장 17 모든 군을 찾으십시오

다음 문제가 IMO에 출제되는 일은 부디 없기를 바랍니다.

$n$ 을 양의 정수라 하고 $S=\left\{1,\dots,n\right\}$ 이라 합시다. 다음 조건을 만족하는 함수 $f\colon S\times S\to S$ 를 모두 찾으십시오.

(a)

모든 $x\in S$ 에 대하여 $f(x,1)=f(1,x)=x$ 입니다.

(b)

모든 $x,y,z\in S$ 에 대하여 $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ 입니다.

(c)

모든 $x\in S$ 에 대하여 $f(x,y)=f(y,x)=1$ 을 만족하는 $y\in S$ 가 존재합니다.

그럼에도 불구하고 이 “문제”에 대해 우리가 이룬 진전은 실로 놀랍습니다. 이 장에서는 우리가 이루어 낸 성과 몇 가지를 이야기해 보겠습니다.

17.1 실로우 정리

여기서는 유한군에 관해 우리가 알고 있는 가장 일반적인 결과 중 하나인 유명한 실로우 정리를 소개합니다.

정리 17.1.1 (실로우 정리).

$G$ 를 위수가 $p^{n}m$ 인 군이라 합시다. 여기서 $\gcd(p,m)=1$ 이고 $p$ 는 소수입니다. 실로우 $p$ -부분군은 위수가 $p^{n}$ 인 부분군입니다. $n_{p}$ 를 $G$ 의 실로우 $p$ -부분군의 개수라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a)

$n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 입니다. 특히 $n_{p}\neq 0$ 이므로 실로우 $p$ -부분군이 존재합니다.
(b)

$n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다.
(c)

임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 서로 켤레인 부분군입니다(따라서 동형입니다).

실로우 정리는 군을 분류하는 데 매우 중요합니다. 특히 $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 와 $n_{p}\mid m$ 이라는 조건만으로 $n_{p}$ 의 값을 몇 가지로 좁힐 수 있는 경우가 많습니다. 다음은 실로우 정리에서 따라 나오는 몇 가지 결과입니다.

•

실로우 $p$ -부분군이 정규부분군일 필요충분조건은 $n_{p}=1$ 입니다.
•

$p<q$ 가 소수일 때, 위수가 $p q$ 인 군 $G$ 는 반드시 $n_{q}=1$ 을 만족합니다. $n_{q}\equiv 1\pmod{q}$ 이면서 $n_{q}\mid p$ 이기 때문입니다. 따라서 $G$ 는 위수가 $q$ 인 정규 부분군을 가집니다.
•

아벨 군에서는 모든 부분군이 정규부분군이므로, 임의의 아벨 군은 그 위수를 나누는 모든 $p$ 에 대해 실로우 $p$ -부분군을 정확히 하나씩 가집니다.
•

$p\neq q$ 이면 실로우 $p$ -부분군과 실로우 $q$ -부분군의 교집합은 $\{1_{G}\}$ 뿐입니다. 임의의 두 부분군의 교집합 또한 부분군이며, 라그랑주 정리에 따르면 그 위수는 $p$ 의 거듭제곱과 $q$ 의 거듭제곱을 모두 나누어야 하기 때문입니다. 이는 그 부분군이 자명한 경우에만 가능합니다.

다음은 또 다른 “실용적인” 응용의 예입니다.

명제 17.1.2 (세 소수의 곱).

$\left\lvert G\right\rvert=pqr$ 이 서로 다른 소수들의 곱이면 $G$ 는 반드시 정규 실로우 부분군을 가집니다.

증명.

일반성을 잃지 않고 $p<q<r$ 이라 가정합시다. $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ , $n_{p}|qr$ 이고 다른 소수에 대해서도 순환적으로 마찬가지임에 주목하고, 모순을 이끌어 내기 위해 $n_{p},n_{q},n_{r}>1$ 이라 가정합시다.

$n_{r}|pq$ 이고, $n_{r}\geq 1+r>p,q$ 이므로 $n_{r}$ 은 $p$ 도 $q$ 도 나누지 않습니다. 따라서 $n_{r}=pq$ 입니다. 또한 $n_{p}\geq 1+p$ 이고 $n_{q}\geq 1+q$ 입니다. 그러므로 실로우 $p$ -부분군은 적어도 $1+p$ 개, 실로우 $q$ -부분군은 적어도 $1+q$ 개, 실로우 $r$ -부분군은 적어도 $p q$ 개 있어야 합니다.

하지만 이 군들은 상당히 배타적입니다.

질문 17.1.3.

$n_{p}+n_{q}+n_{r}$ 개의 실로우 부분군 가운데 두 개를 골라 $H_{1}$ 과 $H_{2}$ 라 합시다. 다음과 같이 $\left\lvert H_{1}\cap H_{2}\right\rvert=1$ 임을 보이십시오. 먼저 $H_{1}\cap H_{2}$ 가 $H_{1}$ 과 $H_{2}$ 모두의 부분군임을 확인한 다음, 라그랑주 정리를 사용하십시오.

이제 원소가 너무 많다고 주장합니다. 실제로 이 부분군들이 기여하는 항등원이 아닌 원소를 세면 다음을 얻습니다.

n_{p}(p-1)+n_{q}(q-1)+n_{r}(r-1)\geq(1+p)(p-1)+(1+q)(q-1)+pq(r-1)>pqr

이는 $G$ 가 가진 원소보다 많습니다! ∎

17.2 (선택) 실로우 정리의 증명

실로우 정리의 증명은 다소 복잡하며, 실제로 여러 가지 증명이 있습니다. 여기서는 그중 하나를 아래에 소개하겠습니다. 이 증명은 군 작용을 폭넓게 사용하므로, 먼저 몇 가지 사실을 상기하고자 합니다. $G$ 가 $X$ 에 작용하면,

•

작용의 궤도들은 $X$ 의 분할을 이룹니다.
•

$\mathcal{O}$ 가 임의의 궤도일 때, 궤도-안정자군 정리에 따르면

$\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert=\left\lvert G\right\rvert/\left\lvert% \operatorname{Stab}_{G}(x)\right\rvert$

이는 임의의 $x\in\mathcal{O}$ 에 대해 성립합니다.
•

특히, 위에서 $G$ 가 $p$ -군, 즉 어떤 $t$ 에 대해 $|G|=p^{t}$ 라고 가정합시다. 그러면 $\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert=1$ 이거나 $p$ 가 $\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert$ 를 나눕니다. $\mathcal{O}=\{x\}$ 인 경우, 정의에 의해 $x$ 는 $G$ 의 모든 원소의 고정점입니다. 즉, 모든 $g$ 에 대해 $g\cdot x=x$ 입니다.

$x$ 가 고정점이라고 할 때, 이는 $x$ 가 군의 모든 원소에 의해 고정된다는 뜻, 즉 궤도의 크기가 정말로 1이라는 뜻임에 유의하십시오. 따라서 이는 매우 강한 조건입니다.

17.2.1 정의

대표적인 예: $S_{n}$ 에서의 켤레.

앞에서 원소의 켤레를 정의했지만, 이제 군에 대해서도 이를 정의해야 합니다.

정의 17.2.1.

$G$ 를 군이라 하고, $X$ 를 $G$ 의 부분군들의 집합이라 합시다. 그러면 켤레 작용은 $G$ 가 $X$ 에 작용하여 다음과 같이 보내는 작용입니다.

H\mapsto gHg^{-1}=\left\{ghg^{-1}\mid h\in H\right\}.

$H$ 와 $K$ 가 $G$ 의 부분군이고 어떤 $g\in G$ 에 대해 $H=gKg^{-1}$ 이면(다시 말해, 이 작용에 대해 같은 궤도에 있으면), 이들을 켤레 부분군이라고 합니다.

우리는 (예를 들어 순열군에서) 켤레인 원소들을 어쩐지 “그렇게 다르다”고 여기지 않으므로, 다음 사실은 놀랍지 않을 것입니다.

질문 17.2.2.

군 $G$ 의 임의의 부분군 $H$ 에 대해, $h\mapsto ghg^{-1}$ 로 주어지는 사상 $H\to gHg^{-1}$ 가 실제로 동형사상임을 보이십시오. 이로부터 켤레인 임의의 두 부분군은 서로 동형임을 알 수 있습니다.

정의 17.2.3.

$G$ 의 임의의 부분군 $H$ 에 대해, $H$ 의 정규화 부분군은 다음과 같이 정의됩니다.

N_{G}(H)\coloneqq\left\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\right\}.

다시 말해, 이것은 켤레 작용에 대한 $H$ 의 안정자군입니다.

이제 증명을 제시할 준비가 되었습니다.

17.2.2 1단계: 실로우 $p$ -부분군이 존재함을 증명합니다

이어지는 내용은 확률론적 방법과 비슷합니다. 크기가 $p^{n}$ 인 모든 부분집합들의 집합 $X$ 를 한꺼번에 고려함으로써, 다음과 같은 “심오한 정수론적 사실”을 활용할 수 있습니다.

\left\lvert X\right\rvert=\binom{p^{n}m}{p^{n}}\not\equiv 0\pmod{p}.

(실제로는 심오하지 않습니다. 뤼카 정리를 사용하십시오.)

증명은 다음과 같습니다.

•

$G$ 가 $X$ 에 $g\cdot S\coloneqq\left\{gs\mid s\in S\right\}$ 로 작용한다고 합시다.
•

크기가 $p$ 로 나누어떨어지지 않는 궤도 $\mathcal{O}$ 를 하나 택합니다. (이는 우리의 심오한 정수론적 사실 덕분에 가능합니다. $\left\lvert X\right\rvert$ 가 mod $p$ 로 0이 아니고 궤도들이 $X$ 를 분할하므로, 주장한 궤도가 반드시 존재합니다.)
•

$S\in\mathcal{O}$ , $H=\operatorname{Stab}_{G}(S)$ 라 합시다. 그러면 궤도-안정자군 정리에 의해 $p^{n}$ 은 $\left\lvert H\right\rvert$ 를 나눕니다.
•

두 번째 작용을 생각합시다. $H$ 가 $S$ 에 $h\cdot s\coloneqq hs$ 로 작용한다고 합시다( $H=\operatorname{Stab}_{G}(S)$ 이므로 $hs\in S$ 임을 압니다).
•

$\operatorname{Stab}_{H}(s)=\{1_{H}\}$ 임을 관찰하십시오. 그러면 두 번째 작용의 모든 궤도는 크기가 $\left\lvert H\right\rvert$ 여야 합니다. 따라서 $\left\lvert H\right\rvert$ 는 $\left\lvert S\right\rvert=p^{n}$ 을 나눕니다.
•

이로부터 $\left\lvert H\right\rvert=p^{n}$ 이 성립하며, 이로써 증명이 끝납니다.

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 켤레입니다

$P$ 가 실로우 $p$ -부분군이고 $Q$ 가 $p$ -군이면, $Q\subseteq gPg^{-1}$ 임을 증명합니다. $Q$ 도 실로우 $p$ -부분군이라면 크기를 고려할 때 $Q=gPg^{-1}$ 임에 유의하십시오. 이는 임의의 두 실로우 부분군이 실제로 켤레임을 뜻합니다.

$Q$ 가 $P$ 의 왼쪽 잉여류들의 집합에 왼쪽 곱셈으로 작용한다고 합시다. 다음에 유의하십시오.

•

$Q$ 는 $p$ -군이므로, 모든 궤도는 크기가 $1$ 이 아닌 한 $p$ 로 나누어떨어집니다.
•

그런데 왼쪽 잉여류의 개수는 $m$ 이고, 이는 $p$ 로 나누어떨어지지 않습니다.

따라서 어떤 잉여류 $g P$ 는 모든 $q$ 에 대한 고정점입니다. 즉, 모든 $q$ 에 대해 $qgP=gP$ 입니다. 동치로, 모든 $q\in Q$ 에 대해 $qg\in gP$ 이므로, 원하는 대로 $Q\subseteq gPg^{-1}$ 입니다.

17.2.4 3단계: $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 임을 보이기

$\mathcal{S}$ 를 모든 실로우 $p$ -부분군들의 집합이라고 합시다. 1단계에 의해 어떤 $P\in\mathcal{S}$ 가 존재합니다.

질문 17.2.4.

왜 $\left\lvert\mathcal{S}\right\rvert$ 가 $n_{p}$ 와 같습니까? (다시 말해, 깨어 계십니까?)

이제 증명을 진행할 수 있습니다. $P$ 가 $\mathcal{S}$ 에 켤레로 작용한다고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

•

$P$ 가 $p$ -군이므로, 이 작용의 궤도들의 크기는 $\{p^{0},p^{1},p^{2},\dots\}$ 에 속합니다. 특히, 고정점의 개수를 $p$ 로 나눈 나머지는 $n_{p}\pmod{p}$ 와 같습니다.
•

이제 $P$ 가 이 작용의 유일한 고정점이라고 주장합니다.
•

$Q$ 를 다른 임의의 고정점이라고 합시다. 즉, 임의의 $x\in P$ 에 대해 $xQx^{-1}=Q$ 입니다.
•

정규화군 $N_{G}(Q)=\left\{g\in G\mid gQg^{-1}=Q\right\}$ 를 정의합니다. 이것은 $P$ 와 $Q$ 를 모두 포함합니다.
•

이제 기막힌 부분입니다. $N_{G}(Q)$ 에 2단계를 적용합니다. $P$ 와 $Q$ 는 그 실로우 $p$ -부분군이므로 켤레여야 합니다.
•

따라서 원하는 대로 $P=Q$ 입니다.

17.2.5 4단계: $n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다

$n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 이므로, $n_{p}$ 가 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눈다는 것만 보이면 충분합니다. $G$ 가 모든 실로우 $p$ -군의 집합에 켤레로 작용한다고 합시다. 2단계에 따르면 이 작용의 궤도는 하나뿐이므로, 궤도-안정자군 정리에 의해 $n_{p}$ 는 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눕니다.

17.3 (선택) 단순군과 조르당-횔더 정리

대표적인 예: $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 의 분해는 $1\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}% \trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 입니다.

모든 정수가 소수들의 곱으로 분해되는 것처럼, 모든 군을 “기본적인” 군들의 곱으로 분해해 볼 수 있습니다. 몫군이라는 개념을 갖추었으니, 올바른 개념은 다음과 같습니다.

정의 17.3.1.

단순군이란 자기 자신과 자명군 외에는 정규 부분군을 갖지 않는 군입니다.

질문 17.3.2.

어떤 $n$ 에 대해 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이 단순군입니까? (힌트: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이 아벨 군이라는 점을 기억하십시오.)

그러면 “군을 분해한다”는 것이 무엇을 의미하는지 정의해 볼 수 있습니다.

정의 17.3.3.

군 $G$ 의 조성열은 부분군들의 열 $H_{0}$ , $H_{1}$ , …, $H_{n}$ 으로서 다음을 만족하며

\{1\}=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq H_{2}\trianglelefteq\dots% \trianglelefteq H_{n}=G

길이가 최대인 것입니다(즉 $n$ 은 가능한 한 크며, 물론 모든 $H_{i}$ 는 서로 다릅니다). 조성 인자는 군 $H_{1}/H_{0}$ , $H_{2}/H_{1}$ , …, $H_{n}/H_{n-1}$ 입니다.

“최대성” 조건으로부터 조성 인자가 모두 단순군임을 보일 수 있습니다.

두 조성열이 (순열을 무시하고) 같은 조성 인자를 가지면 두 조성열이 동치라고 합시다. 특히 동치인 두 조성열은 길이가 같습니다. 그러면 다음 정리는 실제로 참입니다.

정리 17.3.4 (조르당-횔더).

모든 유한군 $G$ 는 동치인 것을 같게 보면 유일한 조성열을 가집니다.

예제 17.3.5 ( $n=12$ 일 때의 산술의 기본정리).

군 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 가능한 조성열이 다음과 같다는 것은 어렵지 않게 확인할 수 있습니다.

	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/4\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	인자가 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 인
	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/6\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	인자가 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 인
	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/6\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	$\displaystyle\text{인자가 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $% \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$인}.$

이들은 인수분해 $12=2^{2}\cdot 3$ 에 대응합니다.

이는 모든 유한 단순군을 분류하는 것이 큰 진전이 되리라는 점을 시사합니다. 모든 유한군은 어떤 의미에서 단순군들의 “곱”이기 때문입니다. 유일한 문제는 구성 요소들로부터 군을 만드는 방법이 여러 가지라는 점입니다.

놀랍게도 우리는 실제로 단순군의 완전한 목록을 가지고 있지만, 그 목록은 정말 기이합니다. 모든 유한 단순군은 다음 범주 중 하나에 속합니다.

•

소수 $p$ 에 대한 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ,
•

$n\geq 5$ 에 대하여, “짝” 순열들로 이루어진 $S_{n}$ 의 부분군,
•

리 형 단순군(설명하지는 않겠습니다), 그리고
•

어떤 좋은 족에도 속하지 않는 26개의 “산재” 군.

산재군 중 가장 큰 두 군은 귀여운 이름을 가지고 있습니다. 아기 괴물군의 위수는 다음과 같으며

2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 2% 3\cdot 31\cdot 47\approx 4\cdot 10^{33}

괴물군(“ 친절한 거인”이라고도 합니다)의 위수는 다음과 같습니다.

2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 1% 9\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71\approx 8\cdot 10^{53}.

괴물군은 (자기 자신을 포함하여) 20개의 산재군을 부분몫군으로 포함하며, 이 20개의 군을 “ 행복한 가족”이라고 부릅니다.

수학은 기묘합니다.

질문 17.3.6.

“위수가 $2$ 인 유한 단순군”이라는 표현은 중복임을 보이십시오. 즉, 위수가 $2$ 인 군은 모두 유한군이면서 단순군입니다.

17.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 17A (코시 정리).

$G$ 가 군이고 $p$ 가 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나누는 소수라고 합시다. $G$ 가 위수가 $p$ 인 원소를 가짐을 증명하십시오¹¹1코시 정리는 실로우 정리 없이도 증명할 수 있으며, 실제로 실로우 정리의 다른 증명을 제시하는 데 자주 사용됩니다..

문제 17B.

$G$ 를 유한 단순군이라 합시다. $\left\lvert G\right\rvert\neq 56$ 임을 보이십시오.

힌트. 실로우 $2$ -군과 $7$ -군의 개수를 세고, 이들의 교집합을 살펴보십시오.

풀이. $|G|=56$ 이고 $G$ 가 단순군이라고 가정합시다. 실로우 $7$ -부분군을 생각해 봅시다. 그 개수를 $n_{7}$ 이라 하면, ( $G$ 가 단순군이므로) $n_{7}>1$ 이고 $n_{7}\equiv 1\pmod{7}$ 이므로 $n_{7}=8$ 입니다. 즉 $G$ 에는 위수가 $7$ 인 원소가 $(7-1)\cdot 8=48$ 개 있습니다.

그런데 실로우 $2$ -부분군을 생각해 봅시다. 실로우 $2$ -부분군은 각각 원소가 $8$ 개이므로, 실로우 $2$ -부분군은 정확히 하나뿐이라는 결론을 얻습니다. 그 부분군은 정규 부분군이므로 모순입니다.

문제 17C (Engel의 PSS?).

^†^†margin:

문자 $a$ 와 $b$ 로 이루어진 모든 단어의 집합을 생각합시다. 이러한 단어가 주어지면, $w$ 가 단어일 때 $w w w$ 꼴의 단어를 주어진 단어의 임의의 위치에 삽입하거나, 단어에서 그러한 문자열을 삭제하여 단어를 바꿀 수 있습니다. 단어 $a b$ 를 단어 $b a$ 로 바꿀 수 있습니까?

힌트. 모든 원소의 위수가 3인 비아벨 군을 구성하십시오.

풀이. 한 예로 성분이 $\mathbb{F}_{3}$ 에 속하는 $3\times 3$ 행렬 중 다음 꼴을 갖는 행렬들로 이루어진 군이 있습니다: $\begin{bmatrix}1&x&y\\ &1&z\\ &&1\end{bmatrix}$ .

문제 17D.

^†^†margin:

$p$ 를 소수라 하고 $G$ 를 위수가 $p$ 의 거듭제곱인 단순군이라고 가정합시다. $G\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 임을 보이십시오.

힌트. 먼저 $G$ 가 아벨 군이면 자명합니다. 그렇지 않다면 $Z(G)$ 를 군의 중심이라 합시다. 중심은 항상 $G$ 의 정규 부분군입니다. 켤레를 이용해 법 $p$ 논증을 하십시오(또는 류 방정식을 사용하십시오).

풀이. $G$ 를 앞서 말한 군이라 합시다. $G$ 가 아벨 군이면 모든 부분군이 정규부분군이고, $G$ 가 단순군이므로 $G$ 는 어떠한 부분군도 가질 수 없습니다. 위수가 $p$ 인 원소는 분명히 찾을 수 있으므로 $G$ 는 위수가 $p$ 인 부분군을 가지며, 이는 $n=1$ , 즉 $G\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 인 경우에만 가능합니다.

따라서 $G$ 가 비아벨 군일 수 없음을 보이면 충분합니다. 이를 위해 류 방정식을 사용할 수도 있지만, 여기서는 이를 피하고 직접 증명해 봅시다.

그렇지 않다고 가정하고, $Z(G)=\{g\in G\mid xg=gx\;\forall x\in G\}$ 를 군의 중심이라 합시다. $Z(G)$ 는 $G$ 에서 정규이고 $G$ 는 단순군이므로 $Z(G)=\{1_{G}\}$ 입니다. 이제 $G$ 가 켤레로 자기 자신에 작용하도록 합시다. 즉 $g\cdot x=gxg^{-1}$ 입니다. 그러면 $G$ 는 여러 궤도 $\mathcal{O}_{0}=\{1_{G}\}$ , $\mathcal{O}_{1}$ , $\mathcal{O}_{2}$ , …로 나뉘며, 정의에 의해 고정점은 $1_{G}$ 뿐이므로 나머지 궤도의 크기는 모두 $1$ 보다 큽니다. 궤도-안정자군 정리에 따르면 각 궤도의 크기는 $p^{n}$ 을 나누므로, 모든 궤도의 크기는 법 $p$ 로 0이어야 합니다.

그런데 ( $G$ 를 분할하는) 모든 궤도에 걸쳐 합하면 $\left\lvert G\right\rvert\equiv 1\pmod{p}$ 를 얻으며, 이는 모순입니다.

문제 17E (Athemath 커뮤니티 형성 행사 #1, 2022년 가을).

^†^†margin:

군 $G$ 의 집합 $X$ 위의 군 작용 $\cdot$ 을 다음과 같은 경우에 각각 이렇게 부릅니다.

•

모든 $x_{1},x_{2}\in X$ 에 대해 $g\cdot x_{1}=x_{2}$ 를 만족하는 $g$ 가 존재하면 추이적이라 합니다.
•

모든 $x\in X$ 에 대해 $g\cdot x=x$ 를 만족하는 원소 $g\in G$ 가 $g=1_{G}$ 뿐이면 충실하다고 합니다. 다시 말해, 집합 $X$ 전체에 자명하게 작용하는 원소는 $G$ 의 항등원뿐입니다.

원소가 여섯 개인 집합 위에서 $S_{5}$ 의 충실하고 추이적인 작용이 존재합니까?

풀이. 이 문제를 추가할 때 어떤 풀이를 염두에 두었는지 기억나지 않습니다. https://github.com/vEnhance/napkin/pull/268#issuecomment-2767676253에 좀 더 기술적인 풀이가 소개되어 있지만, 원래 제가 생각했던 풀이는 아닌 것 같습니다.

장 17 모든 군을 찾으십시오

17.1 실로우 정리

정리 17.1.1 (실로우 정리).

명제 17.1.2 (세 소수의 곱).

증명.

질문 17.1.3.

17.2 (선택) 실로우 정리의 증명

17.2.1 정의

정의 17.2.1.

질문 17.2.2.

정의 17.2.3.

17.2.2 1단계: 실로우 p-부분군이 존재함을 증명합니다

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 p-부분군은 켤레입니다

17.2.4 3단계: np≡1(modp)임을 보이기

질문 17.2.4.

17.2.5 4단계: np는 m을 나눕니다

17.3 (선택) 단순군과 조르당-횔더 정리

정의 17.3.1.

질문 17.3.2.

정의 17.3.3.

정리 17.3.4 (조르당-횔더).

예제 17.3.5 (n=12일 때의 산술의 기본정리).

질문 17.3.6.

17.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 17A (코시 정리).

문제 17B.

문제 17C (Engel의 PSS?).

문제 17D.

문제 17E (Athemath 커뮤니티 형성 행사 #1, 2022년 가을).

17.2.2 1단계: 실로우 $p$ -부분군이 존재함을 증명합니다

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 켤레입니다

17.2.4 3단계: $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 임을 보이기

17.2.5 4단계: $n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다

예제 17.3.5 ( $n=12$ 일 때의 산술의 기본정리).