장 64 몇 가지 위상적 구성

이 짧은 장에서는 아직 다루지 않은 위상수학의 흔한 공간과 구성 몇 가지를 간략히 설명합니다.

64.1 구

다음을 상기하십시오.

S^{n}=\left\{(x_{0},\dots,x_{n})\mid x_{0}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=1\right\}% \subset\mathbb{R}^{n+1}

는 $n$ -구의 표면이고,

D^{n+1}=\left\{(x_{0},\dots,x_{n})\mid x_{0}^{2}+\dots+x_{n}^{2}\leq 1\right\}% \subset\mathbb{R}^{n+1}

는 이에 대응하는 닫힌 공입니다. (예를 들어 $D^{2}$ 는 평면 위의 원판이고 $S^{1}$ 은 단위원입니다.)

연습문제 64.1.1.

열린 공 $D^{n}\setminus S^{n-1}$ 이 $\mathbb{R}^{n}$ 과 위상동형임을 보이십시오.

특히 $S^{0}$ 은 두 점으로 이루어져 있고, $D^{1}$ 은 구간 $[-1,1]$ 로 생각할 수 있습니다.

64.2 몫위상

대표적인 예: $D^{n}/S^{n-1}=S^{n}$ , 또는 원환면입니다.

공간 $X$ 가 주어지면, 임의의 동치 관계 $\sim$ 을 이용하여 일부 점들을 서로 동일시할 수 있습니다. $x\in X$ 에 대해 그 동치류를 $[x]$ 로 나타냅니다. 기하학적으로 이는 $\sim$ 에 대해 동치인 점들을 서로 용접하듯 이어 붙여 얻는 공간입니다.

형식적으로는 다음과 같습니다.

정의 64.2.1.

$X$ 를 위상 공간, $\sim$ 을 $X$ 의 점들 위의 동치 관계라고 합시다. 그러면 $X/{\sim}$ 는 다음을 만족하는 공간입니다.

•

점은 $X$ 의 동치류이고,
•

$U\subseteq X/{\sim}$ 가 열린집합일 필요충분조건은 $\left\{x\in X\text{ 이고 }[x]\in U\right\}$ 가 $X$ 에서 열린집합인 것입니다.

제가 보기에 이 정의는 직관을 얻는 데에는 거의 쓸모가 없으므로, 몇 가지 예를 들겠습니다.

예제 64.2.2 (끝점을 동일시한 구간).

$D^{1}=[-1,1]$ 을 잡고, 끝점 $-1$ 과 $1$ 을 동일시하는 동치 관계로 몫을 취한다고 합시다. (형식적으로는 $x\sim y\iff(x=y)\text{ 또는 }\{x,y\}=\{-1,1\}$ 입니다.) 이 경우 단순히 $S^{1}$ 을 다시 얻습니다.

몫공간에서 $-1\sim 1$ 주위의 작은 열린 근방은 원래 공간 $D^{1}$ 에서 $-1$ 과 $1$ 에 있는 두 개의 반구간에 대응한다는 점에 주목하십시오. 이를 통해 앞서 제시한 정의가 올바르다는 것을 납득할 수 있을 것입니다.

예제 64.2.3 (더 많은 몫공간).

다음을 스스로 납득해 보십시오.

•

앞의 예를 일반화하면, $D^{n}$ 을 그 경계 $S^{n-1}$ 로 나눈 몫은 $S^{n}$ 입니다.
•

정사각형 $A B C D$ 가 주어졌을 때, 선분 $A B$ 와 $D C$ 를 서로 동일시한다고 합시다. 그러면 원기둥을 얻습니다. (초등학교 시절 종이 조각들을 테이프로 붙여 원기둥을 만들던 것을 떠올려 보십시오.)
•

앞의 예에서 $B C$ 와 $D A$ 도 서로 동일시하면 원환면을 얻습니다. (원기둥을 가져다가 양 끝의 두 원을 서로 붙이는 것을 상상해 보십시오.)
•

$X=\mathbb{R}$ 이라 하고, $y-x\in\mathbb{Z}$ 이면 $x\sim y$ 라고 합시다. 그러면 $X/{\sim}$ 역시 $S^{1}$ 입니다.

위에서 다룬 특수한 경우 하나는 다음과 같습니다.

정의 64.2.4.

$A\subseteq X$ 라 합시다. $A$ 의 모든 점을 서로 동일시하고 나머지 점들은 모두 서로 동치가 아니도록 남겨 두는 동치 관계를 생각해 봅시다. (다시 말해, $x=y$ 이거나 $x,y\in A$ 이면 $x\sim y$ 입니다.) 이렇게 얻어지는 몫공간을 $X/A$ 로 나타냅니다.

따라서 이 표기법으로 쓰면 다음과 같습니다.

D^{n}/S^{n-1}=S^{n}.

표기의 남용 64.2.5.

사실은 “ $D^{n}/S^{n-1}$ 은 $S^{n}$ 과 위상동형입니다”라고 말해야 하는데도, 제가 일부러 엄밀하지 않게 “ $D^{n}/S^{n-1}=S^{n}$ ”이라거나 “ $D^{n}/S^{n-1}$ 은 $S^{n}$ 입니다”라고 말하고 있다는 점에 유의하십시오. 이는 수학 전반에 나타나는 경향입니다. 위상동형/동형 등인 대상들은 대개 서로 세심하게 구별하지 않습니다.

예제 64.2.6 (더 기묘한 몫공간).

부분집합 $A$ 가 $X$ 에서 닫혀 있지 않으면 $X/A$ 는 상당히 기묘해집니다.

예를 들어, $X=\mathbb{R}$ 이고 $A=(0,1)$ 이라 합시다. 그러면 공간 $X/A$ 는 점들 $(-\infty,0]\cup\{A/A\}\cup[1,\infty)$ 로 이루어집니다. 여기서 점 $0$ 과 $A/A$ 는 서로 다르지만, $0$ 을 포함하는 모든 열린집합은 $A/A$ 도 포함합니다.

이러한 공간 $X/A$ 를 하우스도르프 공간이 아니라고 합니다.

64.3 곱위상

대표적인 예: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 이고, $S^{1}\times S^{1}$ 은 원환면입니다.

정의 64.3.1.

위상 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, $X\times Y$ 위의 곱위상은 다음과 같은 공간입니다.

•

점은 $x\in X$ , $y\in Y$ 인 순서쌍 $(x,y)$ 이고,
•

위상은 다음과 같이 주어집니다. $X\times Y$ 의 위상의 기저는 열린집합 $U\subseteq X$ 와 열린집합 $V\subseteq Y$ 에 대한 $U\times V$ 입니다.

비고 64.3.2.

사실 $U$ 와 $V$ 로는 기저 원소만 고려해도 충분하다는 것을 보이기는 어렵지 않습니다. 다시 말해,

\left\{U\times V\mid U,V\text{다음의 기저 원소}X,Y\right\}

역시 $X\times Y$ 의 기저입니다.

기저를 이렇게 손보는 것은 정말로 필요합니다. $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 에서 열린 단위 원판은 $U\times V$ 꼴이 아니지만 당연히 열린집합이어야 하기 때문입니다.

이 정의는 여러분이 예상하는 그대로 작동합니다.

예제 64.3.3 (단위 정사각형).

$X=[0,1]$ 이라 하고 $X\times X$ 를 생각해 봅시다. 물론 우리는 이것이 단위 정사각형이 되기를 기대합니다. 아래 그림은 기저에 속하는 $X\times X$ 의 열린집합입니다.

연습문제 64.3.4.

이 기저가 $X\times X$ 위의 곱거리가 주는 위상과 같은 위상을 준다는 것을 스스로 확인해 보십시오. 따라서 이것이 “올바른” 정의입니다.

예제 64.3.5 (더 많은 곱공간).

(a)

$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 은 유클리드 평면입니다.
(b)

$S^{1}\times[0,1]$ 은 원기둥입니다.
(c)

$S^{1}\times S^{1}$ 은 원환면입니다! (왜 그렇습니까?)

64.4 서로소 합집합과 쐐기합

대표적인 예: $S^{1}\vee S^{1}$ 은 8자 도형입니다.

두 공간의 서로소 합집합은 기하학적으로 이름 그대로입니다. 두 공간을 나란히 놓은 모습을 떠올리면 됩니다. 완비성을 위해 형식적인 정의를 소개합니다.

정의 64.4.1.

$X$ 와 $Y$ 를 두 위상 공간이라고 합시다. $X\amalg Y$ 로 표기하는 서로소 합집합은 다음과 같이 정의합니다.

•

점들은 서로소 합집합 $X\amalg Y$ 이고,
•

부분집합 $U\subseteq X\amalg Y$ 는 $U\cap X$ 와 $U\cap Y$ 가 열린집합일 때, 그리고 그때에만 열린집합입니다.

연습문제 64.4.2.

공집합이 아닌 두 공간의 서로소 합집합은 연결되어 있지 않음을 보이십시오.

더 흥미로운 것은 쐐기합입니다. 쐐기합에서는 두 위상 공간 $X$ 와 $Y$ 를 단 하나의 기준점에서만 붙입니다.

정의 64.4.3.

$X$ 와 $Y$ 를 위상 공간이라 하고, $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 점이라고 합시다. $x_{0}\sim y_{0}$ 만을 선언하여 동치 관계 $\sim$ 를 정의합니다. 그러면 두 공간의 쐐기합은 다음과 같이 정의합니다.

X\vee Y=(X\amalg Y)/{\sim}.

예제 64.4.4 ( $S^{1}\vee S^{1}$ 은 8자 도형입니다).

$X=S^{1}$ , $Y=S^{1}$ 이라 하고, $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 임의의 점이라 합시다. 그러면 $X\vee Y$ 는 “8자 도형”입니다. 즉, 두 원을 한 점에서 붙인 것입니다.

표기의 남용 64.4.5.

$x_{0}$ 와 $y_{0}$ 가 문맥상 분명할 때(또는 상관없을 때)는 이를 굳이 언급하지 않는 경우가 많습니다. 예를 들어, 앞으로는 8자 도형을 그냥 $S^{1}\vee S^{1}$ 로 쓰겠습니다.

비고 64.4.6.

성가시게도, LaTeX 에서 \wedge는 $\vee$ (이것은 \vee입니다)가 아니라 $\wedge$ 를 출력합니다. 그러니 사실 이것은 “vee 곱”이라고 불러야 마땅하지만, 이미 늦었습니다.

64.5 CW 복합체

이 구성을 이용하면 여러 공간을 만들기 시작할 수 있습니다. 흔히 쓰는 방법 하나는 이른바 CW 복합체를 이용하는 것입니다. 직관적으로 CW 복합체는 다음과 같이 만듭니다.

•

점들의 집합 $X^{0}$ 에서 시작합니다.
•

선분 몇 개( $D^{1}$ 의 복사본)를 가져와 그 끝점( $S^{0}$ 의 복사본)을 $X^{0}$ 에 붙여 $X^{1}$ 을 정의합니다.
•

$D^{2}$ (원판)의 복사본을 가져와 그 경계( $S^{1}$ 의 복사본)를 $X^{1}$ 에 붙여 $X^{2}$ 를 정의합니다.
•

유한한 단계 $n$ 에 이를 때까지 귀납적으로 반복합니다. 이때 $X$ 가 $n$ 차원이라고 합니다.

이렇게 얻은 공간 $X$ 가 CW 복합체입니다. 집합 $X^{k}$ 를 $X$ 의 $k$ -뼈대라고 합니다. 각 $D^{k}$ 를 $k$ -세포라고 하며, 관례상 어떤 첨자 $\alpha$ 를 붙여 $e_{\alpha}^{k}$ 로 표기합니다. 유한 개의 세포만 사용했을 때 $X$ 가 유한하다고 합니다.

표기의 남용 64.5.1.

엄밀히 말하면, 대부분의 문헌([HAT02] 등)에서는 무한차원 CW 복합체를 만드는 것도 허용합니다. Napkin에서는 그러한 공간을 다루지 않습니다.

예제 64.5.2 ( $2+2+1$ 개와 $1+1+1$ 개의 세포로 만든 $D^{2}$ ).

(a)

먼저 두 점 $e_{a}^{0}$ 와 $e_{b}^{0}$ 로 이루어진 $X^{0}$ 에서 시작합니다. 다음으로 두 $1$ -세포 $D^{1}$ (초록색)으로 두 점을 잇고, 이를 $e_{c}^{1}$ 과 $e_{d}^{1}$ 이라고 합니다. 각 $1$ -세포의 끝점( $S^{0}$ 의 복사본)은 $X^{0}$ 의 서로 다른 점과 동일시되므로 $X^{1}\cong S^{1}$ 입니다. 마지막으로 $2$ -세포 $e^{2}$ (노란색) 하나를 가져와 그 경계가 방금 그린 $S^{1}$ 의 복사본에 들어맞도록 붙입니다. 그러면 왼쪽 그림을 얻습니다.
(b)

사실 이는 $1+1+1=3$ 개의 세포만으로도 할 수 있습니다. 한 점 $e^{0}$ 로 이루어진 $X^{0}$ 에서 시작합니다. 다음으로 $1$ -세포 $e^{1}$ 하나를 사용하여 그 두 끝점을 $X^{0}$ 의 한 점에 붙입니다. 그러면 앞에서와 같이 $S^{1}$ 의 복사본에 맞추어 끼워 넣을 수 있고, 오른쪽 그림과 같은 $D^{2}$ 를 얻습니다.

예제 64.5.3 (CW 복합체로서의 $S^{n}$ ).

(a)

단 두 개의 세포만으로 $S^{n}$ ( $n\geq 1$ )을 얻을 수 있습니다. 즉, $X^{0}$ 으로 한 점 $e^{0}$ 을 잡고, $S^{n}$ 을 얻기 위해 $D^{n}$ 을 잡아 그 경계 전체를 $e^{0}$ 에 용접합니다.

이 예는 이미 처음에 $n=2$ 인 경우로 살펴보았습니다. 그때 원판 $D^{2}$ 의 경계를 하나로 융합하면 구 $S^{2}$ 가 얻어진다는 것을 보았습니다.
(b)

또는 각 차원마다 두 개의 세포를 사용하여 $S^{n}$ 을 귀납적으로 구성하는 “반구” 구성을 할 수도 있습니다. 즉 $S^{0}$ 은 두 점으로 이루어지고, $S^{1}$ 은 이 두 점을 두 개의 선분( $1$ -세포)으로 이어서 얻으며, $S^{2}$ 는 $S^{1}$ 을 적도로 하여 두 반구(각각 $2$ -세포)를 붙여서 얻습니다.

정의 64.5.4.

형식적으로는, $X^{k}$ 에 추가하고자 하는 각 $k$ -세포 $e^{k}_{\alpha}$ 에 대하여 그 경계 $S^{k-1}_{\alpha}$ 를 잡고 부착 사상 $S^{k-1}_{\alpha}\to X^{k-1}$ 을 통해 이를 $X^{k-1}$ 에 용접합니다. 그러면

X^{k}=\left(X^{k-1}\amalg\left(\coprod_{\alpha}e^{k}_{\alpha}\right)\right)/{\sim}

여기서 $\sim$ 은 $e^{k}_{\alpha}$ 의 각 경계점을 $X^{k-1}$ 에서의 그 상과 동일시합니다.

64.6 원환면, 클라인 병, $\mathbb{RP}^{n}$ , $\mathbb{CP}^{n}$

이제 CW 복합체의 가장 중요한 예 네 가지를 제시합니다.

64.6.1 원환면

원환면은 정사각형을 잡고 마주 보는 변들을 같은 방향으로 동일시하여 만들 수 있습니다. 즉 오른쪽 변 밖으로 걸어 나가면 왼쪽 변의 대응하는 점에 다시 나타납니다. (Atari의 Asteroids를 떠올려 보십시오!)

따라서 원환면은 $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{2}\cong S^{1}\times S^{1}$ 입니다.

네 꼭짓점이 모두 하나의 점으로 동일시된다는 점에 유의하십시오. 정사각형을 종이 한 장으로 여기고 왼쪽과 오른쪽(빨간색) 변을 테이프로 붙여 원기둥을 만든 다음, 원기둥을 구부려 위쪽과 아래쪽(파란색) 변을 융합하여 원환면을 만들면 $3$ 차원 공간에서 원환면을 실현할 수 있습니다.

화상 출처: [42]

원환면은 다음과 같은 CW 복합체로 실현할 수 있습니다.

•

한 점으로 이루어진 $0$ -뼈대,
•

두 개의 $1$ -세포 $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ 로 이루어진 $1$ -뼈대, 그리고
•

하나의 $2$ -세포 $e^{2}$ 를 가지는 $2$ -뼈대. 이 세포의 둘레는 네 부분으로 나뉘어 “ $aba^{-1}b^{-1}$ 를 통해” $1$ -뼈대에 용접됩니다. 이는 다음을 뜻합니다. 둘레의 4분의 1을 $e^{1}_{a}$ 에 감고, 다음 4분의 1을 $e^{1}_{b}$ 에 감고, 세 번째 4분의 1을 $e^{1}_{a}$ 에 반대 방향으로 감고, 네 번째 4분의 1을 $e^{1}_{b}$ 에 역시 앞서와 같이 반대 방향으로 감습니다.

$aba^{-1}b^{-1}$ 를 부착 단어라고 부릅니다. 이 약식 표기는 나중에 편리하게 쓰일 것입니다.

64.6.2 클라인 병

클라인 병은 원환면과 비슷하게 정의되지만, 그림과 같이 한 쌍의 변을 반대 방식으로 동일시한다는 점이 다릅니다.

원환면과 달리 이것은 $3$ 차원 공간에서 자기 교차 없이 실현할 수 없습니다. 앞서와 같이 빨간색 변들을 테이프로 붙여 원기둥을 얻을 수는 있지만, 그렇게 얻은 파란색 원들을 반대 방향으로 융합하는 것은 3차원에서 불가능합니다. 그럼에도 우리는 원기둥이 자기 자신과 교차하는 것을 암묵적으로 허용하여 3차원 공간에 그림을 그리는 경우가 많습니다.

화상 출처: [22, 9]

원환면과 마찬가지로 클라인 병은 다음과 같은 CW 복합체로 실현됩니다.

•

하나의 $0$ -세포,
•

두 개의 $1$ -셀 $e^{1}_{a}$ 와 $e^{1}_{b}$ , 그리고
•

이번에는 단어 $abab^{-1}$ 를 통해 붙인 하나의 $2$ -셀.

64.6.3 실사영 공간

$n=2$ 부터 시작합시다. 그림과 같이 앞의 정사각형에서 두 방향을 모두 뒤집으면 공간 $\mathbb{RP}^{2}$ 를 얻습니다.

그러나 이렇게 하고 나면 원래 다각형이 정사각형이라는 사실은 별로 중요하지 않습니다. 빨간 변과 파란 변을 합쳐 하나의 보라색 변을 얻을 수 있기 때문입니다. 이는 원둘레의 절반을 나머지 절반과 동일시한 원으로 생각할 수도 있습니다:

이렇게 얻은 공간은 사영 (유클리드) 기하학을 다루시는 분들께 익숙할 것입니다. 실제로 가능한 기하학적 해석이 여러 가지 있습니다:

•

$\mathbb{RP}^{2}$ 를 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합으로 생각할 수 있으며, 이때 각 직선이 $\mathbb{RP}^{2}$ 의 한 점이 됩니다.

물론 각 직선을 단위 구 $S^{2}$ 위의 한 점과 동일시할 수 있습니다. 다만 두 대척점이 실제로는 같은 직선에 대응한다는 성질이 있으므로, $\mathbb{RP}^{2}$ 는 거의 “구의 절반”으로 생각할 수 있습니다. 이를 평평하게 펴면 위의 그림을 얻습니다.
•

$\mathbb{R}^{2}$ 에 “무한원점”을 덧붙인 것을 상상해 보십시오. 이는 직선의 가능한 방향마다 하나씩, “무한히 멀리 떨어진” 점들을 추가한다는 뜻입니다. 따라서 $\mathbb{RP}^{2}$ 에서는 임의의 두 직선이 실제로 만납니다(평행하지 않으면 유클리드 점에서, 평행하면 무한원점에서 만납니다).

이것은 $\mathbb{RP}^{2}$ 의 한 가지 해석을 주며, 여기서 경계는 모든 무한원점을 지나는 무한원직선을 나타냅니다. 여기서는 $\mathbb{R}^{2}$ 와 $D^{2}$ 의 내부가 위상동형이라는 사실을 사용했습니다.

연습문제 64.6.1.

$\mathbb{R}^{3}$ 에서 평면 $z=1$ 을 생각하고 첫 번째 정식화의 각 직선을 이 평면과 교차시키면, 이 정식화들이 동등하다는 것을 알 수 있습니다.

$\mathbb{RP}^{2}$ 를 좌표를 사용해 표현할 수도 있습니다. 즉, $\mathbb{RP}^{2}$ 는 모두 0은 아닌 실수들의 세 쌍 $(x:y:z)$ 를 스칼라배 차이를 무시하고 모은 집합이며, 이는 다음을 뜻합니다.

(x:y:z)=(\lambda x:\lambda y:\lambda z)

이는 임의의 $\lambda\neq 0$ 에 대해 성립합니다. “ $\mathbb{R}^{3}$ 에서 원점을 지나는 직선” 해석을 사용하면 이 좌표계가 왜 올바른 공간을 주는지 분명해집니다. 무한원점은 $z=0$ 인 점들이며, $z\neq 0$ 인 점은 모두 데카르트 점을 줍니다. 왜냐하면

(x:y:z)=\left(\frac{x}{z}:\frac{y}{z}:1\right)

이므로 이를 데카르트 점 $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$ 로 생각할 수 있기 때문입니다.

이런 방식으로 실제로 임의의 $n$ 에 대해 실사영 $n$ -공간 $\mathbb{RP}^{n}$ 을 다음 중 하나로 정의할 수 있습니다.

(i)

$\mathbb{R}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합,
(ii)

위와 같이 $n+1$ 개의 좌표를 사용한 것, 또는
(iii)

$\mathbb{R}^{n}$ 에 무한원점을 덧붙인 것이며, 이 무한원점들은 그 자체로 $\mathbb{RP}^{n-1}$ 의 복사본을 이룹니다.

도움이 될 만한 예로, $\mathbb{RP}^{1}$ 의 세 가지 그림을 모두 제시합니다.

예제 64.6.2 (실사영 $1$ -공간).

$\mathbb{RP}^{1}$ 은 대척점을 동일시하는 관계로 $S^{1}$ 을 나눈 것으로 생각할 수 있습니다. 접선 위로 사영하면 $\mathbb{R}$ 의 복사본에 하나의 무한원점이 더해진 것을 얻으며, 이 무한원점은 평행한 직선(아래에 청록색으로 그려짐)에 대응합니다.

따라서 $\mathbb{RP}^{1}$ 의 점은 두 가지 형태를 가집니다:

•

$(x:1)$ 은 $x\in\mathbb{R}$ 로 생각하며(위에서 진한 빨간색), 그리고
•

$(1:0)$ 은 $1/0=\infty$ 로 생각하며, 위의 청록색 직선에 대응합니다.

따라서 문자 그대로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mathbb{RP}^{1}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}.

$\mathbb{RP}^{1}$ 은 $\mathbb{RP}^{2}$ 의 경계이기도 하다는 점에 유의하십시오. 사실 위상적으로 다음이 성립한다는 점에도 유의하십시오.

\mathbb{RP}^{1}\cong S^{1}

이것은 “끝점을 서로 붙인 실직선”이기 때문입니다.

$\mathbb{RP}^{n}$ 은 단지 “ $\mathbb{RP}^{n-1}$ 을 경계로 갖는 $\mathbb{R}^{n}$ (또는 $D^{n}$ )”이므로, $\mathbb{RP}^{n}$ 을 CW 복합체로서 귀납적으로 구성할 수 있습니다. 따라서 $\mathbb{RP}^{n}$ 은 각 차원마다 하나의 세포로 이루어진다는 점에 유의하십시오.

예제 64.6.3 (세포 복합체로서의 $\mathbb{RP}^{n}$ ).

(a)

$\mathbb{RP}^{0}$ 은 한 점입니다.
(b)

$\mathbb{RP}^{1}\cong S^{1}$ 은 원이며, CW 복합체로서는 $0$ -세포 하나에 $1$ -세포 하나를 더한 것입니다.
(c)

$\mathbb{RP}^{2}$ 는 $2$ -세포 하나를 잡고 그 둘레를 $\mathbb{RP}^{1}$ 의 복사본에 두 번 감아서 만들 수 있습니다.

64.6.4 복소 사영 공간

복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^{n}$ 은 $\mathbb{RP}^{n}$ 과 마찬가지로 좌표를 사용하여 정의합니다. 즉,

(z_{0}:z_{1}:\dots:z_{n})

을 스케일링에 대해 동일시한 것이며, 이번에는 $z_{i}$ 가 복소수입니다. 앞에서와 마찬가지로 $\mathbb{CP}^{n}$ 은 $\mathbb{C}^{n}$ 에 ( $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에 대응하는) 무한원점 몇 개를 덧붙인 것으로 생각할 수 있습니다.

예제 64.6.4 (복소 사영 공간).

(a)

$\mathbb{CP}^{0}$ 은 한 점입니다.
(b)

$\mathbb{CP}^{1}$ 은 $\mathbb{C}$ 에 무한원점 하나(굳이 말하자면 “복소 무한대”)를 더한 것입니다. 즉, 앞에서와 마찬가지로 $\mathbb{CP}^{1}$ 을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

$\mathbb{CP}^{1}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}.$

그러니 복소평면을 잡은 다음, 경계 전체를 아우르는 점 하나를 더한다고 상상해 보십시오. 그 결과는 바로 구면 $S^{2}$ 입니다.

다음은 좌표계와 함께 나타낸 $\mathbb{CP}^{1}$ , 즉 리만 구면의 그림입니다.

비고 64.6.5 (유클리드 기하학자를 위하여).

$\mathbb{RP}^{2}$ 가 사영기하학의 무대인 반면, 원에 대한 반전은 $\mathbb{CP}^{1}$ 에서 이루어진다는 것을 알아차렸을 수도 있습니다. 일반화된 원을 일반화된 원으로 보내는 반전을 할 때에는 무한원점이 오직 하나뿐입니다. 이것이 바로 $\mathbb{CP}^{n}$ 에서 작업하는 이유입니다.

$\mathbb{RP}^{n}$ 과 마찬가지로 $\mathbb{CP}^{n}$ 은 CW 복합체이며, $\mathbb{C}^{n}$ 을 잡고 그 경계를 $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에 붙이는 방식으로 귀납적으로 만들어집니다. 차이점은 위상 공간으로서

\mathbb{C}^{n}\cong\mathbb{R}^{2n}\cong D^{2n}.

따라서 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 구성하기 위해 세포 $D^{0}$ , $D^{2}$ , $D^{4}$ 등을 귀납적으로 붙입니다. 그러므로 다음을 알 수 있습니다.

$\mathbb{CP}^{n}$ 은 각 짝수 차원마다 하나의 세포로 이루어집니다.

64.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 64A.

공간 $X$ 가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 대각집합 $\{(x,x)\mid x\in X\}$ 가 곱공간 $X\times X$ 에서 닫힌집합인 것임을 보이십시오.

문제 64B.

다음 공간들을 CW 복합체로 실현하십시오.

(a)

뫼비우스 띠.
(b)

$\mathbb{R}$ .
(c)

$\mathbb{R}^{n}$ .

문제 64C.

유한 CW 복합체는 콤팩트함을 보이십시오.

힌트. 콤팩트 공간의 몫공간은 여전히 콤팩트하다는 사실을 증명하고 이를 사용하십시오.