장 49 아핀 평면 곡선과 사영 평면 곡선

평면 위의 친숙한 곡선 몇 가지를 생각해 봅시다.

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  직선은 방정식 $y=ax+b$ 또는 $x=c$로 나타낼 수 있습니다.

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  원은 $-1\le x\le 1$에 대해 $y=\pm \sqrt{1-x{}^2}$의 집합으로 쓸 수 있습니다.

아직까지는 별다른 내용이 없지만, 그림을 하나 보여 드리겠습니다.

보시다시피 위의 정의는 사실 상당히 투박합니다. 곡선 위의 점들을 음함수적으로 정의하면 더 나은 방법을 얻을 수 있습니다.

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  직선은 $ax+by+c=0$을 만족하는 $(x,y)$의 집합으로 나타낼 수 있습니다.

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  원은 $x{}^2+y{}^2=1$을 만족하는 $(x,y)$의 집합으로 나타낼 수 있습니다.

물론 이렇게 하면 점의 좌표를 계산하기는 더 어려워지지만, 정의는 더 깔끔합니다.

요점은 다음과 같습니다.

흥미로운 곡선 중 상당수는 다항식의 근의 집합으로 쓸 수 있습니다.

그러므로 여기서도 같은 방법을 시도하겠습니다 — 직관적으로, 복소 차원 $2$에서 시작하여 다항식 하나를 지정하면 남는 부분은 복소 차원이 $1$, 즉 리만 곡면이 됩니다.

먼저 정리해야 할 기술적인 세부 사항이 있습니다 — 다항식의 근의 집합이 반드시 매끄러운 곡선인 것은 아닙니다.

이는 다항식에 제약을 두면 쉽게 해결할 수 있습니다. $f(x,y)$를 다항식이라 하고, $X=\{(x,y)\in ℝ{}^2\mid f(x,y)=0\}$라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

점 $(x,y)\in X$에서 $\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$ 또는 $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$이면, $X$가 $(x,y)$에서 매끄럽다 또는 비특이하다고 합니다.

사실 이보다 더 많은 것이 성립합니다. 위와 같은 표기에서 $(x,y)\in X$라 하면 다음이 성립합니다.

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  $\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$이라 가정하면, 점 $(x,y)$ 근처에서 $X$는 어떤 해석 함수 $g$에 대해 $x=g(y)$로 매개화할 수 있습니다.

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  $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$이라고 가정하면, 점 $(x,y)$ 근방에서 $X$는 어떤 해석 함수 $h$에 대하여 $y=h(x)$로 매개화될 수 있습니다.

이 모든 것은 음함수 정리에 불과합니다.

$ℝ{}^2$를 $ℂ{}^2$로 바꾸어도 완전히 같은 명제가 성립합니다.

다음으로, 우리는 근의 집합 $X$가 단지 $ℂ{}^2$ 안의 점들의 집합이 아니라 실제로 리만 곡면이 되기를 원합니다. 따라서 $X$ 위에 적절한 해석적 구조를 찾아야 합니다.

위의 원에서 적절한 해석적 구조는 무엇이겠습니까? 한 가지 가능한 생각은 원을 호의 길이에 따라 펼쳐서 $ℝ$ 위로 사상하는 것이지만, 리만 곡면의 경우 이것은 잘 정의되지조차 않습니다 — 예를 들어 구를 평면 위로 어떻게 펼치겠습니까?

또 다른 방법은, 위의 음함수 정리의 명제를 바탕으로 다음과 같이 선언하는 것입니다:

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  $U$의 모든 점에서 $\frac{\partial f}{\partial x}\ne 0$인 열린집합 $U\subseteq X$ 위에서, $U$가 충분히 작아서 어떤 해석 함수 $g$에 대하여 $X$가 $x=g(y)$로 매개화될 수 있다고 가정하면, $\varphi (x,y)=\varphi (g(y),y)=y$를 만족하는 사상 $\varphi$는 복소 차트입니다.

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  $\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$인 경우도 마찬가지입니다.

가능한 복소 차트 하나가 아래에 그려져 있습니다. 직관적으로, 두 점 $(1,0)$과 $(-1,0)$에서 $\frac{\partial f}{\partial y}=0$이라는 사실은 이 “$x$로 사영하는” 복소 차트를 이 점들에서 사용할 수 없다는 것을 반영합니다.

사실 실해석적인 경우에는 위의 두 정의가 동치입니다. 원한다면 아래 연습 문제를 풀어 보십시오.

이 정의는 이미 어느 정도 자연스럽지만, 여기에는 그 이상의 것이 있습니다. 범주론에서는 대상들 사이의 사상을 연구함으로써 대상의 성질을 연구합니다. 위의 집합 $X$에는 자연스러운 사상이 있습니다 — 바로 $ℝ{}^2$로의 포함 사상이며, $ℝ{}^2$에는 이미 명백한 해석적 구조가 존재합니다.

위에서 정의한 해석적 구조는 다음과 같은 의미에서 자연스럽습니다:

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  $Y\stackrel{𝑔}{\to }X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2$인 함수 $g$에 대하여, $g$가 해석적일 필요충분조건은 $\iota \circ g$가 해석적인 것입니다.

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  함수 $X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2\stackrel{𝑔}{\to }Y$에 대하여, $g$가 해석적일 필요충분조건은 $g\circ \iota$가 해석적인 것입니다.

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  $X\stackrel{𝜄}{\to }ℝ{}^2$일 때 $\iota$는 해석적이며, $\iota {}^{\prime }$이 해석적인 임의의 다른 복소 구조 $X{}^{\prime }\stackrel{\iota {}^{\prime }}{\to }ℝ{}^2$에 대하여 유일한 해석적 사상 $X{}^{\prime }\to X$가 존재합니다.

사실 각 항목은 각각 $X$ 위의 복소 구조를 유일하게 결정합니다.

어떤 의미에서 이는 우리의 자연스러운 해석적 구조에 대한 보편 성질과 같습니다.

물론 우리는 해석적 실다양체가 무엇인지 아직 정의하지 않았습니다. 용감한 독자는 이 모든 개념을 엄밀하게 형식화하고 위의 명제를 증명해 보아도 좋습니다.

해결해야 할 기술적인 세부 사항이 하나 더 있습니다. $f(x,y)=(y-1)(y-2)$의 영점 집합은 다음과 같습니다:

이것은 분명히 매끄럽습니다 — 하지만 연결되어 있지 않습니다. 우리는 리만 곡면이 연결되어 있을 것을 요구했습니다.

이 두 가지 문제를 제외하면, 우리의 최종 명제는 다음과 같습니다:

이것들을 아핀이라고 부르는 까닭은, 어떤 의미에서 더 “휘어져” 있는 사영 평면 $ℂ\mathbb{P}{}^2$와 달리 평면은 “평평”하기 때문입니다.

물론 예시가 몇 가지 있어야 합니다 — 이 도구들을 갖추었으니 이제 (아핀) 타원 곡선과 그 밖의 아핀 곡선을 정의할 수 있습니다.

사영 직선을 정의하겠습니다 — 나중에 밝혀지듯이 이것은 이미 정의한 리만 구 $ℂ{}_{\mathrm{\infty }}$와 동형입니다. 따라서 이 절은 단지 우리의 도구가 어떻게 작동하는지 보여 주기 위한 것입니다.

이름에서 짐작했겠지만, 점들의 집합으로서 $ℂ\mathbb{P}{}^1$은 점들의 집합 $ℂ{}^2\setminus \{0\}$을 임의의 $\lambda \in ℂ\setminus \{0\}$에 대한 관계 $(x,y)\sim (\lambda x,\lambda y)$로 나눈 몫입니다.

다행히 위상 복소 다양체로서도 여전히 쉽습니다 — $ℂ{}^2\setminus \{0\}$에는 자연스러운 위상이 있고, $ℂ\mathbb{P}{}^1$은 몫위상을 받습니다.

리만 곡면으로서의 일반적인 교과서 정의는 다음과 같습니다:

그리고 이어서 두 열린집합이 실제로 $ℂ\mathbb{P}{}^1$ 전체를 덮는다는 것, 값 $y/x$가 잘 정의된다는 것, 전이 사상이 정칙이라는 것 등을 증명합니다.

위의 정의는 초보적이지만 그다지 유익하지 않습니다. 복소 차트는 어디에서 오는 것입니까?

앞 장에서 한 것을 생각하면, 여기서부터 어디로 나아가야 할지는 명백할 것입니다. 시도해 볼 것은 두 가지입니다.

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  $X$를 점 $0$을 포함하지 않는 $ℂ{}^2$ 안의 아핀 평면 곡선이라고 합시다. 그러면 어떤 특정한 도함수가 소멸하지 않을 때마다 사상 $X\hookrightarrow ℂ{}^2\twoheadrightarrow ℂ\mathbb{P}{}^1$은 동형사상이어야 합니다.

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  사상을 이용할 수도 있습니다. 복소 구조는 $Y\stackrel{𝑓}{\to }ℂ{}^2\stackrel{𝑞}{\to }ℂ\mathbb{P}{}^1$ 또는 $ℂ{}^2\stackrel{𝑞}{\to }ℂ\mathbb{P}{}^1\stackrel{𝑔}{\to }Y$가 주어질 때마다, $f$가 해석적인 것과 $q\circ f$가 해석적인 것이 동치이고, $g$가 해석적인 것과 $g\circ q$가 해석적인 것이 동치가 되도록 하는 것입니다.

둘 다 위의 정의와 동치입니다 — 사실 그 정의는 첫 번째 항목에서 $X$를 각각 직선 $x=1$과 $y=1$로 택한 특수한 경우에 불과합니다. 공교롭게도 그 결과로 얻는 $2$개의 복소 차트는 대수적으로 적기에 가장 간단하며, 이미 $ℂ\mathbb{P}{}^1$ 전체를 덮으므로 흔히 이것을 정의로 삼습니다. 그러나 반드시 이 $2$개의 직선이어야 할 이유는 없습니다 — $x+y=1$과 $x-y=1$을 사용해도 무방합니다.

이번에는 아핀 평면 곡선 $X\subseteq ℂ{}^2$를 사용하는 대신, 사영 평면 곡선 $X\subseteq ℂ\mathbb{P}{}^2$를 정의하겠습니다.

“그저 또 하나의 예시 공급원”이라는 점 외에도, 사영 평면 곡선에는 두드러진 장점이 있습니다 — 콤팩트하다는 것입니다! 이 덕분에 여러 좋은 성질이 성립하며, 지난 장에서 그중 몇 가지를 보았습니다.

먼저 사영 평면 $ℂ\mathbb{P}{}^2$를 정의하는 것부터 시작합니다. 물론 이는 $ℂ{}^3\setminus \{0\}$을 관계 $(x,y,z)\sim (\lambda x,\lambda y,\lambda z)$로 나눈 몫입니다. 이것은 몫 사상에 의해 $ℂ{}^3$로부터 유도되는 자연스러운 $2$차원 복소 구조를 가집니다.

위의 정의는 자연스럽지만 추상적입니다. 구체적으로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그러면 사영 평면 곡선 $X$는 $f(x,y,z)=0$을 만족하는 점 $(x,y,z)$들의 집합으로 정의됩니다 — 이번에도 특정한 매끄러움 조건과 연결성 조건을 만족해야 합니다. 안타깝게도 다항식이 예컨대 $f(x,y,z)=x-1$이라면, $f(1,0,0)=0$이지만 $f(2,0,0)=1$이므로 잘 정의되지 않습니다. 따라서 $f$가 동차일 것을 요구합니다 — 그러면 $f(x,y,z)$는 여전히 잘 정의되지 않지만, 적어도 $f(x,y,z)=0$인지 여부는 알 수 있습니다.

사영 평면 곡선 위의 복소 구조도 마찬가지로 보편 성질에 의해 정의됩니다.

이 정의는 짧고 자연스럽지만 추상적입니다. 더 구체적인 정의는 아래에 주어져 있습니다.

몇 가지 예시가 필요합니다.

밝혀진 바에 따르면, 리만 구와 달리 위의 타원 곡선으로 정의되는 리만 곡면은 종수가 1입니다!

이로써 리만 구와 확실히 다른 첫 번째 예를 얻었습니다.

곡면 자체를 “보았다”고 말하는 것은 그다지 정확하지 않습니다 — 하지만 타원 곡선을 시각화한 것과 같은 방식으로 이 초타원 곡선들을 시각화해 볼 수 있습니다.