장 17 모든 군을 찾으시오

다음 문제는 IMO에 출제되지 않기를 바랍니다.

$n$ 을 양의 정수라 하고 $S=\left\{1,\dots,n\right\}$ 이라 합시다. 다음을 만족하는 모든 함수 $f\colon S\times S\to S$ 를 찾으시오.

(a)

모든 $x\in S$ 에 대해 $f(x,1)=f(1,x)=x$ 입니다.

(b)

모든 $x,y,z\in S$ 에 대해 $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ 입니다.

(c)

모든 $x\in S$ 에 대해 $f(x,y)=f(y,x)=1$ 을 만족하는 $y\in S$ 가 존재합니다.

그럼에도 불구하고, 이 “문제”에 대해 우리가 이루어낸 진전은 놀랍습니다. 이 장에서는 우리가 이루어낸 몇 가지 성과에 대해 이야기해보겠습니다.

17.1 실로우 정리

여기서는 유한군에 대해 우리가 가진 가장 일반적인 결과 중 하나인 유명한 실로우 정리를 소개합니다.

정리 17.1.1 (실로우 정리).

$G$ 를 위수가 $p^{n}m$ 인 군이라 하고, 여기서 $\gcd(p,m)=1$ 이며 $p$ 는 소수입니다. 실로우 $p$ -부분군이란 위수가 $p^{n}$ 인 부분군입니다. $n_{p}$ 를 $G$ 의 실로우 $p$ -부분군의 개수라 합시다. 그러면

(a)

$n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 입니다. 특히, $n_{p}\neq 0$ 이며 실로우 $p$ -부분군이 존재합니다.
(b)

$n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다.
(c)

임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 켤레 부분군입니다(따라서 동형사상입니다).

실로우 정리는 군을 분류하는 데 있어 정말로 막대한 역할을 합니다. 특히, $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 와 $n_{p}\mid m$ 이라는 조건은 종종 $n_{p}$ 의 값을 몇 개의 값으로 좁혀줍니다. 다음은 실로우 정리로부터 따라 나오는 몇 가지 결과입니다.

•

실로우 $p$ -부분군이 정규부분군인 것은 $n_{p}=1$ 인 것과 동치입니다.
•

$p<q$ 가 소수일 때, 위수가 $p q$ 인 임의의 군 $G$ 는 반드시 $n_{q}=1$ 이어야 합니다. 왜냐하면 $n_{q}\equiv 1\pmod{q}$ 이면서도 $n_{q}\mid p$ 이기 때문입니다. 따라서 $G$ 는 위수가 $q$ 인 정규부분군을 가집니다.
•

임의의 아벨 군은 모든 부분군이 정규부분군이므로, 임의의 아벨 군은 그 위수를 나누는 모든 $p$ 에 대해 정확히 하나의 실로우 $p$ -부분군을 가진다는 것이 따라 나옵니다.
•

$p\neq q$ 이면, 실로우 $p$ -부분군과 실로우 $q$ -부분군의 교집합은 $\{1_{G}\}$ 뿐입니다. 이는 임의의 두 부분군의 교집합 또한 부분군이며, 라그랑주 정리에 의해 그 위수가 $p$ 의 거듭제곱과 $q$ 의 거듭제곱을 모두 나누어야 하기 때문입니다. 이는 그 부분군이 자명한 경우에만 가능합니다.

또 다른 “실용적” 응용의 예를 살펴보겠습니다.

명제 17.1.2 (소수의 삼중곱).

$\left\lvert G\right\rvert=pqr$ 가 서로 다른 소수들의 곱이라면, $G$ 는 정규 실로우 부분군을 가져야 합니다.

증명.

일반성을 잃지 않고 $p<q<r$ 이라 합시다. $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 이고 $n_{p}|qr$ 이며 순환적으로도 마찬가지임에 주목하고, 모순을 이끌어내기 위해 $n_{p},n_{q},n_{r}>1$ 이라 가정합시다.

$n_{r}|pq$ 이므로, $n_{r}\geq 1+r>p,q$ 이기 때문에 $n_{r}$ 은 $p$ 도 $q$ 도 나누지 않으므로 $n_{r}=pq$ 입니다. 또한 $n_{p}\geq 1+p$ 이고 $n_{q}\geq 1+q$ 입니다. 따라서 우리는 적어도 $1+p$ 개의 실로우 $p$ -부분군, 적어도 $1+q$ 개의 실로우 $q$ -부분군, 그리고 적어도 $p q$ 개의 실로우 $r$ -부분군을 가져야 합니다.

하지만 이 군들은 상당히 배타적입니다.

질문 17.1.3.

$n_{p}+n_{q}+n_{r}$ 개의 실로우 부분군을 취하고, 이들 중 두 개, 예를 들어 $H_{1}$ 과 $H_{2}$ 를 생각해 봅시다. $H_{1}\cap H_{2}$ 가 $H_{1}$ 과 $H_{2}$ 둘 다의 부분군임을 확인한 다음 라그랑주 정리를 사용하여 $\left\lvert H_{1}\cap H_{2}\right\rvert=1$ 임을 다음과 같이 보이십시오.

이제 원소가 너무 많다는 것을 주장합니다. 실제로 이 부분군들이 기여하는 항등원이 아닌 원소들을 세어보면 다음을 얻습니다.

n_{p}(p-1)+n_{q}(q-1)+n_{r}(r-1)\geq(1+p)(p-1)+(1+q)(q-1)+pq(r-1)>pqr

이는 $G$ 가 가진 것보다 더 많은 원소입니다! ∎

17.2 (선택) 실로우 정리 증명하기

실로우 정리의 증명은 다소 복잡하며, 실제로 여러 증명이 존재합니다. 저는 아래에서 그중 하나를 제시하겠습니다. 이 증명은 군 작용을 광범위하게 사용하므로, 먼저 몇 가지 사실을 상기하고자 합니다. $G$ 가 $X$ 에 작용한다면,

•

작용의 궤도들은 $X$ 의 분할을 이룹니다.
•

$\mathcal{O}$ 가 임의의 궤도라면, 궤도-안정자군 정리는 다음을 말합니다.

$\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert=\left\lvert G\right\rvert/\left\lvert% \operatorname{Stab}_{G}(x)\right\rvert$

임의의 $x\in\mathcal{O}$ 에 대해.
•

특히, 위에서 $G$ 가 $p$ -군, 즉 어떤 $t$ 에 대해 $|G|=p^{t}$ 라고 합시다. 그러면 $\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert=1$ 이거나 $p$ 가 $\left\lvert\mathcal{O}\right\rvert$ 를 나눕니다. $\mathcal{O}=\{x\}$ 인 경우, 정의에 의해 $x$ 는 $G$ 의 모든 원소의 고정점입니다. 즉 모든 $g$ 에 대해 $g\cdot x=x$ 입니다.

$x$ 가 고정점이라고 말할 때, 이는 군의 모든 원소에 의해 고정된다는 것, 즉 궤도의 크기가 정말로 1이라는 것을 의미함에 유의하십시오. 따라서 이는 정말로 강한 조건입니다.

17.2.1 정의

대표적인 예: $S_{n}$ 에서의 켤레.

저는 앞서 원소들의 켤레를 정의했지만, 이제 군에 대해서도 정의할 필요가 있습니다.

정의 17.2.1.

$G$ 를 군이라 하고, $X$ 를 $G$ 의 부분군들의 집합이라고 합시다. 그러면 켤레화는 $G$ 가 $X$ 에 작용하여 다음을 보내는 작용입니다.

H\mapsto gHg^{-1}=\left\{ghg^{-1}\mid h\in H\right\}.

$H$ 와 $K$ 가 $G$ 의 부분군이고 어떤 $g\in G$ 에 대해 $H=gKg^{-1}$ 라면 (다시 말해, 이 작용 아래 같은 궤도에 있다면), 우리는 이들을 켤레 부분군이라고 부릅니다.

우리는 어쩌면 켤레 원소들을 ”그렇게 다르다”고 여기지 않기 때문에(예를 들어, 순열군에서), 다음은 놀랍지 않을 것입니다.

질문 17.2.2.

군 $G$ 의 임의의 부분군 $H$ 에 대해, $h\mapsto ghg^{-1}$ 로 정의되는 사상 $H\to gHg^{-1}$ 가 실제로 동형사상임을 보이십시오. 이는 임의의 두 켤레 부분군이 서로 동형사상임을 함의합니다.

정의 17.2.3.

$G$ 의 임의의 부분군 $H$ 에 대해 $H$ 의 정규화군은 다음과 같이 정의됩니다.

N_{G}(H)\coloneqq\left\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\right\}.

다시 말해, 이는 켤레화 작용 아래에서 $H$ 의 안정자군입니다.

이제 증명을 제시할 준비가 되었습니다.

17.2.2 1단계: 실로우 $p$ -부분군이 존재함을 증명하기

다음은 일종의 확률론적 방법과 비슷합니다. 크기 $p^{n}$ 인 모든 부분집합의 집합 $X$ 를 한꺼번에 고려함으로써, 우리는 다음과 같은 ”심오한 수론적 사실”을 활용할 수 있습니다.

\left\lvert X\right\rvert=\binom{p^{n}m}{p^{n}}\not\equiv 0\pmod{p}.

(사실 그렇게 심오하지는 않습니다: 뤼카의 정리를 사용하십시오.)

증명은 다음과 같습니다.

•

$G$ 가 $g\cdot S\coloneqq\left\{gs\mid s\in S\right\}$ 로 $X$ 에 작용하도록 합시다.
•

크기가 $p$ 로 나누어떨어지지 않는 궤도 $\mathcal{O}$ 를 잡습니다. (이는 우리의 심오한 정수론적 사실 덕분에 가능합니다. $\left\lvert X\right\rvert$ 가 mod $p$ 로 0이 아니고 궤도들이 $X$ 를 분할하므로, 주장된 궤도가 존재해야 합니다.)
•

$S\in\mathcal{O}$ , $H=\operatorname{Stab}_{G}(S)$ 라고 합시다. 그러면 궤도-안정자군 정리에 의해 $p^{n}$ 이 $\left\lvert H\right\rvert$ 를 나눕니다.
•

두 번째 작용을 생각해봅시다: $H$ 가 $h\cdot s\coloneqq hs$ 로 $S$ 에 작용하도록 합시다 ( $H=\operatorname{Stab}_{G}(S)$ 이므로 $hs\in S$ 임을 알고 있습니다).
•

$\operatorname{Stab}_{H}(s)=\{1_{H}\}$ 임을 관찰하십시오. 그러면 두 번째 작용의 모든 궤도는 크기가 $\left\lvert H\right\rvert$ 이어야 합니다. 따라서 $\left\lvert H\right\rvert$ 는 $\left\lvert S\right\rvert=p^{n}$ 을 나눕니다.
•

이는 $\left\lvert H\right\rvert=p^{n}$ 임을 의미하며, 이로써 증명이 끝납니다.

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 켤레입니다

$P$ 가 실로우 $p$ -부분군이고 $Q$ 가 $p$ -군일 때, $Q\subseteq gPg^{-1}$ 임을 증명합니다. $Q$ 또한 실로우 $p$ -부분군이라면, 크기상의 이유로 $Q=gPg^{-1}$ 가 됨에 주목하십시오; 이는 임의의 두 실로우 부분군이 실제로 켤레임을 의미합니다.

$Q$ 가 왼쪽 곱셈으로 $P$ 의 왼쪽 잉여류들의 집합에 작용하도록 합시다. 다음을 주목하십시오

•

$Q$ 는 $p$ -군이므로, 임의의 궤도는 크기가 $1$ 이 아닌 한 $p$ 로 나누어떨어집니다.
•

그러나 왼쪽 잉여류의 개수는 $m$ 이며, 이는 $p$ 로 나누어떨어지지 않습니다.

따라서 어떤 잉여류 $g P$ 는 모든 $q$ 에 대해 고정점이 되며, 이는 모든 $q$ 에 대해 $qgP=gP$ 임을 의미합니다. 이는 모든 $q\in Q$ 에 대해 $qg\in gP$ 임과 동치이므로, 원하는 대로 $Q\subseteq gPg^{-1}$ 입니다.

17.2.4 3단계: $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 보이기

$\mathcal{S}$ 가 모든 실로우 $p$ -부분군의 집합을 나타내도록 합시다. 첫 번째 단계에 의해, 어떤 $P\in\mathcal{S}$ 가 존재합니다.

질문 17.2.4.

$\left\lvert\mathcal{S}\right\rvert$ 가 왜 $n_{p}$ 와 같습니까? (다시 말해, 깨어 있습니까?)

이제 증명을 진행할 수 있습니다. $P$ 가 켤레작용으로 $\mathcal{S}$ 에 작용하도록 합시다. 그러면:

•

$P$ 가 $p$ -군이므로, 이 작용의 궤도들은 크기가 $\{p^{0},p^{1},p^{2},\dots\}$ 안에 있습니다. 특히, 고정점의 개수는 mod $p$ 로 $n_{p}\pmod{p}$ 와 같습니다.
•

이제 $P$ 가 이 작용의 유일한 고정점임을 주장합니다.
•

$Q$ 를 임의의 다른 고정점이라 합시다, 즉 임의의 $x\in P$ 에 대해 $xQx^{-1}=Q$ 입니다.
•

정규화군 $N_{G}(Q)=\left\{g\in G\mid gQg^{-1}=Q\right\}$ 를 정의합니다. 이는 $P$ 와 $Q$ 를 모두 포함합니다.
•

이제 놀라운 부분입니다: $N_{G}(Q)$ 에 2단계를 적용합니다. $P$ 와 $Q$ 가 이것의 실로우 $p$ -부분군이므로, 이들은 켤레여야 합니다.
•

따라서 원하는 대로 $P=Q$ 입니다.

17.2.5 4단계: $n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다

$n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 이므로, $n_{p}$ 가 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눔을 보이면 충분합니다. $G$ 가 켤레작용으로 모든 실로우 $p$ -군의 집합에 작용하도록 합시다. 2단계에 의하면 이 작용은 오직 하나의 궤도만을 가지므로, 궤도-안정자군 정리에 의해 $n_{p}$ 가 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나눕니다.

17.3 (선택) 단순군과 Jordan-Hölder

대표적인 예: $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 의 분해는 $1\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}% \trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 입니다.

모든 정수가 소수의 곱으로 분해되는 것처럼, 모든 군도 “기본적인” 군의 곱으로 분해해 볼 수 있습니다. 몫군에 대한 아이디어로 무장하면, 올바른 개념은 다음과 같습니다.

정의 17.3.1.

단순군이란 자기 자신과 자명군 외에는 정규 부분군을 갖지 않는 군입니다.

질문 17.3.2.

어떤 $n$ 에 대해 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이 단순군입니까? (힌트: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이 아벨 군임을 기억하십시오.)

그다음 “군을 분해한다”는 것이 무엇을 의미하는지 정의해 볼 수 있습니다.

정의 17.3.3.

군 $G$ 의 조성열이란 다음을 만족하는 부분군 $H_{0}$ , $H_{1}$ , …, $H_{n}$ 의 수열입니다

\{1\}=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq H_{2}\trianglelefteq\dots% \trianglelefteq H_{n}=G

최대 길이입니다(즉 $n$ 이 가능한 한 크지만, 모든 $H_{i}$ 는 물론 서로 다릅니다). 조성 인자는 $H_{1}/H_{0}$ , $H_{2}/H_{1}$ , …, $H_{n}/H_{n-1}$ 군들입니다.

“최대성” 조건이 조성인자가 모두 단순군임을 함의한다는 것을 보일 수 있습니다.

두 조성열이 (순열을 제외하고) 같은 조성 인자를 가지면 동치라고 합시다; 특히 이 경우 길이도 같습니다. 그러면 다음 정리가 실제로 참이라는 것이 밝혀집니다.

정리 17.3.4 (Jordan-Hölder).

모든 유한군 $G$ 는 동치를 제외하면 유일한 조성열을 가집니다.

예제 17.3.5 ( $n=12$ 일 때의 산술의 기본 정리).

군 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 가능한 조성열이 다음과 같음을 확인하는 것은 어렵지 않습니다

	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/4\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	인자가 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 인
	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/6\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	인자 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 가지며
	$\displaystyle\{1\}\trianglelefteq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{% Z}/6\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	$\displaystyle\text{인자가 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $% \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$인}.$

이는 인수분해 $12=2^{2}\cdot 3$ 에 대응됩니다.

이는 모든 유한군이 어떤 의미에서 단순군의 “곱”이므로, 모든 유한 단순군을 분류하는 것이 큰 진전이 될 것임을 시사합니다. 유일한 문제는 구성 요소로부터 군을 만드는 방법이 여러 가지라는 것입니다.

놀랍게도, 우리는 실제로 단순군의 전체 목록을 가지고 있지만, 그 목록은 정말로 기이합니다. 모든 유한 단순군은 다음 범주 중 하나에 속합니다:

•

소수 $p$ 에 대한 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ,
•

$n\geq 5$ 일 때, $S_{n}$ 의 부분군 중 “짝” 순열로 이루어진 것,
•

리 타입의 단순군(설명하지 않겠습니다), 그리고
•

어떤 좋은 계열에도 속하지 않는 스물여섯 개의 “산발”군.

산발군 중 가장 큰 두 개는 귀여운 이름을 가지고 있습니다. 베이비 몬스터군의 위수는

2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 2% 3\cdot 31\cdot 47\approx 4\cdot 10^{33}

그리고 몬스터군(“ 프렌들리 자이언트”라고도 함)의 위수는

2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 1% 9\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71\approx 8\cdot 10^{53}.

이는 산발군 중 스무 개를 부분몫으로 포함하며(자기 자신 포함), 이 스무 개의 군을 “ 행복한 가족”이라고 부릅니다.

수학은 이상합니다.

질문 17.3.6.

“위수 $2$ 의 유한 단순군”이라는 표현이 중복임을 보이십시오. 즉, 위수 $2$ 인 군은 항상 유한하면서 동시에 단순군입니다.

17.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 17A (코시의 정리).

$G$ 를 군이라 하고 $p$ 를 $\left\lvert G\right\rvert$ 를 나누는 소수라 하십시오. $G$ 가 위수 $p$ 인 원소를 가짐을 증명¹¹1코시의 정리는 실로우 정리 없이도 증명할 수 있으며, 실제로 실로우 정리의 대안적 증명을 제공하는 데 종종 사용될 수 있습니다.하십시오.

문제 17B.

$G$ 를 유한 단순군이라 하십시오. $\left\lvert G\right\rvert\neq 56$ 임을 보이십시오.

힌트. 실로우 $2$ -군과 $7$ -군의 개수를 세고 그것들이 교차하도록 하십시오.

풀이. $|G|=56$ 이고 $G$ 가 단순군이라고 가정합시다. 실로우 $7$ -부분군을 생각해봅시다; 그 개수가 $n_{7}$ 이라면 ( $G$ 가 단순군이므로) $n_{7}>1$ 이고 $n_{7}\equiv 1\pmod{7}$ 이라고 가정할 수 있으므로 $n_{7}=8$ 입니다. 이는 $G$ 에 위수 $7$ 인 원소가 $(7-1)\cdot 8=48$ 개 있음을 의미합니다.

그러나 실로우 $2$ -부분군을 생각해봅시다. 이들은 각각 $8$ 개의 원소를 가지며, 따라서 실로우 $2$ -부분군이 정확히 하나 존재한다고 결론지을 수 있습니다. 그 부분군은 정규 부분군이므로, 모순입니다.

문제 17C (엥겔의 PSS?).

^†^†margin:

문자 $a$ 와 $b$ 로 이루어진 모든 단어의 집합을 생각해봅시다. 이러한 단어가 주어졌을 때, 주어진 단어의 어느 위치에나 $w w w$ 형태의 단어(여기서 $w$ 는 하나의 단어)를 삽입하거나 그러한 수열을 단어에서 삭제함으로써 단어를 변형할 수 있습니다. 단어 $a b$ 를 단어 $b a$ 로 바꿀 수 있습니까?

힌트. 모든 원소의 위수가 3인 비아벨 군을 구성하십시오.

풀이. 한 가지 예시는 $\mathbb{F}_{3}$ 에 성분을 가지는, 다음과 같은 형태의 $3\times 3$ 행렬들로 이루어진 군입니다: $\begin{bmatrix}1&x&y\\ &1&z\\ &&1\end{bmatrix}$ .

문제 17D.

^†^†margin:

$p$ 를 소수라 하고 $G$ 가 위수가 $p$ 의 거듭제곱인 단순군이라고 합시다. $G\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 임을 보이십시오.

힌트. 먼저, $G$ 가 아벨 군이면 자명합니다. 그렇지 않다면, $Z(G)$ 를 이 군의 중심이라고 합시다. 이는 항상 $G$ 의 정규 부분군입니다. 켤레 작용을 통한 mod $p$ 논법을 사용하십시오 (또는 류 방정식을 사용하십시오).

풀이. $G$ 를 앞서 언급한 군이라 하십시오. $G$ 가 아벨 군이면 모든 부분군이 정규 부분군이 되고, $G$ 가 단순군이므로 $G$ 는 어떠한 부분군도 가질 수 없습니다. 위수 $p$ 인 원소를 명백히 찾을 수 있으므로, $G$ 는 위수 $p$ 인 부분군을 가지며, 이는 $n=1$ 인 경우에만 일어날 수 있으므로, $G\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 입니다.

따라서 $G$ 가 아벨 군이 될 수 없음을 보이는 것으로 충분합니다. 이를 위해 유군방정식을 사용할 수도 있지만, 그 대신 직접 해보겠습니다:

그렇지 않다고 가정하고, $Z(G)=\{g\in G\mid xg=gx\;\forall x\in G\}$ 를 그 군의 중심이라고 하겠습니다. $Z(G)$ 가 $G$ 에서 정규부분군이고 $G$ 가 단순군이므로, $Z(G)=\{1_{G}\}$ 임을 알 수 있습니다. 하지만 이제 $G$ 가 켤레작용 $g\cdot x=gxg^{-1}$ 을 통해 자기 자신에 작용한다고 하겠습니다. 이는 $G$ 를 $\mathcal{O}_{0}=\{1_{G}\}$ , $\mathcal{O}_{1}$ , $\mathcal{O}_{2}$ , …와 같은 여러 궤도로 나누며, 정의상 $1_{G}$ 만이 유일한 고정점이므로 다른 모든 궤도는 크기가 $1$ 보다 큽니다. 궤도-안정자군 정리에 따르면 이제 각 궤도의 크기는 $p^{n}$ 을 나누므로, 그 크기는 모두 $p$ 로 나눈 나머지가 0이어야 합니다.

그런데 $G$ 를 분할하는 모든 궤도에 걸쳐 합을 구하면 $\left\lvert G\right\rvert\equiv 1\pmod{p}$ 를 얻게 되는데, 이는 모순입니다.

문제 17E (Athemath Community-Building Event #1, Fall 2022).

^†^†margin:

군 작용 $\cdot$ 은 군 $G$ 가 집합 $X$ 에 대해 하는 작용으로서, 다음과 같다고 합니다.

•

추이적이라 함은, 모든 $x_{1},x_{2}\in X$ 에 대해 어떤 $g$ 가 존재하여 $g\cdot x_{1}=x_{2}$ 가 성립하는 것을 말합니다;
•

충실이라 함은, $g\in G$ 중에서 $g\cdot x=x$ 가 모든 $x\in X$ 에 대해 성립하는 유일한 원소가 $g=1_{G}$ 인 경우를 말합니다. 다시 말해, 전체 집합 $X$ 에 자명하게 작용하는 유일한 원소는 $G$ 의 항등원입니다.

6개 원소로 이루어진 집합에 대한 $S_{5}$ 의 충실한 추이적 작용이 존재합니까?

풀이. 이 문제를 추가했을 때 어떤 풀이를 염두에 두었는지 기억이 나지 않습니다. https://github.com/vEnhance/napkin/pull/268#issuecomment-2767676253에 더 기술적인 풀이가 설명되어 있지만, 제가 원래 생각했던 것은 아닌 것 같습니다.

장 17 모든 군을 찾으시오

17.1 실로우 정리

정리 17.1.1 (실로우 정리).

명제 17.1.2 (소수의 삼중곱).

증명.

질문 17.1.3.

17.2 (선택) 실로우 정리 증명하기

17.2.1 정의

정의 17.2.1.

질문 17.2.2.

정의 17.2.3.

17.2.2 1단계: 실로우 p-부분군이 존재함을 증명하기

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 p-부분군은 켤레입니다

17.2.4 3단계: np≡1(modp) 보이기

질문 17.2.4.

17.2.5 4단계: np는 m을 나눕니다

17.3 (선택) 단순군과 Jordan-Hölder

정의 17.3.1.

질문 17.3.2.

정의 17.3.3.

정리 17.3.4 (Jordan-Hölder).

예제 17.3.5 (n=12일 때의 산술의 기본 정리).

질문 17.3.6.

17.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 17A (코시의 정리).

문제 17B.

문제 17C (엥겔의 PSS?).

문제 17D.

문제 17E (Athemath Community-Building Event #1, Fall 2022).

17.2.2 1단계: 실로우 $p$ -부분군이 존재함을 증명하기

17.2.3 2단계: 임의의 두 실로우 $p$ -부분군은 켤레입니다

17.2.4 3단계: $n_{p}\equiv 1\pmod{p}$ 보이기

17.2.5 4단계: $n_{p}$ 는 $m$ 을 나눕니다

예제 17.3.5 ( $n=12$ 일 때의 산술의 기본 정리).