장 72 긴 완전열

이 장에서는 임의의 공간의 호몰로지 군을 계산할 수 있게 해주는 사슬 복합체에 관한 핵심 사실, 이른바 ”긴 완전열”을 소개합니다.

아벨 범주에 대해 읽어보지 않은 분들을 위해: 아벨 군의 사상들의 열은

\dots\to G_{n+1}\to G_{n}\to G_{n-1}\to\dots

임의의 화살표의 상이 다음 화살표의 핵과 같으면 완전합니다. 특히,

•

사상 $0\to A\to B$ 는 $A\to B$ 가 단사일 때 그리고 그때만 완전입니다.
•

사상 $A\to B\to 0$ 은 $A\to B$ 가 전사일 때 그리고 그때만 완전입니다.

(덧붙여서: 호몰로지 군이 모두 자명한 사슬 복합체를 무엇이라고 부르겠습니까?) 짧은 완전열은 $0\to A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C\to 0$ 형태의 것입니다.

72.1 짧은 완전열과 네 가지 예시

대표적인 예: 상대 수열과 마이어-비토리스 수열.

$\mathcal{A}=\mathsf{AbGrp}$ 라고 합시다. 이미 $\mathcal{A}$ 에서 사슬 복합체의 사상을 정의했음을 상기하십시오.

정의 72.1.1.

사슬 복합체의 사상이 있다고 합시다

0\to A_{\bullet}\xrightarrow{f}B_{\bullet}\xrightarrow{g}C_{\bullet}\to 0

아래 도식의 각 행이 짧은 완전이면 짧은 완전이라고 합니다.

이는 기본적으로 사슬 복합체에 대한 적절한 $/$ 의 정의에 대해 $C_{\bullet}=B_{\bullet}/A_{\bullet}$ 임을 의미합니다.

이는 절 70.3의 정의와 일치합니다.

예제 72.1.2 (마이어-비토리스 짧은 완전열과 그 증대).

$X=U\cup V$ 를 열린 덮개라고 합시다. 각 $n$ 에 대해 다음을 고려하십시오

(적절한 기저를 취하면) 후자의 사상의 핵이 정확히 첫 번째 사상의 상임을 쉽게 알 수 있습니다. 이는 짧은 완전열을 생성합니다

0\to C_{\bullet}(U\cap V)\hookrightarrow C_{\bullet}(U)\oplus C_{\bullet}(V)% \twoheadrightarrow C_{\bullet}(U+V)\to 0.

예제 72.1.3 (증대된 마이어-비토리스 열).

다음을 덧붙임으로써 마이어-비토리스 열의 각 사슬 복합체 또한 증대할 수 있습니다

도식의 아래쪽에 덧붙임으로써 증대할 수 있습니다. 다시 말해 위 내용을 다음과 같이 수정합니다

0\to\widetilde{C}_{\bullet}(U\cap V)\hookrightarrow\widetilde{C}_{\bullet}(U)% \oplus\widetilde{C}_{\bullet}(V)\twoheadrightarrow\widetilde{C}_{\bullet}(U+V)\to 0

여기서 $\widetilde{C}_{\bullet}$ 는 정의 71.4.3에서 정의된 사슬 복합체입니다.

예제 72.1.4 (상대 사슬 짧은 완전열).

$C_{n}(X,A)\coloneqq C_{n}(X)/C_{n}(A)$ 이므로, 다음과 같은 짧은 완전열을 얻습니다

0\to C_{\bullet}(A)\hookrightarrow C_{\bullet}(X)\twoheadrightarrow C_{\bullet% }(X,A)\to 0

모든 공간 $X$ 와 부분공간 $A$ 에 대해. 이는 증대될 수 있습니다: 다음을 얻습니다

0\to\widetilde{C}_{\bullet}(A)\hookrightarrow\widetilde{C}_{\bullet}(X)% \twoheadrightarrow C_{\bullet}(X,A)\to 0

마지막 행을 추가하여

72.2 호몰로지 군의 긴 완전열

짧은 완전열 $0\to A_{\bullet}\xrightarrow{f}B_{\bullet}\xrightarrow{g}C_{\bullet}\to 0$ 을 생각해 봅시다. 이제 우리는 호몰로지 군의 유도된 사상을 얻는다는 것을 알고 있습니다. 즉 다음이 있습니다

하지만 정리에 따르면 이들을 모두 이어 붙여, 각 $H_{n+1}(C_{\bullet})$ 을 $H_{n}(A_{\bullet})$ 으로 보낼 수 있습니다.

정리 72.2.1 (짧은 완전 $\implies$ 긴 완전).

$0\to A_{\bullet}\xrightarrow{f}B_{\bullet}\xrightarrow{g}C_{\bullet}\to 0$ 을 사슬 복합체의 임의의 짧은 완전열이라고 합시다. 그러면 완전한 다음 수열이 존재합니다

이를 호몰로지 군의 긴 완전열이라고 부릅니다.

증명.

아주 긴 도식 추적이며, 임의의 아벨 범주에서 성립합니다. (또는 실제로는 뱀 보조정리를 두 번 사용하는 것도 가능합니다.) ∎

비고 72.2.2.

사상 $\partial\colon H_{n}(C_{\bullet})\to H_{n-1}(A_{\bullet})$ 은 다음과 같이 명시적으로 쓸 수 있습니다. $H_{n}$ 이 ”경계에 대한 순환”임을 상기하고, 다음 부분 도식을 생각해 봅시다

$C_{n}$ 의 모든 순환을 $A_{n-1}$ 의 순환으로 보내야 합니다. (그런 다음 수많은 ”잘 정의됨” 문제를 확인해야 하지만, 지금은 이를 제쳐 둡시다.)

$c\in C_{n}$ 이 순환이라고 합시다(즉 $\partial_{C}(c)=0$ ). 전사성에 의해, $g_{n}(b)=c$ 인 $b\in B_{n}$ 이 존재하며, 이는 아래로 $\partial_{B}(b)$ 에 대응됩니다. 이제 $\partial_{B}(b)$ 의 $g_{n-1}$ 에 의한 상은 정사각형의 가환성에 의해 영이므로, $f_{n-1}$ 을 통해 당겨올 수 있어 $A_{n-1}$ 의 유일한 원소를 얻습니다( $B_{n-1}$ 에서의 완전성에 의해).

요약하면: $c$ 에서 $a$ 로 가기 위해 우리는 ”왼쪽, 아래, 왼쪽”으로 이동합니다:

연습문제 72.2.3.

복원된 $a$ 가 실제로 순환임을, 즉 $\partial_{A}(a)=0$ 임을 빠르게 확인해 봅시다. (또 다른 행이 필요하며, $\partial_{B}^{2}=0$ 이라는 사실도 필요합니다.)

최종 결론은 다음과 같습니다:

사슬 복합체의 짧은 완전열은 호몰로지 군의 긴 완전열을 줍니다.

특히, 앞서 주어진 네 가지 예를 살펴봅시다.

예제 72.2.4 (마이어-비토리스 긴 완전열, 임시 버전).

마이어-비토리스 열은 $X=U\cup V$ 가 열린 덮개일 때 다음을 줍니다

\dots\to H_{n}(U\cap V)\to H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\to H_{n}(U+V)\to H_{n-1}(U% \cap V)\to\dots.

그리고 그 축약 버전

\dots\to\widetilde{H}_{n}(U\cap V)\to\widetilde{H}_{n}(U)\oplus\widetilde{H}_{% n}(V)\to\widetilde{H}_{n}(U+V)\to\widetilde{H}_{n-1}(U\cap V)\to\dots.

이 버전이 ”임시적”인 이유는 다음 절에서 $H_{n}(U+V)$ 와 $\widetilde{H}_{n}(U+V)$ 를 더 나은 것으로 대체할 것이기 때문입니다. 상대 호몰로지 열에 대해서는 다음과 같습니다:

정리 72.2.5 (상대 호몰로지에 대한 긴 완전열).

$X$ 를 공간이라 하고, $A\subseteq X$ 를 부분공간이라고 합시다. 다음의 긴 완전열이 있습니다

\dots\to H_{n}(A)\to H_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to H_{n-1}(A)\to\dots.

그리고

\dots\to\widetilde{H}_{n}(A)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to H_{n}(X,A)\to\widetilde% {H}_{n-1}(A)\to\dots.

이 수열들의 완전성은 $H_{n}(U+V)$ 나 $H_{n}(X,A)$ 가 어떤 모습인지 무언가 알기만 한다면 $H_{n}(X)$ 에 대해 엄청난 양의 정보를 줄 것입니다. 이것이 다음 장의 목적입니다.

72.3 마이어-피토리스 완전열

대표적인 예: $S^{m}$ 을 두 개의 반구로 나누어 $H_{n}(S^{m})$ 을 계산하기

이제 많은 대수학을 다루었으니, 약간의 기하학을 끌어들여야 합니다. Napkin에는 두 가지 주요한 기하학적 결과가 있습니다. 하나는 절제 정리로, 다음 장에서 다룹니다. 다른 하나는 여기서 제시하는 것으로, 마이어-피토리스 완전열을 활용할 수 있게 해줍니다. 증명은 다소 복잡하여 생략하며, 자세한 내용은 [HAT02]를 참고하십시오.

첫 번째 정리는 지금까지 유지해온 $H_{n}(U+V)$ 라는 표기가 불필요하며, 단순히 $H_{n}(X)$ 로 대체할 수 있다는 것입니다:

정리 72.3.1 (열린 덮개 호몰로지 정리).

포함 사상 $\iota\colon C_{\bullet}(U+V)\hookrightarrow C_{\bullet}(X)$ 를 생각해봅시다. 그러면 $\iota$ 는 동형사상을 유도합니다

H_{n}(U+V)\cong H_{n}(X).

비고 72.3.2.

사실 이는 두 개의 덮개 $U\cup V$ 로 이루어진 경우뿐만 아니라, 임의의 (비가산일지라도) 열린 덮개에 대해서도 성립합니다. 하지만 여기서는 예제 72.1.2에 필요한 것이므로, 두 개의 열린집합으로 이루어진 특수한 경우만 서술합니다.

따라서 예제 72.1.2와 위 정리를 함께 사용하면, 모든 $H_{n}(U+V)$ 를 $H_{n}(X)$ 로 대체한 후 다음이 성립함을 알 수 있습니다:

정리 72.3.3 (마이어-피토리스 긴 완전열).

$X=U\cup V$ 가 열린 덮개라면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재합니다

\dots\to H_{n}(U\cap V)\to H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\to H_{n}(X)\to H_{n-1}(U% \cap V)\to\dots.

그리고

\dots\to\widetilde{H}_{n}(U\cap V)\to\widetilde{H}_{n}(U)\oplus\widetilde{H}_{% n}(V)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to\widetilde{H}_{n-1}(U\cap V)\to\dots.

마침내 우리는 구의 호몰로지 군을 계산할 수 있습니다.

정리 72.3.4 ( $S^{m}$ 의 호몰로지 군).

정수 $m$ 과 $n$ 에 대하여,

\widetilde{H}_{n}(S^{m})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=m\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

생성원 $\widetilde{H}_{n}(S^{n})$ 은 $S^{n}$ 을 정확히 한 번 덮는 $n$ -세포입니다 (예를 들어, $\widetilde{H}_{1}(S^{1})$ 의 생성원은 $S^{1}$ 을 한 번 감는 고리입니다).

증명.

이 문제는 재미있으므로, $m=1$ 인 경우만 풀이하고 나머지는 여러분에게 맡기겠습니다. 원 $S^{1}$ 을 그림과 같이 두 개의 호 $U$ 와 $V$ 로 분해합니다:

$U$ 와 $V$ 는 각각 수축 가능하므로, 이들의 축소 호몰로지 군은 모두 소멸합니다. 게다가 $U\cap V$ 는 두 점과 호모토피 동치이므로, 다음이 성립합니다

\widetilde{H}_{n}(U\cap V)\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

이제 다시 짧은 완전열의 다음 부분을 생각해봅시다

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{n}(U)\oplus\widetilde{H}_{n}(V)}_{=0}\to% \widetilde{H}_{n}(S^{1})\xrightarrow{\partial}\widetilde{H}_{n-1}(U\cap V)\to% \underbrace{\widetilde{H}_{n-1}(U)\oplus\widetilde{H}_{n-1}(V)}_{=0}\to\dots.

이로부터 $\widetilde{H}_{n}(S^{1})$ 은 $n=1$ 일 때 $\mathbb{Z}$ 이고, 그 외에는 $0$ 임을 알 수 있습니다.

이제 $\widetilde{H}_{1}(S^{1})$ 의 생성원을 분석하는 일이 남았습니다. 이 동형사상은 연결 준동형사상 $\partial$ 에 의해 주어졌으며, 이는 다음 도식에서 ”왼쪽, 아래, 왼쪽” 절차(비고 72.2.2)로 주어짐에 유의하십시오

$U\cap V$ 의 서로소인 두 경로에 표시된 대로 점 $a$ 와 $b$ 를 표시합니다.

그러면 $a-b$ 는 $H_{0}(U\cap V)$ 의 생성원을 나타내는 사이클입니다. $\partial$ 의 원상은 다음과 같이 구할 수 있습니다: $a$ 와 $b$ 를 잇는 사슬을 $c$ 와 $d$ 라 하고, $c$ 는 $U$ 에 포함되며 $d$ 는 $V$ 에 포함된다고 하면, 도식은 다음과 같이 완성됩니다

다시 말해 $\partial(c-d)=a-b$ 이므로, $c-d$ 는 $\widetilde{H}_{1}(S^{1})$ 의 생성원입니다.

따라서 우리는 $c-d$ 가 (( $H_{1}(S^{1})$ 에서)) $S^{1}$ 을 반시계 방향으로 한 번 감는 고리 $\gamma$ 와 동치임을 보이고자 합니다. 이는 예제 71.2.10에서 예시로 보였습니다. ∎

따라서 마이어-피토리스(Mayer-Vietoris)의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

마이어-피토리스를 이용하면 $X$ 를 두 개의 열린집합으로 나누어 $H_{n}(X)$ 를 계산할 수 있습니다.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

명제 72.3.5 (8자 도형의 호몰로지 군).

$X=S^{1}\vee S^{1}$ 을 8자 도형이라고 합시다. 그러면

\widetilde{H}_{n}(X)\cong\begin{cases}\mathbb{Z}^{\oplus 2}&n=1\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

$\widetilde{H}_{1}(X)$ 의 생성원은 8자 모양 도형의 두 고리입니다.

증명.

다시 한번, 간단히 하기 위해 축소 호몰로지 군을 다루겠습니다. $U$ 를 아래에 보이는 것처럼 8자 모양 도형의 ”왼쪽” 절반에 오른쪽 부분을 조금 더한 것이라고 합시다.

집합 $V$ 는 대칭적으로 정의됩니다. 이 경우 $U\cap V$ 는 수축 가능하며, $U$ 와 $V$ 는 각각 $S^{1}$ 과 호모토피 동치입니다.

따라서 긴 완전열의 한 구간을 다음과 같이 읽을 수 있습니다.

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{n}(U\cap V)}_{=0}\to\widetilde{H}_{n}(U)% \oplus\widetilde{H}_{n}(V)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to\underbrace{\widetilde{H}_% {n-1}(U\cap V)}_{=0}\to\dots.

이로써 $\widetilde{H}_{n}(X)\cong\widetilde{H}_{n}(S^{1})\oplus\widetilde{H}_{n}(S^{1})$ 임을 얻습니다. 생성원에 관한 주장은, 위 동형사상에 따라 $\widetilde{H}_{n}(X)$ 의 생성원이 $\widetilde{H}_{n}(U)$ 와 $\widetilde{H}_{n}(V)$ 의 생성원이라는 사실로부터 따라오며, 이는 앞선 정리에서 기하학적으로 설명한 바 있습니다. ∎

지금까지는 공간의 특정 부분을 항상 수축 가능하게 만들 수 있었다는 점에서 매우 운이 좋았습니다. 이는 항상 성립하는 것은 아니며, 다음 예제에서는 풀이를 완성하기 위해 실제로 문제의 사상들을 이해해야 할 것입니다.

명제 72.3.6 (원환면의 호몰로지 군).

$X=S^{1}\times S^{1}$ 을 원환면이라고 합시다. 그러면

\widetilde{H}_{n}(X)=\begin{cases}\mathbb{Z}^{\oplus 2}&n=1\\ \mathbb{Z}&n=2\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

증명.

2차원 종이 위에서 도식을 보기 좋게 만들기 위해, 원환면을 변이 식별된 정사각형으로 나타내겠습니다. 다만 3차원적으로 그려도 그림은 마찬가지로 의미가 통합니다. 그림에 나타난 $U$ (연한 주황색으로 칠해짐)와 $V$ (초록색으로 칠해짐)를 생각해 봅시다. (왼쪽과 오른쪽(파란색) 변이 식별되어 있기 때문에, 그림에서는 연결되어 보이지 않더라도 $V$ 는 연결되어 있음에 유의하십시오.)

3차원 그림에서 $U$ 와 $V$ 는 함께 원환면을 이루는 두 개의 원기둥입니다. 이번에는 $U$ 와 $V$ 가 각각 $S^{1}$ 과 호모토피 동치이며, 교집합 $U\cap V$ 는 두 원의 서로소 합집합입니다. 따라서 $\widetilde{H}_{1}(U\cap V)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ 이고, $H_{0}(U\cap V)\cong\mathbb{Z}^{\oplus 2}\implies\widetilde{H}_{0}(U\cap V)% \cong\mathbb{Z}$ 입니다.

$n\geq 3$ 일 때, 다음을 얻습니다.

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{n}(U\cap V)}_{=0}\to\widetilde{H}_{n}(U)% \oplus\widetilde{H}_{n}(V)\to\widetilde{H}_{n}(X)\to\underbrace{\widetilde{H}_% {n-1}(U\cap V)}_{=0}\to\dots.

따라서 $n\geq 3$ 에 대해 $H_{n}(X)\cong 0$ 입니다. 또한 $X$ 가 경로 연결이므로 $H_{0}(X)\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 이제 남은 것은 $H_{2}(X)$ 와 $H_{1}(X)$ 를 계산하는 것입니다.

먼저 $H_{2}(X)$ 를 구해 봅시다. 먼저 다음 구간을 살펴봅니다.

\dots\to\underbrace{\widetilde{H}_{2}(U)\oplus\widetilde{H}_{2}(V)}_{=0}\to% \widetilde{H}_{2}(X)\xhookrightarrow{\partial}\underbrace{\widetilde{H}_{1}(U% \cap V)}_{\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}}\xrightarrow{\phi}\underbrace{% \widetilde{H}_{1}(U)\oplus\widetilde{H}_{1}(V)}_{\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{% Z}}\to\dots

안타깝게도 이번에는 왼쪽에 0이 하나밖에 없기 때문에 $\widetilde{H}_{2}(X)$ 가 무엇인지 바로 명확하지 않습니다. 이를 알아내려면 사상 $\partial$ 과 $\phi$ 가 실제로 어떤 모습인지 파악해야 합니다. 앞으로 보게 되겠지만, 두 군이 동형이더라도 $\phi$ 는 동형사상이 아니라는 점에 유의하십시오.

영 항의 존재로 인해 연결 사상 $\partial$ 를 단사로 만들 수 있었습니다. 먼저, $\widetilde{H}_{2}(X)$ 는 $\partial$ 의 상과 동형이며, 이는 정확히 삽입된 화살표 $\phi$ 의 핵입니다. $\ker\phi$ 가 무엇인지 알아내려면, 사상 $C_{\bullet}(U\cap V)\to C_{\bullet}(U)\oplus C_{\bullet}(V)$ 가 어떻게 구성되었는지 다시 떠올려야 합니다: 그것은 $c\mapsto(c,-c)$ 였습니다. 따라서 호몰로지 군의 유도 사상은 실제로 짐작하는 그대로입니다: $\widetilde{H}_{1}(U\cap V)$ 의 $1$ -사이클 $z$ 는 $\widetilde{H}_{1}(U)\oplus\widetilde{H}_{1}(V)$ 의 $(z,-z)$ 로 보내집니다.

특히, $\widetilde{H}_{1}(U\cap V)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ 의 두 생성원 $z_{1}$ 과 $z_{2}$ , 즉 $U\cap V$ 의 각 연결 성분에서 하나씩의 사이클을 생각해 봅시다. (분명히 하자면, $U\cap V$ 는 두 개의 ”손목 밴드”로 이루어져 있으며, $z_{i}$ 는 $i$ 번째 것을 한 번 감습니다.) 나아가 $\alpha_{U}$ 를 $\widetilde{H}_{1}(U)\cong\mathbb{Z}$ 의 생성원으로, $\alpha_{V}$ 를 $\widetilde{H}_{1}(V)\cong\mathbb{Z}$ 의 생성원으로 놓겠습니다.

이 원소들은 아래에 그려져 있습니다.

$z_{1}$ , $z_{2}$ , $\alpha_{U}$ , $\alpha_{V}$ 는 호몰로지 군의 원소이므로, 경로를 다소 옮겨도 무방하다는 점에 유의하십시오 — 예를 들어, $\widetilde{H}_{1}(U)$ 의 원소로서 $z_{1}$ 로 그려진 사슬과 $\alpha_{U}$ 는 같은 원소를 나타냅니다.

그러면 다음을 얻습니다.

z_{1}\mapsto(\alpha_{U},-\alpha_{V})\qquad\text{그리고}\qquad z_{2}\mapsto(\alpha% _{U},-\alpha_{V}).

(부호는 생성원에 대해 어느 방향을 선택하는지에 따라 달라질 수 있습니다. $\mathbb{Z}$ 에는 가능한 생성원이 두 개 있다는 점에 유의하십시오.) 이를 행렬로도 나타낼 수 있습니다.

\phi=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&-1\end{bmatrix}.

그리고 $\phi(z_{1}-z_{2})=0$ 임을 관찰할 수 있는데, 이는 이 사상이 자명하지 않은 핵을 가짐을 의미합니다! 즉,

\ker\phi=\left<z_{1}-z_{2}\right>\cong\mathbb{Z}.

따라서 $\widetilde{H}_{2}(X)\cong\operatorname{im}\partial\cong\ker\phi\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 또한 $\operatorname{im}\phi$ 가 $(\alpha_{U},-\alpha_{V})$ 에 의해 생성되는 집합이라는 점도 유의합니다; (특히 $\operatorname{im}\phi\cong\mathbb{Z}$ 이며 $\operatorname{im}\phi$ 에 의한 몫도 $\mathbb{Z}$ 입니다).

$\widetilde{H}_{1}(X)$ 의 경우도 상황이 비슷한데, 이번에는 다음과 같습니다

\dots\xrightarrow{\phi}\underbrace{\widetilde{H}_{1}(U)\oplus\widetilde{H}_{1}% (V)}_{\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}}\overset{\psi}{\to}\widetilde{H}_{1}(X)% \overset{\partial}{\twoheadrightarrow}\underbrace{\widetilde{H}_{0}(U\cap V)}_% {\cong\mathbb{Z}}\to\underbrace{\widetilde{H}_{0}(U)\oplus\widetilde{H}_{0}(V)% }_{=0}\to\dots

그리고 이로부터 연결 사상 $\partial$ 이 전사임을 알 수 있으므로, $\operatorname{im}\partial\cong\mathbb{Z}$ 입니다. 이제 다음도 성립합니다

	$\displaystyle\ker\partial\cong\operatorname{im}\psi$	$\displaystyle\cong\left(\widetilde{H}_{1}(U)\oplus\widetilde{H}_{1}(V)\right)/\ker\psi$
		$\displaystyle\cong\left(\widetilde{H}_{1}(U)\oplus\widetilde{H}_{1}(V)\right)/% \operatorname{im}\phi\cong\mathbb{Z}$

이는 $\operatorname{im}\phi$ 에 대해 이미 알고 있던 사실 때문입니다. 마무리를 위해서는 몇 가지 대수적 기교가 필요합니다. 첫 번째는 명제 70.5.1로, 이는 다음과 같은 짧은 완전열을 줍니다

0\to\underbrace{\ker\partial}_{\cong\operatorname{im}\psi\cong\mathbb{Z}}% \hookrightarrow\widetilde{H}_{1}(X)\twoheadrightarrow\underbrace{\operatorname% {im}\partial}_{\cong\mathbb{Z}}\to 0.

$\widetilde{H}_{1}(X)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ 가 유일한 가능성임을 스스로 납득해 보시길 바라지만, 이를 보조정리 72.3.8로 엄밀하게 증명하겠습니다. ∎

비고 72.3.7.

앞서 우리는 (증명 없이) $\pi_{2}(X)$ 가 자명하다고 언급했습니다 — 즉, 호모토피는 원환면에서 어떠한 ” $2$ 차원 구멍”도 찾아내지 못합니다. 그렇다면 어째서 $H_{2}(X)\cong\mathbb{Z}$ 인 것일까요?

다음 방법을 사용하여 긴 완전열로부터 $H_{2}(X)$ 의 자명하지 않은 원소를 직접 계산해 보고 싶을 수도 있습니다. 긴 완전열을 살펴봅시다:

우리는 $H_{2}(X)$ 의 자명하지 않은 어떤 원소를 찾고자 합니다 — 이를 위해, $\ker\phi\subseteq H_{1}(U\cap V)$ 의 한 원소를 취하여 $\partial$ 에 대한 그 원상을 취할 수 있습니다.

이를 위해서는 $z_{1}-z_{2}$ 로 충분할 것입니다. $\partial$ 에 대한 그 원상을 취하려면, $\partial$ 이 어떻게 구성되었는지를 상기할 필요가 있습니다 — 그것은 도식에서 ”왼쪽, 아래, 왼쪽” 절차였습니다:

그리하여, 몫 사상 아래에서 $z_{1}-z_{2}$ 로 사상되는 $C_{1}(U\cap V)$ 의 (닫힌) 원소를 찾은 다음, 이를 ”오른쪽, 위, 오른쪽”으로 이동시켜 $C_{2}(X)$ 의 한 원소로 만듭니다.

모든 것을 올바르게 수행하였다면, 그 결과는 원환면 전체이어야 합니다!

이는 다음 요점을 강조합니다:

호몰로지가 탐지하는 ”구멍”이 반드시 $S^{n}$ 의 내부처럼 생길 필요는 없습니다.

앞의 예시는 이전 것들과는 다른 성격을 지니고 있음을 주목하시길 바랍니다. 왜냐하면 군을 계산하기 위해서라도 긴 완전열에 나오는 사상들이 실제로 무엇인지 알아내야 했기 때문입니다. 원리적으로는 앞의 증명에 나온 모든 동형사상을 알아내어 $\widetilde{H}_{1}(S^{1}\times S^{1})$ 의 생성원을 명시적으로 계산할 수도 있겠지만, 세부 사항에 매몰되는 것을 피하기 위해 여기서는 그렇게 하지 않겠습니다.

마지막으로, 마지막 단계를 완전히 정당화하기 위해 다음을 제시합니다:

보조정리 72.3.8 (분할 보조정리).

아벨 군의 짧은 완전열 $0\to A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\to 0$ 에 대하여, 다음은 서로 동치입니다:

(a)

$A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{p}A$ 가 항등 사상이 되도록 하는 $p\colon B\to A$ 가 존재합니다.
(b)

$C\xrightarrow{s}B\xrightarrow{g}C$ 가 항등 사상이 되도록 하는 $s\colon C\to B$ 가 존재합니다.
(c)

$B$ 에서 $A\oplus C$ 로 가는 동형사상이 존재하여 다음 도식이

가환이 됩니다. ( $A\oplus C$ 에 딸린 사상들은 자명한 것들입니다.)

특히, $C$ 가 자유 가군일 때는 언제나 (b)가 성립합니다.

이러한 경우 우리는 짧은 완전열이 분할된다고 말합니다. 요점은 다음과 같습니다

분할되는 완전열은 $A$ 와 $C$ 가 주어졌을 때 $B$ 를 얻을 수 있게 해 줍니다.

특히, $C=\mathbb{Z}$ 이거나 임의의 자유 아벨 군인 경우, 조건 (b)는 필연적으로 참입니다. 따라서 짧은 완전열 $0\to\mathbb{Z}\to\widetilde{H}_{1}(X)\to\mathbb{Z}\to 0$ 을 얻었다면, 증명이 끝났습니다.

비고 72.3.9.

안타깝게도, 모든 완전열이 분해되는 것은 아닙니다: 분해되지 않는 짧은 완전열의 예는 다음과 같습니다

0\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xhookrightarrow{\times 2}\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}% \twoheadrightarrow\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 가 참이 아니기 때문입니다.

비고 72.3.10.

분해 보조정리는 임의의 아벨 범주에서 참입니다. “직합”은 두 대상 $A$ 와 $C$ 의 쌍대극한입니다.

72.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 72A.

정리 72.3.4의 증명을 완성하십시오, 즉 모든 $m$ 과 $n$ 에 대해 $H_{n}(S^{m})$ 을 계산하십시오. (먼저 $m=2$ 인 경우를 시도해 보면, 어떻게 진행해야 할지 알 수 있을 것입니다.)

힌트. 반구를 사용하여 $m$ 에 대한 귀납법을 적용합니다.

문제 72B.

$p\geq 1$ 개의 점을 제거한 $\mathbb{R}^{n}$ 의 축소 호몰로지 군을 계산하십시오.

힌트. 한 가지 전략은 $p=1$ 을 기본 경우로 하여 $p$ 에 대한 귀납법을 사용하는 것입니다. 또 다른 전략은 $U$ 를 원하는 공간으로 놓고, $V$ 를 서로 교차하지 않는 $p$ 개의 공의 합집합으로 놓는 것입니다.

풀이. 답은 $\widetilde{H}_{n-1}(X)\cong\mathbb{Z}^{\oplus p}$ 이며, 다른 모든 군은 소멸합니다. $p=1$ 인 경우, $\mathbb{R}^{n}-\{\ast\}\cong S^{n-1}$ 이므로 증명이 끝났습니다. 다른 모든 $p$ 에 대해서는, $p$ 개의 점을 한쪽에 $a$ 개, 다른 쪽에 $b$ 개가 있도록 두 부분으로 나누는 초평면을 그립니다(따라서 $a+b=p$ ). $U$ 와 $V$ 를 설정하고 귀납법을 사용합니다.

또는, $U$ 를 원하는 공간으로 놓고, $V$ 를 각 점 주위에 하나씩 있는 $p$ 개의 서로소인 공의 합집합으로 놓습니다. 그러면 $U\cup V=\mathbb{R}^{n}$ 은 모든 축소 호몰로지 군이 자명합니다. 마이어-비토리스 열로부터 $\widetilde{H}_{k}(U\cap V)\cong\widetilde{H}_{k}(U)\oplus\widetilde{H}_{k}(V)$ 임을 읽어낼 수 있습니다. 그러면 $U\cap V$ 는 $p$ 개의 구멍 뚫린 공이며, 각각은 $S^{n-1}$ 과 같습니다. 여기서부터 결론을 읽어낼 수 있습니다.

문제 72C.

$n\geq 1$ 과 $k\geq 0$ 을 정수라 합시다. $H_{k}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\})$ 을 계산하십시오.

힌트. 정리 72.2.5을 사용하십시오. $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}$ 이 $S^{n-1}$ 과 호모토피 동치임에 유의하십시오.

풀이. $k=n$ 일 때는 $\mathbb{Z}$ 이고, 그렇지 않으면 $0$ 입니다.

문제 72D (아홉 보조정리).

다음과 같은 가환 도식을 생각해 봅시다

그리고 모든 행이 완전하고, 두 열이 완전하다고 가정합니다. 세 번째 열도 완전함을 보이십시오.

힌트. $0\to A_{\bullet}\to B_{\bullet}\to C_{\bullet}\to 0$ 은 사슬 복합체의 짧은 완전열입니다. 이에 대응하는 긴 완전열을 써 보십시오. 거의 모든 항이 소멸할 것입니다.

문제 72E (클라인 병).

^†^†margin:

클라인 병 $K$ 의 축소 호몰로지 군이 다음과 같이 주어짐을 보이십시오.

\widetilde{H}_{n}(K)=\begin{cases}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&n=1\\ 0&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

힌트. $U$ 와 $V$ 로 두 개의 원기둥을 사용하는 것도 가능합니다. 이번에는 행렬이 $\begin{bmatrix}1&1\\ 1&-1\end{bmatrix}$ 또는 그 변형이지만, 특히 이는 단사이므로 $\widetilde{H}_{2}(X)=0$ 입니다.

문제 72F (삼중 긴 완전열).

$A\subseteq B\subseteq X$ 를 부분공간이라 합시다. 다음과 같은 긴 완전열이 존재함을 보이십시오

\dots\to H_{n}(B,A)\to H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,B)\to H_{n-1}(B,A)\to\dots.

힌트. 정리 72.2.1를 적용할 새로운 짧은 완전열을 찾으십시오.

풀이. 다음 짧은 완전열을 사용하십시오

$0\to C_{\bullet}(B,A)\to C_{\bullet}(X,A)\to C_{\bullet}(X,B)\to 0$

사슬 복합체의