장 55 유일 인수분해 (드디어!)

꽤 오래 걸렸습니다.

55.1 동기

주어진 $n$ 에 대하여 디오판토스 방정식 $n=x^{2}+5y^{2}$ 의 해에 관심이 있다고 합시다. 기본 착상은 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 $n$ 을 “인수분해”해 보는 것으로, 예를 들면

6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).

와 같습니다. 안타깝게도 이는 그리 간단하지 않습니다. 앞서 말했듯이 원소의 유일 인수분해가 성립하지 않기 때문입니다:

6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right).

이것이 통하지 않는 이유 중 하나는 최대공약수라는 개념이 없다는 것입니다. $(35,77)=7$ 이라고 쓸 수는 있지만, $(3,1+\sqrt{-5})$ 는 어떻게 이해해야 하겠습니까?

요령은 아이디얼을 “일반화된 최대공약수”로 사용하는 것입니다. $(a,b)$ 라는 표기는 아이디얼 $\{ax+by\mid x,y\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\}$ 를 뜻한다는 것을 상기하십시오. $(35,77)=(7)$ 임은 알 수 있지만, $(3,1+\sqrt{-5})$ 는 환의 실제 값을 나타내지 않으므로 “단순화되지 않은” 채로 남습니다. 이러한 집합(아이디얼)을 원소로 사용하면 소인수분해에 대한 완전한 이론을 전개할 수 있음이 밝혀지며, 이 장에서 바로 그 작업을 합니다.

다시 말해, 아이디얼 $(a_{1},\dots,a_{m})$ 을 사용하여 $a_{1}$ , …, $a_{m}$ 의 “일반화된 최대공약수”를 해석합니다. 특히 나타내고 싶은 수 $x$ 가 있다면, 이를 그냥 $(x)$ 로 부호화합니다.

$6$ 의 예로 돌아가면,

(6)=(2)\cdot(3)=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right).

사실 $(6)$ 을 소 아이디얼로 완전히 소인수분해한 결과는 다음과 같다는 제 말을 믿어 주십시오.

(6)=(2,1-\sqrt{-5})^{2}(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}^{2}% \mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}.

실제로 $(2)=\mathfrak{p}^{2}$ , $(3)=\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ , $(1+\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ , $(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 입니다. 따라서 $6$ 은 원소로는 인수분해되지 않지만, 아이디얼로는 실제로 유일하게 인수분해됩니다.

위에서 볼 수 있듯이 아이디얼 인수분해는 원소 인수분해보다 더 세밀합니다. 아이디얼로의 인수분해를 얻고 나면, 거기서부터 원소로의 모든 인수분해를 복원할 수 있습니다. 요컨대 $n$ 을 $x^{2}+5y^{2}$ 꼴로 쓰고 싶다면 $n$ 을 아이디얼로 인수분해하기만 하면 되고, 거기서부터 원소로의 모든 인수분해를 복원할 수 있으며, 최종적으로 $n$ 을 $x^{2}+5y^{2}$ 꼴로 쓰는 모든 방법을 얻을 수 있습니다. $n$ 을 유리 소인수로 분해하는 것은 이미 할 수 있으므로(예를 들어 위의 $6=2\cdot 3$ ), 각 유리 소수 $p\mid n$ 이 어떻게 분해되는지만 알아내면 됩니다. 이를 위한 방법이 있는데, 바로 정리 55.5.4입니다! 사실 이 특수한 경우에 그것이 무엇을 말하는지까지 알려 드리겠습니다:

•

$t^{2}+5$ 가 $(t+c)(t-c)\pmod{p}$ 로 인수분해되면, $(p)=(p,c+\sqrt{-5})(p,c-\sqrt{-5})$ 입니다.
•

그렇지 않으면 $(p)$ 는 소 아이디얼입니다.

이 장에서는 이 유일 인수분해 이론을 완전히 일반적인 형태로 전개하겠습니다.

비고 55.1.1.

이 장에서는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼을 나타내는 데 문자 $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ , $\mathfrak{p}$ , $\mathfrak{q}$ 를 사용하겠습니다. 분수 아이디얼이 등장할 때에는 $I$ 와 $J$ 를 사용하겠습니다.

55.2 아이디얼 연산

대표적인 예: $(x)(y)=(xy)$ 이고 $(x)+(y)=(\gcd(x,y))$ 입니다. 어떤 경우든 생성원의 관점에서 생각하십시오.

먼저 두 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 를 더하고 곱하는 방법을 알려 드려야 합니다.

정의 55.2.1.

환 $R$ 의 두 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의합니다.

	$\displaystyle\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{a+b\mid a\in\mathfrak{a},b\in\mathfrak{b}\right\}$
	$\displaystyle\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$	$\displaystyle\coloneqq\left\{a_{1}b_{1}+\dots+a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in\mathfrak% {a},b_{i}\in\mathfrak{b}\right\}.$

(일반적인 환에서는 무한합이 의미를 갖지 않는다는 점에 유의하십시오. 그래서 $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$ 에서는 합을 유한 개의 항에서 끊습니다.) 이것들이 실제로 아이디얼임은 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 정의는 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 의 생성원의 관점에서 생각하면 더 자연스럽습니다.

명제 55.2.2 (생성원을 통한 아이디얼 연산).

$\mathfrak{a}=\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right)$ 과 $\mathfrak{b}=\left(b_{1},\dots,b_{m}\right)$ 이 환 $R$ 의 아이디얼이라고 합시다. 그러면

(a)

$\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 는 $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}$ 으로 생성되는 아이디얼입니다.
(b)

$\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}$ 는 $1\leq i\leq n$ 및 $1\leq j\leq m$ 에 대하여 $a_{i}b_{j}$ 로 생성되는 아이디얼입니다.

증명.

꽤 간단합니다. 이 결과가 옳다는 것을 스스로 납득해 보십시오. ∎

다시 말해, 합에서는 두 생성원 집합을 한데 이어 붙이고, 곱에서는 생성원들의 곱을 취합니다. 주 아이디얼의 경우 이것이 “보통의” 곱셈과 일치한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어

(3)\cdot(5)=(15)

$\mathbb{Z}$ 에서 그렇습니다.

비고 55.2.3.

아이디얼 $\mathfrak{a}$ 와 원소 $c$ 에 대하여 집합

c\mathfrak{a}=\left\{ca\mid a\in\mathfrak{a}\right\}

는 $(c)\cdot\mathfrak{a}$ 와 같다는 점에 유의하십시오. 따라서 “스케일링”과 “주 아이디얼을 곱하는 것”은 같은 것입니다. 앞으로 이 두 개념을 서로 바꾸어 가며 사용할 것이므로 이는 중요합니다.

비고 55.2.4.

두 아이디얼의 덧셈은 원소의 덧셈에 대응하지 않습니다 — 예를 들어 $(4)+(6)=(4,6)=(2)$ 이지만 $4+6=10$ 입니다.

이것이 우리가 기대할 수 있는 최선입니다 — 원소의 덧셈은 아이디얼에 대해서는 의미가 없습니다 — 예를 들어 $1+1=2$ 이고 $1+(-1)=0$ 이지만, 아이디얼로서는 $(1)=(-1)$ 입니다.

사실 아이디얼의 덧셈은 원소의 $\gcd$ 를 자연스럽게 일반화한 것입니다 — 위의 예에서 확인할 수 있듯이 $\gcd(4,6)=2$ 입니다.

그럼에도 불구하고, $(\mathfrak{a},\mathfrak{b})$ 같은 표기에 비하면 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 가 자연스러운 표기라는 데 동의하시기를 바랍니다.

인수분해는 아이디얼들을 더하는 것이 아니라 곱하는 것과 관련되므로, 당분간은 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 라는 표기를 사용할 일이 없을 것입니다.

마지막으로, 인수분해를 하려면 나누어떨어짐에 대한 개념이 있어야 합니다. 그래서 다음과 같이 정의합니다.

정의 55.2.5.

$\mathfrak{a}\supseteq\mathfrak{b}$ 이면 $\mathfrak{a}$ 가 $\mathfrak{b}$ 를 나눈다고 하고 $\mathfrak{a}\mid\mathfrak{b}$ 로 씁니다.

포함 관계가 뒤바뀐다는 점에 유의하십시오! 따라서 $(15)$ 가 $(3)$ 에 포함되므로 $(3)$ 은 $(15)$ 를 나눕니다. $15$ 의 모든 배수는 $3$ 의 배수이기 때문입니다. 그리고 앞 절의 예에 따르면, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 $(3,1-\sqrt{-5})$ 는 $(3)$ 과 $(1-\sqrt{-5})$ 를 나눕니다.

마지막으로, 소 아이디얼은 정의 5.3.1에서와 같이 정의됩니다. $xy\in\mathfrak{p}$ 이면 $x\in\mathfrak{p}$ 또는 $y\in\mathfrak{p}$ 가 성립할 때 $\mathfrak{p}$ 는 소 아이디얼입니다. 이는 나누어떨어짐의 정의와 잘 맞아떨어집니다.

연습문제 55.2.6.

영이 아닌 진 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼일 필요충분조건은 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ 를 나눌 때마다 $\mathfrak{p}$ 가 $\mathfrak{a}$ 또는 $\mathfrak{b}$ 중 하나를 나누는 것입니다.

비고 5.3.3에서 언급했듯이, 이를 통해 단위에 의한 곱셈도 무시할 수 있습니다: $(-3)=(3)$ .

55.3 데데킨트 정역

대표적인 예: 모든 $\mathcal{O}_{K}$ 는 데데킨트 정역입니다.

이제 데데킨트 정역을 다음과 같이 정의합니다.

정의 55.3.1.

정역 $\mathcal{A}$ 가 뇌터 환이고, 정수적으로 닫혀 있으며, $\mathcal{A}$ 의 영이 아닌 모든 소 아이디얼이 사실 극대 아이디얼이면 $\mathcal{A}$ 를 데데킨트 정역이라고 합니다. (마지막 조건이 중요한 조건입니다.)

비고 55.3.2.

임의의 수체 $K$ 에 대하여 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역이라는 것을 곧 증명할 것입니다. 이것이 Napkin에서 사용할 사실상 유일한 경우입니다. 따라서 “데데킨트 정역”이라는 용어를 도입하는 것은 주로 $\mathcal{O}_{K}$ 의 어떤 성질이 유일 인수분해에 사용되는지를 강조하기 위해서이지, 실제로 다른 종류의 데데킨트 정역을 다루게 되기 때문은 아닙니다.

여기서 새로 정의해야 할 용어가 하나 있지만, 그다지 많이 사용하지는 않을 것입니다.

정의 55.3.3.

$R$ 을 정역이라 하고 $K$ 를 그 분수체라고 합시다. $R$ 에 계수를 갖는 모닉 다항식의 근이 되는 원소 $a\in K$ 가 $R$ 의 원소(자명한 다항식 $x-r$ 의 근)뿐일 때, $R$ 이 정수적으로 닫혀 있다고 합니다.

데데킨트 정역의 정의에서 흥미로운 조건은 마지막 조건입니다. 즉, 소 아이디얼과 극대 아이디얼이 같은 것이라는 조건입니다. 다른 조건들은 기술적인 세부 사항일 뿐이지만, “소 아이디얼은 극대 아이디얼이다”라는 조건은 실질적인 내용을 담고 있습니다.

예제 55.3.4 ( $\mathbb{Z}$ 는 데데킨트 정역입니다).

환 $\mathbb{Z}$ 는 데데킨트 정역입니다. 다음에 유의하십시오.

•

$\mathbb{Z}$ 는 (자명한 이유로) 뇌터 환입니다.
•

$\mathbb{Z}$ 의 분수체는 $\mathbb{Q}$ 입니다. $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 가 모닉 다항식이면, 유리근 정리에 의해 모든 유리근은 정수입니다(이는 $\overline{\mathbb{Z}}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ 의 증명과 같습니다). 따라서 $\mathbb{Z}$ 는 정수적으로 닫혀 있습니다.
•

$\mathbb{Z}$ 의 0이 아닌 소 아이디얼은 $(p)$ 이며, 이들은 마침 극대이기도 합니다.

우리가 관심을 갖는 경우는 인수분해를 하고자 하는 환 $\mathcal{O}_{K}$ 입니다. 이제 임의의 수체 $K$ 에 대하여 환 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 보이겠습니다. 먼저 지루한 부분부터 봅시다.

명제 55.3.5 (정수적으로 닫혀 있는 뇌터 환 $\mathcal{O}_{K}$ ).

임의의 수체 $K$ 에 대하여, 환 $\mathcal{O}_{K}$ 는 정수적으로 닫혀 있는 뇌터 환입니다.

증명.

지루하지만, 완비성을 위해 여기에 적어 둡니다.

$\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{\oplus n}$ 이므로,¹¹1정리 54.2.12에 의해. 이는 뇌터 환입니다.

이제 $\mathcal{O}_{K}$ 가 정수적으로 닫혀 있음을 보이겠습니다. $\eta\in K$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 의 원소를 계수로 갖는 어떤 다항식의 근이라고 가정합시다. 따라서

\eta^{n}=\alpha_{n-1}\cdot\eta^{n-1}+\alpha_{n-2}\cdot\eta^{n-2}+\dots+\alpha_% {0}

여기서 $\alpha_{i}\in\mathcal{O}_{K}$ 입니다. 우리는 $\eta\in\mathcal{O}_{K}$ 역시 성립함을 보이고자 합니다.

자, 위로부터 $\mathcal{O}_{K}[\eta]$ 는 유한 생성입니다… 따라서 $\mathbb{Z}[\eta]\subseteq\mathcal{O}_{K}[\eta]$ 도 유한 생성입니다. 그러므로 $\eta\in\overline{\mathbb{Z}}$ 이고, 따라서 $\eta\in K\cap\overline{\mathbb{Z}}=\mathcal{O}_{K}$ 입니다. ∎

이제 재미있는 부분을 해 봅시다. 더 강한 결과를 증명할 것이며, 이 결과는 앞으로 반복해서 다시 등장할 것입니다.

정리 55.3.6 (중요: 소 아이디얼은 유리 소수를 나눕니다).

$\mathcal{O}_{K}$ 를 정수환이라 하고 $\mathfrak{p}$ 를 그 안의 0이 아닌 소 아이디얼이라 합시다. 그러면 $\mathfrak{p}$ 는 어떤 유리 소수 $p$ 를 포함합니다. 더욱이 $\mathfrak{p}$ 는 극대입니다.

구체적인 예로 $(2+i)\subseteq\mathbb{Z}[i]$ 를 생각해 봅시다. 이 경우 $p=5$ 이며, $p\in(2+i)$ 이므로 격자가 두 방향 모두에서 주기 $5$ 로 주기적임을 얻습니다. 이는 $\{a+bi\mid 0\leq a,b\leq 4,a,b\in\mathbb{Z}\}$ 안의 유한히 많은 점만으로 이 아이디얼을 법으로 하는 모든 잉여류를 덮기에 충분함을 뜻합니다.

여기서 몫이 유한함을 보이는 증명은 격자의 메시가 유한하다는 명제와 밀접하게 관련되어 있으며, 이 명제는 다음 절에서 다룹니다.

증명.

$\mathfrak{p}$ 에서 임의의 $\alpha\neq 0$ 을 잡읍시다. 그 갈루아 켤레들은 대수적 정수이므로 그들의 곱 $\operatorname{N}(\alpha)/\alpha$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 에 속합니다(각각의 켤레가 개별적으로 $K$ 에 속할 필요는 없는데도 말입니다). 따라서 $\operatorname{N}(\alpha)\in\mathfrak{p}$ 이며, $\mathfrak{p}$ 가 어떤 정수를 포함한다고 결론짓습니다.

그다음 $\mathfrak{p}$ 에 속하는 가장 작은 양의 정수를 잡고, 이를 $p$ 라 합시다. $p$ 는 유리 소수여야 합니다. 그렇지 않다면 $\mathfrak{p}\ni p=xy$ 로부터 $x,y\in\mathfrak{p}$ 중 하나가 성립하기 때문입니다. 이로써 첫 번째 부분이 증명됩니다.

이제 $\mathfrak{p}$ 가 극대임을 보이기 위해 꽤 교묘한 일을 합니다. $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 를 살펴봅시다. $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼이므로 이는 정역이어야 합니다… 그런데 우리는 이것이 실제로 유한하다고 주장합니다! 이를 위해 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 곱셈을 할 수 있다는 사실을 잊습니다. 아벨 군으로서 $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{\oplus n}$ 임을 떠올리면, 다음 사상을 얻습니다.

{\mathbb{F}_{p}}^{\oplus n}\cong\mathcal{O}_{K}/(p)\twoheadrightarrow\mathcal{% O}_{K}/\mathfrak{p}.

따라서 $\left\lvert\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\right\rvert\leq p^{n}$ 은 유한합니다. 유한 정역은 체이므로(문제 5D) 증명이 끝납니다. ∎

0이 아닌 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 극대이므로, 이제 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 압니다. 이 교묘한 증명은 본질적으로 문제 5G의 풀이에서 영감을 받았다는 점에 유의하십시오.

비고 55.3.7.

첫 번째 부분에 대한 다른 증명은 다음과 같습니다. $\mathfrak{p}$ 가 아이디얼이므로 $\alpha\cdot\mathcal{O}_{K}\subseteq\mathfrak{p}$ 인데, $\alpha\cdot\mathcal{O}_{K}$ 는 계수 $n$ 인 자유 $\mathbb{Z}$ -가군이므로 $\mathfrak{p}$ 는 계수 $n$ 인 두 자유 $\mathbb{Z}$ -가군 사이에 끼어 있고, 정리 18.1.5에 의해 $\mathfrak{p}$ 역시 계수 $n$ 인 자유 가군이어야 합니다. 따라서 몫은 유한하며, 그다음 보조정리 56.8.8를 사용하면 됩니다.

55.4 유일 인수분해가 성립합니다

좋습니다, 이제 그냥 말하겠습니다!

데데킨트 정역에서는 유일 인수분해가 완벽하게 성립합니다!

비고 55.4.1 (데데킨트 정역과 UFD의 비교).

뇌터 조건과 정수적으로 닫혀 있다는 조건을 잠시 잊는다면, 다음이 성립합니다:

•

정역에서 소원과 기약원이 같으면 그 정역은 원소의 유일 인수분해를 허용합니다.
•

정역에서 소 아이디얼과 극대 아이디얼이 같으면 그 정역은 아이디얼의 유일 인수분해를 허용합니다.

유사성에 주목하십시오 — 어느 경우든 뇌터 조건은 소인수를 계속 뽑아낼 때 유한한 시간 안에 끝나도록 보장하는 “역할에 불과”합니다.

예제 55.4.2 ( $\mathcal{A}$ 가 정수적으로 닫혀 있지 않으면 무엇이 잘못됩니까?).

$\mathbb{Z}$ 의 아이디얼인 $\mathcal{A}=2\mathbb{Z}$ 를 생각해 봅시다. 0이 아닌 모든 소 아이디얼이 극대 아이디얼이라는 것은 분명합니다.

그럼에도 $\mathcal{A}$ 에서 $(2\cdot 3\cdot 5)=(60)$ 은 소 아이디얼이 아니지만(따라서 당연히 극대 아이디얼도 아닙니다), 이를 예컨대 $(2\cdot 3)\cdot(5)$ 로 분해할 수는 없습니다.

정리 55.4.3 (소인수분해가 성립합니다).

$\mathfrak{a}$ 를 데데킨트 정역 $\mathcal{A}$ 의 0이 아닌 진 아이디얼이라고 합시다. 그러면 $\mathfrak{a}$ 는 0이 아닌 소 아이디얼 $\mathfrak{p}_{i}$ 들의 유한 곱으로 쓸 수 있습니다. 예를 들어

\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\dots\mathfrak{p}% _{g}^{e_{g}}

이 인수분해는 $\mathfrak{p}_{i}$ 들의 순서를 제외하면 유일합니다.

또한 $\mathfrak{a}$ 가 $\mathfrak{b}$ 를 나누는 것은 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\mathfrak{a}$ 에서 $\mathfrak{p}$ 의 지수가 $\mathfrak{b}$ 에서의 대응하는 지수보다 작거나 같은 것과 동치입니다.

증명을 모두 적지는 않겠지만 기본적인 공략 방법은 설명하겠습니다. [ULL08]의 3절이 이를 잘 설명하고 있습니다. 산술의 기본 정리를 증명할 때 기본적인 줄거리는 다음과 같았습니다:

(1)

$p$ 가 유리 소수²²2유치원 수준의 소수 정의는 “ $p$ 가 더 작은 두 정수의 곱이 아니다”라는 것임에 유의하십시오. 이것은 소수의 올바른 정의가 아닙니다. 소수의 정의는 $p\mid bc$ 이면 $p\mid b$ 또는 $p\mid c$ 라는 것입니다. 유치원 수준의 정의는 “기약”이라고 불리는 것입니다. 다행히 $\mathbb{Z}$ 에서는 소수와 기약원이 같은 것이므로, 여러분의 “소수” 정의가 틀렸다고 아무도 말해 주지 않았던 것입니다.이면 $p\mid bc$ 일 때 $p\mid b$ 또는 $p\mid c$ 임을 보이십시오. (이를 유클리드의 보조정리라고 합니다.)
(2)

강한 귀납법을 사용하여 모든 $N>1$ 을 소수들의 곱으로 쓸 수 있음을 보이십시오(쉽습니다).
(3)

어떤 소수들(서로 다를 필요는 없습니다)에 대해 $p_{1}\dots p_{m}=q_{1}\dots q_{n}$ 이면, 어떤 $i$ 에 대해 $p_{1}=q_{i}$ 임을 보이십시오. 이를 $q_{1}$ 이라고 합시다.
(4)

양변을 $p_{1}$ 로 나누고 귀납법을 사용하십시오.

여기서 이 증명을 반복하려 하면 어떻게 됩니까? 1단계는 공짜로 얻습니다. “소”에 대해 더 나은 정의를 사용하고 있기 때문입니다. 3단계도 1단계에서 따라 나오므로 할 수 있습니다. 하지만 2단계는 되지 않습니다. 추상적인 데데킨트 정역에는 크기라는 개념이 사실상 없기 때문입니다. 그리고 4단계도 되지 않습니다. 소 아이디얼의 역원이 무엇인지에 대한 개념이 아직 없기 때문입니다.

그런데 실제로는 아이디얼의 역원 $\mathfrak{a}^{-1}$ 를 정의할 수 있으며, 이 장이 끝나기 전에 그렇게 하겠습니다. 그러면 $\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{a}^{-1}=(1)=\mathcal{A}$ 임을 확인해야 합니다. 사실 이것조차 쉽지 않습니다. 먼저 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 이것이 참임을 확인하고, 그다음에 소인수분해를 증명하고, 그런 다음 이것이 참임을 증명해야 합니다. 게다가 $\mathfrak{a}^{-1}$ 는 실제로는 아이디얼이 아니므로, $\mathcal{A}$ 대신 분수체 $K$ 에서 작업해야 합니다.

따라서 새로운 상황에서의 주요 단계는 다음과 같습니다.

(1)

먼저, 모든 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 가 어떤 유한개의 소 아이디얼들에 대해 $\mathfrak{p}_{1}\dots\mathfrak{p}_{g}$ 를 나눈다는 것을 보이십시오. (이는 초른 보조정리의 응용입니다.)
(2)

$\mathfrak{p}^{-1}$ 를 정의하고 $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=(1)$ 임을 보이십시오.
(3)

인수분해가 존재함을 보이십시오(다시 초른 보조정리를 사용합니다).
(4)

새로 정의한 역원을 사용하여 그 분해가 유일함을 보이십시오.

마지막으로, $\mathcal{A}$ 가 ( $\mathbb{Z}$ 처럼) PID인 경우 이것이 얼마나 좋은지 언급하겠습니다. 이 경우 모든 원소 $a\in\mathcal{A}$ 는 아이디얼 $(a)$ 와 직접 대응합니다. 이제 $(a)$ 가 아이디얼 $\mathfrak{p}_{i}=(p_{i})$ 들의 곱으로 다음과 같이 인수분해된다고 가정합시다.

(a)=(p_{1})^{e_{1}}(p_{2})^{e_{2}}\dots(p_{n})^{e_{n}}.

이는 글자 그대로

a=up_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{n}^{e_{n}}

을 뜻하며, 여기서 $u$ 는 어떤 단원입니다(정의 4.4.1을 상기하십시오). 따라서 PID인 데데킨트 정역은 $\mathbb{Z}$ 에서와 마찬가지로 원소에 대한 유일 인수분해를 만족합니다. (사실 그 역도 성립합니다.)

55.5 인수분해 알고리즘

이차 체에서 몇 가지 예를 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 이면 다음이 성립함을 상기하십시오.

\mathcal{O}_{K}=\begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{d}]&d\equiv 2,3\pmod{4}\\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]&d\equiv 1\pmod{4}.\end{cases}

또한 $a+b\sqrt{-d}$ 의 노름은 $a^{2}+db^{2}$ 로 주어진다는 것을 상기하십시오.

예제 55.5.1 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 의 정수환에서 $6$ 인수분해하기).

$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 로부터 얻어진다고 합시다. 우리는 이미 다음을 보았습니다.

(6)=(2)\cdot(3)=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)

그리고 이 주 아이디얼들로는 더 이상 나아갈 수 없습니다. 하지만 다음과 같이 둡시다.

\mathfrak{p}=\left(1+\sqrt{-5},2\right)=\left(1-\sqrt{-5},2\right)\quad\text{그% 리고}\quad\mathfrak{q}_{1}=(1+\sqrt{-5},3),\;\mathfrak{q}_{2}=(1-\sqrt{-5},3).

그러면 $(6)=\mathfrak{p}^{2}\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ 임이 밝혀집니다. 더 구체적으로는 $(2)=\mathfrak{p}^{2}$ , $(3)=\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$ 이고, $(1+\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ 이며 $(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 입니다. (증명은 잠시 후에 하겠습니다.)

우리의 모든 아이디얼은 $\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 계산된다는 점을 강조하고 싶습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

(2)=\left\{2x\mid x\in\mathcal{O}_{K}\right\}.

이 예에서 $\mathfrak{p}$ 가 소/극대 아이디얼임을 어떻게 알 수 있을까요? (다시 말하지만, 우리는 데데킨트 정역 안에 있으므로 이 둘은 같습니다.) 답: $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 를 보고 그것이 체인지 확인하십시오. 여기에는 요령이 있습니다. 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+5).

따라서 그것을 $\mathfrak{p}$ 로 나눈 나머지를 취하면 다음을 얻습니다.

\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}=\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+5,2,1+x)\cong\mathbb{F}_{2}[% x]/(x^{2}+5,x+1)

이는 환으로서 성립합니다.

질문 55.5.2.

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}\cong\mathbb{F}_{2}$ 라고 결론짓고, $\mathfrak{q}_{1}$ 과 $\mathfrak{q}_{2}$ 또한 극대 아이디얼임을 스스로 확인하십시오.

아이디얼 곱셈의 명시적인 예를 하나 들어야겠습니다. 다음을 계산해 봅시다.

	$\displaystyle\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$	$\displaystyle=\left((1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),3(1+\sqrt{-5}),3(1-\sqrt{-5}),9\right)$
		$\displaystyle=\left(6,3+3\sqrt{-5},3-3\sqrt{-5},9\right)$
		$\displaystyle=\left(6,3+3\sqrt{-5},3-3\sqrt{-5},3\right)$
		$\displaystyle=(3)$

여기서 우리는 먼저 $9-6=3$ 을 계산했고(유클리드 알고리즘을 생각하십시오!), 그다음 나머지 생성원들은 $3$ 으로 이미 가진 것 외에 아무것도 더해 주지 않는다는 점에 주목했습니다(다시 말하지만 이들은 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 계산된 아이디얼입니다). $\mathfrak{p}^{2}$ , $\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}$ , $\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}$ 에 대한 계산도 같은 방식으로 할 수 있습니다.

마지막으로, 어떤 $x$ 에 대해 $\mathfrak{p}\neq(x)$ 임을, 다시 말해 $\mathfrak{p}$ 가 주 아이디얼이 아님을 빠르게 확인해야 한다는 점을 짚어 둘 만합니다. 귀류법을 위해 그렇다고 가정합시다. 그러면 어떤 $\alpha_{1},\alpha_{2}\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 $1+\sqrt{-5}=\alpha_{1}x$ 이고 $2=\alpha_{2}x$ 라는 의미에서 $x$ 는 $1+\sqrt{-5}$ 와 $2$ 를 모두 나눕니다. (주 아이디얼은 정확히 $x$ 의 “배수”들이므로 $(x)=x\mathcal{O}_{K}$ 입니다.) 노름을 취하면 $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(x)$ 가 다음 둘을 모두 나눈다는 것을 알 수 있습니다.

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(1+\sqrt{-5})=6\quad\text{그리고}\quad% \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(2)=4.

$\mathfrak{p}\neq(1)$ 이므로 $x$ 는 단원일 수 없고, 따라서 그 노름은 $2$ 여야 합니다. 그러나 $\mathcal{O}_{K}$ 에는 노름이 $2=a^{2}+5b^{2}$ 인 원소가 없습니다.

예제 55.5.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{-17})$ 의 정수환에서 $3$ 인수분해하기).

$\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{-17}]$ 가 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-17})$ 로부터 얻어진다고 합시다. 우리는 $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+17)$ 임을 알고 있습니다. 이제

\mathcal{O}_{K}/3\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}[x]/(3,x^{2}+17)\cong\mathbb{F}% _{3}[x]/(x^{2}-1).

이것만으로도 $(3)$ 이 소(즉 극대) 아이디얼일 수 없음을 알 수 있습니다. 그렇지 않다면 우리의 결과는 체여야 하기 때문입니다. 어쨌든 다음과 같은 사영이 있습니다.

\mathcal{O}_{K}\twoheadrightarrow\mathbb{F}_{3}[x]/\left((x-1)(x+1)\right).

$\mathfrak{q}_{1}$ 을 상에서 $(x-1)$ 의 역상이라고 합시다. 즉,

\mathfrak{q}_{1}=(3,\sqrt{-17}-1).

마찬가지로 다음과 같습니다.

\mathfrak{q}_{2}=(3,\sqrt{-17}+1).

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{q}_{1}\cong\mathbb{F}_{3}$ 이므로 $\mathfrak{q}_{1}$ 은 극대(소) 아이디얼입니다. 마찬가지로 $\mathfrak{q}_{2}$ 도 소 아이디얼입니다. 놀랍게도, 다음을 명시적으로 확인할 수 있습니다.

\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}=(3).

따라서 이것이 $(3)$ 의 소 아이디얼 인수분해입니다.

$\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}=(3)$ 이라는 사실은 마법처럼 보이지만, 실제로 참입니다:

	$\displaystyle\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}$	$\displaystyle=(3,\sqrt{-17}-1)(3,\sqrt{-17}+1)$
		$\displaystyle=(9,3\sqrt{-17}+3,3\sqrt{-17}-3,18)$
		$\displaystyle=(9,3\sqrt{-17}+3,6)$
		$\displaystyle=(3,3\sqrt{-17}+3,6)$
		$\displaystyle=(3).$

사실 이 방법은 일반적으로 항상 성립합니다. 유리 소수 $p$ 가 주어지면, $\mathbb{Z}[\theta]$ 꼴의 임의의 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $p$ 를 인수분해하는 알고리즘이 존재합니다.

정리 55.5.4 (인수분해 알고리즘 / 데데킨트-쿠머 정리).

$K$ 를 수체라고 합시다. $\theta\in\mathcal{O}_{K}$ 가 $|\mathcal{O}_{K}/\mathbb{Z}[\theta]|=j<\infty$ 를 만족한다고 하고, $p$ 를 $j$ 를 나누지 않는 소수라고 합시다. 그러면 $(p)=p\mathcal{O}_{K}$ 는 다음과 같이 인수분해됩니다:

$f$ 를 $\theta$ 의 최소 다항식이라 하고, $\overline{f}$ 를 mod $p$ 에서 다음과 같이 인수분해합니다

$\overline{f}\equiv\prod_{i=1}^{g}(\overline{f}_{i})^{e_{i}}\pmod{p}.$

그러면 각 $i$ 에 대해 $\mathfrak{p}_{i}=(f_{i}(\theta),p)$ 는 소 아이디얼이며, $(p)$ 의 인수분해는 다음과 같습니다

$\mathcal{O}_{K}\supseteq(p)=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}}.$

특히 $K$ 가 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 인 단생성 수체이면 $j=1$ 이므로, 이 정리는 모든 소수 $p$ 에 대해 적용됩니다.

이 책에서 다루는 거의 모든 응용에서 $K$ 는 단생성, 즉 $j=1$ 일 것입니다. 여기서 $\overline{\psi}$ 는 다항식 $\psi\in\mathbb{Z}[x]$ 의 $\mathbb{F}_{p}[x]$ 에서의 상을 나타냅니다.

질문 55.5.5.

우리가 고를 수 있었던 역상 $f_{i}$ 는 여러 가지가 있습니다(예를 들어 $\overline{f_{i}}=x^{2}+1\pmod{3}$ 이라면 $f_{i}=x^{2}+3x+7$ 을 고를 수도 있습니다.) 이것이 $\mathfrak{p}_{i}$ 의 값에 영향을 주지 않는 이유는 무엇입니까?

앞에서는 어떤 특정한 경우든 인수분해가 성립함을 직접 확인할 수 있었다는 점에 유의하십시오. 이것이 성립한다는 증명도 거의 같지만, 도구 하나, 즉 아이디얼 노름이 추가로 필요합니다. 그 도구를 소개한 뒤에는 이 명제를 문제 55E로 남겨 둡니다.

이 알고리즘은 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 인 임의의 단생성 수체에서 $(p)$ 의 소인수분해를 계산하는 구체적인 방법을 제공합니다. 그 절차를 요약하면 다음과 같습니다:

1.

$\theta$ 의 최소 다항식을 구하고, 이를 $f\in\mathbb{Z}[x]$ 라고 합시다.
2.

$f$ 를 mod $p$ 에서 기약 다항식들의 곱 ${\overline{f}_{1}}^{e_{1}}{\overline{f}_{2}}^{e_{2}}\dots\overline{f}_{g}^{e_{% g}}$ 으로 인수분해합니다.
3.

각 $i$ 에 대해 $\mathfrak{p}_{i}=(f_{i}(\theta),p)$ 를 계산합니다.

그러면 $(p)=\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\dots\mathfrak{p}_{g}^{e_{g}}$ 입니다.

더 짧게 말하면 다음과 같습니다:

$\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 에서 $p$ 를 인수분해하려면, 대신 $\mathbb{Z}[x]/(p)$ 에서 $f(x)$ 를 인수분해하면 됩니다.

둘 다 $\mathbb{Z}[x]/(f(x),p)$ 에서 $0$ 을 인수분해하는 것과 동치입니다 — 다시 말해, $\mathbb{Z}[x]/(f(x),p)$ 를 $\mathbb{Z}[x]$ -가군들의 직합으로 쓰는 것과 동치입니다.

연습문제 55.5.6.

위의 알고리즘을 사용하여 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 $(29)$ 를 인수분해하십시오.

55.6 분수 아이디얼

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 에 대한 $\mathbb{Q}$ 의 유사물로, 아이디얼의 역원을 취할 수 있게 해 줍니다. 소인수분해가 가능한 한 가장 좋은 방식으로 작동합니다.

이제 우리는 정수를 인수분해하는 것과 마찬가지로 $\mathcal{A}$ 의 아이디얼을 인수분해하는 깔끔한 이론을 갖추었습니다. 이제 $\mathbb{Z}$ 의 인수분해가 자연스럽게 $\mathbb{Q}$ 의 원소를 인수분해하는 방법을 제공한다는 점에 주목하십시오. 분자와 분모를 각각 인수분해하면 됩니다.

이 유비를 더 명확하게 해 봅시다. 유리수에 대응하는 것은 다음과 같습니다.

정의 55.6.1.

$\mathcal{A}$ 를 분수체가 $K$ 인 데데킨트 정역이라고 합시다. $K$ 의 분수 아이디얼 $J$ 는 다음 꼴의 집합입니다

J=\frac{1}{x}\cdot\mathfrak{a}\quad\text{여기서 $x\in\mathcal{A}$이고, $\mathfrak{a% }$는 정수 아이디얼입니다.}

강조를 위해 $\mathcal{A}$ 의 아이디얼을 때때로 정수 아이디얼이라고 부르겠습니다.

이 정의를 보고 조금 놀랄 수도 있습니다. 분수 아이디얼이라면 어떤 정수 아이디얼 $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{b}$ 에 대하여 $\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}$ 꼴이어야 한다고 예상할 것이기 때문입니다. 그러나 실제로는 분모에 $x\in\mathcal{A}$ 를 두는 것만으로 충분합니다. 이는 $\mathcal{O}_{K}$ 를 살펴볼 때 정수 분모만 있으면 충분했던 것과 비슷합니다: $\frac{1}{4-\sqrt{3}}=\frac{1}{13}(4+\sqrt{3})$ . 마찬가지로 여기서도 $\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}$ 대신 $\frac{1}{x}\cdot\mathfrak{a}$ 만 살펴보면 된다는 것이 밝혀지므로, 처음부터 이렇게 정의합니다. 동치인 다른 정의는 문제 55D를 참조하십시오.

예제 55.6.2 ( $\frac{5}{2}\mathbb{Z}$ 는 분수 아이디얼입니다).

집합

\frac{5}{2}\mathbb{Z}=\left\{\frac{5}{2}n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}=\frac{1}{% 2}(5)

는 $\mathbb{Z}$ 의 분수 아이디얼입니다.

이제 앞서 정한 대로, 분수 아이디얼은 곱셈군을 이룹니다:

정리 55.6.3 (분수 아이디얼은 군을 이룹니다).

$\mathcal{A}$ 를 데데킨트 정역이라 하고 $K$ 를 그 분수체라 합시다. 임의의 정수 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 에 대하여, 집합

\mathfrak{a}^{-1}=\left\{x\in K\mid x\mathfrak{a}\subseteq(1)=\mathcal{A}\right\}

은 $\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=(1)$ 을 만족하는 분수 아이디얼입니다.

(이 결과는 자명하지 않습니다. $\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=(1)$ 을 증명하는 한 가지 방법은 먼저 소 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 에 대해 증명한 다음, $\mathfrak{a}$ 를 소 아이디얼들로 인수분해한 것을 고려하는 것입니다.)

정의 55.6.4.

따라서 $K$ 의 0이 아닌 분수 아이디얼들은 곱셈에 대하여 항등원이 $(1)=\mathcal{A}$ 인 군을 이룹니다. 이 아이디얼 군을 $J_{K}$ 로 나타냅니다.

예제 55.6.5 ( $\mathbb{Z}$ 에서의 $(3)^{-1}$ ).

$\mathbb{Z}$ 에서 다음이 성립함을 확인하십시오

(3)^{-1}=\left\{\frac{1}{3}n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}=\frac{1}{3}\mathbb{Z}.

이로부터 모든 분수 아이디얼 $J$ 는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있습니다

J=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}^{n_{i}}\cdot\prod_{i}\mathfrak{q}_{i}^{-m_{i}}

여기서 $n_{i}$ 와 $m_{i}$ 는 양의 정수입니다. 사실 정수의 경우와 마찬가지로, $\mathfrak{a}$ 가 정수 아이디얼일 필요충분조건은 모든 지수가 음이 아닌 것입니다. 그러므로 분수 아이디얼은 음의 지수를 가질 수도 있는 소 아이디얼들의 곱으로 생각하는 편이 더 나을 수도 있습니다.

55.7 아이디얼 노름

마지막 도구는 아이디얼 노름으로, 아이디얼의 “크기”라는 개념을 제공합니다.

정의 55.7.1.

0이 아닌 아이디얼 $\mathfrak{a}\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 의 아이디얼 노름(또는 절대 노름)은 $|\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{a}|$ 로 정의하며 $\operatorname{N}(\mathfrak{a})$ 로 나타냅니다.

예제 55.7.2 (가우스 정수에서 $(5)$ 의 아이디얼 노름).

$K=\mathbb{Q}(i)$ , $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 라 합시다. $\mathcal{O}_{K}$ 에서 아이디얼 $(5)$ 를 생각합시다. 그러면 다음이 성립합니다

\mathcal{O}_{K}/(5)\cong\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\}

따라서 $(5)$ 의 아이디얼 노름은 $25$ 이며, 이는 $\mathcal{O}_{K}/(5)$ 의 원소가 $5^{2}=25$ 개라는 사실에 대응합니다.

예제 55.7.3 (가우스 정수에서 $(2+i)$ 의 아이디얼 노름).

$2+i$ 를 법으로 하면 $5\equiv 0$ 과 $i\equiv-2$ 가 모두 성립하므로

\mathcal{O}_{K}/(2+i)\cong\mathbb{F}_{5}

임을 알 수 있습니다. (실제로 $(2+i)$ 는 소 아이디얼이므로 체가 나와야 마땅합니다!) 따라서 $\operatorname{N}\left((2+i)\right)=5$ 이고, 마찬가지로 $\operatorname{N}\left((2-i)\right)=5$ 입니다.

따라서 아이디얼 노름은 아이디얼이 얼마나 “여유로운지”를 측정합니다. 즉, $(5)$ 는 $\mathbb{Z}$ 에서보다 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 훨씬 더 듬성듬성 퍼져 있습니다. (이 직관은 나중에 $\mathcal{O}_{K}$ 를 실제로 격자로 볼 때 중요해질 것입니다.)

질문 55.7.4.

아이디얼 노름이 1인 아이디얼은 무엇입니까?

$(5)$ 의 예는 아이디얼 노름의 몇 가지 성질을 시사하며, 이 성질들은 실제로 참임이 밝혀집니다:

보조정리 55.7.5 (절대 노름의 성질).

$\mathfrak{a}$ 를 $\mathcal{O}_{K}$ 의 영이 아닌 아이디얼이라고 합시다.

(a)

$\operatorname{N}(\mathfrak{a})$ 는 유한합니다.
(b)

영이 아닌 임의의 다른 아이디얼 $\mathfrak{b}$ 에 대해 $\operatorname{N}(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=\operatorname{N}(\mathfrak{a})% \operatorname{N}(\mathfrak{b})$ 입니다.
(c)

$\mathfrak{a}=(a)$ 가 주 아이디얼이면 $\operatorname{N}(\mathfrak{a})=|\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)|$ 입니다.

아쉽게도 이 성질들을 증명하지는 않겠습니다. 다만 (a)는 $\mathcal{O}_{K}$ 가 데데킨트 정역임을 증명할 때 이미 보였습니다.

원소의 노름의 경우와 마찬가지로, 아이디얼 노름에도 기하학적 해석이 있습니다. $\mathfrak{a}=(a)$ 이고 $\mu_{a}$ 가 $a$ 에 의한 곱셈 사상일 때, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)=|\det\mu_{a}|$ 는 $K$ 를 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간으로 볼 때 $\mu_{a}$ 에 의해 $K$ 가 얼마나 늘어나는지를 측정한다는 것을 상기하십시오.

연습문제 55.7.6.

$\mu_{a}(\mathcal{O}_{K})\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 이면 $|\mathcal{O}_{K}/a\mathcal{O}_{K}|$ 가 정확히 $|\det\mu_{a}|$ 와 같다는 것을 스스로 납득해 보십시오.

이것이 $\operatorname{N}(\mathfrak{a})=|\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(a)|$ 인 이유를 설명합니다. 다만 $\mathfrak{a}=(a)=(-a)$ 이므로, $\mathfrak{a}$ 에 의한 곱셈 사상이 유일할 필요는 없다는 점에 유의하십시오.

$\operatorname{N}$ 이 완전 곱셈적이라는 사실 덕분에, 다음과 같은 자연스러운 확장으로 분수 아이디얼 $J$ 의 노름도 생각할 수 있습니다.

J=\prod_{i}\mathfrak{p}_{i}^{n_{i}}\cdot\prod_{i}\mathfrak{q}_{i}^{-m_{i}}% \quad\implies\quad\operatorname{N}(J)\coloneqq\frac{\prod_{i}\operatorname{N}(% \mathfrak{p}_{i})^{n_{i}}}{\prod_{i}\operatorname{N}(\mathfrak{q}_{i})^{m_{i}}}.

따라서 $\operatorname{N}$ 은 자연스러운 군 준동형사상 $J_{K}\to\mathbb{Q}^{\times}$ 입니다.

55.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 55A.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-13})$ 일 때 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $77$ 의 서로 다른 인수분해가 세 가지 있음을 보이십시오.

문제 55B.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 라고 하고, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ 임은 사실로 받아들이십시오. $\mathcal{O}_{K}$ 에서 $(5)$ 의 인수분해를 구하십시오.

문제 55C (페르마의 소정리).

$\mathfrak{p}$ 를 어떤 정수환 $\mathcal{O}_{K}$ 의 소 아이디얼이라고 합시다. $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대해 다음이 성립함을 보이십시오.

\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})}\equiv\alpha\pmod{\mathfrak{p}}.

힌트. 일반적인 페르마의 소정리의 증명을 그대로 따라 하십시오.

풀이. $\alpha\equiv 0\pmod{\mathfrak{p}}$ 이면 자명하므로, 그렇지 않다고 가정합시다. 그러면 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}$ 는 원소가 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})$ 개인 유한체입니다. $(\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p})^{\ast}$ 를 보면 이것은 원소가 $\operatorname{N}(\mathfrak{p})-1$ 개인 곱셈군이므로, 원하는 대로 $\alpha^{\operatorname{N}(\mathfrak{p})-1}\equiv 1\pmod{\mathfrak{p}}$ 입니다.

문제 55D.

$\mathcal{A}$ 를 분수체가 $K$ 인 데데킨트 정역이라고 하고, $J\subseteq K$ 를 택합시다. $J$ 가 분수 아이디얼일 필요충분조건이 다음과 같음을 보이십시오.

(i)

$J$ 가 덧셈과 $\mathcal{A}$ 의 원소에 의한 곱셈에 대해 닫혀 있고,
(ii)

$J$ 가 아벨 군으로서 유한 생성됩니다.

더 간결하게 말하면, $J$ 가 분수 아이디얼인 것 $\iff$ $J$ 가 유한 생성 $\mathcal{A}$ -가군인 것입니다.

힌트. 분모를 없애십시오!

풀이. $J$ 가 $K$ 의 어떤 원소들로 생성된다고 가정합시다. 이 원소들은 $\alpha_{i},\beta_{i}\in\mathcal{A}$ 에 대해 $\frac{\beta_{i}}{\alpha_{i}}$ 꼴로 쓸 수 있습니다. 따라서

$J=\left\{\sum_{i}\gamma_{i}\cdot\frac{\beta_{i}}{\alpha_{i}}\mid\alpha_{i},% \beta_{i},\gamma_{i}\in\mathcal{O}_{K}\right\}.$

이제 “분모를 없애십시오”. $\alpha=\alpha_{1}\dots\alpha_{n}$ 으로 두고, $\alpha J$ 가 정수 아이디얼임을 보이십시오.

문제 55E.

정리 55.5.4의 표기법에서 $I=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}}$ 라고 합시다. 간단히 하기 위해 $K$ 가 단생성이라고 가정합니다. 따라서 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]$ 입니다.

(a)

각 $\mathfrak{p}_{i}$ 가 소 아이디얼임을 증명하십시오.
(b)

$(p)$ 가 $I$ 를 나눈다는 것을 보이십시오.
(c)

노름을 사용하여 $(p)=I$ 임을 보이십시오.

힌트. (a)는 간단합니다. (b)는 $p$ 를 법으로 하여 계산하십시오. (c)는 노름을 사용하십시오.

풀이. (a)의 경우, $\mathfrak{p}_{i}$ 가 소 아이디얼인 것은 단지 다음이

$\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}_{i}\cong(\mathbb{Z}[x]/f)/(p,f_{i})\cong\mathbb{F% }_{p}[x]/(f_{i})$

$f_{i}$ 가 기약이므로 체이기 때문이라는 점에 주목하십시오.

(b)를 확인합니다. $p$ 를 법으로 하여 곱을 계산하면 다음을 얻습니다³³3예를 들어, $(3,1+\sqrt{7})(3,1-\sqrt{7})$ 이 $(3)$ 에 포함됨을 알고 싶다고 합시다. 전체 계산을 수행하면 $(9,3+3\sqrt{7},3-3\sqrt{7},6)$ 을 얻을 수 있습니다. 그러나 관심 있는 것이 모든 원소가 $3$ 으로 나누어떨어진다는 사실뿐이라면, 처음부터 “mod $3$ ”을 취하여 $(1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=(6)$ 만 살펴보아도 충분했을 것입니다. 나머지 곱들은 모두 당연히 $3$ 을 인수로 가지기 때문입니다.

$\prod_{i=1}^{g}(f_{i}(\theta))^{e_{i}}\equiv(f(\theta))\equiv 0\pmod{p}$

따라서 $I\subseteq(p)$ 임을 보였습니다.

마지막으로, 크기 논법으로 (c)를 증명합니다. 핵심 아이디어는 $I$ 와 $(p)$ 가 실제로 같은 크기를 가져야 한다는 것입니다. 이를 확실히 하기 위해 아이디얼 노름을 사용하겠습니다. $(p)$ 가 $I$ 를 나누므로, 각 $i$ 에 대해 $e_{i}^{\prime}\leq e_{i}$ 인 $(p)=\prod_{i=1}^{g}\mathfrak{p}_{i}^{e_{i}^{\prime}}$ 로 쓸 수 있습니다. $\mathcal{O}_{K}/(p)\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]/(f)$ 의 크기가 $p^{\deg f}$ 임에 주목하십시오. 마찬가지로, 각 $i$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p}_{i}$ 의 크기는 $p^{\deg f_{i}}$ 입니다. 이제 $e_{i}^{\prime}$ 를 사용하여 $\operatorname{N}((p))$ 를 계산하고 결과를 비교하십시오.

문제 55F (USEMO 2025).

^†^†margin:

$k$ 를 $6$ 으로 나누어떨어지지 않는 양의 정수라고 합시다. 어떤 소수 $p$ 가 존재하여 $p$ 가 $2025^{k}-1$ 과 $2026^{k}-1$ 을 모두 나눈다고 가정합시다. $p<3^{k}$ 임을 증명하십시오.

힌트. $\omega$ 를 $k$ 차 단위근이라고 합시다. $\mathfrak{p}$ 를 $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 의 정수환에서 $p$ 위에 놓인 임의의 소 아이디얼이라고 합시다. $2025-\omega^{i}$ 와 $2026-\omega^{j}$ 가 $\mathfrak{p}$ 에 속하도록 하는 첨자 $i$ 와 $j$ 가 존재함을 보이십시오. 그다음 $1+\omega^{i}-\omega^{j}$ 가 $0$ 이 아니며 그 노름이 $3^{k}$ 이하임을 보이십시오.

풀이. 앞에서와 같이 $\omega\coloneq e^{\frac{2i\pi}{k}}$ 로 둡니다. $K=\mathbb{Q}(\omega)$ 라 하고, $p\mathbb{Z}$ 위에 놓인 $\mathcal{O}_{K}$ 의 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 를 택합니다.

다음을 알고 있습니다.

$\prod_{i=0}^{k-1}(2025-\omega^{i})=2025^{k}-1\in(p)\subseteq\mathfrak{p}$

그리고 $\mathfrak{p}$ 는 소 아이디얼이므로, 어떤 $i$ 에 대해 $2025-\omega^{i}\in\mathfrak{p}$ 임을 압니다. 마찬가지로 어떤 $j$ 에 대해 $2026-\omega^{j}\in\mathfrak{p}$ 입니다. 두 식을 빼면,

$(2026-\omega^{j})-(2025-\omega^{i})=1+\omega^{i}-\omega^{j}\in\mathfrak{p}% \implies p\mid\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(1+\omega^{i}-\omega^{j}).$

$6\nmid k$ 이므로 $1+\omega^{i}-\omega^{j}\neq 0$ 이 따라 나오고, 따라서 $p$ 는 위의 노름 이하입니다. 그런데 정의로부터 바로,

$\left|\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}}(1+\omega^{i}-\omega^{j}% )\right|=\prod_{\gcd(m,k)=1,1\leq m\leq k}|1+\omega^{mi}-\omega^{mj}|\leq 3^{k}.$