장 55 유일 인수분해 (드디어!)

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55.1 동기

디오판토스 방정식 $n=x^{2}+5y^{2}$ 에서, 주어진 $n$ 에 대한 해에 관심이 있다고 합시다. 아이디어는 $n$ 을 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 “인수분해”해 보는 것으로, 예를 들면

6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).

하지만 안타깝게도 이것은 그리 간단하지 않은데, 앞서 말했듯이 우리는 원소의 유일 인수분해를 갖지 않기 때문입니다:

6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right).

이것이 통하지 않는 한 가지 이유는 우리에게 최대공약수라는 개념이 없기 때문입니다. $(35,77)=7$ 이라고 쓸 수는 있지만, $(3,1+\sqrt{-5})$ 는 어떻게 이해해야 할까요?

요령은 아이디얼을 “일반화된 최대공약수”로 사용하는 것입니다. $(a,b)$ 라는 표기로 제가 의미하는 것은 아이디얼 $\{ax+by\mid x,y\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\}$ 임을 기억하십시오. $(35,77)=(7)$ 임을 알 수 있지만, $(3,1+\sqrt{-5})$ 는 환 안의 실제 값을 나타내지 않으므로 “단순화되지 않은” 채로 남게 됩니다. 이러한 집합(아이디얼)을 원소처럼 사용하면, 소인수분해의 완전한 이론을 전개할 수 있음이 밝혀지며, 이 장에서 바로 그것을 다룹니다.

다시 말해, 우리는 아이디얼 $(a_{1},\dots,a_{m})$ 을 사용해 $a_{1}$ , …, $a_{m}$ 의 “일반화된 최대공약수”를 해석합니다. 특히 표현하고자 하는 수 $x$ 가 있다면, 이를 그냥 $(x)$ 로 부호화합니다.

다시 $6$ 의 예로 돌아가서,

(6)=(2)\cdot(3)=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right).

실제로 $(6)$ 을 소 아이디얼로 완전히 인수분해하면 다음과 같다는 것을 제 말대로 믿어 주십시오.

(6)=(2,1-\sqrt{-5})^{2}(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}^{2}% \mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}.

실제로 $(2)=\mathfrak{p}^{2}$ , $(3)=\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ , $(1+\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ , $(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 입니다. 따라서 $6$ 은 원소로는 인수분해되지 않더라도 아이디얼로는 실제로 유일하게 인수분해됩니다.

위에서 볼 수 있듯이, 아이디얼 인수분해는 원소 인수분해보다 더 정교합니다. 아이디얼로의 인수분해를 얻고 나면, 거기서부터 원소로의 모든 인수분해를 복원할 수 있습니다. 이것의 요점은, $n$ 을 $x^{2}+5y^{2}$ 로 쓰고 싶다면 $n$ 을 아이디얼로 인수분해하기만 하면 되고, 거기서부터 원소로의 모든 인수분해를 복원할 수 있으며, 결국 $n$ 을 $x^{2}+5y^{2}$ 로 쓰는 모든 방법을 얻을 수 있다는 것입니다. 우리는 이미 $n$ 을 유리 소인수로 분해할 수 있으므로(위의 예 $6=2\cdot 3$ 처럼), 각 유리 소수 $p\mid n$ 이 어떻게 분해되는지만 알아내면 됩니다. 이를 위한 방법이 있는데, 바로 정리 55.5.4입니다! 실제로 이 특수한 경우에 그것이 무엇을 말하는지도 알려드리겠습니다:

•

만약 $t^{2}+5$ 가 $(t+c)(t-c)\pmod{p}$ 로 인수분해되면, $(p)=(p,c+\sqrt{-5})(p,c-\sqrt{-5})$ 입니다.
•

그렇지 않으면 $(p)$ 는 소 아이디얼입니다.

이 장에서는 유일 인수분해 이론을 완전히 일반적인 형태로 전개하겠습니다.

비고 55.1.1.

이 장에서는 $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ , $\mathfrak{p}$ , $\mathfrak{q}$ 라는 문자를 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼을 나타내는 데 사용하겠습니다. 분수 아이디얼이 등장할 때는 $I$ 와 $J$ 를 사용하겠습니다.

55.2 아이디얼 산술

대표적인 예: $(x)(y)=(xy)$ 이고, $(x)+(y)=(\gcd(x,y))$ 입니다. 어느 경우든 생성원의 관점에서 생각하십시오.

먼저 두 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 를 더하고 곱하는 방법을 알려드려야 합니다.

정의 55.2.1.

환 $R$ 의 두 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의합니다

	$\displaystyle\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{a+b\mid a\in\mathfrak{a},b\in\mathfrak{b}\right\}$
	$\displaystyle\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{a_{1}b_{1}+\dots+a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in\mathfrak% {a},b_{i}\in\mathfrak{b}\right\}.$

(일반적인 환에서는 무한합이 의미가 없으므로, $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$ 에서 유한 개의 항 이후로 합을 끊는다는 점에 유의하십시오.) 이것들이 실제로 아이디얼임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 정의는 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 의 생성원의 관점에서 생각하면 더 자연스럽습니다.

명제 55.2.2 (생성원을 통한 아이디얼 연산).

$\mathfrak{a}=\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right)$ 이고 $\mathfrak{b}=\left(b_{1},\dots,b_{m}\right)$ 이 환 $R$ 의 아이디얼이라고 합시다. 그러면

(a)

$\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 는 $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}$ 으로 생성되는 아이디얼입니다.
(b)

$\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$ 는 $1\leq i\leq n$ 이고 $1\leq j\leq m$ 인 $a_{i}b_{j}$ 로 생성되는 아이디얼입니다.

증명.

꽤 간단하니, 이 결과가 옳다는 것을 스스로 확인해 보십시오. ∎

다시 말해, 합에 대해서는 두 생성원 집합을 이어 붙이고, 곱에 대해서는 생성원들의 곱을 취합니다. 주 아이디얼의 경우 이는 “보통의” 곱셈과 일치한다는 점에 주목하십시오. 예를 들어

(3)\cdot(5)=(15)

$\mathbb{Z}$ 에서 말입니다.

비고 55.2.3.

아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 원소 $c$ 에 대해, 집합

c\mathfrak{a}=\left\{ca\mid a\in\mathfrak{a}\right\}

은 $(c)\cdot\mathfrak{a}$ 와 같다는 점에 주목하십시오. 따라서 “스케일링”과 “주 아이디얼을 곱하는 것”은 같은 것입니다. 이는 중요한데, 앞으로 두 개념을 서로 바꾸어 사용할 것이기 때문입니다.

비고 55.2.4.

두 아이디얼의 덧셈은 원소들의 덧셈에 대응하지 않습니다 — 예를 들어, $(4)+(6)=(4,6)=(2)$ 이지만, $4+6=10$ 입니다.

이것이 우리가 기대할 수 있는 최선입니다 — 아이디얼에 대해서는 원소들의 덧셈이 의미를 가지지 않습니다 — 예를 들어, $1+1=2$ 이고 $1+(-1)=0$ 이지만, 아이디얼로서는 $(1)=(-1)$ 입니다.

사실, 아이디얼의 덧셈은 원소들의 $\gcd$ 를 직관적으로 일반화한 것입니다 — 위의 예에서 확인할 수 있듯이, $\gcd(4,6)=2$ 입니다.

그럼에도 불구하고, $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 가 $(\mathfrak{a},\mathfrak{b})$ 와 같은 표기보다 자연스러운 표기라는 데 동의하시기를 바랍니다.

인수분해는 아이디얼들을 더하는 것이 아니라 곱하는 것을 수반하므로, 당분간은 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 라는 표기를 사용할 필요가 없을 것입니다.

마지막으로, 인수분해를 하고자 한다면 나눗셈이라는 개념이 있어야 합니다. 그래서 다음과 같이 정의합니다:

정의 55.2.5.

$\mathfrak{a}$ 가 $\mathfrak{b}$ 를 나눈다고 말하며, $\mathfrak{a}\supseteq\mathfrak{b}$ 이면 $\mathfrak{a}\mid\mathfrak{b}$ 라고 씁니다.

포함관계가 뒤집힌다는 점에 주목하십시오! 따라서 $(3)$ 은 $(15)$ 를 나누는데, 이는 $(15)$ 가 $(3)$ 에 포함되기 때문입니다. 즉, $15$ 의 모든 배수는 $3$ 의 배수입니다. 그리고 앞 절의 예시로부터: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서, $(3,1-\sqrt{-5})$ 는 $(3)$ 과 $(1-\sqrt{-5})$ 를 나눕니다.

마지막으로, 소 아이디얼은 정의 5.3.1에서와 같이 정의됩니다: $xy\in\mathfrak{p}$ 가 $x\in\mathfrak{p}$ 또는 $y\in\mathfrak{p}$ 를 함의하면 $\mathfrak{p}$ 는 소 아이디얼입니다. 이는 나눗셈의 정의와 부합합니다:

연습문제 55.2.6.

영이 아닌 진 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼인 것은, $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ 를 나눌 때마다 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{a}$ 또는 $\mathfrak{b}$ 중 하나를 나누는 것과 동치입니다.

비고 5.3.3에서 언급했듯이, 이는 또한 우리가 단원에 의한 곱셈을 무시할 수 있게 해줍니다: $(-3)=(3)$ .

55.3 데데킨트 정역

대표적인 예: 어떠한 $\mathcal{O}_{K}$ 이든 데데킨트 정역입니다.

이제 데데킨트 정역을 다음과 같이 정의합니다.

정의 55.3.1.

정역 $\mathcal{A}$ 는, 뇌터 환이고 정수적으로 닫혀 있으며 $\mathcal{A}$ 의 영이 아닌 모든 소 아이디얼이 실제로 극대 아이디얼일 때, 데데킨트 정역입니다. (마지막 조건이 중요한 조건입니다.)

비고 55.3.2.

우리는 곧 임의의 수체 $K$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 증명할 것입니다. 이는 사실 Napkin에서 우리가 사용할 유일한 경우입니다. 그러므로 ”데데킨트 정역”이라는 용어를 도입하는 것은, 우리가 실제로 다른 종류의 데데킨트 정역을 마주치게 될 것이기 때문이 아니라, 주로 유일 인수분해를 위해 $\mathcal{O}_{K}$ 의 어떤 성질들이 사용되는지 강조하기 위함입니다.

여기서 새로 정의해야 할 단어가 하나 있지만, 이를 그리 많이 사용하지는 않을 것입니다.

정의 55.3.3.

$R$ 을 정역이라 하고, $K$ 를 그 분수체라 합시다. $R$ 위의 모닉 다항식의 근이 되는 $K$ 의 원소 $a\in K$ 가 오직 $R$ 의 원소(즉 자명한 $x-r$ 다항식의 근)뿐일 때, $R$ 이 정수적으로 닫혀 있다고 합니다.

데데킨트 정역의 정의에서 흥미로운 조건은 마지막 조건입니다: 소 아이디얼과 극대 아이디얼이 동일하다는 것입니다. 다른 조건들은 그저 기술적인 사항일 뿐이지만, ”소 아이디얼은 극대 아이디얼이다”라는 조건은 실질적인 내용을 담고 있습니다.

예제 55.3.4 ( $\mathbb{Z}$ 는 데데킨트 정역입니다).

환 $\mathbb{Z}$ 는 데데킨트 정역입니다. 다음을 유의하십시오.

•

$\mathbb{Z}$ 는 (자명한 이유로) 뇌터입니다.
•

$\mathbb{Z}$ 의 분수체는 $\mathbb{Q}$ 입니다. $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 가 모닉이면, 유리근 정리에 의해 모든 유리근은 정수입니다(이는 $\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ 의 증명과 동일합니다). 따라서 $\mathbb{Z}$ 는 정수적으로 닫혀 있습니다.
•

$\mathbb{Z}$ 의 영이 아닌 소 아이디얼은 $(p)$ 이며, 이는 극대 아이디얼이기도 합니다.

우리가 관심을 갖는 경우는 인수분해를 하고자 하는 환 $\mathcal{O}_{K}$ 입니다. 이제 임의의 수체 $K$ 에 대해 환 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 보이겠습니다. 먼저, 지루한 부분부터 시작합니다.

명제 55.3.5 ( $\mathcal{O}_{K}$ 는 정수적으로 닫혀 있고 뇌터적입니다).

임의의 수체 $K$ 에 대해, 환 $\mathcal{O}_{K}$ 는 정수적으로 닫혀 있고 뇌터적입니다.

증명.

지루하지만, 완전성을 위해 여기 제시합니다.

$\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{\oplus n}$ 이므로,¹¹1정리 54.2.12에 의함. 이것이 뇌터임을 알 수 있습니다.

이제 $\mathcal{O}_{K}$ 가 정수적으로 닫혀 있음을 보이겠습니다. $\eta\in K$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 의 원소들을 계수로 갖는 어떤 다항식의 근이라고 가정합시다. 따라서

\eta^{n}=\alpha_{n-1}\cdot\eta^{n-1}+\alpha_{n-2}\cdot\eta^{n-2}+\dots+\alpha_% {0}

여기서 $\alpha_{i}\in\mathcal{O}_{K}$ 입니다. 우리는 $\eta\in\mathcal{O}_{K}$ 역시 성립함을 보이고자 합니다.

위로부터, $\mathcal{O}_{K}[\eta]$ 는 유한 생성이며… 따라서 $\mathbb{Z}[\eta]\subseteq\mathcal{O}_{K}[\eta]$ 는 유한 생성입니다. 그러므로 $\eta\in\overline{\mathbb{Z}}$ 이며, 따라서 $\eta\in K\cap\overline{\mathbb{Z}}=\mathcal{O}_{K}$ 입니다. ∎

이제 재미있는 부분을 해보겠습니다. 반복적으로 다시 등장하게 될 더 강한 결과를 증명하겠습니다.

정리 55.3.6 (중요: 소 아이디얼은 유리 소수를 나눕니다).

$\mathcal{O}_{K}$ 를 정수환이라 하고, $\mathfrak{p}$ 를 그 안의 영이 아닌 소 아이디얼이라 합시다. 그러면 $\mathfrak{p}$ 는 어떤 유리 소수 $p$ 를 포함합니다. 더욱이 $\mathfrak{p}$ 는 극대 아이디얼입니다.

구체적인 예로, $\mathbb{Z}[i]$ 안의 $(2+i)\subseteq\mathbb{Z}[i]$ 를 생각해 봅시다. 이 경우 $p=5$ 이며, $p\in(2+i)$ 이기 때문에 격자가 두 방향 모두에서 주기 $5$ 로 주기적이 됨을 알 수 있고, 이는 $\{a+bi\mid 0\leq a,b\leq 4,a,b\in\mathbb{Z}\}$ 안의 유한히 많은 점들만으로 아이디얼에 대한 모든 잉여류를 덮기에 충분함을 함의합니다.

여기서 몫이 유한함을 보이는 증명은, 다음 절에서 다룰 격자의 메시가 유한하다는 명제와 밀접하게 관련되어 있습니다.

증명.

$\mathfrak{p}$ 안의 임의의 $\alpha\neq 0$ 을 취합시다. 그 갈루아 켤레들은 대수적 정수이므로, 그들의 곱 $\operatorname{N}(\alpha)/\alpha$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 안에 있습니다(비록 각각의 켤레가 개별적으로는 $K$ 안에 있을 필요가 없더라도 말입니다). 결과적으로 $\operatorname{N}(\alpha)\in\mathfrak{p}$ 이며, 우리는 $\mathfrak{p}$ 가 어떤 정수를 포함함을 결론짓습니다.

그런 다음 $\mathfrak{p}$ 안에서 가장 작은 양의 정수를 $p$ 라고 합시다. $p$ 는 유리 소수여야 하는데, 그렇지 않다면 $\mathfrak{p}\ni p=xy$ 이므로 $x,y\in\mathfrak{p}$ 중 하나가 성립하기 때문입니다. 이것으로 첫 번째 부분이 증명됩니다.

이제 $\mathfrak{p}$ 가 극대 아이디얼임을 보이기 위해 다소 교묘한 작업을 해보겠습니다. $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 를 살펴봅시다; $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼이므로 이는 정역이어야 하지만… 우리는 이것이 실제로 유한하다고 주장합니다! 이를 위해, 우리는 $\mathcal{O}_{K}$ 위에서 곱셈을 할 수 있다는 사실을 잊습니다. $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{\oplus n}$ 이 아벨 군으로서 성립함을 상기하면, 우리는 다음과 같은 사상을 얻습니다.

{\mathbb{F}_{p}}^{\oplus n}\cong\mathcal{O}_{K}/(p)\twoheadrightarrow\mathcal{% O}_{K}/\mathfrak{p}.

따라서 $\left\lvert\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\right\rvert\leq p^{n}$ 은 유한합니다. 유한 정역은 체이므로(문제 5D) 증명이 완료됩니다. ∎

영이 아닌 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 극대 아이디얼이므로, 우리는 이제 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 알게 되었습니다. 이 교묘한 증명은 본질적으로 문제 5G의 풀이에서 영감을 받았음을 유의하십시오.

비고 55.3.7.

첫 번째 부분에 대한 대안적인 증명은 다음과 같습니다: $\mathfrak{p}$ 가 아이디얼이므로 $\alpha\cdot\mathcal{O}_{K}\subseteq\mathfrak{p}$ 이지만, $\alpha\cdot\mathcal{O}_{K}$ 는 계수 $n$ 인 자유 $\mathbb{Z}$ -가군이므로, $\mathfrak{p}$ 는 계수 $n$ 인 두 자유 $\mathbb{Z}$ -가군 사이에 끼어 있으며, 정리 18.1.5에 의해 $\mathfrak{p}$ 역시 계수 $n$ 인 자유 가군이어야 합니다. 따라서 몫은 유한하며, 그다음 보조정리 56.8.8을 사용합니다.

55.4 유일 인수분해가 성립합니다

좋습니다, 이제 말씀드리겠습니다!

유일 인수분해는 데데킨트 정역에서 완벽하게 성립합니다!

비고 55.4.1 (데데킨트 정역과 UFD의 비교).

뇌터 조건과 정수 폐포 조건을 잠시 잊는다면, 다음이 성립합니다:

•

소원소와 기약원소가 같다면, 그 정역은 원소의 유일 인수분해를 허용합니다.
•

소 아이디얼과 극대 아이디얼이 같다면, 그 정역은 아이디얼의 유일 인수분해를 허용합니다.

유사성에 주목하십시오 — 어느 경우든, 뇌터 조건은 소인수를 계속 추출할 때 유한한 시간 안에 끝난다는 것을 보장하기 위한 것에 “불과합니다”.

예제 55.4.2 ( $\mathcal{A}$ 가 정수적으로 닫혀 있지 않으면 무엇이 잘못될까요?).

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼인 $\mathcal{A}=2\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 분명히, 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼입니다.

그럼에도 불구하고, $\mathcal{A}$ 에서 $(2\cdot 3\cdot 5)=(60)$ 는 소 아이디얼이 아니며 (따라서 물론 극대 아이디얼도 아닙니다), 이를 예를 들어 $(2\cdot 3)\cdot(5)$ 로 분해할 수 없습니다.

정리 55.4.3 (소인수분해가 작동합니다).

$\mathfrak{a}$ 를 데데킨트 정역 $\mathcal{A}$ 의 0이 아닌 진 아이디얼이라 합시다. 그러면 $\mathfrak{a}$ 는 0이 아닌 소 아이디얼 $\mathfrak{p}_{i}$ 들의 유한 곱으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다,

\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\dots\mathfrak{p}% _{g}^{e_{g}}

그리고 이 인수분해는 $\mathfrak{p}_{i}$ 의 순서를 제외하면 유일합니다.

더욱이, $\mathfrak{a}$ 가 $\mathfrak{b}$ 를 나눈다는 것은 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\mathfrak{a}$ 에서 $\mathfrak{p}$ 의 지수가 $\mathfrak{b}$ 에서 그에 대응하는 지수보다 작거나 같다는 것과 동치입니다.

증명을 다 쓰지는 않겠지만, 기본적인 공략법을 설명하겠습니다. [ULL08]의 3절에서 이를 잘 설명하고 있습니다. 산술의 기본정리를 증명할 때, 기본적인 줄거리는 다음과 같았습니다:

(1)

$p$ 가 유리 소수²²2소수에 대한 유치원 수준의 정의는 “ $p$ 가 두 개의 더 작은 정수의 곱이 아니다”라는 것임에 주의하십시오. 이는 소수의 올바른 정의가 아닙니다: 소수의 정의는 $p\mid bc$ 이면 $p\mid b$ 또는 $p\mid c$ 라는 것입니다. 유치원 수준의 정의는 “기약”이라 불리는 것입니다. 다행히도, $\mathbb{Z}$ 에서는 소수와 기약원소가 같은 것이므로, 여러분의 “소수” 정의가 틀렸다고 아무도 말해주지 않았던 것입니다.라면, $p\mid bc$ 는 $p\mid b$ 또는 $p\mid c$ 를 의미함을 보이십시오. (이는 유클리드 보조정리라 불립니다.)
(2)

강한 귀납법을 사용하여 모든 $N>1$ 이 소수들의 곱으로 표현될 수 있음을 보이십시오(쉽습니다).
(3)

어떤 소수들에 대해 $p_{1}\dots p_{m}=q_{1}\dots q_{n}$ 이면(반드시 유일할 필요는 없습니다), $p_{1}=q_{i}$ 인 $i$ 가 존재함을 보이십시오. 예컨대 $q_{1}$ 이라 합시다.
(4)

양변을 $p_{1}$ 으로 나누고 귀납법을 사용하십시오.

여기서 이 증명을 반복하려고 하면 어떻게 될까요? 우리는 1단계를 공짜로 얻습니다. 왜냐하면 더 나은 ”소수”의 정의를 사용하고 있기 때문입니다. 3단계도 할 수 있는데, 이는 1단계로부터 따라 나오기 때문입니다. 그러나 2단계는 작동하지 않는데, 추상적인 데데킨트 정역에 대해서는 크기라는 개념이 실제로 없기 때문입니다. 그리고 4단계도 작동하지 않는데, 아직 소 아이디얼의 역원이 무엇인지에 대한 개념이 없기 때문입니다.

그런데 실제로는 아이디얼의 역원 $\mathfrak{a}^{-1}$ 를 정의할 수 있으며, 이 장이 끝날 때까지 그렇게 할 것입니다. 그러면 $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{a}^{-1}=(1)=\mathcal{A}$ 임을 확인해야 합니다. 사실 이것조차 쉽지 않습니다. 먼저 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 이것이 참임을 확인하고, 그런 다음 소인수분해를 증명하고, 그다음에 이것이 참임을 증명해야 합니다. 더욱이 $\mathfrak{a}^{-1}$ 는 실제로는 아이디얼이 아니므로, $\mathcal{A}$ 대신 분수체 $K$ 에서 작업해야 합니다.

그러므로 새로운 상황에서의 주요 단계들은 다음과 같습니다.

(1)

먼저, 모든 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 가 유한한 소수들의 모임 $\mathfrak{p}_{1}\dots\mathfrak{p}_{g}$ 를 나눔을 보이십시오. (이는 초른의 보조정리의 응용입니다.)
(2)

$\mathfrak{p}^{-1}$ 를 정의하고 $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=(1)$ 임을 보이십시오.
(3)

인수분해가 존재함을 보이십시오(다시 초른의 보조정리를 사용합니다).
(4)

우리가 정의한 새로운 역원을 사용하여 그것이 유일함을 보이십시오.

마지막으로, $\mathcal{A}$ 가 (예를 들어 $\mathbb{Z}$ 와 같은) 주 아이디얼 정역(PID)인 경우 이것이 얼마나 멋진지 언급하겠습니다. 그러면 모든 원소 $a\in\mathcal{A}$ 는 아이디얼 $(a)$ 와 직접 대응됩니다. 이제 $(a)$ 가 아이디얼들의 곱 $\mathfrak{p}_{i}=(p_{i})$ 로 인수분해된다고 가정해봅시다.

(a)=(p_{1})^{e_{1}}(p_{2})^{e_{2}}\dots(p_{n})^{e_{n}}.

이는 문자 그대로

a=up_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{n}^{e_{n}}

으로 읽히며, 여기서 $u$ 는 어떤 단원입니다(정의 4.4.1을 상기하십시오). 따라서 PID인 데데킨트 정역은 $\mathbb{Z}$ 에서와 마찬가지로 원소들에 대한 유일 인수분해를 만족합니다. (사실 이것의 역도 참입니다.)

55.5 인수분해 알고리즘

이차체(quadratic field)에서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 이면 다음과 같음을 기억하십시오.

\mathcal{O}_{K}=\begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{d}]&d\equiv 2,3\pmod{4}\\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]&d\equiv 1\pmod{4}.\end{cases}

또한 $a+b\sqrt{-d}$ 의 노름은 $a^{2}+db^{2}$ 로 주어짐을 기억하십시오.

예제 55.5.1 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 의 정수환에서 $6$ 을 인수분해하기).

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로부터 나오는 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 를 생각합시다. 우리는 이미

(6)=(2)\cdot(3)=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)

그리고 이 주 아이디얼들로는 더 이상 나아갈 수 없습니다. 하지만 다음과 같이 둡시다.

\mathfrak{p}=\left(1+\sqrt{-5},2\right)=\left(1-\sqrt{-5},2\right)\quad\text{그% 리고}\quad\mathfrak{q}_{1}=(1+\sqrt{-5},3),\;\mathfrak{q}_{2}=(1-\sqrt{-5},3).

그러면 $(6)=\mathfrak{p}^{2}\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ 임이 밝혀집니다. 더 구체적으로는 $(2)=\mathfrak{p}^{2}$ , $(3)=\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ 이며, $(1+\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ 이고 $(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 입니다. (증명은 곧 하겠습니다.)

우리의 모든 아이디얼이 $\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 계산된다는 점을 강조하고 싶습니다. 예를 들어,

(2)=\left\{2x\mid x\in\mathcal{O}_{K}\right\}.

이 예에서 $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼/극대 아이디얼임을 어떻게 알 수 있을까요? (다시 말하지만, 우리는 데데킨트 정역에 있으므로 이 둘은 같습니다.) 답: $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 를 살펴보고 그것이 체인지 확인하십시오. 여기에는 요령이 있습니다: 우리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+5).

따라서 그것을 $\mathfrak{p}$ 로 나눈 나머지를 취하면, 다음을 얻습니다.

\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}=\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+5,2,1+x)\cong\mathbb{F}_{2}[% x]/(x^{2}+5,x+1)

환으로서.

질문 55.5.2.

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\cong\mathbb{F}_{2}$ 임을 결론짓고, $\mathfrak{q}_{1}$ 과 $\mathfrak{q}_{2}$ 또한 극대 아이디얼임을 스스로 확인해 보십시오.

아이디얼 곱셈의 명시적인 예를 하나 들어야겠습니다. 다음을 계산해봅시다.

	$\displaystyle\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$	$\displaystyle=\left((1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),3(1+\sqrt{-5}),3(1-\sqrt{-5}),9\right)$
		$\displaystyle=\left(6,3+3\sqrt{-5},3-3\sqrt{-5},9\right)$
		$\displaystyle=\left(6,3+3\sqrt{-5},3-3\sqrt{-5},3\right)$
		$\displaystyle=(3)$

여기서 우리는 먼저 $9-6=3$ 을 계산했고(유클리드 알고리즘을 떠올리십시오!), 그다음 다른 모든 생성원들이 $3$ 으로 이미 가진 것 외에 아무것도 기여하지 않음을 확인했습니다(이 아이디얼들 역시 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 계산된 것입니다). $\mathfrak{p}^{2}$ , $\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ , $\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 에 대해서도 같은 방식으로 계산할 수 있습니다.

마지막으로, 어떤 $x$ 에 대해서도 $\mathfrak{p}\neq(x)$ 임을, 즉 $\mathfrak{p}$ 가 주 아이디얼이 아님을 빠르게 확인해볼 가치가 있습니다. 모순을 위해 그렇다고 가정합시다. 그러면 $x$ 는 $1+\sqrt{-5}$ 와 $2$ 를 모두 나누는데, 이는 어떤 $\alpha_{1},\alpha_{2}\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 $1+\sqrt{-5}=\alpha_{1}x$ 이고 $2=\alpha_{2}x$ 라는 의미입니다. (주 아이디얼은 정확히 $x$ 의 ”배수”들이므로 $(x)=x\mathcal{O}_{K}$ 입니다.) 노름을 취하면, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(x)$ 가 다음 둘을 모두 나눔을 알 수 있습니다.

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(1+\sqrt{-5})=6\quad\text{그리고}\quad% \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(2)=4.

$\mathfrak{p}\neq(1)$ 이므로 $x$ 는 단원일 수 없으며, 따라서 그 노름은 $2$ 여야 합니다. 그러나 $\mathcal{O}_{K}$ 에는 노름이 $2=a^{2}+5b^{2}$ 인 원소가 존재하지 않습니다.

예제 55.5.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{-17})$ 의 정수환에서 $3$ 을 인수분해하기).

$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-17}]$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-17})$ 로부터 나온다고 합시다. 우리는 $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+17)$ 임을 알고 있습니다. 이제

\mathcal{O}_{K}/3\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}[x]/(3,x^{2}+17)\cong\mathbb{F}% _{3}[x]/(x^{2}-1).

이는 이미 $(3)$ 이 소(즉 극대) 아이디얼이 될 수 없음을 보여주는데, 그렇지 않다면 우리의 결과가 체(field)여야 하기 때문입니다. 어쨌든 우리는 다음과 같은 사영을 갖습니다.

\mathcal{O}_{K}\twoheadrightarrow\mathbb{F}_{3}[x]/\left((x-1)(x+1)\right).

$\mathfrak{q}_{1}$ 을 그 상(image)에서 $(x-1)$ 의 원상(pre-image)이라 합시다. 즉,

\mathfrak{q}_{1}=(3,\sqrt{-17}-1).

마찬가지로,

\mathfrak{q}_{2}=(3,\sqrt{-17}+1).

우리는 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{q}_{1}\cong\mathbb{F}_{3}$ 임을 알고 있으므로, $\mathfrak{q}_{1}$ 은 극대(소) 아이디얼입니다. 마찬가지로 $\mathfrak{q}_{2}$ 도 소 아이디얼입니다. 신기하게도, 다음을 명시적으로 확인할 수 있습니다.

\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}=(3).

따라서 이것이 $(3)$ 의 소 아이디얼로의 인수분해입니다.

$\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}=(3)$ 이라는 사실은 신기해 보이지만, 실제로 참입니다.

	$\displaystyle\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$	$\displaystyle=(3,\sqrt{-17}-1)(3,\sqrt{-17}+1)$
		$\displaystyle=(9,3\sqrt{-17}+3,3\sqrt{-17}-3,18)$
		$\displaystyle=(9,3\sqrt{-17}+3,6)$
		$\displaystyle=(3,3\sqrt{-17}+3,6)$
		$\displaystyle=(3).$

사실 이것은 일반적으로 항상 성립하는 것으로 밝혀졌습니다. 유리 소수 $p$ 가 주어지면, $\mathbb{Z}[\theta]$ 형태의 임의의 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $p$ 를 인수분해하는 알고리즘이 존재합니다.

정리 55.5.4 (소인수분해 알고리즘 / 데데킨트-쿠머 정리).

$K$ 를 대수적 수체라 합시다. $\theta\in\mathcal{O}_{K}$ 가 $|\mathcal{O}_{K}/\mathbb{Z}[\theta]|=j<\infty$ 를 만족한다 하고, $p$ 를 $j$ 를 나누지 않는 소수라 합시다. 그러면 $(p)=p\mathcal{O}_{K}$ 는 다음과 같이 인수분해됩니다:

$f$ 를 $\theta$ 의 최소다항식이라 하고, $\overline{f}$ 를 법 $p$ 로 다음과 같이 인수분해합시다

$\overline{f}\equiv\prod_{i=1}^{g}(\overline{f}_{i})^{e_{i}}\pmod{p}.$

그러면 각 $i$ 에 대해 $\mathfrak{p}_{i}=(f_{i}(\theta),p)$ 는 소 아이디얼이며, $(p)$ 의 인수분해는 다음과 같습니다

$\mathcal{O}_{K}\supseteq(p)=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}}.$

특히, $K$ 가 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 인 단생성체(monogenic)라면 $j=1$ 이며, 이 정리는 모든 소수 $p$ 에 대해 적용됩니다.

이 책의 거의 모든 응용에서 $K$ 는 단생성체, 즉 $j=1$ 일 것입니다. 여기서 $\overline{\psi}$ 는 다항식 $\psi\in\mathbb{Z}[x]$ 가 $\mathbb{F}_{p}[x]$ 에서 갖는 상을 나타냅니다.

질문 55.5.5.

우리가 선택할 수 있는 원상 $f_{i}$ 는 여러 가지가 있을 수 있습니다 (예를 들어 $\overline{f_{i}}=x^{2}+1\pmod{3}$ 이라면, $f_{i}=x^{2}+3x+7$ 을 선택할 수도 있습니다.) 이것이 $\mathfrak{p}_{i}$ 의 값에 영향을 주지 않는 이유는 무엇입니까?

앞서 우리는 특정한 경우에 대해 이 인수분해가 성립하는지 확인할 수 있었음에 유의하십시오. 이것이 성립한다는 증명도 이와 거의 같지만, 아이디얼 노름이라는 도구가 하나 더 필요합니다. 그 이후에는 이 명제를 문제 55E로 남겨둡니다.

이 알고리즘은 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 인 임의의 단생성 대수적 수체에서 $(p)$ 의 소인수분해를 계산하는 구체적인 방법을 제공합니다. 그 절차를 요약하면 다음과 같습니다:

1.

$\theta$ 의 최소다항식을 구하고, 이를 $f\in\mathbb{Z}[x]$ 라 합시다.
2.

$f$ 를 법 $p$ 로 기약다항식들 ${\overline{f}_{1}}^{e_{1}}{\overline{f}_{2}}^{e_{2}}\dots\overline{f}_{g}^{e_{% g}}$ 로 인수분해합니다.
3.

각 $i$ 에 대해 $\mathfrak{p}_{i}=(f_{i}(\theta),p)$ 를 계산합니다.

그러면 $(p)=\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\dots\mathfrak{p}_{g}^{e_{g}}$ 입니다.

혹은 더 짧게:

$\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 에서 $p$ 를 인수분해하는 대신, $\mathbb{Z}[x]/(p)$ 에서 $f(x)$ 를 인수분해할 수 있습니다.

두 방법 모두 $\mathbb{Z}[x]/(f(x),p)$ 에서 $0$ 을 인수분해하는 것과 동치입니다 — 다시 말해, $\mathbb{Z}[x]/(f(x),p)$ 를 $\mathbb{Z}[x]$ -가군의 직합으로 쓰는 것입니다.

연습문제 55.5.6.

위의 알고리즘을 사용하여 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $(29)$ 를 인수분해하십시오.

55.6 분수 아이디얼

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 유사물로, 아이디얼의 역원을 취할 수 있게 해줍니다. 소인수분해가 가장 좋은 방식으로 작동합니다.

이제 정수를 인수분해하는 것과 마찬가지로 $\mathcal{A}$ 의 아이디얼을 인수분해하는 깔끔한 이론을 갖추었습니다. 이제 $\mathbb{Z}$ 의 인수분해가 자연스럽게 $\mathbb{Q}$ 의 원소를 인수분해하는 방법을 제공한다는 점에 주목하십시오. 분자와 분모를 각각 인수분해하면 됩니다.

유사성을 더 명확히 해봅시다. 유리수의 유사물은 다음과 같습니다.

정의 55.6.1.

$\mathcal{A}$ 를 분수체 $K$ 를 갖는 데데킨트 정역이라 합시다. $K$ 의 분수 아이디얼 $J$ 란 다음과 같은 형태의 집합입니다

J=\frac{1}{x}\cdot\mathfrak{a}\quad\text{여기서 $x\in\mathcal{A}$이고, $\mathfrak{a% }$는 정수 아이디얼입니다.}

강조를 위해, $\mathcal{A}$ 의 아이디얼을 때때로 정수 아이디얼이라 부르기도 합니다.

이 정의가 다소 의외라고 느껴질 수도 있습니다: 분수 아이디얼이 어떤 정수 아이디얼 $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ 에 대해 $\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}$ 의 형태여야 한다고 예상할 법도 합니다. 하지만 실제로는 분모에 $x\in\mathcal{A}$ 만 있으면 충분합니다. 이는 우리가 $\mathcal{O}_{K}$ 를 살펴볼 때, 정수 분모만 있으면 충분하다는 것을 발견했던 것과 같은 유비입니다: $\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{1}{13}(4+\sqrt{3})$ . 이와 마찬가지로 여기서도 $\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}$ 대신 $\frac{1}{x}\cdot\mathfrak{a}$ 만 살펴보면 충분하다는 것이 밝혀질 것이며, 그래서 처음부터 이런 식으로 정의합니다. 다른 동치인 정의는 문제 55D를 참고하십시오.

예제 55.6.2 ( $\frac{5}{2}\mathbb{Z}$ 는 분수 아이디얼입니다).

집합

\frac{5}{2}\mathbb{Z}=\left\{\frac{5}{2}n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}=\frac{1}{% 2}(5)

은 $\mathbb{Z}$ 의 분수 아이디얼입니다.

이제 앞서 규정한 대로, 분수 아이디얼은 곱셈에 대한 군을 이룹니다:

정리 55.6.3 (분수 아이디얼은 군을 이룹니다).

$\mathcal{A}$ 를 데데킨트 정역이라 하고 $K$ 를 그 분수체라 합시다. 임의의 정수 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 에 대해, 집합

\mathfrak{a}^{-1}=\left\{x\in K\mid x\mathfrak{a}\subseteq(1)=\mathcal{A}\right\}

은 $\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=(1)$ 을 만족하는 분수 아이디얼입니다.

(이 결과는 자명하지 않습니다. $\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=(1)$ 을 증명하는 한 가지 방법은, 먼저 $\mathfrak{a}$ 가 소 아이디얼인 경우에 대해 증명한 다음, $\mathfrak{a}$ 의 소 아이디얼로의 분해를 고려하는 것입니다.)

정의 55.6.4.

따라서 $K$ 의 0이 아닌 분수 아이디얼들은 항등원 $(1)=\mathcal{A}$ 를 갖는 곱셈 군을 이룹니다. 이 아이디얼 군은 $J_{K}$ 로 표기합니다.

예제 55.6.5 ( $\mathbb{Z}$ 에서의 $(3)^{-1}$ ).

$\mathbb{Z}$ 에서 다음이 성립함을 확인해 보십시오

(3)^{-1}=\left\{\frac{1}{3}n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}=\frac{1}{3}\mathbb{Z}.

이로부터 모든 분수 아이디얼 $J$ 는 다음과 같이 유일하게 표현될 수 있음이 따라옵니다

J=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}^{n_{i}}\cdot\prod_{i}\mathfrak{q}_{i}^{-m_{i}}

여기서 $n_{i}$ 와 $m_{i}$ 는 양의 정수입니다. 실제로 $\mathfrak{a}$ 가 정수 아이디얼인 것은, 정수의 경우와 마찬가지로, 그 모든 지수가 음이 아닌 경우와 동치입니다. 그러므로 분수 아이디얼을 생각하는 아마도 더 나은 방법은, 음의 지수를 가질 수도 있는 소 아이디얼들의 곱으로 보는 것입니다.

55.7 아이디얼 노름

마지막 도구는 아이디얼 노름으로, 이는 아이디얼의 ”크기”에 대한 개념을 제공합니다.

정의 55.7.1.

0이 아닌 아이디얼 $\mathfrak{a}\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼 노름(또는 절대 노름)은 $|\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{a}|$ 로 정의되며 $\operatorname{N}(\mathfrak{a})$ 로 표기합니다.

예제 55.7.2 (가우스 정수에서 $(5)$ 의 아이디얼 노름).

$K=\mathbb{Q}(i)$ , $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 라 합시다. $\mathcal{O}_{K}$ 에서의 아이디얼 $(5)$ 를 생각해 봅시다. 다음이 성립합니다

\mathcal{O}_{K}/(5)\cong\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\}

따라서 $(5)$ 는 아이디얼 노름 $25$ 를 가지며, 이는 $\mathcal{O}_{K}/(5)$ 가 $5^{2}=25$ 개의 원소를 가진다는 사실에 대응됩니다.

예제 55.7.3 (가우스 정수에서 $(2+i)$ 의 아이디얼 노름).

\mathcal{O}_{K}/(2+i)\cong\mathbb{F}_{5}

임을 알 수 있는데, 이는 $2+i$ 를 법으로 할 때 $5\equiv 0$ 이고 $i\equiv-2$ 이기 때문입니다. (실제로 $(2+i)$ 가 소 아이디얼이므로 체를 얻는 것이 당연합니다!) 따라서 $\operatorname{N}\left((2+i)\right)=5$ 이며, 마찬가지로 $\operatorname{N}\left((2-i)\right)=5$ 입니다.

따라서 아이디얼 노름은 그 아이디얼이 얼마나 ”여유로운지”를 측정합니다: 즉, $(5)$ 는 $\mathbb{Z}$ 에서보다 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 훨씬 더 넓게 퍼져 있습니다. (이 직관은 나중에 $\mathcal{O}_{K}$ 를 실제로 격자로 볼 때 중요해질 것입니다.)

질문 55.7.4.

아이디얼 노름이 1인 아이디얼은 무엇입니까?

$(5)$ 를 이용한 우리의 예시는 아이디얼 노름의 여러 성질을 시사하는데, 이는 실제로 참임이 밝혀집니다:

보조정리 55.7.5 (절대 노름의 성질).

$\mathfrak{a}$ 를 $\mathcal{O}_{K}$ 의 0이 아닌 아이디얼이라 합시다.

(a)

$\operatorname{N}(\mathfrak{a})$ 는 유한합니다.
(b)

다른 임의의 영이 아닌 아이디얼 $\mathfrak{b}$ 에 대해, $\operatorname{N}(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=\operatorname{N}(\mathfrak{a})% \operatorname{N}(\mathfrak{b})$ 입니다.
(c)

$\mathfrak{a}=(a)$ 가 주 아이디얼이면, $\operatorname{N}(\mathfrak{a})=|\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)|$ 입니다.

아쉽게도 이 성질들을 증명하지는 않겠지만, $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 증명할 때 이미 (a)를 증명했습니다.

원소의 노름의 경우와 마찬가지로, 아이디얼 노름 또한 기하학적 해석을 가집니다: $\mathfrak{a}=(a)$ 일 때 $\mu_{a}$ 를 $a$ -곱하기 사상이라 하면, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)=|\det\mu_{a}|$ 는 $K$ 를 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간으로 볼 때 $\mu_{a}$ 아래에서 $K$ 가 얼마나 늘어나는지를 측정한다는 것을 상기하십시오.

연습문제 55.7.6.

$\mu_{a}(\mathcal{O}_{K})\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 이면, $|\mathcal{O}_{K}/a\mathcal{O}_{K}|$ 가 정확히 $|\det\mu_{a}|$ 와 같음을 스스로 확인해 보십시오.

이는 왜 $\operatorname{N}(\mathfrak{a})=|\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)|$ 인지를 설명해 주지만, $\mathfrak{a}=(a)=(-a)$ 이므로 $\mathfrak{a}$ -곱하기 사상이 유일할 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

$\operatorname{N}$ 이 완전히 곱셈적이라는 사실 덕분에, 자연스러운 확장을 통해 분수 아이디얼 $J$ 의 노름도 생각할 수 있습니다

J=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}^{n_{i}}\cdot\prod_{i}\mathfrak{q}_{i}^{-m_{i}}% \quad\implies\quad\operatorname{N}(J)\coloneqq\frac{\prod_{i}\operatorname{N}(% \mathfrak{p}_{i})^{n_{i}}}{\prod_{i}\operatorname{N}(\mathfrak{q}_{i})^{m_{i}}}.

따라서 $\operatorname{N}$ 은 $J_{K}\to\mathbb{Q}^{\times}$ 인 자연스러운 군 준동형사상입니다.

55.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 55A.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-13})$ 일 때, $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $77$ 의 서로 다른 인수분해가 세 가지 존재함을 보이십시오.

문제 55B.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 라 하고, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ 임을 주어진 것으로 받아들이십시오. $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $(5)$ 의 인수분해를 구하십시오.

문제 55C (페르마의 소정리).

$\mathfrak{p}$ 를 어떤 정수환 $\mathcal{O}_{K}$ 의 소 아이디얼이라 하십시오. $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 다음을 보이십시오,

\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}\equiv\alpha\pmod{\mathfrak{p}}.

힌트. 보통의 페르마의 소정리의 증명을 그대로 따라 해 보십시오.

풀이. $\alpha\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 이면 자명하므로, 그렇지 않은 경우를 가정합니다. 그러면 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 는 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})$ 개의 원소를 갖는 유한체입니다. $(\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})^{\ast}$ 를 살펴보면, 이는 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})-1$ 개의 원소를 갖는 곱셈군이므로, $\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})-1}\equiv 1\pmod{\mathfrak{p}}$ 이며, 원하는 결과를 얻습니다.

문제 55D.

$\mathcal{A}$ 를 분수체 $K$ 를 갖는 데데킨트 정역이라 하고, $J\subseteq K$ 를 택하십시오. $J$ 가 분수 아이디얼인 것과 다음이 동치임을 보이십시오

(i)

$J$ 가 덧셈 및 $\mathcal{A}$ 의 원소에 의한 곱셈에 대해 닫혀 있고, 또한
(ii)

$J$ 가 아벨 군으로서 유한 생성됩니다.

더 간결하게 말하면: $J$ 가 분수 아이디얼인 것 $\iff$ $J$ 가 유한 생성 $\mathcal{A}$ -가군인 것입니다.

힌트. 분모를 없애십시오!

풀이. $J$ 가 $K$ 의 몇몇 원소들에 의해 생성된다고 가정합시다; 이들을 $\alpha_{i},\beta_{i}\in\mathcal{A}$ 에 대해 $\frac{\beta_{i}}{\alpha_{i}}$ 로 쓸 수 있습니다. 따라서

$J=\left\{\sum_{i}\gamma_{i}\cdot\frac{\beta_{i}}{\alpha_{i}}\mid\alpha_{i},% \beta_{i},\gamma_{i}\in\mathcal{O}_{K}\right\}.$

이제 ”분모를 없애 봅시다”. $\alpha=\alpha_{1}\dots\alpha_{n}$ 이라 두고, $\alpha J$ 가 정수 아이디얼임을 보이십시오.

문제 55E.

정리 55.5.4의 표기법에서, $I=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}}$ 라 하십시오. 간단히 하기 위해 $K$ 가 단생성이어서 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 라고 가정합니다.

(a)

각 $\mathfrak{p}_{i}$ 가 소 아이디얼임을 증명하십시오.
(b)

$(p)$ 가 $I$ 를 나눈다는 것을 보이십시오.
(c)

노름을 사용하여 $(p)=I$ 임을 보이십시오.

힌트. (a)는 간단합니다. (b)의 경우 $p$ 를 법으로 하여 계산하십시오. (c)의 경우 노름을 사용하십시오.

풀이. (a) 부분에서, $\mathfrak{p}_{i}$ 가 소 아이디얼인 이유는 단지 다음이

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}_{i}\cong(\mathbb{Z}[x]/f)/(p,f_{i})\cong\mathbb{F% }_{p}[x]/(f_{i})$

체이기 때문이며, 이는 $f_{i}$ 가 기약이기 때문입니다.

(b)를 확인해 봅시다. $p$ 를 법으로 하여 곱을 계산하면 다음을 얻습니다³³3예를 들어, $(3,1+\sqrt{7})(3,1-\sqrt{7})$ 이 $(3)$ 에 포함됨을 알고 싶다고 합시다. 전체 계산을 수행하여 $(9,3+3\sqrt{7},3-3\sqrt{7},6)$ 을 얻을 수 있습니다. 하지만 모든 원소가 $3$ 으로 나누어떨어진다는 사실만 필요하다면, 처음부터 “ $3$ 을 법으로 하여” $(1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=(6)$ 만 살펴보아도 충분합니다. 나머지 곱들은 모두 명백히 $3$ 의 인수를 가질 것입니다.

$\prod_{i=1}^{g}(f_{i}(\theta))^{e_{i}}\equiv(f(\theta))\equiv 0\pmod{p}$

따라서 $I\subseteq(p)$ 임을 보였습니다.

마지막으로, 크기 논증을 통해 (c)를 증명합니다. 핵심 아이디어는 $I$ 와 $(p)$ 가 실제로 같은 크기를 가져야 한다는 것이며, 이를 정확히 확인하기 위해 아이디얼 노름을 사용할 것입니다. $(p)$ 가 $I$ 를 나누므로, $(p)=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}^{\prime}}$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 각 $i$ 에 대해 $e_{i}^{\prime}\leq e_{i}$ 입니다. $\mathcal{O}_{K}/(p)\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]/(f)$ 의 크기가 $p^{\deg f}$ 임에 주목하십시오. 마찬가지로, 각 $i$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}_{i}$ 의 크기는 $p^{\deg f_{i}}$ 입니다. 이제 $e_{i}^{\prime}$ 를 사용하여 $\operatorname{N}((p))$ 를 계산하고 결과를 비교하십시오.

문제 55F (USEMO 2025).

^†^†margin:

$k$ 를 $6$ 으로 나누어떨어지지 않는 양의 정수라 합시다. $p$ 가 $2025^{k}-1$ 과 $2026^{k}-1$ 을 모두 나누는 소수 $p$ 가 존재한다고 가정합시다. $p<3^{k}$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\omega$ 를 $k$ 차 단위근이라 합시다. $\mathfrak{p}$ 를 $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 의 정수환에서 $p$ 위에 있는 임의의 소 아이디얼이라 합시다. $2025-\omega^{i}$ 와 $2026-\omega^{j}$ 가 $\mathfrak{p}$ 에 속하는 지표 $i$ 와 $j$ 가 존재함을 보이십시오. 그런 다음 $1+\omega^{i}-\omega^{j}$ 가 $0$ 이 아니며 노름이 $3^{k}$ 이하임을 보이십시오.

풀이. 앞서와 같이, $\omega\coloneq e^{\frac{2i\pi}{k}}$ 로 둡시다. $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 라 하고, $p\mathbb{Z}$ 위에 있는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 를 선택합시다.

다음을 알고 있습니다

$\prod_{i=0}^{k-1}(2025-\omega^{i})=2025^{k}-1\in(p)\subseteq\mathfrak{p}$

그리고 $\mathfrak{p}$ 는 소 아이디얼이므로, 어떤 $i$ 에 대해 $2025-\omega^{i}\in\mathfrak{p}$ 임을 알 수 있습니다. 마찬가지로 어떤 $j$ 에 대해 $2026-\omega^{j}\in\mathfrak{p}$ 입니다. 빼면,

$(2026-\omega^{j})-(2025-\omega^{i})=1+\omega^{i}-\omega^{j}\in\mathfrak{p}% \implies p\mid\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(1+\omega^{i}-\omega^{j}).$

$6\nmid k$ 이므로 $1+\omega^{i}-\omega^{j}\neq 0$ 이 성립하고, 따라서 $p$ 는 위의 노름 이하입니다. 그러나 정의로부터 직접,

$\left|\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}}(1+\omega^{i}-\omega^{j}% )\right|=\prod_{\gcd(m,k)=1,1\leq m\leq k}|1+\omega^{mi}-\omega^{mj}|\leq 3^{k}.$