장 4 환과 아이디얼

4.1 환과 군에 관한 몇 가지 동기 부여용 비유

이 장에서는 가환환 $R$ 의 개념을 소개하겠습니다. 이는 군보다 더 큰 구조입니다: 하나가 아니라 덧셈과 곱셈이라는 두 개의 연산을 가지게 됩니다. 그런 다음 곧바로 환들의 쌍 사이의 환 준동형사상 $R\to S$ 를 정의하겠습니다.

이번에는 정규 부분군 $H\trianglelefteq G$ 를 갖는 대신, 환은 아이디얼이라 불리는 부분집합 $I\subseteq R$ 을 갖게 되는데, 이는 그 자체로는 환이 아니지만 몇 가지 좋은 조건들을 만족합니다. 그런 다음 앞서와 마찬가지로 $G/H$ 에 대응하여 $R/I$ 를 어떻게 정의하는지 보여드리겠습니다. 마지막으로, 군의 경우처럼 아이디얼을 생성하는 방법에 대해서도 조금 다루겠습니다.

기억하는 데 도움이 될 만한 비유 표를 아래에 제시합니다:

	군	환
표기법	$G$	$R$
연산	$\cdot$	$+$ , $\times$
가환성	아벨 군일 때만	우리에게는 항상
부분 구조	부분군	(다루지 않음)
준동형사상	군 준동형사상 $G\to H$	환 준동형사상 $R\to S$
핵	정규 부분군	아이디얼
몫	$G/H$	$R/I$

4.2 (선택) 동기 부여에 관한 교육적 참고사항

이 예시들 대부분은 정수론적 관점을 염두에 두고 작성하였습니다; 따라서 초등 정수론을 좋아하셨다면 여러분의 직관 상당 부분이 그대로 이어질 것입니다. 기본적으로 우리는 환 $\mathbb{Z}$ 의 성질들을 곱셈도 가능한 임의의 아벨 구조로 일반화하려 시도할 것입니다. 그렇기 때문에, 예를 들어 “ $\mathbb{Z}$ 에서의 소수”를 이야기하듯 “ $\mathbb{Q}[x]$ 에서의 기약다항식”을 이야기할 수 있고, “ $\mathbb{Z}$ 에서의 유일 인수분해”를 이야기하듯 “법 $p$ 에 대한 다항식 인수분해”를 이야기할 수 있는 것입니다. 여러분이 오직 $\mathbb{Z}$ 에만 관심이 있더라도(예컨대 정수론자라면), 이는 상당한 가치가 있습니다: 장담컨대 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ( $n>2$ 인 경우)을 풀려면 $\mathbb{Z}$ 가 아닌 다른 환으로 들어가야만 합니다!

따라서 이어지는 모든 절에서, $\mathbb{Z}$ 를 여러분의 원형으로 염두에 두시기 바랍니다.

여기서 이를 언급하는 이유는 가환대수학이 대수기하학과도 역시 밀접하게 연관되어 있기 때문입니다. 가환대수학의 많은 아이디어들은 정의에 동기를 부여하는 좋은 “기하학적” 해석을 가지고 있으며, 이러한 연관성들은 나중에 해당 파트에서 탐구됩니다. 그러므로 이것이 앞으로 다룰 내용에 동기를 부여하는 유일하게 좋은 방법은 아니라는(어쩌면 가장 자연스러운 방법조차 아닐 수 있다는) 점을 솔직히 인정하고 싶습니다.

4.3 환의 정의와 예시

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 가 시종일관 등장합니다! $R[x]$ 와 다양한 체들도 마찬가지입니다(다음 절).

자, 환을 정의해 보겠습니다¹¹1또는 일부 저자에 따르면 “항등원을 갖는 환”이라고도 합니다; 일부 저자는 환이 곱셈 항등원을 가질 것을 요구하지 않습니다. 우리에게는 “환”이 항상 “ $1$ 을 갖는 환”을 의미합니다..

정의 4.3.1.

환은 세 쌍 $(R,+,\times)$ 이며, 두 연산은 보통 덧셈과 곱셈이라 불리고, 다음을 만족합니다

(i)

$(R,+)$ 는 항등원 $0_{R}$ , 또는 그냥 $0$ 을 갖는 아벨 군입니다.
(ii)

$\times$ 는 $R$ 위의 결합적인 이항 연산으로, $1_{R}$ 또는 그냥 $1$ 이라 쓰이는 어떤 항등원을 갖습니다.
(iii)

곱셈은 덧셈에 대해 분배됩니다.

환 $R$ 은 $\times$ 가 가환적이면 가환적이라 합니다.

표기의 남용 4.3.2.

평소처럼 $(R,+,\times)$ 를 $R$ 로 줄여 쓰겠습니다.

표기의 남용 4.3.3.

간단히 하기 위해, 이 장의 나머지 부분에서는 모든 환이 가환적이라고 가정하겠습니다. 결국 비가환환들도 마주치게 되겠지만, 그러한 환에 대해서는 어차피 이 장의 완전한 이론이 필요하지 않을 것입니다.

이 정의들은 완전성을 위해 여기 있을 뿐입니다. 예시들이 훨씬 더 중요합니다.

예제 4.3.4 (전형적인 환들).

(a)

집합 $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 는 모두 통상의 덧셈과 곱셈에 대해 환입니다.
(b)

법 $n$ 에 대한 정수들 역시 통상의 덧셈과 곱셈에 대해 환입니다. 이를 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이라고도 표기합니다.

여기 자명한 예시도 하나 있습니다.

정의 4.3.5.

영환은 원소가 하나뿐인 환 $R$ 입니다. 영환은 $0$ 으로 표기합니다. 환이 영환이 아니면 자명하지 않다고 합니다.

연습문제 4.3.6 (코믹).

환이 자명하지 않은 것과 $0_{R}\neq 1_{R}$ 인 것이 동치임을 보이십시오.

이 구조를 정의했으니, 이에 관한 필수적인 사실들도 함께 서술하겠습니다.

사실 4.3.7.

임의의 환 $R$ 과 $r\in R$ 에 대해, $r\cdot 0_{R}=0_{R}$ 입니다. 또한 $r\cdot(-1_{R})=-r$ 입니다.

환의 예시를 몇 가지 더 살펴보겠습니다.

예제 4.3.8 (곱환).

두 환 $R$ 과 $S$ 가 주어졌을 때, $R\times S$ 로 표기하는 곱환은 순서쌍 $(r,s)$ 로 정의되며 두 연산 모두 성분별로 이루어집니다. 예를 들어 중국인의 나머지 정리는

\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}

임을 말해주며, 이때 동형사상은 $n\bmod{15}\mapsto(n\bmod 3,n\bmod 5)$ 입니다.

비고 4.3.9.

동등하게, $R\times S$ 를 아벨 군 $R\oplus S$ 로 정의하고, $r\in R$ , $s\in S$ 에 대해 $r\cdot s=0$ 인 곱셈을 부여한 것으로 정의할 수도 있습니다.

질문 4.3.10.

곱환 $R\times S$ 의 항등원은 어떤 $(r,s)$ 입니까?

예제 4.3.11 (다항식환).

임의의 환 $R$ 이 주어졌을 때, 다항식환 $R[x]$ 는 계수가 $R$ 에 속하는 다항식들의 집합으로 정의됩니다:

R[x]=\left\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0}\mid a_{0},\dots,a_{n}\in R% \right\}.

이는 “ $R$ 에 $x$ 를 첨가한다”라고 읽습니다. 덧셈과 곱셈은 여러분이 예상하는 방식 그대로 이루어집니다.

비고 4.3.12 (나눗셈에 관한 여담).

다행히도 다항식 나눗셈 역시 우리가 예상하는 대로 작동합니다: $p\in R[x]$ 가 다항식이고 $p(a)=0$ 이면, 어떤 다항식 $q$ 에 대해 $(x-a)q(x)=p(x)$ 입니다. 증명: 다항식 장제법을 수행하십시오.

이와 함께, 다음과 같은 주의사항에 유의하십시오

x^{2}-1\equiv(x-1)(x+1)\pmod{8}

$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 에서 근이 네 개, 즉 $1$ , $3$ , $5$ , $7$ 을 가집니다.

문제는 $2$ 와 $4$ 가 영이 아님에도 $2\cdot 4=0$ 이라는 점입니다. 이런 이유로 $2$ 와 $4$ 를 영인자라고 부릅니다. 정역(영인자가 없는 환)에서는 이러한 병리적 현상이 사라지며, 여러분이 다항식에 대해 알고 있는 거의 모든 것이 그대로 적용됩니다. (이 내용은 다음 절에서 다시 말씀드리겠습니다.)

예제 4.3.13 (다변수 다항식환).

$R$ 을 계수로 하는 $n$ 개의 변수를 가진 다항식을 생각할 수 있으며, 이는 $R[x_{1},\dots,x_{n}]$ 으로 표기합니다. (원한다면 무한히 많은 $x$ 를 첨가할 수도 있습니다!)

예제 4.3.14 (가우스 정수는 환이다).

가우스 정수는 실수부와 허수부가 모두 정수인 복소수들의 집합이며, 즉

\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}.

표기의 남용 4.3.15 (첨가의 자유로운 사용).

주의 깊은 독자라면 여기서 표기법의 남용을 발견할 것입니다. $\mathbb{Z}[i]$ 는 공식적으로는 “변수 $i$ 에 대한 정수 계수 다항식”이어야 합니다. 그러나 문맥상 $i^{2}=-1$ 임이 이해되며, $i=\sqrt{-1}$ 에 대한 다항식은 가우스 정수“인 것으로” 취급됩니다.

예제 4.3.16 ( $2$ 의 세제곱근).

또 다른 예로 (같은 표기법 남용을 사용하면):

\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]=\left\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\mid a,b,c\in\mathbb% {Z}\right\}.

4.4 체

대표적인 예: $\mathbb{Q}$ 는 체이지만 $\mathbb{Z}$ 는 체가 아닙니다.

체가 무엇인지는 다음 장까지 알 필요가 없지만, 예시를 들 때 매우 편리하므로 지금 미리 소개하겠습니다.

이미 알고 계실 수도 있듯이, 곱셈이 가역이면 그 환을 체라고 부릅니다. 명확히 하기 위해 관련 정의들을 적어보겠습니다.

정의 4.4.1.

환 $R$ 의 단원은 가역인 원소 $u\in R$ 입니다: 즉 어떤 $x\in R$ 에 대해 $ux=1_{R}$ 이 성립합니다.

예제 4.4.2 (단원의 예시).

(a)

$\mathbb{Z}$ 의 단원은 $\pm 1$ 인데, 이는 이것들이 “ $1$ 을 나누는” 유일한 것들이기 때문입니다 (이것이 “단원”이라는 이름의 이유입니다).
(b)

반면, $\mathbb{Q}$ 에서는 ( $0$ 을 제외한) 모든 원소가 단원입니다. 예를 들어, $\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=1$ 이므로 $\frac{3}{5}$ 는 단원입니다.
(c)

가우스 정수 $\mathbb{Z}[i]$ 는 네 개의 단원 $\pm 1$ 과 $\pm i$ 를 갖습니다.

정의 4.4.3.

자명하지 않은 (가환) 환에서 모든 영이 아닌 원소가 단원일 때, 이를 체라고 합니다.

구어체로는 다음과 같이 말합니다.

체는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 할 수 있는 구조입니다.

문맥에 따라, 이들은 흔히 $k$ , $K$ , $F$ 중 하나로 표기됩니다.

예제 4.4.4 (체의 첫 예시들).

(a)

$\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 는 체인데, 이는 이들 안에서 $\frac{1}{c}$ 라는 개념이 성립하기 때문입니다.
(b)

$p$ 가 소수이면, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 는 체이며, 이를 보통 $\mathbb{F}_{p}$ 로 표기합니다.

자명환 $0$ 은 체로 간주되지 않는데, 이는 체가 자명하지 않을 것을 요구하기 때문입니다.

4.5 준동형사상

대표적인 예: $5$ 로 나머지를 취해 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 로 가는 사상.

이 절은 빠르게 진행될 것입니다 – 이는 몫군에서 다룬 모든 내용의 명백한 일반화이기 때문입니다.²²2예전에 군보다 환을 먼저 가르치는 추상대수학 교재를 본 적이 있습니다. 그때는 왜 그런지 이해하지 못했지만, 지금은 그 이유를 알 것 같습니다 – 가환환에서 어떤 것으로 나머지를 취하는 것이 훨씬 더 자연스러우며, 그렇게 하면 환과 체의 다양한 종류들에 대해 곧바로 이야기를 시작할 수 있습니다. 또한 (제 생각에는) 군보다 환에 대해 더 생생한 첫 예시들을 갖게 됩니다. 저는 사실 이러한 접근 방식에 상당히 공감하며 – 언젠가는 Napkin을 이 방식을 따르도록 바꿀지도 모르겠습니다.

먼저, 준동형사상과 동형사상을 정의합니다.

정의 4.5.1.

$R=(R,+_{R},\times_{R})$ 와 $S=(S,+_{S},\times_{S})$ 를 환이라 합시다. 환 준동형사상이란 다음을 만족하는 사상 $\phi\colon R\to S$ 입니다.

(i)

모든 $x,y\in R$ 에 대해 $\phi(x+_{R}y)=\phi(x)+_{S}\phi(y)$ 가 성립합니다.
(ii)

모든 $x,y\in R$ 에 대해 $\phi(x\times_{R}y)=\phi(x)\times_{S}\phi(y)$ 가 성립합니다.
(iii)

$\phi(1_{R})=1_{S}$ .

$\phi$ 가 전단사이면 $\phi$ 는 동형사상이며, 이때 환 $R$ 과 $S$ 는 동형이라고 말합니다.

정확히 예상하신 그대로입니다. 유일한 놀라운 점은 $\phi(1_{R})$ 이 $1_{S}$ 로 가는 것도 요구한다는 것입니다. 이 조건은 불필요한 것이 아닙니다: “ $0$ 을 곱하기”라고 불리는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 를 생각해 보십시오.

예제 4.5.2 (준동형사상의 예시).

(a)

언제나처럼, 항등 사상.
(b)

$5$ 로 나눈 나머지를 취하는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

상수항을 취함으로써 $p(x)\mapsto p(0)$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$ 입니다.
(d)

임의의 환 $R$ 에 대해, 자명한 환 준동형사상 $R\to 0$ 이 존재합니다.

예제 4.5.3 (준동형사상이 아닌 예시들).

$1_{R}$ 이 $1_{S}$ 로 대응되어야 한다는 조건 때문에, 준동형사상이라고 생각했을 법한 몇몇 사상들은 성립하지 않습니다.

(a)

$x\mapsto 2x$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 는 환 준동형사상이 아닙니다. $1$ 을 $2$ 로 보낸다는 사실은 차치하더라도, 이 사상은 곱셈을 보존하지 않습니다.
(b)

$S$ 가 자명하지 않은 환이라면, $x\mapsto 0$ 으로 정의되는 사상 $R\to S$ 는 곱셈을 보존함에도 불구하고 환 준동형사상이 아닙니다.
(c)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}/2016\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 은 애초에 존재하지 않습니다.

특히, 군 $G$ 와 $H$ 에 대해서는 $G$ 의 모든 원소를 $1_{H}$ 로 보내는 자명한 군 준동형사상이 항상 존재했던 것과 달리, 환의 경우에는 그렇지 않습니다.

4.6 아이디얼

대표적인 예: $5$ 의 배수들은 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼입니다.

이제, 군을 몫으로 나눌 수 있었던 것처럼, 몫환도 정의하고 싶습니다. 그러므로 다시 한 번,

정의 4.6.1.

환 준동형사상 $\phi\colon R\to S$ 의 핵은 $\ker\phi$ 로 표기하며, $\phi(r)=0$ 을 만족하는 $r\in R$ 의 집합입니다.

군론에서는 몇 가지 명백히 필요한 조건들(즉, $gHg^{-1}=H$ )로 ”정규” 부분군을 특징지을 수 있었습니다. 환에 대해서도 같은 일을 할 수 있으며, 사실 연산이 가환적이기 때문에 오히려 더 쉽습니다.

먼저, 두 가지 자명한 사실에 주목하십시오.

•

$\phi(x)=\phi(y)=0$ 이면, $\phi(x+y)=0$ 역시 성립합니다. 따라서 $\ker\phi$ 는 덧셈에 대해 닫혀 있어야 합니다.
•

$\phi(x)=0$ 이면, 임의의 $r\in R$ 에 대해 $\phi(rx)=\phi(r)\phi(x)=0$ 역시 성립합니다. 따라서 $x\in\ker\phi$ 이고 $r\in R$ 이 어떤 것이든, $rx\in\ker\phi$ 입니다.

공집합이 아닌 부분집합 $I\subseteq R$ 이 이러한 성질들을 만족하면 아이디얼이라고 부릅니다. 즉,

정의 4.6.2.

공집합이 아닌 부분집합 $I\subseteq R$ 이 덧셈에 대해 닫혀 있고, 각 $x\in I$ 와 모든 $r\in R$ 에 대해 $rx\in I$ 이면, $I$ 를 아이디얼이라고 합니다. $I\neq R$ 이면 진이라고 합니다.

두 번째 조건에서 $r$ 이 $I$ 에 속할 필요는 없다는 점에 주목하십시오! 따라서 이는 단순히 $I$ 가 곱셈에 대해 닫혀 있다는 것보다 더 강한 조건입니다.

비고 4.6.3.

$R$ 이 가환환이 아니라면, $xr\in I$ 라는 조건도 필요합니다. 즉, 이 아이디얼은 양쪽에서 곱셈을 흡수합니다: 왼쪽과 오른쪽 모두에서 말입니다. 하지만 Napkin에서 다루는 환은 가환적이므로 이러한 구별에 대해 걱정할 필요가 없습니다.

예제 4.6.4 (아이디얼의 전형적인 예).

집합 $I=5\mathbb{Z}=\{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}$ 을 $\mathbb{Z}$ 안의 아이디얼로 생각해 봅시다. 실제로 $I$ 가 ”mod $5$ 를 취하는” 준동형사상의 핵임을 알 수 있습니다:

\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.

이는 덧셈에 대해 명백히 닫혀 있을 뿐 아니라, $\mathbb{Z}$ 의 모든 원소로부터의 곱셈을 흡수합니다: $15\in I$ , $999\in\mathbb{Z}$ 가 주어지면, $15\cdot 999\in I$ 를 얻습니다.

연습문제 4.6.5 (필수 문제: 체는 두 개의 아이디얼을 갖는다).

$K$ 가 체라면, $K$ 가 정확히 두 개의 아이디얼을 가짐을 보이십시오. 그것들은 무엇입니까?

이제 우리는 이러한 조건들이 충분함을 주장합니다. 더 명시적으로 말하면,

정리 4.6.6 (정규 부분군의 환 유사물).

$R$ 을 환이라 하고 $I\subsetneq R$ 이라 합시다. 그러면 $I$ 가 어떤 준동형사상의 핵인 것과 아이디얼인 것은 동치입니다.

증명.

이는 정규 부분군에 대한 증명과 상당히 유사하므로, 연습 삼아 직접 시도해 보실 수 있습니다.

조건들이 필요조건임은 명백합니다. 이 조건들이 충분조건임을 확인하기 위해, “잉여류”를 이용해 환을 정의하겠습니다

S=\left\{r+I\mid r\in R\right\}.

이는 $r_{1}\sim r_{2}$ 가 $r_{1}-r_{2}\in I$ 와 동치일 때의 동치류입니다(이를 “ $I$ 로 나눈 나머지를 취하는 것”으로 생각하십시오). 이들이 환을 이룬다는 것을 확인하려면, 우리가 이들 위에 정의한 덧셈과 곱셈이 잘 정의되어 있는지 확인해야 합니다. 구체적으로, $r_{1}\sim s_{1}$ 이고 $r_{2}\sim s_{2}$ 이면 $r_{1}+r_{2}\sim s_{1}+s_{2}$ 이고 $r_{1}r_{2}\sim s_{1}s_{2}$ 임을 확인하고자 합니다. 첫 번째 부분은 사실 이미 다루었습니다 – $R$ 과 $S$ 를 아벨 군으로 생각하고, 잠시 곱셈이 가능하다는 사실은 잊으십시오. 곱셈이 더 흥미롭습니다.

연습문제 4.6.7 (권장).

$r_{1}\sim s_{1}$ 이고 $r_{2}\sim s_{2}$ 이면 $r_{1}r_{2}\sim s_{1}s_{2}$ 임을 보이십시오. $I$ 에 속한 원소뿐 아니라 $R$ 의 임의의 원소로부터의 곱셈도 $I$ 가 흡수한다는 사실을 사용해야 할 것입니다.

어쨌든 이 덧셈과 곱셈이 잘 정의되므로, 이제 핵이 정확히 $I$ 인 전사 준동형사상 $R\to S$ 가 존재합니다. ∎

정의 4.6.8.

아이디얼 $I$ 가 주어지면, 위와 같이 몫환을 정의합니다

R/I\coloneqq\left\{r+I\mid r\in R\right\}.

이는 이러한 동치류들의 환입니다. 이 환은 “ $R$ 모드 $I$ ”라고 읽습니다.

예제 4.6.9 ( $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ).

“ $5$ 로 덧셈적으로 나머지를 취하여” 만들어지는 정수 모듈로 $5$ 는 우리가 이미 만난 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.

하지만 여기서 중요한 점이 있습니다: $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 를 $k=0,\dots,4$ 에 대한 $k+5\mathbb{Z}$ 들로 이루어진 것으로 실제로 생각하지 않는 것과 마찬가지로, $R/I$ 역시 원소 $r+I$ 로 생각하고 싶지 않습니다. 더 나은 사고방식은 다음과 같습니다

$R/I$ 는 $I$ 의 원소들을 모두 영으로 선언할 때 얻어지는 결과입니다. 즉, “ $I$ 의 원소들로 나머지를 취하는 것”입니다.

예를 들어, $5\mathbb{Z}$ 로 나머지를 취한다는 것은 $\mathbb{Z}$ 에서 $5$ 로 나누어떨어지는 모든 원소를 영으로 간주한다는 것을 의미합니다. 이것이 바로 우리가 익히 아는 모듈러 산술을 줍니다!

연습문제 4.6.10.

앞서 우리는 가우스 정수를 $\mathbb{Z}[i]$ 로 표기했는데, 이는 약간의 표기 남용이었습니다. 완전히 형식적으로 표현하고자 한다면 이 환을 대신 $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+1)$ 로 쓸 수 있음을 스스로 확인해 보십시오. (다만 우리는 계속 $\mathbb{Z}[i]$ 를 사용할 것입니다 — 그것이 더 자연스럽기 때문입니다.) 여기서 축약 표기 $(x^{2}+1)\coloneqq(x^{2}+1)\mathbb{Z}[x]=\{(x^{2}+1)f\mid f\in\mathbb{Z}[x]\}$ 는 $\mathbb{Z}[x]$ 내에서 $x^{2}+1$ 의 배수들로 이루어진 아이디얼을 나타냅니다.

$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ 에 대한 유사한 형식화를 찾아보십시오.

4.7 아이디얼 생성하기

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 에서, 아이디얼들은 모두 $(n)$ 꼴입니다.

아이디얼에 대한 연습을 좀 해 봅시다.

중요한 직관 하나는, 아이디얼이 단위원을 포함하는 순간 $1$ 을 포함하게 되고, 따라서 환 전체를 포함해야 한다는 것입니다. 이것이 바로 “진 아이디얼”이라는 개념이 유용한 용어인 이유입니다. 이를 좀 더 부연하면:

명제 4.7.1 (진 아이디얼 $\iff$ 단위원 없음).

$R$ 을 환이라 하고 $I\subseteq R$ 을 아이디얼이라 합시다. 그러면 $I$ 가 진 아이디얼인 것(즉 $I\neq R$ 인 것)은 $I$ 가 $R$ 의 단위원을 하나도 포함하지 않는 것과 동치입니다.

증명.

$I$ 가 단위원 $u$ , 즉 역원 $u^{-1}$ 를 갖는 원소 $u$ 를 포함한다고 합시다. 그러면 $I$ 는 $u\cdot u^{-1}=1$ 을 포함하게 되고, 따라서 $I=R$ 입니다. 역으로, $I$ 가 단위원을 전혀 포함하지 않는다면 $I$ 는 명백히 진 아이디얼입니다. ∎

그 결과로, $K$ 가 체이면 그것의 아이디얼은 오직 $(0)$ 과 $K$ 뿐입니다(이는 연습문제 4.6.5에서 다룬 내용입니다). 따라서 연습을 위한 목적으로는, 체가 아닌 환들을 다루도록 하겠습니다.

첫 번째 연습: $\mathbb{Z}$ .

연습문제 4.7.2.

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼이 정확히 $n\mathbb{Z}$ 꼴의 집합들뿐임을 보이십시오. 여기서 $n$ 은 음이 아닌 정수입니다.

따라서 체의 아이디얼들은 그다지 흥미롭지 않은 반면, $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼들은 $\mathbb{Z}$ 의 원소들과 묘하게 닮아 있습니다. 이를 좀 더 명확히 해 봅시다.

정의 4.7.3.

$R$ 을 환이라 합시다. 원소들의 집합 $x_{1},\dots,x_{n}\in R$ 에 의해 생성된 아이디얼은 $I=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 으로 표기되며 다음과 같이 주어집니다

I=\left\{r_{1}x_{1}+\dots+r_{n}x_{n}\mid r_{i}\in R\right\}.

이는 “모든 $x_{i}$ 를 포함하는 가장 작은 아이디얼”이라고 생각할 수 있습니다.

$\{x_{i}\}$ 를 밀폐된 상자에 넣고 세게 흔든다는 비유가 여기서도 어느 정도 통합니다.

비고 4.7.4 (선형대수학 여담).

선형대수학을 알고 있다면 이를 다음과 같이 요약할 수 있습니다: 아이디얼은 $R$ -가군입니다. 아이디얼 $(x_{1},\dots,x_{n})$ 은 $x_{1},\dots,x_{n}$ 에 의해 생성되는 부분가군입니다.

특히 $I=(x)$ 이면 $I$ 는 정확히 “ $x$ 의 배수”, 즉 $r\in R$ 에 대해 $r x$ 꼴의 수들로 이루어집니다.

비고 4.7.5.

이 정의는 무한 생성 집합에도 적용할 수 있는데, 다만 $r_{i}$ 중 유한개만 $0$ 이 아니어야 합니다(일반적으로 무한합은 의미가 없기 때문입니다).

예제 4.7.6 (생성된 아이디얼의 예).

(a)

모든 $n\in\mathbb{Z}$ 에 대해 $(n)=n\mathbb{Z}$ 이므로, $\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼은 $(n)$ 의 꼴입니다.
(b)

$\mathbb{Z}[i]$ 에서는 $(5)=\left\{5a+5bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ 입니다.
(c)

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 아이디얼 $(x)$ 는 상수항이 $0$ 인 다항식들로 이루어집니다.
(d)

$\mathbb{Z}[x,y]$ 에서 아이디얼 $(x,y)$ 역시 상수항이 $0$ 인 다항식들로 이루어집니다.
(e)

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 아이디얼 $(x,5)$ 는 상수항이 $5$ 로 나누어떨어지는 다항식들로 이루어집니다.

질문 4.7.7.

집합 $I=\left\{r_{1}x_{1}+\dots+r_{n}x_{n}\mid r_{i}\in R\right\}$ 가 실제로 항상 아이디얼임(덧셈에 대해 닫혀 있고, 곱셈을 흡수함)을 확인해 보십시오.

이제 $I=(x_{1},\dots,x_{n})$ 이라 합시다. $R/I$ 는 어떤 모습일까요? 지난 절 끝에서 말했듯이, 이는 각 원소 $x_{i}$ 에 대해 “나머지를 취하는(mod out)” 것에 해당합니다. 예를 들면…

예제 4.7.8 (생성된 아이디얼로 나머지 취하기).

(a)

$R=\mathbb{Z}$ 이고 $I=(5)$ 라 합시다. 그러면 $R/I$ 는 문자 그대로 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , 즉 “ $5$ 를 법으로 한 정수”입니다: 이는 $5=0$ 이라고 선언한 결과입니다.
(b)

$R=\mathbb{Z}[x]$ 이고 $I=(x)$ 라고 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x$ 를 영으로 보낸다는 것을 의미하며, 따라서 임의의 다항식 $p(x)\in R$ 이 주어졌을 때 우리는 단순히 그 상수항을 얻게 되므로 $R/I\cong\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

다시 $R=\mathbb{Z}[x]$ 라 하고 이번에는 $I=(x-3)$ 이라 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x-3\equiv 0$ , 즉 $x\equiv 3$ 일 때의 몫으로 생각해야 합니다. 그러므로 다항식 $p(x)$ 가 주어지면, 나머지를 취한 후의 그 상은 $p(3)$ 으로 생각해야 합니다. 이번에도 $R/I\cong\mathbb{Z}$ 이지만, 다른 방식으로 그렇습니다.
(d)

마지막으로 $I=(x-3,5)$ 라 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x$ 를 $3$ 으로 보낼 뿐만 아니라 $5$ 도 $0$ 으로 보냅니다. 그러므로 $p\in R$ 이 주어지면, 우리는 $p(3)\pmod{5}$ 를 얻습니다. 따라서 $R/I\cong\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.

비고 4.7.9 (나머지 표기법).

그런데, 환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 쓰는 것은 완전히 정당합니다

x\equiv y\pmod{I}

이는 $x-y\in I$ 를 의미합니다. 모듈러 산술에 대해 배운 모든 것이 그대로 적용됩니다.

4.8 주 아이디얼 정역

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 는 PID이지만, $\mathbb{Z}[x]$ 는 아닙니다. $\mathbb{C}[x]$ 는 PID이지만, $\mathbb{C}[x,y]$ 는 아닙니다.

아이디얼에 $(10,15)\subseteq\mathbb{Z}$ 처럼 여러 개의 생성원을 넣으면 어떻게 됩니까? 정의에 의하면, $(10,15)$ 는 집합으로서 다음과 같이 주어집니다

(10,15)\coloneqq\left\{10x+15y\mid x,y\in\mathbb{Z}\right\}.

정수론에 능숙하다면 이것이 $5\mathbb{Z}=(5)$ 임을 즉시 알아볼 것입니다. 놀랍지 않습니까! $\mathbb{Z}$ 에서 아이디얼 $(a,b)$ 는 정확히 $\gcd(a,b)\mathbb{Z}$ 입니다. 그리고 바로 이것이 두 수의 최대공약수를 $(a,b)$ 로 표기하는 것을 흔히 볼 수 있는 이유입니다.

이러한 아이디얼(단 하나의 원소로 생성되는 아이디얼)을 주 아이디얼이라고 부릅니다. 따라서 $\mathbb{Z}$ 에서는 모든 아이디얼이 주 아이디얼입니다. 하지만 더 일반적인 환에서는 이것이 성립하지 않습니다.

예제 4.8.1 (주 아이디얼이 아닌 예).

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 $I=(x,2015)$ 는 주 아이디얼이 아닙니다.

왜냐하면 만약 $I=(f)$ 가 어떤 다항식 $f\in I$ 에 대해 성립한다면, $f$ 는 $x$ 와 $2015$ 를 모두 나누어야 하기 때문입니다. 이는 $f=\pm 1$ 인 경우에만 가능한데, 그렇다면 $I$ 는 $\pm 1$ 을 포함해야 하지만, 실제로는 그렇지 않습니다.

모든 아이디얼이 주 아이디얼인 성질을 가진 환을 주 아이디얼 환이라고 부릅니다. 이 성질을 좋아하는 이유는 $\mathbb{Z}$ 에서의 최대공약수와 비슷한 방식으로 사실상 ”최대공약원”을 취할 수 있게 해주기 때문입니다.

실제로는 흔히 이른바 주 아이디얼 정역(PID)에 관심을 갖습니다. 하지만 아직 정역이 무엇인지는 정의하지 않았습니다. 그럼에도 불구하고 아래의 모든 예시는 실제로 PID이므로, 일단 이 용어를 사용하기로 하고 다음 장에서 추가 조건이 무엇인지 알려드리겠습니다.

예제 4.8.2 (PID의 예시).

다시 한번 말씀드리면, 지금은 PID라는 단어를 사용하고는 있지만 그저 이들이 주 아이디얼 환임을 확인하시면 됩니다.

(a)

앞서 보았듯이 $\mathbb{Z}$ 는 PID입니다.
(b)

앞서 보았듯이 $\mathbb{Z}[x]$ 는 PID가 아닌데, 예를 들어 $I=(x,2015)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문입니다.
(c)

체 $k$ 에 대해 환 $k[x]$ 는 항상 PID임이 밝혀져 있습니다. 예를 들어 $\mathbb{Q}[x]$ , $\mathbb{R}[x]$ , $\mathbb{C}[x]$ 는 PID입니다.

이를 증명해보고 싶다면, 먼저 이 결과를 함의하는 베주 보조정리(Bézout’s lemma)의 유사한 형태를 증명해 보십시오.
(d)

$\mathbb{C}[x,y]$ 는 PID가 아닌데, $(x,y)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문입니다.

4.9 뇌터 환

대표적인 예: $\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},\dots]$ 는 뇌터 환이 아니지만, 대부분의 합리적인 환은 뇌터 환입니다. 특히 다항식환은 뇌터 환입니다. (동치로, 괴짜들만이 비뇌터 환에 관심을 가집니다.)

아이디얼이 하나의 원소로 생성된다고 요구하는 것이 너무 과하다면, 적어도 아이디얼이 유한개의 원소로 생성된다고 요구할 수는 있을 것입니다. 안타깝게도, 특정한 이상한 환에서는 이것도 성립하지 않습니다.

예제 4.9.1 (비뇌터 환).

무한히 많은 자유 변수를 갖는 환 $R=\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},\dots]$ 를 생각해 봅시다. 그러면 아이디얼 $I=(x_{1},x_{2},\dots)\subseteq R$ 은 유한 생성 집합으로 나타낼 수 없습니다.

그럼에도 불구하고, 우리가 다루는 대부분의 ”정상적인” 환은 그 아이디얼이 유한 생성된다는 성질을 실제로 가지고 있습니다. 이제 이러한 환에 이름을 붙이고 동치인 두 가지 정의를 제시하겠습니다:

명제 4.9.2 (뇌터 환의 동치 정의).

환 $R$ 에 대하여, 다음은 동치입니다:

(a)

$R$ 의 모든 아이디얼 $I$ 는 유한 생성됩니다(즉, 유한 생성 집합으로 나타낼 수 있습니다).
(b)

아이디얼들의 무한 오름차순 사슬이 존재하지 않습니다

$I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq I_{3}\subsetneq\dots.$

이러한 사슬이 존재하지 않는다는 것을 흔히 오름차순 사슬 조건이라고 부릅니다.

이러한 환을 뇌터 환이라고 부릅니다.

예제 4.9.3 (비뇌터 환은 오름차순 사슬 조건을 만족하지 않음).

환 $R=\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},\dots]$ 에서 우리는 무한 오름차순 사슬을 갖습니다

(x_{1})\subsetneq(x_{1},x_{2})\subsetneq(x_{1},x_{2},x_{3})\subsetneq\dots.

이 예시로부터 이 명제가 참인 이유를 어느 정도 알 수 있습니다: 유한 생성되지 않은 아이디얼로부터 원소를 하나씩 던져 넣음으로써 오름차순 사슬을 뽑아낼 수 있습니다. 직접 해보고 싶으시다면 증명은 여러분께 맡기겠습니다.³³3한편, 제가 본 이 주제를 다루는 모든 학부 수업에서는 이것을 숙제로 시킵니다. 다만 제가 그런 수업을 그렇게 많이 들어본 것은 아닙니다.

질문 4.9.4.

체는 왜 뇌터 환입니까? PID( $\mathbb{Z}$ 와 같은)는 왜 뇌터 환입니까?

여기서 다음과 같은 질문이 남습니다: PID가 아닌 대표적인 예시인 $\mathbb{Z}[x]$ 는 뇌터 환입니까? 유명한 힐베르트 기저 정리에 따르면, 대답은 영광스럽게도 그렇다입니다.

정리 4.9.5 (힐베르트 기저 정리).

뇌터 환 $R$ 이 주어지면, 환 $R[x]$ 또한 뇌터 환입니다. 따라서 귀납법에 의해, 임의의 정수 $n$ 에 대해 $R[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}]$ 은 뇌터 환입니다.

이 정리의 증명은 정말로 올림피아드스러운 풍미를 지니고 있어서, 도저히 미리 밝힐 수 없습니다 – 이 장의 끝에 문제로 남겨두었습니다.

뇌터 환은 대수기하학에서 진가를 발휘하는데, 지금 당장 그 동기를 설명하기는 다소 어려우니, ”여러분이 마주치게 될 대부분의 환은 뇌터 환이다”라는 말씀만 드리겠습니다. 부디 조금만 참아주십시오!

4.10 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 4A.

환 $R=\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1)$ 은 여러분이 전에 본 적이 있는 것입니다. 그 이름은 무엇입니까?

힌트. $R=\mathbb{R}[i]$ .

풀이. 이것은 단지 $\mathbb{R}[i]=\mathbb{C}$ 입니다. 이 동형사상은 $x\mapsto i$ 로 주어지며, 핵은 $(x^{2}+1)$ 입니다.

문제 4B.

$\mathbb{C}[x]/(x^{2}-x)\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ 임을 보이십시오.

힌트. 다음 사상이

$\displaystyle\mathbb{C}[x]$ $\displaystyle\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}$

$\displaystyle p$ $\displaystyle\mapsto\left(p(0),p(1)\right)$

전사임을 보이고 그 핵을 계산하십시오.

풀이. 다음 사상이

$\displaystyle\mathbb{C}[x]$ $\displaystyle\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}$

$\displaystyle p$ $\displaystyle\mapsto\left(p(0),p(1)\right)$

실제로 전사 환 준동형사상입니다. 그 핵은 $p(0)=p(1)=0$ 을 만족하는 다항식 $p$ 들로 이루어지며, 이는 $x$ 와 $x-1$ 둘 다로 나누어떨어지는 다항식들의 집합이므로 $x(x-1)$ 입니다.

문제 4C.

환 $\mathbb{Z}$ 에서, $I=(2016)$ 이고 $J=(30)$ 이라 합시다. $I\cap J$ 가 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼임을 보이고 그 원소들을 계산하십시오.

문제 4D.

$R$ 을 환, $I$ 를 아이디얼이라 합시다. 다음 사이에 포함관계를 보존하는 전단사를 찾으십시오:

•

$R/I$ 의 아이디얼들과,
•

$I$ 를 포함하는 $R$ 의 아이디얼들.

문제 4E.

$R$ 을 환이라 합시다.

(a)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}\to R$ 이 정확히 하나 존재함을 증명하십시오.
(b)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}[x]\to R$ 의 개수가 $R$ 의 원소의 개수와 같음을 증명하십시오.

힌트. (b)의 경우 준동형사상은 $\psi(x)\in R$ 의 선택에 의해 유일하게 결정됩니다

문제 4F.

^†^†margin:

힐베르트 기저 정리, 정리 4.9.5를 증명하십시오.

문제 4G (USA Team Selection Test 2016).

$\mathbb{F}_{p}$ 가 고정된 소수 $p$ 에 대한 정수의 나머지들을 나타낸다고 합시다. $\Psi\colon\mathbb{F}_{p}[x]\to\mathbb{F}_{p}[x]$ 를 다음과 같이 정의합니다

\Psi\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{p^{i}}.

$S$ 가 $\Psi$ 의 상을 나타낸다고 합시다.

(a)

$S$ 가 다항식 덧셈으로 주어지는 덧셈과 함수 합성으로 주어지는 곱셈을 갖는 환임을 보이십시오.
(b)

$\Psi\colon\mathbb{F}_{p}[x]\to S$ 가 그러면 환 동형사상임을 증명하십시오.

문제 4H (아키즈키의 정리).