장 8 콤팩트성

위상 공간의 가장 중요한 개념 중 하나는 콤팩트성입니다. 이는 유클리드 공간에서의 ”닫혀 있고 유계”라는 개념을 임의의 위상 공간으로 일반화한 것입니다(예를 들어 문제 8F를 참고하십시오).

거리 공간의 경우, 콤팩트성을 정식화하는 동치인 두 가지 방법이 있습니다:

•

수열을 사용하는 ”자연스러운” 정의로, 점렬 콤팩트성이라고 불립니다.
•

열린 덮개를 사용하는 덜 자연스러운 정의입니다.

앞서 언급했듯이, 거리 공간에서의 수열은 매우 훌륭하지만, 일반적인 위상 공간에서의 수열은 형편없습니다(일반적인 수열의 수렴을 정의하는 수고조차 하지 않을 정도로 말입니다). 따라서 일반적인 공간에는 두 번째 정의가 사용될 것입니다.

8.1 점렬 콤팩트성의 정의

대표적인 예: $[0,1]$ 은 콤팩트하지만, $(0,1)$ 은 그렇지 않습니다.

강조하자면, 콤팩트성은 거리 공간이 가질 수 있는 최상의 성질 중 하나입니다.

정의 8.1.1.

무한 수열 $x_{1},x_{2},\dots$ 의 부분수열은 그 이름 그대로입니다: $i_{1}<i_{2}<\cdots$ 가 양의 정수인 수열 $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots$ 를 말합니다. 이 수열은 무한해야 함에 유의하십시오.

이를 생각하는 또 다른 방법은, 여러분의 관점이 부정적이냐 긍정적이냐에 따라 수열에서 ”무한히 많은 항을 선택하는 것” 또는 ”일부 항을 삭제하는 것”이라고 볼 수 있습니다.

정의 8.1.2.

거리 공간 $M$ 은 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가질 때 점렬 콤팩트하다고 합니다.

이번에는 예시를 들기 전에 반례부터 몇 가지 제시해 보겠습니다.

예제 8.1.3 (콤팩트 거리 공간이 아닌 예시들).

(a)

공간 $\mathbb{R}$ 은 콤팩트하지 않습니다: 수열 $1,2,3,4,\dots$ 를 생각해 보십시오. 어떤 부분수열도 발산하므로, $\mathbb{R}$ 은 결코 콤팩트할 수 없습니다.
(b)

더 일반적으로, 어떤 공간이 유계가 아니라면 그 공간은 콤팩트할 수 없습니다. (원한다면 이를 증명해 보십시오.)
(c)

열린 구간 $(0,1)$ 은 유계이지만 콤팩트하지 않습니다: 수열 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ 를 생각해 보십시오. 이 수열은 ” $0$ 으로 수렴”하기 때문에, 어떤 부분수열도 $(0,1)$ 안의 한 점으로 수렴할 수 없습니다.
(d)

더 일반적으로, 완비가 아닌 공간은 어떤 것도 콤팩트할 수 없습니다.

이제 예시를 살펴봅시다!

질문 8.1.4.

유한 집합이 콤팩트함을 보이십시오. (비둘기집 원리.)

예제 8.1.5 (콤팩트 공간의 예시).

콤팩트 공간의 예시를 몇 가지 더 들어보겠습니다. 잠시 후 이들이 콤팩트함을 증명할 것이니, 지금은 그저 스스로 확신해 보십시오.

(a)

$[0,1]$ 은 콤팩트합니다. 스스로 확신해 보십시오! 단위 구간 안에 수많은 점이 있다고 상상해 보십시오…
(b)

구의 표면, $S^{2}=\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ 은 콤팩트합니다.
(c)

단위 공 $B^{2}=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 은 콤팩트합니다.
(d)

$\mathbb{R}^{2}$ 에 존재하는 하와이 귀걸이는 콤팩트합니다: 이는 그림 8.1에서와 같이 각 $n$ 에 대해 반지름 $\frac{1}{n}$ 을 가지며 서로 접하는 원들로 구성됩니다.

그림 8.1: 하와이 귀걸이.

더 많은 예를 생성하는 데 도움이 되도록, 다음을 언급합니다:

명제 8.1.6 (콤팩트 집합의 닫힌 부분집합).

점열 콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트합니다.

질문 8.1.7.

이를 증명하십시오. (정의로부터 쉽게 따라와야 합니다.)

이러한 예시에 대해서는 좀 더 작업이 필요하며, 이는 다음 절에서 다룹니다.

8.2 콤팩트성의 판정 기준

정리 8.2.1 (티호노프 정리).

$X$ 와 $Y$ 가 콤팩트 공간이면, $X\times Y$ 도 콤팩트합니다.

증명.

문제 8E. ∎

또한 다음이 성립합니다:

정리 8.2.2 (구간은 콤팩트합니다).

$[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

증명.

문제 8F에 의해 이미 처리되지만, 직접 증명의 개요를 소개합니다. $[0,1]$ 을 $[0,\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},1]$ 로 나눕니다. 비둘기집 원리에 의해, 수열의 무한히 많은 항이 (예를 들어) 왼쪽 절반에 있으므로, $x_{1}$ 을 그 첫 항으로 두고 $x_{1}$ 이후 왼쪽 절반에 있는 항들만 남깁니다. 이제 $[0,\frac{1}{2}]$ 을 $[0,\frac{1}{4}]\cup[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$ 로 나눕니다. 다시 비둘기집 원리에 의해, 무한히 많은 항이 어느 한 절반에 떨어지므로, 그중 하나를 골라 $x_{2}$ 라고 부릅니다. 이 과정을 반복합니다. 이런 방식으로 코시 수열인 $x_{1}$ , $x_{2}$ , … 를 생성하며, $[0,1]$ 이 완비적이므로 이 수열이 수렴함을 의미합니다. ∎

이제 유클리드 공간에 관한 주요 정리를 증명할 수 있습니다: $\mathbb{R}^{n}$ 에서 콤팩트성은 ”닫혀 있고 유계”인 것과 동치입니다.

정리 8.2.3 (볼차노-바이어슈트라스ß).

$\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합은 닫혀 있고 유계인 경우에만 콤팩트합니다.

질문 8.2.4.

이것이 왜 우리 예시의 공간들이 콤팩트함을 함의합니까?

증명.

자, 닫혀 있고 유계인 $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 을 살펴봅시다. 유계이므로, 이는 어떤 상자 $[a_{1},b_{1}]\times[a_{2},b_{2}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ 안에 존재합니다. 티호노프 정리에 의해, 각 $[a_{i},b_{i}]$ 가 콤팩트하므로 전체 상자도 콤팩트합니다. $S$ 가 이 콤팩트한 상자의 닫힌 부분집합이므로, 증명이 완료됩니다. ∎

이것이 성립하려면 정말로 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 작업해야 합니다! 다른 공간에서는 이 판정 기준이 쉽게 성립하지 않을 수 있습니다.

예제 8.2.5 (닫혀 있고 유계이지만 콤팩트하지 않은 경우).

$S=\{s_{1},s_{2},\dots\}$ 를 이산 거리를 갖춘 임의의 무한 집합이라고 합시다. 그러면 $S$ 는 닫혀 있고 (모든 수렴 수열이 상수 수열이므로) $S$ 는 유계이지만 (모든 점이 서로 거리 $1$ 만큼 떨어져 있으므로) 수열 $s_{1},s_{2},\dots$ 가 수렴하지 않으므로 분명히 콤팩트하지 않습니다.

문제 8F인 볼차노-바이어슈트라스 정리는 거리 공간에서 어떤 집합이 콤팩트한지를 기하학적인 방식으로 정확히 알려줍니다.

8.3 열린 덮개를 이용한 콤팩트성

대표적인 예: $[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

이제 정의할, 콤팩트성과 관련된 두 번째 개념이 있습니다. 다음 정의들은 매우 동기가 없어 보일 수 있지만, 조금만 참아 주십시오.

정의 8.3.1.

위상 공간 $X$ 의 열린 덮개란 $X$ 를 덮는 열린집합들의 모임 $\{U_{\alpha}\}$ (무한이거나 비가산일 수도 있음)를 말합니다: $X$ 의 모든 점이 적어도 하나의 $U_{\alpha}$ 에 속하여,

X=\bigcup U_{\alpha}.

가 성립합니다.

부분덮개란 말 그대로의 뜻입니다: $U_{\alpha}$ 중 일부만을 취하면서도 $X$ 가 여전히 덮이도록 하는 것입니다.

그림을 하나 보겠습니다:

정의 8.3.2.

위상 공간 $X$ 는 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가질 때 준콤팩트하다고 합니다. 이것이 또한 하우스도르프이면 콤팩트하다고 합니다.

비고 8.3.3.

제가 슬쩍 끼워 넣은 ”하우스도르프” 가정은 일종의 정합성 조건으로서, 대수기하학 장을 다루는 것이 아니라면 신경 쓸 필요가 없습니다. 왜냐하면 여러분이 다루게 될 공간은 모두 하우스도르프이기 때문입니다. (실제로 일부 저자들은 이를 굳이 언급조차 하지 않습니다.) 예를 들어 모든 거리 공간은 하우스도르프이므로, 거리 공간을 다루는 경우 이 조건은 안심하고 무시해도 됩니다.

이것이 무슨 뜻일까요? 예를 하나 들어 보겠습니다:

예제 8.3.4 (유한 부분덮개의 예).

단위 정사각형 $M=[0,1]^{2}$ 을 모든 점을 중심으로 지름 $1$ 인 열린 원판을 놓아 (넘치는 부분은 잘라내면서) 덮는다고 합시다. 모든 점이 많은 열린집합에 속하며, 특히 그중 하나의 중심이기도 하므로, 이것이 열린 덮개임은 분명합니다.

하지만 이는 지나치게 과합니다 – 정사각형 전체를 덮는 데는 대략 네 개의 원이면 충분합니다. 이것이 바로 ”유한 부분덮개”가 뜻하는 바입니다.

왜 이것이 중요할까요? 다음과 같은 이유에서입니다:

정리 8.3.5 (점열 콤팩트 $\iff$ 콤팩트).

거리 공간 $M$ 은 점열 콤팩트인 것과 콤팩트인 것이 동치입니다.

증명은 마지막 절로 미루겠습니다.

이로써 우리가 원했던 정의에 대한 동기를 얻었습니다. 점열 콤팩트성은 이해가 되는 조건이었습니다. 열린 덮개를 이용한 정의는 이상해 보였지만, 결국 동치임이 밝혀졌습니다. 그러나 우리는 이제 이 정의를 더 선호합니다. 왜냐하면 가능한 한 열린집합만을 이용한 정의에 의존하고 싶다는 것을 보아 왔기 때문입니다: 예를 들어 그러한 정의는 위상동형사상 아래에서 보존됩니다.

예제 8.3.6 (비콤팩트성의 예).

공간 $X=[0,1)$ 은 두 가지 의미 모두에서 콤팩트하지 않습니다. 이것이 심지어 완비적이지도 않으므로 ( $x_{n}=1-\frac{1}{n}$ 을 보십시오), 점열 콤팩트하지 않다는 것은 이미 알 수 있습니다. 덮개를 이용한 정의 아래에서 콤팩트하지 않음을 보이려면, 집합

U_{m}=\left[0,1-\frac{1}{m+1}\right)

( $m=1,2,\dots$ )을 생각해 봅시다. 그러면 $X=\bigcup U_{i}$ 이므로, $U_{i}$ 는 실제로 덮개입니다. 그러나 $U_{i}$ 중 유한개의 모임으로는 $X$ 를 덮을 수 없습니다.

질문 8.3.7.

$[0,1]$ 이 실제로 콤팩트함을 스스로 확인해 보십시오; 이는 점열 콤팩트라는 것보다 조금 덜 직관적입니다.

표기의 남용 8.3.8.

따라서 우리는 이제부터 거리 공간을 ”점열 콤팩트”하다고 부르지 않고 – 그냥 ”콤팩트”하다고 부르겠습니다. (실제로 앞의 몇 절에서 이미 그렇게 해 왔습니다.)

8.4 콤팩트성의 응용

콤팩트성은 무한한 열린 덮개를 유한한 덮개로 줄일 수 있게 해 줍니다. 사실, 열린 덮개가 터무니없이 어리석은 것이라 하더라도 이렇게 할 수 있게 해 줍니다. 매우 흔히, 공간의 모든 점 $x$ 하나하나에 대해 $x\in X$ 의 열린 근방으로 이루어진 열린 덮개를 취하곤 합니다; 이는 엄청나게 많은 수의 열린집합이지만, 콤팩트성은 이를 유한 집합으로 줄일 수 있게 해 줍니다.

전형적인 사용례를 하나 들자면:

명제 8.4.1 (콤팩트 $\implies$ 전유계).

$M$ 이 콤팩트라고 합시다. 그러면 $M$ 은 전유계입니다.

덮개를 이용한 증명.

모든 점 $p\in M$ 에 대해, $p$ 의 $\varepsilon$ -근방을 취하고 이를 $U_{p}$ 라 합시다. 이들은 각 점 $p$ 가 적어도 그 열린 근방 $U_{p}$ 에는 덮인다는 지극히 당연한 이유로 $M$ 을 덮습니다. 그러면 콤팩트성에 의해 유한 부분덮개를 취할 수 있습니다. ∎

다음으로, 콤팩트 공간 사이의 사상에 관한 중요한 결과를 살펴봅시다.

정리 8.4.2 (콤팩트 집합의 상은 콤팩트합니다).

$f\colon X\to Y$ 를 연속 함수라 하고, $X$ 는 콤팩트하다고 합시다. 그러면 상

f^{\text{img}}(X)\subseteq Y

는 콤팩트합니다.

덮개를 이용한 증명.

$f^{\text{img}}(X)$ 에 대한 $Y$ 의 임의의 열린 덮개 $\{V_{\alpha}\}$ 를 취합시다. $f$ 의 연속성에 의해, 이는 $X$ 의 열린 덮개 $\{U_{\alpha}\}$ 로 당겨옵니다. 따라서 이것의 어떤 유한 부분덮개가 $X$ 를 덮습니다. 대응하는 $V$ 들이 $f^{\text{img}}(X)$ 를 덮습니다. ∎

질문 8.4.3.

연속성과 콤팩트성의 수열적 정의를 이용해 또 다른 증명을 제시하십시오. (이쪽이 훨씬 더 쉽습니다.)

이로부터 얻어지는 몇 가지 멋진 따름정리들:

따름정리 8.4.4 (최댓값·최솟값 정리).

$X$ 가 콤팩트하고 연속 함수 $f\colon X\to\mathbb{R}$ 를 생각합시다. 그러면 $f$ 는 어떤 점에서 최댓값을 달성합니다. 즉, 다른 모든 $q\in X$ 에 대해 $f(p)\geq f(q)$ 가 성립하는 점 $p\in X$ 가 존재합니다.

따름정리 8.4.5 (중간값 정리).

연속 함수 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 를 생각합시다. 그러면 $f$ 의 상은 어떤 실수 $a\leq b$ 에 대해 $[a,b]$ 꼴입니다.

증명 개요.

핵심은 $f$ 의 상이 $\mathbb{R}$ 에서 콤팩트하므로 닫혀 있고 유계라는 점입니다. 닫힌집합들이 단지 닫힌구간들의 합집합일 뿐임을 스스로 확인해 볼 수 있습니다. 이로부터 최댓값·최솟값 정리가 따라옵니다.

$X=[0,1]$ 일 때, 상은 또한 연결되어 있으므로 $f^{\text{img}}([0,1])$ 에는 오직 하나의 닫힌구간만 있어야 합니다. 상이 유계이므로, 이제 그것이 $[a,b]$ 꼴임을 압니다. (완전한 증명을 제시하려면 이른바 상한 성질을 이용해야 하겠지만, 그것은 잠자리에서 들려주는 이야기치고는 조금 복잡합니다. 게다가 저는 $\mathbb{R}$ 이 지루하다고 생각합니다.) ∎

예제 8.4.6 ( $1/x$ ).

여기서 콤팩트성 가정은 정말로 중요합니다. 그렇지 않다면, 다음 함수를 생각해 봅시다

(0,1)\to\mathbb{R}\quad\text{~{}에 의해}\quad x\mapsto\frac{1}{x}.

(쌍곡선으로 그려지는) 이 함수는 유계가 아닙니다. 본질적으로, 문제는 $x=0$ 근처에서 함수가 발산하기 때문에 이를 $[0,1]$ 위의 함수로 확장할 수 없다는 것을 그래프로 확인할 수 있습니다.

마지막 응용으로, $M$ 이 콤팩트 거리 공간이면 연속 함수 $f\colon M\to N$ 은 특히 ”좋은” 방식으로 연속입니다:

정의 8.4.7.

거리 공간 사이의 함수 $f\colon M\to N$ 은, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 (오직 $\varepsilon$ 에만 의존하는) $\delta>0$ 이 존재하여 $d_{M}(x,y)<\delta$ 일 때마다 $d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon$ 도 성립하면 균등연속이라 부릅니다.

이 이름은 $\varepsilon>0$ 에 대해 $M$ 의 모든 점에서 통하는 $\delta$ 가 필요하다는 것을 의미합니다.

예제 8.4.8 (균등연속).

(a)

$x\mapsto ax+b$ 꼴의 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로 가는 함수들은 모두 균등연속입니다. 항상 $\delta=\varepsilon/|a|$ 를 취할 수 있기 때문입니다 (또는 $a=0$ 이면 $\delta=1$ ).
(b)

실제로, 유계인 도함수를 갖는 미분가능 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 균등연속이라는 것이 참입니다. (역은 성립하지 않는데, 균등연속이 미분가능성을 전혀 함의하지 않기 때문입니다.)
(c)

$x\mapsto x^{2}$ 에 의한 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 균등연속이 아닙니다. 큰 $x$ 에 대해서는, $x$ 의 아주 작은 $\delta$ 변화가 $x^{2}$ 에서는 상당히 큰 변화로 이어지기 때문입니다. (원한다면 지금 이를 형식적으로 증명해 볼 수 있습니다.)

$f(2017.01)-f(2017)>40$ 을 생각해 보십시오. $\delta=0.01$ 일 때조차, $f$ 에서 큰 변화를 일으킬 수 있습니다.
(d)

그러나 $(0,1)$ 또는 $[0,1]$ 로 제한하면 함수 $x\mapsto x^{2}$ 는 균등연속이 됩니다. (이제 $\varepsilon>0$ 에 대해 예를 들어 $\delta=\min\{1,\varepsilon\}/3$ 을 택할 수 있습니다.)
(e)

$(0,1)\to\mathbb{R}$ 로 정의된 함수 $x\mapsto 1/x$ 는 균등연속이 아닙니다 (앞서와 같은 이유입니다).

이제 약속했던 대로:

명제 8.4.9 (콤팩트 집합 위에서 연속 $\implies$ 균등 연속).

$M$ 이 콤팩트이고 $f\colon M\to N$ 이 연속이면, $f$ 는 균등 연속입니다.

수열을 이용한 증명.

$\varepsilon>0$ 을 고정하고, 모순을 유도하기 위해 모든 $\delta=1/k$ 에 대해 서로 $\delta$ 이내에 있지만 그 상들은 $\varepsilon>0$ 만큼 떨어져 있는 점 $x_{k}$ 와 $y_{k}$ 가 존재한다고 가정합시다. 콤팩트성에 의해 수렴하는 부분수열 $x_{i_{k}}\to p$ 를 취합니다. 그러면 $x_{k}$ 들과 $y_{k}$ 들이 서로 가깝기 때문에 $y_{i_{k}}\to p$ 역시 성립합니다. 따라서 수열적 연속성에 의해 두 수열 $f(x_{i_{k}})$ 와 $f(y_{i_{k}})$ 모두 $f(p)$ 로 수렴해야 하지만, 두 수열은 항상 $\varepsilon$ 만큼 떨어져 있으므로 이는 참일 수 없습니다. ∎

8.5 (선택) 콤팩트성 정의들의 동치성

다음을 증명하겠습니다:

정리 8.5.1 (일반 거리 공간에 대한 하이네-보렐 정리).

거리 공간 $M$ 에 대해 다음은 동치입니다:

(i)

모든 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다,
(ii)

공간 $M$ 은 완비이고 전유계이다, 그리고
(iii)

모든 열린 덮개는 유한 부분덮개를 가집니다.

(i) $\iff$ (ii)의 증명은 문제 8F로 남겨둡니다; 증명의 아이디어는 정리 8.2.2의 정신과 매우 흡사합니다.

(i)와 (ii) $\implies$ (iii)의 증명.

다음 보조정리를 증명하겠는데, 이는 그 자체로도 흥미롭습니다.

보조정리 8.5.2 (르베그 수 보조정리).

$M$ 을 콤팩트 거리 공간이라 하고 $\{U_{\alpha}\}$ 를 열린 덮개라 합시다. 그러면 그 덮개에 대한 르베그 수라 불리는 실수 $\delta>0$ 이 존재하여, 임의의 점 $p$ 의 $\delta$ -근방이 어떤 $U_{\alpha}$ 에 완전히 포함됩니다.

보조정리의 증명.

모순을 유도하기 위해, 모든 $\delta=1/k$ 에 대해 그 $1/k$ -근방이 어떤 $U_{\alpha}$ 에도 포함되지 않는 점 $x_{k}\in M$ 이 존재한다고 가정합시다. 이렇게 하여 수열 $x_{1}$ , $x_{2}$ , …를 구성합니다; 따라서 어떤 $x$ 로 수렴하는 부분수열을 취할 수 있습니다. 그러면 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $d(x_{n},x)+1/n<\varepsilon$ 를 만족하는 정수 $n$ 을 찾을 수 있습니다; 따라서 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $x$ 에서의 $\varepsilon$ -근방은 어떤 $U_{\alpha}$ 에도 포함되지 않습니다. 이는 불가능한데, 우리가 $x$ 가 어떤 열린집합에 덮여 있다고 가정했기 때문입니다. ∎

이제 그 덮개에 대한 르베그 수 $\delta$ 를 취합니다. $M$ 이 전유계이므로, 유한히 많은 $\delta$ -근방이 공간을 덮으며, 따라서 유한히 많은 $U_{\alpha}$ 역시 그러합니다. ∎

(iii) $\implies$ (ii)의 증명.

한 단계는 자명합니다:

질문 8.5.3.

덮개 조건 $\implies$ 전유계임을 보이십시오.

까다로운 부분은 $M$ 이 완비임을 보이는 것입니다. 모순을 유도하기 위해 그렇지 않다고 가정하고, 따라서 수열 $(x_{k})$ 가 코시 수열이지만 어떤 특정한 점으로도 수렴하지 않는다고 가정합시다.

질문 8.5.4.

이것이 각 $p\in M$ 에 대해, 수열 $(x_{k})$ 의 점들 중 많아야 유한히 많은 점만을 포함하는 $\varepsilon_{p}$ -근방 $U_{p}$ 가 존재함을 함의함을 보이십시오. ( $x_{k}\not\to p$ 이고 $(x_{k})$ 가 코시 수열이라는 사실을 사용해야 할 것입니다.)

이제 $M=\bigcup_{p}U_{p}$ 를 고려하면 이 열린 근방들의 유한 부분덮개를 얻습니다; 하지만 이 유한 부분덮개는 그 수열의 유한히 많은 점만을 덮을 수 있으므로, 모순입니다. ∎

8.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

이후의 문제들은 꽤 어렵습니다; 일부는 IMO 3/6번 스타일의 구성 문제의 성격을 띱니다. 무슨 일이 일어나고 있는지 파악할 수 있도록 그림을 많이 그려보는 것이 중요합니다. 이 중에서 문제 8F가 단연 제가 가장 좋아하는 것입니다.

문제 8A.

닫힌구간 $[0,1]$ 과 열린구간 $(0,1)$ 이 동형사상이 아님을 보이십시오.

힌트. $[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

풀이. 콤팩트성은 동형사상 아래 보존되지만, $[0,1]$ 은 콤팩트한 반면 $(0,1)$ 은 그렇지 않습니다.

문제 8B.

$X$ 를 이산 위상을 갖는 위상 공간이라 합시다. 어떤 조건에서 $X$ 가 콤팩트합니까?

힌트. $X$ 가 유한할 때, 그리고 오직 그때만입니다.

문제 8C (여유한 위상은 준콤팩트할 뿐).

$X$ 를 무한 집합이라 하고 여유한 위상을 부여합시다: 열린집합은 공집합과 유한 집합의 여집합입니다. 이로써 $X$ 는 위상 공간이 됩니다. $X$ 가 준콤팩트하지만 하우스도르프는 아님을 보이십시오.

문제 8D (칸토어의 교집합 정리).

$X$ 를 콤팩트 위상 공간이라 하고, 다음을 가정합시다

X=K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq\dots

는 포함관계로 중첩된 공집합이 아닌 닫힌 부분집합들의 무한 수열입니다. $\bigcap_{n\geq 0}K_{n}\neq\varnothing$ 임을 보이십시오.

문제 8E (티호노프 정리).

$X$ 와 $Y$ 를 콤팩트 거리 공간이라 합시다. $X\times Y$ 가 콤팩트함을 보이십시오. (이는 일반적인 위상 공간에 대해서도 참이지만, 증명이 뜻밖에 어렵고, 아직 일반적인 $X\times Y$ 조차 정의하지 않았습니다.)

힌트. $p_{i}=(x_{i},y_{i})$ 가 $X\times Y$ 안의 수열이라 합시다 ( $i=1,2,\dots$ ). $x$ 좌표가 수렴하도록 부분수열을 취하십시오 (일부 항을 버립니다). 그런 다음 그 부분수열의 부분수열 중 $y$ 좌표가 수렴하는 것을 취하십시오 (더 많은 항을 버립니다).

풀이. $p_{i}=(x_{i},y_{i})$ 가 $X\times Y$ 안의 수열이라 합시다 ( $i=1,2,\dots$ ). $X$ 쪽을 보면, 어떤 부분수열이 수렴합니다: 예시를 위해 그것이 $x_{1},x_{4},x_{9},x_{16},\dots\to x$ 라고 합시다. 그러면 대응하는 수열 $y_{1},y_{4},y_{9},y_{16},\dots$ 을 살펴봅시다. $Y$ 의 콤팩트성을 이용하면, 이는 수렴하는 부분수열을 가지며, 예를 들어 $y_{1},y_{16},y_{81},y_{256},\dots\to y$ 라고 합시다. 그러면 $p_{1},p_{16},p_{81},\dots$ 는 $(x,y)$ 로 수렴할 것입니다.

흔한 실수 하나는 그저 $(x_{n})$ 이 수렴하는 부분수열을 가지고 $(y_{n})$ 도 마찬가지라고 결론짓는 것입니다. 하지만 이 수열들은 전혀 무관할 수 있습니다. 이 증명이 성립하려면, 먼저 $X$ 의 콤팩트성을 적용하고, 그 다음 여기서 한 것처럼 결과로 얻은 걸러진 수열에 $Y$ 의 콤팩트성을 적용해야 합니다.

문제 8F (일반 거리 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라ß 정리).

^†^†margin:

거리 공간 $M$ 이 완비이고 전유계일 때, 그리고 오직 그때만 수열콤팩트임을 증명하십시오.

힌트. 정리 8.2.2의 증명을 모방하십시오. 전유계 조건이 비둘기집 원리를 사용할 수 있게 해줍니다.

문제 8G (거의 Arzelà-Ascoli 정리).

^†^†margin:

$f_{1},f_{2},\ldots\colon[0,1]\to[-100,100]$ 을 동등연속인 함수열이라 합시다. 이는 다음을 의미합니다

\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall n\;\forall x,y\quad\left(% \left\lvert x-y\right\rvert<\delta\implies\left\lvert f_{n}(x)-f_{n}(y)\right% \rvert<\varepsilon\right)

이 함수들의 부분수열 $f_{i_{1}},f_{i_{2}},\dots$ 를 뽑아낼 수 있음을 보이십시오. 이때 모든 $x\in[0,1]$ 에 대해 수열 $f_{i_{1}}(x)$ , $f_{i_{2}}(x)$ , … 이 수렴합니다.

문제 8H.

^†^†margin:

$M=(M,d)$ 를 유계 거리 공간이라 합시다. $(M,d)$ 와 $(M,d^{\prime})$ 가 동형사상이 되게 하는 (즉 같은 열린집합을 갖는) $M$ 위의 또 다른 거리 $d^{\prime}$ 가 있을 때마다 $d^{\prime}$ 역시 유계라고 가정합시다. $M$ 이 콤팩트함을 증명하십시오.

힌트. $M$ 이 콤팩트하지 않다고 가정하고, 유계가 아닌 연속함수 $F\colon M\to\mathbb{R}$ 를 구성하십시오. 이러한 함수 $F$ 가 정의되고 나면, 다음 거리가

$d^{\prime}(x,y)\coloneqq d(x,y)+\left\lvert F(x)-F(y)\right\rvert$

이 문제의 대우를 확립할 것입니다.

풀이. 다음 풀이는 Royce Yao의 것입니다. 우리는 대우를 보입니다: $M$ 이 콤팩트하지 않으면, 동형사상이면서 유계가 아닌 거리가 존재합니다.

주요 단계는 유계가 아닌 연속 함수 $F\colon M\to\mathbb{R}$ 를 구성하는 것입니다. 이러한 함수 $F$ 가 정의되고 나면, 거리는

$d^{\prime}(x,y)\coloneqq d(x,y)+\left\lvert F(x)-F(y)\right\rvert$

문제를 해결할 것입니다.

그러면, 수렴하는 부분수열이 없는 $M$ 의 수열 $a_{1}$ , $a_{2}$ , … 를 생각합시다. 각 $a_{i}$ 에 대해, 다음을 만족하는 반지름 $r_{i}$ 가 존재합니다

$0<r_{i}<\frac{1}{2}\min_{j\neq i}d(a_{i},a_{j})$

$C_{i}$ 를 $a_{i}$ 를 중심으로 하고 반지름이 $r_{i}$ 인 열린 공으로 정의합니다. 모든 공은 서로소임에 주의하십시오. 그러면, $F$ 를 다음과 같이 정의합니다

$F(x)=\begin{cases}0&x\not\in C_{i}\\ \frac{i}{r_{i}}(r_{i}-d(x,a_{i}))&x\in C_{i}\end{cases}$

이는 연속함수임을 알 수 있습니다. 그러면, $i$ 가 무한대로 갈 때 $F(a_{i})$ 를 고려함으로써 $F$ 가 유계가 아님을 알 수 있습니다.

문제 8I.

^†^†margin:

이 문제에서 ”원”이란 반지름이 0이 아닌 원판의 경계를 가리킵니다.

(a)

평면 $\mathbb{R}^{2}$ 를 서로소인 원들로 분할하는 것이 가능합니까?
(b)

평면 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 서로 다른 두 점 $p$ 와 $q$ 를 제거합니다. 남은 점들을 서로소인 원들로 분할하는 것이 가능합니까?

힌트. 두 문제 모두에 대한 답은 아니오입니다.

(a)에는 문제 8D를 사용하십시오.

(b)에서는, 분할에 속한 각 원을 그것이 $p$ 는 포함하지만 $q$ 는 포함하지 않는지, $q$ 는 포함하지만 $p$ 는 포함하지 않는지, 아니면 둘 다 포함하는지에 따라 색칠하십시오.

풀이. (a) 부분은 칸토어 교집합 정리(문제 8D)로부터 따라옵니다. 귀류법을 위해 그러한 분할이 존재한다고 가정합시다. 원 $C_{0}$ 중 아무거나 하나를 택하고, $K_{0}$ 를 경계가 $C_{0}$ 인 닫힌 원판이라 합시다. 이제 $C_{0}$ 의 중심을 지나는 원 $C_{1}$ 을 택하고, $K_{1}$ 을 경계가 $C_{1}$ 인 닫힌 원판이라 합시다. 이런 방식을 반복하면, 중첩된 수열 $K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq\dots$ 를 얻으며 $C_{i}$ 의 반지름은 0에 수렴합니다(각각이 이전 것의 절반 이하이기 때문입니다). 따라서 어떤 점 $p$ 가 $\bigcap_{n}K_{n}$ 에 속하게 되는데 이는 불가능합니다.

이제 (b) 부분에 대해, 다시 귀류법을 위해 원들로의 분할이 존재한다고 가정합시다. $p$ 는 포함하지만 $q$ 는 포함하지 않는 원은 마젠타색으로, $q$ 는 포함하지만 $p$ 는 포함하지 않는 원은 시안색으로 칠합시다. $p$ 자신은 마젠타색으로, $q$ 자신은 시안색으로 칠합시다. 마지막으로, $p$ 와 $q$ 를 모두 포함하는 원은 네온 옐로우색으로 칠합시다. (원을 색칠한다고 할 때는, 그 위의 모든 점을 색칠한다는 뜻입니다.)

(a)의 논증을 반복하면 $p$ 도 $q$ 도 둘러싸지 않는 원은 존재하지 않습니다. 따라서 모든 점은 마젠타색, 시안색, 또는 네온 옐로우색 중 하나입니다. 이제 임의의 마젠타색 원이 주어지면, 그 내부는 전부 마젠타색임에 주의하십시오. 사실, 마젠타색 원들은 (서로 교차할 수 없으므로) 포함 관계에 의해 전순서를 이룰 수 있습니다. 그러므로 두 경우를 고려합시다.

•

만약 포함 관계에서 극대인 마젠타색 원(즉, 다른 어떤 마젠타색 원에도 포함되지 않는 마젠타색 원)이 존재한다면, 모든 마젠타색 점들의 집합은 단지 하나의 닫힌 원판입니다.

•

그러한 마젠타색 원이 존재하지 않는다면, 마젠타색 점들의 집합은 모든 마젠타색 원들의 내부의 합집합으로도 표현할 수 있습니다. 이는 열린집합들의 합집합이므로, 그 자체가 열려 있습니다.

결론적으로 마젠타색 점들의 집합은 닫힌 원판이거나 열린집합입니다. 시안색 점들의 집합에 대해서도 마찬가지입니다. 더욱이, 이러한 점들의 집합은 볼록합니다.

문제를 마무리하기 위해:

•

네온 옐로우색 점이 없다고 가정합시다. 마젠타색 점들이 닫힌 원판을 이룬다면, 시안색 점들은 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 원판을 뺀 것이 되는데 이는 볼록하지 않습니다. 모순입니다. 그러므로 마젠타색 점들은 열려 있어야 합니다. 마찬가지로 시안색 점들도 열려 있어야 합니다. 그러나 $\mathbb{R}^{2}$ 는 연결되어 있으므로, 두 열린집합의 합집합으로 쓰일 수 없습니다.

•

이제 네온 옐로 점들이 있다고 가정합시다. 포함관계에 대해 극소인 네온 옐로 원이 존재함을 주장합니다. 만약 그렇지 않다면, (a)의 논증을 반복하여 모순을 얻습니다. 왜냐하면 어떠한 네온 옐로 원이라도 지름이 $p$ 에서 $q$ 까지의 거리 이상이어야 하기 때문입니다. 따라서 내부가 모두 마젠타와 시안으로 이루어진 네온 옐로 원 $\mathscr{C}$ 를 찾을 수 있습니다. 이제 앞부분의 논증을 반복하되, $\mathbb{R}^{2}$ 를 $\mathscr{C}$ 의 내부로 대체합니다.

장 8 콤팩트성

8.1 점렬 콤팩트성의 정의

정의 8.1.1.

정의 8.1.2.

예제 8.1.3 (콤팩트 거리 공간이 아닌 예시들).

질문 8.1.4.

예제 8.1.5 (콤팩트 공간의 예시).

명제 8.1.6 (콤팩트 집합의 닫힌 부분집합).

질문 8.1.7.

8.2 콤팩트성의 판정 기준

정리 8.2.1 (티호노프 정리).

증명.

정리 8.2.2 (구간은 콤팩트합니다).

증명.

정리 8.2.3 (볼차노-바이어슈트라스ß).

질문 8.2.4.

증명.

예제 8.2.5 (닫혀 있고 유계이지만 콤팩트하지 않은 경우).

8.3 열린 덮개를 이용한 콤팩트성

정의 8.3.1.

정의 8.3.2.

비고 8.3.3.

예제 8.3.4 (유한 부분덮개의 예).

정리 8.3.5 (점열 콤팩트 ⇔ 콤팩트).

예제 8.3.6 (비콤팩트성의 예).

질문 8.3.7.

표기의 남용 8.3.8.

8.4 콤팩트성의 응용

명제 8.4.1 (콤팩트 ⟹ 전유계).

덮개를 이용한 증명.

정리 8.4.2 (콤팩트 집합의 상은 콤팩트합니다).

덮개를 이용한 증명.

질문 8.4.3.

따름정리 8.4.4 (최댓값·최솟값 정리).

따름정리 8.4.5 (중간값 정리).

증명 개요.

예제 8.4.6 (1/x).

정의 8.4.7.

예제 8.4.8 (균등연속).

명제 8.4.9 (콤팩트 집합 위에서 연속 ⟹ 균등 연속).

수열을 이용한 증명.

8.5 (선택) 콤팩트성 정의들의 동치성

정리 8.5.1 (일반 거리 공간에 대한 하이네-보렐 정리).

(i)와 (ii) ⟹ (iii)의 증명.

보조정리 8.5.2 (르베그 수 보조정리).

보조정리의 증명.

(iii) ⟹ (ii)의 증명.

질문 8.5.3.

질문 8.5.4.

8.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 8A.

문제 8B.

문제 8C (여유한 위상은 준콤팩트할 뿐).

문제 8D (칸토어의 교집합 정리).

문제 8E (티호노프 정리).

문제 8F (일반 거리 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라ß 정리).

문제 8G (거의 Arzelà-Ascoli 정리).

문제 8H.

문제 8I.

정리 8.3.5 (점열 콤팩트 $\iff$ 콤팩트).

명제 8.4.1 (콤팩트 $\implies$ 전유계).

예제 8.4.6 ( $1/x$ ).

명제 8.4.9 (콤팩트 집합 위에서 연속 $\implies$ 균등 연속).

(i)와 (ii) $\implies$ (iii)의 증명.

(iii) $\implies$ (ii)의 증명.