장 18 PID 구조 정리

이 장의 요점은 유한 생성 아벨 군의 분류 정리를 논의하는 것입니다. 이 작업은 오래 걸리지 않으며, 원하신다면 첫 번째 절만 읽고 다음으로 넘어가셔도 됩니다.

그러나 이왕 여기까지 왔으니, 이 결과를 훨씬 더 일반적인 구조 정리의 특수한 경우로서 서술하겠습니다. 그 따름정리로는 다음과 같은 것들이 있습니다.

•

모든 유한 차원 벡터 공간은 $k^{\oplus n}$ 입니다.
•

유한 생성 아벨 군의 분류 정리,
•

앞에서 다룬 행렬의 조르당 분해,
•

행렬의 또 다른 표준형인 “프로베니우스 표준형”.

18.1 유한 생성 아벨 군

비고 18.1.1.

아래에서는 아벨 군에 대해 이야기하지만, 이러한 구조를 생각하는 본질적으로 올바른 방식은 사실 $\mathbb{Z}$ -가군으로 보는 것입니다.

정의 18.1.2.

아벨 군 $G=(G,+)$ 가 $\mathbb{Z}$ -가군으로서 유한 생성이면 $G$ 를 유한 생성이라고 합니다. (즉, 유한 개의 원소 $b_{1},\dots,b_{m}\in G$ 가 존재하여, 모든 $x\in G$ 를 어떤 $c_{1},\dots,c_{m}\in\mathbb{Z}$ 에 대해 $c_{1}b_{1}+\dots+c_{m}b_{m}$ 꼴로 나타낼 수 있다는 뜻입니다.)

예제 18.1.3 (유한 생성 아벨 군의 예).

(a)

$\mathbb{Z}$ 는 ( $1$ 에 의해) 유한 생성됩니다.
(b)

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 은 ( $1$ 에 의해) 유한 생성됩니다.
(c)

$\mathbb{Z}^{\oplus 2}$ 는 (두 원소 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 에 의해) 유한 생성됩니다.
(d)

$\mathbb{Z}^{\oplus 3}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2016\mathbb{Z}$ 은 다섯 개의 원소에 의해 유한 생성됩니다.
(e)

$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 는 두 개의 원소에 의해 유한 생성됩니다.

연습문제 18.1.4.

사실 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 는 하나의 원소에 의해 생성됩니다. 그 원소는 무엇입니까?

이 예들이 그다지 다양하지 않다는 것을 눈치채셨을 수도 있습니다. 이는 사실 이것들이 유일한 예이기 때문입니다:

정리 18.1.5 (유한 생성 아벨 군의 기본 정리).

$G$ 를 유한 생성 아벨 군이라고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 정수 $r$ 과 (서로 다를 필요는 없는) 소수의 거듭제곱 $q_{1}$ , …, $q_{m}$ 이 존재합니다.

G\cong\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus\mathbb{Z}/q_{1}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/q_% {2}\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}/q_{m}\mathbb{Z}.

이 분해는 $\mathbb{Z}/q_{i}\mathbb{Z}$ 들의 순열을 제외하면 유일합니다.

정의 18.1.6.

유한 생성 아벨 군 $G$ 의 계수는 위의 정수 $r$ 입니다.

이제 이 정리를 증명할 수도 있지만, 한 걸음 더 나아가 구조 정리 전체를 서술하고 증명하는 편이 더 흥미롭습니다.

18.2 몇 가지 환론 예비 지식

대표적인 예: $R=\mathbb{Z}$ .

주정리를 서술하기 전에, $\mathbb{Z}$ 와 매우 비슷하게 동작하는 UFD에 대한 몇 가지 용어를 정의해야 합니다:

$R=\mathbb{Z}$ 인 경우에서 얻은 직관이 기본적으로 그대로 적용됩니다.

소 아이디얼을 다룰 필요조차 없으며, 대신 원소를 인수분해할 수 있습니다.

정의 18.2.1.

$R$ 이 UFD일 때, $(p)$ 가 소 아이디얼이고 $p\neq 0$ 이면 $p\in R$ 을 소원소라고 합니다. UFD에서 이는 다음과 동치입니다: $p=xy$ 이면 $x$ 또는 $y$ 가 단원입니다.

예를 들어 $\mathbb{Z}$ 에서 소원소들의 집합은 $\{\pm 2,\pm 3,\pm 5,\dots\}$ 입니다. 이제 $R$ 이 UFD이므로, 모든 원소 $r$ 은 다음과 같이 소원소들의 곱으로 인수분해됩니다

r=up_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{m}^{e_{m}}

정의 18.2.2.

어떤 $r^{\prime}\in R$ 에 대해 $s=r^{\prime}r$ 이면 $r$ 이 $s$ 를 나눈다고 합니다. 이를 $r\mid s$ 로 씁니다.

예제 18.2.3 ( $\mathbb{Z}$ 에서의 나누어떨어짐).

수 $0$ 은 $\mathbb{Z}$ 의 모든 원소로 나누어떨어집니다. 그 밖의 나누어떨어짐은 모두 예상한 대로입니다.

질문 18.2.4.

$r\mid s$ 일 필요충분조건은 $r$ 에서 각 소원소의 지수가 $s$ 에서 대응하는 지수보다 작거나 같은 것임을 보이십시오.

이제 관심 있는 경우는 $R$ 이 PID인, 한층 더 강한 경우입니다:

명제 18.2.5 (PID는 뇌터 UFD입니다).

$R$ 이 PID이면, $R$ 은 뇌터 환이며 UFD이기도 합니다.

증명.

$R$ 이 뇌터 환이라는 사실은 자명합니다. $R$ 이 UFD임을 보이려면 본질적으로 $\mathbb{Z}$ 에 대한 증명을 반복하되, $\gcd(a,b)$ 를 뽑아내기 위해 $(a,b)$ 가 주 아이디얼이라는 사실을 이용합니다. ∎

이 경우에는 원소에 대한 중국인의 나머지 정리가 성립합니다.

정리 18.2.6 (환에 대한 중국인의 나머지 정리).

$m$ 과 $n$ 이 서로소인 원소, 즉 $(m)+(n)=(1)$ 이라고 합시다. 그러면

R/(mn)\cong R/(m)\times R/(n).

여기서 환의 곱은 예제 4.3.8에서 정의한 것과 같습니다.

증명.

이는 일반적인 중국인의 나머지 정리의 증명과 같습니다. 먼저 $(m,n)=(1)$ 이므로 어떤 $a$ 와 $b$ 에 대해 $am+bn=1$ 입니다. 그러면 다음 사상을 얻습니다

R/(m)\times R/(n)\to R/(mn)\quad\text{~{}에 의해}\quad(r,s)\mapsto r\cdot bn+s% \cdot am.

이 사상이 잘 정의되며 환의 동형사상임을 확인할 수 있습니다. (성실한 독자는 직접 확인해 보십시오.) ∎

마지막으로, 뇌터 $R$ -가군의 개념을 도입해야 합니다.

정의 18.2.7.

$R$ -가군 $M$ 이 다음 두 동치 조건 중 하나를 만족하면 $M$ 을 뇌터 가군이라고 합니다:

•

그 부분가군들은 오름 사슬 조건을 만족합니다. 즉, 가군들의 무한 열 $M_{1}\subsetneq M_{2}\subsetneq\dots$ 는 존재하지 않습니다.
•

$M$ 의 모든 부분가군( $M$ 자신을 포함하여)이 유한 생성됩니다.

이는 뇌터 환의 개념을 일반화합니다: 뇌터 환 $R$ 이란 $R$ 이 $R$ -가군으로서 뇌터인 환입니다.

질문 18.2.8.

이 두 조건이 동치임을 확인하십시오. (환에 대한 증명을 그대로 따라 하십시오.)

18.3 구조 정리

구조 정리는 두 가지 형태로 나타납니다:

정리 18.3.1 (구조 정리, 불변 인자 형태).

$R$ 가 PID이고 $M$ 이 임의의 유한생성 $R$ -가군이라고 합시다. 그러면

M\cong\bigoplus_{i=1}^{m}R/(s_{i})

여기서 $s_{i}$ 는 $s_{1}\mid s_{2}\mid\dots\mid s_{m}$ 을 만족하는 어떤 원소(0일 수도 있음)입니다.

따름정리 18.3.2 (구조 정리, 준소 형태).

$R$ 가 PID이고 $M$ 이 임의의 유한생성 $R$ -가군이라고 합시다. 그러면

M\cong R^{\oplus r}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\dots\oplus R/(q_{m})

여기서 어떤 소원소 $p_{i}$ 와 정수 $e_{i}\geq 1$ 에 대하여 $q_{i}=p_{i}^{e_{i}}$ 입니다.

따름정리의 증명.

( $R$ 가 UFD이므로) 각 $s_{i}$ 를 소인수로 분해한 다음, 중국인의 나머지 정리를 사용하십시오. ∎

비고 18.3.3.

두 정리 모두에서 분해는 직합 성분들의 순열을 제외하면 유일합니다.

18.4 자유 $R$ -가군 사이의 사상으로의 환원

정의 18.4.1.

자유 $R$ -가군이란 $R^{\oplus n}$ 꼴의 가군입니다(무한 기저를 허용하기 위해, 더 일반적으로는 어떤 첨자 집합 $I$ 에 대하여 $\bigoplus_{I}R$ 꼴의 가군도 포함합니다).

구조 정리의 증명은 크게 두 단계로 진행됩니다. 먼저 문제를 자유 $R$ -가군 $R^{\oplus d}$ 에 관한 선형대수학 문제로 환원합니다. 그것이 끝나면 행렬을 다루기만 하면 되며, 이는 다음 절에서 합니다.

$M$ 이 $d$ 개의 원소로 유한생성된다고 합시다. 그러면 다음과 같은 $R$ -가군의 전사 사상

R^{\oplus d}\twoheadrightarrow M

이 존재하며, 이 사상에 의한 $R^{\oplus d}$ 의 기저의 상은 $M$ 의 생성원들입니다. 그 핵을 $K$ 라고 합시다.

$K$ 역시 유한생성이라고 주장합니다. 이를 위해 다음을 증명합니다.

보조정리 18.4.2 (뇌터 가군의 직합은 뇌터 가군입니다).

$M$ 과 $N$ 이 두 뇌터 $R$ -가군이라고 합시다. 그러면 직합 $M\oplus N$ 역시 뇌터 $R$ -가군입니다.

증명.

$L\subseteq M\oplus N$ 이면 $L$ 이 유한생성임을 보이면 충분합니다. 한 가지 추측은 $P$ 와 $Q$ 가 $L$ 의 $M$ 과 $N$ 으로의 사영일 때 $L=P\oplus Q$ 라는 것입니다. 안타깝게도 이는 거짓이므로( $M=N=\mathbb{Z}$ 이고 $L=\{(n,n)\mid n\in\mathbb{Z}\}$ 로 잡아 보십시오) 더 신중해야 합니다.

다음 부분가군들을 생각합시다.

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\left\{x\in M\mid(x,0)\in L\right\}\subseteq M$
	$\displaystyle B$	$\displaystyle=\left\{y\in N\mid\exists x\in M:(x,y)\in L\right\}\subseteq N.$

( $A$ 와 $B$ 의 비대칭성에 주목하십시오. 그렇지 않으면 증명이 성립하지 않습니다.) 그러면 $A$ 는 $a_{1}$ , …, $a_{k}$ 로 유한생성되고, $B$ 는 $b_{1}$ , …, $b_{\ell}$ 로 유한생성됩니다. $x_{i}=(a_{i},0)$ 와 $y_{i}=(\ast,b_{i})$ 를 $L$ 의 원소라고 합시다(여기서 $\ast$ 들은 신경 쓰지 않는 임의의 것들입니다). 그러면 $x_{i}$ 와 $y_{i}$ 가 함께 $L$ 을 생성합니다. ∎

질문 18.4.3.

$R$ 가 PID일 때 $R^{\oplus d}$ 가 뇌터 가군임을 유도하십시오.

따라서 주장한 대로 $K\subseteq R^{\oplus d}$ 는 유한생성입니다. 그러므로 또 다른 전사 사상 $R^{\oplus f}\twoheadrightarrow K$ 를 찾을 수 있습니다. 결과적으로 다음 합성을 얻습니다.

$M$ 이 선형 사상 $T$ 의 여핵임을 관찰하십시오. 즉 다음이 성립합니다.

M\cong R^{\oplus d}/\operatorname{im}(T).

따라서 사상 $T$ 를 잘 이해하면 충분합니다.

18.5 준소 형태의 유일성

이 절에서는 $M\cong R^{\oplus r}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 이면 정수 $r$ 과 소수 거듭제곱 $q_{i}$ 들이 순열을 제외하면 유일함을 증명하겠습니다.

먼저 $M$ 이 자유 가군인 경우를 살펴봅니다.

정리 18.5.1 (자유 가군의 계수의 유일성).

가환 정역 $R$ 에 대하여, 자유 가군 $M$ 이 유한 기저를 가지면 다른 모든 기저도 같은 개수의 원소를 가집니다.

정리 9.4.7에서 이 증명의 전략이 체의 경우로 넘어가는 것이라고 한 번 언급한 바 있습니다. 실제로 우리는 $R$ 의 분수체인 체 $F$ 로 넘어간 다음, 벡터 공간에 대한 차원 정리를 직접 적용할 것입니다.

증명.

앞에서와 같지만, 이번에는 귀류법으로 증명합니다. $v_{1},\dots,v_{n}$ 이 계수가 $n$ 인 자유 가군 $M$ 의 기저이고, $w_{1},\dots,w_{m}$ 은 $m>n$ 을 만족하는 $M$ 의 임의의 원소들이라고 가정합시다.

$F$ 를 $R$ 의 분수체라 하고, $R$ -가군 $M\cong R^{n}$ 을 $F$ -벡터 공간 $V\cong F^{n}$ 에 매장합니다.

그러면 $m>n$ 이므로 $V$ 의 원소로서 $w_{1},\dots,w_{m}$ 은 선형종속이며, 이는 $f_{1}w_{1}+\cdots+f_{m}w_{m}=0$ 을 만족하고 모두 $0$ 은 아닌 원소 $f_{1},\dots,f_{m}\in F$ 가 존재한다는 뜻입니다.

분모를 없애면 $r_{1}w_{1}+\cdots+r_{m}w_{m}=0$ 을 만족하고 모두 $0$ 은 아닌 환의 원소 $r_{1},\dots,r_{m}\in R$ 을 얻을 수 있습니다. 이는 $w_{1},\dots,w_{m}$ 이 $M$ 의 기저가 될 수 없음을 의미합니다. ∎

다음으로 계수 $r$ 이 $0$ 인 경우를 증명합니다. 이 경우에는 다른 전략이 필요하지만, 결국에는 적절히 구성한 벡터 공간에 차원 정리를 적용하는 것으로 귀결됩니다.

정리 18.5.2.

$R$ 을 PID, $p$ 를 $R$ 의 소원소(소 원소)라 하고, 양의 정수 $e_{1},\dots,e_{m}$ 에 대해 $M\cong R/(p^{e_{1}})\oplus R/(p^{e_{2}})\oplus\cdots\oplus R/(p^{e_{m}})$ 이라 합시다. 그러면 $e_{i}$ 는 순열을 제외하면 유일합니다.

직관적으로, 다음 증명이 하려는 것은 다음과 같습니다:

지수 $e_{i}$ 를 $M$ 의 내재적 성질로부터 계산할 수 있다면, 그 지수들은 유일할 수밖에 없습니다.

간단한 경우를 생각해 봅시다 — $R=\mathbb{Z}$ 이고 $M=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 인 경우를 생각해 봅시다. 이 가군은 원소가 $4$ 개이지만, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 와 같지는 않습니다. 이 경우 두 가군의 차이는 $M$ 에서 원소 $1\pmod{4}$ 에 $2$ 를 곱하면 $0$ 이 되지 않는 반면, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 에서는 $2$ 를 곱하면 모든 원소가 $0$ 이 된다는 사실로 알아낼 수 있습니다.

표기의 편의를 위해,

정의 18.5.3.

$r\in R$ 과 $R$ -가군 $M$ 에 대하여 $rM=\{rm\mid m\in M\}$ 으로 정의합니다. (이것이 여전히 $R$ -가군임을 확인하십시오.)

그러면 위 문단이 말하는 바는 $|2M|=2\neq 1=|2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})|$ 이므로 $M\not\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 라는 것입니다. 다시 말해, 이 경우에는 $2M$ 의 원소의 개수를 세는 것만으로 두 가군을 충분히 구별할 수 있습니다.

$R=\mathbb{Z}$ 일 때 $M\cong R/(p^{e_{1}})\oplus R/(p^{e_{2}})\oplus\cdots\oplus R/(p^{e_{m}})$ 꼴의 가군에 대해서는 이 방법이 일반적으로 거의 통합니다 — 다만 $p M$ , $p^{2}M$ , $p^{3}M$ 등의 원소의 개수도 함께 고려해야 합니다.

동치로, 연속된 몫 $M/pM$ , $pM/p^{2}M$ , $p^{2}M/p^{3}M$ 등의 원소의 개수를 고려해도 됩니다.

예제 18.5.4.

$R=\mathbb{Z}$ , $p=3$ , $M=\mathbb{Z}/3^{2}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/3^{5}\mathbb{Z}$ 라 합시다. 그러면:

•

$|M/3M|=9$ ,
•

$|3M/3^{2}M|=9$ ,
•

$|3^{2}M/3^{3}M|=3$ ,
•

$|3^{3}M/3^{4}M|=3$ ,
•

$|3^{4}M/3^{5}M|=3$ ,
•

모든 정수 $e\geq 5$ 에 대하여 $|3^{e}M/3^{e+1}M|=1$ 입니다.

이것이 어디로 향하는지 이미 보일 것입니다 — 몫의 크기가 한 번 줄어들 때마다 소수 거듭제곱 $p^{e_{i}}$ 하나에 대응합니다.

그러나 몫이 무한하면 더 이상 이렇게 할 수 없습니다. 하지만 다음에 주목하십시오:

보조정리 18.5.5.

각 정수 $e\geq 0$ 에 대하여 $p^{e}M/p^{e+1}M$ 은 $R/(p)$ -벡터 공간입니다.

따라서 $p^{e}M/p^{e+1}M$ 의 원소의 개수를 세는 대신, $R/(p)$ -벡터 공간으로서 $p^{e}M/p^{e+1}M$ 의 차원을 셉니다 — 정리 9.4.7에 의해 이는 실제로 가군 $M$ 에 내재적인 값입니다.

정리 18.5.2의 증명.

$M\cong R/(p^{e_{1}})\oplus R/(p^{e_{2}})\oplus\cdots\oplus R/(p^{e_{m}})$ 이므로 다음이 성립함에 유의하십시오.

\pi(M)\cong\pi(R/(p^{e_{1}}))\oplus\pi(R/(p^{e_{2}}))\oplus\cdots\oplus\pi(R/(% p^{e_{m}}))

여기서 임의의 정수 $e\geq 0$ 에 대해 $\pi(M)=p^{e}M/p^{e+1}M$ 입니다.

이는 $R/(p)$ -벡터 공간으로서 다음이 성립한다는 뜻입니다.

\dim\pi(M)=\dim\pi(R/(p^{e_{1}}))+\dim\pi(R/(p^{e_{2}}))+\cdots+\dim\pi(R/(p^{% e_{m}})).

각 항 $R/(p^{e_{i}})$ 에 대해 다음이 성립함에 유의하십시오.

\dim p^{e}(R/(p^{e_{i}}))/p^{e+1}(R/(p^{e_{i}}))=\begin{cases}1&e<e_{i}\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

약간의 계산을 해 보면, 값 $e_{i}$ 들이 실제로 순열을 제외하면 $\dim p^{e}M/p^{e+1}M$ 에 의해 유일하게 결정됨을 알 수 있습니다. ∎

이는 분모의 소원들이 서로 다를 수 있는 경우로 쉽게 일반화할 수 있음에 유의하십시오. $R$ 의 서로 다른 소원 $p$ 와 $q$ 에 대해 $p^{e}(R/(q))/p^{e+1}(R/(q))$ 는 $0$ 차원 $R/(p)$ -벡터 공간이기 때문입니다.

마지막으로 일반적인 경우를 다룹니다.

정리 18.5.6.

$M\cong R^{\oplus r}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 이면 정수 $r$ 과 소수 거듭제곱 $q_{i}$ 들은 순열을 제외하면 유일합니다.

증명.

위의 두 정리에 의해, $R^{\oplus r}$ 부분과 $R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 부분이 $M$ 으로부터 유일하게 결정된다는 것만 증명하면 충분합니다.

표기의 편의를 위해, $ra=0$ 을 만족하는 $r\in R$ , $r\neq 0$ 이 존재하면 원소 $a\in M$ 을 꼬임 원소라고 부릅니다.

그러면,

•

원소 $a\in M$ 의 $R^{\oplus r}$ 성분이 0이면 $q_{1}q_{2}\cdots q_{m}\cdot a=0$ 이므로, $a$ 는 꼬임 원소입니다.
•

원소 $a\in M$ 의 $R^{\oplus r}$ 성분이 0이 아니면, $a$ 는 꼬임 원소가 아닙니다.

다시 말해, 모든 꼬임 원소로 이루어진 부분가군은 $R^{\oplus r}$ 성분이 0인 원소들의 부분가군과 같으므로, $R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 과 동형입니다.

표기의 편의를 위해, $\operatorname{Tor}(M)$ 을 모든 꼬임 원소로 이루어진 $M$ 의 부분가군이라고 합시다. 그러면 $\operatorname{Tor}(M)\cong R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 이고 $M/\operatorname{Tor}(M)\cong R^{\oplus r}$ 입니다. 다시 말해, $R^{\oplus r}$ 부분과 $R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus\cdots\oplus R/(q_{m})$ 부분이 $M$ 으로부터 유일하게 결정되므로 증명이 끝납니다. ∎

18.6 스미스 표준형

이제 핵심은 문제를 선형 사상 $T\colon R^{\oplus m}\to R^{\oplus n}$ 을 연구하는 것으로 환원했다는 점이며, 이러한 사상은 다음과 같은 일반적인 행렬로 생각할 수 있습니다.

T=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nm}\end{bmatrix}

여기서 $e_{1}$ , …, $e_{m}$ 은 $R^{\oplus m}$ 의 기저이고 $f_{1}$ , …, $f_{n}$ 은 $R^{\oplus n}$ 의 기저입니다.

물론 예상하시겠지만, $T$ 가 더 좋은 행렬 꼴을 갖도록 $T$ 의 주어진 기저를 바꿀 수 있어야 합니다. 이는 이미 조르당 표준형에서 보았습니다. 거기서는 사상 $T\colon V\to V$ 가 주어졌을 때 $T$ 가 “거의 대각”이 되도록 기저를 바꾸었습니다. 이번에는 바꿀 수 있는 기저가 두 개이므로, 대각 기저나 그보다 더 좋은 것을 얻기를 기대할 수 있습니다.

더 진행하기 전에 행렬을 어떻게 조작할 수 있는지 생각해 봅시다. 어떤 연산이 허용됩니까? 다음은 몇 가지 예입니다.

•

행과 열을 서로 바꾸는 것으로, 이는 단지 기저의 순서를 바꾸는 것에 해당합니다.
•

한 열의 배수를 다른 열에 더하는 것입니다. 예를 들어 첫 번째 열의 $3$ 배를 두 번째 열에 더하면, 이는 기저를 다음과 같이 바꾸는 것과 동치입니다.

$(e_{1},e_{2},e_{3},\dots,e_{m})\mapsto(e_{1},e_{2}+3e_{1},e_{3},\dots,e_{m}).$
•

한 행의 배수를 다른 행에 더하는 것입니다. 첫 번째 행의 $3$ 배를 두 번째 행에 더하는 것은 기저를 다음과 같이 바꾸는 것과 동치임을 알 수 있습니다.

$(f_{1},f_{2},f_{3},\dots,f_{n})\mapsto(f_{1}-3f_{2},f_{2},f_{3},\dots,f_{n}).$

더 일반적으로,

$A$ 가 가역 $n\times n$ 행렬이면 $T$ 를 $A T$ 로 바꿀 수 있습니다.

이는 다음을 바꾸는 것에 해당합니다.

(f_{1},\dots,f_{n})\mapsto((FA^{-1})_{1},\dots,(FA^{-1})_{n})

(“가역” 조건은 단지 후자가 기저임을 보장할 뿐입니다.) 여기서 $F$ 는 $f_{1},\dots,f_{n}$ 을 열로 갖는 $n\times n$ 행렬이고, $(FA^{-1})_{1}$ 은 $FA^{-1}$ 의 첫 번째 열을 나타냅니다.

물론 마찬가지로 $B$ 가 가역 $m\times m$ 행렬일 때 $T$ 를 $T B$ 로 바꿀 수 있습니다. 이는 다음에 해당합니다.

(e_{1},\dots,e_{m})\mapsto((EB)_{1},\dots,(EB)_{m})

여기서 $E$ 는 $e_{1},\dots,e_{m}$ 을 열로 갖는 $m\times m$ 행렬입니다.

이 지식으로 무장하였으니, 이제 다음을 다룰 수 있습니다:

정리 18.6.1 (스미스 표준형).

$R$ 을 PID라고 합시다. $M=R^{\oplus m}$ 과 $N=R^{\oplus n}$ 을 자유 $R$ -가군이라 하고, $T\colon M\to N$ 을 선형 사상이라고 합시다. $k=\min\{m,n\}$ 으로 둡니다.

그러면 $T$ 가 대각 성분 $s_{1}$ , $s_{2}$ , …, $s_{k}$ 만을 가지며 $s_{1}\mid s_{2}\mid\dots\mid s_{k}$ 를 만족하도록 $M$ 과 $N$ 의 새로운 기저 쌍을 선택할 수 있습니다.

따라서 $m>n$ 이면 행렬은 다음 꼴이어야 합니다.

\begin{bmatrix}s_{1}&0&0&0&\dots&0\\ 0&s_{2}&0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\dots&\vdots\\ 0&0&0&s_{n}&\dots&0\end{bmatrix}.

$m\leq n$ 일 때도 마찬가지입니다.

질문 18.6.2.

스미스 표준형으로부터 구조 정리가 따라 나옴을 보이십시오.

비고 18.6.3.

이것은 조르당 표준형의 일반화가 아님에 유의하십시오.

•

조르당 표준형에서는 사상 $T\colon V\to V$ 를 고려합니다. 정의역과 공역이 같으며, 공간 $V$ 에 대한 기저 하나를 고려하고 있다는 점에 유의하십시오.
•

스미스 표준형에서 사상 $T\colon M\to N$ 은 서로 다른 가군 사이의 사상이며, 기저를 두 벌( $M$ 에 대한 것 하나와 $N$ 에 대한 것 하나) 선택합니다.

예제 18.6.4 (스미스 표준형의 예).

증명의 아이디어를 맛보기 위해, 다음 $\mathbb{Z}$ -행렬로 구체적인 예를 살펴봅시다.

\begin{bmatrix}18&38&48\\ 14&30&32\end{bmatrix}.

모든 성분의 최대공약수는 $2$ 이므로, 이에 착안하여 왼쪽 열에 유클리드 알고리즘을 수행합니다. 첫째 행에서 둘째 행을 빼고, 그다음 둘째 행에서 첫째 행의 세 배를 뺍니다.

\begin{bmatrix}18&38&48\\ 14&30&32\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}4&8&16\\ 14&30&32\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}4&8&16\\ 2&6&-16\end{bmatrix}.

이제 최대공약수 $2$ 가 나타났으므로, 두 행을 바꾸어 이를 왼쪽 위로 옮긴 다음 같은 행/열에 있는 모든 성분을 없앱니다. $2$ 가 처음부터 최대공약수였으므로 $2$ 를 완전히 고립시킬 수 있습니다:

\begin{bmatrix}4&8&16\\ 2&6&-16\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}2&6&-16\\ 4&8&16\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}2&6&-16\\ 0&-4&48\\ \end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}2&0&0\\ 0&-4&48\end{bmatrix}.

이렇게 하면 문제가 $1\times 2$ 행렬로 환원됩니다. 그러므로 거기에 유클리드 알고리즘을 다시 적용하기만 하면 됩니다.

\begin{bmatrix}2&0&0\\ 0&-4&0\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}2&0&0\\ 0&4&0\end{bmatrix}.

이제 남은 일은 이 증명을 임의의 PID에서 성립하도록 일반화하는 것뿐입니다. 이를 어떻게 하는지는 직관적으로 분명합니다. PID 조건이 대략 유클리드 알고리즘을 수행할 수 있게 해 주기 때문입니다.

스미스 표준형의 증명.

일반적인 행렬에서 시작합니다.

T=\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{nm}\end{bmatrix}

일련의 연산(주어진 기저를 점진적으로 바꾸는 것)을 통해 행렬을 스미스 표준형으로 재배열할 수 있음을 보이고자 합니다.

$\gcd(x,y)$ 를 주 아이디얼 $(x,y)$ 의 임의의 생성원으로 정의합니다.

주장 18.6.5 (“유클리드 알고리즘”).

$a$ 와 $b$ 가 같은 행 또는 열에 있는 성분이면, 기저를 바꾸어 $a$ 를 $\gcd(a,b)$ 로, $b$ 를 다른 무언가로 바꿀 수 있습니다.

증명.

열의 경우만 다루겠습니다. 가정에 의해 어떤 $x,y\in R$ 에 대하여 $\gcd(a,b)=xa+yb$ 입니다. 이제 $(x,y)=(1)$ 이어야 합니다(UFD에서 다루고 있기 때문입니다). 따라서 $xu+yv=1$ 을 만족하는 $u$ 와 $v$ 가 존재합니다. 그러면

\begin{bmatrix}x&y\\ -v&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gcd(a,b)\\ \text{무언가}\end{bmatrix}

이고 첫 번째 행렬은 가역이므로(확인해 보십시오!), 원하는 결과를 얻습니다. ∎

$s_{1}=(a_{ij})_{i,j}$ 를 모든 성분의 최대공약수라 합시다. 이제 이 알고리즘을 반복해서 적용하면 $s_{1}$ 이 왼쪽 위 모서리에 나타나게 할 수 있습니다. 그런 다음 이를 이용해 첫째 행과 첫째 열의 모든 성분을 소거하면, 다음 행렬에 도달합니다.

\begin{bmatrix}s_{1}&0&0&\dots&0\\ 0&a_{22}^{\prime}&a_{23}^{\prime}&\dots&a_{2n}^{\prime}\\ 0&a_{32}^{\prime}&a_{33}^{\prime}&\dots&a_{3n}^{\prime}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_{m2}^{\prime}&a_{m3}^{\prime}&\dots&a_{mn}^{\prime}\\ \end{bmatrix}.

이제 이 오른쪽 아래의 $(m-1)\times(n-1)$ 행렬에 같은 절차를 반복하고, 이를 계속합니다. 이렇게 하면 스미스 표준형을 얻습니다. ∎

스미스 표준형을 이용하면, 원래 상황에서 다음을 얻습니다.

M\cong R^{\oplus d}/\operatorname{im}T

이고 이 정리를 $T$ 에 적용하면 구조 정리의 증명이 완성됩니다.

18.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

이제 구조 정리를 적용할 수 있습니다!

문제 18A (유한 차원 벡터 공간은 모두 동형입니다).

체 $k$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 유한한 생성 벡터 집합을 가진다고 합시다. 어떤 $n$ 에 대하여 $V\cong k^{\oplus n}$ 임을 보이십시오.

힌트. 구조 정리에서 $k/(s_{i})\in\{0,k\}$ 입니다.

문제 18B (프로베니우스 표준형).

$V$ 가 임의의 체 $k$ (대수적으로 닫혀 있을 필요는 없습니다) 위의 유한 차원 벡터 공간일 때 $T\colon V\to V$ 라고 합시다. $T$ 를 블록 대각 행렬로 쓸 수 있으며, 그 블록이 모두 다음 꼴임을 보이십시오.

\begin{bmatrix}0&0&0&\dots&0&\ast\\ 1&0&0&\dots&0&\ast\\ 0&1&0&\dots&0&\ast\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1&\ast\\ \end{bmatrix}.

( $V$ 를 작용 $x\cdot v=T(v)$ 를 갖는 $k[x]$ -가군으로 보십시오.)

힌트. 정리에 의해 어떤 다항식 $s_{i}$ 에 대하여 $V\cong\bigoplus_{i}k[x]/(s_{i})$ 입니다. 각 블록을 앞에서 설명한 꼴로 쓰십시오.

문제 18C (조르당 표준형).

$V$ 가 대수적으로 닫힌 임의의 체 $k$ 위의 유한 차원 벡터 공간일 때 $T\colon V\to V$ 라고 합시다. $T$ 를 조르당 꼴로 쓸 수 있음을 증명하십시오.

힌트. 앞의 증명을 그대로 따르되, 구조 정리의 다른 꼴을 사용하십시오. $k[x]$ 가 대수적으로 닫혀 있으므로 각 $p_{i}$ 는 일차 인수입니다.

문제 18D.

^†^†margin:

동형은 아니지만 단사 준동형사상 $G\hookrightarrow H$ 와 $H\hookrightarrow G$ 가 존재하는 두 아벨 군 $G$ 와 $H$ 를 찾으십시오.

힌트. 여기서 구조 정리는 반결과입니다. 이 정리는 유한 생성 아벨 군으로는 안 된다는 것을 대략 함의합니다. 따라서 무한 생성인 예를 찾아보십시오.

풀이. $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{% Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\dots$ 와 $H=\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{% Z}\oplus\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\oplus\dots$ 를 택합시다. 그러면 사상 $G\hookrightarrow H$ 와 $H\hookrightarrow G$ 가 존재하지만, 예를 들어 $G$ 에는 $g=3g^{\prime}$ 을 만족하는 $g^{\prime}\in G$ 가 존재하지 않는 위수 $3$ 의 원소 $g\in G$ 가 있으므로 두 군은 동형이 아닙니다.

문제 18E.