장 58 보너스: 펠 방정식을 풀어봅시다!

이는 선택적으로 읽을 수 있는 부록이며, 안전하게 건너뛰어도 됩니다. (반면 꽤 짧습니다.)

58.1 단위

대표적인 예: $\pm 1$ , 단위근, $3-2\sqrt{2}$ 와 그 거듭제곱.

문제 54A에 따르면 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 가 가역인 것과

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1.

인 것이 동치임을 상기하십시오. $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위들의 집합을 나타내도록 합시다.

질문 58.1.1.

$\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 가 곱셈에 대해 군을 이룸을 보이십시오. 따라서 이를 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위군이라 부릅니다.

단위의 예로는 어떤 것들이 있습니까?

예제 58.1.2 (수체에서 단위의 예시).

1.

$\pm 1$ 은 확실히 단위이며, 임의의 수체에 존재합니다.
2.

$\mathcal{O}_{K}$ 가 단위근 $\omega$ 를 포함한다면 (즉 $\omega^{n}=1$ ), $\omega$ 는 단위입니다. (사실 $\pm 1$ 은 이의 특수한 경우입니다.)
3.

물론 $\mathcal{O}_{K}$ 의 모든 단위가 단위근인 것은 아닙니다. 예를 들어 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ ( $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 로부터 나온 것)이라면, 수 $2+\sqrt{3}$ 은 단위인데, 그 노름이

$\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(2+\sqrt{3})=2^{2}-3\cdot 1^{2}=1.$

또는, 단순히 그 역원 $2-\sqrt{3}\in\mathcal{O}_{K}$ 역시 성립함을 확인해도 됩니다:

$\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=1.$

어느 쪽이든, $2-\sqrt{3}$ 은 단위입니다.
4.

임의의 단위 $u\in\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 에 대해, 그 모든 거듭제곱 역시 단위입니다. 예를 들어 $(3-2\sqrt{2})^{n}$ 은 임의의 $n$ 에 대해 항상 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 의 단위입니다. $u$ 가 단위근이 아니라면, 이는 $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 에서 무한히 많은 새로운 단위들을 생성합니다.

질문 58.1.3.

다음 주장들을 확인하십시오:

(a)

단위근은 단위이다, 그리고
(b)

단위원의 거듭제곱은 단위원입니다.

정의로부터 출발하거나, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ 이라는 특징을 사용할 수 있습니다. 한쪽 정의가 더 자연스럽게 느껴진다면, 다른 쪽을 사용해 보십시오.

58.2 디리클레 단위 정리

대표적인 예: $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 의 단위들은 $\pm(2+\sqrt{3})^{n}$ 입니다.

정의 58.2.1.

$\mu(\mathcal{O}_{K})$ 가 수체 $K$ 에 (동치로, $\mathcal{O}_{K}$ 에) 포함된 단위근들의 집합을 나타내도록 합시다.

예제 58.2.2 ( $\mu(\mathcal{O}_{K})$ 의 예).

(a)

$K=\mathbb{Q}(i)$ 이면, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\{\pm 1,\pm i\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(i).$
(b)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 이면, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\{\pm 1\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}).$
(c)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 이면, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{-3})]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\left\{\pm 1,\frac{\pm 1\pm\sqrt{-3}}{2}\right\}\quad% \text{여기서}K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$

여기서 두 번째 항의 $\pm$ 들은 서로 독립적일 필요가 없습니다. 다시 말해 $\mu(\mathcal{O}_{K})=\left\{z\mid z^{6}=1\right\}$ 입니다.

연습문제 58.2.3.

$\mu(\mathcal{O}_{K})$ 가 항상 어떤 정수 $n$ 에 대해 $x^{n}-1$ 의 근들로 이루어짐을 보이십시오. (먼저 그것이 곱셈에 대해 유한군임을 보이십시오.)

이제 증명 없이 소위 디리클레 단위정리를 인용하겠습니다. 이 정리는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위들이 무엇인지에 대해 훨씬 더 완전한 그림을 제공합니다. 전설에 따르면 디리클레는 시스티나 성당에서 열린 부활절 연주회 중에 이 정리의 증명을 발견했다고 합니다.

정리 58.2.4 (디리클레의 단위정리).

$K$ 를 시그니처 $(r_{1},r_{2})$ 를 갖는 수체라 하고 다음과 같이 놓습니다

s=r_{1}+r_{2}-1.

그러면 모든 단위 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 가 다음 형태로 유일하게 쓰일 수 있도록 하는 단위 $u_{1}$ , …, $u_{s}$ 가 존재합니다

\alpha=\omega\cdot u_{1}^{n_{1}}\dots u_{s}^{n_{s}}

여기서 $\omega\in\mu(\mathcal{O}_{K})$ 는 단위근이고, $n_{1},\dots,n_{s}\in\mathbb{Z}$ 입니다.

더 간결하게 말하면:

$\mathcal{O}_{K}^{\times}\cong\mathbb{Z}^{r_{1}+r_{2}-1}\times\mu(\mathcal{O}_{% K})$ 입니다.

$u_{1}$ , …, $u_{s}$ 의 선택을 기본 단위의 선택이라 부릅니다.

몇 가지 응용 예시를 살펴보겠습니다.

예제 58.2.5 (몇몇 단위군).

(a)

$K=\mathbb{Q}(i)$ 가 시그니처 $(0,1)$ 을 갖는다고 합시다. 그러면 $s=0$ 이 되므로, 디리클레의 단위정리에 따르면 단위근 외에 다른 단위는 존재하지 않습니다. 따라서

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\{\pm 1,\pm i\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(i).$

이는 놀랍지 않은데, $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$ 가 단위인 것과 $a^{2}+b^{2}=1$ 인 것이 동치이기 때문입니다.
(b)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 이 시그니처 $(2,0)$ 을 갖는다고 합시다. 그러면 $s=1$ 이므로 정확히 하나의 기본 단위를 기대합니다. 기본 단위는 노름이 $1$ 인 $2+\sqrt{3}$ (또는 그 역원인 $2-\sqrt{3}$ )이며, 따라서 다음을 얻습니다

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\left\{\pm(2+\sqrt{3})^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$
(c)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 시그니처 $(1,1)$ 을 갖는다고 합시다. 그러면 $s=1$ 이므로 정확히 하나의 기본 단위를 기대합니다. 선택은 $1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ 입니다. 따라서

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\left\{\pm\left(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^{n}% \mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$

이것들이 실제로 기본 단위임을 아직 보여드리지 않았는데, 실제로 기본 단위를 계산하는 것은 일반적으로 어렵습니다.

58.3 기본 단위 찾기

다음은 몇몇 기본 단위들을 담은 표입니다.

\begin{array}[]{rl}d&\text{단위}\\ \hline\cr d=2&1+\sqrt{2}\\ d=3&2+\sqrt{3}\\ d=5&\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\\ d=6&5+2\sqrt{6}\\ d=7&8+3\sqrt{7}\\ d=10&3+\sqrt{10}\\ d=11&10+3\sqrt{1}1\end{array}

일반적으로 기본 단위를 결정하는 것은 계산상 어렵습니다.

그러나 일단 기본 단위가 무엇인지 알려드리면, 그것을 검증하는 일은 (적어도 $s=1$ 인 경우에는) 그리 나쁘지 않습니다. 예를 들어, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{1}1)$ 의 정수환이 $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 일 때 $10+3\sqrt{11}$ 이 $K$ 의 기본 단위임을 보이고자 한다고 합시다. 만약 그렇지 않다면, 어떤 $n>1$ 에 대해 다음이 성립해야 할 것입니다

10+3\sqrt{11}=\pm\left(x+y\sqrt{11}\right)^{n}.

이런 일이 일어나려면, 최소한 $\left\lvert y\right\rvert<3$ 이어야 합니다. 또한 $x^{2}-11y^{2}=\pm 1$ 이어야 합니다. 따라서 ( $y=1,2$ 를 이용하여) 이것이 성립하지 않음을 그냥 확인할 수 있습니다.

요점은 이렇습니다: $(10,3)$ 이 $x^{2}-11y^{2}=\pm 1$ 의 정수해 중 ( $\left\lvert y\right\rvert$ 의 의미에서) 가장 작은 해이므로, 이는 기본 단위여야 합니다. 이는 더 일반적으로 성립하지만, $d\equiv 1\pmod{4}$ 인 경우에는 $x$ , $y$ 가 (예를 들어 $\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ 처럼) 반정수일 수 있으므로 수정이 필요합니다.

정리 58.3.1 (펠 방정식의 기본 단위).

$d$ 를 제곱인수가 없는 정수라고 가정합니다.

(a)

$d\equiv 2,3\pmod{4}$ 이고, $(x,y)$ 가 $x^{2}-dy^{2}=\pm 1$ 의 최소 정수 해라면, $x+y\sqrt{d}$ 는 기본 단위입니다.
(b)

$d\equiv 1\pmod{4}$ 이고, $(x,y)$ 가 $x^{2}-dy^{2}=\pm 1$ 의 최소 반정수 해라면, $x+y\sqrt{d}$ 는 기본 단위입니다. (동등하게, $a^{2}-db^{2}=\pm 4$ 의 최소 정수 해는 $\frac{1}{2}(a+b\sqrt{d})$ 를 줍니다.)

(“최소”에 대한 어떤 합리적인 정의든 작동합니다, 예를 들어 $\left\lvert y\right\rvert$ 로 정렬하는 것처럼 말입니다.)

58.4 펠 방정식

이러한 부류의 결과는 펠 방정식을 완전히 소거합니다. 결국,

a^{2}-d\cdot b^{2}=\pm 1

을 푸는 것은 노름이 $\pm 1$ 인 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 의 원소를 찾는 것에 해당합니다. $d\equiv 1\pmod{4}$ 인 경우에는 조금 더 이상합니다, 왜냐하면 이 경우 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 는 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})]$ 를 주므로, 기본 단위가 실제로는 해가 아닐 수도 있기 때문입니다. (예를 들어, $d=5$ 일 때, 해 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 를 얻습니다.) 그럼에도 불구하고, 모든 정수 해는 결국 생성됩니다.

이 모든 것을 구체적으로 만들기 위해, 여기 간단한 예시가 있습니다.

예제 58.4.1 ( $x^{2}-5y^{2}=\pm 1$ ).

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 로 설정하면, $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})]$ 입니다. 디리클레 단위 정리에 의해, $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 는 하나의 원소 $u$ 에 의해 생성됩니다. 다음의 선택은

u=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}

$a^{2}-5b^{2}=\pm 4$ 에 대해 더 작은 정수 해가 없으므로, 기본 단위로 사용됩니다.

$u$ 의 처음 몇 거듭제곱은 다음과 같습니다

\begin{array}[]{rrr}n&\lx@intercol\hfil u^{n}\hfil\lx@intercol&\text{노름}\\ \hline\cr-2&\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})&1\\ -1&\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})&-1\\ 0&1&1\\ 1&\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})&-1\\ 2&\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})&1\\ 3&2+\sqrt{5}&-1\\ 4&\frac{1}{2}(7+3\sqrt{5})&1\\ 5&\frac{1}{2}(11+5\sqrt{5})&-1\\ 6&9+4\sqrt{5}&1\end{array}

첫 번째 정수 해는 $(2,1)$ 이며, 이는 $-1$ 을 준다는 것을 알 수 있습니다. $+1$ 을 주는 첫 번째 해는 $(9,4)$ 입니다. 이 패턴을 계속하면, $u$ 의 세제곱마다 정수 해를 준다는 것을 알 수 있으며(또한 문제 58B 참조), 홀수 번째는 $x^{2}-5y^{2}=-1$ 의 해를 주고 짝수 번째는 $x^{2}-5y^{2}=+1$ 의 해를 줍니다. 모든 해는 (부호 $\pm u^{\pm n}$ 을 고려함으로써) $\pm$ 부호를 제외하면 이런 방식으로 생성됩니다.

58.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 58A (헤이스팅스 전투에 관한 허구의 기록).

다음 전투에서 병사의 수를 구하십시오:

해럴드의 병사들은 늘 그랬듯이 함께 굳건히 서서 열세 개의 정사각형 대형을 이루었으며, 각 정사각형마다 같은 수의 병사가 있었고, 그들의 진지에 감히 발을 들이려는 대담한 노르만인에게는 화가 있을지어다. 색슨 전투 도끼의 일격 한 번이면 그의 창을 부러뜨리고 사슬 갑옷을 갈랐기 때문이다 . . . 해럴드가 몸소 전장에 뛰어들었을 때 색슨인들은 하나의 거대한 정사각형 병력이 되어 ”우트!”, ”올리크로세!”, ”고데마이트!”라는 함성을 외쳤다.

문제 58B.

$d>0$ 을 제곱나눔수가 없는 정수라 하고, $u$ 를 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 기본 단위라 하십시오. $u\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 이거나, 혹은 $u^{n}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\iff 3\mid n$ 임을 보이십시오.

문제 58C.

다음에 대해 정수 해가 없음을 보이십시오

x^{2}-34y^{2}=-1

$-1$ 이 $34$ 를 법으로 이차잉여라는 사실에도 불구하고 그렇습니다.