합니다. 실제로 $\mathbb{C}$ 를 $\mathbb{R}$ 로 바꾸면 반례를 쉽게 찾을 수 있습니다: $\frac{1}{x^{2}+1}$ 을 생각해보십시오.

증명.

$f/g^{n}$ 형태의 모든 함수가 성립함은 명백하므로, 우리는 그 역방향을 원합니다. 이는 길기 때문에 처음 읽을 때는 생략해도 될 것입니다.

상황은 다음과 같습니다. $U=D(g)$ 라고 합시다. 우리에게는 정칙 함수 $\phi$ 가 주어져 있는데, 이는 모든 점 $p\in D(g)$ 에서 $\phi$ 를 $f_{p}/g_{p}$ (단, $f_{p},g_{p}\in\mathbb{C}[V]$ )로 표현할 수 있는 열린 근방 $U_{p}$ 가 존재함을 의미합니다. 그러면, 우리는 $\phi=f/g^{n}$ 이 되도록 하는 $f\in\mathbb{C}[V]$ 와 정수 $n$ 을 구성하고자 합니다.

먼저, 특정한 $U_{p}$ 와 $f_{p}/g_{p}$ 를 살펴봅시다. $U_{p}$ 를 특수 열린집합 $D(h_{p})$ 로 축소합니다. 그런 다음, $\widetilde{f}_{p}=f_{p}h_{p}$ 이고 $\widetilde{g}_{p}=g_{p}h_{p}$ 라 합시다. 그러면 다음을 얻습니다

\frac{\widetilde{f}_{p}}{\widetilde{g}_{p}}\text{에서 성립합니다}D(h_{p})\subseteq U% \subseteq X.

수정된 $f_{p}$ 와 $g_{p}$ 를 사용함으로써 얻는 요점은 다음과 같습니다:

\widetilde{f}_{p}\widetilde{g}_{q}=\widetilde{f}_{q}\widetilde{g}_{p}\qquad% \forall p,q\in U.

실제로, 이는 정의에 의해 $D(h_{p})\cap D(h_{q})$ 위에서 성립하며, 이 집합 밖에서는 좌변과 우변이 모두 0입니다.

이제, $D(g)=\bigcup_{p\in U}D(\widetilde{g}_{p})$ 임을, 즉

\mathcal{V}(g)=\bigcap_{p\in U}\mathcal{V}(\widetilde{g}_{p}).

그러므로 영점 정리(Nullstellensatz)에 의해 다음을 알 수 있습니다

g\in\sqrt{(\widetilde{g}_{p}:p\in U)}\implies\exists n:g^{n}\in(\widetilde{g}_% {p}:p\in U).

다시 말해, 어떤 $n$ 과 $k_{p}\in\mathbb{C}[V]$ 에 대해 다음이 성립합니다

g^{n}=\sum_{p}k_{p}\widetilde{g}_{p}

여기서 오직 유한개의 $k_{p}$ 만이 0이 아닙니다. 이제, 우리는 다음을 주장합니다

f\coloneqq\sum_{p}k_{p}\widetilde{f}_{p}

이 성립함을 주장합니다. 이는 임의의 $q\in U$ 에 대해 다음을 관찰함으로써 알 수 있습니다

f\widetilde{g}_{q}-g^{n}\widetilde{f}_{q}=\sum_{p}k_{p}(\widetilde{f}_{p}% \widetilde{g}_{q}-\widetilde{g}_{p}\widetilde{f}_{q})=0.\qed

이는 전역 정칙 함수가 좌표환 안의 것들과 정확히 같다는 것을 의미합니다: 국소적으로 몫이 되도록 허용한다고 해서 새로운 것을 얻지는 못합니다. (특수 열린집합에 대해서도 마찬가지입니다.)

예제 78.6.2 (특수 열린집합 위의 정칙 함수).

(a)

이미 말했듯이, $g=1$ 로 두면 임의의 아핀 다양체 $V$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}[V]$ 를 되찾습니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{0}=V\setminus\{0\}$ 이라고 합시다. 그러면

$\mathcal{O}_{V}(U_{0})=\left\{\frac{P(x)}{x^{n}}\mid P\in\mathbb{C}[x],\quad n% \in\mathbb{Z}\right\}.$

따라서 더 많은 예시는 $1/x$ 와 $(x+1)/x^{3}$ 입니다.

질문 78.6.3.

정칙 함수에 관한 우리의 정리가 왜 예제 78.5.5에는 적용되지 않습니까?

정칙 함수는 다음 장에서 스킴을 정의하고 나면 매우 중요해질 것입니다.

78.7 베이비 환달린 공간

요약하면, 아핀 대수다양체 $V$ 가 주어졌을 때 우리는 다음을 가지고 있습니다:

•

점들의 집합이라는 구조,
•

이 점들 위에 주어진 위상 공간 $V$ 라는 구조, 그리고
•

모든 열린집합 $U\subseteq V$ 에 대해, 환 $\mathcal{O}_{V}(U)$ . 이 환의 원소들은 함수 $U\to\mathbb{C}$ 입니다.

다음과 같이 정하기로 합시다:

정의 78.7.1.

베이비 환달린 공간이란 모든 열린집합 $U$ 에 대해 환 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 가 주어진 위상 공간 $X$ 를 말합니다. 이때 환 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 의 원소들은 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 일 것이 요구되며, 이를 $X$ 의 $U$ 위에서의 정칙 함수라고 부릅니다.

따라서 아핀 대수다양체는 베이비 환달린 공간입니다.

비고 78.7.2.

이것은 표준적인 정의가 아닙니다. 헤헤.

이것을 ”베이비 환달린 공간”이라고 부르는 이유는, 환달린 공간에서는 환 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 가 실제로 임의의 환일 수 있지만, 상당히 기술적인 일련의 조건들을 만족해야 하기 때문입니다. 이런 경우 모든 작업을 수행하는 것은 바로 $\mathcal{O}_{V}$ 이며, 우리는 $\mathcal{O}_{V}$ 를 층이라 불리는 일종의 함자로 생각합니다.

다음 몇 장에서는 아핀/사영/준사영 대수다양체만을 다룰 것이므로, 전체 정의를 다룰 필요가 없도록 이들을 그냥 베이비 환달린 공간이라고 부르기로 하겠습니다. 핵심 개념은 이러한 대수다양체를 임베딩과 무관한 내재적 대상으로 생각하고자 한다는 것입니다. 베이비 환달린 공간은 철학적으로 올바른 접근입니다.

어쨌든, 아핀 대수다양체는 베이비 환달린 공간 $(V,\mathcal{O}_{V})$ 입니다. 다음 장에서는 사영 및 준사영 대수다양체를 만나게 될 것인데, 이들은 (베이비) 환달린 공간의 더 많은 예시를 제공합니다. 이러한 예시들을 염두에 두고, 마침내 환달린 공간의 완전한 정의를 세우고 이를 이용하여 스킴을 정의할 것입니다.

78.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 78A.

임의의 $n\geq 1$ 에 대해 $\mathbb{A}^{n}$ 의 자리스키 위상이 하우스도르프 공간이 아님을 보이십시오.

문제 78B.

$V$ 를 아핀 대수다양체라 하고, 그 자리스키 위상을 생각합시다.

(a)

자리스키 위상이 뇌터적임을 보이십시오. 즉, 닫힌 부분집합들의 무한 감소열 $Z_{1}\supsetneq Z_{2}\supsetneq Z_{3}\supsetneq\dots$ 이 존재하지 않음을 보이십시오.
(b)

뇌터 위상 공간이 콤팩트함을 증명하십시오. 따라서 대수다양체는 위상적으로 콤팩트합니다.

문제 78C (구멍 뚫린 평면).

$V=\mathbb{A}^{2}$ 이고 $X=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 을 원점이 제거된 평면( $V$ 의 열린집합입니다)이라고 합시다. $\mathcal{O}_{V}(X)$ 를 계산하십시오.