장 8 콤팩트성

위상 공간에서 가장 중요한 개념 중 하나는 콤팩트성입니다. 콤팩트성은 유클리드 공간에서 “닫혀 있고 유계”라는 개념을 임의의 위상 공간으로 일반화합니다(예를 들어 문제 8F를 참고하십시오).

거리 공간에서는 콤팩트성을 정식화하는 동치인 방법이 두 가지 있습니다.

•

수열을 사용하는 “자연스러운” 정의로, 점렬 콤팩트성이라고 부릅니다.
•

열린 덮개를 사용하는, 덜 자연스러운 정의입니다.

앞에서 넌지시 말씀드렸듯이, 거리 공간에서의 수열은 아주 좋은 대상이지만 일반적인 위상 공간에서의 수열은 형편없습니다(그래서 일반적인 수열의 수렴은 굳이 정의하지도 않았을 정도입니다). 따라서 일반적인 공간에 대해서는 두 번째 정의를 사용하게 됩니다.

8.1 점렬 콤팩트성의 정의

대표적인 예: $[0,1]$ 은 콤팩트하지만 $(0,1)$ 은 콤팩트하지 않습니다.

다시 강조하자면, 콤팩트성은 거리 공간이 가질 수 있는 가장 좋은 성질 중 하나입니다.

정의 8.1.1.

무한 수열 $x_{1},x_{2},\dots$ 의 부분수열은 이름 그대로의 의미입니다. 즉 $i_{1}<i_{2}<\cdots$ 가 양의 정수일 때의 수열 $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots$ 입니다. 이 수열은 무한해야 한다는 점에 유의하십시오.

이를 다르게 생각하면, 잔이 반쯤 비었다고 보는지 반쯤 찼다고 보는지에 따라 수열에서 “무한히 많은 항을 골라내는” 것으로 볼 수도 있고 “일부 항을 지우는” 것으로 볼 수도 있습니다.

정의 8.1.2.

거리 공간 $M$ 에서 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가지면 $M$ 을 점렬 콤팩트하다고 합니다.

이번에는 예시보다 반례를 먼저 몇 가지 들겠습니다.

예제 8.1.3 (콤팩트 거리 공간이 아닌 예).

(a)

공간 $\mathbb{R}$ 은 콤팩트하지 않습니다. 수열 $1,2,3,4,\dots$ 를 생각해 보십시오. 어떤 부분수열이든 발산하므로 $\mathbb{R}$ 은 결코 콤팩트할 수 없습니다.
(b)

더 일반적으로, 유계가 아닌 공간은 콤팩트할 수 없습니다. (원하신다면 직접 증명해 보십시오.)
(c)

열린구간 $(0,1)$ 은 유계이지만 콤팩트하지 않습니다. 수열 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ 를 생각해 보십시오. 이 수열은 “ $0$ 으로 수렴”하므로 어떤 부분수열도 $(0,1)$ 의 점으로 수렴할 수 없습니다.
(d)

더 일반적으로, 완비가 아닌 공간은 콤팩트할 수 없습니다.

이제 예시를 살펴봅시다!

질문 8.1.4.

유한집합이 콤팩트임을 보이십시오. (비둘기집 원리.)

예제 8.1.5 (콤팩트 공간의 예).

콤팩트 공간의 예를 몇 가지 더 들겠습니다. 이들이 콤팩트임은 곧 증명할 것이니, 지금은 그렇다는 것을 스스로 납득해 보십시오.

(a)

$[0,1]$ 은 콤팩트합니다. 스스로 납득해 보십시오! 단위 구간 안에 아주 많은 점이 있다고 상상해 보십시오…
(b)

구면 $S^{2}=\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ 은 콤팩트합니다.
(c)

단위 공 $B^{2}=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ 은 콤팩트합니다.
(d)

$\mathbb{R}^{2}$ 안에 있는 하와이안 귀걸이는 콤팩트합니다. 이는 그림 8.1에서처럼 각 $n$ 에 대해 반지름이 $\frac{1}{n}$ 이고 서로 접하는 원들로 이루어져 있습니다.

그림 8.1: 하와이안 귀걸이.

더 많은 예를 만드는 데 도움이 되도록 다음 사실을 짚어 둡니다.

명제 8.1.6 (콤팩트 집합의 닫힌 부분집합).

점렬 콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트합니다.

질문 8.1.7.

이를 증명하십시오. (정의로부터 쉽게 따라 나올 것입니다.)

이 예들에 대해서는 조금 더 작업이 필요하며, 이는 다음 절에서 다룹니다.

8.2 콤팩트성의 판정 기준

정리 8.2.1 (티호노프 정리).

$X$ 와 $Y$ 가 콤팩트 공간이면 $X\times Y$ 도 콤팩트 공간입니다.

증명.

문제 8E. ∎

또한 다음이 성립합니다.

정리 8.2.2 (구간은 콤팩트합니다).

$[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

증명.

문제 8F에 의해 바로 해결됩니다. 그렇지만 여기서 직접적인 증명의 개요를 소개합니다. $[0,1]$ 을 $[0,\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},1]$ 로 나눕니다. 비둘기집 원리에 의해 수열의 항 중 무한히 많은 항이 (예를 들어) 왼쪽 절반에 놓입니다. 그중 첫 번째 항을 $x_{1}$ 이라 하고, $x_{1}$ 이후의 항 중 왼쪽 절반에 있는 항만 남깁니다. 이제 $[0,\frac{1}{2}]$ 을 $[0,\frac{1}{4}]\cup[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$ 로 나눕니다. 다시 비둘기집 원리에 의해 무한히 많은 항이 어느 한쪽 절반에 속하므로, 그중 하나를 골라 $x_{2}$ 라 합니다. 이 과정을 반복합니다. 이렇게 하면 코시 수열 $x_{1}$ , $x_{2}$ , … 를 얻게 되며, $[0,1]$ 이 완비이므로 이 수열은 수렴합니다. ∎

이제 유클리드 공간에 관한 주요 정리를 증명할 수 있습니다. $\mathbb{R}^{n}$ 에서 콤팩트성은 “닫혀 있고 유계인 것”과 동치입니다.

정리 8.2.3 (볼차노-바이어슈트라ß).

$\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합은 닫혀 있고 유계일 때, 그리고 오직 그때에만 콤팩트합니다.

질문 8.2.4.

이것으로부터 왜 앞의 예들에 나온 공간들이 콤팩트하다는 결론이 나옵니까?

증명.

닫혀 있고 유계인 $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 을 생각해 봅시다. $S$ 는 유계이므로 어떤 상자 $[a_{1},b_{1}]\times[a_{2},b_{2}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ 안에 놓입니다. 각 $[a_{i},b_{i}]$ 가 콤팩트하므로, 티호노프 정리에 의해 상자 전체도 콤팩트합니다. $S$ 는 이 콤팩트한 상자의 닫힌 부분집합이므로 증명이 끝납니다. ∎

이것이 성립하려면 반드시 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 다루어야 합니다! 다른 공간에서는 이 판정 기준이 쉽게 성립하지 않을 수 있습니다.

예제 8.2.5 (닫혀 있고 유계이지만 콤팩트하지 않은 경우).

$S=\{s_{1},s_{2},\dots\}$ 를 이산 거리가 주어진 임의의 무한집합이라 합시다. 그러면 $S$ 는 닫혀 있고 (수렴하는 수열은 모두 상수 수열이므로) $S$ 는 유계이지만 (모든 점이 서로 거리 $1$ 만큼 떨어져 있으므로), 수열 $s_{1},s_{2},\dots$ 가 수렴하지 않으므로 분명히 콤팩트하지 않습니다.

문제 8F인 볼차노-바이어슈트라스 정리는 거리 공간에서 어떤 집합이 콤팩트한지를 기하학적인 방식으로 정확히 알려 줍니다.

8.3 열린 덮개를 이용한 콤팩트성

대표적인 예: $[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

콤팩트성과 관련된 두 번째 개념이 있으며, 지금부터 이를 정의하겠습니다. 다음 정의들은 동기가 전혀 없어 보일 수 있지만, 조금만 참고 따라와 주십시오.

정의 8.3.1.

위상 공간 $X$ 의 열린 덮개란 $X$ 를 덮는 열린집합들의 모임 $\{U_{\alpha}\}$ (무한하거나 비가산일 수도 있습니다)입니다. 즉, $X$ 의 모든 점이 $U_{\alpha}$ 중 적어도 하나에 속하므로

X=\bigcup U_{\alpha}.

가 성립합니다.

부분 덮개는 이름 그대로의 뜻입니다. $X$ 가 여전히 덮이도록 하면서 $U_{\alpha}$ 중 일부만을 취한 것입니다.

그림을 하나 보겠습니다:

정의 8.3.2.

위상 공간 $X$ 의 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지면 $X$ 를 준콤팩트하다고 합니다. 여기에 더해 하우스도르프이기도 하면 $X$ 를 콤팩트하다고 합니다.

비고 8.3.3.

제가 슬쩍 끼워 넣은 “하우스도르프” 가정은 일종의 건전성 조건으로, 여러분이 다룰 공간은 모두 하우스도르프이므로 대수기하학 장을 공부하는 경우가 아니라면 신경 쓸 필요가 없습니다. (실제로 어떤 저자들은 이 조건을 굳이 포함하지도 않습니다.) 예를 들어 모든 거리 공간은 하우스도르프이므로, 거리 공간을 다룰 때는 이 조건을 안심하고 무시해도 됩니다.

이것은 무슨 뜻일까요? 예를 하나 들어 보겠습니다:

예제 8.3.4 (유한 부분 덮개의 예).

단위 정사각형 $M=[0,1]^{2}$ 의 모든 점마다 그 점을 중심으로 하는 지름 $1$ 인 열린 원판을 놓아(넘치는 부분은 잘라 냅니다) $M$ 을 덮는다고 합시다. 모든 점은 많은 열린집합에 속하며, 특히 그중 하나의 중심이므로 이것은 분명히 열린 덮개입니다.

하지만 이는 지나치게 과합니다 – 정사각형 전체를 덮는 데에는 이 원들 중 네 개 정도만 있으면 충분합니다. 이것이 바로 “유한 부분 덮개”가 뜻하는 바입니다.

이것이 왜 중요할까요? 다음 때문입니다:

정리 8.3.5 (점렬 콤팩트 $\iff$ 콤팩트).

거리 공간 $M$ 이 점렬 콤팩트일 필요충분조건은 $M$ 이 콤팩트인 것입니다.

증명은 마지막 절로 미루겠습니다.

이로써 우리가 원하던 정의의 동기를 얻게 됩니다. 점렬 콤팩트성은 납득이 가는 조건이었습니다. 열린 덮개를 이용한 정의는 이상해 보였지만, 결국 동치임이 밝혀졌습니다. 그런데 이제 우리는 열린 덮개 정의를 더 선호합니다. 가능하면 언제나 열린집합만을 기반으로 하는 정의에 의존하고 싶다는 것을 보았기 때문입니다. 그래야 예를 들어 위상동형사상에 의해 보존됩니다.

예제 8.3.6 (콤팩트성이 없는 예).

공간 $X=[0,1)$ 은 어느 의미로도 콤팩트가 아닙니다. 이 공간은 완비조차 아니므로 점렬 콤팩트가 아님을 이미 알 수 있습니다( $x_{n}=1-\frac{1}{n}$ 을 보십시오). 덮개 정의로 콤팩트가 아님을 확인하려면, $m=1,2,\dots$ 에 대하여 집합

U_{m}=\left[0,1-\frac{1}{m+1}\right)

을 생각하십시오. 그러면 $X=\bigcup U_{i}$ 이므로 $U_{i}$ 들은 실제로 덮개입니다. 그러나 $U_{i}$ 들의 어떤 유한 모임도 $X$ 를 덮지 못합니다.

질문 8.3.7.

$[0,1]$ 이 콤팩트임을 스스로 납득해 보십시오. 이는 점렬 콤팩트임보다 조금 덜 직관적입니다.

표기의 남용 8.3.8.

따라서 앞으로는 거리 공간을 “점렬 콤팩트”라고 부르지 않겠습니다 — 그냥 “콤팩트”라고 하겠습니다. (사실 앞의 몇 절에서 이미 어느 정도 그렇게 해 왔습니다.)

8.4 콤팩트성의 응용

콤팩트성 덕분에 무한 열린 덮개를 유한한 열린 덮개로 줄일 수 있습니다. 사실 열린 덮개가 태평할 정도로 어리석은 것이어도 이렇게 할 수 있습니다. 공간의 모든 점 $x$ 각각에 대해 $x\in X$ 의 열린 근방을 하나씩 모아 열린 덮개를 만드는 경우가 매우 흔합니다. 이렇게 하면 열린집합의 개수가 엄청나게 많아지지만, 그럼에도 콤팩트성 덕분에 유한집합으로 줄일 수 있습니다.

전형적인 사용 예를 하나 들면 다음과 같습니다:

명제 8.4.1 (콤팩트 $\implies$ 완전 유계).

$M$ 이 콤팩트라고 합시다. 그러면 $M$ 은 완전 유계입니다.

덮개를 이용한 증명.

모든 점 $p\in M$ 에 대하여 $p$ 의 $\varepsilon$ -근방을 잡고, 이를 $U_{p}$ 라 합시다. 각 점 $p$ 는 적어도 자신의 열린 근방 $U_{p}$ 에는 덮인다는 지극히 어처구니없는 이유로, 이들은 $M$ 을 덮습니다. 그러면 콤팩트성에 의해 유한 부분 덮개를 잡을 수 있습니다. ∎

다음은 콤팩트 공간 사이의 사상에 관한 중요한 결과입니다.

정리 8.4.2 (콤팩트 집합의 상은 콤팩트입니다).

$X$ 가 콤팩트일 때 $f\colon X\to Y$ 가 연속함수라고 합시다. 그러면 상

f^{\text{img}}(X)\subseteq Y

는 콤팩트입니다.

덮개를 이용한 증명.

$Y$ 에서 $f^{\text{img}}(X)$ 의 임의의 열린 덮개 $\{V_{\alpha}\}$ 를 잡습니다. $f$ 의 연속성에 의해, 이것을 당겨오면 $X$ 의 열린 덮개 $\{U_{\alpha}\}$ 가 됩니다. 따라서 이것의 어떤 유한 부분 덮개가 $X$ 를 덮습니다. 이에 대응하는 $V$ 들이 $f^{\text{img}}(X)$ 를 덮습니다. ∎

질문 8.4.3.

연속성과 콤팩트성의 점열 정의를 이용하여 다른 증명을 제시하십시오. (이쪽이 훨씬 더 쉽습니다.)

이로부터 얻어지는 몇 가지 멋진 따름정리는 다음과 같습니다.

따름정리 8.4.4 (최대·최소 정리).

$X$ 가 콤팩트이고 연속함수 $f\colon X\to\mathbb{R}$ 를 생각합시다. 그러면 $f$ 는 어떤 점에서 최댓값을 가집니다. 즉 다른 모든 $q\in X$ 에 대해 $f(p)\geq f(q)$ 를 만족하는 점 $p\in X$ 가 존재합니다.

따름정리 8.4.5 (중간값 정리).

연속함수 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ 를 생각합시다. 그러면 $f$ 의 상은 어떤 실수 $a\leq b$ 에 대해 $[a,b]$ 꼴입니다.

증명의 개요.

핵심은 $f$ 의 상이 $\mathbb{R}$ 에서 콤팩트이고, 따라서 닫혀 있으며 유계라는 것입니다. 닫힌집합은 닫힌구간들의 합집합일 뿐이라는 것을 스스로 납득할 수 있을 것입니다. 이로부터 최대·최소 정리가 따라 나옵니다.

$X=[0,1]$ 일 때 상은 연결되어 있기도 하므로, $f^{\text{img}}([0,1])$ 에는 닫힌구간이 하나만 있어야 합니다. 상이 유계이므로, 이것이 $[a,b]$ 꼴임을 알 수 있습니다. (완전한 증명을 하려면 이른바 상한 성질을 사용해야 하지만, 잠자리에서 들려줄 이야기로는 조금 복잡합니다. 게다가 저는 $\mathbb{R}$ 이 지루하다고 생각합니다.) ∎

예제 8.4.6 ( $1/x$ ).

여기서 콤팩트성 가정은 정말 중요합니다. 그렇지 않은 경우로 다음 함수를 생각해 봅시다.

(0,1)\to\mathbb{R}\quad\text{의해}\quad x\mapsto\frac{1}{x}.

이 함수(그래프를 그리면 쌍곡선이 됩니다)는 유계가 아닙니다. 본질적으로 문제는 이 함수가 $x=0$ 근처에서 발산하기 때문에 $[0,1]$ 위의 함수로 확장할 수 없다는 점이며, 이는 그래프로 확인할 수 있습니다.

마지막 응용으로, $M$ 이 콤팩트 거리 공간이면 연속함수 $f\colon M\to N$ 은 특별히 “좋은” 방식으로 연속입니다.

정의 8.4.7.

거리 공간 사이의 함수 $f\colon M\to N$ 이 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 (오직 $\varepsilon$ 에만 의존하는) $\delta>0$ 가 존재하여 $d_{M}(x,y)<\delta$ 일 때마다 $d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon$ 도 성립하면, $f$ 를 균등 연속이라고 합니다.

이 이름은 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $M$ 의 모든 점에서 통하는 $\delta$ 가 필요하다는 뜻입니다.

예제 8.4.8 (균등 연속성).

(a)

$x\mapsto ax+b$ 꼴의 $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 함수는 모두 균등 연속입니다. 언제나 $\delta=\varepsilon/|a|$ 로 잡을 수 있기 때문입니다( $a=0$ 이면 $\delta=1$ 로 잡습니다).
(b)

사실 유계인 도함수를 가지는 미분 가능 함수 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 균등연속입니다. (역은 거짓인데, 균등연속이라고 해서 미분 가능하다는 보장이 전혀 없기 때문입니다.)
(c)

$x\mapsto x^{2}$ 로 정의되는 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 는 균등연속이 아닙니다. $x$ 가 클 때에는 $x$ 를 $\delta$ 만큼 아주 조금만 바꾸어도 $x^{2}$ 가 꽤 크게 변하기 때문입니다. (원한다면 지금 이를 엄밀하게 증명해 보십시오.)

$f(2017.01)-f(2017)>40$ 을 생각해 보십시오. $\delta=0.01$ 일 때에도 여전히 $f$ 에 큰 변화를 일으킬 수 있습니다.
(d)

그러나 $(0,1)$ 이나 $[0,1]$ 로 제한하면 함수 $x\mapsto x^{2}$ 는 균등연속이 됩니다. (이제 $\varepsilon>0$ 에 대하여 예를 들어 $\delta=\min\{1,\varepsilon\}/3$ 을 택할 수 있습니다.)
(e)

$x\mapsto 1/x$ 로 정의되는 함수 $(0,1)\to\mathbb{R}$ 는 균등연속이 아닙니다(이유는 앞과 같습니다).

이제 약속한 대로 다음을 보이겠습니다.

명제 8.4.9 (콤팩트 공간에서 연속 $\implies$ 균등연속).

$M$ 이 콤팩트이고 $f\colon M\to N$ 이 연속이면, $f$ 는 균등연속입니다.

수열을 이용한 증명.

$\varepsilon>0$ 을 고정하고, 귀류법을 위해 모든 $\delta=1/k$ 에 대하여 서로 $\delta$ 이내에 있지만 상은 $\varepsilon>0$ 만큼 떨어져 있는 점 $x_{k}$ 와 $y_{k}$ 가 존재한다고 가정합시다. 콤팩트성에 의해 수렴하는 부분수열 $x_{i_{k}}\to p$ 를 택합니다. 그러면 $x_{k}$ 들과 $y_{k}$ 들이 서로 가까우므로 $y_{i_{k}}\to p$ 도 성립합니다. 따라서 점렬 연속성에 의해 두 수열 $f(x_{i_{k}})$ 와 $f(y_{i_{k}})$ 는 모두 $f(p)$ 로 수렴해야 하지만, 두 수열은 항상 $\varepsilon$ 만큼 떨어져 있으므로 이는 성립할 수 없습니다. ∎

8.5 (선택) 콤팩트성의 여러 정의의 동치성

다음을 증명하겠습니다.

정리 8.5.1 (일반 거리 공간에 대한 하이네-보렐 정리).

거리 공간 $M$ 에 대하여 다음은 동치입니다.

(i)

모든 수열은 수렴하는 부분수열을 가집니다.
(ii)

공간 $M$ 은 완비이고 완전유계입니다.
(iii)

모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 가집니다.

(i) $\iff$ (ii)의 증명은 문제 8F로 남겨 둡니다. 증명의 아이디어는 정리 8.2.2의 발상과 매우 비슷합니다.

(i)과 (ii) $\implies$ (iii)의 증명.

그 자체로도 흥미로운 다음 보조정리를 증명합니다.

보조정리 8.5.2 (르베그 수 보조정리).

$M$ 을 콤팩트 거리 공간, $\{U_{\alpha}\}$ 를 열린 덮개라고 합시다. 그러면 임의의 점 $p$ 의 $\delta$ -근방이 어떤 $U_{\alpha}$ 에 완전히 포함되도록 하는 실수 $\delta>0$ 이 존재하며, 이를 그 덮개의 르베그 수라고 부릅니다.

보조정리의 증명.

귀류법을 위해 모든 $\delta=1/k$ 에 대하여 $1/k$ -근방이 어떤 $U_{\alpha}$ 에도 포함되지 않는 점 $x_{k}\in M$ 이 존재한다고 가정합시다. 이렇게 수열 $x_{1}$ , $x_{2}$ , …를 구성하면, 어떤 $x$ 로 수렴하는 부분수열을 택할 수 있습니다. 그러면 모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $d(x_{n},x)+1/n<\varepsilon$ 를 만족하는 정수 $n$ 을 찾을 수 있습니다. 따라서 모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $x$ 의 $\varepsilon$ -근방은 어떤 $U_{\alpha}$ 에도 포함되지 않습니다. 그런데 $x$ 가 어떤 열린집합에 덮인다고 가정했으므로 이는 불가능합니다. ∎

이제 덮개의 르베그 수 $\delta$ 를 택합니다. $M$ 은 완전유계이므로 유한 개의 $\delta$ -근방이 공간을 덮고, 따라서 유한 개의 $U_{\alpha}$ 도 공간을 덮습니다. ∎

(iii) $\implies$ (ii)의 증명.

한 단계는 바로 나옵니다.

질문 8.5.3.

덮개 조건 $\implies$ 완전유계임을 보이십시오.

까다로운 부분은 $M$ 이 완비임을 보이는 것입니다. 귀류법을 위해 $M$ 이 완비가 아니라고, 즉 수열 $(x_{k})$ 가 코시 수열이지만 어떤 점으로도 수렴하지 않는다고 가정합시다.

질문 8.5.4.

이로부터 각 $p\in M$ 에 대하여 수열 $(x_{k})$ 의 점을 기껏해야 유한 개만 포함하는 $\varepsilon_{p}$ -근방 $U_{p}$ 가 존재함을 보이십시오. ( $x_{k}\not\to p$ 이고 $(x_{k})$ 가 코시 수열이라는 사실을 사용해야 합니다.)

이제 $M=\bigcup_{p}U_{p}$ 를 생각하면 이 열린 근방들의 유한 부분 덮개를 얻습니다. 그러나 이 유한 부분 덮개는 열의 점을 유한 개밖에 덮을 수 없으므로 모순입니다. ∎

8.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

뒤쪽 문제들은 꽤 어렵습니다. 일부는 IMO 3/6번 스타일의 구성 문제와 비슷한 느낌을 줍니다. 무슨 일이 일어나는지 알 수 있도록 그림을 많이 그려 보는 것이 중요합니다. 이 중에서 문제 8F가 단연 제가 가장 좋아하는 것입니다.

문제 8A.

닫힌구간 $[0,1]$ 과 열린구간 $(0,1)$ 이 위상동형이 아님을 보이십시오.

힌트. $[0,1]$ 은 콤팩트합니다.

풀이. 콤팩트성은 위상동형사상에 의해 보존되지만, $[0,1]$ 은 콤팩트한 반면 $(0,1)$ 은 그렇지 않습니다.

문제 8B.

$X$ 를 이산 위상을 갖춘 위상 공간이라고 합시다. 어떤 조건에서 $X$ 가 콤팩트합니까?

힌트. 유한할 때, 그리고 그때에만 콤팩트합니다.

문제 8C (여유한 위상은 준콤팩트하기만 합니다).

$X$ 를 무한집합이라 하고 여기에 여유한 위상을 줍시다. 이 위상에서 열린집합은 공집합과 유한집합의 여집합입니다. 이로써 $X$ 는 위상 공간이 됩니다. $X$ 가 준콤팩트하지만 하우스도르프가 아님을 보이십시오.

문제 8D (칸토어 교집합 정리).

$X$ 를 콤팩트 위상 공간이라 하고,

X=K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq\dots

가 공집합이 아닌 닫힌 부분집합들이 차례로 포함되는 무한 수열이라고 가정합시다. $\bigcap_{n\geq 0}K_{n}\neq\varnothing$ 임을 보이십시오.

문제 8E (티호노프 정리).

$X$ 와 $Y$ 를 콤팩트 거리 공간이라고 합시다. $X\times Y$ 가 콤팩트함을 보이십시오. (이는 일반적인 위상 공간에 대해서도 성립하지만, 그 증명은 놀라울 정도로 어려우며, 우리는 아직 일반적인 경우의 $X\times Y$ 를 정의하지도 않았습니다.)

힌트. $p_{i}=(x_{i},y_{i})$ 가 $X\times Y$ 의 수열이라고 합시다( $i=1,2,\dots$ ). $x$ -좌표가 수렴하도록 부분수열을 택하십시오(일부 항을 버립니다). 그다음 그 부분수열에서 $y$ -좌표가 수렴하도록 다시 부분수열을 택하십시오(더 많은 항을 버립니다).

풀이. $p_{i}=(x_{i},y_{i})$ 가 $X\times Y$ 의 수열이라고 합시다( $i=1,2,\dots$ ). $X$ 쪽을 보면 어떤 부분수열이 수렴합니다. 예를 들어 그것이 $x_{1},x_{4},x_{9},x_{16},\dots\to x$ 라고 합시다. 그다음 이에 대응하는 수열 $y_{1},y_{4},y_{9},y_{16},\dots$ 를 살펴봅니다. $Y$ 의 콤팩트성을 이용하면 이 수열은 수렴하는 부분수열을 가지며, 이를 $y_{1},y_{16},y_{81},y_{256},\dots\to y$ 라고 합시다. 그러면 $p_{1},p_{16},p_{81},\dots$ 는 $(x,y)$ 로 수렴합니다.

흔히 하는 실수 중 하나는 $(x_{n})$ 이 수렴하는 부분수열을 가지고 $(y_{n})$ 도 그렇다고 결론짓고 끝내는 것입니다. 하지만 이 두 수열은 전혀 무관할 수 있습니다. 이 증명이 성립하려면 여기서 한 것처럼 먼저 $X$ 의 콤팩트성을 적용한 다음, 그 결과로 얻은 걸러진 수열에 $Y$ 의 콤팩트성을 적용해야 합니다.

문제 8F (일반적인 거리 공간에 대한 Bolzano-Weierstraß 정리).

^†^†margin:

거리 공간 $M$ 이 점렬 콤팩트일 필요충분조건은 $M$ 이 완비이고 전유계인 것임을 증명하십시오.

힌트. 정리 8.2.2의 증명을 흉내 내십시오. 전유계 조건을 이용하면 비둘기집 원리를 적용할 수 있습니다.

문제 8G (거의 Arzelà-Ascoli 정리).

^†^†margin:

$f_{1},f_{2},\ldots\colon[0,1]\to[-100,100]$ 을 동등연속인 함수열이라고 합시다. 즉,

\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall n\;\forall x,y\quad\left(% \left\lvert x-y\right\rvert<\delta\implies\left\lvert f_{n}(x)-f_{n}(y)\right% \rvert<\varepsilon\right)

이 함수들의 부분수열 $f_{i_{1}},f_{i_{2}},\dots$ 로서 모든 $x\in[0,1]$ 에 대하여 수열 $f_{i_{1}}(x)$ , $f_{i_{2}}(x)$ , … 이 수렴하는 것을 뽑아낼 수 있음을 보이십시오.

문제 8H.

^†^†margin:

$M=(M,d)$ 를 유계인 거리 공간이라고 합시다. $(M,d)$ 와 $(M,d^{\prime})$ 가 위상동형이 되는(즉 같은 열린집합을 갖는) $M$ 위의 다른 거리 $d^{\prime}$ 가 주어질 때마다 $d^{\prime}$ 또한 유계라고 가정합시다. $M$ 이 콤팩트임을 증명하십시오.

힌트. $M$ 이 콤팩트하지 않다고 가정하고, 유계가 아닌 연속함수 $F\colon M\to\mathbb{R}$ 를 구성하십시오. 이러한 함수 $F$ 가 정의되면, 다음 거리

$d^{\prime}(x,y)\coloneqq d(x,y)+\left\lvert F(x)-F(y)\right\rvert$

가 문제의 대우를 증명하게 됩니다.

풀이. 다음 풀이는 Royce Yao에 의한 것입니다. 대우를 보이겠습니다. 즉, $M$ 이 콤팩트하지 않으면 위상동형이면서 유계가 아닌 거리가 존재합니다.

핵심 단계는 유계가 아닌 연속함수 $F\colon M\to\mathbb{R}$ 를 구성하는 것입니다. 이러한 함수 $F$ 가 정의되면, 다음 거리

$d^{\prime}(x,y)\coloneqq d(x,y)+\left\lvert F(x)-F(y)\right\rvert$

가 문제를 해결합니다.

그러므로 $a_{1}$ , $a_{2}$ , … 를 수렴하는 부분수열이 없는 $M$ 의 수열이라 합시다. 각 $a_{i}$ 에 대하여, 다음을 만족하는 반지름 $r_{i}$ 가 존재합니다.

$0<r_{i}<\frac{1}{2}\min_{j\neq i}d(a_{i},a_{j})$

$C_{i}$ 를 $a_{i}$ 를 중심으로 하고 반지름이 $r_{i}$ 인 열린 공으로 정의합니다. 모든 공이 서로소임에 유의하십시오. 그러면 $F$ 를 다음과 같이 정의합니다.

$F(x)=\begin{cases}0&x\not\in C_{i}\\ \frac{i}{r_{i}}(r_{i}-d(x,a_{i}))&x\in C_{i}\end{cases}$

이 함수는 연속임을 알 수 있습니다. 그러면 $i$ 가 무한대로 갈 때의 $F(a_{i})$ 를 생각하면 $F$ 가 유계가 아님을 알 수 있습니다.

문제 8I.

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이 문제에서 “원”은 반지름이 0이 아닌 원판의 경계를 가리킵니다.

(a)

평면 $\mathbb{R}^{2}$ 를 서로소인 원들로 분할하는 것이 가능합니까?
(b)

평면 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 서로 다른 두 점 $p$ 와 $q$ 를 제거합니다. 남은 점들을 서로소인 원들로 분할하는 것이 가능합니까?

힌트. 두 부분 모두 답은 ’아니오’입니다.

(a)에 대해서는 문제 8D를 이용하십시오.

(b)에 대해서는, 분할의 각 원을 그것이 $p$ 는 포함하지만 $q$ 는 포함하지 않는지, $q$ 는 포함하지만 $p$ 는 포함하지 않는지, 아니면 둘 다 포함하는지에 따라 색칠하십시오.

풀이. (a)는 칸토어 교집합 정리(문제 8D)로부터 따라 나옵니다. 귀류법으로, 그러한 분할이 존재한다고 가정합시다. 원 중 아무것이나 하나 $C_{0}$ 를 택하고, $K_{0}$ 를 경계가 $C_{0}$ 인 닫힌 원판이라 합시다. 이제 $C_{0}$ 의 중심을 지나는 원 $C_{1}$ 을 택하고, $K_{1}$ 을 경계가 $C_{1}$ 인 닫힌 원판이라 합시다. 이런 방식으로 반복하면 포개진 수열 $K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq\dots$ 를 얻고, $C_{i}$ 의 반지름은 0으로 수렴합니다(각 반지름이 이전 반지름의 절반 이하이기 때문입니다). 따라서 어떤 점 $p$ 가 $\bigcap_{n}K_{n}$ 에 속하는데, 이는 불가능합니다.

이제 (b)에 대하여, 다시 귀류법으로 원들로의 분할이 존재한다고 가정합시다. 원이 $p$ 는 포함하지만 $q$ 는 포함하지 않으면 마젠타색으로 칠하고, $q$ 는 포함하지만 $p$ 는 포함하지 않으면 시안색으로 칠합니다. 또한 $p$ 자체는 마젠타색으로, $q$ 자체는 시안색으로 칠합니다. 마지막으로, 원이 $p$ 와 $q$ 를 모두 포함하면 네온 노란색으로 칠합니다. (원을 색칠한다는 것은 그 원 위의 모든 점을 색칠한다는 뜻입니다.)

(a)의 논증을 반복하면 $p$ 와 $q$ 중 어느 것도 둘러싸지 않는 원은 존재하지 않습니다. 따라서 모든 점은 마젠타색, 시안색, 네온 노란색 중 하나입니다. 이제 임의의 마젠타색 원이 주어지면 그 내부는 완전히 마젠타색임에 유의하십시오. 실제로, 마젠타색 원들은 포함 관계에 의해 전순서로 정렬될 수 있습니다(서로 교차할 수 없기 때문입니다). 따라서 두 가지 경우를 고려합니다.

•

포함 관계에 대해 극대인 마젠타색 원(즉, 다른 어떤 마젠타색 원에도 포함되지 않는 마젠타색 원)이 존재하면, 모든 마젠타색 점의 집합은 단순히 닫힌 원판입니다.

•

그러한 마젠타색 원이 존재하지 않으면, 마젠타색 점의 집합은 모든 마젠타색 원의 내부들의 합집합으로도 표현될 수 있습니다. 이는 열린집합들의 합집합이므로, 그 자체로 열린집합입니다.

따라서 마젠타색 점의 집합은 닫힌 원판이거나 열린집합이라는 결론을 얻습니다. 시안색 점의 집합도 마찬가지입니다. 더욱이, 그러한 점들의 집합은 볼록합니다.

문제를 마무리하겠습니다.

•

네온 노란색 점이 없다고 가정합시다. 마젠타색 점들이 닫힌 원판을 이룬다면, 시안색 점들은 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 원판을 뺀 것이 되는데, 이는 볼록하지 않습니다. 모순입니다. 따라서 마젠타색 점들은 열린집합이어야 합니다. 마찬가지로 시안색 점들도 열린집합이어야 합니다. 그러나 $\mathbb{R}^{2}$ 는 연결되어 있으므로, 두 열린집합의 합집합으로 쓸 수 없습니다.

•

이제 네온 노란색 점이 있다고 가정합시다. 포함 관계에 대해 극소인 네온 노란색 원이 존재한다고 주장합니다. 그렇지 않다면, 모든 네온 노란색 원의 지름은 $p$ 에서 $q$ 까지의 거리 이상이어야 하므로, (a)의 논증을 반복하여 모순을 얻습니다. 따라서 내부가 모두 마젠타색과 시안색인 네온 노란색 원 $\mathscr{C}$ 를 찾을 수 있습니다. 이제 $\mathbb{R}^{2}$ 를 $\mathscr{C}$ 의 내부로 바꾸어 앞 부분의 논증을 반복하십시오.

장 8 콤팩트성

8.1 점렬 콤팩트성의 정의

정의 8.1.1.

정의 8.1.2.

예제 8.1.3 (콤팩트 거리 공간이 아닌 예).

질문 8.1.4.

예제 8.1.5 (콤팩트 공간의 예).

명제 8.1.6 (콤팩트 집합의 닫힌 부분집합).

질문 8.1.7.

8.2 콤팩트성의 판정 기준

정리 8.2.1 (티호노프 정리).

증명.

정리 8.2.2 (구간은 콤팩트합니다).

증명.

정리 8.2.3 (볼차노-바이어슈트라ß).

질문 8.2.4.

증명.

예제 8.2.5 (닫혀 있고 유계이지만 콤팩트하지 않은 경우).

8.3 열린 덮개를 이용한 콤팩트성

정의 8.3.1.

정의 8.3.2.

비고 8.3.3.

예제 8.3.4 (유한 부분 덮개의 예).

정리 8.3.5 (점렬 콤팩트 ⇔ 콤팩트).

예제 8.3.6 (콤팩트성이 없는 예).

질문 8.3.7.

표기의 남용 8.3.8.

8.4 콤팩트성의 응용

명제 8.4.1 (콤팩트 ⟹ 완전 유계).

덮개를 이용한 증명.

정리 8.4.2 (콤팩트 집합의 상은 콤팩트입니다).

덮개를 이용한 증명.

질문 8.4.3.

따름정리 8.4.4 (최대·최소 정리).

따름정리 8.4.5 (중간값 정리).

증명의 개요.

예제 8.4.6 (1/x).

정의 8.4.7.

예제 8.4.8 (균등 연속성).

명제 8.4.9 (콤팩트 공간에서 연속 ⟹ 균등연속).

수열을 이용한 증명.

8.5 (선택) 콤팩트성의 여러 정의의 동치성

정리 8.5.1 (일반 거리 공간에 대한 하이네-보렐 정리).

(i)과 (ii) ⟹ (iii)의 증명.

보조정리 8.5.2 (르베그 수 보조정리).

보조정리의 증명.

(iii) ⟹ (ii)의 증명.

질문 8.5.3.

질문 8.5.4.

8.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 8A.

문제 8B.

문제 8C (여유한 위상은 준콤팩트하기만 합니다).

문제 8D (칸토어 교집합 정리).

문제 8E (티호노프 정리).

문제 8F (일반적인 거리 공간에 대한 Bolzano-Weierstraß 정리).

문제 8G (거의 Arzelà-Ascoli 정리).

문제 8H.

문제 8I.

정리 8.3.5 (점렬 콤팩트 $\iff$ 콤팩트).

명제 8.4.1 (콤팩트 $\implies$ 완전 유계).

예제 8.4.6 ( $1/x$ ).

명제 8.4.9 (콤팩트 공간에서 연속 $\implies$ 균등연속).

(i)과 (ii) $\implies$ (iii)의 증명.

(iii) $\implies$ (ii)의 증명.