장 75 특이 코호몰로지

이 장의 동기를 부여하는 한 가지 방법이 있습니다. 다음이 성립함이 밝혀집니다:

•

모든 $n$ 에 대해 $H_{n}(\mathbb{CP}^{2})\cong H_{n}(S^{2}\vee S^{4})$ 입니다.
•

모든 $n$ 에 대해 $H_{n}(\mathbb{CP}^{3})\cong H_{n}(S^{2}\times S^{4})$ 입니다.

이는 불행한 일인데, 가능하다면 이 공간들을 구별하고 싶지만(실제로 이들은 호모토피 동치가 아니기 때문입니다), 호몰로지 군으로는 이들의 차이를 구별할 수 없기 때문입니다.

이 장에서는 코호몰로지 군 $H^{n}(X)$ 와 $H^{n}(Y)$ 를 정의하겠습니다. 사실 $H^{n}$ 들은 이른바 보편 계수 정리에 의해 $H_{n}$ 들로 완전히 결정됩니다. 하지만 모든 코호몰로지 군을 모아 코호몰로지 환 $H^{\bullet}$ 을 이룰 수 있음이 밝혀집니다.¹¹1[HAT02]에는 왜 코호몰로지가 호몰로지보다 더 많은 구조를 갖는지에 대한 설명이 있습니다 — 대략적으로 말하면, 자연스러운 사상 $X\times X\to X$ 는 그다지 흥미롭지 않은 사영이어야 하지만, $p\mapsto(p,p)$ 로 주어지는 더 흥미로운 자연스러운 사상 $X\to X\times X$ 가 존재하기 때문입니다. 그러면 $H^{\bullet}(X)\not\cong H^{\bullet}(Y)$ 가 환으로서 성립하지 않음을 보게 될 것입니다.

75.1 코사슬 복합체

정의 75.1.1.

코사슬 복합체 $A^{\bullet}$ 은 지표가 증가한다는 점을 제외하면 대수적으로 사슬 복합체와 동일합니다. 즉 다음을 만족하는 아벨 군들의 수열입니다

\dots\xrightarrow{\delta}A^{n-1}\xrightarrow{\delta}A^{n}\xrightarrow{\delta}A% ^{n+1}\xrightarrow{\delta}\dots.

$\delta^{2}=0$ 을 만족합니다. 표기상으로는 이제 위첨자를 사용하며, $\partial$ 대신 $\delta$ 를 사용합니다. 코호몰로지 군을 다음과 같이 정의합니다

H^{n}(A^{\bullet})=\ker\left(A^{n}\xrightarrow{\delta}A^{n+1}\right)/% \operatorname{im}\left(A^{n-1}\xrightarrow{\delta}A^{n}\right).

예제 75.1.2 (드람 코호몰로지).

우리는 이미 코사슬 복합체의 한 예를 만난 바 있습니다: $M$ 을 매끄러운 다양체라 하고 $\Omega^{k}(M)$ 을 $M$ 위의 $k$ -형식들의 가법군이라 합시다. 그러면 다음과 같은 코사슬 복합체를 얻습니다

0\xrightarrow{d}\Omega^{0}(M)\xrightarrow{d}\Omega^{1}(M)\xrightarrow{d}\Omega% ^{2}(M)\xrightarrow{d}\dots.

그 결과로 얻어지는 코호몰로지를 드람 코호몰로지라 부르며, 뒤에서 설명하겠습니다.

드람의 코사슬 복합체 외에, 코사슬 복합체를 얻는 가장 흔한 방법은 사슬 복합체를 쌍대화하는 것입니다. 구체적으로, 아벨 군 $G$ 를 하나 고릅시다; $\operatorname{Hom}(-,G)$ 가 반변 함자임에 주목하면, 다음의 임의의 사슬 복합체를

\dots\xrightarrow{\partial}A_{n+1}\xrightarrow{\partial}A_{n}\xrightarrow{% \partial}A_{n-1}\xrightarrow{\partial}\dots

코사슬 복합체로 보냅니다: $A^{n}=\operatorname{Hom}(A_{n},G)$ 로 두면 다음을 얻습니다

\dots\xrightarrow{\delta}A^{n-1}\xrightarrow{\delta}A^{n}\xrightarrow{\delta}A% ^{n+1}\xrightarrow{\delta}\dots.

여기서 $\delta(A_{n}\xrightarrow{f}G)=A_{n+1}\xrightarrow{\partial}A_{n}\xrightarrow{f}G$ 입니다.

이것들이 우리가 대수적 위상수학에서 가장 많이 연구하는 코호몰로지 군이므로, 여기에 특별한 표기를 부여합니다.

정의 75.1.3.

아벨 군들의 사슬 복합체 $A_{\bullet}$ 과 또 다른 군 $G$ 가 주어졌을 때,

H^{n}(A_{\bullet};G)

를 $\operatorname{Hom}(-,G)$ 를 적용하여 얻은 쌍대 코사슬 복합체 $A^{\bullet}$ 의 코호몰로지 군으로 나타내기로 합니다. 다시 말해 $H^{n}(A_{\bullet};G)=H^{n}(A^{\bullet})$ 입니다.

75.2 공간의 코호몰로지

대표적인 예: $C^{0}(X;G)$ 는 모든 함수 $X\to G$ 이고, $H^{0}(X)$ 는 경로 성분에서 상수인 함수 $X\to G$ 입니다.

관심 있는 경우는 $C_{\bullet}(X)$ 를 사용하는 우리의 일반적인 기하학적 상황입니다.

정의 75.2.1.

공간 $X$ 와 아벨 군 $G$ 에 대해, 특이 사슬 복합체 $C_{\bullet}(X)$ 의 쌍대를 $C^{\bullet}(X;G)$ 로 정의하고, 이를 $X$ 의 특이 코사슬 복합체라 부릅니다; 그 원소들을 코사슬이라 부릅니다.

그러면 공간 $X$ 의 코호몰로지 군을 다음과 같이 정의합니다

H^{n}(X;G)\coloneqq H^{n}(C_{\bullet}(X);G)=H^{n}(C^{\bullet}(X;G)).

비고 75.2.2.

$G$ 가 (예를 들어 $\mathbb{Z}$ 나 $\mathbb{R}$ 처럼) 환이기도 하다면, $H^{n}(X;G)$ 는 아벨 군일 뿐만 아니라 실제로 $G$ -가군이 됨에 유의하십시오.

예제 75.2.3 ( $C^{0}(X;G)$ , $C^{1}(X;G)$ , $H^{0}(X;G)$ ).

$X$ 를 위상 공간이라 하고 $C^{\bullet}(X)$ 를 생각합시다.

•

$C_{0}(X)$ 는 $X$ 위의 자유 아벨 군이며, $C^{0}(X)=\operatorname{Hom}(C_{0}(X),G)$ 입니다. 따라서 $0$ -공사슬은 $X$ 의 모든 점을 $G$ 의 원소로 보내는 함수입니다.
•

$C_{1}(X)$ 는 $X$ 의 $1$ -단체들 위의 자유 아벨 군입니다. 따라서 $C^{1}(X)$ 는 모든 $1$ -단체를 $G$ 의 원소로 보내야 합니다.

이제 $\delta\colon C^{0}(X)\to C^{1}(X)$ 를 이해해 봅시다. $0$ -공사슬 $\phi\in C^{0}(X)$ , 즉 준동형사상 $\phi\colon C^{0}(X)\to G$ 가 주어졌을 때, $\delta\phi\colon C^{1}(X)\to G$ 는 무엇입니까? 답:

\delta\phi\colon[v_{0},v_{1}]\mapsto\phi([v_{0}])-\phi([v_{1}]).

따라서 $\ker(C^{0}\xrightarrow{\delta}C^{1})\cong H^{0}(X;G)$ 의 원소들은 경로 연결 성분 위에서 상수인 공사슬들입니다.

특히 $H_{0}(X)$ 와 매우 유사하게, $X$ 가 $r$ 개의 경로 연결 성분을 가질 때

H^{0}(X)\cong G^{\oplus r}

입니다 (여기서 $r$ 은 유한²²2 $X$ 가 무한히 많은 경로 연결 성분을 가질 경우 재미있는 일이 일어납니다. 즉 무한 인덱스 집합에 대해 $X=\coprod_{\alpha}X_{\alpha}$ 라고 합시다. 이 경우 $H_{0}(X)=\bigoplus_{\alpha}G$ 인 반면 $H^{0}(X)=\prod_{\alpha}G$ 입니다. 호몰로지에서는 직합을 얻는 반면 코호몰로지에서는 직접곱을 얻습니다. 이들은 무한 인덱스 집합에서는 실제로 서로 다릅니다. 일반적인 가군의 경우 $\bigoplus_{\alpha}M_{\alpha}$ 는 유한 개의 0이 아닌 항만 허용하도록 정의됩니다. (이는 냅킨에서 앞서 전혀 언급된 적이 없는데, 저는 $M\oplus N$ 만을 정의하고 이를 유한 직합으로 확장했을 뿐이기 때문입니다.) 군들의 곱인 $\prod_{\alpha}G_{\alpha}$ 에는 이런 제한이 없습니다. 이는 $C_{0}(X)$ 가 $G$ 의 경로 연결 성분들로부터 나온 $0$ -사슬들의 형식적 선형합(모든 형식적 합이 그렇듯 유한함)이라는 사실에 대응됩니다. 하지만 $C^{0}(X)$ 의 공사슬은 $X$ 의 각 경로 연결 성분에서 $G$ 로 가는 함수이며, 여기에는 아무 제한이 없습니다. ).

표기의 남용 75.2.4.

이 장에서 우리가 다룰 유일한 공사슬 복합체는 위와 같은 쌍대 복합체입니다. 따라서 공사슬 복합체 $A^{\bullet}$ 을 쓸 때마다 이는 $A_{\bullet}$ 에 $\operatorname{Hom}(-,G)$ 를 적용하여 암묵적으로 주어지는 것입니다.

더 높은 코호몰로지 군 $H^{n}(X;G)$ (또는 공사슬 군 $C^{n}(X;G)=\operatorname{Hom}(C_{n}(X),G)$ 조차도)는 구체적으로 설명하기가 더 어렵습니다.

75.3 공간들의 코호몰로지는 함자적입니다

이제 코호몰로지 군들이 여전히 동일한 좋은 함자적 성질을 보이는지 확인합니다. 먼저 우리가 앞서 얻었던 결과들을 범주화해 봅시다:

질문 75.3.1.

공사슬 복합체들의 범주 $\mathsf{CoCmplx}$ 를 정의합니다.

연습문제 75.3.2.

$\operatorname{Hom}(-,G)$ 를

\operatorname{Hom}(-,G)\colon\mathsf{Cmplx}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{CoCmplx}.

로부터의 반변 함자로 해석하십시오. 이는 특히 사슬 사상 $f\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ 가 주어지면, 쌍대 사상 $f^{\vee}\colon B^{\bullet}\to A^{\bullet}$ 를 자연스럽게 얻는다는 것을 의미합니다.

질문 75.3.3.

$H^{n}\colon\mathsf{CoCmplx}\to\mathsf{Grp}$ 을 함자로 해석합니다. 이들을 합성하여 반변 함자 $H^{n}(-;G)\colon\mathsf{Cmplx}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Grp}$ 를 얻습니다.

그러면 $H_{n}\colon\mathsf{hTop}\to\mathsf{Grp}$ 에 대한 우리의 결과와 정확히 유사하게 다음이 성립합니다:

정리 75.3.4 ( $H^{n}(-;G):\mathsf{hTop}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Grp}$ ).

모든 $n$ 에 대해, $H^{n}(-;G)$ 는 $\mathsf{hTop}^{\mathrm{op}}$ 에서 $\mathsf{Grp}$ 로 가는 반변 함자입니다.

증명.

아이디어는 앞서 각기둥 연산자를 구성하며 이미 했던 작업을 활용하는 것입니다. 먼저 $\mathsf{Top}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Grp}$ 의 함자들로 이루어진 전체 수열을 구성합니다:

여기서 $f^{\sharp}=(f_{\sharp})^{\vee}$ 이며, $f^{\ast}$ 는 공사슬 복합체의 호몰로지 군 위에 유도된 결과 사상입니다.

그러므로 이전과 마찬가지로 우리가 보여야 할 것은 $f\simeq g$ 이면 $f^{\ast}=g^{\ast}$ 라는 것뿐입니다. 이제 $f_{\sharp}-g_{\sharp}=P\partial+\partial P$ 를 만족하는 각기둥 연산자가 있었음을 상기합시다. 전체 함자 $\operatorname{Hom}(-;G)$ 를 적용하면 $f^{\sharp}-g^{\sharp}=\delta P^{\vee}+P^{\vee}\delta$ 를 얻는데, 여기서 $P^{\vee}\colon C^{n+1}(Y;G)\to C^{n}(X;G)$ 입니다. 따라서 $f^{\sharp}$ 와 $g^{\sharp}$ 는 사슬 호모토픽하므로 $f^{\ast}=g^{\ast}$ 입니다. ∎

75.4 보편 계수 정리

이제 우리는 코호몰로지 군들이 호몰로지 군들에 의해 동형사상까지 결정됨을 보이고자 합니다: $H_{n}(A_{\bullet})$ 가 주어지면, $H^{n}(A_{\bullet};G)$ 를 추출할 수 있습니다. 이는 보편 계수 정리에 의해 달성됩니다.

정리 75.4.1 (보편 계수 정리).

$A_{\bullet}$ 을 자유 아벨 군들의 사슬 복합체라 하고, $G$ 를 또 다른 아벨 군이라 합시다. 그러면 다음과 같은 자연스러운 짧은 완전열이 존재합니다

0\to\operatorname{Ext}(H_{n-1}(A_{\bullet}),G)\to H^{n}(A_{\bullet};G)% \xrightarrow{h}\operatorname{Hom}(H_{n}(A_{\bullet}),G)\to 0.

게다가 이 완전열은 분할되므로, 특히

H^{n}(C_{\bullet};G)\cong\operatorname{Ext}(H_{n-1}(A_{\bullet}),G)\oplus% \operatorname{Hom}(H_{n}(A_{\bullet}),G).

다행히도, 우리가 관심을 갖는 경우인 $A_{\bullet}$ 는 $C_{\bullet}(X)$ 이며 이는 정의상 자유입니다.

우리가 설명해야 할 것은 두 가지, 즉 사상 $h$ 가 무엇인지와 사상 $\operatorname{Ext}$ 가 무엇인지입니다.

h\colon H^{n}(A_{\bullet};G)\to\operatorname{Hom}(H_{n}(A_{\bullet}),G)

가 어떻게 정의되는지 추측하는 것은 그리 어렵지 않습니다. $H^{n}(A_{\bullet};G)$ 의 원소는 $A_{n}$ 의 순환을 $G$ 의 원소로 보내는 함수로 표현됩니다. 이 정리의 내용은 $h$ 가 전사이며 그 핵이 $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(A_{\bullet}),G)$ 임을 보이는 것입니다.

$\operatorname{Ext}$ 는 어떻습니까? $\operatorname{Ext}(-,G)$ 는 이른바 Ext 함자이며, 다음과 같이 정의됩니다. $H$ 를 아벨 군이라 하고, $H$ 의 자유 분해를 생각합시다. 이는 다음과 같은 완전열을 의미합니다

\dots\xrightarrow{f_{2}}F_{1}\xrightarrow{f_{1}}F_{0}\xrightarrow{f_{0}}H\to 0

여기서 각 $F_{i}$ 는 자유입니다. 그러면 $\operatorname{Hom}(-,G)$ 를 적용하여 다음과 같은 코사슬 복합체를 얻을 수 있습니다

\dots\xleftarrow{f_{2}^{\vee}}\operatorname{Hom}(F_{1},G)\xleftarrow{f_{1}^{% \vee}}\operatorname{Hom}(F_{0},G)\xleftarrow{f_{0}^{\vee}}\operatorname{Hom}(H% ,G)\leftarrow 0.

하지만 이 코사슬 복합체는 완전할 필요가 없습니다 (범주론적 용어로, $\operatorname{Hom}(-,G)$ 는 완전성을 보존하지 않습니다). 우리는

\operatorname{Ext}(H,G)\coloneqq\ker(f_{2}^{\vee})/\operatorname{im}(f_{1}^{% \vee})

로 정의하며, 이것이 자유 분해의 선택에 의존하지 않는다는 것이 정리입니다. 여기에는 많은 호몰로지 대수학이 관여하는데, 시간을 들여 논의하지는 않겠습니다. 하지만 제가 포함한 이 작은 부분의 요점은, 원하는 어떤 자유 분해든 골라서 위 계산을 할 수 있기 때문에 $\operatorname{Ext}$ 함자는 실제로 계산하기가 매우 쉽다는 것입니다.

비고 75.4.2.

여러분은 이미 위장된 형태로 ”자유 분해”를 본 적이 있습니다 — 절 18.3에서, 우리는 임의의 가군 $M$ 을 $R^{\oplus d}/K$ 로 씀으로써 PID 위의 유한생성 가군의 구조 정리를 증명했는데, 이때 $R^{\oplus d}$ 와 $K$ 모두 자유입니다. 이는 다음과 같은 자유 분해를 줍니다

\dots\to 0\to K\hookrightarrow R^{\oplus d}\twoheadrightarrow M\to 0.

직관적으로, $\operatorname{Ext}$ 함자를 ”있어야 하지만 없는 사상들”을 측정하는 것으로 생각할 수 있습니다 — 몇 가지 예를 본 후에 점차 직관을 얻게 될 것입니다.³³3https://mathoverflow.net/a/679에서 가져옴.

보조정리 75.4.3 ( $\operatorname{Ext}$ 함자 계산하기).

임의의 아벨 군 $G$ , $H$ , $H^{\prime}$ 에 대해 다음이 성립합니다

(a)

$\operatorname{Ext}(H\oplus H^{\prime},G)=\operatorname{Ext}(H,G)\oplus% \operatorname{Ext}(H^{\prime},G)$ .
(b)

$H$ 가 자유일 때 $\operatorname{Ext}(H,G)=0$ 이고, 그리고
(c)

$\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},G)=G/nG$ .

증명.

(a)에 대해서는, $\dots\to F_{1}\to F_{0}\to H\to 0$ 과 $\dots\to F_{1}^{\prime}\to F_{0}^{\prime}\to H^{\prime}\to 0$ 이 자유 분해라면, $F_{1}\oplus F_{1}^{\prime}\to F_{0}\oplus F_{0}^{\prime}\to H\oplus H^{\prime}\to 0$ 도 자유 분해임에 주목하십시오.

(b)에 대해서는, $0\to H\to H\to 0$ 이 자유 분해임에 주목하십시오.

0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times n}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to 0

그리고 여기에 $\operatorname{Hom}(-,G)$ 를 적용함으로써 따라옵니다.

질문 75.4.4.

여기서부터 (c)의 증명을 마무리하십시오. ∎

질문 75.4.5.

$\operatorname{Ext}$ 연습 문제: $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}^{\oplus 2015},G)$ 와 $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/30\mathbb{Z},\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ 를 계산하십시오.

75.5 보편 계수 정리에 대한 설명

앞 장에는 여러분이 비명을 지르게 만들 수도 있는, 설명되지 않은 수많은 기호와 공식들이 있습니다:

저는 이제 $\mathbb{CP}^{2}$ 와 $S^{2}\vee S^{4}$ 가 서로 다른지 더 이상 신경 쓰지 않습니다! 도대체 이 공간들은 무엇입니까?

그럼에도 불구하고, 그리 어렵지는 않습니다. 이 정리에서 읽어내야 할 두 가지 핵심 사항이 있습니다:

•

$H_{n}(A_{\bullet})=0$ 이더라도, $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(A_{\bullet}),G)\neq 0$ 이면 여전히 $H^{n}(A_{\bullet};G)\neq 0$ 일 수 있습니다.

저차원의 경우에는 실제로 시각화할 수 있습니다 — 절 75.7에서 클라인 병에 대해 이를 다룹니다.
•

$H^{n}(A_{\bullet};G)$ 는 $A_{\bullet}$ 가 무엇이든 상관없이, 각 $A_{n}$ 이 자유이기만 하면 $H_{n}(A_{\bullet})$ 와 $G$ 에 의해 유일하게 결정됩니다.

이는 다음을 의미합니다: 원한다면 보편 계수 정리의 공식을 잊어버리고, 세포 사슬 복합체 $\operatorname{Cells}_{\bullet}(X)$ 를 사용하여 다음과 같이 코호몰로지를 계산할 수 있습니다:

H^{n}(X;G)=\frac{\ker(\operatorname{Hom}(\operatorname{Cells}_{n}(X),G)\to% \operatorname{Hom}(\operatorname{Cells}_{n+1}(X),G))}{\operatorname{im}(% \operatorname{Hom}(\operatorname{Cells}_{n-1}(X),G)\to\operatorname{Hom}(% \operatorname{Cells}_{n}(X),G))}.

결국, 세포 사슬 복합체와 특이 사슬 복합체는 둘 다 자유이며 같은 호몰로지 군을 가지므로, 보편 계수 정리에 의해 이들은 같은 코호몰로지 군을 가져야 합니다.

그럼에도 불구하고, 보편 계수 정리의 공식은 바람직합니다. 왜냐하면 대개 사슬 복합체 $A_{\bullet}$ 가 $H_{\bullet}(A_{\bullet})$ 보다 더 복잡하기 때문입니다.

예제 75.5.1.

클라인 병의 세포 사슬 복합체는 다음과 같은 형태를 가집니다:

\cdots\to\mathbb{Z}\xrightarrow{1\mapsto(0,2)}\mathbb{Z}^{2}\xrightarrow{(a,b)% \mapsto 0}\mathbb{Z}.

호몰로지 군은 다음과 같습니다:

H_{2}=0,H_{1}=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},H_{0}=\mathbb{Z}.

실제로 더 단순하지만, 그 차이는 미미합니다 ( $4$ 개 대신 $3$ 개의 생성자가 있고, 사상을 추적할 필요가 없습니다). 세포 호몰로지가 이미 매우 효율적이기 때문입니다.

이 공식은 다시 어디서 나오는 것일까요? 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 보편 계수 정리에 따르면 $H^{\bullet}(A_{\bullet};G)$ 는 오직 $H_{\bullet}(A_{\bullet})$ 에만 의존하므로, $H_{\bullet}$ 가 주어졌을 때 자유 아벨 군으로 이루어진 임의의 사슬 복합체 $A_{\bullet}$ 를 구성하여 쌍대화하면 됩니다.

모든 항에 대해 $H_{k}=0$ 이고, 오직 $H_{n-1}\neq 0$ 이라고 가정합시다. 그러면 항진적으로 $H^{n}\cong\operatorname{Ext}(H_{n-1};G)$ 가 성립합니다 — 자유 분해는 바로 사슬 복합체이기 때문입니다!

연습문제 75.5.2.

이를 검증해 보십시오. (힌트: 완전열 $Z_{n-1}\to H_{n-1}\to 0$ 에서 시작합니다. 이를 $H_{n-1}$ 의 자유 분해로 확장할 수 있습니까?)

모든 항에 대해 $H_{k}=0$ 이고, 오직 $H_{n}\neq 0$ 이라고 가정합시다. 그러면 $H^{n}\cong\operatorname{Hom}(H_{n},G)$ 임을 알 수 있습니다.

보편 계수 정리는 단순히 자유 분해의 선택이 결과에 영향을 주지 않는다는 것과, 다른 항들이 0이 아닐 수 있다면 $H^{n}$ 이 위 두 경우의 두 군의 직합이 된다는 것을 말해줍니다.

원한다면 자유 분해의 선택이 중요하지 않다는 사실을 직접 증명해볼 수도 있습니다 — 다소 까다롭지만 그렇게 어렵지는 않습니다. 이는 사슬 복합체 사이의 사상을 구성하는 문제로 귀결되며 (도식이 가환하도록 만드는 것은 어렵지 않은데, 군들이 자유 군이므로 기저를 원하는 곳으로 보낼 수 있기 때문입니다), 두 자유 분해가 사슬 호모토픽함을 보이면 됩니다.

75.6 코호몰로지 군 계산 예시

대표적인 예: 아마도 $H^{n}(S^{m})$ 일 것입니다.

보편 계수 정리는 호몰로지 군을 알고 있다면 임의의 코호몰로지 군을 계산할 수 있는 직접적인 방법을 제공합니다.

예제 75.6.1 ( $S^{m}$ 의 코호몰로지 군).

이제 $H^{n}(S^{m})$ 을 계산하는 것은 간단합니다: $H_{n}(S^{m})$ 이 항상 자유 군이므로 모든 $\operatorname{Ext}$ 항이 사라지며, 따라서 다음을 얻습니다

H^{n}(S^{m})\cong\operatorname{Hom}(H_{n}(S^{m}),G)\cong\begin{cases}G&n=m,n=0% \\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

예제 75.6.2 (원환면의 코호몰로지 군).

이 예시 역시 0이 아닌 $\operatorname{Ext}$ 항이 없습니다. 이번에는 $H^{n}(S^{1}\times S^{1})$ 이 항상 자유 군이기 때문입니다. 따라서 다음을 얻습니다

H^{n}(S^{1}\times S^{1})\cong\operatorname{Hom}(H_{n}(S^{1}\times S^{1}),G).

$H_{n}(S^{1}\times S^{1})$ 이 차원 $n=0,1,2$ 에서 각각 $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ , $\mathbb{Z}$ 이므로 다음을 유도할 수 있습니다

H^{n}(S^{1}\times S^{1})\cong\begin{cases}G&n=0,2\\ G^{\oplus 2}&n=1.\end{cases}

이 예시들로부터 다음을 알아챌 수 있습니다:

보조정리 75.6.3 ( $0$ 차와 $1$ 차 코호몰로지 군은 단순히 쌍대이다).

$n=0$ 과 $n=1$ 인 경우, 다음이 성립합니다

H^{n}(X;G)\cong\operatorname{Hom}(H_{n}(X),G).

증명.

$n=0$ 인 경우는 이미 보였습니다. $n=1$ 인 경우, $H_{0}(X)$ 가 자유 군이므로 $\operatorname{Ext}$ 항이 사라짐에 주목하십시오. ∎

예제 75.6.4 (클라인 병의 코호몰로지 군).

이 예시에서는 실제로 $\operatorname{Ext}$ 항이 존재합니다. 예제 74.5.4에서 클라인 병 $K$ 의 호몰로지 군이 차원 $n=0$ 에서 $\mathbb{Z}$ 이고 $n=1$ 에서 $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이며, 그 외에는 $0$ 임을 상기하십시오.

$n=0$ 인 경우, 다시 단순히 $H^{0}(K;G)\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},G)\cong G$ 를 얻습니다. $n=1$ 인 경우, $\operatorname{Ext}$ 항은 $\operatorname{Ext}(H_{0}(K),G)\cong\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},G)=0$ 이므로

H^{1}(K;G)\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G)% \cong G\oplus\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G).

여기서 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G)$ 는 $G$ 에서 위수가 $2$ 인 원소들(그리고 $0\in G$ )로 이루어진 부분군입니다.

하지만 $n=2$ 인 경우, 우리는 첫 번째로 흥미로운 $\operatorname{Ext}$ 군을 얻게 됩니다: 완전열은 다음과 같습니다

0\to\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G)\to H^{2}(X;G)% \to\underbrace{H_{2}(X)}_{=0}\to 0.

따라서 다음을 얻습니다

H^{2}(X;G)\cong\left(\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},G)\oplus\operatorname{Ext}(% \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G)\right)\oplus 0\cong G/2G.

그 이상의 모든 군은 사라집니다. 요약하면:

H^{n}(X;G)\cong\begin{cases}G&n=0\\ G\oplus\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},G)&n=1\\ G/2G&n=2\\ 0&n\geq 3.\end{cases}

75.7 코호몰로지 군의 시각화

더 큰 값의 $n$ 에 대해 $C^{n}(X;G)$ 와 $H^{n}(X;G)$ 를 이해해 보도록 하겠습니다.

위에서와 같이, $C_{n}(X)$ 는 $X$ 위의 $n$ -단체들로 생성된 자유 아벨 군이므로, 원소 $f\in C^{n}(X;G)$ 는 각 $n$ -단체를 $G$ 의 원소로 보내는 함수입니다 ( $C_{n}(X)$ 전체로 선형적으로 확장됩니다).

이 값의 할당은 어떠한 좋은 성질도 가질 필요가 없습니다 — $n$ -단체는 단순히 (연속) 사상 $\sigma\colon\Delta^{n}\to X$ 이며, $\operatorname{im}\sigma_{1}=\operatorname{im}\sigma_{2}$ 일지라도 서로 다른 사상 $\sigma_{1}$ 과 $\sigma_{2}$ 는 서로 다른 것으로 간주된다는 점을 상기하십시오. 특히,

•

$[v_{0},v_{1},v_{2}]$ 가 특이 단체라면, $f([v_{0},v_{1},v_{2}])+f([v_{0},v_{2},v_{1}])=0$ 이 성립할 필요는 없습니다.
•

상이 한 점에 포함되는 특이 $n$ -단체( $n\geq 1$ )가 $f$ 에 의해 반드시 $0$ 으로 보내질 필요는 없습니다.

하지만 $C_{n}(X)$ 의 원소들이 이렇게 좋지 않다는 것은 중요하지 않습니다! 왜 그러한지는 아래에서 살펴보겠습니다.

호몰로지의 경우(정의 71.2.2)에서 우리는 다음과 같이 정의하였습니다:

	$\displaystyle Z_{n}(X)$	$\displaystyle\coloneqq\ker\left(C_{n}(X)\xrightarrow{\partial}C_{n-1}(X)\right),$
	$\displaystyle B_{n}(X)$	$\displaystyle\coloneqq\operatorname{im}\left(C_{n+1}(X)\xrightarrow{\partial}C% _{n}(X)\right),$
	$\displaystyle H_{n}(X)$	$\displaystyle\coloneqq Z_{n}(X)/B_{n}(X).$

$Z_{n}(X)$ 와 $B_{n}(X)$ 의 원소들은 각각 사이클과 경계라고 불리며, 명백한 기하학적 해석을 갖습니다.

그러므로,

H_{n}(X)=\frac{\text{$n$-사이클}}{\text{$n$-바운더리}}.

이번 절에서는 잠시 다음과 같이 정의하겠습니다:

	$\displaystyle Z^{n}(X;G)$	$\displaystyle\coloneqq\ker\left(C^{n}(X;G)\xrightarrow{\delta}C^{n+1}(X;G)% \right),$
	$\displaystyle B^{n}(X;G)$	$\displaystyle\coloneqq\operatorname{im}\left(C^{n-1}(X;G)\xrightarrow{\delta}C% ^{n}(X;G)\right),$
	$\displaystyle H^{n}(X;G)$	$\displaystyle\coloneqq Z^{n}(X;G)/B^{n}(X;G).$

이번 절에서는 $Z^{n}(X;G)$ 의 원소들을 코사이클이라 부르고, $B^{n}(X;G)$ 의 원소들을 코경계라 부르겠습니다. 다시 한번,

H^{n}(X;G)=\frac{\text{$n$-코사이클}}{\text{$n$-코바운더리}}.

왜 원소들이 위와 같이 명명되었는지는 기하학적으로 덜 명확하지만, 만약 군 $G$ 가 체라고 가정한다면(여기서 군 연산은 체의 덧셈 연산입니다),⁴⁴4https://math.stackexchange.com/q/4712676를 참조하십시오. 다음이 성립합니다:

•

$n$ -코사이클은 모든 $n$ -경계를 $0\in G$ 로 보내는 사상입니다;
•

$n$ -코경계는 모든 $n$ -사이클을 $0\in G$ 로 보내는 사상입니다.

첫 번째 명제는 명백합니다(정의를 따라가면 됩니다). 두 번째 명제는 한 방향으로만 일반적으로 성립합니다(코경계는 모든 사이클을 $0$ 으로 보내지만, 모든 사이클을 $0$ 으로 보내는 사상이 반드시 코경계일 필요는 없습니다 — 이는 나중에 클라인 병 예제에서 살펴보겠습니다).

$n$ -코사이클이 어떤 모습이어야 하는지 살펴보겠습니다. 먼저,

경계가 같은 호모토픽한 사슬들은 코사이클에 의해 동일한 값으로 보내집니다.

두 $k$ -단체가 호모토픽하다는 것이 무엇을 의미하는지는 절 65.4에서 정의하였습니다 — 현재 상황에서는 경계가 항상 고정된다는 조건을 추가로 요구합니다.

예를 들어, 아래에서 파란색과 주황색 $1$ -단체는 호모토픽하지만, 빨간색 $1$ -단체는 그렇지 않습니다.

증명은 어렵지 않습니다 — 호모토픽한 두 $k$ -단체의 차이가 어떤 것(그들의 내부입니다!)의 경계임을 보이고, 그 내부를 몇 개의 $k+1$ -단체의 합으로 쓰기만 하면 됩니다. (힌트: 가장 쉬운 방법은 사실 내부를 두 $k+1$ -단체의 차이로 쓰는 것이며, 정점 순서 문제에 주의하십시오.)

연습문제 75.7.1.

증명을 완성하십시오.

전형적인 $1$ -코사이클은 아래와 같은 모습일 수 있으며, 각 화살표에는 해당 $1$ -단체에 할당된 값이 표시되어 있습니다. 사이클은 반드시 $0$ 으로 보내져야 함을 기억하십시오.

이제 다음 관찰을 살펴보겠습니다:

코경계를 법으로 하여 코사이클만을 고려한다면, 우리는 기본적으로 사이클에 할당된 값에만 관심을 갖게 됩니다.

왜 그럴까요? $k$ -공경계는 어떤 $(k-1)$ -공사슬의 $\delta$ 라는 사실을 기억하십시오. 그러면, 다음과 같은 $0$ -공사슬이 주어졌을 때:

그 $\delta$ 는 대략 다음과 같은 모양일 것입니다:

그러므로, 대략적으로 말하면,

주어진 공사슬에 공경계를 더하거나 빼면, 대부분의 사슬에 할당된 값을 원하는 대로 조정할 수 있습니다.

“대부분의 사슬”이라고 말한 이유는, 만약 그 사슬들이 순환을 이룬다면, 공경계를 더해도 그 값을 바꿀 수 없기 때문입니다.

다행히도,

•

경계인 순환에는 항상 값 $0$ 이 할당됩니다.
•

호모토픽한 순환에는 동일한 값이 할당됩니다.

일반화하자면, 사실 호몰로그한 (즉, 사상 $Z_{k}(X)\twoheadrightarrow H_{k}(X)$ 아래에서 같은 값으로 대응되는) 순환에는 같은 값이 할당됩니다.

따라서,

각 “경계를 법으로 한 순환”에 대한 공순환의 값을 안다면, 그 공순환은 공경계를 법으로 거의 결정됩니다.

기호로 쓰면: $H^{n}(X;G)$ 는 $\operatorname{Hom}(H_{n}(X),G)$ 와 “거의 동형”입니다.

다시 말해, 공경계를 법으로 한 공순환은 경계를 법으로 한 순환 위에서 “평가”될 수 있습니다.

이것이 바로 보편 계수 정리가 말하는 바이지만, 정리는 그보다 더 많은 것을 말합니다: “오차항”은 정확히 $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$ 입니다.

오차항이 왜 존재할까요? 위에서 $K$ 가 클라인 병일 때 $H^{2}(K;G)$ 를 계산하는 예를 다뤘습니다. 이제 $G=\mathbb{Z}$ 라 가정하고 기하학적으로 이를 살펴봅시다.

전형적인 $2$ -공사슬 $f\in C^{2}(K;\mathbb{Z})$ 는 대략 다음과 같은 모양일 수 있습니다. (몇 개의 $2$ -단체에 할당된 값만 표시되어 있는데, $2$ -단체가 너무 많아 모두 그릴 수 없기 때문입니다.)

공경계는 다음과 같은 모양일 수 있습니다 — 위의 상황과 동일하게, 특정 단체에 할당된 값 자체는 중요하지 않으며, 공경계를 더함으로써 두 단체 사이에서 할당된 값을 “이전”할 수 있습니다.

그러므로, 클라인 병 전체 곡면에 할당된 값은 $3$ 이라고 간단히 말할 수 있습니다 — 형식적으로, $e^{2}_{K}\in C_{2}(K)$ 를 위의 두 $2$ -단체의 합이라 하면, $f(e^{2}_{K})=3$ 이라고 쓸 수 있습니다. 그러나:

클라인 병 전체 곡면에 대응하는 $2$ -사슬의 경계는 파란 변의 $2$ 배이므로, 파란 변에서 값 $1$ 을 갖는 $1$ -공사슬의 $\delta$ 는 $e^{2}_{K}$ 에 값 $2$ 를 할당하게 됩니다.

기호로 쓰면: $e^{1}_{b}\in C_{1}(K)$ 를 파란 변이라 하고, $g(e^{1}_{b})=1$ 을 만족하는 $g\in C^{1}(K;\mathbb{Z})$ 를 택하면, $\delta(g)(e^{2}_{K})=2$ 입니다. $e^{2}_{K}$ 가 순환이 아님에도 불구하고, 우리는 여전히 그 할당된 값을 $2$ 를 법으로 신경 써야 합니다! 왜냐하면 공경계 $\delta(g)$ 를 더하거나 빼는 것은 그 값을 오직 $2$ 의 배수만큼만 조정할 수 있기 때문입니다.

따라서,

영역 $e^{k}\in C_{k}(X)$ 의 경계 $\partial e^{k}\in C_{k-1}(X)$ 가 $n$ 으로 나누어떨어진다면, 우리는 $e^{k}$ 에 할당된 값을 $n$ 을 법으로 신경 써야 합니다.

이것으로 오차항 $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$ 이 어디서 비롯되는지 설명됩니다.

절 76.2에서 드람 코호몰로지와의 또 다른 비교를 살펴봅니다 — 그 경우, 군 $G$ 는 체 $\mathbb{R}$ 이므로, $\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$ 는 항상 $0$ 입니다.

75.8 상대 코호몰로지 군

상대 코호몰로지 군 역시 자명한 방식으로 정의할 수 있습니다: 사슬 복합체를 쌍대화하여

\dots\xrightarrow{\partial}C_{1}(X,A)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X,A)\to 0

여쌍대 복합체를 얻습니다

\dots\xleftarrow{\delta}C^{1}(X,A;G)\xleftarrow{\delta}C^{0}(X,A;G)\leftarrow 0.

이것의 코호몰로지 군을 취할 수 있습니다.

정의 75.8.1.

이렇게 얻어진 군들을 상대 코호몰로지 군이라 하며 $H^{n}(X,A;G)$ 로 표기합니다.

또한, 축소 코호몰로지 군 역시 정의할 수 있습니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 증대된 특이 사슬 복합체를 취하여

\dots\xrightarrow{\partial}C_{1}(X)\xrightarrow{\partial}C_{0}(X)\xrightarrow{% \varepsilon}\mathbb{Z}\to 0

쌍대화함으로써

\dots\xleftarrow{\delta}C^{1}(X;G)\xleftarrow{\delta}C^{0}(X;G)\xleftarrow{% \varepsilon^{\vee}}\underbrace{\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},G)}_{\cong G}% \leftarrow 0.

우리가 추가하는 $\mathbb{Z}$ 역시 자유이므로, 보편 계수 정리가 여전히 적용됩니다. 따라서 이는 우리에게 축소 코호몰로지 군을 줄 것입니다.

하지만 우리가 이미 상대 코호몰로지 군을 정의했으므로, 다음과 같이 정의하는 것이 가장 간단합니다:

정의 75.8.2.

공집합이 아닌 공간 $X$ 의 축소 코호몰로지 군은 $\widetilde{H}^{n}(X;G)$ 로 표기되며, 어떤 점 $\ast\in X$ 에 대해 $H^{n}(X,\{\ast\};G)$ 로 정의됩니다.

75.9 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 75A (쐐기곱 코호몰로지).

임의의 $G$ 와 $n$ 에 대해 다음이 성립합니다

\widetilde{H}^{n}(X\vee Y;G)\cong\widetilde{H}^{n}(X;G)\oplus\widetilde{H}^{n}% (Y;G).

문제 75B.

표수가 0인 체 $F$ 와 유한 생성 호몰로지 군을 갖는 공간 $X$ 에 대해 다음을 증명하십시오:

H^{k}(X,F)\cong\left(H_{k}(X)\right)^{\vee}.

따라서 체 위에서 코호몰로지는 호몰로지의 쌍대입니다.

문제 75C ( $\mathbb{RP}^{n}$ 의 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -코호몰로지).

다음을 증명하십시오

H^{m}(\mathbb{RP}^{n},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&% \text{$m=0$이거나, $m$이 홀수이고 $m=n$인 경우}\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\text{$0<m<n$이고 $m$이 홀수인 경우}\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}