장 27 Bonus: A hint of $p$ -adic numbers

이 보너스 장은 환과 체에 대해서도 읽은 분들을 위한 것으로, 대수학과 해석학이 만나는 지점에 있는 흥미로운 이야깃거리입니다.

이번 장에서는 절댓값 $\left\lvert-\right\rvert$ 을 $p$ 진 절댓값으로 대체하여 이전 장의 내용 대부분을 다시 다루어 보겠습니다. 이를 통해 $p$ 진 정수 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $p$ 진수 $\mathbb{Q}_{p}$ 를 얻게 됩니다. 한 문장으로 설명하자면, 이들은 ”법 $p^{e}$ 에 대한 완전한 정보를 담고 있는 정수/유리수”(오직 그 정보만을 담고 있는)입니다.

이어지는 모든 내용에서 $p$ 는 항상 소수를 나타낸다고 가정합니다. 처음 네 절에서는 기초가 되는 정의들을 다루며, USA TST 문제의 짧은 풀이로 마무리합니다. 그런 다음 연속함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 에 관한 더욱 놀라운 결과들을 (대부분 증명 없이) 서술할 것입니다. 마지막으로 $p$ 진 해석학을 이용한 스콜렘-말러-레흐 정리의 유명한 증명으로 마무리합니다.

27.1 동기

$\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 가 실제로 무엇인지 알려드리기 전에, 이들이 어떤 역할을 할지 먼저 말씀드리겠습니다.

초등/올림피아드 정수론에서 우리는 이미 다음 두 가지 개념에 익숙합니다.

•

소수 $p$ 또는 소수의 거듭제곱 $p^{e}$ 로 모듈로를 취하는 것, 그리고
•

지수 $\nu_{p}$ 를 살펴보는 것입니다.

첫 번째 항목을 좀 더 설명하겠습니다. 어떤 디오판토스 방정식이 있다고 합시다. 올림피아드 맥락에서는 방정식을 $p$ 로 모듈로 취해 다룰 수 있는 새로운 대상을 얻을 수 있습니다. 안타깝게도 $p$ 로 모듈로를 취하면 일부 정보를 잃게 됩니다. 축약사상 $\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/p$ 는 단사와는 거리가 멉니다.

더 세밀한 제어를 원한다면, $p$ 대신 $p^{2}$ 로 모듈로를 취하는 것을 고려할 수 있습니다. 이 역시 새로운 정보를 줄 수 있지만 ( $9$ 를 법으로 한 세제곱수를 떠올려보십시오), $\mathbb{Z}/p^{2}$ 는 체가 아니라는 단점이 있어, $p$ 로 모듈로를 취했을 때 얻었던 좋은 대수적 성질들을 많이 잃게 됩니다.

$p$ 진수의 목표 중 하나는 앞서 설명한 이 두 가지 문제를 우회할 수 있다는 것입니다. 우리가 소개할 $p$ 진수는 다음과 같은 성질을 가질 것입니다.

1.

모든 $e$ 에 대해 ” $p^{e}$ 로 모듈로를 한꺼번에” 취할 수 있습니다. 올림피아드 맥락에서는 특정 법을 선택한 다음 그 법을 취했을 때 어떤 일이 일어나는지 살펴보는 데 익숙합니다. 하지만 $p$ 진수를 사용하면 그러한 선택을 할 필요가 없습니다. $p$ 진수의 방정식은 $p^{e}$ 로 모듈로를 취하기에 충분한 정보를 담고 있습니다.
2.

수 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 체를 이룹니다. 이는 가능한 가장 좋은 대수적 구조로서, $1/p$ 가 의미를 가집니다. 정역조차 아닌 $\mathbb{Z}/p^{2}$ 와 대조해 보십시오.
3.

$p$ 로 모듈로를 취하는 것만큼 정보를 잃지 않습니다. 전사사상 $\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/p$ 대신, 단사 사상 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}_{p}$ 를 가집니다.
4.

그럼에도 불구하고, 몇몇 ”무관한” 데이터를 ”무시”하게 됩니다. $p$ 로 모듈로를 취하는 것과 마찬가지로, 특정 종류의 대수적 정보에 집중하고자 하며, 이는 필연적으로 다른 것들을 놓치게 됨을 의미합니다.¹¹1비유를 들자면, 방정식 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=-1$ 은 정수해를 갖지 않습니다. 그야, 제곱수는 음이 아니기 때문입니다. 하지만 이 방정식이 임의의 소수 $p$ 를 법으로 해를 갖는다는 것을 알게 될 것인데, 이는 $p$ 로 모듈로를 취하는 순간부터 수가 음이 아니라는 것을 더 이상 말할 수 없게 되기 때문입니다. $p$ 진수로 작업할 때도 같은 일이 일어날 것입니다. 위 방정식은 모든 소수 $p$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{p}$ 에서 해를 가집니다.

따라서 $p^{e}$ 모듈로 정보에만 정말로 관심이 있지만 일반적인 $\mathbb{Z}/p^{e}$ 가 그다지 강력하지 못한 경우에 사용할 적절한 도구로 $p$ 진수를 생각할 수 있습니다.

좀 더 구체적으로, 이제 대표적인 예시를 하나 들겠습니다.

예제 27.1.1 (USA TST 2002/2).

소수 $p$ 에 대해, 다음 값이

f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}\pmod{p^{3}}

$x$ 에 의존하지 않음을 보이십시오.

여기 우리가 분명히 $p^{e}$ 유형의 정보에만 관심이 있는 문제가 있습니다. 그럼에도 $p^{3}$ 을 법으로 필요한 조작을 수행하는 것은 만만치 않은 도전입니다 (직접 해보십시오!). 근본적인 문제는 $p^{3}$ 을 법으로 분모를 다룰 좋은 방법이 없다는 것입니다 (그 이유 중 하나는 $\mathbb{Z}/p^{3}$ 이 정역조차 아니기 때문입니다).

하지만 $p$ 진 해석학을 이용하면 이러한 한계를 극복하고 다음 항등식을 이용해 ”간단한” 증명을 제시할 수 있습니다.

\left(1+\frac{px}{k}\right)^{-2}=\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\left(\frac{px}{k}% \right)^{n}.

이러한 항등식은 수렴 문제로 인해 $\mathbb{Q}$ 나 $\mathbb{R}$ 위에서는 아무런 의미가 없지만, $\mathbb{Q}_{p}$ 위에서는 문제없이 작동하며, 우리에게 필요한 것은 그것뿐입니다.

27.2 대수적 관점

대표적인 예: $-1/2=1+3+3^{2}+3^{3}+\dots\in\mathbb{Z}_{3}$ .

이제 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 를 구성하겠습니다. 앞서 $p$ 진 정수를 이용하면 ”모든 $p^{e}$ 나머지”를 한꺼번에 살펴볼 수 있다고 약속드렸습니다. 이 정의는 이를 공식화할 것입니다.

27.2.1 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 정의

정의 27.2.1 ( $\mathbb{Z}_{p}$ 의 소개).

$p$ 진 정수는 다음과 같은 수열입니다

x=(x_{1}\bmod p,\;x_{2}\bmod{p^{2}},\;x_{3}\bmod{p^{3}},\;\dots)

각 정수 $e$ 에 대해 $p^{e}$ 를 법으로 하는 나머지 $x_{e}$ 들이며, $i<j$ 일 때 호환 관계 $x_{i}\equiv x_{j}\pmod{p^{i}}$ 를 만족합니다.

$p$ 진 정수들의 집합 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 성분별 덧셈과 곱셈 아래 환을 이룹니다.

예제 27.2.2 (몇 가지 $3$ 진 정수).

$p=3$ 이라 합시다. 모든 보통 정수 $n$ 은 각 $e$ 에 대해 $p^{e}$ 를 법으로 하는 (호환되는) 나머지 수열을 생성하므로, 각 보통 정수를 $p$ 진 정수로 볼 수 있습니다:

50=\left(2\bmod 3,\;5\bmod 9,\;23\bmod{27},\;50\bmod{81},\;50\bmod{243},\;% \dots\right).

반면, 호환 관계를 만족함에도 불구하고 어떤 보통 정수에도 대응하지 않는 나머지 수열들이 존재합니다. 예를 들면

\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81},\;\dots\right)

이는 $x=1+p+p^{2}+\dots$ 로 생각할 수 있습니다.

이런 방식으로 단사 사상을 얻습니다

\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}_{p}\qquad n\mapsto\left(n\bmod p,n\bmod{p^% {2}},n\bmod{p^{3}},\dots\right)

이는 전사가 아닙니다. 따라서 $p$ 진 정수는 보통 정수보다 더 많습니다.

(전문가를 위한 비고: 범주론에 익숙하신 분들은 이 정의가 다음과 같이 간결하게 쓰일 수 있음을 알아차리실 수 있습니다

\mathbb{Z}_{p}\coloneqq\varprojlim\mathbb{Z}/p^{e}\mathbb{Z}

여기서 역극한은 $e\geq 1$ 범위에서 취해집니다.)

연습문제 27.2.3.

$\mathbb{Z}_{p}$ 가 정역임을 확인하십시오.

27.2.2 $p$ 진 전개

$p$ 진 정수를 생각하는 또 다른 방법으로 ” $p$ 진법”을 사용하는 것이 있습니다. 앞선 예에서처럼, 모든 보통 정수는 $p$ 진법으로 쓸 수 있습니다. 예를 들면

50=\overline{1212}_{3}=2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{3}.

더 일반적으로, 임의의 $x=(x_{1},\dots)\in\mathbb{Z}_{p}$ 가 주어졌을 때, $x_{k-1}$ 이 주어지면 $x_{k}$ 의 선택지가 정확히 $p$ 개 있다는 의미에서 ” $p$ 진법” 전개를 적어볼 수 있습니다. 앞선 예를 계속하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다

	$\displaystyle\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81},\;\dots\right)$	$\displaystyle=1+3+3^{2}+\dots$
		$\displaystyle=\overline{\dots 1111}_{3}$

그리고 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

x=\sum_{k\geq 0}a_{k}p^{k}=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}}_{p}

여기서 $a_{k}\in\{0,\dots,p-1\}$ 이며, 각 $e$ 에 대해 $p^{e}$ 를 법으로 이 등식이 성립합니다. 이 전개가 왼쪽으로 무한하다는 점에 주목하십시오. 이는 여러분이 익숙한 것과 다릅니다.

(흥미롭게도, 음의 정수 또한 무한한 $p$ 진 전개를 가집니다: $-4=\overline{\dots 222212}_{3}$ 이며, 이는 $(2\bmod 3,\;5\bmod 9,\;23\bmod{27},\;77\bmod{81}\dots)$ 에 대응됩니다.)

그러므로 $p$ 진 정수란 ”어쩌면 무한할 수 있는 $p$ 진 전개”라는 설명을 자주 듣게 될 수 있습니다. 이는 맞는 말이지만, 이후로 우리는 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 점점 더 ”해석적인” 방식으로 생각하게 될 것이므로, 저는 이를 다음과 같이 생각하는 것을 선호합니다

$p$ 진 정수는 밑이 $p$ 인 테일러 급수입니다.

실제로, 생성함수 $K[[X]]$ (여기서 $K$ 는 체입니다)에 대한 여러분의 직관 대부분이 $\mathbb{Z}_{p}$ 로 옮겨갈 것입니다.

27.2.3 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 구성

생성함수에 대한 직관이 옮겨가는 한 가지 방식은 다음과 같습니다:

명제 27.2.4 ( $p$ 의 배수가 아닌 것은 모두 가역입니다).

$x\in\mathbb{Z}_{p}$ 인 수는 $x_{1}\neq 0$ 일 때에만 가역입니다. 기호로 나타내면,

x\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}\iff x\not\equiv 0\pmod{p}.

$K[[X]]$ 에 대한 대응되는 명제와 이를 대조해 봅시다: 생성함수 $F\in K[[X]]$ 가 가역적인 것은 $F(0)\neq 0$ 일 때이고 오직 그때뿐입니다.

증명.

$x\equiv 0\pmod{p}$ 이면 $x_{1}=0$ 이므로 명백히 가역적이지 않습니다. 그렇지 않으면 모든 $e$ 에 대해 $x_{e}\not\equiv 0\pmod{p}$ 이므로, $x_{e}y_{e}\equiv 1\pmod{p^{e}}$ 을 만족하는 $p^{e}$ 법 역원 $y_{e}$ 를 취할 수 있습니다. $y_{e}$ 자체가 서로 호환되므로, 원소 $(y_{1},y_{2},\dots)$ 가 역원이 됩니다. ∎

예제 27.2.5 ( $-\frac{1}{2}=\overline{\dots 1111}_{3}\in\mathbb{Z}_{3}$ 입니다).

앞서 든 예시가 실제로는 다음과 같음을 주장합니다

	$\displaystyle-\frac{1}{2}=\left(1\bmod 3,\;4\bmod 9,\;13\bmod{27},\;40\bmod{81% },\;\dots\right)$	$\displaystyle=1+3+3^{2}+\dots$
		$\displaystyle=\overline{\dots 1111}_{3}.$

실제로, 이것에 $-2$ 를 곱하면 다음이 나옵니다

\left(-2\bmod 3,\;-8\bmod 9,\;-26\bmod{27},\;-80\bmod{81},\;\dots\right)=1.

(이것을 “기하급수” $1+3+3^{2}+\dots=\frac{1}{1-3}$ 과 비교해 보십시오. 이는 나중에 실제로 형식화할 수 있게 되지만, 아직은 아닙니다.)

비고 27.2.6 ( $p>2$ 일 때 $\frac{1}{2}$ 는 정수입니다).

앞선 명제는 (다른 것들 중에서도) $\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}_{3}$ 임을 함의합니다; 여기서 “정수”가 무엇인지에 대한 여러분의 직관은 다를 것입니다! 올림피아드적인 관점에서 우리는 이미 $\frac{1}{2}\pmod{3}$ 이 의미가 있음을 알고 있었으며, 이것이 바로 $3$ 진수에서 $\frac{1}{2}$ 를 “정수”라고 부르는 것이 옳은 이유입니다, 비록 이것이 $\mathbb{Z}$ 의 어떤 원소에도 대응하지 않지만 말입니다.

연습문제 27.2.7 (중요하지는 않지만 까다로운 사실).

유리수는 정확히 결국 주기적인 $p$ 진 전개에 대응됩니다.

이 관찰을 바탕으로, 이제 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 정의를 소개하겠습니다.

정의 27.2.8 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 소개).

$\mathbb{Z}_{p}$ 가 정역이므로, $\mathbb{Q}_{p}$ 를 그 분수체라고 하겠습니다. 이것이 바로 $p$ 진수입니다.

우리의 생성함수 유비를 계속 이어가면:

\mathbb{Z}_{p}\text{하는 것입니다}\mathbb{Q}_{p}\quad\text{와 같습니다}\quad K[[X]]\text{% 하는 것입니다}K((X)).

이는 다음을 의미합니다

$\mathbb{Q}_{p}$ 는 밑을 $p$ 로 하는 로랑 급수로 생각할 수 있습니다.

그리고 특히 앞선 명제에 따라 다음을 유도할 수 있습니다:

명제 27.2.9 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 는 형식적 로랑 급수처럼 보입니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 의 모든 0이 아닌 원소는 유일하게 다음과 같은 꼴입니다

p^{k}u\qquad\text{여기서}k\in\mathbb{Z},\;u\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}.

따라서, 우리의 $p$ 진 유비를 계속 이어가면, $\mathbb{Q}_{p}$ 의 원소들은 다음의 “로랑 급수”와 전단사 관계에 있습니다

\sum_{k\geq-n}a_{k}p^{k}=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}.a_{-1}a_{-2}\dots a_{% -n}}_{p}

여기서 $a_{k}\in\left\{0,\dots,p-1\right\}$ 입니다. 그러므로 $\mathbb{Q}_{p}$ 원소의 $p$ 진 표현은 보통의 경우와 같은 것으로 생각할 수 있지만, (오른쪽이 아니라) 왼쪽으로 무한히 뻗어 나간다는 점이 다릅니다.

비고 27.2.10 (경고).

체 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 표수는 $p$ 가 아니라 0입니다.

비고 27.2.11 (분수체에 관한 경고).

이 결과는 실제로는 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 원소를 ( $x,y\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대해) $x/y$ 로 생각해서는 안 된다는 것을 함의합니다, 비록 이것이 공식적인 정의이고 (또한 $\mathbb{Q}_{p}$ 라는 이름에서 기대할 법한 것이기도) 하지만 말입니다. 필요한 분모는 오직 $p$ 의 거듭제곱뿐입니다.

형식적 로랑 급수 유비를 계속 밀고 나가면, $K((X))$ 는 보통 생성함수의 몫으로 생각되지 않고 오히려 “일부 음의 지수를 갖는 형식적 급수”로 생각됩니다. $\mathbb{Q}_{p}$ 에도 같은 직관을 적용해야 합니다.

비고 27.2.12.

이 시점에서 $1/p\in\mathbb{Q}_{p}$ 라는 사실에 대해 언급하고자 하며, 이를 앞서 제시했던 성질들의 희망 목록과 연결 짓고자 합니다. 초등 정수론에서는 $p$ 법으로 방정식을 취할 수 있지만, 그렇게 하면 $n\bmod{p^{2}}$ 을 알지 못하는 한 $n/p\bmod{p}$ 라는 양은 의미가 없습니다. 단순히 $p^{2}$ 법을 취하는 것으로는 이 문제를 해결할 수 없는데, 그러면 $n/p\bmod{p^{2}}$ 을 얻기 위해 $n\bmod{p^{3}}$ 이 필요하게 되고, 이는 무한히 계속됩니다. 이러한 문제는 우회할 수 있지만, $\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 좋은 특징은 “모든 $e$ 에 대해 동시에” $p^{e}$ 법 정보를 갖는다는 것입니다: $x\in\mathbb{Q}_{p}$ 라는 정보는 모든 $p^{e}$ 법 정보를 동시에 담고 있습니다. 그러므로 아무런 부작용 없이 $p$ 로 나눌 수 있습니다.

27.3 해석적 관점

27.3.1 정의

지금까지 우리는 주로 대수적으로 사물을 생각해 왔지만, 앞으로는 해석학의 언어를 사용하기 시작하는 것이 도움이 될 것입니다. 보통 두 실수는 수직선 위에서 가까우면 “가깝다”고 여겨지지만, $p$ 진적 목적을 위해서는 오직 $p^{e}$ 법 정보만이 중요합니다. 그러므로 우리는 대신 $\mathbb{Z}_{p}$ 나 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 두 원소가 $p^{e}$ 의 큰 배수만큼 차이가 날 때 “가깝다”고 생각하겠습니다.

이를 위해 초등 정수론에서 친숙한 $\nu_{p}$ 를 빌려오겠습니다.

정의 27.3.1 ( $p$ -진 값매김과 절댓값).

다음과 같은 두 가지 동치인 방법으로 $p$ -진 값매김 $\nu_{p}\colon\mathbb{Q}_{p}^{\times}\to\mathbb{Z}$ 을 정의합니다:

•

$x=(x_{1},x_{2},\dots)\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대해, $\nu_{p}(x)$ 를 $x_{e}\equiv 0\pmod{p^{e}}$ 를 만족하는 가장 큰 $e$ 로 정의합니다 ( $x\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}$ 인 경우에는 $e=0$ ). 그런 다음 $\nu_{p}(xy)=\nu_{p}(x)+\nu_{p}(y)$ 에 의해 $\mathbb{Q}_{p}^{\times}$ 전체로 확장합니다.
•

각 $x\in\mathbb{Q}_{p}^{\times}$ 는 $u\in\mathbb{Z}_{p}^{\times}$ , $k\in\mathbb{Z}$ 에 대해 $p^{k}u$ 의 꼴로 유일하게 쓸 수 있습니다. 이때 $\nu_{p}(x)=k$ 로 둡니다.

관례상 $\nu_{p}(0)=+\infty$ 로 둡니다. 마지막으로, $p$ -진 절댓값 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 를 다음과 같이 정의합니다:

\left\lvert x\right\rvert_{p}=p^{-\nu_{p}(x)}.

특히 $\left\lvert 0\right\rvert_{p}=0$ 입니다.

이는 큰 $e$ 에 대해 $x$ 와 $y$ 가 법 $p^{e}$ 에서 같아 보이면 서로 가깝다는 약속을 충족시킵니다. 이 경우 $\nu_{p}(x-y)$ 가 크고, 그에 따라 $\left\lvert x-y\right\rvert_{p}$ 가 작아집니다.

27.3.2 초거리 공간

이렇게 해서, $\mathbb{Q}_{p}$ 와 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 $\left\lvert x-y\right\rvert_{p}$ 로 주어지는 거리를 가진 거리 공간이 됩니다.

연습문제 27.3.2.

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이고 모든 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 에 대해 $f(n)=(-1)^{n}$ 이라고 합시다. $p=2$ 임을 증명하십시오.

사실, 이 공간들은 $\mathbb{R}$ 에서 익숙한 것보다 더 강한 형태의 삼각부등식을 만족합니다.

명제 27.3.3 ( $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 는 초거리입니다).

임의의 $x,y\in\mathbb{Z}_{p}$ 에 대해, 다음과 같은 강한 삼각부등식이 성립합니다

\left\lvert x+y\right\rvert_{p}\leq\max\left\{\left\lvert x\right\rvert_{p},% \left\lvert y\right\rvert_{p}\right\}.

$\left\lvert x\right\rvert_{p}\neq\left\lvert y\right\rvert_{p}$ 이면 (그러나 이 경우에만 그런 것은 아니고) 등호가 성립합니다.

하지만 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 단순한 거리 공간 이상입니다: 그것은 고유한 덧셈과 곱셈을 가진 체입니다. 이는 $\mathbb{R}$ 이나 $\mathbb{C}$ 에서처럼 해석학을 할 수 있다는 것을 의미합니다: 기본적으로 “연속함수”, “수렴하는 급수” 등의 개념은 모두 $p$ -진 유사체를 가집니다. 특히, 무한합이 수렴한다는 것이 무엇을 의미하는지 정의할 수 있습니다:

정의 27.3.4 (수렴 개념).

다음은 “현실 세계”의 개념에 대한 $p$ -진 유사체의 몇 가지 예시입니다.

•

수열 $s_{1}$ , … 은 $\lim_{n\to\infty}\left\lvert s_{n}-L\right\rvert_{p}=0$ 이면 극한 $L$ 로 수렴합니다.
•

무한급수 $\sum_{k}x_{k}$ 는 부분합의 수열 $s_{1}=x_{1}$ , $s_{2}=x_{1}+x_{2}$ , …가 어떤 극한으로 수렴하면 수렴합니다.
•

… 기타 등등 …

이 정의를 갖추면, 앞서 다룬 “ $p$ 진법” 논의는 이제 해석학적 의미에서 참이 됩니다: $x=\overline{\dots a_{2}a_{1}a_{0}}_{p}\in\mathbb{Z}_{p}$ 이면

\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}p^{k}\quad\text{로 수렴합니다}x.

실제로, $x$ 와 $n$ 번째 부분합 사이의 차는 $p^{n}$ 으로 나누어떨어지므로, $n\to\infty$ 일 때 부분합은 $x$ 에 접근합니다.

정의는 모두 동일하지만, 성립해야 할 성질에는 몇 가지 변화가 있습니다. 예를 들어, $\mathbb{Q}_{p}$ 에서 부분합의 수렴은 더 간단합니다:

명제 27.3.5 ( $|x_{k}|_{p}\to 0$ 과 급수의 수렴은 동치입니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 에서 급수 $\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}$ 가 어떤 극한으로 수렴하는 것은 $\lim_{k\to\infty}|x_{k}|_{p}=0$ 인 것과 동치입니다.

이는 $\mathbb{R}$ 에서 $\sum\frac{1}{n}=\infty$ 인 것과 대조됩니다. 이는 강한 삼각부등식의 결과로 생각할 수 있습니다.

증명.

충분히 큰 $p$ 의 거듭제곱을 곱함으로써, $x_{k}\in\mathbb{Z}_{p}$ 라고 가정할 수 있습니다. (실제로 필요한 것은 아니지만, 표기를 더 깔끔하게 만들어 줍니다.)

$x_{k}\pmod{p}$ 가 결국 안정된다는 것을 관찰하십시오. 왜냐하면 충분히 큰 $n$ 에 대해 $\left\lvert x_{n}\right\rvert_{p}<1\iff\nu_{p}(x_{n})\geq 1$ 이기 때문입니다. 따라서 큰 $N$ 에 대해 $\sum_{k=0}^{N}x_{k}\pmod{p}$ 의 최종적인 법 $p$ 나머지를 $a_{1}$ 이라고 합시다. 같은 방식으로 법 $p^{2}$ 의 최종적인 나머지를 $a_{2}$ 라고 하고, 이런 식으로 계속합니다. 그러면 우리가 극한 $a=(a_{1},a_{2},\dots)$ 에 접근함을 확인할 수 있습니다. ∎

27.3.3 등비급수에 관한 더 재미있는 이야기

이제 드디어 등비급수 공식의 $p$ 진 유사물을 서술해 보겠습니다.

명제 27.3.6 (등비급수).

$\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 을 만족하는 $x\in\mathbb{Z}_{p}$ 가 있다고 합시다. 그러면

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots.

증명.

부분합이 $1+x+x^{2}+\dots+x^{n}=\frac{1-x^{n}}{1-x}$ 를 만족하고, $\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 이므로 $n\to\infty$ 일 때 $x^{n}\to 0$ 임에 주목하십시오. ∎

따라서 $1+3+3^{2}+\dots=-\frac{1}{2}$ 는 $\mathbb{Z}_{3}$ 에서 실제로 올바른 수렴입니다. 다른 경우도 마찬가지입니다.

$\mathbb{Z}_{p}$ 가 밑을 $p$ 로 하는 생성함수라는 유비를 받아들인다면, 여러분이 익숙한 올림피아드의 모든 생성함수는 $p$ 진 유사물을 갖습니다. 예를 들어, 다음을 더 일반적으로 증명할 수 있습니다:

정리 27.3.7 (일반화된 이항정리).

$x\in\mathbb{Z}_{p}$ 이고 $\left\lvert x\right\rvert_{p}<1$ 이면, 임의의 $r\in\mathbb{Q}$ 에 대해 다음과 같은 급수 수렴이 성립합니다

\sum_{n\geq 0}\binom{r}{n}x^{n}=(1+x)^{r}.

( $(1+x)^{r}$ 을 정의하지는 않았지만, 여러분이 기대하는 성질을 갖습니다.)

27.3.4 완비성

$\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 의 정의는 $\mathbb{Q}$ 에 대해서도 마찬가지로 주어질 수 있었다는 점에 주목하십시오. 이를 도입하는 데 $\mathbb{Q}_{p}$ 가 필요하지는 않았습니다(어쨌든 우리는 올림피아드에서 이미 $\nu_{p}$ 를 가지고 있습니다). 이제 제가 서술해야 할 크고 중요한 정리는 다음과 같습니다:

정리 27.3.8 ( $\mathbb{Q}_{p}$ 는 완비이다).

공간 $\mathbb{Q}_{p}$ 는 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 완비화입니다.

이것이 여러분이 더 자주 보게 될 $\mathbb{Q}_{p}$ 의 정의입니다. 그런 다음 (반대가 아니라) $\mathbb{Q}_{p}$ 를 이용해 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 다음에 따라 정의합니다

\mathbb{Z}_{p}=\left\{x\in\mathbb{Q}_{p}:\left\lvert x\right\rvert_{p}\leq 1% \right\}.

27.3.5 철학적 소견

이 정의가 철학적으로 왜 좋은지 정당화해 보겠습니다. 여러분이 다음과 같은 문제를 받은 고대 그리스의 수학자라고 합시다:

고대 그리스인을 위한 문제. 다음 합의 값을

$S=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\dots+\frac{1}{10000^{2}}$

$0.001$ 이내로 추정하십시오.

합 $S$ 는 전적으로 유리수로 이루어져 있으므로, 이 문제 서술은 고대 그리스에서도 합당한 문제일 것입니다. 하지만 좋은 추정값을 얻으려면 실수에 대해 아는 것이 정말로 도움이 된다는 사실이 밝혀집니다: 그러면 무한급수 $\sum_{n\geq 1}n^{-2}=\frac{1}{6}\pi^{2}$ 을 구성할 수 있고, $\frac{1}{10001^{2}}$ 이후의 항들에서 오는, 유계로 만들 수 있는 작은 오차항을 제외하면 $S\approx\frac{\pi^{2}}{6}$ 이라고 추론할 수 있기 때문입니다.

물론 $S=\pi^{2}/6$ 임을 증명할 수 있을 만큼 충분한 이론에 접근하려면 실수가 있어야 합니다. $\mathbb{Q}$ 에서는 미적분학을 하는 것이 불가능합니다(수열 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $\dots$ 는 ”수렴하지 않는다”고 간주됩니다!)

이제 2002년으로 시간을 빨리 돌려서, 여러분이 다음과 같은 문제를 받았다고 합시다

2002년 미국 TST 문제. 다음 합을

$f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}$

$p^{3}$ 을 법으로 하여 이내로 추정하십시오.

$f_{p}(x)$ 가 유리수임에도 불구하고, 무한합을 가지고 해석을 할 수 있고 그런 다음 오차항을 유계로 만드는(즉 $p^{3}$ 을 법으로 취하는) 것은 여전히 도움이 됩니다. 하지만 공간 $\mathbb{Q}$ 역시 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대해 완비가 아니며, 따라서 $\left\lvert\bullet\right\rvert_{p}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 완비화에서 작업하는 것이 타당합니다. 이것이 바로 $\mathbb{Q}_{p}$ 입니다.

어쨌든, 이제 드디어 예제 27.1.1을 풀어 봅시다.

예제 27.3.9 (2002년 미국 TST).

이제 다음을 계산하겠습니다

f_{p}(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}\pmod{p^{3}}.

일반화된 이항 정리로 무장하면, 이는 간단해집니다.

	$\displaystyle f_{p}(x)$	$\displaystyle=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{(px+k)^{2}}=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^% {2}}\left(1+\frac{px}{k}\right)^{-2}$
		$\displaystyle=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\left(% \frac{px}{k}\right)^{n}$
		$\displaystyle=\sum_{n\geq 0}\binom{-2}{n}\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}\left(% \frac{x}{k}\right)^{n}p^{n}$
		$\displaystyle\equiv\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}}-2x\left(\sum_{k=1}^{p-1}% \frac{1}{k^{3}}\right)p+3x^{2}\left(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{4}}\right)p^{2% }\pmod{p^{3}}.$

$p^{2}\mid\sum_{k}k^{-3}$ 이고 $p\mid\sum_{k}k^{-4}$ 라는 기본적인 사실을 이용하면, 이는 문제를 해결합니다.

27.4 Mahler 계수

$p$ 진 해석학의 큰 놀라움 중 하나는 다음과 같습니다.

우리는 기본적으로 모든 연속함수 $\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 를 서술할 수 있습니다.

이들은 함수들의 기저로 주어지는데,

\binom{x}{n}\coloneqq\frac{x(x-1)\dots(x-(n-1))}{n!}

다음과 같은 방식으로 주어집니다.

정리 27.4.1 (Mahler; [SCH07, 정리 51.1, 연습문제 51.b] 참고).

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이라 하고, 다음을 정의합니다.

a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}f(k).

(27.1)

그러면 $\lim_{n}a_{n}=0$ 이며

f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}.

역으로, $a_{n}$ 이 0으로 수렴하는 임의의 수열이라면, $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}$ 은 (27.1)를 만족하는 연속함수를 정의합니다.

$a_{i}$ 는 $f$ 의 Mahler 계수라고 불립니다.

연습문제 27.4.2.

앞서 우리는 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 연속이고 모든 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 에 대해 $f(n)=(-1)^{n}$ 이면 $p=2$ 임을 증명했습니다. Mahler 정리를 이용하여 이를 다시 증명하고, 이번에는 역으로 $p=2$ 일 때 그러한 $f$ 가 유일하게 존재함을 보이십시오.

이것들은 고등학교 수학경시대회에서 다항식에 사용하는 것과 동일한 유한차분임을 알 수 있으며, 이 때문에 이들은 또한 ”Mahler 차분”이라고도 불립니다.

	$\displaystyle a_{0}$	$\displaystyle=f(0)$
	$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=f(1)-f(0)$
	$\displaystyle a_{2}$	$\displaystyle=f(2)-2f(1)+f(0)$
	$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=f(3)-3f(2)+3f(1)-f(0).$

따라서 $a_{n}\to 0$ 이라는 것은, $f(0)$ , $f(1)$ , … 의 값들이 모든 $e\geq 0$ 에 대해 법 $p^{e}$ 로 다항식처럼 행동한다는 의미로 생각할 수 있습니다.

”해석적”이라는 개념 또한 Mahler적 해석을 가집니다. 먼저 정의부터 하겠습니다.

정의 27.4.3.

함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 다음과 같은 거듭제곱급수 전개를 가지면 해석적이라고 말합니다

\sum_{n\geq 0}c_{n}x^{n}\quad c_{n}\in\mathbb{Q}_{p}\qquad\text{에 대해 수렴하는}x\in% \mathbb{Z}_{p}.

정리 27.4.4 ([SCH07, 정리 54.4]).

함수 $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_{n}\binom{x}{n}$ 이 해석적일 필요충분조건은 다음과 같습니다

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n!}=0.

해석적 함수는 또한 다음과 같은 좋은 성질을 만족합니다.

정리 27.4.5 (Strassmann의 정리).

$f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 가 해석적이라 합시다. 그러면 $f$ 는 유한 개의 영점을 가집니다.

이러한 결과들의 응용을 하나 제시하기 위해, 다음 결과를 증명하겠습니다. 이는 $p$ 진수가 등장하기 전부터도 흥미로운 것이었습니다!

정리 27.4.6 (Skolem-Mahler-Lech).

$(x_{i})_{i\geq 0}$ 가 정수 선형 점화식이라 합시다. 즉 $(x_{i})_{i\geq 0}$ 는 다음을 만족하는 정수열입니다

x_{n}=c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}+\dots+c_{k}x_{n-k}\qquad n=1,2,\dots

어떤 정수 $c_{1}$ , …, $c_{k}$ 의 선택에 대해 성립합니다. 그러면 지표 집합 $\{i\mid x_{i}=0\}$ 은 결국 주기적입니다.

증명.

선형 점화식 이론에 따르면, $x_{i}$ 를 내적으로 쓸 수 있게 하는 행렬 $A$ 가 존재합니다

x_{i}=\left<A^{i}u,v\right>.

$p$ 를 $\det A$ 를 나누지 않는 소수라 합시다. $T$ 를 $A^{T}\equiv\mathrm{id}\pmod{p}$ 를 만족하는 정수라 합시다 ( $\mathrm{id}$ 는 항등행렬을 나타냅니다).

$0\leq r<T$ 을 임의로 고정합니다. 모든 항이

f(n)=x_{nT+r}\qquad n=0,1,\dots

영이거나, 많아야 유한히 많은 항만 영이 아님을 증명하겠습니다. 이로써 증명이 마무리됩니다.

어떤 정수 행렬 $B$ 에 대해 $A^{T}=\mathrm{id}+pB$ 라고 합시다. 다음을 얻습니다

	$\displaystyle f(n)$	$\displaystyle=\left<A^{nT+r}u,v\right>=\left<(\mathrm{id}+pB)^{n}A^{r}u,v\right>$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}\cdot p^{k}\left<B^{k}A^{r}u,v\right>$
		$\displaystyle=\sum_{k\geq 0}a_{k}\binom{n}{k}\qquad\text{여기서}a_{k}=p^{k}\left<% B^{k}A^{r}u,v\right>\in p^{k}\mathbb{Z}.$

이렇게 하여 $f$ 를 말러 형식으로 나타냈습니다. 처음에는 $f\colon\mathbb{Z}_{\geq 0}\to\mathbb{Z}$ 로 정의하지만, 말러의 정리에 의해 ( $\lim_{n}a_{n}=0$ 이므로) $f$ 가 함수 $f\colon\mathbb{Z}_{p}\to\mathbb{Q}_{p}$ 로 확장됨을 알 수 있습니다. 또한 $\lim_{n}\frac{a_{n}}{n!}=0$ 임을 확인할 수 있으므로 $f$ 는 심지어 해석적입니다.

따라서 스트라스만의 정리에 의해, $f$ 는 항등적으로 영이거나, 그렇지 않으면 원하는 대로 유한히 많은 영점을 가집니다. ∎

27.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 27A ( $\mathbb{Z}_{p}$ 는 콤팩트합니다).

$\mathbb{Q}_{p}$ 는 콤팩트하지 않지만 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 콤팩트함을 보이십시오. (후자의 경우, 점렬 연속성을 이용할 것을 권합니다.)

문제 27B (완전 비연결).

$\mathbb{Z}_{p}$ 와 $\mathbb{Q}_{p}$ 가 모두 완전 비연결임을 보이십시오: 즉 공집합과 한원소 집합 외에는 연결 집합이 존재하지 않습니다.

문제 27C (MathOverflow에서 언급됨).

$p$ 를 소수라 합시다. 다음을 만족하는 유리수의 수열 $q_{1}$ , $q_{2}$ , … 를 찾으십시오:

•

수열 $q_{n}$ 이 실수적 의미에서 $0$ 으로 수렴합니다;
•

수열 $q_{n}$ 이 $p$ 진법적 의미에서 $2021$ 로 수렴합니다.

문제 27D (USA TST 2011).

$p$ 를 소수라 합시다. 정수 수열 $\{z_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 이 다음 조건을 만족하면 이를 $p$ -pod라 부릅니다: 각 $e\geq 0$ 에 대해 어떤 $N\geq 0$ 이 존재하여, $m\geq N$ 일 때마다 $p^{e}$ 가 다음 합을 나눕니다

\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}z_{k}.

$\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 과 $\{y_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 이 모두 $p$ -pod이면, 수열 $\{x_{n}y_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 도 $p$ -pod임을 증명하십시오.

장 27 Bonus: A hint of p-adic numbers