장 60 유한체

이 짧은 장에서는 원소가 유한개인 모든 체를 분류하고 갈루아 군을 계산합니다. 여기 나오는 내용은 그리 어렵지 않으므로 대부분의 증명은 개요만 제시합니다. 원한다면 세부 사항을 직접 확인해 보십시오.

이 장의 요점은 다음을 증명하는 것입니다:

•

유한체 $F$ 의 위수는 반드시 $p^{n}$ 이어야 하며, 이때 $p$ 는 소수이고 $n$ 은 정수입니다.
•

이 경우 $F$ 의 표수는 $p$ 입니다.
•

이러한 모든 체는 서로 동형이므로, 동형사상까지만 신경 쓴다면 위수 $p^{n}$ 의 “유일한” 유한체를 나타내는 데 $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 이라는 표기를 관례적으로 사용합니다.
•

확장 $F/\mathbb{F}_{p}$ 는 갈루아 확장이며, $\operatorname{Gal}(F/\mathbb{F}_{p})$ 는 위수 $n$ 인 순환군입니다. 생성원은 다음의 자기동형사상입니다.

$\sigma\colon F\to F\quad\text{~{}에 의해}\quad x\mapsto x^{p}.$

급하다면 이 결과들만 기억하고 다음 장으로 넘어가도 됩니다.

60.1 유한체의 예

본격적으로 다루기 전에, 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

체 $F$ 의 표수란 다음을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $p$ 임을 상기하십시오.

\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$p$ 번}}=0

그러한 정수 $p$ 가 존재하지 않으면 $0$ 입니다.

예제 60.1.1 (기저체).

$\mathbb{F}_{p}$ 가 $p$ 를 법으로 하는 정수들의 체를 나타낸다고 합시다. 이는 원소가 $p$ 개인 체이며, 표수는 $p$ 입니다.

예제 60.1.2 (원소 아홉 개짜리 유한체).

다음과 같이 둡시다

F\cong\mathbb{F}_{3}[X]/(X^{2}+1)\cong\mathbb{Z}[i]/(3).

그 원소들을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

\left\{a+bi\mid 0\leq a,b\leq 2\right\}.

$\mathbb{Q}(i)$ 의 정수환인 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $(3)$ 이 소원소이므로, $F$ 는 그 안에 $3^{2}=9$ 개의 원소를 가진 체임을 알 수 있습니다. 이 체는 원소가 $9$ 개이지만, 모든 원소 $x$ 가 다음의 성질을 가짐에 유의하십시오.

3x=\underbrace{x+\dots+x}_{\text{$3$번}}=0.

특히 $F$ 의 표수는 $3$ 입니다.

60.2 유한체는 소수의 거듭제곱 위수를 가짐

보조정리 60.2.1.

체 $F$ 의 표수가 $0$ 이 아니라면, 그것은 소수여야 합니다.

증명.

그렇지 않다고 가정합시다. 그러면 $a,b<n$ 에 대해 $n=ab$ 입니다. 이제 다음과 같이 둡시다

A=\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$a$번}}\neq 0

그리고

B=\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$b$번}}\neq 0.

그러면 $AB=0$ 이 되어, $F$ 가 체라는 사실에 모순됩니다. ∎

표수가 $0$ 인 체를 선호하지만, 불행히도 유한체의 경우에는 표수가 $0$ 이 아닐 수밖에 없습니다.

보조정리 60.2.2 (유한체는 소수 거듭제곱 위수를 가집니다).

$F$ 를 유한체라고 합시다. 그러면

(a)

그 표수는 0이 아니며, 따라서 어떤 소수 $p$ 입니다.
(b)

체 $F$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 유한 확대이며, 특히 $\mathbb{F}_{p}$ -벡터 공간입니다.
(c)

어떤 소수 $p$ 와 정수 $n$ 에 대해 $\left\lvert F\right\rvert=p^{n}$ 입니다.

증명.

이는 쉬우므로 아주 간단히 설명하겠습니다:

(a)

$(F,+)$ 에 라그랑주 정리(또는 비둘기집 원리!)를 적용하면 표수가 0이 아님을 얻습니다.
(b)

$1_{F}$ 로 생성된 $(F,+)$ 의 덧셈 부분군은 $\mathbb{F}_{p}$ 의 동형인 사본입니다.
(c)

체 확대이므로, $F$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 어떤 기저 $e_{1},\dots,e_{n}$ 을 가집니다. 따라서 $F$ 의 원소는 $p^{n}$ 개입니다. ∎

비고 60.2.3.

(c)에 대한 재미있는 다른 증명은 모순에 의한 것입니다: 만약 소수 $q\neq p$ 가 $\left\lvert F\right\rvert$ 를 나눈다면, $(F,+)$ 에 대한 코시 정리(Footnote 1)에 의해 위수가 $q$ 인 (0이 아닌) 원소 $x$ 가 존재합니다. 그러면 명백히

x\cdot(\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$q$번}})=0

이지만, $x\neq 0$ 이므로, $F$ 의 표수 또한 $q$ 를 나누게 되는데, 이는 불가능합니다.

위 증명에서 중요한 점은

보조정리 60.2.4 (유한체는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 체 확대입니다).

$\left\lvert F\right\rvert=p^{n}$ 인 유한체 $F$ 가 있다면, $F$ 내부에 $\mathbb{F}_{p}$ 의 동형인 사본이 존재합니다. 따라서 $F$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 체 확대입니다.

앞으로 이 $\mathbb{F}_{p}$ 의 사본을 자주 참조하고자 하므로, 이후에는:

표기의 남용 60.2.5.

모든 정수 $n$ 은 $F$ 의 원소로 동일시될 수 있으며, 즉

n\coloneqq\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$n$ 번}}.

(예상대로) 이는 오직 $n\pmod{p}$ 에만 의존함에 유의하십시오.

이 표기법을 사용하면 다음과 같은 명제를 생각하기가 더 쉬워집니다.

정리 60.2.6 (신입생의 꿈).

임의의 $a,b\in F$ 에 대해 다음이 성립합니다

(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}.

증명.

이항 정리와, $0<i<p$ 일 때 $\binom{p}{i}$ 가 $p$ 로 나누어떨어진다는 사실을 사용하십시오. ∎

연습문제 60.2.7.

이 증명이 성립함을 스스로 확인해 보십시오.

60.3 모든 유한체는 동형입니다

이제 ”페르마의 소정리”를 증명해 보겠습니다:

정리 60.3.1 (유한체에서의 페르마의 소정리).

$F$ 를 위수 $p^{n}$ 인 유한체라고 합시다. 그러면 모든 원소 $x\in F$ 는 다음을 만족합니다

x^{p^{n}}-x=0.

증명.

$x=0$ 이면 자명하게 성립합니다. 그렇지 않다면, 아벨 군 $(F,\times)$ 에 라그랑주 정리를 적용하여 $x^{p^{n}-1}=1_{F}$ 를 얻습니다. ∎

이제 유한체에 관한 ”주된 놀라운 사실”, 즉 각 크기마다 동형사상까지 유일한 유한체가 존재한다는 다음 결과를 증명할 수 있습니다.

정리 60.3.2 (유한체의 완전한 분류).

체 $F$ 가 $p^{n}$ 개의 원소를 갖는 유한체인 것은 그것이 $\mathbb{F}_{p}$ 위에서 $x^{p^{n}}-x$ 의 분해체인 것과 동치입니다.

증명.

“페르마의 소정리”에 의해, $F$ 의 모든 원소는 이 다항식을 만족합니다. 따라서 우리는 이 다항식의 근들이 서로 다르다는 것(즉 그것이 분리가능하다는 것)만 보이면 됩니다.

이를 위해, 우리는 다시 미분 트릭을 사용합니다: 이 다항식의 도함수는 다음과 같습니다

p^{n}\cdot x^{p^{n}-1}-1=-1

이는 전혀 근을 갖지 않으므로, 이 다항식은 어떠한 중근도 가질 수 없습니다. ∎

정의 60.3.3.

이러한 이유로, $p^{n}$ 개의 원소를 갖는 그 체를 $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 으로 표기하는 것이 관례입니다.

다항식 $x^{p^{n}}-x\pmod{p}$ 는 결코 기약다항식이 아니지만, 위의 계산은 그것이 분리가능함을 보여줍니다.

예제 60.3.4 (아홉 개의 원소를 갖는 유한체, 다시 한번).

다항식 $x^{9}-x$ 는 법 $3$ 에 대해 분리가능하며 다음과 같이 인수분해됩니다

x(x+1)(x+2)(x^{2}+1)(x^{2}+x+2)(x^{2}+2x+2)\pmod{3}.

따라서 $F$ 가 위수 $9$ 를 갖는다면, 우리는 직관적으로 그것이 모든 근들을 첨가하여 생성된 체일 것이라 기대합니다: $0$ , $1$ , $2$ , 그리고 $\pm i$ , $1\pm i$ , $2\pm i$ . 실제로 그것이 이 장의 처음에 다루었던 예제입니다.

(여기서 $i$ 는 $i^{2}=-1$ 을 만족하는 $\mathbb{F}_{9}$ 의 한 원소를 나타냅니다. 이 표기법은 일반적인 허수 단위와 의도적으로 유사하게 되어 있습니다.)

60.4 유한체의 갈루아 이론

이제 (앞서와 같이 $F$ 대신) $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 이라는 표기법을 유지합니다. 위의 정리에 의해, 그것은 분리가능 다항식의 분해체이므로, 우리는 $\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p}$ 가 갈루아 확대임을 압니다. 우리는 갈루아 군을 구하고자 합니다.

사실, 우리는 매우 운이 좋습니다: 그것은 순환군입니다. 먼저, 우리는 그러한 원소 하나를 제시합니다: $\sigma_{p}\in\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p})$

정리 60.4.1 ( $p$ 제곱 자기동형사상).

다음과 같이 정의되는 사상 $\sigma_{p}\colon\mathbb{F}_{p^{n}}\to\mathbb{F}_{p^{n}}$ 은

\sigma_{p}(x)=x^{p}

자기동형사상이며, 더욱이 $\mathbb{F}_{p}$ 를 고정합니다.

이것은 프로베니우스 자기동형사상이라 불리며, 장 62에서 다시 등장할 것입니다.

증명.

이는 $1$ 을 고정하고, 곱셈을 보존하며, 덧셈을 보존하므로 준동형사상입니다.

질문 60.4.2.

왜 그것이 덧셈을 보존할까요?

다음으로, 우리는 그것이 단사 사상임을 주장합니다. 이를 확인하기 위해, 다음을 유의하십시오

x^{p}=y^{p}\iff x^{p}-y^{p}=0\iff(x-y)^{p}=0\iff x=y.

여기서 우리는 또다시 신입생의 꿈을 사용했습니다. $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 이 유한하므로, 이 단사 사상은 자동으로 전단사가 됩니다. 그것이 $\mathbb{F}_{p}$ 를 고정한다는 사실은 페르마의 소정리입니다. ∎

이제 우리는 끝났습니다:

정리 60.4.3 (확대 $\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p}$ 의 갈루아 군).

$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{n}}/\mathbb{F}_{p})\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 이며, 생성원은 $\sigma_{p}$ 입니다.

증명.

$[\mathbb{F}_{p^{n}}:\mathbb{F}_{p}]=n$ 이므로, 갈루아 군 $G$ 는 위수 $n$ 을 가집니다. 따라서 $\sigma_{p}\in G$ 가 위수 $n$ 을 가짐을 보이기만 하면 됩니다.

$\sigma_{p}$ 를 $k$ 번 적용하면 $x\mapsto x^{p^{k}}$ 가 됨에 주목하십시오. 따라서 $\mathbb{F}_{p^{n}}$ 의 모든 원소가 $x^{p^{n}}=x$ 를 만족하므로, $\sigma_{p}$ 를 $n$ 번 적용하면 항등원이 됩니다. 하지만 $k<n$ 이면, $\sigma_{p}$ 를 $k$ 번 적용한 것은 항등원이 될 수 없는데, 그렇지 않다면 $x^{p^{k}}-x$ 가 너무 많은 근을 가지게 되기 때문입니다. ∎

위수 $9$ 인 유한체를 통해 이러한 예를 다시 살펴볼 수 있습니다.

예제 60.4.4 (위수 $9$ 인 유한체의 갈루아 군).

$\mathbb{F}_{9}$ 를 위수 $9$ 인 유한체라 하고, 이를 $\mathbb{F}_{9}=\mathbb{Z}[i]/(3)$ 로 구체적으로 나타내겠습니다. $\sigma_{3}\colon\mathbb{F}_{9}\to\mathbb{F}_{9}$ 를 $x\mapsto x^{3}$ 라 하겠습니다. 아홉 개 원소 모두의 행방을 살펴볼 수 있습니다:

(주장한 대로, $0$ , $1$ , $2$ 는 고정점이므로 이들에 대해서는 화살표를 그리지 않았습니다.) 예상한 대로, 갈루아 군은 위수 2를 가집니다:

\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{9}/\mathbb{F}_{3})=\left\{\mathrm{id},\sigma_{3% }\right\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

이로써 이 장의 시작 부분에서 언급한 모든 결과의 증명이 마무리됩니다.

60.5 추가: 유한체의 곱셈군

이 절에서는 이후 장들에서 사용되지는 않지만 그 자체로 흥미로운 결과를 증명하겠습니다.

위수 $p=17$ 인 체 $F$ 를 생각해 봅시다. $F$ 에 대해 다음과 같은 질문을 던져 볼 수 있습니다:

•

$F$ 의 0이 아닌 원소 중 이차 잉여(즉, $F$ 의 다른 원소의 제곱으로 나타낼 수 있는 것)는 몇 개입니까?
•

$F$ 에서 $x^{2}=-1$ 을 만족하는 원소 $x$ 가 존재합니까?

다음 명제를 이용하면 위 질문들이 쉬워집니다.

명제 60.5.1.

$F$ 를 유한체라 하면, 곱셈군 $F^{\times}$ 는 순환군입니다.

본질적으로 이는 곱셈군 $F^{\times}$ 가 최대한 좋은 성질을 가진다는 것을 말해줍니다 — 순환군은 가장 단순한 아벨 군입니다!

위의 예들을 다시 살펴보면, 이러한 지식이 어떻게 도움이 되는지 알 수 있습니다.

예제 60.5.2 ( $\mathbb{F}_{17}$ 의 곱셈군).

군 $F^{\times}$ 는 위수 $16$ 의 순환군이므로, $F$ 의 모든 원소가 다음과 같이 나타나도록 하는 어떤 원소 $g\in F^{\times}$ 가 존재합니다

0,g^{0}=1,g^{1},g^{2},\dots,g^{15}.

이 지식을 이용하여 0이 아닌 원소들을 제곱해 보면, 그 결과가 다음과 같음을 쉽게 알 수 있습니다 (여기서 $g^{16}=g^{0}=1$ 임에 유의하십시오):

g^{0},g^{2},g^{4},\dots,g^{14},g^{0},g^{2},\dots,g^{14}.

이와 같이, $F^{\times}$ 의 원소 중 정확히 절반 — 8개의 원소 — 이 이차 잉여입니다!

$x^{2}=-1$ 을 만족하는 원소 $x$ 가 존재하는지 확인하는 것도 그리 어렵지 않습니다. 먼저, 수열 $\{g^{0},g^{1},\dots,g^{15}\}$ 에서 $-1$ 은 어디에 나타날 수 있습니까? $g$ 의 구체적인 값을 구해 보면 (예를 들어 $g=3$ 을 선택할 수 있습니다) $g^{8}=-1$ 임을 알 수 있습니다. 하지만 구체적인 계산 없이도 다음과 같이 알 수 있습니다:

질문 60.5.3.

방정식 $x^{2}=1$ 은 오직 $2$ 개의 근, $1$ 과 $-1$ 만을 가짐에 유의하십시오. 군 $F^{\times}$ 에서의 군 연산을 이용하면, 이 방정식은 무엇을 말해줍니까?

$g^{8}=-1$ 이므로, $(g^{4})^{2}=(g^{12})^{2}=-1$ 이고, 따라서 증명이 완료됩니다.

그렇다면 이 명제는 왜 참입니까? 위수가 소수의 거듭제곱 $q$ 인 유한체 $F$ 를 생각해 봅시다.

먼저, 위와 유사한 아이디어를 이용하면 다음을 얻습니다:

질문 60.5.4.

임의의 양의 $d<|F^{\times}|=q-1$ 에 대해, $x^{d}=1$ 을 만족하는 원소 $x$ 는 최대 $d$ 개임을 보이십시오.

나머지는 군론을 이용하여 쉽게 처리할 수 있습니다. 정리 18.1.5로부터, $F^{\times}$ 는 유한 아벨 군이므로 특히 유한 생성이고, 다음과 같은 형태로 쓸 수 있음을 상기하십시오.

F^{\times}\cong\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus\mathbb{Z}/q_{1}\mathbb{Z}\oplus% \mathbb{Z}/q_{2}\mathbb{Z}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}/q_{m}\mathbb{Z}.

물론, 여기서 $r=0$ 입니다.

이제 $F^{\times}$ 가 순환군이 아니라고 가정하면, 모든 $q_{i}$ 값의 최소공배수는 $|F^{\times}|$ 보다 작습니다. 그러면 모든 $x\in F^{\times}$ 에 대해 $x^{\operatorname*{lcm}(q_{1},\dots,q_{m})}=1$ 이 되어 모순이 발생합니다.

비고 60.5.5.

$p$ 를 법으로 하는 이차 잉여가 정확히 $\frac{p-1}{2}$ 개 존재하는 이유에 대한 초등적인 증명을 찾아본다면, 대부분의 경우 위 증명과 비슷하게 “ $x^{d}-1$ 은 근을 최대 $d$ 개 가진다”라는 논증을 얻게 되지만, 끝까지 나아가 곱셈군의 구조를 보여주지 않음으로써 실제로 무슨 일이 벌어지고 있는지의 본질을 감추게 됩니다.

위의 명제는 한 걸음 더 나아갑니다 — 이제 아무런 계산 없이도, 예를 들어 유한체 $\mathbb{F}_{17^{2}}$ 가 정확히 $\frac{17^{2}-1}{2}=144$ 개의 0이 아닌 이차 잉여를 가짐을 알 수 있습니다.

60.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 60A (HMMT 2017).

^†^†margin:

$127$ 을 법으로 한 피보나치 수열의 주기는 무엇입니까?

힌트. 피보나치 수열은 $F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$ 로 주어지며, 여기서 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 와 $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 는 $P(X)\overset{\text{정의}}{=}X^{2}-X-1$ 의 두 근입니다. 다항식 $P(X)$ 가 $127$ 을 법으로 기약임을 보이십시오. 그런 다음 $P$ 의 분해체, 즉 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 에서 작업하십시오.

$F_{p}=-1$ , $F_{p+1}=0$ , $F_{2p+1}=1$ , $F_{2p+2}=0$ 임을 보이십시오. ( $P$ 의 근에 대한 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^{2}}/\mathbb{F}_{p})$ 의 작용을 살펴보십시오.)

풀이. 피보나치 수열이 다음과 같이 주어짐을 상기하십시오.

$F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$

여기서 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 와 $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 는 $P(X)\coloneqq X^{2}-X-1$ 의 두 근입니다.

$p=127$ 이라 하고 $p$ 를 법으로 작업합니다.

$\left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{p}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1$

이므로, $5$ 가 $127$ 을 법으로 이차 잉여가 아님을 알 수 있습니다. 따라서 다항식 $P(X)$ 는 $\mathbb{F}_{p}[X]$ 의 다항식으로 볼 때 기약다항식입니다(직관적으로, $\alpha$ 와 $\beta$ 는 $\mathbb{F}_{p}$ 의 원소가 아닙니다). 따라서 우리는 유한체 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 에서 작업할 것인데, 이는 $\mathbb{F}_{p}$ 위에서 $P(X)$ 의 분해체입니다. 다시 말해, $\alpha$ 와 $\beta$ 를 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 의 원소로 해석하되, 이는 $\mathbb{F}_{p}$ 에는 속하지 않습니다.

$\sigma\colon\mathbb{F}_{p^{2}}\to\mathbb{F}_{p^{2}}$ 을 $t\mapsto t^{p}$ 로 정의하고, 이를 $\operatorname{Gal}\left(\mathbb{F}_{p^{2}}/\mathbb{F}_{p}\right)$ 의 비자명한 원소라 하겠습니다; 다시 말해, $\sigma$ 는 $\mathbb{F}_{p^{2}}$ 의 항등이 아닌 자기동형사상입니다. $\sigma$ 의 고정점이 $\mathbb{F}_{p}$ 의 원소들이므로, 이는 $\sigma$ 가 $P$ 의 두 근 중 어느 것도 고정하지 않음을 의미합니다; 따라서 다음이 성립해야 합니다

$\displaystyle\alpha^{p}=\sigma(\alpha)$ $\displaystyle=\beta$

$\displaystyle\beta^{p}=\sigma(\beta)$ $\displaystyle=\alpha.$

이제 다음을 계산합니다

$\displaystyle F_{p}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{p}-\beta^{p}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta-\alpha}{% \alpha-\beta}=-1.$

$\displaystyle F_{p+1}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{p+1}-\beta^{p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha\beta-% \beta\alpha}{\alpha-\beta}=0.$

$\displaystyle F_{2p+1}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+1}-\beta^{2p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha-\alpha^{2}\beta}{\alpha-\beta}=-\alpha\beta=1.$

$\displaystyle F_{2p+2}$ $\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+2}-\beta^{2p+2}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha^{2}-\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha-\beta}=0.$

따라서 주기는 $2p+2$ 를 나누어야 하지만 $p+1$ 은 나누지 않아야 합니다.

이제 처음으로 정확한 수치 $p=127$ 을 사용하여 주기가 $2p+2=256=2^{8}$ 을 나누지만 $p+1=128=2^{7}$ 은 나누지 않음을 확인합니다. (이전에는 $(5/p)=-1$ 이라는 사실만 사용했습니다.) 따라서 주기는 정확히 $256$ 이어야 합니다.

	$\displaystyle\alpha^{p}=\sigma(\alpha)$	$\displaystyle=\beta$
	$\displaystyle\beta^{p}=\sigma(\beta)$	$\displaystyle=\alpha.$

	$\displaystyle F_{p}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{p}-\beta^{p}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta-\alpha}{% \alpha-\beta}=-1.$
	$\displaystyle F_{p+1}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{p+1}-\beta^{p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha\beta-% \beta\alpha}{\alpha-\beta}=0.$
	$\displaystyle F_{2p+1}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+1}-\beta^{2p+1}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha-\alpha^{2}\beta}{\alpha-\beta}=-\alpha\beta=1.$
	$\displaystyle F_{2p+2}$	$\displaystyle=\frac{\alpha^{2p+2}-\beta^{2p+2}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^{2}% \alpha^{2}-\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha-\beta}=0.$