장 7 위상 공간

장 2에서 우리는 공간 위에 거리를 정의함으로써 공간이라는 개념을 소개했습니다. 이는 여러분에게 많은 예시와 좋은 직관을 제공하며, 열린집합과 닫힌집합의 그림을 어떻게 그려야 하는지 알려줍니다.

하지만 앞으로 나아가면서, 위상 공간을 오직 그것의 열린집합만으로 생각하기 시작하는 것이 유용할 것입니다. (한 가지 동기는, 우리의 수상쩍은 예제 6.3.1가 어떤 면에서는 위상동형사상 개념이 실제로는 거리가 아니라 열린집합의 관점에서 서술되기를 원한다는 것을 보여준다는 점입니다.) 앞으로 보게 되겠지만, 열린집합은 우리가 필요로 하는 정보의 거의 전부를 실제로 유지하면서도 더 단순합니다.¹¹1제가 거리 공간을 먼저 고집스럽게 소개하는 이유는, 그렇지 않으면 예시들이 훨씬 덜 이해될 것이라고 생각하기 때문입니다. 이는 단 몇 개의 절에서 이루어질 것이며, 그 후 우리는 위상 공간(따라서 거리 공간)에 적용할 수 있는 더 많은 형용사들을 서술하기 시작할 것입니다.

이 장에는 가장 중요한 위상 개념이 빠져 있습니다: 바로 콤팩트 공간이라는 개념입니다. 이는 너무나 중요해서 저는 이를 위해 별도의 장을 하나 할애했습니다.

관심 있는 분들을 위한 간단한 참고 사항: ”하우스도르프”, ”연결”, 그리고 나중에 나올 ”콤팩트”라는 형용사들은 모두 절대 형용사입니다.

7.1 거리를 잊기

정리 2.6.11을 상기해 봅시다:

거리 공간 사이의 함수 $f\colon M\to N$ 이 연속이라는 것은 $N$ 의 모든 열린집합의 원상이 $M$ 에서 열려 있다는 것과 동치입니다.

우리가 이를 거리 공간이라는 맥락에서 정의했음에도 불구하고, 이는 흥미롭게도 거리를 전혀 언급하지 않고 오직 열린집합만을 언급합니다. 이 장의 시작 부분에서 암시했듯이, 이는 우리가 애초에 거리를 가지고 있었다는 사실을 어떻게 잊어버리고, 대신 열린집합에서부터 시작할 수 있는지에 대한 훌륭한 동기가 됩니다.

정의 7.1.1.

위상 공간은 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$ 이며, 여기서 $X$ 는 점들의 집합이고, $\mathcal{T}$ 는 위상으로서 $X$ 의 여러 부분집합들로 이루어져 있으며, 이들은 $X$ 의 열린집합이라고 불립니다. 위상은 다음 공리들을 만족해야 합니다.

•

$\varnothing$ 과 $X$ 는 모두 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.
•

열린집합들의 유한 교집합도 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.
•

열린집합들의 임의의 (아마도 무한한) 합집합도 $\mathcal{T}$ 에 속합니다.

그래서 이번에는 열린집합이 주어집니다. 거리를 정의하고 그 거리로부터 열린집합을 얻는 대신, 우리는 오직 열린집합에서부터 시작합니다.

표기의 남용 7.1.2.

우리는 $(X,\mathcal{T})$ 를 그냥 $X$ 로 줄여 쓰며, 위상 $\mathcal{T}$ 는 암묵적으로 남겨둡니다. (여기서 어떤 패턴이 보이십니까?)

예제 7.1.3 (위상의 예시).

(a)

거리 공간 $M$ 이 주어지면, 우리는 $\mathcal{T}$ 를 거리적 의미에서의 열린집합들로 둘 수 있습니다. 요점은 공리들이 만족된다는 것입니다.
(b)

특히, 이산 공간은 모든 집합이 열려 있는 위상 공간입니다. (왜 그럴까요?)
(c)

$X$ 가 주어지면, 우리는 $\mathcal{T}=\left\{\varnothing,X\right\}$ 로 둘 수 있으며, 이는 이산 공간과 정반대의 극단입니다.

이제 우리는 거리에 대한 정의들을 옮겨올 수 있습니다.

정의 7.1.4.

점 $x\in X$ 의 열린 근방²²2문헌에서 ”근방”은 $x$ 주위의 어떤 열린집합을 포함하는 집합을 가리킵니다. 우리는 이 용어를 사용하지 않고, 오로지 ”열린 근방”만을 사용하겠습니다.은 $x$ 를 포함하는 열린집합 $U$ 입니다 (그림 참조).

표기의 남용 7.1.5.

완전히 명확히 하자면: ”열린 근방”이라고 할 때 저는 $x$ 를 포함하는 임의의 열린집합을 의미합니다. 하지만 ” $r$ -근방”이라고 할 때 저는 항상 $x$ 로부터 거리가 $r$ 보다 작은 점들을 의미하며, 따라서 이 용어는 제 공간이 거리 공간일 때만 사용할 수 있습니다.

7.2 재정의

이제 우리가 위상 공간을 정의했으므로, 거의 모든 거리 개념들에 대해 오직 열린집합만을 필요로 하는 정의를 적어낼 수 있습니다 (이는 물론 우리가 거리 공간을 다룰 때 기존의 정의들과 일치할 것입니다).

7.2.1 연속성

우리의 동기가 된 예시는 연속성이었습니다:

정의 7.2.1.

위상 공간 $f\colon X\to Y$ 가 점 $p\in X$ 에서 연속이라는 것은 $f(p)$ 의 임의의 열린 근방의 원상이 $p$ 의 열린 근방을 포함할 때를 말합니다. 함수가 모든 점에서 연속이면 그 함수는 연속입니다.

따라서 동형사상의 개념도 옮겨집니다: 양방향으로 연속인 전단사입니다.

정의 7.2.2.

위상 공간 $(X,\tau_{X})$ 와 $(Y,\tau_{Y})$ 의 동형사상(homeomorphism)이란 $\tau_{X}$ 에서 $\tau_{Y}$ 로의 전단사를 유도하는 전단사 $f\colon X\to Y$ 입니다: 즉 이 전단사가 열린집합을 보존합니다.

질문 7.2.3.

이것이 $f$ 와 그 역함수가 둘 다 연속인 것과 동치임을 보이십시오.

따라서 열린집합만으로 정의된 성질은 모두 동형사상에 의해 보존됩니다. 이러한 성질을 위상적 성질(topological property)이라고 부릅니다. 이후 우리가 정의할 형용사들(“연결”(connected), “하우스도르프”(Hausdorff), “콤팩트”(compact))은 모두 열린집합만으로 정의될 것이므로, 위상적 성질이 될 것입니다.

7.2.2 닫힌집합

지난 시간에 닫힌집합에 대한 동치인 두 정의가 있음을 보았는데, 그중 하나는 오직 열린집합에만 의존하며, 우리는 그것을 사용합니다:

정의 7.2.4.

일반적인 위상 공간 $X$ 에서, $S\subseteq X$ 가 $X$ 에서 닫혀 있다(closed)고 하는 것은 여집합 $X\setminus S$ 가 $X$ 에서 열려 있을 때를 말합니다.

$S\subseteq X$ 가 임의의 집합일 때, $S$ 의 폐포(closure), $\overline{S}$ 로 표기하는 것은 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합으로 정의됩니다.

따라서 일반적인 위상 공간에서 열린집합과 닫힌집합은 같은 정보를 담고 있으며, 모든 것을 열린집합으로 정의하든 닫힌집합으로 정의하든 전적으로 취향의 문제입니다. 특히 열린집합의 공리와 성질들을 닫힌집합의 것으로 옮길 수 있습니다:

질문 7.2.5.

닫힌집합들의 (무한할 수도 있는) 교집합은 닫혀 있는 반면, 유한 개의 닫힌집합들의 합집합도 닫혀 있음을 보이십시오. (여집합을 살펴보십시오.)

연습문제 7.2.6.

함수가 연속인 것과 모든 닫힌집합의 원상이 닫혀 있는 것이 동치임을 보이십시오.

수학자들은 열린집합을 더 좋아하기로 합의한 듯합니다.

7.2.3 옮겨지지 않는 성질들

모든 것이 통하지는 않습니다:

비고 7.2.7 (완비성과 (전)유계성은 거리 공간의 성질입니다).

우리가 살펴본 두 가지 거리 공간의 성질, “완비”(complete)와 “(전)유계”((totally) bounded)는 위상적 성질이 아닙니다. 이것들은 거리에 의존하므로, 쓰인 그대로는 위상 공간에 적용할 수 없습니다. 어쩌면 (“연속 함수”에서 본 것처럼) 순전히 열린집합에 기반한 대체 정의가 있지 않을까 기대할 수도 있습니다. 하지만 $(0,1)\cong\mathbb{R}$ 임을 보이는 예제 6.3.1는 그것이 가망 없음을 말해줍니다.

비고 7.2.8 (수열은 잘 통하지 않습니다).

수열과 수렴하는 수열의 개념도 옮겨보려 시도할 수 있을 것입니다. 그러나 이는 여러 바람직한 성질들을 깨뜨리는 것으로 드러납니다. 따라서 저는 굳이 그렇게 하지 않을 것이며, 수열에 대해 논의할 때는 우리가 거리 공간을 다루고 있다고 가정해야 합니다.

7.3 하우스도르프 공간

대표적인 예: 자리스키 위상(훨씬 나중에 정의됨)이 아닌 모든 공간.

예상하셨을 수도 있듯이, 거리 공간으로 실현될 수 없는(다시 말해, 거리화 가능(metrizable)하지 않은) 위상 공간이 존재합니다. 한 예는 그저 $X=\{a,b,c\}$ 와 위상 $\tau_{X}=\left\{\varnothing,\{a,b,c\}\right\}$ 를 취하는 것입니다. 이 위상은 상당히 “어리석습니다”: 점 $a$ , $b$ , $c$ 중 어느 것도 구별할 수 없습니다! 하지만 어떤 거리 공간이든 그 점들을 구별할 수 있습니다 ( $x\neq y$ 일 때 $d(x,y)>0$ 이기 때문입니다).

덜 사소한 예들은 나중에 살펴보겠지만, 지금은 우리의 공간에 약간의 건전성 조건을 더 추가하고자 합니다. 정수 $n$ 에 대해 $T_{n}$ 이라 표기되는 (여기서 $n=0$ 이 가장 약하고 $n=6$ 이 가장 강한) 이러한 공리들의 전체 위계가 있습니다; 이 공리들을 분리 공리(separation axioms)라고 부릅니다.

단연 가장 흔한 가정은 $T_{2}$ 공리이며, 이는 특별한 이름을 갖고 있습니다.

정의 7.3.1.

위상 공간 $X$ 의 서로 다른 두 점 $p$ , $q$ 에 대해, $p$ 의 열린 근방 $U$ 와 $q$ 의 열린 근방 $V$ 가 존재하여 다음을 만족할 때, $X$ 를 하우스도르프 공간이라고 합니다.

U\cap V=\varnothing.

다시 말해, 서로 다른 임의의 두 점 주위에 서로소인 열린 근방을 그릴 수 있어야 합니다. 위 내용에 맞는 그림이 여기 있지만, 별다른 내용은 없습니다.

질문 7.3.2.

모든 거리 공간이 하우스도르프임을 보이십시오.

나중에 이 단어를 사용할 수 있도록 여기서 정의해 두고자 합니다. 어쨌든, 자리스키 위상을 제외하면 우리가 마주칠 거의 모든 공간은 하우스도르프입니다.

7.4 부분공간

대표적인 예: $S^{1}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간입니다.

일반적인 위상 공간에 대해서도 부분공간을 취할 수 있습니다.

정의 7.4.1.

위상 공간 $X$ 와 부분집합 $S\subseteq X$ 가 주어졌을 때, $S$ 의 열린 부분집합을 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대한 $U\cap S$ 로 선언함으로써 $S$ 를 위상 공간으로 만들 수 있습니다. 이를 부분공간 위상이라고 합니다.

예를 들어 $S^{1}$ 을 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간으로 볼 경우, 임의의 열린 호는 열린집합이 되는데, 이는 그것을 열린 원판과 $S^{1}$ 의 교집합으로 볼 수 있기 때문입니다.

말할 필요도 없이, 거리 공간의 경우 이 정의들 중 어느 것을 선택하든 상관없습니다. (이를 증명하는 것은 뜻밖에 상당히 번거로운 일이므로, 여기서는 하지 않겠습니다.)

7.5 연결 공간

대표적인 예: $[0,1]\cup[2,3]$ 은 비연결입니다.

거리 공간에서도 하나의 집합이 열려 있으면서 동시에 닫혀 있을 수 있습니다.

정의 7.5.1.

위상 공간 $X$ 의 부분집합 $S$ 가 $X$ 에서 닫혀 있으면서 동시에 열려 있을 때, $S$ 를 닫힌열린집합이라고 합니다. (동치로, $S$ 와 그 여집합이 모두 열려 있다는 것입니다.)

예를 들어 $\varnothing$ 과 전체 공간은 닫힌열린집합의 예입니다. 사실, 이 둘 이외의 자명하지 않은 닫힌열린집합이 존재하면 이른바 비연결 공간이 됩니다.

질문 7.5.2.

공간 $X$ 가 자명하지 않은 닫힌열린집합( $\varnothing$ 과 $X$ 가 아닌 것)을 가지는 것과, $X$ 가 두 개의 공집합이 아닌 열린집합의 서로소 합집합으로 쓸 수 있는 것이 동치임을 보이십시오.

자명하지 않은 닫힌열린집합이 존재하면 $X$ 가 비연결이라고 하고, 그렇지 않으면 연결이라고 합니다. 이것이 왜 타당한 정의인지 알아보려면, 문제 7A를 풀어보는 것이 도움이 될 것입니다.

예제 7.5.3 (비연결 공간과 연결 공간).

(a)

거리 공간

$\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup\{(x,y)\mid(x-4)^{2}+y^{2}\leq 1\}\subseteq% \mathbb{R}^{2}$

은 비연결입니다 (두 개의 원판으로 이루어져 있습니다).
(b)

공간 $[0,1]\cup[2,3]$ 은 비연결입니다: 이는 각각이 닫힌열린집합인 두 개의 선분으로 이루어져 있습니다.
(c)

두 개 이상의 점을 가진 이산 공간은 비연결인데, 이산 공간에서는 모든 집합이 닫힌열린집합이기 때문입니다.
(d)

다음 집합이

$\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x^{2}<2014\right\}$

$\mathbb{Q}$ 의 닫힌열린 부분집합임을 스스로 확인해 보십시오. 따라서 $\mathbb{Q}$ 역시 비연결입니다 – 틈이 있기 때문입니다.
(e)

$[0,1]$ 은 연결되어 있습니다.

7.6 경로 연결 공간

대표적인 예: $\mathbb{C}$ 에서 돌아다니기.

연결 공간이라는 개념보다 더 강력하고 아마도 더 직관적인 개념은 경로 연결 공간입니다. 짧게 설명하자면: ”공간 안을 걸어 다니기”입니다.

정의 7.6.1.

공간 $X$ 에서의 경로란 다음과 같은 연속 함수입니다

\gamma\colon[0,1]\to X.

이 경로의 끝점은 두 점 $\gamma(0)$ 과 $\gamma(1)$ 입니다.

$[0,1]$ 을 ”시간”을 재는 것으로 생각할 수 있으므로, $t\in[0,1]$ 에 대해 $\gamma(t)$ 라고 자주 쓰겠습니다 ( $t$ 가 ”시간”을 나타냅니다). 다음은 경로를 나타낸 그림입니다.

질문 7.6.2.

이것이 ”경로”에 대한 여러분의 직관적인 개념과 왜 일치할까요?

정의 7.6.3.

공간 $X$ 의 임의의 두 점이 어떤 경로로 연결되어 있으면, $X$ 는 경로 연결이라고 합니다.

연습문제 7.6.4 (경로 연결은 연결을 함의함).

$X=U\sqcup V$ 가 비연결 공간이라고 합시다. $U$ 의 한 점에서 $V$ 의 한 점으로 가는 경로가 없음을 보이십시오. ( $\gamma\colon[0,1]\to X$ 라면 $[0,1]=\gamma^{\text{pre}}(U)\sqcup\gamma^{\text{pre}}(V)$ 를 얻게 되지만, $[0,1]$ 은 연결되어 있습니다.)

예제 7.6.5 (경로 연결 공간의 예).

•

$\mathbb{R}^{2}$ 는 경로 연결입니다. 임의의 두 점을 직선으로 ”연결”할 수 있기 때문입니다.
•

단위원 $S^{1}$ 은 경로 연결입니다. 두 점을 연결하는 우호나 열호를 그리기만 하면 되기 때문입니다.

7.7 호모토피와 단순 연결 공간

대표적인 예: $\mathbb{C}$ 와 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ .

이제 호모토피라는 개념의 동기를 살펴봅시다. 두 점 $p$ 와 $q$ 가 있는 복소평면 $\mathbb{C}$ (그냥 $\mathbb{R}^{2}$ 로 생각해도 됩니다)의 예를 생각해 봅시다. $p$ 에서 $q$ 로 가는 경로는 무수히 많지만, 어쩐지 그것들은 서로 크게 다르지 않습니다. 누군가 여러분에게 ” $p$ 에서 $q$ 로 걸어가십시오”라고 말한다면, 여러분은 그다지 많은 질문을 하지 않을 것입니다.

그렇게 우리가 $\mathbb{C}$ 에서 행복하게 살던 중, 유성이 원점에 떨어져 원점을 소멸시켜 버렸다고 합시다. 그러면 갑자기 $p$ 에서 $q$ 로 가려면, 사람들은 서로 다른 두 가지를 말할지도 모릅니다: ”유성 왼쪽으로 도십시오” 또는 ”유성 오른쪽으로 도십시오”.

그렇다면 무슨 일이 벌어지는 것일까요? 첫 번째 그림에서는 빨간색, 초록색, 파란색 경로가 어쩐지 모두 똑같아 보였습니다. 이들을 $p$ 와 $q$ 에 고정된 고무줄 조각으로 상상해 보면, 각각을 다른 것으로 자유롭게 늘릴 수 있습니다.

하지만 두 번째 그림에서는 빨간 줄을 파란 줄과 일치하도록 옮길 수 없습니다. 유성이 가로막고 있기 때문입니다. 이 경로들은 실제로 서로 다릅니다.³³3감김수에 대해 알고 있다면 이것이 익숙하게 느껴질 것입니다. 이에 대해서는 기본군을 다루는 장에서 더 이야기하겠습니다.

이를 포착하기 위해 사용할 형식적 개념은 호모토피 동치입니다. 우리는 첫 번째 그림에서 세 경로가 모두 호모토픽하지만, 두 번째 그림의 두 경로는 어쩐지 호모토픽하지 않게 되는 정의를 쓰고자 합니다. 그리고 그 아이디어는 단지 연속적인 변형입니다.

정의 7.7.1.

$\alpha$ 와 $\beta$ 를 $X$ 에서의 경로로서 끝점이 서로 일치한다고 합시다. $\alpha$ 에서 $\beta$ 로 가는 (경로) 호모토피란 연속 함수 $F\colon[0,1]^{2}\to X$ 로서, $s,t\in[0,1]$ 에 대해 $F_{s}(t)$ 라고 쓰며, 다음을 만족합니다

F_{0}(t)=\alpha(t)\text{그리고}F_{1}(t)=\beta(t)\text{모든 $t\in[0,1]$에 대하여}

그리고 나아가

\alpha(0)=\beta(0)=F_{s}(0)\text{그리고}\alpha(1)=\beta(1)=F_{s}(1)\text{모든 $s\in% [0,1]$에 대해}.

경로 호모토피가 존재하면, $\alpha$ 와 $\beta$ 가 경로 호모토픽하다고 하며 $\alpha\simeq\beta$ 라고 씁니다.

표기의 남용 7.7.2.

엄밀히 말하면 두 경로 사이의 이 관계를 설명할 때 ”경로 호모토피”라고 해야 하지만, 저는 이를 줄여서 그냥 ”호모토피”라고 하겠습니다. 마찬가지로 ”경로 호모토픽”도 줄여서 ”호모토픽”이라고 하겠습니다.

애니메이션 그림: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:HomotopySmall.gif. 말할 필요도 없이, $\simeq$ 는 동치 관계입니다.

이 정의가 하는 일은 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 ”연속적으로 변형”시키되, 끝점은 고정된 채로 유지하는 것입니다. 특정한 각 $s$ 에 대해, $F_{s}$ 자체가 하나의 함수임에 주목하십시오. 그래서 $s$ 는 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 변형해 나가는 시간을 나타냅니다: $0$ 에서 $1$ 까지 진행하며, $\alpha$ 에서 시작하여 $\beta$ 에서 끝납니다.

질문 7.7.3.

위의 정의가 옳다는 것을 스스로 납득해 보십시오. 유성이 충돌하면 무엇이 잘못되는지 생각해 보십시오.

이제 $\mathbb{C}$ 를 특별하게 만드는 것이 무엇인지 말씀드릴 수 있습니다:

정의 7.7.4.

공간 $X$ 가 경로 연결이고 임의의 두 점 $p$ 와 $q$ 에 대해 $p$ 에서 $q$ 로 가는 모든 경로가 호모토픽하다면, $X$ 는 단순 연결이라고 합니다.

이것이 바로 $\mathbb{C}$ 에서 $p$ 에서 $q$ 로 걸어갈 때 아무런 질문도 하지 않는 이유입니다: 걷는 방법이 정말로 오직 하나뿐이기 때문입니다. 그래서 ”단순” 연결이라는 용어가 붙습니다.

질문 7.7.5.

$\mathbb{R}^{n}$ 이 모든 $n$ 에 대해 단순 연결임을 스스로 납득해 보십시오.

7.8 공간의 기저

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 은 열린 구간으로 이루어진 기저를 가지며, $\mathbb{R}^{2}$ 는 열린 원판으로 이루어진 기저를 갖습니다.

$\mathbb{R}$ 의 열린집합을 기술하는 것이 다소 성가시다는 것을 눈치채셨을지도 모릅니다: 열린집합의 전형적인 예는 $(0,1)$ 이지만, 다음과 같은 다른 열린집합들도 있습니다

(0,1)\cup\left(1,\frac{3}{2}\right)\cup\left(2,\frac{7}{3}\right)\cup(2014,201% 5).

질문 7.8.1.

이것이 열린집합임을 확인해 보십시오.

하지만 괜찮습니다, 이것이 그렇게 많이 다른 것은 아닙니다. 제가 한 일은 그저 제 전형적인 예시들을 잔뜩 모아 놓고 $\cup$ 기호를 잔뜩 던져 넣은 것뿐입니다. 그리고 그것이 바로 기저의 개념입니다.

정의 7.8.2.

위상 공간 $X$ 에 대한 기저란, $X$ 의 모든 열린집합이 $\mathcal{B}$ 의 원소들 중 (아마도 무한히 많은) 일부의 합집합이 되도록 하는, 열린집합들의 부분집합 $\mathcal{B}$ 를 말합니다.

그리고 우리가 하고 있는 일은 결국 이렇게 말하는 것입니다:

예제 7.8.3 ( $\mathbb{R}$ 의 기저).

열린 구간들은 $\mathbb{R}$ 의 기저를 이룹니다.

사실, 더 일반적으로 다음이 성립합니다:

정리 7.8.4 (거리 공간의 기저).

$r$ -근방들은 임의의 거리 공간 $M$ 의 기저를 이룹니다.

증명.

다소 뻔한 이야기입니다 – 열린집합 $U$ 가 주어졌을 때, $U$ 내부의 모든 점 $p$ 에 대해, $U$ 안에 완전히 포함되는 $r_{p}$ -근방 $U_{p}$ 를 그리십시오. 그러면 $\bigcup_{p}U_{p}$ 는 $U$ 에 포함되며 그 안의 모든 점을 덮습니다. ∎

따라서 $\mathbb{R}^{2}$ 의 열린집합은 결국 여러 열린 원판들의 합집합에 지나지 않으며, 다른 경우도 마찬가지입니다. 요점은, 거리 공간에서 정말로 신경 써야 할 열린집합은 오직 $r$ -근방뿐이라는 것입니다.

7.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 7A.

$X$ 를 위상 공간이라 합시다. $X\to\{0,1\}$ 인 상수가 아닌 연속함수가 존재하는 것과 $X$ 가 비연결인 것이 동치임을 보이십시오(여기서 $\{0,1\}$ 에는 이산 위상이 주어집니다).

문제 7B.

$X$ 와 $Y$ 를 위상 공간이라 하고 $f\colon X\to Y$ 를 연속함수라 합시다.

(a)

$X$ 가 연결이면 $f^{\text{img}}(X)$ 도 연결임을 보이십시오.
(b)

$X$ 가 경로 연결(path-connected)이면 $f^{\text{img}}(X)$ 도 그러함을 보이십시오.

문제 7C (하우스도르프 공간이면 $T_{1}$ 공리를 만족함).

$X$ 를 하우스도르프 위상 공간이라 합시다. 임의의 점 $p\in X$ 에 대해 집합 $\{p\}$ 가 닫혀 있음을 증명하십시오.

문제 7D ([PUG02], 연습문제 2.56).

$M$ 을 점이 하나보다 많지만 많아야 가산 무한 개인 거리 공간이라 합시다. $M$ 이 비연결임을 보이십시오.

힌트. $p$ 를 임의의 점이라 합시다. 만약 어떤 $q\in M$ 에 대해서도 $d(p,q)\neq r$ 을 만족하는 실수 $r$ 이 존재한다면, $p$ 의 $r$ -근방은 열려 있으면서 닫혀 있습니다.

문제 7E.

$X$ 를 위상 공간이라 합시다. 점 $p\in X$ 의 연결 성분은 연결이면서 $p$ 를 포함하는 모든 부분공간 $S\subseteq X$ 의 합집합입니다.

(a)

점의 연결 성분은 그 자체로 연결이어야 합니까?
(b)

점의 연결 성분은 $X$ 의 열린집합이어야 합니까?

힌트. (a)의 답은 예이고, (b)의 답은 거리 공간에 대해서도 아니오입니다. 실제로 완전 비연결 공간이란 모든 연결 성분이 오직 하나의 점으로만 이루어진 공간을 말하며, 이산 위상이 아니면서도 완전 비연결인 거리 공간의 예가 존재합니다.

풀이. (a)는 간단합니다: 모순을 가정하여 $p$ 의 연결 성분이 $X$ 에서 열려 있는 두 공집합이 아닌 집합 $U\sqcup V$ 의 서로소인 합집합이라 합시다. 일반성을 잃지 않고 $p\in U$ 라 가정합니다. $S$ 를 $p$ 를 포함하면서 $V$ 와 교차하는 부분공간 중 하나라 합시다. 그러면 $S=(S\cap U)\sqcup(S\cap V)$ 는 $S$ 를 $S$ 에서 열려 있는 두 집합의 서로소인 합집합으로 다시 쓴 것이 되어, $S$ 의 연결성과 모순됩니다.

(다만 $S$ 가 $X$ 에서 반드시 열려 있는 것은 아니므로, 집합 $S\cap U$ 와 $S\cap V$ 역시 $X$ 에서 반드시 열려 있는 것은 아님에 유의하십시오.)

(b)에 대해서는, 칸토어 집합이나 $p$ 진수와 같은 임의의 완전 비연결 공간을 취하는 것이 반례가 됩니다.

문제 7F (퍼스텐버그).

$\mathbb{Z}$ 의 부분집합이 등차수열 $\left\{a+nd\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$ (단, $a$ 와 $d$ 는 양의 정수)들의 합집합(공집합이거나 무한할 수 있음)일 때 이를 열려 있다고 선언합니다.

(a)

이것이 $\mathbb{Z}$ 위에 위상을 이룸을 확인하십시오. 이 위상을 등간격 정수 위상이라 부릅니다.
(b)

소수 $p$ 에 대해 $\bigcup_{p}p\mathbb{Z}$ 를 고려하여 소수가 무한히 많음을 증명하십시오.

힌트. 각 $p$ 에 대해 $p\mathbb{Z}$ 가 닫혀 있음에 유의하십시오. 만약 소수가 유한 개라면 $\bigcup p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\setminus\{-1,1\}$ 이 닫혀 있어야 하며, 즉 $\{-1,1\}$ 이 열려 있어야 하는데, 여기서 모든 열린집합은 무한합니다.

문제 7G.

^†^†margin:

$\mathbb{Z}$ 위의 등간격 정수 위상이 거리화 가능함을 증명하십시오. 다시 말해, 위에서 기술한 열린집합들을 갖는 거리 공간으로 $\mathbb{Z}$ 를 만드는 거리함수 $d\colon\mathbb{Z}^{2}\to\mathbb{R}$ 를 부여할 수 있음을 보이십시오.

힌트. $0$ 에서의 공은 $n!\cdot\mathbb{Z}$ 형태이어야 합니다.

풀이. $d(x,y)=2017^{-n}$ 이라 합시다. 여기서 $n$ 은 $n!$ 이 $\left\lvert x-y\right\rvert$ 을 나누는 가장 큰 정수입니다.

문제 7H.