장 60 유한체

이 짧은 장에서는 원소가 유한 개인 모든 체를 분류하고 그 갈루아 군을 계산합니다. 여기서 다루는 내용은 그다지 어렵지 않으므로 대부분의 증명은 개략만 제시합니다. 원한다면 세부 사항은 직접 확인해 보십시오.

이 장의 요점은 다음을 증명하는 것입니다.

•

유한체 $F$ 의 위수는 반드시 $p^{n}$ 꼴이며, 여기서 $p$ 는 소수이고 $n$ 은 정수입니다.
•

이 경우 $F$ 의 표수는 $p$ 입니다.
•

이러한 체는 모두 서로 동형이므로, 동형사상을 제외하고만 따진다면 위수가 $p^{n}$ 인 “그” 유한체를 $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 으로 표기하는 것이 관례입니다.
•

확대 $F/\mathbb{F}_{p}$ 는 갈루아 확대이며, $\operatorname{Gal}(F/\mathbb{F}_{p})$ 는 위수가 $n$ 인 순환군입니다. 그 생성원은 다음 자기동형사상입니다.

$\sigma\colon F\to F\quad\text{정의:}\quad x\mapsto x^{p}.$

시간이 없다면 이 결과들만 기억하고 다음 장으로 넘어가도 됩니다.

60.1 유한체의 예

본론에 들어가기 전에 몇 가지 예를 들겠습니다.

체 $F$ 의 표수란 다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $p$ 임을 상기하십시오.

\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$p$번}}=0

그러한 정수 $p$ 가 존재하지 않으면 표수는 $0$ 입니다.

예제 60.1.1 (기초체).

$\mathbb{F}_{p}$ 를 $p$ 를 법으로 하는 정수들의 체라고 합시다. 이는 원소가 $p$ 개이고 표수가 $p$ 인 체입니다.

예제 60.1.2 (원소가 아홉 개인 유한체).

다음과 같이 둡시다.

F\cong\mathbb{F}_{3}[X]/(X^{2}+1)\cong\mathbb{Z}[i]/(3).

그 원소들은

\left\{a+bi\mid 0\leq a,b\leq 2\right\}.

로 생각할 수 있습니다. $(3)$ 은 $\mathbb{Q}(i)$ 의 정수환인 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 소 아이디얼이므로, $F$ 는 원소가 $3^{2}=9$ 개인 체임을 알 수 있습니다. 이 체는 원소가 $9$ 개이지만, 모든 원소 $x$ 가 다음 성질을 갖는다는 점에 유의하십시오.

3x=\underbrace{x+\dots+x}_{\text{$3$번}}=0.

특히 $F$ 의 표수는 $3$ 입니다.

60.2 유한체의 위수는 소수의 거듭제곱입니다

보조정리 60.2.1.

체 $F$ 의 표수가 0이 아니라면, 그 표수는 반드시 소수입니다.

증명.

그렇지 않다고 가정하면, $a,b<n$ 인 $a, b$ 에 대해 $n=ab$ 입니다. 이제 다음과 같이 둡시다.

A=\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$a$번}}\neq 0

그리고

B=\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$b$번}}\neq 0.

그러면 $AB=0$ 이 되어 $F$ 가 체라는 사실에 모순됩니다. ∎

우리는 표수가 0인 체를 좋아하지만, 안타깝게도 유한체는 0이 아닌 표수를 가질 수밖에 없습니다.

보조정리 60.2.2 (유한체의 위수는 소수의 거듭제곱입니다).

$F$ 를 유한체라고 합시다. 그러면

(a)

그 표수는 0이 아니며, 따라서 어떤 소수 $p$ 입니다.
(b)

체 $F$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 유한 확대이며, 특히 $\mathbb{F}_{p}$ -벡터 공간입니다.
(c)

어떤 소수 $p$ 와 정수 $n$ 에 대해 $\left\lvert F\right\rvert=p^{n}$ 입니다.

증명.

이는 쉬우므로 아주 간단히 설명하겠습니다:

(a)

$(F,+)$ 에 라그랑주 정리(또는 비둘기집 원리!)를 적용하면 표수가 0이 아님을 얻습니다.
(b)

$1_{F}$ 로 생성되는 $(F,+)$ 의 덧셈 부분군은 $\mathbb{F}_{p}$ 와 동형인 사본입니다.
(c)

이는 체 확대이므로, $F$ 는 어떤 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 갖는 $\mathbb{F}_{p}$ 위의 유한 차원 벡터 공간입니다. 따라서 $F$ 의 원소는 $p^{n}$ 개입니다. ∎

비고 60.2.3.

(c)에 대한 재미있는 귀류법 증명도 있습니다. 소수 $q\neq p$ 가 $\left\lvert F\right\rvert$ 를 나눈다면, $(F,+)$ 에 대한 코시 정리(Footnote 1)에 의해 위수가 $q$ 인 (0이 아닌) 원소 $x$ 가 존재합니다. 그러면 명백히

x\cdot(\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$q$번}})=0

이지만 $x\neq 0$ 이므로, $F$ 의 표수도 $q$ 를 나누게 되며, 이는 불가능합니다.

위 증명에서 중요한 점은 다음과 같습니다.

보조정리 60.2.4 (유한체는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 체 확대입니다).

$\left\lvert F\right\rvert=p^{n}$ 인 유한체 $F$ 가 있으면, $F$ 안에 $\mathbb{F}_{p}$ 와 동형인 사본이 들어 있습니다. 따라서 $F$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 체 확대입니다.

앞으로 이 $\mathbb{F}_{p}$ 의 사본을 자주 언급할 것이므로, 이후에서는 다음과 같이 합니다:

표기의 남용 60.2.5.

모든 정수 $n$ 은 $F$ 의 원소로 동일시할 수 있습니다. 즉,

n\coloneqq\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$n$번}}.

(예상대로) 이는 $n\pmod{p}$ 에만 의존함에 유의하십시오.

이 표기법을 사용하면 다음과 같은 명제를 생각하기가 더 쉬워집니다.

정리 60.2.6 (신입생의 꿈).

임의의 $a,b\in F$ 에 대해 다음이 성립합니다.

(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}.

증명.

이항 정리와, $0<i<p$ 일 때 $\binom{p}{i}$ 가 $p$ 로 나누어떨어진다는 사실을 이용하십시오. ∎

연습문제 60.2.7.

이 증명이 성립함을 스스로 확인해 보십시오.

60.3 모든 유한체는 동형입니다

다음으로 “페르마의 소정리”를 증명하겠습니다:

정리 60.3.1 (유한체에서의 페르마의 소정리).

$F$ 를 위수가 $p^{n}$ 인 유한체라고 합시다. 그러면 모든 원소 $x\in F$ 는 다음을 만족합니다.

x^{p^{n}}-x=0.

증명.

$x=0$ 이면 참입니다. 그렇지 않으면 아벨 군 $(F,\times)$ 에 라그랑주 정리를 적용하여 $x^{p^{n}-1}=1_{F}$ 를 얻습니다. ∎

이제 유한체에 관한 “가장 놀라운 사실”인 다음 결과, 즉 각 크기마다 유한체가 동형사상을 제외하면 유일하게 존재한다는 결과를 증명할 수 있습니다.

정리 60.3.2 (유한체의 완전한 분류).

체 $F$ 가 $p^{n}$ 개의 원소를 갖는 유한체일 필요충분조건은 $F$ 가 $\mathbb{F}_{p}$ 위에서 $x^{p^{n}}-x$ 의 분해체인 것입니다.

증명.

“페르마의 소정리”에 의해 $F$ 의 모든 원소는 이 다항식을 만족합니다. 따라서 이 다항식의 근들이 서로 다르다는 것(즉 이 다항식이 분리 가능하다는 것)만 보이면 됩니다.

이를 위해 다시 한번 도함수 기법을 사용합니다. 이 다항식의 도함수는 다음과 같습니다.

p^{n}\cdot x^{p^{n}-1}-1=-1

이 도함수는 근을 전혀 갖지 않으므로, 이 다항식은 중근을 가질 수 없습니다. ∎

정의 60.3.3.

이러한 이유로, $p^{n}$ 개의 원소를 갖는 유일한 체를 $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 으로 표기하는 것이 관례입니다.

다항식 $x^{p^{n}}-x\pmod{p}$ 는 기약과는 거리가 멀지만, 위의 계산은 이 다항식이 분리 가능하다는 것을 보여 줍니다.

예제 60.3.4 (다시 보는 위수 9인 유한체).

다항식 $x^{9}-x$ 는 $3$ 을 법으로 분리 가능하며 다음과 같이 인수분해됩니다.

x(x+1)(x+2)(x^{2}+1)(x^{2}+x+2)(x^{2}+2x+2)\pmod{3}.

따라서 $F$ 의 위수가 $9$ 이면, 직관적으로 $F$ 는 모든 근, 즉 $0$ , $1$ , $2$ 와 $\pm i$ , $1\pm i$ , $2\pm i$ 를 첨가하여 생성된 체일 것이라고 예상할 수 있습니다. 실제로 이것이 이 장의 처음에 살펴본 예입니다.

(여기서 $i$ 는 $i^{2}=-1$ 을 만족하는 $\mathbb{F}_{9}$ 의 한 원소를 나타냅니다. 이 표기는 일부러 통상적인 허수 단위와 비슷하게 정한 것입니다.)

60.4 유한체의 갈루아 이론

이제부터는 (앞에서처럼 $F$ 대신) $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 이라는 표기를 유지합니다. 위의 정리에 의해 이는 분리 가능 다항식의 분해체이므로, $\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p}$ 가 갈루아 확대임을 압니다. 이제 갈루아 군을 구하고자 합니다.

사실 우리는 매우 운이 좋습니다. 이 군은 순환군입니다. 먼저 그러한 원소 $\sigma_{p}\in\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p})$ 하나를 제시합니다.

정리 60.4.1 ( $p$ 제곱 자기동형사상).

다음과 같이 정의된 사상 $\sigma_{p}\colon\mathbb{F}_{p^{n}}\to\mathbb{F}_{p^{n}}$ 은

\sigma_{p}(x)=x^{p}

자기동형사상이며, 더 나아가 $\mathbb{F}_{p}$ 를 고정합니다.

이것을 프로베니우스 자기동형사상이라고 하며, 나중에 장 62에서 다시 등장합니다.

증명.

이 사상은 $1$ 을 고정하고, 곱셈을 보존하며, 덧셈을 보존하므로 준동형사상입니다.

질문 60.4.2.

이 사상은 왜 덧셈을 보존합니까?

다음으로, 이 사상이 단사임을 주장합니다. 이를 확인하기 위해 다음에 주목하십시오.

x^{p}=y^{p}\iff x^{p}-y^{p}=0\iff(x-y)^{p}=0\iff x=y.

여기서 다시 한번 신입생의 꿈을 사용했습니다. $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 은 유한하므로, 이 단사 사상은 자동으로 전단사입니다. 이 사상이 $\mathbb{F}_{p}$ 를 고정한다는 사실은 페르마의 소정리입니다. ∎

이제 증명이 끝났습니다.

정리 60.4.3 (확대 $\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p}$ 의 갈루아 군).

$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이며, 그 생성원은 $\sigma_{p}$ 입니다.

증명.

$[\mathbb{F}_{p^{n}}:\mathbb{F}_{p}]=n$ 이므로 갈루아 군 $G$ 의 위수는 $n$ 입니다. 따라서 $\sigma_{p}\in G$ 의 위수가 $n$ 임을 보이기만 하면 됩니다.

$\sigma_{p}$ 를 $k$ 번 적용하면 $x\mapsto x^{p^{k}}$ 가 된다는 점에 주목하십시오. $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 의 모든 원소가 $x^{p^{n}}=x$ 를 만족하므로, $\sigma_{p}$ 를 $n$ 번 적용하면 항등사상이 됩니다. 그러나 $k<n$ 이면 $\sigma_{p}$ 를 $k$ 번 적용한 것은 항등사상일 수 없습니다. 그렇지 않으면 $x^{p^{k}}-x$ 의 근이 너무 많아지기 때문입니다. ∎

위수가 $9$ 인 유한체에서 이에 대한 예를 다시 볼 수 있습니다.

예제 60.4.4 (위수가 $9$ 인 유한체의 갈루아 군).

$\mathbb{F}_{9}$ 를 위수가 $9$ 인 유한체라 하고, 이를 $\mathbb{F}_{9}=\mathbb{Z}[i]/(3)$ 으로 구체적으로 나타냅시다. $\sigma_{3}\colon\mathbb{F}_{9}\to\mathbb{F}_{9}$ 를 $x\mapsto x^{3}$ 이라 합시다. 아홉 개 원소 모두가 어떻게 되는지 확인할 수 있습니다:

(앞서 말한 대로 $0$ , $1$ , $2$ 는 고정점이므로 이들에 대해서는 화살표를 그리지 않았습니다.) 예측한 대로 갈루아 군의 위수는 2입니다:

\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{9}/\mathbb{F}_{3})=\left\{\mathrm{id},\sigma_{3% }\right\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

이로써 이 장의 처음에 제시한 모든 결과의 증명이 끝납니다.

60.5 보충: 유한체의 곱셈군

이 절에서는 이후의 장에서 사용되지는 않지만 그 자체로 흥미로운 결과를 증명합니다.

위수가 $p=17$ 인 체 $F$ 를 생각합시다. $F$ 에 대해 다음과 같은 질문을 던져 볼 수 있습니다:

•

$F$ 에서 0이 아닌 원소 중 몇 개가 이차 잉여(즉, $F$ 의 다른 원소의 제곱으로 나타낼 수 있는 원소)입니까?
•

$F$ 에 $x^{2}=-1$ 을 만족하는 원소 $x$ 가 존재합니까?

다음 명제를 이용하면 위의 질문들은 쉬워집니다.

명제 60.5.1.

$F$ 가 유한체이면, 곱셈군 $F^{\times}$ 는 순환군입니다.

본질적으로 이 명제는 곱셈군 $F^{\times}$ 가 가능한 한 가장 좋은 구조를 가진다는 것을 말해 줍니다 — 순환군은 가장 단순한 아벨 군입니다!

위의 예들을 다시 살펴보면, 이 사실이 어떻게 도움이 되는지 알 수 있습니다.

예제 60.5.2 ( $\mathbb{F}_{17}$ 의 곱셈군).

군 $F^{\times}$ 는 위수가 $16$ 인 순환군이므로, $F$ 의 모든 원소가 다음과 같이 되는 어떤 원소 $g\in F^{\times}$ 가 존재합니다

0,g^{0}=1,g^{1},g^{2},\dots,g^{15}.

이 사실을 이용하여 0이 아닌 원소들을 제곱하면, 그 결과가 다음과 같음을 쉽게 알 수 있습니다( $g^{16}=g^{0}=1$ 임에 유의하십시오):

g^{0},g^{2},g^{4},\dots,g^{14},g^{0},g^{2},\dots,g^{14}.

따라서 $F^{\times}$ 의 원소 중 정확히 절반 — 8개의 원소 — 가 이차 잉여입니다!

$x^{2}=-1$ 을 만족하는 원소 $x$ 가 있는지 확인하는 것도 그리 어렵지 않습니다. 먼저, 수열 $\{g^{0},g^{1},\dots,g^{15}\}$ 에서 $-1$ 은 어디에 나타날 수 있습니까? $g$ 의 값을 명시적으로 구하면(예를 들어 $g=3$ 으로 잡을 수 있습니다) $g^{8}=-1$ 임을 알 수 있습니다. 그러나 명시적으로 계산하지 않더라도 다음 이유로 이를 알 수 있습니다:

질문 60.5.3.

방정식 $x^{2}=1$ 의 근은 $1$ 과 $-1$ , 단 $2$ 개뿐이라는 점에 주목하십시오. 군 $F^{\times}$ 에서의 군 연산을 이용하면, 이 방정식은 무엇을 말해 줍니까?

$g^{8}=-1$ 이므로 $(g^{4})^{2}=(g^{12})^{2}=-1$ 이고, 이로써 증명이 끝납니다.

그렇다면 이 명제는 왜 참입니까? 위수가 소수의 거듭제곱 $q$ 인 유한체 $F$ 를 생각합시다.

먼저, 위와 비슷한 아이디어를 이용하면 다음을 얻습니다:

질문 60.5.4.

임의의 양수 $d<|F^{\times}|=q-1$ 에 대하여, $x^{d}=1$ 을 만족하는 원소 $x$ 가 많아야 $d$ 개 존재함을 보이십시오.

나머지는 군론을 이용하면 쉽게 처리됩니다. 정리 18.1.5에서 보았듯이, $F^{\times}$ 는 유한 아벨 군이므로 특히 유한 생성이며, 다음 꼴로 쓸 수 있습니다.

F^{\times}\cong\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus\mathbb{Z}/q_{1}\mathbb{Z}\oplus% \mathbb{Z}/q_{2}\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}/q_{m}\mathbb{Z}.

물론 여기서는 $r=0$ 입니다.

이제 $F^{\times}$ 가 순환군이 아니라고 가정하면, 모든 $q_{i}$ 값의 최소공배수는 $|F^{\times}|$ 보다 작습니다. 그러면 모든 $x\in F^{\times}$ 에 대하여 $x^{\operatorname*{lcm}(q_{1},\dots,q_{m})}=1$ 이 되고, 이는 모순입니다.

비고 60.5.5.

법 $p$ 에 대한 이차 잉여가 정확히 $\frac{p-1}{2}$ 개 존재하는 이유에 대한 초등적인 증명을 찾아보면, 대부분의 경우 위의 증명과 비슷하게 “ $x^{d}-1$ 의 근은 많아야 $d$ 개”라는 사실을 이용하는 논증을 얻게 됩니다. 그러나 그러한 증명은 끝까지 나아가 곱셈군의 구조를 보이지 않으므로, 실제로 일어나고 있는 일의 본질을 가려 버립니다.

위의 명제는 한 걸음 더 나아갑니다 — 이제 아무런 계산 없이도, 예를 들어 유한체 $\mathbb{F}_{17^{2}}$ 에는 0이 아닌 이차 잉여가 정확히 $\frac{17^{2}-1}{2}=144$ 개 있다는 것을 알 수 있습니다.

60.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 60A (HMMT 2017).

^†^†margin:

법 $127$ 에 대한 피보나치 수열의 주기는 무엇입니까?

힌트. 피보나치 수열은 $F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$ 로 주어지며, 여기서 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 와 $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 는 $P(X)\overset{\text{정의}}{=}X^{2}-X-1$ 의 두 근입니다. 다항식 $P(X)$ 가 법 $127$ 에서 기약임을 보이십시오. 그런 다음 $P$ 의 분해체, 즉 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 에서 작업하십시오.

$F_{p}=-1$ , $F_{p+1}=0$ , $F_{2p+1}=1$ , $F_{2p+2}=0$ 임을 보이십시오. ( $P$ 의 근들에 대한 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{2}}/\mathbb{F}_{p})$ 의 작용을 살펴보십시오.)

풀이. 피보나치 수열이 다음과 같이 주어진다는 것을 상기하십시오.

$F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$

여기서 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 와 $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 는 $P(X)\coloneqq X^{2}-X-1$ 의 두 근입니다.

$p=127$ 이라 하고 법 $p$ 에서 작업합시다.

$\left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{p}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1$

이므로 $5$ 는 법 $127$ 에 대한 이차 잉여가 아님을 알 수 있습니다. 따라서 다항식 $P(X)$ 를 $\mathbb{F}_{p}[X]$ 의 다항식으로 보면 기약입니다(직관적으로, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 원소가 아닙니다). 이에 따라 우리는 $P(X)$ 의 $\mathbb{F}_{p}$ -분해체인 유한체 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 에서 작업할 것입니다. 다시 말해, $\alpha$ 와 $\beta$ 를 $\mathbb{F}_{p}$ 에 속하지 않는 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 의 원소로 해석합니다.

$t\mapsto t^{p}$ 로 주어지는 $\sigma\colon\mathbb{F}_{p^{2}}\to\mathbb{F}_{p^{2}}$ 를 $\operatorname{Gal}\left(\mathbb{F}_{p^{2}}/\mathbb{F}_{p}\right)$ 의 자명하지 않은 원소라 합시다. 다시 말해, $\sigma$ 는 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 의 항등사상이 아닌 자기동형사상입니다. $\sigma$ 의 고정점은 $\mathbb{F}_{p}$ 의 원소들이므로, 이는 $\sigma$ 가 $P$ 의 어느 근도 고정하지 않음을 뜻합니다. 따라서 다음이 성립해야 합니다.

$\displaystyle\alpha^{p}=\sigma(\alpha)$ $\displaystyle=\beta$

$\displaystyle\beta^{p}=\sigma(\beta)$ $\displaystyle=\alpha.$

이제 다음을 계산합니다.

$\displaystyle F_{p}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{p}-\beta^{p}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta-\alpha}{% \alpha-\beta}=-1.$

$\displaystyle F_{p+1}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{p+1}-\beta^{p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha\beta-% \beta\alpha}{\alpha-\beta}=0.$

$\displaystyle F_{2p+1}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+1}-\beta^{2p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha-\alpha^{2}\beta}{\alpha-\beta}=-\alpha\beta=1.$

$\displaystyle F_{2p+2}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+2}-\beta^{2p+2}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha^{2}-\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha-\beta}=0.$

결과적으로, 주기는 $2p+2$ 를 나누지만 $p+1$ 은 나누지 않아야 합니다.

이제 처음으로 정확한 수치 $p=127$ 을 사용하여, 주기가 $2p+2=256=2^{8}$ 을 나누지만 $p+1=128=2^{7}$ 은 나누지 않음을 확인합니다. (이전에는 $(5/p)=-1$ 이라는 사실만 사용하였습니다.) 따라서 주기는 정확히 $256$ 이어야 합니다.

	$\displaystyle\alpha^{p}=\sigma(\alpha)$	$\displaystyle=\beta$
	$\displaystyle\beta^{p}=\sigma(\beta)$	$\displaystyle=\alpha.$

	$\displaystyle F_{p}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{p}-\beta^{p}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta-\alpha}{% \alpha-\beta}=-1.$
	$\displaystyle F_{p+1}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{p+1}-\beta^{p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha\beta-% \beta\alpha}{\alpha-\beta}=0.$
	$\displaystyle F_{2p+1}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+1}-\beta^{2p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha-\alpha^{2}\beta}{\alpha-\beta}=-\alpha\beta=1.$
	$\displaystyle F_{2p+2}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+2}-\beta^{2p+2}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha^{2}-\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha-\beta}=0.$