장 78 환 달린 공간으로서의 아핀 다양체

앞 장에서와 마찬가지로, 단순함을 위해 $\mathbb{C}$ 위의 아핀 다양체만 다룹니다.

78.1 개요

19세기 초의 군론은 기묘한 존재였습니다. 19세기 동안 군은 말 그대로 $\operatorname{GL}(n)$ 또는 $S_{n}$ 의 부분집합으로 정의되었습니다. 실제로 “군”이라는 단어는 아직 만들어지지도 않았습니다. 터무니없게 들릴 수 있지만 사실입니다. 실로우는 이 개념 없이 자신의 정리들을 만들었습니다. 훨씬 나중에서야 군의 추상적인 정의가 주어졌습니다. 그 정의에서 군은 $S_{n}$ 으로의 어떤 매장과도 무관한 추상적인 집합 $G$ 이며, 그 자체로 독립된 대상입니다.

이제 우리의 아핀 다양체에 대해서도 같은 종류의 변화를 일으키려 합니다. 아핀 다양체를 주변 공간 $\mathbb{A}^{n}$ 에 갇힌 대상으로 생각하는 대신, 그 자체로 독립된 대상으로 만들어 보려 합니다. 구체적으로 말해, 우리에게 아핀 다양체는 각 열린집합마다 함수의 환이 갖추어진 위상 공간이 될 것입니다. 이것이 아핀 다양체를 환 달린 공간이라고 부르는 이유입니다.

위상 공간에 관한 부분은 그리 급진적이지 않습니다. 핵심적인 통찰은 함수환을 추가하는 데 있습니다. 예를 들어, 지난 장의 이중점을 생각해 보십시오.

집합으로서 이는 한 점이므로 가능한 위상은 단 하나뿐입니다. 그러나 함수환을 추가하면 이를 단순한 한 점과 구별할 수 있게 됩니다.

이 구성은 상당히 복잡하므로 다음과 같이 진행하겠습니다. 환 달린 공간의 모든 데이터를 갖출 때까지 $\mathbb{A}^{n}$ 안의 기존 아핀 다양체 위에 구조를 조금씩 정의해 나갑니다. 이후의 장들에서 이 아이디어들은 자라나 현대 대수기하학의 핵심인 스킴이 됩니다.

78.2 $\mathbb{A}^{n}$ 위의 자리스키 위상

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}$ 에서 닫힌집합은 유한 개의 점들의 모임입니다. $\mathbb{A}^{2}$ 에서 공집합이 아닌 열린집합은 전체 공간에서 유한 개의 곡선/점을 뺀 것입니다.

먼저 모든 다양체 $V$ 에 위상 구조를 부여하는 것부터 시작합니다. (지금으로서는) 우리의 아핀 다양체가 모두 $\mathbb{A}^{n}$ 안에 있으므로, $\mathbb{A}^{n}$ 에 적절한 위상을 주고 $V$ 를 그 부분공간으로 보기만 하면 됩니다.

그러나 $\mathbb{A}^{n}$ 에 표준 유클리드 위상을 주는 대신, 훨씬 더 기이한 위상을 줍니다.

정의 78.2.1.

$\mathbb{A}^{n}$ 위의 자리스키 위상에서 닫힌집합은 다음 꼴의 집합입니다.

\mathcal{V}(I)\qquad\text{여기서}\quad I\subseteq\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}].

물론 열린집합은 이러한 집합의 여집합입니다.

예제 78.2.2 ( $\mathbb{A}^{1}$ 위의 자리스키 위상).

$\mathbb{A}^{1}$ 의 열린집합을 결정해 봅시다. 늘 그렇듯이 $\mathbb{A}^{1}$ 은 ( $\mathbb{C}$ 가 2차원이라는 사실은 무시하고) 직선으로 그립니다.

$\mathbb{C}[x]$ 는 주 아이디얼 정역이므로, 모든 $I\subseteq\mathbb{C}[x]$ 에 대해 $\mathcal{V}(I)$ 를 살펴보는 대신 하나의 $f$ 에 대한 $\mathcal{V}(f)$ 만 살펴보면 됩니다. 다항식 $f$ 에는 몇 가지 종류가 있습니다.

•

모든 곳에서 소멸하는 영다항식 $0$ : 이는 전체 공간 $\mathbb{A}^{1}$ 이 닫힌집합임을 뜻합니다.
•

어디에서도 소멸하지 않는 상수 다항식 $1$ . 이는 $\varnothing$ 이 닫힌집합임을 뜻합니다.
•

차수가 $n$ 인 다항식 $c(x-t_{1})(x-t_{2})\dots(x-t_{n})$ . 이 다항식은 $n$ 개의 근을 가지므로 $\{t_{1},\dots,t_{n}\}$ 은 닫힌집합입니다.

따라서 $\mathbb{A}^{1}$ 의 닫힌집합은 정확히 $\mathbb{A}^{1}$ 전체와 ( $\varnothing$ 을 포함한) 점들의 유한집합입니다. 그러므로 $\mathbb{A}^{1}$ 의 열린집합은 다음과 같습니다.

•

$\varnothing$ , 그리고
•

$\mathbb{A}^{1}$ 에서 유한 개(비어 있을 수도 있음)의 점을 뺀 집합.

따라서 $\mathbb{A}^{1}$ 의 “전형적인” 열린집합을 그림으로 나타내면 다음과 같을 것입니다.

표시된 몇 개의 점을 제외한 모든 곳입니다!

예제 78.2.3 ( $\mathbb{A}^{2}$ 위의 자리스키 위상).

마찬가지로, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 흥미로운 닫힌집합은 다음과 같은 것들의 유한 합집합(공집합일 수도 있습니다)으로 이루어집니다.

•

$\mathcal{V}(y-x^{2})$ (포물선입니다)와 같은 닫힌 곡선, 그리고
•

$\mathcal{V}(x-3,y-4)$ (점 $(3,4)$ 입니다)와 같은 한 점.

물론 전체 공간 $\mathbb{A}^{2}=\mathcal{V}(0)$ 과 공집합 $\varnothing=\mathcal{V}(1)$ 도 닫힌집합입니다.

따라서 $\mathbb{A}^{2}$ 에서 공집합이 아닌 열린집합은 전체 평면에서 유한 개의 점과 1차원 곡선을 뺀 것으로 이루어집니다.

질문 78.2.4.

$\mathbb{A}^{2}$ 의 “전형적인” 열린집합을 (그림 실력이 허락하는 한 최선을 다해) 그려 보십시오.

이 모든 것이 말하는 바는 다음과 같습니다.

공집합이 아닌 자리스키 열린집합은 거대합니다.

이것은 여러분이 위상수학에서 익숙하게 접해 온 것과 중요한 차이점입니다. 아주 분명히 말하자면 다음과 같습니다.

•

이전에는 제가 “점 $p$ 의 열린 근방에서 이러이러한 성질을 가진다”와 같이 말하면, 이를 “ $p$ 주변의 작은 영역에서 참이다”라는 뜻으로 받아들였습니다.
•

자리스키 위상에서는 “점 $p$ 의 열린 근방에서 이러이러한 성질을 가진다”를 “특정 곡선 위의 점들을 제외한 사실상 모든 점에서 참이다”라는 뜻으로 받아들여야 합니다.

실제로 “열린 근방”은 더 이상 정확한 표현이라고 하기 어렵습니다. 그럼에도 불구하고, 앞으로 나올 많은 그림에서는 열린 근방을 원으로 그리는 것이 여전히 도움이 될 것입니다.

이제 제가 서술한 대로 닫힌집합들이 실제로 위상을 이룬다는 것을 확인하는 일이 남았습니다. 즉, 다음을 간단히 확인해야 합니다.

•

$\varnothing$ 과 $\mathbb{A}^{n}$ 은 모두 닫혀 있습니다.
•

닫힌집합들의 교집합은 (무한 개라 하더라도) 여전히 닫혀 있습니다.
•

닫힌집합들의 유한 합집합은 여전히 닫혀 있습니다.

사실 닫힌집합은 아핀 다양체와 같으므로, 우리는 이미 이것을 알고 있습니다!

78.3 아핀 다양체 위의 자리스키 위상

대표적인 예: $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 가 포물선이면, $V$ 에서 $(1,1)$ 을 뺀 것은 $V$ 에서 열려 있습니다. 또한 평면에서 원점을 뺀 것은 $D(x)\cup D(y)$ 입니다.

앞서 말했듯이, 대수다양체 $V$ 를 $\mathbb{A}^{n}$ 의 부분공간으로 간주하면 $V$ 는 자리스키 위상을 물려받습니다. $V$ 의 열린 부분집합은 “ $V$ 에서 자리스키 닫힌집합 몇 개를 뺀 것”으로 생각해야 합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

예제 78.3.1 (대수다양체의 열린집합).

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 를 포물선이라 하고, $U=V\setminus\{(1,1)\}$ 이라 합시다. $U$ 가 $V$ 에서 열려 있다고 주장합니다.

실제로 $\tilde{U}=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(1,1)\}$ 은 (닫힌집합 $\mathcal{V}(x-1,y-1)$ 의 여집합이므로) $\mathbb{A}^{2}$ 에서 열려 있고, 따라서 $U=\tilde{U}\cap V$ 는 $V$ 에서 열려 있습니다. 반면에 집합 $U$ 는 $\mathbb{A}^{2}$ 에서 열려 있지 않다는 점에 유의하십시오.

이제 나중에 매우 유용하게 쓰일 정의를 하나 미리 도입하겠습니다.

정의 78.3.2.

아핀 다양체 $V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 과 $f\in\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이 주어졌을 때, 특수 열린집합 $D(f)$ 를 $V$ 에서 $f$ 가 0이 되지 않는 점들로 이루어진 열린집합으로 정의합니다.

D(f)=\left\{p\in V\mid f(p)\neq 0\right\}=V\setminus\mathcal{V}(f).

[VAK17]에서 Vakil은 $D(f)$ 라는 표기를 “doesn’t-vanish set”(소멸하지 않는 집합)으로 기억할 것을 제안합니다.

예제 78.3.3 (특수 열린집합(의 합집합)의 예).

(a)

$V=\mathbb{A}^{1}$ 이면 $D(x)$ 는 직선에서 한 점을 뺀 것에 대응합니다.
(b)

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 이면 $D(x-1)$ 은 포물선에서 $(1,1)$ 을 뺀 것에 대응합니다.
(c)

$V=\mathbb{A}^{2}$ 이면 $D(x)\cup D(y)=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 은 구멍 뚫린 평면입니다. 이 집합이 기본 열린집합이 아님을 보일 수 있습니다.

이 개념은 주 아이디얼의 유사물로 생각할 수 있습니다. 모든 열린집합은 어떤 아이디얼 $I$ 에 대해 $V\setminus\mathcal{V}(I)$ 꼴로 쓸 수 있지만, $I=(f)$ 가 주 아이디얼이면 그 집합을 특수 열린집합 $D(f)$ 로 쓸 수 있습니다. 마찬가지로, 두 주 아이디얼의 곱(교집합이 아닙니다!)이 주 아이디얼인 것처럼, 두 특수 열린집합의 교집합은 특수 열린집합입니다.

명제 78.3.4 (특수 열린집합의 성질).

$\mathcal{V}$ 가 포함 관계를 뒤집는다는 것을 상기하십시오. 따라서 $\mathcal{V}$ 의 여집합인 $D$ 는 “포함 관계를 보존”하리라 기대할 수 있습니다. 실제로 다음이 성립합니다.

•

$(f)\subseteq(g)$ 이면(즉, $g\mid f$ 이면) $D(f)\subseteq D(g)$ 입니다.
•

$(fg)\subseteq(f)\cap(g)$ 임을 상기하십시오. 특수 열린집합에 대해서는 $D(fg)=D(f)\cap D(g)$ 가 성립합니다.

$D$ 가 어떻게 작동하는지 익숙해져 두면 유용합니다.

질문 78.3.5.

$V=\mathcal{A}^{2}$ 이면 $D(x)$ 는 평면에서 $y$ 축을 뺀 것이고, $D(y)$ 는 평면에서 $x$ 축을 뺀 것입니다. $D(xy)$ 는 무엇입니까?

78.4 좌표환

대표적인 예: $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 이면 $\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x,y]/(y-x^{2})$ 입니다.

다음으로 할 일은 $V$ 에서 기저체 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수들을 살펴보는 것입니다. 다양체 $V$ 위의 대수적(다항식) 함수로만 범위를 좁히겠습니다. 이러한 함수는 $V$ 위의 모든 점 $(a_{1},\dots,a_{n})$ 을 어떤 복소수 $P(a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{C}$ 로 보내야 합니다. 예를 들어, 3차원 아핀 다양체 위의 타당한 함수로 $(a,b,c)\mapsto a$ 를 들 수 있습니다. 이 사영을 간단히 “ $x$ ”라고 부릅니다. 마찬가지로 표준 사영 $y$ 와 $z$ 가 있으며, 이들을 조합하여 $x^{2}y+2xyz$ 와 같은 다항식을 만들 수 있습니다.

정의 78.4.1.

다양체 $V$ 의 좌표환 $\mathbb{C}[V]$ 는 $V$ 위의 다항식 함수들로 이루어진 환입니다. (표기는 다음 절에서 설명합니다.)

비고 78.4.2 (“좌표환”이라는 이름의 의미).

위의 함수 $x$ , $y$ , $z$ 는 다양체 $V$ 의 각 점을 그 좌표로 보내는 사상이므로, 이들을 좌표 함수라고 부릅니다. 따라서 좌표환 $\mathbb{C}[V]$ 는 단순히 $\mathbb{C}$ 와 좌표 함수들로 생성되는 환입니다.

언뜻 보면 이것이 그냥 $\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]$ 이라고 생각할 수도 있습니다. 하지만 자세히 살펴보면 주어진 다양체 위에서는 이 함수들 중 일부가 서로 같다는 것을 알게 됩니다. 예를 들어, $\mathbb{A}^{2}$ 에서 포물선 $V=\mathcal{V}(y-x^{2})$ 를 생각해 봅시다. 그러면 다음 두 함수는

	$\displaystyle V$	$\displaystyle\to\mathbb{C}$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto x^{2}$
	$\displaystyle(x,y)$	$\displaystyle\mapsto y$

실제로 같은 함수입니다! 따라서 $V$ 를 생성하는 아이디얼 $I$ 로 “나누어” 주어야 합니다. 이로부터 자연스럽게 다음에 이르게 됩니다:

정리 78.4.3 (좌표환은 아이디얼에 대응합니다).

$I$ 를 근기 아이디얼이라 하고 $V=\mathcal{V}(I)\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다:

\mathbb{C}[V]\cong\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]/I.

증명.

위와 같은 자연스러운 전사 사상이 존재합니다

\mathbb{C}[x_{1},\dots,x_{n}]\twoheadrightarrow\mathbb{C}[V]

그리고 핵은 $I$ 입니다. ∎

따라서 다양체 $V$ 의 성질은 환 $\mathbb{C}[V]$ 의 성질에 대응합니다.

78.5 정칙 함수의 층

대표적인 예: $V=\mathbb{A}^{1}$ , $U=V\setminus\{0\}$ 이라 합시다. 그러면 $1/x\in\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 $U$ 위에서 정칙입니다.

$V$ 를 아핀 다양체라 하고 $\mathbb{C}[V]$ 를 그 좌표환이라 합시다. 이 장의 첫머리에서 언급했듯이, 우리는 다양체를 그 내재적 성질만으로 정의하고자 하며, 이는 그 위의 대수적 함수들의 모임을 연구함으로써 이루어집니다.

[VAK17]의 “동기 부여 예시: 미분 가능 함수의 층” 절에서는 미분 가능 다양체 위의 미분 가능 함수들을 연구하여 그 다양체를 어떻게 연구할 수 있는지 비교한 내용을 볼 수 있습니다.

$V$ 위의 모든 유리함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}$ 로 나타냅니다(나중에 보겠지만, 여러 표현을 허용해야 하므로 이 용어는 정확하지 않습니다). 이것을 집합으로 볼 수는 있지만, 그렇게 해서는 유리함수의 구조 전체를 포착하지 못합니다.

질문 78.5.1.

$\mathbb{C}[V]$ 의 임의의 두 원소 $f$ 와 $g$ 에 대하여, $\frac{f(x)}{g(x)}$ 가 잘 정의되는 집합이 자리스키 위상에서 열린집합임을 보이십시오. (힌트: $g^{\text{pre}}(0)$ 은 닫힌집합입니다.)

그래서 우리는 임의의 열린집합 $U$ 에 대하여 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 라는 개념, 즉 임의의 열린 부분집합 위의 “좋은” 함수들을 정의하고자 합니다. 당연히 $\mathbb{C}[V]$ 의 임의의 함수는 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 의 함수로서 작동합니다. 그러나 구조를 더 많이 포착하기 위해, 유리 함수를 허용하여 “좋은” 함수의 정의를 약간 완화하고자 합니다.

대표적인 예는 $1/x$ 가 $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 위의 정칙 함수여야 한다는 것입니다. 가장 먼저 떠오르는 자연스러운 추측은 다음과 같습니다:

정의 78.5.2.

$U\subseteq V$ 를 다양체 $V$ 의 열린집합이라고 합시다. $U$ 위의 유리함수는 $\mathbb{C}[V]$ 의 두 원소 $f$ 와 $g$ 의 몫 $f(x)/g(x)$ 이며, 여기서 $x\in U$ 에 대해 $g(x)\neq 0$ 이어야 합니다.

그러나 이 정의는 약간 지나치게 제한적이므로, 여러 가지 표현을 허용해야 합니다:

정의 78.5.3.

$U\subseteq V$ 가 열린집합이라고 합시다. 모든 점 $p\in U$ 에 대해 $p$ 를 포함하는 열린집합 $U_{p}\subseteq U$ 와 $U_{p}$ 위의 유리함수 $f_{p}/g_{p}$ 를 찾아 다음이 성립하게 할 수 있으면, 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수라고 합니다.

\phi(x)=\frac{f_{p}(x)}{g_{p}(x)}\qquad\forall x\in U_{p}.

특히 집합 $U_{p}$ 위에서 $g_{p}(x)\neq 0$ 일 것을 요구합니다. $U$ 위의 모든 정칙 함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 나타냅니다.

따라서,

$\phi$ 가 국소적으로 유리함수이면 $\phi$ 는 $U$ 위에서 정칙입니다.

이 정의는 실제보다 복잡해 보이며, 예제들을 보면 훨씬 명확해질 것입니다. 우선 실제로는 대부분의 경우 정칙 함수를 몫으로 나타내는 “전역적” 표현을 찾을 수 있으므로, $p$ 들을 신경 쓸 필요가 없습니다. 예를 들면 다음과 같습니다:

예제 78.5.4 (정칙 함수).

(a)

임의의 함수 $f\in\mathbb{C}[V]$ 는 모든 $p$ 에 대하여 $g_{p}=1$ , $f_{p}=f$ 로 잡을 수 있으므로 분명히 정칙입니다. 따라서 임의의 열린집합 $U$ 에 대하여 $\mathbb{C}[V]\subseteq\mathcal{O}_{V}(U)$ 입니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{0}=V\setminus\{0\}$ 이라 합시다. 그러면 $1/x\in\mathcal{O}_{V}(U_{0})$ 는 $U_{0}$ 위에서 정칙입니다.
(c)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{12}=V\setminus\{1,2\}$ 라 합시다. 그러면

$\frac{1}{(x-1)(x-2)}\in\mathcal{O}_{V}(U_{12})$

는 $U_{12}$ 위에서 정칙입니다.

그렇지만 $p$ 들에 관한 “국소적” 조건은 여전히 필요합니다.

예제 78.5.5 (국소적 표현의 필요성).

다음 다양체를 생각합시다

V=\mathcal{V}(ab-cd)\subseteq\mathbb{A}^{4}

그리고 열린집합 $U=V\setminus\mathcal{V}(b,d)$ 를 생각합시다. $U$ 위에는 다음과 같이 주어지는 정칙 함수가 있습니다.

(a,b,c,d)\mapsto\begin{cases}a/d&d\neq 0\\ c/b&b\neq 0.\end{cases}

( $ab=cd$ 이므로) 이들은 분명히 “같은 함수”이지만, 0으로 나누는 문제가 생기기 때문에 이를 “ $a/d$ ”나 “ $c/b$ ” 하나로 쓸 수는 없습니다. 이것이 정칙 함수의 정의에서 여러 표현을 허용해야 하는 이유입니다.

사실 나중에 보겠지만, 정칙 함수의 정의는 층화라고 불리는 더 일반적인 구성의 특수한 경우입니다. 층화에서는 “ $P$ 인 함수들의 준층”이 “국소적으로 $P$ 인 함수들의 층”으로 바뀝니다.

78.6 특수 열린집합 위의 정칙 함수

대표적인 예: $\mathbb{A}^{1}\setminus\{0\}$ 위의 정칙 함수는 $P(x)/x^{n}$ 입니다.

예상할 수 있듯이, 0으로 나누기 때문에 사실상 전체 공간 $V$ 위에서는 정칙 함수가 제한됩니다. 즉, $\mathcal{O}_{V}(V)$ 에는 이미 $\mathbb{C}[V]$ 에 있지 않았던 정칙 함수가 존재하지 않습니다. 사실 특수 열린집합 위의 정칙 함수를 계산하는 더 일반적인 결과가 있습니다.

정리 78.6.1 (특수 열린집합 위의 정칙 함수).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 을 아핀 다양체라 하고 $D(g)$ 를 그 특수 열린 부분집합이라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\mathcal{O}_{V}(D(g))=\left\{\frac{f}{g^{k}}\mid f\in\mathbb{C}[V]\text{그리고}k% \in\mathbb{Z}\right\}.

특히 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathcal{O}_{V}(D(1))\cong\mathbb{C}[V]$ 입니다.

이 정리의 증명에는 영점정리(Nullstellensatz)가 필요하므로, $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실에 의존합니다. 실제로 $\mathbb{C}$ 를 $\mathbb{R}$ 로 바꾸면 반례를 쉽게 찾을 수 있습니다: $\frac{1}{x^{2}+1}$ 을 생각해 보십시오.

증명.

$f/g^{n}$ 꼴의 모든 함수가 조건을 만족함은 자명하므로, 역방향을 보이면 됩니다. 이 증명은 길기 때문에 처음 읽을 때는 건너뛰는 편이 좋을 수도 있습니다.

상황은 다음과 같습니다. $U=D(g)$ 라 합시다. 정칙 함수 $\phi$ 가 주어져 있습니다. 즉, 모든 점 $p\in D(g)$ 마다 열린 근방 $U_{p}$ 가 존재하여 그 위에서 $\phi$ 를 $f_{p}/g_{p}$ ( $f_{p},g_{p}\in\mathbb{C}[V]$ )로 나타낼 수 있습니다. 이제 $\phi=f/g^{n}$ 을 만족하는 $f\in\mathbb{C}[V]$ 와 정수 $n$ 을 구성하고자 합니다.

먼저 특정한 $U_{p}$ 와 $f_{p}/g_{p}$ 를 살펴봅시다. $U_{p}$ 를 특수 열린집합 $D(h_{p})$ 로 축소합니다. 그런 다음 $\widetilde{f}_{p}=f_{p}h_{p}$ , $\widetilde{g}_{p}=g_{p}h_{p}$ 라 합시다. 따라서 다음이 성립합니다.

\frac{\widetilde{f}_{p}}{\widetilde{g}_{p}}\text{위에서 옳습니다}D(h_{p})\subseteq U% \subseteq X.

수정된 $f_{p}$ 와 $g_{p}$ 를 사용하는 이점은 다음과 같습니다:

\widetilde{f}_{p}\widetilde{g}_{q}=\widetilde{f}_{q}\widetilde{g}_{p}\qquad% \forall p,q\in U.

실제로, 이는 정의에 의해 $D(h_{p})\cap D(h_{q})$ 위에서 성립하며, 이 집합 바깥에서는 좌변과 우변이 모두 0입니다.

이제 $D(g)=\bigcup_{p\in U}D(\widetilde{g}_{p})$ 임을 압니다. 즉

\mathcal{V}(g)=\bigcap_{p\in U}\mathcal{V}(\widetilde{g}_{p}).

따라서 영점정리에 의해 다음을 압니다

g\in\sqrt{(\widetilde{g}_{p}:p\in U)}\implies\exists n:g^{n}\in(\widetilde{g}_% {p}:p\in U).

다시 말해, 어떤 $n$ 과 $k_{p}\in\mathbb{C}[V]$ 에 대해 다음이 성립합니다

g^{n}=\sum_{p}k_{p}\widetilde{g}_{p}

여기서 0이 아닌 $k_{p}$ 는 유한 개뿐입니다. 이제 다음 함수가

f\coloneqq\sum_{p}k_{p}\widetilde{f}_{p}

조건을 만족한다고 주장합니다. 이는 임의의 $q\in U$ 에 대해 다음이 성립함을 관찰하면 바로 알 수 있습니다

f\widetilde{g}_{q}-g^{n}\widetilde{f}_{q}=\sum_{p}k_{p}(\widetilde{f}_{p}% \widetilde{g}_{q}-\widetilde{g}_{p}\widetilde{f}_{q})=0.\qed

이는 대역적 정칙 함수가 좌표환의 원소와 정확히 같다는 뜻입니다. 국소적으로 몫이 되는 것을 허용해도 새로 얻는 것은 아무것도 없습니다. (특수 열린집합에 대해서도 마찬가지입니다.)

예제 78.6.2 (특수 열린집합 위의 정칙 함수).

(a)

앞서 말했듯이, $g=1$ 로 두면 임의의 아핀 다양체 $V$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}[V]$ 를 다시 얻습니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{1}$ , $U_{0}=V\setminus\{0\}$ 이라고 합시다. 그러면

$\mathcal{O}_{V}(U_{0})=\left\{\frac{P(x)}{x^{n}}\mid P\in\mathbb{C}[x],\quad n% \in\mathbb{Z}\right\}.$

따라서 $1/x$ 와 $(x+1)/x^{3}$ 도 예가 됩니다.

질문 78.6.3.

정칙 함수에 관한 우리의 정리가 예제 78.5.5에 적용되지 않는 이유는 무엇입니까?

다음 장에서 스킴을 정의하고 나면 정칙 함수가 매우 중요해질 것입니다.

78.7 아기 환 달린 공간

요약하면, 아핀 다양체 $V$ 가 주어졌을 때 다음이 성립합니다.

•

점들의 집합이라는 구조,
•

이 점들 위에 주어진 위상 공간 $V$ 라는 구조, 그리고
•

모든 열린집합 $U\subseteq V$ 에 대한 환 $\mathcal{O}_{V}(U)$ . 이 환들의 원소는 함수 $U\to\mathbb{C}$ 입니다.

다음과 같이 약속합시다:

정의 78.7.1.

아기 환 달린 공간이란 모든 열린집합 $U$ 마다 환 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 가 주어진 위상 공간 $X$ 입니다. 환 $\mathcal{O}_{X}(U)$ 의 원소는 함수 $f\colon U\to\mathbb{C}$ 여야 하며, 이들을 $U$ 위에서 $X$ 의 정칙 함수라고 부릅니다.

따라서 아핀 다양체는 아기 환 달린 공간입니다.

비고 78.7.2.

이것은 표준적인 정의가 아닙니다. 헤헤.

이것을 “아기 환 달린 공간”이라고 부르는 이유는, 환 달린 공간에서는 환 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 가 실제로 아무 환이어도 되지만 상당히 기술적인 조건들을 만족해야 하기 때문입니다. 이 경우 모든 일을 하는 것은 $\mathcal{O}_{V}$ 이며, 우리는 $\mathcal{O}_{V}$ 를 층이라는 일종의 함자로 생각합니다.

다음 몇 장에서는 아핀/사영/준사영 다양체만 다룰 것이므로, 전체 정의를 다루지 않아도 되도록 이들을 그냥 아기 환 달린 공간이라고 부르겠습니다. 핵심 개념은 이러한 다양체를 어떠한 매장에도 얽매이지 않는 내재적 대상으로 생각하고자 한다는 것입니다. 철학적으로는 아기 환 달린 공간이 올바른 선택입니다.

어쨌든 아핀 다양체는 아기 환 달린 공간 $(V,\mathcal{O}_{V})$ 입니다. 다음 장에서는 사영 다양체와 준사영 다양체를 만나게 되는데, 이들은 (아기) 환 달린 공간의 예를 더 제공합니다. 이러한 예들을 염두에 두고, 마침내 환 달린 공간의 완전한 정의를 내린 뒤 이를 사용하여 스킴을 정의하겠습니다.

78.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 78A.

임의의 $n\geq 1$ 에 대하여 $\mathbb{A}^{n}$ 의 자리스키 위상이 하우스도르프가 아님을 보이십시오.

문제 78B.

$V$ 를 아핀 다양체라 하고, 그 자리스키 위상을 생각합시다.

(a)

자리스키 위상이 뇌터임을 보이십시오. 즉, 닫힌 부분집합들의 무한 하강 사슬 $Z_{1}\supsetneq Z_{2}\supsetneq Z_{3}\supsetneq\dots$ 이 존재하지 않음을 보이십시오.
(b)

뇌터 위상 공간은 콤팩트임을 증명하십시오. 따라서 대수다양체는 위상적으로 콤팩트합니다.

문제 78C (구멍 뚫린 평면).

$V=\mathbb{A}^{2}$ 라 하고 $X=\mathbb{A}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ 을 구멍 뚫린 평면( $V$ 의 열린집합)이라고 합시다. $\mathcal{O}_{V}(X)$ 를 계산하십시오.