장 7 위상 공간

장 2에서는 공간 위에 거리를 정의하는 방식으로 공간의 개념을 도입했습니다. 이 방식으로 많은 예시와 좋은 직관을 얻을 수 있고, 열린집합과 닫힌집합을 그림으로 어떻게 그려야 하는지도 알 수 있습니다.

그러나 앞으로는 위상 공간을 오직 그 열린집합만으로 생각하기 시작하는 것이 유용합니다. (한 가지 동기는 수상한 예제 6.3.1입니다. 이 예는 위상동형사상의 개념이 어떤 면에서는 거리가 아니라 열린집합으로 표현되어야 마땅하다는 것을 보여 줍니다.) 앞으로 보겠지만, 열린집합은 우리에게 필요한 정보를 사실상 거의 모두 담고 있으면서도 더 단순합니다.¹¹1제가 굳이 거리 공간을 먼저 소개하는 이유는, 그렇지 않으면 예시들이 훨씬 덜 와닿을 것이라고 생각하기 때문입니다. 이 작업은 몇 개의 절만으로 끝나며, 그 뒤에는 위상 공간(따라서 거리 공간)에 적용할 수 있는 형용사들을 더 설명하기 시작하겠습니다.

가장 중요한 위상적 개념인 콤팩트 공간은 이 장에 빠져 있습니다. 이 개념은 매우 중요하기 때문에 그것만을 위한 별도의 장을 마련했습니다.

관심 있는 분들을 위해 간단히 덧붙이자면, “하우스도르프”, “연결”, 그리고 나중에 나올 “콤팩트”라는 형용사는 모두 절대 형용사입니다.

7.1 거리 잊기

정리 2.6.11을 떠올려 봅시다.

거리 공간 사이의 함수 $f\colon M\to N$ 이 연속일 필요충분조건은 $N$ 의 모든 열린집합의 역상이 $M$ 에서 열린집합인 것입니다.

이것은 거리 공간의 맥락에서 정의했음에도 거리를 전혀 언급하지 않고 오직 열린집합만을 언급한다는 좋은 성질이 있습니다. 이 장의 서두에서 암시했듯이, 이는 처음에 거리가 있었다는 사실을 잊어버리고 대신 열린집합에서 출발할 수 있다는 것에 대한 훌륭한 동기가 됩니다.

정의 7.1.1.

위상 공간은 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$ 입니다. 여기서 $X$ 는 점들의 집합이고, $\mathcal{T}$ 는 위상으로, $X$ 의 열린집합이라 불리는 $X$ 의 여러 부분집합으로 이루어져 있습니다. 위상은 다음 공리를 만족해야 합니다.

•

$\varnothing$ 과 $X$ 는 모두 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.
•

열린집합들의 유한 교집합도 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.
•

열린집합들의 임의의 (무한할 수도 있는) 합집합도 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.

즉 이번에는 열린집합이 주어집니다. 거리를 정의하고 그 거리로부터 열린집합을 얻는 대신, 오직 열린집합에서 출발합니다.

표기의 남용 7.1.2.

$(X,\mathcal{T})$ 를 간단히 $X$ 로 줄여 쓰고, 위상 $\mathcal{T}$ 는 암묵적으로 남겨 둡니다. (여기서 어떤 패턴이 보이십니까?)

예제 7.1.3 (위상의 예).

(a)

거리 공간 $M$ 이 주어지면, $\mathcal{T}$ 를 거리의 의미에서의 열린집합들로 둘 수 있습니다. 요점은 이것이 공리들을 만족한다는 것입니다.
(b)

특히, 이산 공간은 모든 집합이 열린집합인 위상 공간입니다. (왜 그렇습니까?)
(c)

$X$ 가 주어지면, $\mathcal{T}=\left\{\varnothing,X\right\}$ 로 둘 수 있습니다. 이는 이산 공간과 정반대의 극단입니다.

이제 거리 공간에서의 정의들을 옮겨 올 수 있습니다.

정의 7.1.4.

점 $x\in X$ 의 열린 근방²²2문헌에서 “근방”은 $x$ 주위의 어떤 열린집합을 포함하는 집합을 가리킵니다. 우리는 이 용어를 사용하지 않고, 오로지 “열린 근방”만을 사용하겠습니다.은 $x$ 를 포함하는 열린집합 $U$ 입니다(그림 참조).

표기의 남용 7.1.5.

확실히 해 두자면, “열린 근방”이란 $x$ 를 포함하는 임의의 열린집합을 뜻합니다. 그러나 “ $r$ -근방”이라고 하면 항상 $x$ 로부터의 거리가 $r$ 미만인 점들을 뜻하며, 따라서 이 용어는 공간이 거리 공간일 때만 사용할 수 있습니다.

7.2 재정의

이제 위상 공간을 정의했으므로, 거리 공간의 개념 거의 모두에 대해 열린집합만을 필요로 하는 형태를 정의로 삼아 적을 수 있습니다(물론 이 정의는 거리 공간에서는 기존의 정의와 일치합니다).

7.2.1 연속성

동기가 되었던 예는 연속성이었습니다:

정의 7.2.1.

위상 공간 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $f(p)$ 의 임의의 열린 근방의 역상이 $p$ 의 열린 근방을 포함하면 $f$ 가 점 $p\in X$ 에서 연속이라고 합니다. 함수가 모든 점에서 연속이면 그 함수는 연속이라고 합니다.

따라서 위상동형사상도 그대로 옮겨 올 수 있습니다. 위상동형사상은 양방향으로 연속인 전단사입니다.

정의 7.2.2.

위상 공간 $(X,\tau_{X})$ 와 $(Y,\tau_{Y})$ 의 위상동형사상은 $\tau_{X}$ 에서 $\tau_{Y}$ 로의 전단사를 유도하는 전단사 $f\colon X\to Y$ 입니다. 즉 이 전단사는 열린집합을 보존합니다.

질문 7.2.3.

이것이 $f$ 와 그 역함수가 모두 연속이라는 것과 동치임을 보이십시오.

따라서 열린집합만으로 정의되는 성질은 모두 위상동형사상에 의해 보존됩니다. 이러한 성질을 위상적 성질이라고 합니다. 앞으로 정의할 형용사들(“연결”, “하우스도르프”, “콤팩트”)은 모두 열린집합만으로 정의되므로 위상적 성질이 됩니다.

7.2.2 닫힌집합

지난번에 닫힌집합에 대해 동치인 정의가 두 가지 있음을 보았는데, 그중 하나는 열린집합에만 의존하므로 이것을 사용합니다:

정의 7.2.4.

일반적인 위상 공간 $X$ 에서, 여집합 $X\setminus S$ 가 $X$ 에서 열려 있으면 $S\subseteq X$ 가 $X$ 에서 닫혀 있다고 합니다.

$S\subseteq X$ 가 임의의 집합일 때, $\overline{S}$ 로 나타내는 $S$ 의 폐포는 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합으로 정의합니다.

따라서 일반적인 위상 공간에서 열린집합과 닫힌집합은 같은 정보를 담고 있으며, 모든 것을 열린집합으로 정의할지 닫힌집합으로 정의할지는 전적으로 취향의 문제입니다. 특히 열린집합의 공리와 성질을 닫힌집합의 것으로 옮길 수 있습니다:

질문 7.2.5.

닫힌집합들의 (무한할 수도 있는) 교집합은 닫혀 있고, 유한 개의 닫힌집합의 합집합도 닫혀 있음을 보이십시오. (여집합을 살펴보십시오.)

연습문제 7.2.6.

함수가 연속일 필요충분조건은 모든 닫힌집합의 역상이 닫힌집합인 것임을 보이십시오.

수학자들은 열린집합을 더 좋아하기로 합의한 듯합니다.

7.2.3 옮겨 오지 않는 성질

모든 것이 통하지는 않습니다:

비고 7.2.7 (완비성과 (완전)유계성은 거리 성질입니다).

지금까지 살펴본 두 가지 거리 성질인 “완비”와 “(완전)유계”는 위상적 성질이 아닙니다. 이들은 거리에 의존하므로, 지금 쓰인 형태로는 위상 공간에 적용할 수 없습니다. (“연속함수”의 경우에서 보았던 것처럼) 열린집합만을 바탕으로 하는 다른 정의가 혹시 있지 않을까 기대해 볼 수도 있습니다. 그러나 $(0,1)\cong\mathbb{R}$ 임을 보인 예제 6.3.1는 그것이 가망 없는 일임을 알려 줍니다.

비고 7.2.8 (수열은 잘 통하지 않습니다).

수열과 수렴하는 수열의 개념을 옮겨 오려고 시도해 볼 수도 있습니다. 그러나 그렇게 하면 바람직한 성질이 많이 깨진다는 것이 밝혀집니다. 따라서 굳이 그렇게 하지 않을 것이며, 수열을 논할 때는 거리 공간에서 다루고 있다고 가정하십시오.

7.3 하우스도르프 공간

대표적인 예: 자리스키 위상(훨씬 나중에 정의합니다)이 아닌 모든 공간입니다.

짐작하셨겠지만, 거리 공간으로 실현할 수 없는(다시 말해 거리화 가능하지 않은) 위상 공간이 존재합니다. 한 가지 예는 단순히 $X=\{a,b,c\}$ 와 위상 $\tau_{X}=\left\{\varnothing,\{a,b,c\}\right\}$ 를 택하는 것입니다. 이 위상은 꽤 “멍청”합니다. 점 $a$ , $b$ , $c$ 중 어느 것도 서로 구별하지 못합니다! 하지만 모든 거리 공간은 자신의 점들을 구별할 수 있습니다( $x\neq y$ 이면 $d(x,y)>0$ 이기 때문입니다).

덜 자명한 예는 나중에 보겠지만, 지금은 공간에 약간의 건전성 조건을 더하고자 합니다. 이러한 공리에는 정수 $n$ 에 대해 $T_{n}$ 으로 표기되는 계층 전체가 있으며( $n=0$ 이 가장 약하고 $n=6$ 이 가장 강합니다), 이 공리들을 분리 공리라고 합니다.

단연 가장 흔한 가정은 $T_{2}$ 공리이며, 이 공리에는 특별한 이름이 붙어 있습니다.

정의 7.3.1.

위상 공간 $X$ 의 서로 다른 임의의 두 점 $p$ 와 $q$ 에 대하여 $p$ 의 열린 근방 $U$ 와 $q$ 의 열린 근방 $V$ 가 존재하여 다음을 만족하면, $X$ 를 하우스도르프 공간이라고 합니다.

U\cap V=\varnothing.

다시 말해, 서로 다른 임의의 두 점 주위에 서로소인 열린 근방을 그릴 수 있어야 합니다. 위 내용에 맞는 그림이 여기 있지만, 특별한 것은 없습니다.

질문 7.3.2.

모든 거리 공간이 하우스도르프임을 보이십시오.

이 단어를 나중에 쓰기 위해 여기서 정의해 두려는 것뿐입니다. 어쨌든 자리스키 위상을 제외하면, 우리가 만날 공간은 사실상 모두 하우스도르프입니다.

7.4 부분공간

대표적인 예: $S^{1}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간입니다.

일반적인 위상 공간에서도 부분공간을 취할 수 있습니다.

정의 7.4.1.

위상 공간 $X$ 와 부분집합 $S\subseteq X$ 가 주어졌을 때, $S$ 의 열린 부분집합을 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대한 $U\cap S$ 로 선언하면 $S$ 를 위상 공간으로 만들 수 있습니다. 이를 부분공간 위상이라고 합니다.

예를 들어 $S^{1}$ 을 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간으로 보면, 모든 열린 호는 열린집합입니다. 열린 호를 열린 원판과 $S^{1}$ 의 교집합으로 볼 수 있기 때문입니다.

말할 필요도 없이, 거리 공간에서는 이 정의 중 어느 것을 택하든 상관없습니다. (이를 증명하는 일은 의외로 번거롭기 때문에 생략하겠습니다.)

7.5 연결 공간

대표적인 예: $[0,1]\cup[2,3]$ 은 비연결입니다.

거리 공간에서도 어떤 집합이 열려 있으면서 동시에 닫혀 있을 수 있습니다.

정의 7.5.1.

위상 공간 $X$ 의 부분집합 $S$ 가 $X$ 에서 닫혀 있으면서 동시에 열려 있으면 $S$ 를 열린닫힌집합이라고 합니다. (동치로, $S$ 와 그 여집합이 모두 열려 있다는 뜻입니다.)

예를 들어 $\varnothing$ 과 전체 공간은 열린닫힌집합의 예입니다. 사실 이 둘 이외의 자명하지 않은 열린닫힌집합이 존재하면 이른바 비연결 공간이 됩니다.

질문 7.5.2.

공간 $X$ 가 자명하지 않은 열린닫힌집합( $\varnothing$ 과 $X$ 이외의 것)을 가질 필요충분조건은 $X$ 를 공집합이 아닌 두 열린집합의 서로소 합집합으로 쓸 수 있는 것임을 보이십시오.

자명하지 않은 열린닫힌집합이 존재하면 $X$ 를 비연결이라 하고, 그렇지 않으면 연결이라고 합니다. 이것이 왜 합리적인 정의인지 이해하려면 문제 7A를 풀어 보는 것이 도움이 될 수 있습니다.

예제 7.5.3 (비연결 공간과 연결 공간).

(a)

거리 공간

$\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup\{(x,y)\mid(x-4)^{2}+y^{2}\leq 1\}\subseteq% \mathbb{R}^{2}$

은 비연결입니다(두 개의 원판으로 이루어져 있습니다).
(b)

공간 $[0,1]\cup[2,3]$ 은 비연결입니다. 이 공간은 두 선분으로 이루어져 있으며, 각 선분은 열린닫힌집합입니다.
(c)

두 개 이상의 점으로 이루어진 이산 공간은 비연결입니다. 이산 공간에서는 모든 집합이 열린닫힌집합이기 때문입니다.
(d)

다음 집합이

$\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x^{2}<2014\right\}$

는 $\mathbb{Q}$ 의 열린닫힌집합인 부분집합입니다. 따라서 $\mathbb{Q}$ 도 연결되어 있지 않습니다. 즉, $\mathbb{Q}$ 에는 틈이 있습니다.
(e)

$[0,1]$ 은 연결 공간입니다.

7.6 경로 연결 공간

대표적인 예: $\mathbb{C}$ 안에서 돌아다니기.

연결 공간보다 더 강하고 어쩌면 더 직관적인 개념은 경로 연결 공간입니다. 한마디로 말하면 “공간 안에서 돌아다니기”입니다.

정의 7.6.1.

공간 $X$ 안의 경로는 다음과 같은 연속함수입니다.

\gamma\colon[0,1]\to X.

경로의 끝점은 두 점 $\gamma(0)$ 과 $\gamma(1)$ 입니다.

$[0,1]$ 은 “시간”을 재는 것으로 생각할 수 있으므로, $t\in[0,1]$ 에 대해 $\gamma(t)$ 로 자주 쓰겠습니다( $t$ 는 “시간”을 뜻합니다). 다음은 경로를 나타낸 그림입니다.

질문 7.6.2.

이것이 “경로”에 대한 여러분의 직관적인 개념과 일치하는 이유는 무엇입니까?

정의 7.6.3.

공간 $X$ 의 임의의 두 점이 어떤 경로로 이어지면 $X$ 를 경로 연결 공간이라고 합니다.

연습문제 7.6.4 (경로 연결이면 연결).

$X=U\sqcup V$ 가 연결되지 않은 공간이라고 합시다. $U$ 의 점에서 $V$ 의 점으로 가는 경로가 존재하지 않음을 보이십시오. ( $\gamma\colon[0,1]\to X$ 이면 $[0,1]=\gamma^{\text{pre}}(U)\sqcup\gamma^{\text{pre}}(V)$ 를 얻지만, $[0,1]$ 은 연결 공간입니다.)

예제 7.6.5 (경로 연결 공간의 예).

•

$\mathbb{R}^{2}$ 는 임의의 두 점을 직선으로 “이을” 수 있으므로 경로 연결 공간입니다.
•

단위원 $S^{1}$ 은 두 점을 잇는 우호나 열호를 그리기만 하면 되므로 경로 연결 공간입니다.

7.7 호모토피와 단순 연결 공간

대표적인 예: $\mathbb{C}$ 와 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ .

이제 호모토피라는 개념이 왜 필요한지 살펴봅시다. 복소평면 $\mathbb{C}$ (그냥 $\mathbb{R}^{2}$ 로 생각해도 됩니다)와 그 위의 두 점 $p$ , $q$ 를 예로 생각해 봅시다. $p$ 에서 $q$ 로 가는 경로는 아주 많지만, 어쩐지 서로 크게 다르지 않습니다. 제가 “ $p$ 에서 $q$ 로 걸어가십시오”라고 말한다면 여러분은 별로 물어볼 것이 없을 것입니다.

그렇게 $\mathbb{C}$ 에서 행복하게 살고 있었는데, 운석이 원점에 떨어져 원점을 날려 버렸습니다. 그러자 갑자기 $p$ 에서 $q$ 로 가는 방법에 대해 사람들이 서로 다른 두 가지를 말할 수 있게 됩니다. “운석의 왼쪽으로 돌아가십시오” 또는 “운석의 오른쪽으로 돌아가십시오”.

무슨 일이 일어난 것입니까? 첫 번째 그림에서 빨간색, 초록색, 파란색 경로는 어쩐지 모두 같아 보였습니다. 이 경로들을 $p$ 와 $q$ 에 고정된 고무줄로 상상하면, 각 줄을 늘여서 다른 어떤 줄과도 겹치게 할 수 있습니다.

그러나 두 번째 그림에서는 빨간 끈을 움직여 파란 끈과 일치시킬 수 없습니다. 유성이 가로막고 있기 때문입니다. 두 경로는 실제로 서로 다릅니다.³³3감김수에 대해 알고 있다면 이것이 익숙하게 느껴질 수도 있습니다. 이에 대해서는 기본군에 관한 장에서 더 이야기하겠습니다.

이를 포착하기 위해 사용할 형식적인 개념은 호모토피 동치입니다. 첫 번째 그림의 세 경로는 모두 호모토픽하지만, 두 번째 그림의 두 경로는 어떤 의미에서 호모토픽하지 않도록 정의를 쓰고자 합니다. 그리고 그 아이디어는 단지 연속적인 변형입니다.

정의 7.7.1.

$\alpha$ 와 $\beta$ 를 끝점이 일치하는 $X$ 안의 경로라고 합시다. $\alpha$ 에서 $\beta$ 로 가는 (경로) 호모토피란 연속함수 $F\colon[0,1]^{2}\to X$ 로서(이를 $s,t\in[0,1]$ 에 대하여 $F_{s}(t)$ 로 쓰겠습니다) 다음을 만족하는 것입니다.

F_{0}(t)=\alpha(t)\text{그리고}F_{1}(t)=\beta(t)\text{모든 $t\in[0,1]$에 대하여}

그리고 더 나아가

\alpha(0)=\beta(0)=F_{s}(0)\text{그리고}\alpha(1)=\beta(1)=F_{s}(1)\text{모든 $s\in% [0,1]$에 대하여}.

경로 호모토피가 존재하면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 경로 호모토픽하다고 하며, $\alpha\simeq\beta$ 로 씁니다.

표기의 남용 7.7.2.

두 경로 사이의 이 관계를 엄밀하게는 “경로 호모토피”라고 해야 하지만, 대신 줄여서 그냥 “호모토피”라고 하겠습니다. 마찬가지로 “경로 호모토픽”도 줄여서 “호모토픽”이라고 하겠습니다.

애니메이션: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:HomotopySmall.gif. 말할 필요도 없이 $\simeq$ 는 동치 관계입니다.

이 정의는 끝점을 고정한 채로 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 “연속적으로 변형”하는 것입니다. 각각의 특정한 $s$ 에 대해 $F_{s}$ 자체가 하나의 함수라는 점에 유의하십시오. 따라서 $s$ 는 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 변형하는 동안의 시간을 나타냅니다. $s$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 움직이며, $\alpha$ 에서 시작하여 $\beta$ 에서 끝납니다.

질문 7.7.3.

위의 정의가 올바르다는 것을 스스로 납득하십시오. 운석이 떨어지면 무엇이 잘못됩니까?

이제 $\mathbb{C}$ 를 특별하게 만드는 것이 무엇인지 말씀드릴 수 있습니다.

정의 7.7.4.

공간 $X$ 가 경로 연결이고 임의의 점 $p$ 와 $q$ 에 대해 $p$ 에서 $q$ 로 가는 모든 경로가 서로 호모토픽하면, $X$ 를 단순 연결이라고 합니다.

그래서 $\mathbb{C}$ 에서 $p$ 에서 $q$ 로 걸어갈 때는 따로 물어볼 것이 없습니다. 걸어가는 방법이 사실상 하나뿐이기 때문입니다. 이것이 “단순” 연결이라는 용어가 붙은 이유입니다.

질문 7.7.5.

모든 $n$ 에 대해 $\mathbb{R}^{n}$ 이 단순 연결임을 스스로 납득하십시오.

7.8 공간의 기저

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 는 열린구간들로 이루어진 기저를 가지며, $\mathbb{R}^{2}$ 는 열린 원판들로 이루어진 기저를 가집니다.

$\mathbb{R}$ 의 열린집합은 기술하기가 조금 번거롭다는 것을 눈치채셨을 수도 있습니다. 열린집합의 전형적인 예는 $(0,1)$ 이지만, 다음과 같은 다른 열린집합도 있습니다

(0,1)\cup\left(1,\frac{3}{2}\right)\cup\left(2,\frac{7}{3}\right)\cup(2014,201% 5).

질문 7.8.1.

이것이 열린집합임을 확인하십시오.

하지만 이것이 그렇게까지 다르지는 않습니다. 제가 한 일은 전형적인 예 여러 개를 가져와서 $\cup$ 기호를 잔뜩 붙인 것뿐입니다. 그리고 이것이 기저의 기본 아이디어입니다.

정의 7.8.2.

위상 공간 $X$ 의 기저란 열린집합들의 부분집합 $\mathcal{B}$ 로서, $X$ 의 모든 열린집합이 $\mathcal{B}$ 의 원소 몇 개(무한히 많을 수도 있음)의 합집합이 되는 것을 말합니다.

그리고 우리가 말하는 것은 다음이 전부입니다.

예제 7.8.3 ( $\mathbb{R}$ 의 기저).

열린구간들은 $\mathbb{R}$ 의 기저를 이룹니다.

사실 더 일반적으로 다음이 성립합니다.

정리 7.8.4 (거리 공간의 기저).

$r$ -근방들은 임의의 거리 공간 $M$ 의 기저를 이룹니다.

증명.

다소 싱거운 증명입니다 – 열린집합 $U$ 가 주어지면, $U$ 안의 모든 점 $p$ 에 대해 $U$ 안에 완전히 포함되는 $r_{p}$ -근방 $U_{p}$ 를 그리십시오. 그러면 $\bigcup_{p}U_{p}$ 는 $U$ 에 포함되며 $U$ 안의 모든 점을 덮습니다. ∎

따라서 $\mathbb{R}^{2}$ 의 열린집합은 열린 원판 여러 개의 합집합에 지나지 않으며, 다른 경우도 마찬가지입니다. 요점은 거리 공간에서 정말로 크게 신경 써야 하는 열린집합은 $r$ -근방뿐이라는 것입니다.

7.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 7A.

$X$ 를 위상 공간이라고 합시다. 상수가 아닌 연속함수 $X\to\{0,1\}$ 가 존재할 필요충분조건은 $X$ 가 비연결인 것임을 보이십시오(여기서 $\{0,1\}$ 에는 이산 위상을 줍니다).

문제 7B.

$X$ 와 $Y$ 를 위상 공간이라 하고 $f\colon X\to Y$ 를 연속함수라고 합시다.

(a)

$X$ 가 연결이면 $f^{\text{img}}(X)$ 도 연결임을 보이십시오.
(b)

$X$ 가 경로 연결이면 $f^{\text{img}}(X)$ 도 경로 연결임을 보이십시오.

문제 7C (하우스도르프 공간은 $T_{1}$ 공리를 만족합니다).

$X$ 를 하우스도르프 위상 공간이라고 합시다. 임의의 점 $p\in X$ 에 대해 집합 $\{p\}$ 가 닫힌집합임을 증명하십시오.

문제 7D ([PUG02], 연습문제 2.56).

$M$ 을 점이 둘 이상이면서 많아야 가산 무한 개인 거리 공간이라고 합시다. $M$ 이 비연결임을 보이십시오.

힌트. $p$ 를 임의의 점이라고 합시다. 어떤 실수 $r$ 가 존재하여 모든 $q\in M$ 에 대해 $d(p,q)\neq r$ 이면, $p$ 의 $r$ -근방은 열린닫힌집합입니다.

문제 7E.

$X$ 를 위상 공간이라고 합시다. 점 $p\in X$ 의 연결 성분은 연결이면서 $p$ 를 포함하는 모든 부분공간 $S\subseteq X$ 의 합집합입니다.

(a)

한 점의 연결 성분은 반드시 그 자체로 연결입니까?
(b)

한 점의 연결 성분은 반드시 $X$ 의 열린 부분집합입니까?

힌트. (a)의 답은 ’예’이고, (b)의 답은 거리 공간에 대해서도 ’아니요’입니다. 실제로 완전 비연결 공간이란 모든 연결 성분이 단 하나의 점으로만 이루어진 공간이며, 이산 위상이 아닌 위상을 가지는 완전 비연결 거리 공간의 예가 존재합니다.

풀이. (a)는 간단합니다. 모순을 이끌어내기 위해 $p$ 의 연결 성분이 $X$ 에서 열린 두 공집합이 아닌 집합의 서로소 합집합 $U\sqcup V$ 라고 가정합시다. 일반성을 잃지 않고 $p\in U$ 라고 가정합니다. $S$ 를 $p$ 를 포함하는 부분공간 중 $V$ 와 교차하는 것 하나라고 합시다. 그러면 $S=(S\cap U)\sqcup(S\cap V)$ 는 $S$ 를 $S$ 에서 열린 두 집합의 서로소 합집합으로 다시 쓴 것이 되어, $S$ 의 연결성에 모순됩니다.

(다만 $S$ 가 반드시 $X$ 에서 열린 것은 아니므로, 집합 $S\cap U$ 와 $S\cap V$ 역시 반드시 $X$ 에서 열린 것은 아니라는 점에 유의하십시오.)

(b)의 경우, 칸토어 집합이나 $p$ 진수와 같은 임의의 완전 비연결 공간을 택하면 반례가 됩니다.

문제 7F (퍼스텐버그).

$\mathbb{Z}$ 의 부분집합이 등차수열 $\left\{a+nd\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$ 들의 합집합(공집합이거나 무한 합집합일 수도 있습니다)이면 그 부분집합을 열린집합이라고 선언합니다. 여기서 $a$ 와 $d$ 는 양의 정수입니다.

(a)

이것이 $\mathbb{Z}$ 위의 위상을 이룸을 확인하십시오. 이 위상을 등간격 정수 위상이라고 합니다.
(b)

소수 $p$ 에 대해 $\bigcup_{p}p\mathbb{Z}$ 를 고려하여 소수가 무한히 많음을 증명하십시오.

힌트. 각 $p$ 에 대해 $p\mathbb{Z}$ 는 닫힌집합임에 유의하십시오. 소수가 유한 개라면 $\bigcup p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\setminus\{-1,1\}$ 은 닫힌집합이어야 합니다. 즉 $\{-1,1\}$ 이 열린집합이어야 하지만, 여기서 모든 열린집합은 무한집합입니다.

문제 7G.

^†^†margin:

$\mathbb{Z}$ 위의 등간격 정수 위상이 거리화 가능함을 증명하십시오. 다시 말해, $\mathbb{Z}$ 를 거리 공간으로 만들되 그 열린집합이 위에서 기술한 것들과 같아지도록 하는 거리 $d\colon\mathbb{Z}^{2}\to\mathbb{R}$ 를 줄 수 있음을 보이십시오.

힌트. $0$ 을 중심으로 하는 공은 $n!\cdot\mathbb{Z}$ 꼴이어야 합니다.

풀이. $d(x,y)=2017^{-n}$ 으로 둡시다. 여기서 $n$ 은 $n!$ 이 $\left\lvert x-y\right\rvert$ 를 나누는 가장 큰 정수입니다.

문제 7H.