장 49 아핀 평면 곡선과 사영 평면 곡선

평면 위의 몇 가지 친숙한 곡선들을 생각해 봅시다.

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  직선은 방정식 $y=ax+b$, 또는 $x=c$로 나타낼 수 있습니다.

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  원은 $-1\le x\le 1$에 대해 $y=\pm \sqrt{1-x{}^2}$의 집합으로 쓸 수 있습니다.

지금까지는 별다른 내용이 없지만, 여기 그림이 있습니다.

보시다시피, 위의 정의들은 사실 상당히 투박합니다. 곡선 위의 점들을 암묵적으로 정의함으로써 더 낫게 할 수 있습니다:

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  직선은 $ax+by+c=0$을 만족하는 $(x,y)$의 집합으로 나타낼 수 있습니다.

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  원은 $x{}^2+y{}^2=1$을 만족하는 $(x,y)$의 집합으로 나타낼 수 있습니다.

물론, 이 방식으로는 점의 좌표를 계산적으로 구하기가 더 어렵지만, 정의는 더 깔끔합니다.

요점은 다음과 같습니다:

흥미로운 곡선들 중 많은 경우가 다항식의 근의 집합으로 쓰일 수 있습니다.

그래서 우리는 여기서도 같은 것을 시도해 볼 것입니다 — 직관적으로, 복소 차원 $2$에서 시작하여 다항식 하나를 지정하면, 남은 부분은 복소 차원 $1$을 갖게 됩니다, 즉 리만 곡면이 됩니다.

먼저, 우리가 해결해야 할 기술적인 세부사항이 하나 있습니다 — 다항식의 근의 집합이 매끄러운 곡선일 필요는 없다는 점입니다.

이는 다항식에 제약을 둠으로써 쉽게 처리할 수 있습니다. $f(x,y)$를 다항식이라 하고, $X=\{(x,y)\in ℝ{}^2\mid f(x,y)=0\}$라 합시다. 그러면:

$\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$ 또는 $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$인 점 $(x,y)\in X$에서, 우리는 $X$가 $(x,y)$에서 매끄럽다 또는 비특이적이다라고 말합니다.

사실, 우리에게는 더 많은 것이 있습니다. 위와 같은 표기법으로, $(x,y)\in X$라 하면, 다음이 성립합니다:

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  $\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$이라 가정하면, 점 $(x,y)$ 근처에서 $X$는 어떤 해석적 함수 $g$에 대해 $x=g(y)$로 매개변수화될 수 있습니다.

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  $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$이라고 가정하면, 점 $(x,y)$ 근방에서 $X$는 어떤 해석 함수 $h$에 대해 $y=h(x)$로 매개변수화될 수 있습니다.

이 모든 것은 그저 음함수 정리일 뿐입니다.

$ℝ{}^2$를 $ℂ{}^2$로 바꾸어도 정확히 동일한 명제가 성립합니다.

다음으로, 근의 집합 $X$가 단순히 $ℂ{}^2$ 안의 점들의 집합이 아니라 실제로 리만 곡면이 되기를 원합니다. 따라서 $X$ 위에 적절한 해석적 구조를 찾아야 합니다.

위의 원에서 적절한 해석적 구조는 무엇일까요? 한 가지 가능한 생각은 원을 호의 길이에 따라 펼쳐서 $ℝ$ 위로 사상하는 것이지만, 리만 곡면에 대해서는 이것조차 잘 정의되지 않습니다 — 예를 들어 구면을 평면 위로 어떻게 펼치겠습니까?

또 다른 가능성은, 위의 음함수 정리의 진술을 바탕으로 다음과 같이 선언하는 것입니다:

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  $U$ 안의 모든 점에서 $\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$인 열린집합 $U\subseteq X$ 위에서, $U$가 충분히 작아서 $X$가 어떤 해석 함수 $g$에 대해 $x=g(y)$로 매개변수화될 수 있다고 가정하면, $\varphi (x,y)=\varphi (g(y),y)=y$인 사상 $\varphi$는 복소 좌표계입니다.

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  $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$인 경우도 마찬가지입니다.

가능한 복소 좌표계 하나가 아래에 그려져 있습니다. 직관적으로, 두 점 $(1,0)$과 $(-1,0)$에서 $\frac{\partial f}{\partial y}=0$이라는 사실은 이 ”$x$로의 투영” 복소 좌표계가 이 점들에서 사용될 수 없음을 반영합니다.

사실 실해석적인 경우에는 위의 두 정의가 동치입니다. 원한다면 아래 연습문제를 풀어볼 수 있습니다.

이 정의가 이미 어느 정도 자연스럽기는 하지만, 여기에는 그 이상의 것이 있습니다. 범주론에서는 대상들 사이의 사상을 연구함으로써 대상들의 성질을 연구합니다. 위의 집합 $X$는 자연스러운 사상을 가지고 있습니다 — $ℝ{}^2$로의 포함 사상이며, $ℝ{}^2$는 명백히 이미 존재하는 해석적 구조를 가지고 있습니다.

위에서 정의한 해석적 구조는 다음과 같은 의미에서 자연스럽습니다:

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  $Y\stackrel{𝑔}{\to }X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2$인 함수 $g$에 대해, $g$가 해석적인 것과 $\iota \circ g$가 해석적인 것은 동치입니다.

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  $X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2\stackrel{𝑔}{\to }Y$인 함수 $g$에 대해, $g$가 해석적인 것과 $g\circ \iota$가 해석적인 것은 동치입니다.

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  $X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2$일 때, $\iota$는 해석적이며, $\iota {}^{\prime }$이 해석적인 임의의 다른 복소 구조 $X{}^{\prime }\stackrel{\iota {}^{\prime }}{\to }ℝ{}^2$에 대해, 유일한 해석적 사상 $X{}^{\prime }\to X$가 존재합니다.

실제로 위의 각 항목은 $X$ 위의 복소 구조를 유일하게 결정합니다.

어떤 의미에서 이것은 우리의 자연스러운 해석적 구조에 대한 보편 성질과 같은 것입니다.

물론 우리는 해석적 실다양체가 무엇인지 정의하지 않았습니다. 용감한 독자는 이 모든 개념을 엄밀하게 형식화하고 위의 명제를 증명해 볼 수 있습니다.

정리해야 할 또 다른 기술적 세부사항이 있습니다. $f(x,y)=(y-1)(y-2)$의 영점 집합은 다음과 같습니다:

이는 분명히 매끄럽습니다 — 하지만 연결되어 있지 않습니다. 우리는 리만 곡면이 연결되어 있을 것을 요구했습니다.

이 두 가지 문제를 제외하면, 우리의 최종 명제는 다음과 같습니다:

어떤 의미에서 더 “휘어진” 사영평면 $ℂ\mathbb{P}{}^2$와 달리, 평면은 “평평하기” 때문에 이를 아핀이라고 부릅니다.

물론 예시가 몇 가지 있어야 할 것입니다 — 이러한 도구들을 갖추면, 우리는 (아핀) 타원곡선과 다른 아핀 곡선들을 정의할 수 있는 위치에 있습니다.

사영직선을 정의할 것입니다 — 앞으로 밝혀지겠지만, 이는 우리가 이미 정의한 리만 구 $ℂ{}_{\mathrm{\infty }}$와 동형입니다. 따라서 이 절은 단지 우리의 도구가 어떻게 작동하는지를 보여주기 위한 것일 뿐입니다.

이름에서 짐작하셨을 수도 있듯이: 점들의 집합으로서, $ℂ\mathbb{P}{}^1$은 점들의 집합 $ℂ{}^2\setminus \{0\}$을, 임의의 $\lambda \in ℂ\setminus \{0\}$에 대한 관계 $(x,y)\sim (\lambda x,\lambda y)$로 나눈 몫입니다.

위상적 복소 다양체로서는, 다행히도 여전히 쉽습니다 — $ℂ{}^2\setminus \{0\}$은 자연스러운 위상을 가지며, $ℂ\mathbb{P}{}^1$은 몫위상을 얻습니다.

리만 곡면으로서는, 일반적인 교과서적 정의는 다음과 같습니다:

그리고 이어서 두 열린집합이 실제로 $ℂ\mathbb{P}{}^1$ 전체를 덮고, 값 $y/x$가 잘 정의되며, 전이 사상이 정칙임을 증명합니다.

위의 정의는 초등적이지만 통찰을 주지는 못합니다. 복소 좌표계는 어디에서 오는 것일까요?

앞 장에서 우리가 한 작업을 고려하면, 여기서 어디로 나아가야 할지는 명백해야 합니다. 시도해 볼 만한 두 가지가 있습니다:

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  $X$를 점 $0$을 포함하지 않는 $ℂ{}^2$ 안의 아핀 평면 곡선이라 합시다. 그러면 사상 $X\hookrightarrow ℂ{}^2\twoheadrightarrow ℂ\mathbb{P}{}^1$은 어떤 특정한 도함수가 소멸하지 않는 한 동형사상이어야 합니다.

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  사상을 이용할 수도 있습니다: 복소 구조는, $Y\stackrel{𝑓}{\to }ℂ{}^2\stackrel{𝑞}{\to }ℂ\mathbb{P}{}^1$ 또는 $ℂ{}^2\stackrel{𝑞}{\to }ℂ\mathbb{P}{}^1\stackrel{𝑔}{\to }Y$가 주어졌을 때, $f$가 해석적인 것과 $q\circ f$가 해석적인 것이 동치이고, $g$가 해석적인 것과 $g\circ q$가 해석적인 것이 동치가 되도록 하는 것입니다.

둘 다 위의 정의와 동치입니다 — 사실 이 정의는 첫 번째 항목의 특수한 경우일 뿐이며, 여기서 $X$는 각각 직선 $x=1$과 $y=1$로 취해집니다. 우연히도, 이렇게 얻어지는 $2$개의 복소 좌표계는 대수적으로 가장 간단하게 쓸 수 있는 것이고, 이미 $ℂ\mathbb{P}{}^1$ 전체를 덮으므로 흔히 이것이 정의로 채택됩니다. 그러나 반드시 이 $2$개의 직선이어야 할 이유는 없습니다 — $x+y=1$과 $x-y=1$을 사용해도 무방합니다.

이번에는 아핀 평면 곡선 $X\subseteq ℂ{}^2$를 사용하는 대신, 사영 평면 곡선 $X\subseteq ℂ\mathbb{P}{}^2$를 정의하겠습니다.

“또 하나의 예시의 원천”이라는 점을 제외하면, 사영 평면 곡선에는 뚜렷한 이점이 있습니다 — 콤팩트하다는 것입니다! 이 덕분에 여러 좋은 성질들이 성립할 수 있으며, 지난 장에서 몇 가지를 살펴본 바 있습니다.

먼저 사영 평면 $ℂ\mathbb{P}{}^2$를 정의하는 것으로 시작하겠습니다. 물론 이것은 $ℂ{}^3\setminus \{0\}$을 관계 $(x,y,z)\sim (\lambda x,\lambda y,\lambda z)$로 몫을 취한 것입니다. 이는 몫사상에 의해 $ℂ{}^3$으로부터 유도되는 자연스러운 $2$차원 복소 구조를 가집니다.

위의 정의는 자연스럽지만 추상적입니다. 구체적으로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

그러면 사영 평면 곡선 $X$는 $f(x,y,z)=0$을 만족하는 점 $(x,y,z)$들의 집합으로 정의됩니다 — 마찬가지로 어떤 매끄러움 및 연결성 조건을 만족해야 합니다. 안타깝게도, 만약 다항식이 예컨대 $f(x,y,z)=x-1$이라면, 이는 잘 정의되지 않을 것입니다. 왜냐하면 $f(1,0,0)=0$이지만 $f(2,0,0)=1$이기 때문입니다. 그래서 우리는 $f$가 동차식일 것을 요구합니다 — 그렇게 하면 $f(x,y,z)$ 자체는 여전히 잘 정의되지 않지만, 적어도 $f(x,y,z)=0$인지 아닌지는 알 수 있습니다.

사영 평면 곡선 위의 복소 구조도 마찬가지로 보편 성질에 의해 정의됩니다.

이 정의는 간결하고 자연스럽지만 추상적입니다. 더 구체적인 정의는 아래에 주어집니다.

몇 가지 예시가 필요합니다.

밝혀진 바로는, 리만 구면과 달리 위의 타원 곡선으로 정의되는 리만 곡면은 종수 1을 가집니다!

우리는 리만 구면과 확실히 다른 첫 번째 예를 얻은 것입니다.

우리가 그 곡면 자체를 ”보았다”고 말하는 것은 그다지 정확하지 않습니다 — 하지만 타원 곡선을 시각화한 것과 같은 방식으로 이러한 초타원 곡선을 시각화해 볼 수 있습니다.