장 27 보너스: $p$ 진수 맛보기

이 장은 환과 체에 대해서도 읽은 분들을 위한 보너스 장입니다. 대수학과 해석학이 만나는 지점에 있는 흥미로운 이야깃거리입니다.

이 장에서는 절댓값 $\left\lvert-\right\rvert$ 를 $p$ 진 절댓값으로 바꾸어 앞 장의 대부분을 다시 전개하겠습니다. 그러면 $p$ 진 정수 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $p$ 진수 $\mathbb{Q}_{p}$ 를 얻습니다. 한 문장으로 설명하면, 이들은 “법 $p^{e}$ 에 대한 정보를 온전히 담고 있는 정수/유리수”(그리고 오직 그 정보만 담고 있는 것)입니다.

이하에서 $p$ 는 항상 소수를 나타낸다고 가정합니다. 처음 네 절에서는 기초가 되는 정의들을 다루며, 그 결실로 USA TST 문제의 짧은 풀이를 제시합니다. 이어서 연속함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 에 관한 더 놀라운 결과들을 (대부분 증명 없이) 서술하고, 마지막으로 $p$ 진 해석학을 이용한 스콜렘-말러-레흐 정리의 유명한 증명으로 마무리하겠습니다.

27.1 동기

$\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 가 정확히 무엇인지 말씀드리기 전에, 이들에게 어떤 역할을 기대할 수 있는지부터 말씀드리겠습니다.

초등/올림피아드 정수론에서 우리는 이미 다음 두 가지 아이디어에 아주 익숙합니다.

•

소수 $p$ 또는 소수의 거듭제곱 $p^{e}$ 를 법으로 취하는 것, 그리고
•

지수 $\nu_{p}$ 를 살펴보는 것.

첫 번째 요점을 자세히 설명하겠습니다. 어떤 디오판토스 방정식이 있다고 합시다. 올림피아드에서는 방정식에 법 $p$ 를 취해서 다룰 거리를 새로 얻을 수 있습니다. 안타깝게도 법 $p$ 를 취하면 정보가 일부 사라집니다. 환원 사상 $\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/p$ 는 단사와는 거리가 멉니다.

더 세밀하게 다루고 싶다면 법 $p$ 대신 법 $p^{2}$ 를 취하는 것을 생각해 볼 수 있습니다. 이렇게 해도 새로운 정보를 얻을 수 있지만(법 $9$ 에 대한 세제곱수를 떠올려 보십시오), $\mathbb{Z}/p^{2}$ 가 체가 아니라는 단점이 있습니다. 그래서 법 $p$ 를 취할 때 얻었던 좋은 대수적 성질을 많이 잃게 됩니다.

$p$ 진수의 목표 중 하나는 앞서 설명한 이 두 문제를 피해 가는 것입니다. 우리가 도입할 $p$ 진수는 다음과 같은 성질을 가집니다.

1.

“모든 $e$ 에 대해 한꺼번에 법 $p^{e}$ 를 취할” 수 있습니다. 올림피아드에서는 특정한 법을 하나 골라서 그 법을 취하면 어떻게 되는지 살펴보는 데 익숙합니다. 하지만 $p$ 진수를 쓰면 그런 선택을 할 필요가 없습니다. $p$ 진수로 된 방정식에는 법 $p^{e}$ 를 취하기에 충분한 정보가 담겨 있습니다.
2.

수 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 체를 이룹니다. 체는 가능한 가장 좋은 대수적 구조이며, $1/p$ 가 의미를 가집니다. 정역조차 되지 않는 $\mathbb{Z}/p^{2}$ 와 대조해 보십시오.
3.

법 $p$ 를 취할 때만큼 정보를 많이 잃지 않습니다. 전사 사상 $\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/p$ 대신 단사 사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}_{p}$ 를 얻습니다.
4.

그럼에도 “무관한” 데이터 일부는 “무시”합니다. 법 $p$ 를 취할 때와 마찬가지로 특정한 종류의 대수적 정보에 초점을 맞추려는 것이므로, 필연적으로 다른 것들은 놓치게 됩니다.¹¹1비유를 들어 보겠습니다. 방정식 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=-1$ 은 정수해를 갖지 않습니다. 당연히 제곱수는 음이 아니기 때문입니다. 하지만 이 방정식은 임의의 소수 $p$ 를 법으로 해를 가진다는 것을 알 수 있습니다. 법 $p$ 를 취하는 순간 수가 음이 아니라는 것을 더 이상 말할 수 없기 때문입니다. $p$ 진수에서 다루어도 같은 일이 일어납니다. 위 방정식은 모든 소수 $p$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{p}$ 에서 해를 가집니다.

따라서 법 $p^{e}$ 에 대한 정보에만 관심이 있는데 보통의 $\mathbb{Z}/p^{e}$ 로는 힘이 조금 부족할 때 쓰기에 알맞은 도구가 $p$ 진수라고 생각하시면 됩니다.

좀 더 구체적으로, 이제 대표적인 예를 하나 보여 드리겠습니다.

예제 27.1.1 (USA TST 2002/2).

소수 $p$ 에 대해 다음 값이

f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}\pmod{p^{3}}

$x$ 에 의존하지 않음을 보이십시오.

이 문제는 분명히 $p^{e}$ 꼴의 정보에만 관심이 있는 문제입니다. 그런데도 법 $p^{3}$ 에서 필요한 계산을 해내기란 결코 쉽지 않습니다(직접 해 보십시오!). 근본적인 문제는 법 $p^{3}$ 에서 분모를 다룰 좋은 방법이 없다는 것입니다(부분적으로는 $\mathbb{Z}/p^{3}$ 가 정역조차 아니기 때문입니다).

하지만 $p$ 진 해석학을 이용하면 이러한 한계를 극복하고 다음 항등식을 이용해 “간단한” 증명을 제시할 수 있습니다.

\left(1+\frac{px}{k}\right)^{-2}=\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\left(\frac{px}{k}% \right)^{n}.

이러한 항등식은 수렴 문제 때문에 $\mathbb{Q}$ 나 $\mathbb{R}$ 에서는 의미가 없지만, $\mathbb{Q}_{p}$ 에서는 잘 성립하며 우리에게는 그것으로 충분합니다.

27.2 대수적 관점

대표적인 예: $-1/2=1+3+3^{2}+3^{3}+\dots\in\mathbb{Z}_{3}$ .

이제 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 를 구성하겠습니다. 앞에서 $p$ 진 정수를 쓰면 “법 $p^{e}$ 에 대한 모든 나머지”를 한꺼번에 볼 수 있다고 약속했습니다. 다음 정의가 이를 엄밀하게 표현합니다.

27.2.1 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 정의

정의 27.2.1 ( $\mathbb{Z}_{p}$ 의 도입).

$p$ 진 정수는 다음과 같은 수열입니다.

x=(x_{1}\bmod p,\;x_{2}\bmod{p^{2}},\;x_{3}\bmod{p^{3}},\;\dots)

여기서 각 정수 $e$ 에 대해 $x_{e}$ 는 $p^{e}$ 를 법으로 하는 나머지이며, $i<j$ 일 때 호환 관계 $x_{i}\equiv x_{j}\pmod{p^{i}}$ 를 만족합니다.

$p$ 진 정수들의 집합 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 성분별 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이룹니다.

예제 27.2.2 (몇 가지 $3$ 진 정수).

$p=3$ 이라고 합시다. 모든 일반 정수 $n$ 은 각 $e$ 에 대해 $p^{e}$ 를 법으로 하는 (호환되는) 나머지들의 수열을 만들어 내므로, 각 일반 정수를 $p$ 진 정수로 볼 수 있습니다:

50=\left(2\bmod 3,\;5\bmod 9,\;23\bmod{27},\;50\bmod{81},\;50\bmod{243},\;% \dots\right).

반면, 호환 관계를 만족하는데도 어떤 일반 정수에도 대응하지 않는 나머지 수열도 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81},\;\dots\right)

이는 $x=1+p+p^{2}+\dots$ 로 생각할 수 있습니다.

이렇게 하여 다음과 같은 단사 사상을 얻습니다.

\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}_{p}\qquad n\mapsto\left(n\bmod p,n\bmod{p^% {2}},n\bmod{p^{3}},\dots\right)

이 사상은 전사가 아닙니다. 따라서 $p$ 진 정수는 일반 정수보다 더 많습니다.

(전문가를 위한 참고: 범주론에 익숙한 분이라면 이 정의를 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다는 것을 알아차릴 수 있을 것입니다.

\mathbb{Z}_{p}\coloneqq\varprojlim\mathbb{Z}/p^{e}\mathbb{Z}

여기서 역극한은 $e\geq 1$ 에 걸쳐 취합니다.)

연습문제 27.2.3.

$\mathbb{Z}_{p}$ 가 정역임을 확인하십시오.

27.2.2 $p$ 진 전개

“ $p$ 진법”을 이용해 $p$ 진 정수를 생각하는 또 다른 방법을 소개합니다. 앞의 예에서처럼 모든 일반 정수는 $p$ 진법으로 쓸 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

50=\overline{1212}_{3}=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{3}.

더 일반적으로, 임의의 $x=(x_{1},\dots)\in\mathbb{Z}_{p}$ 가 주어지면, $x_{k-1}$ 이 주어졌을 때 $x_{k}$ 의 선택지가 정확히 $p$ 개라는 의미에서 “ $p$ 진” 전개를 적을 수 있습니다. 앞의 예를 이어서 쓰면 다음과 같습니다.

	$\displaystyle\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81},\;\dots\right)$	$\displaystyle=1+3+3^{2}+\dots$
		$\displaystyle=\overline{\dots 1111}_{3}$

일반적으로는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x=\sum_{k\geq 0}a_{k}p^{k}=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}}_{p}

여기서 $a_{k}\in\{0,\dots,p-1\}$ 이며, 각 $e$ 에 대해 방정식이 $p^{e}$ 를 법으로 성립합니다. 전개가 왼쪽으로 무한히 이어진다는 점에 주의하십시오. 이는 여러분에게 익숙한 것과 다릅니다.

(재미있게도 음의 정수 역시 무한한 $p$ 진 전개를 가집니다: $-4=\overline{\dots 222212}_{3}$ 이며, 이는 $(2\bmod 3,\;5\bmod 9,\;23\bmod{27},\;77\bmod{81}\dots)$ 에 대응합니다.)

그래서 $p$ 진 정수는 “무한할 수도 있는 $p$ 진 전개”라는 홍보 문구를 자주 듣게 될 것입니다. 이는 맞는 말이지만, 이후로 우리는 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 점점 더 “해석적”인 방식으로 생각하게 될 것이므로, 저는 이를 다음과 같이 생각하는 편을 선호합니다.

$p$ 진 정수는 밑이 $p$ 인 테일러 급수입니다.

실제로 생성함수 $K[[X]]$ (여기서 $K$ 는 체)에서 얻은 직관의 상당 부분이 $\mathbb{Z}_{p}$ 에도 그대로 적용됩니다.

27.2.3 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 구성

생성함수에서 얻은 직관이 그대로 적용되는 한 가지 예는 다음과 같습니다.

명제 27.2.4 ( $p$ 의 배수가 아닌 수는 모두 가역).

수 $x\in\mathbb{Z}_{p}$ 가 가역일 필요충분조건은 $x_{1}\neq 0$ 인 것입니다. 기호로 쓰면 다음과 같습니다.

x\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}\iff x\not\equiv 0\pmod{p}.

이를 $K[[X]]$ 에 대한 대응 명제와 대조해 보십시오. 생성함수 $F\in K[[X]]$ 가 가역일 필요충분조건은 $F(0)\neq 0$ 입니다.

증명.

$x\equiv 0\pmod{p}$ 이면 $x_{1}=0$ 이므로 분명히 가역이 아닙니다. 그렇지 않으면 모든 $e$ 에 대해 $x_{e}\not\equiv 0\pmod{p}$ 이므로, $x_{e}y_{e}\equiv 1\pmod{p^{e}}$ 를 만족하는 $p^{e}$ 를 법으로 하는 역원 $y_{e}$ 를 잡을 수 있습니다. $y_{e}$ 들 자체도 서로 호환되므로 원소 $(y_{1},y_{2},\dots)$ 가 역원입니다. ∎

예제 27.2.5 ( $-\frac{1}{2}=\overline{\dots 1111}_{3}\in\mathbb{Z}_{3}$ 입니다).

앞의 예시가 실제로는 다음과 같다고 주장합니다

	$\displaystyle-\frac{1}{2}=\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81% },\;\dots\right)$	$\displaystyle=1+3+3^{2}+\dots$
		$\displaystyle=\overline{\dots 1111}_{3}.$

실제로 여기에 $-2$ 를 곱하면 다음을 얻습니다

\left(-2\bmod 3,\;-8\bmod 9,\;-26\bmod{27},\;-80\bmod{81},\;\dots\right)=1.

(이를 “등비급수” $1+3+3^{2}+\dots=\frac{1}{1-3}$ 과 비교해 보십시오. 나중에는 이를 실제로 엄밀하게 다룰 수 있게 되지만, 아직은 아닙니다.)

비고 27.2.6 ( $p>2$ 이면 $\frac{1}{2}$ 는 정수입니다).

앞의 명제로부터 (다른 여러 사실과 함께) $\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}_{3}$ 임을 알 수 있습니다. 여기서는 무엇이 “정수”인가에 대한 직관이 달라집니다! 올림피아드 용어로 말하면, 우리는 이미 $\frac{1}{2}\pmod{3}$ 이 의미를 가진다는 것을 알고 있었습니다. 그렇기 때문에 $\frac{1}{2}$ 가 $\mathbb{Z}$ 의 어떤 원소에도 대응하지 않는데도 $3$ 진수에서 $\frac{1}{2}$ 를 “정수”라고 부르는 것이 옳습니다.

연습문제 27.2.7 (중요하지는 않지만 까다로운 사실).

유리수는 결국 주기적이 되는 $p$ 진법 전개에 정확히 대응합니다.

이 관찰을 바탕으로 이제 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 정의를 제시합니다.

정의 27.2.8 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 의 도입).

$\mathbb{Z}_{p}$ 는 정역이므로 그 분수체를 $\mathbb{Q}_{p}$ 로 표기합니다. 이것이 $p$ 진수입니다.

생성함수와의 유비를 계속 이어 가면 다음과 같습니다:

\mathbb{Z}_{p}\text{대}\mathbb{Q}_{p}\quad\text{는}\quad K[[X]]\text{대}K((X)).

이는 다음을 뜻합니다

$\mathbb{Q}_{p}$ 는 밑이 $p$ 인 로랑 급수로 생각할 수 있습니다.

그리고 특히 앞의 명제에 따라 다음을 추론할 수 있습니다:

명제 27.2.9 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 는 형식적 로랑 급수처럼 보입니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타납니다.

p^{k}u\qquad\text{여기서}k\in\mathbb{Z},\;u\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}.

따라서 $p$ 진법 유비를 계속 이어 가면, $\mathbb{Q}_{p}$ 의 원소는 다음 “로랑 급수”와 전단사 대응을 이룹니다

\sum_{k\geq-n}a_{k}p^{k}=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}.a_{-1}a_{-2}\dots a_{% -n}}_{p}

여기서 $a_{k}\in\left\{0,\dots,p-1\right\}$ 입니다. 따라서 $\mathbb{Q}_{p}$ 원소의 $p$ 진 표현은 평소와 같되, (오른쪽이 아니라) 왼쪽으로 무한히 뻗어 나가는 것으로 생각할 수 있습니다.

비고 27.2.10 (주의).

체 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 표수는 $p$ 가 아니라 0입니다.

비고 27.2.11 (분수체에 관한 주의).

이 결과는, 공식적인 정의가 그러하고 $\mathbb{Q}_{p}$ 라는 이름에서도 그렇게 기대하게 되더라도, 실제로는 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 원소를 ( $x,y\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대해) $x/y$ 로 생각해서는 안 된다는 것을 뜻합니다. 필요한 분모는 $p$ 의 거듭제곱뿐입니다.

형식적 로랑 급수와의 유비를 더 밀고 나가 보면, $K((X))$ 는 보통 생성함수들의 몫이 아니라 “음의 지수를 몇 개 가진 형식적 급수”로 생각합니다. $\mathbb{Q}_{p}$ 에도 같은 직관을 적용하십시오.

비고 27.2.12.

여기서 $1/p\in\mathbb{Q}_{p}$ 라는 사실에 대해, 앞서 제시했던 바람직한 성질 목록과 연결하여 한 가지 언급하고자 합니다. 초등 정수론에서는 방정식을 $p$ 를 법으로 하여 볼 수 있지만, 그렇게 하면 $n\bmod{p^{2}}$ 를 알지 못하는 한 $n/p\bmod{p}$ 라는 양은 의미가 없습니다. 이 문제는 단순히 $p^{2}$ 를 법으로 취하는 것으로는 해결할 수 없습니다. 그러면 $n/p\bmod{p^{2}}$ 를 얻기 위해 $n\bmod{p^{3}}$ 이 필요하고, 이것이 끝없이 반복되기 때문입니다. 이런 문제를 우회할 수는 있지만, $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 좋은 점은 “모든 $e$ 에 대해 한꺼번에” $p^{e}$ 를 법으로 하는 정보를 가진다는 것입니다. 즉 $x\in\mathbb{Q}_{p}$ 의 정보는 $p^{e}$ 를 법으로 하는 모든 정보를 동시에 담고 있습니다. 따라서 아무런 부작용 없이 $p$ 로 나눌 수 있습니다.

27.3 해석적 관점

27.3.1 정의

지금까지는 주로 대수적으로 생각해 왔지만, 앞으로는 해석학의 언어를 사용하기 시작하는 것이 도움이 될 것입니다. 보통 두 실수는 수직선 위에서 가까우면 “가깝다”고 여기지만, $p$ 진적 목적을 위해서는 $p^{e}$ 를 법으로 하는 정보에만 관심이 있습니다. 따라서 그 대신 $\mathbb{Z}_{p}$ 나 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 두 원소가 $p^{e}$ 의 큰 배수만큼 차이 나면 “가깝다”고 생각하겠습니다.

이를 위해 초등 정수론에서 익숙한 $\nu_{p}$ 를 빌려 오겠습니다.

정의 27.3.1 ( $p$ 진 값매김과 절댓값).

다음 두 가지 동치인 방법으로 $p$ 진 값매김 $\nu_{p}\colon\mathbb{Q}_{p}^{\times}\to\mathbb{Z}$ 를 정의합니다:

•

$x=(x_{1},x_{2},\dots)\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대하여 $\nu_{p}(x)$ 를 $x_{e}\equiv 0\pmod{p^{e}}$ 를 만족하는 가장 큰 $e$ 로 둡니다( $x\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}$ 이면 $e=0$ 으로 둡니다). 그런 다음 $\nu_{p}(xy)=\nu_{p}(x)+\nu_{p}(y)$ 를 이용하여 $\mathbb{Q}_{p}^{\times}$ 전체로 확장합니다.
•

각 $x\in\mathbb{Q}_{p}^{\times}$ 는 $u\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}$ , $k\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $p^{k}u$ 꼴로 유일하게 쓸 수 있습니다. 이때 $\nu_{p}(x)=k$ 로 둡니다.

관례에 따라 $\nu_{p}(0)=+\infty$ 로 둡니다. 마지막으로 $p$ 진 절댓값 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 를 다음과 같이 정의합니다.

\left\lvert x\right\rvert_{p}=p^{-\nu_{p}(x)}.

특히 $\left\lvert 0\right\rvert_{p}=0$ 입니다.

이로써 큰 $e$ 에 대하여 $x$ 와 $y$ 가 $p^{e}$ 를 법으로 같아 보이면 두 수가 가깝다는 약속이 지켜집니다. 그 경우 $\nu_{p}(x-y)$ 가 크고, 따라서 $\left\lvert x-y\right\rvert_{p}$ 는 작습니다.

27.3.2 초거리 공간

이렇게 하여 $\mathbb{Q}_{p}$ 와 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 $\left\lvert x-y\right\rvert_{p}$ 로 주어지는 거리를 갖는 거리 공간이 됩니다.

연습문제 27.3.2.

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이고 모든 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 에 대하여 $f(n)=(-1)^{n}$ 이라고 가정합시다. $p=2$ 임을 증명하십시오.

사실 이 공간들은 여러분이 $\mathbb{R}$ 에서 익숙하게 보아 온 것보다 더 강한 형태의 삼각 부등식을 만족합니다.

명제 27.3.3 ( $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 는 초거리입니다).

임의의 $x,y\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대하여 다음 강한 삼각 부등식이 성립합니다.

\left\lvert x+y\right\rvert_{p}\leq\max\left\{\left\lvert x\right\rvert_{p},% \left\lvert y\right\rvert_{p}\right\}.

$\left\lvert x\right\rvert_{p}\neq\left\lvert y\right\rvert_{p}$ 이면 (이 경우에만 그런 것은 아니지만) 등호가 성립합니다.

그러나 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 단순한 거리 공간 이상입니다. $\mathbb{Q}_{p}$ 는 고유한 덧셈과 곱셈을 갖춘 체입니다. 이는 $\mathbb{R}$ 이나 $\mathbb{C}$ 에서처럼 해석학을 할 수 있다는 뜻입니다. 기본적으로 “연속 함수”, “수렴하는 급수” 등과 같은 모든 개념에는 $p$ 진 대응물이 있습니다. 특히 무한합이 수렴한다는 것이 무슨 뜻인지 정의할 수 있습니다.

정의 27.3.4 (수렴 개념).

다음은 “현실 세계” 개념의 $p$ 진 대응물의 몇 가지 예입니다.

•

$\lim_{n\to\infty}\left\lvert s_{n}-L\right\rvert_{p}=0$ 이면 수열 $s_{1}$ , … 는 극한 $L$ 로 수렴합니다.
•

부분합의 수열 $s_{1}=x_{1}$ , $s_{2}=x_{1}+x_{2}$ , …가 어떤 극한으로 수렴하면 무한급수 $\sum_{k}x_{k}$ 는 수렴합니다.
•

… 기타 등등 …

이 정의를 갖추고 나면, 앞서 논의한 “ $p$ 진법” 이야기가 이제 해석적인 의미에서 참이 됩니다. $x=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}}_{p}\in\mathbb{Z}_{p}$ 이면 다음이 성립합니다.

\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}p^{k}\quad\text{로 수렴합니다}x.

실제로 $x$ 와 $n$ 번째 부분합의 차는 $p^{n}$ 으로 나누어떨어지므로, $n\to\infty$ 일 때 부분합은 $x$ 에 가까워집니다.

정의는 모두 같지만, 성립해야 할 성질에는 몇 가지 변화가 있습니다. 예를 들어 $\mathbb{Q}_{p}$ 에서는 부분합의 수렴이 더 간단합니다.

명제 27.3.5 ( $|x_{k}|_{p}\to 0$ 과 급수의 수렴은 동치입니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 에서 급수 $\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}$ 가 어떤 극한으로 수렴할 필요충분조건은 $\lim_{k\to\infty}|x_{k}|_{p}=0$ 입니다.

이를 $\mathbb{R}$ 에서 $\sum\frac{1}{n}=\infty$ 인 것과 대조해 보십시오. 이는 강한 삼각 부등식의 결과로 생각할 수 있습니다.

증명.

충분히 큰 $p$ 의 거듭제곱을 곱하면 $x_{k}\in\mathbb{Z}_{p}$ 라고 가정할 수 있습니다. (사실 꼭 필요한 것은 아니지만, 표기가 더 깔끔해집니다.)

충분히 큰 $n$ 에 대하여 $\left\lvert x_{n}\right\rvert_{p}<1\iff\nu_{p}(x_{n})\geq 1$ 이므로, $x_{k}\pmod{p}$ 는 결국 안정화되어야 함을 관찰하십시오. 따라서 큰 $N$ 에 대하여 $\sum_{k=0}^{N}x_{k}\pmod{p}$ 가 최종적으로 갖는 $p$ 를 법으로 한 나머지를 $a_{1}$ 이라 합시다. 같은 방식으로 $p^{2}$ 을 법으로 한 최종 나머지를 $a_{2}$ 라 하고, 이와 같이 계속합니다. 그러면 극한 $a=(a_{1},a_{2},\dots)$ 에 가까워짐을 확인할 수 있습니다. ∎

27.3.3 등비급수로 더 즐겨 봅시다

이제 드디어 등비급수 공식의 $p$ 진 유사물을 서술하겠습니다.

명제 27.3.6 (등비급수).

$\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 인 $x\in\mathbb{Z}_{p}$ 를 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots.

증명.

부분합이 $1+x+x^{2}+\dots+x^{n}=\frac{1-x^{n}}{1-x}$ 을 만족하고, $\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 이므로 $n\to\infty$ 일 때 $x^{n}\to 0$ 임에 유의하십시오. ∎

따라서 $1+3+3^{2}+\dots=-\frac{1}{2}$ 는 $\mathbb{Z}_{3}$ 에서 실제로 올바른 수렴입니다. 다른 경우도 마찬가지입니다.

$\mathbb{Z}_{p}$ 가 밑이 $p$ 인 생성함수라는 비유를 받아들인다면, 여러분에게 익숙할 올림피아드의 모든 생성함수에는 $p$ 진 유사물이 있습니다. 예를 들어, 더 일반적으로 다음을 증명할 수 있습니다.

정리 27.3.7 (일반화된 이항정리).

$x\in\mathbb{Z}_{p}$ 이고 $\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 이면, 임의의 $r\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음 급수 수렴이 성립합니다.

\sum_{n\geq 0}\binom{r}{n}x^{n}=(1+x)^{r}.

( $(1+x)^{r}$ 을 정의하지는 않았지만, 이는 여러분이 기대하는 성질을 가집니다.)

27.3.4 완비성

$\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 의 정의는 $\mathbb{Q}$ 에 대해서도 주어질 수 있었다는 점에 유의하십시오. 이를 도입하는 데 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 필요하지 않았습니다(어차피 올림피아드에는 이미 $\nu_{p}$ 가 있습니다). 이제 제가 서술해야 할 크고 중요한 정리는 다음과 같습니다.

정리 27.3.8 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 의 완비성).

공간 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 완비화입니다.

이것이 여러분이 더 자주 보게 될 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 정의입니다. 그런 다음 (그 반대가 아니라) $\mathbb{Q}_{p}$ 를 이용하여 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 다음과 같이 정의합니다.

\mathbb{Z}_{p}=\left\{x\in\mathbb{Q}_{p}:\left\lvert x\right\rvert_{p}\leq 1% \right\}.

27.3.5 철학적 참고 사항

이 정의가 왜 철학적으로 좋은지 정당화해 보겠습니다. 여러분이 다음 문제를 받은 고대 그리스 수학자라고 가정합시다.

고대 그리스인을 위한 문제. 다음 합의 값을

$S=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\dots+\frac{1}{10000^{2}}$

$0.001$ 이내의 오차로 추정하십시오.

합 $S$ 는 전적으로 유리수로만 이루어져 있으므로, 이 문제는 고대 그리스에서도 충분히 낼 수 있는 문제입니다. 그러나 좋은 추정값을 얻으려면 실수에 대해 알고 있는 것이 정말 도움이 된다는 사실이 밝혀집니다. 실수를 알면 무한급수 $\sum_{n\geq 1}n^{-2}=\frac{1}{6}\pi^{2}$ 를 구성할 수 있고, $\frac{1}{10001^{2}}$ 이후의 항들에서 오는 작은 오차항(이는 상계를 줄 수 있습니다)을 제외하면 $S\approx\frac{\pi^{2}}{6}$ 임을 이끌어 낼 수 있기 때문입니다.

물론 $S=\pi^{2}/6$ 임을 증명할 만큼 충분한 이론을 사용하려면 실수가 있어야 합니다. $\mathbb{Q}$ 에서는 미적분학을 할 수 없습니다(열 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ 는 “수렴하지 않는” 것으로 간주됩니다!).

이제 2002년으로 빨리 넘어가서, 여러분이 다음 문제를 받았다고 가정합시다.

USA TST 2002 문제. 다음 합을

$f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}$

mod $p^{3}$ 범위에서 추정하십시오.

$f_{p}(x)$ 가 유리수이더라도, 무한합으로 해석학을 한 다음 오차항에 상계를 줄(즉, mod $p^{3}$ 을 취할) 수 있으면 여전히 도움이 됩니다. 그러나 공간 $\mathbb{Q}$ 는 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대해서도 완비가 아니므로, $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 완비화에서 작업하는 것이 합리적입니다. 이것이 바로 $\mathbb{Q}_{p}$ 입니다.

어쨌든, 이제 드디어 예제 27.1.1을 풀어 봅시다.

예제 27.3.9 (USA TST 2002).

이제 다음을 계산하겠습니다.

f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}\pmod{p^{3}}.

일반화된 이항정리를 이용하면 이는 간단해집니다.

	$\displaystyle f_{p}(x)$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^% {2}}\left(1+\frac{px}{k}\right)^{-2}$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\left(% \frac{px}{k}\right)^{n}$
		$\displaystyle=\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\left(% \frac{x}{k}\right)^{n}p^{n}$
		$\displaystyle\equiv\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}-2x\left(\sum_{k=1}^{p-1}% \frac{1}{k^{3}}\right)p+3x^{2}\left(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{4}}\right)p^{2% }\pmod{p^{3}}.$

$p^{2}\mid\sum_{k}k^{-3}$ 와 $p\mid\sum_{k}k^{-4}$ 라는 기본적인 사실을 이용하면 문제가 해결됩니다.

27.4 말러 계수

$p$ 진 해석학의 큰 놀라움 중 하나는 다음과 같습니다.

모든 연속함수 $\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 를 사실상 전부 기술할 수 있습니다.

이들은 함수들의 기저

\binom{x}{n}\coloneqq\frac{x(x-1)\dots(x-(n-1))}{n!}

에 의해 다음과 같은 방식으로 주어집니다.

정리 27.4.1 (말러; [SCH07, 정리 51.1, 연습문제 51.b] 참고).

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이라고 하고, 다음과 같이 정의합시다.

a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}f(k).

(27.1)

그러면 $\lim_{n}a_{n}=0$ 이고, 다음이 성립합니다.

f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}.

역으로, $a_{n}$ 이 0으로 수렴하는 임의의 수열이면 $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}$ 은 (27.1)를 만족하는 연속함수를 정의합니다.

$a_{i}$ 를 $f$ 의 말러 계수라고 부릅니다.

연습문제 27.4.2.

앞에서 우리는 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이고 모든 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 에 대하여 $f(n)=(-1)^{n}$ 이면 $p=2$ 임을 증명했습니다. 말러 정리를 이용하여 이를 다시 증명하고, 이번에는 역으로 $p=2$ 일 때 그러한 $f$ 가 유일하게 존재함을 보이십시오.

이것들이 고등학교 수학 경시대회에서 다항식에 사용하는 유한 차분과 같다는 것을 알 수 있을 것입니다. 이 때문에 이들을 “말러 차분”이라고도 부릅니다.

	$\displaystyle a_{0}$	$\displaystyle=f(0)$
	$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=f(1)-f(0)$
	$\displaystyle a_{2}$	$\displaystyle=f(2)-2f(1)+f(0)$
	$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=f(3)-3f(2)+3f(1)-f(0).$

따라서 $a_{n}\to 0$ 은 $f(0)$ , $f(1)$ , … 의 값들이 모든 $e\geq 0$ 에 대하여 $p^{e}$ 를 법으로 다항식처럼 행동한다는 뜻으로 생각할 수 있습니다.

“해석적”이라는 개념에도 말러식 해석이 있습니다. 먼저 정의부터 살펴봅시다.

정의 27.4.3.

함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 다음과 같은 멱급수 전개를 가지면 $f$ 가 해석적이라고 합니다.

\sum_{n\geq 0}c_{n}x^{n}\quad c_{n}\in\mathbb{Q}_{p}\qquad\text{에 대해 수렴하는}x\in% \mathbb{Z}_{p}.

정리 27.4.4 ([SCH07, 정리 54.4]).

함수 $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}$ 이 해석적일 필요충분조건은 다음과 같습니다.

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n!}=0.

해석 함수는 다음과 같은 좋은 성질도 만족합니다.

정리 27.4.5 (슈트라스만 정리).

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 해석적이라고 합시다. 그러면 $f$ 의 영점은 유한개입니다.

이 결과들의 응용으로, $p$ 진수가 등장하기 전부터도 흥미로웠던 다음 결과를 증명하겠습니다!

정리 27.4.6 (스콜렘-말러-레흐).

$(x_{i})_{i\geq 0}$ 이 정수 선형 점화수열이라고 합시다. 즉 $(x_{i})_{i\geq 0}$ 은 정수들의 수열로서

x_{n}=c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}+\dots+c_{k}x_{n-k}\qquad n=1,2,\dots

가 어떤 정수 $c_{1}$ , …, $c_{k}$ 에 대하여 성립합니다. 그러면 첨자들의 집합 $\{i\mid x_{i}=0\}$ 은 결국 주기적입니다.

증명.

선형 점화식 이론에 따르면, $x_{i}$ 를 다음과 같은 점곱으로 쓸 수 있게 하는 행렬 $A$ 가 존재합니다.

x_{i}=\left<A^{i}u,v\right>.

$p$ 를 $\det A$ 를 나누지 않는 소수라고 합시다. $T$ 를 $A^{T}\equiv\mathrm{id}\pmod{p}$ 를 만족하는 정수라고 합시다(여기서 $\mathrm{id}$ 는 항등 행렬을 나타냅니다).

임의의 $0\leq r<T$ 를 고정합니다. 다음 항들이 모두

f(n)=x_{nT+r}\qquad n=0,1,\dots

0이거나, 그중 기껏해야 유한 개만 0임을 증명하겠습니다. 이로써 증명이 끝납니다.

어떤 정수 행렬 $B$ 에 대해 $A^{T}=\mathrm{id}+pB$ 라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

	$\displaystyle f(n)$	$\displaystyle=\left<A^{nT+r}u,v\right>=\left<(\mathrm{id}+pB)^{n}A^{r}u,v\right>$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\cdot p^{k}\left<B^{k}A^{r}u,v\right>$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}a_{k}\binom{n}{k}\qquad\text{여기서}a_{k}=p^{k}\left<% B^{k}A^{r}u,v\right>\in p^{k}\mathbb{Z}.$

이렇게 해서 $f$ 를 말러 꼴로 나타냈습니다. 처음에는 $f\colon\mathbb{Z}_{\geq 0}\to\mathbb{Z}$ 로 정의하지만, ( $\lim_{n}a_{n}=0$ 이므로) 말러 정리에 의해 $f$ 는 함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 로 확장됩니다. 또한 $\lim_{n}\frac{a_{n}}{n!}=0$ 임을 확인할 수 있으므로 $f$ 는 해석적이기까지 합니다.

따라서 스트라스만 정리에 의해 $f$ 는 항등적으로 0이거나, 그렇지 않으면 영점을 유한 개만 가지며, 이것이 바라던 결과입니다. ∎

27.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 27A ( $\mathbb{Z}_{p}$ 는 콤팩트합니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 는 콤팩트하지 않지만 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 콤팩트함을 보이십시오. (후자의 경우 점렬 연속성을 이용하기를 권합니다.)

문제 27B (완전 비연결).

$\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 가 모두 완전 비연결임을 보이십시오. 즉, 공집합과 한원소 집합 외에는 연결 집합이 없습니다.

문제 27C (MathOverflow에서 언급됨).

$p$ 를 소수라고 합시다. 다음을 만족하는 유리수열 $q_{1}$ , $q_{2}$ , … 를 찾으십시오:

•

수열 $q_{n}$ 은 실수의 의미에서 $0$ 으로 수렴합니다;
•

수열 $q_{n}$ 은 $p$ 진 의미에서 $2021$ 로 수렴합니다.

문제 27D (USA TST 2011).

$p$ 를 소수라고 합시다. 정수열 $\{z_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 가 $p$ -pod라는 것은, 각 $e\geq 0$ 에 대해 어떤 $N\geq 0$ 이 존재하여 $m\geq N$ 일 때마다 $p^{e}$ 가 다음 합을 나눈다는 뜻입니다.

\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}z_{k}.

두 수열 $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 와 $\{y_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 가 모두 $p$ -pod이면 수열 $\{x_{n}y_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 도 $p$ -pod임을 증명하십시오.

장 27 보너스: p진수 맛보기