장 64 몇 가지 위상수학적 구성

이 짧은 장에서는 아직 다루지 않은 위상수학의 흔한 공간과 구성 몇 가지를 간략히 설명합니다.

64.1 구

다음을 기억하십시오

S^{n}=\left\{(x_{0},\dots,x_{n})\mid x_{0}^{2}+\dots+x_{n}^{2}=1\right\}% \subset\mathbb{R}^{n+1}

는 $n$ -구의 표면이며, 반면

D^{n+1}=\left\{(x_{0},\dots,x_{n})\mid x_{0}^{2}+\dots+x_{n}^{2}\leq 1\right\}% \subset\mathbb{R}^{n+1}

는 이에 대응하는 닫힌 공입니다 (예를 들어, $D^{2}$ 는 평면 위의 원판이고 $S^{1}$ 은 단위원입니다.)

연습문제 64.1.1.

열린 공 $D^{n}\setminus S^{n-1}$ 이 $\mathbb{R}^{n}$ 과 동형사상임을 보이십시오.

특히, $S^{0}$ 은 두 점으로 이루어져 있으며, $D^{1}$ 은 구간 $[-1,1]$ 로 생각할 수 있습니다.

64.2 몫위상

대표적인 예: $D^{n}/S^{n-1}=S^{n}$ , 또는 원환면(torus)입니다.

공간 $X$ 가 주어지면, 임의의 동치관계 $\sim$ 에 의해 몇몇 점들을 함께 동일시할 수 있습니다; $x\in X$ 에 대해 그 동치류를 $[x]$ 로 표기합니다. 기하학적으로, 이는 $\sim$ 아래에서 동치인 점들을 서로 붙여 접합함으로써 얻어지는 공간입니다.

형식적으로,

정의 64.2.1.

$X$ 를 위상 공간이라 하고, $\sim$ 를 $X$ 의 점들에 대한 동치관계라 합시다. 그러면 $X/{\sim}$ 는 다음과 같은 공간입니다

•

점들은 $X$ 의 동치류이며, 그리고
•

$U\subseteq X/{\sim}$ 가 열린집합인 것은 $\left\{x\in X\text{다음을 만족하는}[x]\in U\right\}$ 가 $X$ 에서 열린집합인 것과 동치입니다.

제가 알기로, 이 정의는 직관적으로는 대부분 쓸모가 없으므로, 여기 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.

예제 64.2.2 (끝점을 기준으로 한 구간의 몫).

$D^{1}=[-1,1]$ 을 취하고, 끝점 $-1$ 과 $1$ 을 동일시하는 동치관계로 몫을 취한다고 합시다. (형식적으로, $x\sim y\iff(x=y)\text{또는}\{x,y\}=\{-1,1\}$ 입니다.) 이 경우, 우리는 단순히 $S^{1}$ 을 다시 얻게 됩니다:

몫공간에서 $-1\sim 1$ 주위의 작은 열린 근방이 원래 공간 $D^{1}$ 에서는 $-1$ 과 $1$ 에서의 두 반구간에 대응함을 관찰하십시오. 이것으로 우리가 제시한 정의가 올바른 것임을 확신할 수 있을 것입니다.

예제 64.2.3 (더 많은 몫공간들).

다음을 스스로 확인해 보십시오:

•

앞선 예시를 일반화하면, $D^{n}$ 을 그 경계 $S^{n-1}$ 로 몫을 취한 것이 $S^{n}$ 입니다.
•

정사각형 $A B C D$ 가 주어졌을 때, 변 $A B$ 와 $D C$ 를 함께 동일시한다고 합시다. 그러면 원기둥을 얻게 됩니다. (초등학교 때, 종이 조각들을 테이프로 붙여 원기둥을 만들던 것을 떠올려 보십시오.)
•

앞선 예시에서, $B C$ 와 $D A$ 도 함께 동일시한다면, 원환면을 얻게 됩니다. (우리의 원기둥을 가져다가 양 끝의 두 원을 서로 붙인다고 상상해 보십시오.)
•

$X=\mathbb{R}$ 이라 하고, $y-x\in\mathbb{Z}$ 이면 $x\sim y$ 라고 합시다. 그러면 $X/{\sim}$ 역시 $S^{1}$ 입니다.

위에서 다룬 특수한 경우 하나는 다음과 같습니다.

정의 64.2.4.

$A\subseteq X$ 라 합시다. $A$ 의 모든 점들을 서로 동일시하면서 나머지 모든 점들은 동치가 아닌 채로 남겨두는 동치 관계를 생각해 봅시다. (다시 말해, $x=y$ 이거나 $x,y\in A$ 이면 $x\sim y$ 입니다.) 그러면 결과로 나오는 몫공간을 $X/A$ 로 표기합니다.

그러므로 이 표기법에서,

D^{n}/S^{n-1}=S^{n}.

표기의 남용 64.2.5.

저는 일부러 부정확하게 “ $D^{n}/S^{n-1}=S^{n}$ ”이라거나 “ $D^{n}/S^{n-1}$ 은 $S^{n}$ 입니다”라고 말하고 있는데, 사실은 “ $D^{n}/S^{n-1}$ 은 $S^{n}$ 과 동형사상입니다”라고 말해야 합니다. 이는 수학에서 일반적으로 나타나는 주제로서, 동형/동형사상/등등인 대상들은 대체로 서로 세심하게 구별되지 않습니다.

예제 64.2.6 (더 기이한 몫공간).

부분집합 $A$ 가 $X$ 에서 닫혀 있지 않다면, $X/A$ 는 상당히 기이해질 것입니다.

예를 들어, $X=\mathbb{R}$ 이고 $A=(0,1)$ 이라 합시다. 그러면 공간 $X/A$ 는 점들 $(-\infty,0]\cup\{A/A\}\cup[1,\infty)$ 로 이루어집니다. 여기서 점 $0$ 과 $A/A$ 는 서로 다르지만, $0$ 을 포함하는 모든 열린집합은 $A/A$ 또한 포함합니다.

우리는 이 공간 $X/A$ 가 하우스도르프 공간이 아니라고 말합니다.

64.3 곱위상

대표적인 예: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 은 $\mathbb{R}^{2}$ 이고, $S^{1}\times S^{1}$ 은 토러스입니다.

정의 64.3.1.

위상 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, $X\times Y$ 위의 곱위상이란 다음과 같은 공간입니다.

•

점들은 $x\in X$ , $y\in Y$ 인 순서쌍 $(x,y)$ 이며,
•

위상은 다음과 같이 주어집니다. $X\times Y$ 에 대한 위상의 기저는 열린집합 $U\subseteq X$ 와 열린집합 $V\subseteq Y$ 에 대해 $U\times V$ 입니다.

비고 64.3.2.

사실 $U$ 와 $V$ 에 대해서는 기저 원소들만 고려해도 충분함을 보이기는 어렵지 않습니다. 즉,

\left\{U\times V\mid U,V\text{다음에 대한 기저 원소}X,Y\right\}

또한 $X\times Y$ 의 기저입니다.

우리는 실제로 기저를 손봐야 합니다. $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 에서, 열린 단위 원판은 $U\times V$ 의 형태가 아님에도 불구하고 열린집합이어야 마땅합니다.

이는 여러분이 생각하는 바로 그대로 작동합니다.

예제 64.3.3 (단위 정사각형).

$X=[0,1]$ 이라 하고 $X\times X$ 를 생각해 봅시다. 우리는 물론 이것이 단위 정사각형이 되기를 기대합니다. 아래 그림은 기저에 속하는 $X\times X$ 의 한 열린집합입니다.

연습문제 64.3.4.

이 기저가 $X\times X$ 위의 곱 거리로부터 나오는 위상과 동일한 위상을 준다는 것을 스스로 확인해 보십시오. 그러므로 이것이 “올바른” 정의입니다.

예제 64.3.5 (더 많은 곱공간).

(a)

$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 은 유클리드 평면입니다.
(b)

$S^{1}\times[0,1]$ 은 원기둥입니다.
(c)

$S^{1}\times S^{1}$ 은 원환면입니다! (왜 그런지 아시겠습니까?)

64.4 분리합집합과 쐐기합

대표적인 예: $S^{1}\vee S^{1}$ 은 8자 모양입니다.

두 공간의 분리합집합은 기하학적으로 이름 그대로입니다: 두 공간을 나란히 놓는다고 생각하시면 됩니다. 완결성을 위해 여기에 형식적인 정의를 제시합니다.

정의 64.4.1.

$X$ 와 $Y$ 를 두 위상 공간이라 합시다. $X\amalg Y$ 로 표기되는 분리합집합은 다음과 같이 정의됩니다

•

점들은 분리합집합 $X\amalg Y$ 이며, 그리고
•

부분집합 $U\subseteq X\amalg Y$ 가 열린집합인 것은 $U\cap X$ 와 $U\cap Y$ 가 열린집합인 것과 동치입니다.

연습문제 64.4.2.

공집합이 아닌 두 공간의 분리합집합이 비연결임을 보이십시오.

더 흥미로운 것은 쐐기합인데, 여기서는 두 위상 공간 $X$ 와 $Y$ 가 하나의 기준점에서만 융합됩니다.

정의 64.4.3.

$X$ 와 $Y$ 를 위상 공간이라 하고, $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 점이라 합시다. 동치 관계 $\sim$ 을 $x_{0}\sim y_{0}$ 만 성립하도록 정의합니다. 그러면 두 공간의 쐐기합은 다음과 같이 정의됩니다

X\vee Y=(X\amalg Y)/{\sim}.

예제 64.4.4 ( $S^{1}\vee S^{1}$ 은 8자 모양입니다).

$X=S^{1}$ 이고 $Y=S^{1}$ 이라 하고, $x_{0}\in X$ 와 $y_{0}\in Y$ 를 임의의 점이라 합시다. 그러면 $X\vee Y$ 는 ”8자 모양”입니다: 이는 한 점에서 융합된 두 원입니다.

표기의 남용 64.4.5.

$x_{0}$ 과 $y_{0}$ 이 자명하거나(또는 무관할 때) 우리는 종종 이를 언급하지 않습니다. 예를 들어, 이제부터는 8자 모양을 그냥 $S^{1}\vee S^{1}$ 로 쓰겠습니다.

비고 64.4.6.

성가시게도, LaTeX에서 \wedge는 $\vee$ 가 아니라 $\wedge$ 를 줍니다(전자는 \vee입니다). 그러므로 이는 사실 ”비 곱(vee product)”이라 불러야 하지만, 이미 늦었습니다.

64.5 CW 복합체

이 구성을 이용하여 우리는 몇 가지 공간을 만들어 보기 시작할 수 있습니다. 그렇게 하는 흔한 방법 중 하나는 이른바 CW 복합체를 사용하는 것입니다. 직관적으로, CW 복합체는 다음과 같이 만들어집니다:

•

점들의 집합 $X^{0}$ 에서 시작합니다.
•

선분들(즉 $D^{1}$ 의 복사본들)을 취하여 그 끝점들( $S^{0}$ 의 복사본들)을 $X^{0}$ 에 융합시켜 $X^{1}$ 을 정의합니다.
•

$D^{2}$ (원판)의 복사본들을 취하여 그 경계( $S^{1}$ 의 복사본)를 $X^{1}$ 에 용접하여 $X^{2}$ 를 정의합니다.
•

유한한 단계 $n$ 에 이를 때까지 귀납적으로 반복합니다; 이때 $X$ 는 $n$ 차원이라고 합니다.

그 결과로 얻어지는 공간 $X$ 가 CW 복합체입니다. 집합 $X^{k}$ 는 $X$ 의 $k$ -골격이라 불립니다. 각 $D^{k}$ 는 $k$ -세포라고 불리며, 관례적으로 $\alpha$ 가 어떤 첨자일 때 $e_{\alpha}^{k}$ 로 표기합니다. 유한히 많은 세포만 사용되었을 경우 $X$ 는 유한하다고 합니다.

표기의 남용 64.5.1.

엄밀히 말하면, 대부분의 문헌(예를 들어 [HAT02])은 무한 차원 CW 복합체를 구성하는 것도 허용합니다. 냅킨에서는 그러한 공간을 다루지 않을 것입니다.

예제 64.5.2 ( $2+2+1$ 및 $1+1+1$ 세포로 이루어진 $D^{2}$ ).

(a)

먼저, 두 점 $e_{a}^{0}$ 과 $e_{b}^{0}$ 을 갖는 $X^{0}$ 에서 시작합니다. 그런 다음, 두 개의 $1$ -세포 $D^{1}$ (초록색)로 이들을 연결하고, 이를 $e_{c}^{1}$ 과 $e_{d}^{1}$ 이라 부릅니다. 각 $1$ -세포의 끝점들( $S^{0}$ 의 복사본)은 $X^{0}$ 의 서로 다른 점들과 동일시되므로, $X^{1}\cong S^{1}$ 이 됩니다. 마지막으로, 단 하나의 $2$ -세포 $e^{2}$ (노란색)를 취하여, 그 경계가 방금 그린 $S^{1}$ 의 복사본에 들어맞도록 용접합니다. 이렇게 하면 왼쪽 그림이 나옵니다.
(b)

사실, 단 $1+1+1=3$ 개의 세포만으로도 이를 할 수 있습니다. 하나의 점 $e^{0}$ 을 갖는 $X^{0}$ 에서 시작합니다. 그런 다음, 하나의 $1$ -세포 $e^{1}$ 을 사용하여 그 두 끝점을 $X^{0}$ 의 그 하나의 점에 융합시킵니다. 그러면 앞서와 같이 $S^{1}$ 의 복사본을 끼워 넣을 수 있으며, 오른쪽에 있는 $D^{2}$ 가 됩니다.

예제 64.5.3 (CW 복합체로서의 $S^{n}$ ).

(a)

$S^{n}$ ( $n\geq 1$ 인 경우)은 단 두 개의 세포만으로 얻을 수 있습니다. 즉, $X^{0}$ 에 대해 단일한 점 $e^{0}$ 을 취하고, $S^{n}$ 을 얻기 위해 $D^{n}$ 을 취하여 그 경계 전체를 $e^{0}$ 에 용접합니다.

이 예시는 이미 처음에 $n=2$ 인 경우로 살펴본 적이 있는데, 원판 $D^{2}$ 의 경계를 함께 융합했을 때 구 $S^{2}$ 가 그 결과임을 확인했습니다.
(b)

대안으로, 각 차원마다 두 개의 세포를 사용하여 $S^{n}$ 을 귀납적으로 구성하는 “반구” 구성을 할 수도 있습니다. 즉 $S^{0}$ 은 두 점으로 이루어지고, $S^{1}$ 은 이 두 점을 두 개의 선분( $1$ -세포)으로 연결하여 얻어지며, $S^{2}$ 는 $S^{1}$ 을 적도로 하는 두 개의 반구(각각 $2$ -세포)를 접합하여 얻어집니다.

정의 64.5.4.

형식적으로, $X^{k}$ 에 추가하고자 하는 각 $k$ -세포 $e^{k}_{\alpha}$ 에 대해, 그 경계 $S^{k-1}_{\alpha}$ 를 취하여 부착 사상(attaching map) $S^{k-1}_{\alpha}\to X^{k-1}$ 을 통해 $X^{k-1}$ 에 용접합니다. 그러면

X^{k}=\left(X^{k-1}\amalg\left(\coprod_{\alpha}e^{k}_{\alpha}\right)\right)/{\sim}

여기서 $\sim$ 은 $e^{k}_{\alpha}$ 의 각 경계점을 $X^{k-1}$ 에서의 그 상(image)과 동일시합니다.

64.6 원환면, 클라인 병, $\mathbb{RP}^{n}$ , $\mathbb{CP}^{n}$

이제 CW 복합체의 가장 중요한 예시 네 가지를 제시하겠습니다.

64.6.1 원환면

원환면(torus)은 정사각형을 취하여 마주보는 변들을 같은 방향으로 동일시함으로써 형성할 수 있습니다. 즉, 오른쪽 변을 걸어 나가면 왼쪽 변의 대응하는 점에서 다시 나타납니다. (아타리(Atari)의 애스터로이드를 떠올려 보십시오!)

따라서 원환면은 $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{2}\cong S^{1}\times S^{1}$ 입니다.

네 개의 모서리가 모두 함께 하나의 점으로 동일시된다는 점에 유의하십시오. 정사각형을 종이 한 장으로 취급하여 왼쪽과 오른쪽(빨간색) 변을 테이프로 붙여 원기둥을 만든 다음, 그 원기둥을 구부려 위쪽과 아래쪽(파란색) 변을 융합함으로써 $3$ 차원 공간에서 원환면을 실현할 수 있습니다.

이미지 출처 [42]

원환면은 다음과 같은 CW 복합체로 실현될 수 있습니다.

•

단일한 점으로 이루어진 $0$ -뼈대,
•

두 개의 $1$ -세포 $e^{1}_{a}$ , $e^{1}_{b}$ 로 이루어진 $1$ -뼈대, 그리고
•

단일한 $2$ -세포 $e^{2}$ 로 이루어진 $2$ -뼈대. 이때 그 둘레는 네 부분으로 나뉘어 “ $aba^{-1}b^{-1}$ 를 통해” $1$ -뼈대에 용접됩니다. 이는 다음을 의미합니다: 둘레의 4분의 1을 $e^{1}_{a}$ 에 감고, 다시 4분의 1을 $e^{1}_{b}$ 에 감은 다음, 세 번째 4분의 1을 $e^{1}_{a}$ 에 반대 방향으로 감고, 네 번째 4분의 1을 이전과 반대 방향으로 $e^{1}_{b}$ 에 다시 감습니다.

$aba^{-1}b^{-1}$ 를 부착 단어(attaching word)라고 부르는데, 이 축약 표기는 이후에 유용할 것입니다.

64.6.2 클라인 병

클라인 병(Klein bottle)은 원환면과 유사하게 정의되지만, 그림에서 보듯이 한 쌍의 변이 반대 방식으로 동일시된다는 점만 다릅니다.

원환면과 달리, 이것은 자기 교차 없이 $3$ 차원 공간에서 구현할 수 없습니다. 이전과 같이 빨간색 변들을 붙여 원기둥을 얻을 수는 있지만, 그 결과로 생긴 파란색 원들을 서로 반대 방향으로 융합하는 것은 3차원에서 불가능합니다. 그럼에도 불구하고, 우리는 원기둥이 자기 자신과 교차하는 것을 암묵적으로 허용한 채 3차원 공간에서 그림을 그리는 경우가 종종 있습니다.

[22, 9]에서 가져온 이미지

원환면과 마찬가지로, 클라인 병은 다음을 갖는 CW 복합체로 구현됩니다

•

하나의 $0$ -세포,
•

두 개의 $1$ -세포 $e^{1}_{a}$ 와 $e^{1}_{b}$ , 그리고
•

이번에는 $abab^{-1}$ 단어를 통해 부착된 단일 $2$ -cell입니다.

64.6.3 실사영 공간

$n=2$ 부터 시작해봅시다. 공간 $\mathbb{RP}^{2}$ 는 그림과 같이 이전 정사각형의 양쪽 방향을 모두 뒤집으면 얻어집니다.

그러나 이렇게 하고 나면 원래 다각형이 정사각형이라는 사실은 그다지 중요하지 않습니다. 빨간 변과 파란 변을 합쳐서 하나의 보라색 변으로 만들 수 있습니다. 이는 원둘레의 절반이 나머지 절반과 동일시된 원으로도 동등하게 생각할 수 있습니다:

그 결과로 얻어지는 공간은 사영 (유클리드) 기하학을 다루는 분들에게 익숙할 것입니다. 실제로 여러 가지 기하학적 해석이 가능합니다:

•

$\mathbb{RP}^{2}$ 는 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합으로 생각할 수 있으며, 각 직선이 $\mathbb{RP}^{2}$ 의 한 점이 됩니다.

물론 각 직선을 단위 구 $S^{2}$ 위의 한 점과 동일시할 수 있는데, 다만 두 대척점이 실제로는 같은 직선에 대응한다는 성질만 예외입니다. 따라서 $\mathbb{RP}^{2}$ 는 거의 ”구의 절반”으로 생각할 수 있습니다. 이를 평평하게 펴면 위의 그림이 됩니다.
•

$\mathbb{R}^{2}$ 에 ”무한원점”을 추가한 것을 상상해 보십시오. 이는 직선의 가능한 방향마다 하나씩, ”무한히 멀리 있는” 점들을 추가한다는 뜻입니다. 따라서 $\mathbb{RP}^{2}$ 에서는 임의의 두 직선이 실제로 교차합니다(평행하지 않으면 유클리드 점에서, 평행하면 무한원점에서 교차합니다).

이는 $\mathbb{RP}^{2}$ 에 대한 하나의 해석을 제공하는데, 경계는 모든 무한원점들을 지나는 무한원 직선을 나타냅니다. 여기서는 $\mathbb{R}^{2}$ 와 $D^{2}$ 의 내부가 위상동형이라는 사실을 사용했습니다.

연습문제 64.6.1.

$\mathbb{R}^{3}$ 에서 평면 $z=1$ 을 고려하고 첫 번째 형식화에서의 각 직선을 이 평면과 교차시킴으로써, 이러한 형식화들이 동등함을 관찰하십시오.

$\mathbb{RP}^{2}$ 는 좌표를 사용해서도 나타낼 수 있습니다: 이는 스케일링에 대해 모두 $0$ 은 아닌 실수의 삼중항 $(x:y:z)$ 들의 집합이며, 이는 다음을 의미합니다

(x:y:z)=(\lambda x:\lambda y:\lambda z)

임의의 $\lambda\neq 0$ 에 대해서입니다. ” $\mathbb{R}^{3}$ 에서 원점을 지나는 직선”이라는 해석을 사용하면 이 좌표계가 왜 올바른 공간을 나타내는지 명확해집니다. 무한원점은 $z=0$ 인 점들이며, $z\neq 0$ 인 임의의 점은 다음과 같은 이유로 데카르트 점을 나타냅니다

(x:y:z)=\left(\frac{x}{z}:\frac{y}{z}:1\right)

따라서 이를 데카르트 점 $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$ 로 생각할 수 있습니다.

이런 방식으로 우리는 임의의 $n$ 에 대해 $n$ 차원 실사영 공간, $\mathbb{RP}^{n}$ 을 다음 중 하나로 실제로 정의할 수 있습니다

(i)

$\mathbb{R}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합,
(ii)

위와 같이 $n+1$ 개의 좌표를 사용하거나, 또는
(iii)

무한원점이 추가된 $\mathbb{R}^{n}$ 으로서, 이 무한원점들 자체는 $\mathbb{RP}^{n-1}$ 의 사본을 이룹니다.

도움이 될 만한 예시로, $\mathbb{RP}^{1}$ 에 대한 세 가지 그림을 모두 제시합니다.

예제 64.6.2 ( $1$ 차원 실사영 공간).

$\mathbb{RP}^{1}$ 은 대척점들이 동일시되는 관계에 대한 $S^{1}$ 의 몫으로 생각할 수 있습니다. 접선 위로 사영하면, 아래에 청록색으로 그려진 평행선에 대응하는 무한원점 하나가 추가된 $\mathbb{R}$ 의 사본을 얻게 됨을 알 수 있습니다.

따라서 $\mathbb{RP}^{1}$ 의 점들은 두 가지 형태를 갖습니다:

•

$(x:1)$ 은 위에서 짙은 빨간색으로 표시된 $x\in\mathbb{R}$ 로 생각하며, 그리고
•

$(1:0)$ 은 위의 청록색 직선에 대응하는 $1/0=\infty$ 로 생각합니다.

따라서 우리는 말 그대로 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\mathbb{RP}^{1}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}.

$\mathbb{RP}^{1}$ 은 또한 $\mathbb{RP}^{2}$ 의 경계이기도 함에 유의하십시오. 실제로 위상적으로도 다음이 성립함에 유의하십시오

\mathbb{RP}^{1}\cong S^{1}

”양 끝점이 붙은 실직선”이기 때문입니다.

$\mathbb{RP}^{n}$ 은 그저 ”경계로 $\mathbb{RP}^{n-1}$ 을 갖는 $\mathbb{R}^{n}$ (또는 $D^{n}$ )”이므로, 귀납적으로 $\mathbb{RP}^{n}$ 을 CW 복합체로 구성할 수 있습니다. 따라서 $\mathbb{RP}^{n}$ 은 각 차원마다 하나의 세포로 이루어짐에 유의하십시오.

예제 64.6.3 (세포 복합체로서의 $\mathbb{RP}^{n}$ ).

(a)

$\mathbb{RP}^{0}$ 은 하나의 점입니다.
(b)

$\mathbb{RP}^{1}\cong S^{1}$ 은 원이며, CW 복합체로서는 $0$ -세포 하나와 $1$ -세포 하나로 이루어집니다.
(c)

$\mathbb{RP}^{2}$ 는 $2$ -세포 하나를 취하여 그 둘레를 $\mathbb{RP}^{1}$ 의 사본 주위로 두 번 감아서 만들 수 있습니다.

64.6.4 복소 사영 공간

복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^{n}$ 은 좌표를 이용하여 $\mathbb{RP}^{n}$ 과 유사하게 정의됩니다. 즉

(z_{0}:z_{1}:\dots:z_{n})

스케일링 하에서 동일시하며, 이번에는 $z_{i}$ 가 복소수입니다. 앞서와 마찬가지로, $\mathbb{CP}^{n}$ 은 무한대의 점들이 추가된 $\mathbb{C}^{n}$ (이는 $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에 대응합니다)으로 생각할 수 있습니다.

예제 64.6.4 (복소 사영 공간).

(a)

$\mathbb{CP}^{0}$ 은 하나의 점입니다.
(b)

$\mathbb{CP}^{1}$ 은 $\mathbb{C}$ 에 무한대의 점 하나(원한다면 ”복소 무한대”)를 더한 것입니다. 즉, 앞서와 마찬가지로 $\mathbb{CP}^{1}$ 을 다음과 같이 생각할 수 있습니다

$\mathbb{CP}^{1}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}.$

그러므로 복소평면을 취한 다음 경계 전체를 아우르는 점 하나를 추가한다고 상상해 보십시오. 그 결과는 바로 구면 $S^{2}$ 입니다.

다음은 좌표계를 갖춘 $\mathbb{CP}^{1}$ , 즉 리만 구면의 그림입니다.

비고 64.6.5 (유클리드 기하학자를 위하여).

$\mathbb{RP}^{2}$ 가 사영 기하학의 무대인 반면, 원에 대한 반전은 대신 $\mathbb{CP}^{1}$ 에서 이루어짐을 알아차렸을 수도 있습니다. 일반화된 원을 일반화된 원으로 보내는 반전을 수행할 때, 무한대의 점은 오직 하나뿐입니다. 이것이 우리가 $\mathbb{CP}^{n}$ 에서 작업하는 이유입니다.

$\mathbb{RP}^{n}$ 과 마찬가지로, $\mathbb{CP}^{n}$ 은 CW 복합체이며, $\mathbb{C}^{n}$ 을 취하여 그 경계를 $\mathbb{CP}^{n-1}$ 에 용접함으로써 귀납적으로 구성됩니다. 차이점은 위상 공간으로서

\mathbb{C}^{n}\cong\mathbb{R}^{2n}\cong D^{2n}.

따라서 우리는 세포 $D^{0}$ , $D^{2}$ , $D^{4}$ 등을 귀납적으로 붙여 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 구성합니다. 이로써 우리는 다음을 알 수 있습니다

$\mathbb{CP}^{n}$ 은 각 짝수 차원마다 하나의 세포로 이루어집니다.

64.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 64A.

공간 $X$ 가 하우스도르프 공간인 것과 대각선 $\{(x,x)\mid x\in X\}$ 가 곱공간 $X\times X$ 에서 닫힌집합인 것이 동치임을 보이십시오.

문제 64B.

다음 공간들을 CW 복합체로 구현하십시오:

(a)

뫼비우스 띠(Möbius strip).
(b)

$\mathbb{R}$ .
(c)

$\mathbb{R}^{n}$ .

문제 64C.

유한 CW 복합체가 콤팩트함을 보이십시오.

힌트. 콤팩트 공간의 몫이 콤팩트로 남는다는 사실을 증명하고 사용하십시오.