장 4 환과 아이디얼

4.1 환과 군을 비교하는 동기 부여용 비유 몇 가지

이 장에서는 가환환 $R$ 의 개념을 소개합니다. 가환환은 군보다 더 큰 구조로, 연산을 하나만 가지는 것이 아니라 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산을 가집니다. 이어서 곧바로 두 환 사이의 환 준동형사상 $R\to S$ 를 정의하겠습니다.

이번에는 정규 부분군 $H\trianglelefteq G$ 대신, 환에는 아이디얼이라 불리는 부분집합 $I\subseteq R$ 이 있습니다. 아이디얼은 그 자체로는 환이 아니지만 몇 가지 좋은 조건을 만족합니다. 그다음 앞에서의 $G/H$ 와 유사하게 $R/I$ 를 정의하는 방법을 보여 드리겠습니다. 마지막으로 군에서와 마찬가지로 아이디얼을 생성하는 방법에 대해 조금 이야기하겠습니다.

흐름을 놓치지 않는 데 도움이 될 만한 유비 표를 아래에 제시합니다.

	군	환
표기법	$G$	$R$
연산	$\cdot$	$+$ , $\times$
가환성	아벨 군일 때에만	이 책에서는 항상
부분 구조	부분군	(다루지 않음)
준동형사상	군 준동형사상 $G\to H$	환 준동형사상 $R\to S$
핵	정규 부분군	아이디얼
몫	$G/H$	$R/I$

4.2 (선택) 동기에 관한 교육적 참고 사항

저는 이 예시들 대부분을 정수론적인 관점을 염두에 두고 작성했습니다. 따라서 초등 정수론을 좋아하셨다면 여러분의 직관 중 많은 부분이 그대로 통할 것입니다. 기본적으로 우리는 환 $\mathbb{Z}$ 의 성질을 곱셈도 할 수 있는 임의의 아벨 구조로 일반화하려고 합니다. 예를 들어 “ $\mathbb{Z}$ 의 소수”에 대해 이야기하는 것과 같은 방식으로 “ $\mathbb{Q}[x]$ 의 기약 다항식”에 대해 이야기할 수 있고, “ $\mathbb{Z}$ 에서의 유일 인수분해”를 이야기하는 것과 같은 방식으로 “ $p$ 를 법으로 하는 다항식의 인수분해”에 대해 이야기할 수 있는 것도 이 때문입니다. 설령 여러분이 $\mathbb{Z}$ 에만 관심이 있더라도(이를테면 정수론 학자라면) 이는 큰 가치가 있습니다. 장담하건대, $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ( $n>2$ )을 풀려면 $\mathbb{Z}$ 가 아닌 다른 환으로 나아가야 합니다!

따라서 이어지는 모든 절에서 $\mathbb{Z}$ 를 원형으로 염두에 두십시오.

이것을 여기서 언급하는 이유는 가환대수학이 대수기하학과도 밀접하게 연결되어 있기 때문입니다. 가환대수학의 많은 아이디어에는 정의의 동기가 되는 멋진 “기하학적” 해석이 있으며, 이러한 연결은 뒤에 나오는 해당 부에서 탐구합니다. 그러므로 이것이 앞으로 나올 내용의 동기를 부여하는 유일한 좋은 방법이 아니라는 점(어쩌면 가장 자연스러운 방법조차 아니라는 점)을 솔직히 인정하고자 합니다.

4.3 환의 정의와 예

대표적인 예: 무조건 $\mathbb{Z}$ 입니다! 그리고 $R[x]$ 와 여러 체(다음 절)도 있습니다.

자, 그럼 환을 정의하겠습니다¹¹1또는 일부 저자에 따르면 “항등원을 가진 환”입니다. 어떤 저자들은 환이 곱셈 항등원을 가질 것을 요구하지 않습니다. 우리에게 “환”은 항상 “ $1$ 을 가진 환”을 뜻합니다..

정의 4.3.1.

환은 삼중쌍 $(R,+,\times)$ 로, 두 연산은 보통 덧셈과 곱셈이라 부르며, 다음을 만족합니다.

(i)

$(R,+)$ 는 항등원 $0_{R}$ 또는 간단히 $0$ 을 가지는 아벨 군입니다.
(ii)

$\times$ 는 $R$ 위의 결합적인 이항 연산이며, $1_{R}$ 또는 간단히 $1$ 로 쓰는 항등원을 가집니다.
(iii)

곱셈은 덧셈에 대해 분배됩니다.

$\times$ 가 가환이면 환 $R$ 을 가환이라고 합니다.

표기의 남용 4.3.2.

늘 그렇듯이 $(R,+,\times)$ 를 $R$ 로 줄여 쓰겠습니다.

표기의 남용 4.3.3.

간단히 하기 위해 이 장의 나머지 부분에서는 모든 환이 가환이라고 가정합니다. 결국 비가환환도 몇 가지 만나게 되겠지만, 그러한 환에 대해서는 어차피 이 장의 이론 전체가 필요하지 않습니다.

이 정의들은 완비성을 위해 여기에 둔 것일 뿐입니다. 예시가 훨씬 더 중요합니다.

예제 4.3.4 (전형적인 환).

(a)

집합 $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 는 모두 통상적인 덧셈과 곱셈에 대해 환입니다.
(b)

$n$ 을 법으로 하는 정수들도 통상적인 덧셈과 곱셈에 대해 환입니다. 이를 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 으로도 나타냅니다.

자명한 예도 하나 있습니다.

정의 4.3.5.

영환은 원소가 하나뿐인 환 $R$ 입니다. 영환은 $0$ 으로 나타냅니다. 환이 영환이 아니면 그 환을 자명하지 않다고 합니다.

연습문제 4.3.6 (우스운 문제).

환이 자명하지 않을 필요충분조건은 $0_{R}\neq 1_{R}$ 임을 보이십시오.

이 구조를 정의했으니 이에 관해 꼭 알아야 할 사실들도 적어 두겠습니다.

사실 4.3.7.

임의의 환 $R$ 과 $r\in R$ 에 대하여 $r\cdot 0_{R}=0_{R}$ 입니다. 또한 $r\cdot(-1_{R})=-r$ 입니다.

환의 예를 몇 가지 더 들어 보겠습니다.

예제 4.3.8 (곱환).

두 환 $R$ 과 $S$ 가 주어졌을 때, $R\times S$ 로 나타내는 곱환은 순서쌍 $(r,s)$ 들로 정의하며 두 연산은 모두 성분별로 수행합니다. 예를 들어 중국인의 나머지 정리에 따르면 동형사상 $n\bmod{15}\mapsto(n\bmod 3,n\bmod 5)$ 에 의해

\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}

입니다.

비고 4.3.9.

같은 것을 다르게 정의할 수도 있습니다. $R\times S$ 를 아벨 군 $R\oplus S$ 로 정의하고, $r\in R$ , $s\in S$ 에 대하여 $r\cdot s=0$ 이 되는 곱셈을 부여하면 됩니다.

질문 4.3.10.

곱환 $R\times S$ 의 항등원은 어떤 $(r,s)$ 입니까?

예제 4.3.11 (다항식환).

임의의 환 $R$ 이 주어졌을 때, 다항식환 $R[x]$ 는 계수가 $R$ 에 속하는 다항식들의 집합으로 정의합니다.

R[x]=\left\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0}\mid a_{0},\dots,a_{n}\in R% \right\}.

이것은 “ $R$ 첨가 $x$ ”라고 읽습니다. 덧셈과 곱셈은 여러분이 예상하는 방식 그대로 수행합니다.

비고 4.3.12 (나눗셈에 관한 여담).

다행히 다항식의 나눗셈도 예상대로 작동합니다. $p\in R[x]$ 가 다항식이고 $p(a)=0$ 이면, 어떤 다항식 $q$ 에 대하여 $(x-a)q(x)=p(x)$ 입니다. 증명: 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오.

다만 이와 관련하여 다음 주의 사항에 유의하십시오.

x^{2}-1\equiv(x-1)(x+1)\pmod{8}

위 다항식은 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 에서 네 개의 근 $1$ , $3$ , $5$ , $7$ 을 가집니다.

문제는 $2$ 와 $4$ 가 영이 아닌데도 $2\cdot 4=0$ 이라는 점입니다. 이러한 이유로 $2$ 와 $4$ 를 영인자라고 부릅니다. 정역(영인자가 없는 환)에서는 이런 병리적 현상이 사라지며, 다항식에 관해 여러분이 알고 있는 거의 모든 사실이 그대로 성립합니다. (다음 절에서 이 내용을 모두 다시 말씀드리겠습니다.)

예제 4.3.13 (다변수 다항식환).

계수가 $R$ 에 속하는 $n$ 변수 다항식들을 생각할 수 있으며, 이를 $R[x_{1},\dots,x_{n}]$ 으로 나타냅니다. (원한다면 $x$ 를 무한히 많이 첨가할 수도 있습니다!)

예제 4.3.14 (가우스 정수는 환입니다).

가우스 정수는 실수부와 허수부가 모두 정수인 복소수들의 집합입니다. 즉, 다음과 같습니다.

\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}.

표기의 남용 4.3.15 (첨가의 자유로운 사용).

주의 깊은 독자라면 여기서 표기의 남용을 알아챌 것입니다. $\mathbb{Z}[i]$ 는 공식적으로 “변수 $i$ 에 대한 정수 계수 다항식들”이어야 합니다. 그러나 문맥상 $i^{2}=-1$ 임을 알 수 있으며, $i=\sqrt{-1}$ 에 대한 다항식은 가우스 정수와 “같은 것”입니다.

예제 4.3.16 ( $2$ 의 세제곱근).

또 다른 예로 (같은 표기 남용을 사용하면) 다음과 같습니다.

\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]=\left\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\mid a,b,c\in\mathbb% {Z}\right\}.

4.4 체

대표적인 예: $\mathbb{Q}$ 는 체이지만 $\mathbb{Z}$ 는 체가 아닙니다.

체가 무엇인지는 다음 장에 가서야 알면 되지만, 예로 쓰기에 매우 편리하므로 지금 미리 소개하겠습니다.

이미 알고 계실 수도 있겠지만, 곱셈이 가역이면 그 환을 체라고 부릅니다. 명확히 하기 위해 관련 정의들을 적어 보겠습니다.

정의 4.4.1.

환 $R$ 의 단원은 가역인 원소 $u\in R$ 입니다. 즉, 어떤 $x\in R$ 에 대하여 $ux=1_{R}$ 가 성립합니다.

예제 4.4.2 (단원의 예).

(a)

$\mathbb{Z}$ 의 단원은 $\pm 1$ 입니다. “ $1$ 을 나누는” 것은 이들뿐이기 때문입니다(“단원”이라는 이름도 여기서 유래합니다).
(b)

반면 $\mathbb{Q}$ 에서는 ( $0$ 을 제외한) 모든 것이 단원입니다. 예를 들어 $\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=1$ 이므로 $\frac{3}{5}$ 는 단원입니다.
(c)

가우스 정수 $\mathbb{Z}[i]$ 에는 $\pm 1$ 과 $\pm i$ 의 네 단원이 있습니다.

정의 4.4.3.

자명하지 않은 (가환) 환의 0이 아닌 원소가 모두 단원이면 그 환을 체라고 합니다.

구어적으로는 다음과 같이 말합니다.

체는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 할 수 있는 구조입니다.

문맥에 따라 체는 흔히 $k$ , $K$ , $F$ 중 하나로 표기합니다.

예제 4.4.4 (체의 첫 번째 예).

(a)

$\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 에서는 $\frac{1}{c}$ 라는 개념이 의미를 가지므로 이들은 체입니다.
(b)

$p$ 가 소수이면 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 는 체이며, 보통 $\mathbb{F}_{p}$ 로 표기합니다.

체는 자명하지 않아야 하므로 자명환 $0$ 은 체로 간주하지 않습니다.

4.5 준동형사상

대표적인 예: $5$ 로 나머지를 취하여 얻는 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ .

이 절은 빠르게 진행하겠습니다. 몫군에서 했던 모든 내용을 자명하게 일반화한 것이기 때문입니다.²²2군보다 환을 먼저 가르치는 추상대수학 교과서를 본 적이 있습니다. 그때는 이유를 몰랐지만 이제는 알 것 같습니다. 가환환에서 무언가로 나머지를 취하는 것이 훨씬 자연스럽고, 다양한 종류의 환과 체에 대해 바로 이야기를 시작할 수 있기 때문입니다. 또한 (제 생각에는) 환의 첫 번째 예가 군의 첫 번째 예보다 더 생생합니다. 사실 저는 이 접근 방식에 크게 공감합니다. 언젠가 Napkin도 이 방식을 따르도록 바꿀지도 모릅니다.

먼저 준동형사상과 동형사상을 정의합니다.

정의 4.5.1.

$R=(R,+_{R},\times_{R})$ 와 $S=(S,+_{S},\times_{S})$ 를 환이라고 합시다. 환 준동형사상은 다음을 만족하는 사상 $\phi\colon R\to S$ 입니다.

(i)

각 $x,y\in R$ 에 대하여 $\phi(x+_{R}y)=\phi(x)+_{S}\phi(y)$ 입니다.
(ii)

각 $x,y\in R$ 에 대하여 $\phi(x\times_{R}y)=\phi(x)\times_{S}\phi(y)$ 입니다.
(iii)

$\phi(1_{R})=1_{S}$ .

$\phi$ 가 전단사이면 $\phi$ 를 동형사상이라고 하며, 환 $R$ 과 $S$ 가 동형이라고 합니다.

예상한 그대로입니다. 한 가지 뜻밖인 점은 $\phi(1_{R})$ 이 $1_{S}$ 로 가야 한다는 조건도 요구한다는 것입니다. 이 조건은 불필요한 것이 아닙니다. “0을 곱하기”라는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 를 생각해 보십시오.

예제 4.5.2 (준동형사상의 예).

(a)

늘 그렇듯이 항등 사상입니다.
(b)

$5$ 로 나눈 나머지를 취하는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

상수항을 취하여 $p(x)\mapsto p(0)$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}$ 입니다.
(d)

임의의 환 $R$ 에 대하여 자명한 환 준동형사상 $R\to 0$ 이 존재합니다.

예제 4.5.3 (준동형사상이 아닌 예).

$1_{R}$ 이 $1_{S}$ 로 대응되어야 한다는 조건 때문에, 준동형사상이라고 생각했을 법한 몇몇 사상은 준동형사상이 되지 못합니다.

(a)

$x\mapsto 2x$ 로 정의되는 사상 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 는 환 준동형사상이 아닙니다. $1$ 을 $2$ 로 보낸다는 점 외에도, 이 사상은 곱셈을 보존하지도 않습니다.
(b)

$S$ 가 자명하지 않은 환이면, $x\mapsto 0$ 으로 정의되는 사상 $R\to S$ 는 곱셈을 보존함에도 불구하고 환 준동형사상이 아닙니다.
(c)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}/2016\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ 는 아예 존재하지 않습니다.

특히 군 $G$ 와 $H$ 에 대해서는 $G$ 의 모든 원소를 $1_{H}$ 로 보내는 자명한 군 준동형사상이 항상 존재했지만, 환에 대해서는 그렇지 않습니다.

4.6 아이디얼

대표적인 예: $5$ 의 배수들은 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼입니다.

이제 군으로 나머지를 취할 수 있었던 것처럼, 몫환도 정의하고자 합니다. 그러므로 다시 한번,

정의 4.6.1.

환 준동형사상 $\phi\colon R\to S$ 의 핵은 $\ker\phi$ 로 표기하며, $\phi(r)=0$ 을 만족하는 $r\in R$ 전체의 집합입니다.

군론에서는 명백히 필요한 몇 가지 조건(즉 $gHg^{-1}=H$ )으로 “정규” 부분군을 특징지을 수 있었습니다. 환에 대해서도 같은 일을 할 수 있으며, 우리의 연산이 가환이므로 실제로는 더 쉽습니다.

먼저 두 가지 명백한 사실에 주목하십시오.

•

$\phi(x)=\phi(y)=0$ 이면 $\phi(x+y)=0$ 도 성립합니다. 따라서 $\ker\phi$ 는 덧셈에 대해 닫혀 있어야 합니다.
•

$\phi(x)=0$ 이면 임의의 $r\in R$ 에 대하여 $\phi(rx)=\phi(r)\phi(x)=0$ 도 성립합니다. 따라서 $x\in\ker\phi$ 와 임의의 $r\in R$ 에 대하여 $rx\in\ker\phi$ 입니다.

이러한 성질을 만족하는 (공집합이 아닌) 부분집합 $I\subseteq R$ 을 아이디얼이라고 합니다. 즉,

정의 4.6.2.

공집합이 아닌 부분집합 $I\subseteq R$ 이 덧셈에 대해 닫혀 있고, 각 $x\in I$ 에 대하여 모든 $r\in R$ 에 대해 $rx\in I$ 이면 $I$ 를 아이디얼이라고 합니다. $I\neq R$ 이면 $I$ 를 진 아이디얼이라고 합니다.

두 번째 조건에서 $r$ 이 $I$ 에 속할 필요는 없다는 점에 주의하십시오! 따라서 이는 단지 $I$ 가 곱셈에 대해 닫혀 있다고 말하는 것보다 더 강한 조건입니다.

비고 4.6.3.

$R$ 이 가환이 아니면 $xr\in I$ 라는 조건도 필요합니다. 즉 아이디얼은 양쪽 아이디얼이어야 하며, 왼쪽과 오른쪽 모두에서의 곱셈을 흡수합니다. 하지만 Napkin에서 환은 가환이므로 이 구분을 신경 쓸 필요가 없습니다.

예제 4.6.4 (아이디얼의 전형적인 예).

집합 $I=5\mathbb{Z}=\{\dots,-10,-5,0,5,10,\dots\}$ 를 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼로 생각해 봅시다. 실제로 $I$ 는 “mod $5$ 를 취하는” 준동형사상의 핵임을 알 수 있습니다.

\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.

이 집합은 분명히 덧셈에 대해 닫혀 있을 뿐 아니라, $\mathbb{Z}$ 의 모든 원소와의 곱셈을 흡수합니다. $15\in I$ , $999\in\mathbb{Z}$ 가 주어지면 $15\cdot 999\in I$ 를 얻습니다.

연습문제 4.6.5 (필수: 체의 두 아이디얼).

$K$ 가 체이면 $K$ 가 정확히 두 개의 아이디얼을 가짐을 보이십시오. 그 아이디얼은 무엇입니까?

이제 이 조건들이 충분하다고 주장합니다. 좀 더 명시적으로 말하면,

정리 4.6.6 (정규 부분군의 환 버전).

$R$ 을 환이라 하고 $I\subsetneq R$ 이라 합시다. 그러면 $I$ 가 어떤 준동형사상의 핵인 것은 $I$ 가 아이디얼인 것과 동치입니다.

증명.

정규 부분군에 대한 증명과 상당히 비슷하므로, 연습 삼아 직접 시도해 보아도 좋습니다.

조건들이 필요조건임은 명백합니다. 이 조건들이 충분조건임을 보이기 위해, “잉여류”를 이용하여 환을 정의합니다

S=\left\{r+I\mid r\in R\right\}.

이들은 $r_{1}-r_{2}\in I$ 일 때 그리고 그때에만 $r_{1}\sim r_{2}$ 로 정의한 관계에 대한 동치류입니다(이를 “ $I$ 에 대한 나머지”를 취하는 것으로 생각하십시오). 이들이 환을 이룬다는 것을 보이려면, 여기에 부여한 덧셈과 곱셈이 잘 정의됨을 확인해야 합니다. 구체적으로는, $r_{1}\sim s_{1}$ 이고 $r_{2}\sim s_{2}$ 이면 $r_{1}+r_{2}\sim s_{1}+s_{2}$ 이고 $r_{1}r_{2}\sim s_{1}s_{2}$ 임을 확인하고자 합니다. 첫 번째 부분은 사실 이미 했습니다 – 곱셈을 할 수 있다는 사실은 잠시 잊고 $R$ 과 $S$ 를 아벨 군으로 생각하기만 하면 됩니다. 곱셈 쪽이 더 흥미롭습니다.

연습문제 4.6.7 (권장).

$r_{1}\sim s_{1}$ 이고 $r_{2}\sim s_{2}$ 이면 $r_{1}r_{2}\sim s_{1}s_{2}$ 임을 보이십시오. $I$ 가 $I$ 의 원소뿐만 아니라 $R$ 의 임의의 원소와의 곱셈을 흡수한다는 사실을 사용해야 합니다.

어쨌든 이 덧셈과 곱셈이 잘 정의되므로, 이제 핵이 정확히 $I$ 인 전사 준동형사상 $R\to S$ 가 존재합니다. ∎

정의 4.6.8.

아이디얼 $I$ 가 주어지면, 위와 같이 몫환을 정의합니다

R/I\coloneqq\left\{r+I\mid r\in R\right\}.

이는 이러한 동치류들로 이루어진 환입니다. 이 환은 “ $R$ 모드 $I$ ”라고 읽습니다.

예제 4.6.9 ( $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ).

“덧셈에 대해 $5$ 로 나머지를 취하여” 얻은 $5$ 를 법으로 하는 정수들은 우리가 이미 만나 본 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.

하지만 여기서 중요한 점이 있습니다. 우리가 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 를 실제로 $k=0,\dots,4$ 에 대한 $k+5\mathbb{Z}$ 들로 이루어진 것으로 생각하지 않듯이, $R/I$ 역시 원소 $r+I$ 들로 생각하고 싶지는 않습니다. 이를 생각하는 더 나은 방법은 다음과 같습니다

$R/I$ 는 $I$ 의 원소들이 모두 0이라고 선언했을 때 얻어지는 결과입니다. 즉, “ $I$ 의 원소들로 나머지를 취하는” 것입니다.

예를 들어, $5\mathbb{Z}$ 로 나머지를 취한다는 것은 $\mathbb{Z}$ 에서 $5$ 로 나누어떨어지는 모든 원소를 0으로 간주한다는 뜻입니다. 이렇게 하면 익숙한 모듈러 산술을 얻습니다!

연습문제 4.6.10.

앞에서 가우스 정수를 $\mathbb{Z}[i]$ 로 썼는데, 이는 약간의 표기 남용이었습니다. 완벽하게 형식적으로 쓰고 싶다면 이 환을 대신 $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+1)$ 로 쓸 수 있다는 것을 스스로 확인해 보십시오. (그래도 우리는 $\mathbb{Z}[i]$ 를 계속 쓰겠습니다 — 그쪽이 더 자연스럽기 때문입니다.) 여기서 약식 표기 $(x^{2}+1)\coloneqq(x^{2}+1)\mathbb{Z}[x]=\{(x^{2}+1)f\mid f\in\mathbb{Z}[x]\}$ 는 $\mathbb{Z}[x]$ 안에서 $x^{2}+1$ 의 배수들로 이루어진 아이디얼을 나타냅니다.

$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ 에 대한 비슷한 형식화를 찾아보십시오.

4.7 아이디얼 생성하기

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 에서 아이디얼은 모두 $(n)$ 꼴입니다.

아이디얼을 조금 연습해 봅시다.

중요한 직관 하나는, 아이디얼이 단원을 하나라도 포함하면 $1$ 을 포함하게 되고, 따라서 환 전체를 포함해야 한다는 것입니다. “진 아이디얼”이라는 개념이 유용한 용어인 이유가 바로 이것입니다. 이를 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다.

명제 4.7.1 (진 아이디얼 $\iff$ 단원 없음).

$R$ 을 환이라 하고 $I\subseteq R$ 을 아이디얼이라 합시다. 그러면 $I$ 가 진 아이디얼인 것(즉 $I\neq R$ 인 것)은 $I$ 가 $R$ 의 단원을 하나도 포함하지 않는 것과 동치입니다.

증명.

$I$ 가 단원 $u$ , 즉 역원 $u^{-1}$ 를 갖는 원소 $u$ 를 포함한다고 합시다. 그러면 $I$ 는 $u\cdot u^{-1}=1$ 을 포함하므로 $I=R$ 입니다. 역으로, $I$ 가 단원을 하나도 포함하지 않으면 $I$ 는 명백히 진 아이디얼입니다. ∎

그 결과로, $K$ 가 체이면 $K$ 의 아이디얼은 $(0)$ 과 $K$ 뿐입니다(이는 연습문제 4.6.5에서 다룬 내용입니다). 그러므로 연습을 위해서는 체가 아닌 환을 다루겠습니다.

첫 번째 연습: $\mathbb{Z}$ .

연습문제 4.7.2.

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼은 정확히 $n\mathbb{Z}$ 꼴의 집합들뿐임을 보이십시오. 여기서 $n$ 은 음이 아닌 정수입니다.

이처럼 체의 아이디얼은 그다지 흥미롭지 않지만, $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼은 기묘할 정도로 $\mathbb{Z}$ 의 원소와 닮아 있습니다. 이를 좀 더 정확하게 설명해 봅시다.

정의 4.7.3.

$R$ 을 환이라고 합시다. 원소들의 집합 $x_{1},\dots,x_{n}\in R$ 로 생성된 아이디얼은 $I=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ 으로 표기하며 다음과 같이 주어집니다

I=\left\{r_{1}x_{1}+\dots+r_{n}x_{n}\mid r_{i}\in R\right\}.

이것을 “모든 $x_{i}$ 를 포함하는 가장 작은 아이디얼”로 생각할 수 있습니다.

$\{x_{i}\}$ 를 밀봉된 상자에 넣고 세차게 흔든다는 비유가 여기서도 어느 정도 통합니다.

비고 4.7.4 (선형대수학 여담).

선형대수학을 알고 있다면, 이를 다음과 같이 요약할 수 있습니다: 아이디얼은 $R$ -가군입니다. 아이디얼 $(x_{1},\dots,x_{n})$ 은 $x_{1},\dots,x_{n}$ 으로 생성되는 부분가군입니다.

특히 $I=(x)$ 이면 $I$ 는 정확히 “ $x$ 의 배수들”, 즉 $r\in R$ 에 대하여 $r x$ 꼴의 수들로 이루어집니다.

비고 4.7.5.

$r_{i}$ 중 유한 개만 0이 아니라면, 이 정의를 무한 생성 집합에도 적용할 수 있습니다(일반적으로 무한합은 의미가 없기 때문입니다).

예제 4.7.6 (생성된 아이디얼의 예).

(a)

모든 $n\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $(n)=n\mathbb{Z}$ 이므로, $\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼은 $(n)$ 꼴입니다.
(b)

$\mathbb{Z}[i]$ 에서는 $(5)=\left\{5a+5bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ 입니다.
(c)

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 아이디얼 $(x)$ 는 상수항이 0인 다항식들로 이루어집니다.
(d)

$\mathbb{Z}[x,y]$ 에서 아이디얼 $(x,y)$ 역시 상수항이 0인 다항식들로 이루어집니다.
(e)

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 아이디얼 $(x,5)$ 는 상수항이 $5$ 로 나누어떨어지는 다항식들로 이루어집니다.

질문 4.7.7.

집합 $I=\left\{r_{1}x_{1}+\dots+r_{n}x_{n}\mid r_{i}\in R\right\}$ 이 실제로 항상 아이디얼임(덧셈에 대해 닫혀 있고 곱셈을 흡수함)을 확인해 보십시오.

이제 $I=(x_{1},\dots,x_{n})$ 이라고 합시다. $R/I$ 는 어떻게 생겼습니까? 지난 절의 끝에서 말한 바에 따르면, 이는 각 원소 $x_{i}$ 로 “나머지를 취할(mod out)” 때 일어나는 결과입니다. 예를 들어…

예제 4.7.8 (생성된 아이디얼로 나머지 취하기).

(a)

$R=\mathbb{Z}$ , $I=(5)$ 라고 합시다. 그러면 $R/I$ 는 말 그대로 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ , 즉 “ $5$ 를 법으로 하는 정수”입니다. 이는 $5=0$ 이라고 선언한 결과입니다.
(b)

$R=\mathbb{Z}[x]$ , $I=(x)$ 라고 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x$ 를 0으로 보낸다는 뜻입니다. 따라서 임의의 다항식 $p(x)\in R$ 이 주어지면 단순히 그 상수항을 얻게 되므로 $R/I\cong\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

다시 $R=\mathbb{Z}[x]$ 라 하고, 이번에는 $I=(x-3)$ 이라고 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x-3\equiv 0$ , 즉 $x\equiv 3$ 일 때의 몫으로 생각해야 합니다. 따라서 다항식 $p(x)$ 가 주어지면 나머지를 취한 후의 상은 $p(3)$ 으로 생각해야 합니다. 이번에도 $R/I\cong\mathbb{Z}$ 이지만, 다른 방식으로 그렇습니다.
(d)

마지막으로 $I=(x-3,5)$ 라고 합시다. 그러면 $R/I$ 는 $x$ 를 3으로 보낼 뿐 아니라 $5$ 도 0으로 보냅니다. 따라서 $p\in R$ 이 주어지면 $p(3)\pmod{5}$ 를 얻습니다. 그러므로 $R/I\cong\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 입니다.

비고 4.7.9 (나머지 표기법).

그런데 환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 쓰는 것은 전적으로 정당합니다

x\equiv y\pmod{I}

이는 $x-y\in I$ 라는 뜻입니다. 모듈러 산술에 대해 배운 모든 것이 그대로 적용됩니다.

4.8 주 아이디얼 정역

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 는 PID이지만 $\mathbb{Z}[x]$ 는 그렇지 않습니다. $\mathbb{C}[x]$ 는 PID이지만 $\mathbb{C}[x,y]$ 는 그렇지 않습니다.

$(10,15)\subseteq\mathbb{Z}$ 처럼 아이디얼에 여러 생성원을 넣으면 어떻게 됩니까? 정의에 따라 $(10,15)$ 는 집합으로서 다음과 같이 주어집니다

(10,15)\coloneqq\left\{10x+15y\mid x,y\in\mathbb{Z}\right\}.

정수론에 익숙하다면 이것이 $5\mathbb{Z}=(5)$ 임을 곧바로 알아볼 것입니다. 놀랍지 않습니까! $\mathbb{Z}$ 에서 아이디얼 $(a,b)$ 는 정확히 $\gcd(a,b)\mathbb{Z}$ 입니다. 두 수의 최대공약수를 흔히 $(a,b)$ 로 나타내는 것도 바로 이 때문입니다.

이러한 아이디얼(원소 하나로 생성되는 아이디얼)을 주 아이디얼이라고 부릅니다. 따라서 $\mathbb{Z}$ 에서는 모든 아이디얼이 주 아이디얼입니다. 그러나 더 일반적인 환에서는 그렇지 않습니다.

예제 4.8.1 (주 아이디얼이 아닌 아이디얼).

$\mathbb{Z}[x]$ 에서 $I=(x,2015)$ 는 주 아이디얼이 아닙니다.

어떤 다항식 $f\in I$ 에 대해 $I=(f)$ 라면 $f$ 는 $x$ 와 $2015$ 를 모두 나누어야 하기 때문입니다. 이는 $f=\pm 1$ 일 때만 가능한데, 그렇다면 $I$ 가 $\pm 1$ 을 포함해야 하지만 실제로는 포함하지 않습니다.

모든 아이디얼이 주 아이디얼이라는 성질을 가진 환을 주 아이디얼 환이라고 부릅니다. 이 성질이 반가운 이유는 $\mathbb{Z}$ 에서 최대공약수를 취하는 것과 비슷한 방식으로 사실상 “최대공약수”를 취할 수 있게 해 주기 때문입니다.

실제로 우리가 주로 관심을 두는 것은 이른바 주 아이디얼 정역(PID)입니다. 그러나 정역이 무엇인지는 아직 정의하지 않았습니다. 그래도 아래의 예는 모두 실제로 PID이므로 지금은 이 용어를 그대로 사용하고, 추가 조건이 무엇인지는 다음 장에서 설명하겠습니다.

예제 4.8.2 (PID의 예).

다시 말씀드리면, PID라는 용어를 쓰고 있더라도 지금은 이것들이 주 아이디얼 환이라는 것만 확인하면 됩니다.

(a)

앞서 보았듯이 $\mathbb{Z}$ 는 PID입니다.
(b)

역시 앞서 보았듯이 $\mathbb{Z}[x]$ 는 PID가 아닙니다. 예를 들어 $I=(x,2015)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문입니다.
(c)

사실 체 $k$ 에 대하여 환 $k[x]$ 는 항상 PID입니다. 예를 들어 $\mathbb{Q}[x]$ , $\mathbb{R}[x]$ , $\mathbb{C}[x]$ 는 PID입니다.

이를 증명해 보고 싶다면 먼저 Bézout 보조정리와 유사한 명제를 증명하십시오. 그러면 이 결과가 따라 나옵니다.
(d)

$\mathbb{C}[x,y]$ 는 PID가 아닙니다. $(x,y)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문입니다.

4.9 뇌터 환

대표적인 예: $\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},\dots]$ 는 뇌터 환이 아니지만, 대부분의 합리적인 환은 뇌터 환입니다. 특히 다항식환은 뇌터 환입니다. (달리 말하면, 뇌터 환이 아닌 환에 관심을 두는 것은 괴짜들뿐입니다.)

아이디얼이 원소 하나로 생성되기를 요구하는 것이 지나치다면, 적어도 아이디얼이 유한 개의 원소로 생성되기를 요구할 수는 있을 것입니다. 안타깝게도 어떤 특이한 환에서는 이것조차 성립하지 않습니다.

예제 4.9.1 (뇌터 환이 아닌 환).

자유 변수가 무한히 많은 환 $R=\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},\dots]$ 를 생각해 봅시다. 그러면 아이디얼 $I=(x_{1},x_{2},\dots)\subseteq R$ 는 유한 생성 집합으로 나타낼 수 없습니다.

그럼에도 우리가 다루는 대부분의 “정상적인” 환은 아이디얼이 유한 생성된다는 성질을 실제로 가집니다. 이제 이러한 환에 이름을 붙이고 동치인 두 가지 정의를 제시하겠습니다.

명제 4.9.2 (뇌터 환의 동치인 정의).

환 $R$ 에 대하여 다음은 동치입니다.

(a)

$R$ 의 모든 아이디얼 $I$ 는 유한 생성됩니다(즉, 유한 생성 집합으로 나타낼 수 있습니다).
(b)

아이디얼의 무한 오름 사슬이 존재하지 않습니다

$I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq I_{3}\subsetneq\dots.$

이러한 사슬이 없다는 조건을 흔히 오름 사슬 조건이라고 부릅니다.

이러한 환을 뇌터 환이라고 부릅니다.

예제 4.9.3 (뇌터 환이 아닌 환은 ACC를 만족하지 않습니다).

환 $R=\mathbb{Z}[x_{1},x_{2},x_{3},\dots]$ 에는 다음과 같은 무한 오름 사슬이 있습니다

(x_{1})\subsetneq(x_{1},x_{2})\subsetneq(x_{1},x_{2},x_{3})\subsetneq\dots.

예제를 보면 명제가 왜 참인지 어느 정도 알 수 있습니다: 무한히 생성된 아이디얼에서 원소를 하나씩 넣어 가며 오름 사슬을 뽑아낼 수 있습니다. 증명을 해 보고 싶다면 여러분에게 맡기겠습니다.³³3한편, 제가 본 이 주제의 학부 수업은 모두 이것을 숙제로 내 줍니다. 물론 제가 그런 수업을 그렇게 많이 들은 것은 아닙니다.

질문 4.9.4.

체는 왜 뇌터 환입니까? ( $\mathbb{Z}$ 와 같은) PID는 왜 뇌터 환입니까?

그러면 다음 질문이 남습니다. PID가 아닌 예의 전형인 $\mathbb{Z}[x]$ 는 뇌터 환입니까? 저 유명한 힐베르트 기저 정리에 따르면 그 답은 영광스럽게도 ’그렇다’입니다.

정리 4.9.5 (힐베르트 기저 정리).

뇌터 환 $R$ 이 주어지면 환 $R[x]$ 역시 뇌터 환입니다. 따라서 귀납법에 의해 임의의 정수 $n$ 에 대하여 $R[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}]$ 은 뇌터 환입니다.

이 정리의 증명은 정말로 올림피아드 풍미가 있어서 도저히 미리 알려 드릴 수가 없습니다 – 이 장 끝에 문제로 남겨 두었습니다.

뇌터 환은 대수기하학에서 진가를 발휘하는데, 지금 당장은 “여러분이 만날 대부분의 환은 뇌터 환입니다”라고 말하는 것 외에는 그 동기를 설명하기가 조금 어렵습니다. 조금만 참아 주십시오!

4.10 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 4A.

환 $R=\mathbb{R}[x]/(x^{2}+1)$ 은 여러분이 전에 본 적이 있는 환입니다. 그 이름은 무엇입니까?

힌트. $R=\mathbb{R}[i]$ .

풀이. 이것은 바로 $\mathbb{R}[i]=\mathbb{C}$ 입니다. 동형사상은 $x\mapsto i$ 로 주어지며, 그 핵은 $(x^{2}+1)$ 입니다.

문제 4B.

$\mathbb{C}[x]/(x^{2}-x)\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ 임을 보이십시오.

힌트. 다음 사상이

$\displaystyle\mathbb{C}[x]$ $\displaystyle\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}$

$\displaystyle p$ $\displaystyle\mapsto\left(p(0),p(1)\right)$

전사임을 보이고 그 핵을 계산하십시오.

풀이. 다음 사상은

$\displaystyle\mathbb{C}[x]$ $\displaystyle\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}$

$\displaystyle p$ $\displaystyle\mapsto\left(p(0),p(1)\right)$

실제로 전사 환 준동형사상입니다. 그 핵은 $p(0)=p(1)=0$ 을 만족하는 다항식 $p$ 들로 이루어집니다. 이는 $x$ 와 $x-1$ 모두로 나누어떨어지는 다항식들의 집합이므로 $x(x-1)$ 입니다.

문제 4C.

환 $\mathbb{Z}$ 에서 $I=(2016)$ , $J=(30)$ 이라 합시다. $I\cap J$ 가 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼임을 보이고 그 원소들을 구하십시오.

문제 4D.

$R$ 을 환, $I$ 를 아이디얼이라 합시다. 다음 둘 사이의 포함 관계를 보존하는 전단사를 찾으십시오.

•

$R/I$ 의 아이디얼들, 그리고
•

$I$ 를 포함하는 $R$ 의 아이디얼들.

문제 4E.

$R$ 을 환이라 합시다.

(a)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}\to R$ 이 정확히 하나 존재함을 증명하십시오.
(b)

환 준동형사상 $\mathbb{Z}[x]\to R$ 의 개수가 $R$ 의 원소의 개수와 같음을 증명하십시오.

힌트. (b)의 경우, 준동형사상은 $\psi(x)\in R$ 의 선택에 의해 유일하게 결정됩니다

문제 4F.

^†^†margin:

힐베르트 기저 정리 정리 4.9.5를 증명하십시오.

문제 4G (USA Team Selection Test 2016).

$\mathbb{F}_{p}$ 를 고정된 소수 $p$ 를 법으로 하는 정수들이라 합시다. $\Psi\colon\mathbb{F}_{p}[x]\to\mathbb{F}_{p}[x]$ 를 다음과 같이 정의합니다.

\Psi\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{p^{i}}.

$\Psi$ 의 상을 $S$ 로 나타냅시다.

(a)

$S$ 가 다항식의 덧셈을 덧셈으로, 함수의 합성을 곱셈으로 하는 환임을 보이십시오.
(b)

그러면 $\Psi\colon\mathbb{F}_{p}[x]\to S$ 가 환 동형사상임을 증명하십시오.

문제 4H (아키즈키 정리).