장 58 보너스: 펠 방정식을 풀어 봅시다!

이 부분은 선택적인 여담이므로 건너뛰어도 괜찮습니다. (한편으로는 꽤 짧기도 합니다.)

58.1 단위원

대표적인 예: $\pm 1$ , 단위근, $3-2\sqrt{2}$ 와 그 거듭제곱입니다.

문제 54A에 따르면 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 가 가역일 필요충분조건은

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1.

임을 상기하십시오. $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위원 전체의 집합을 $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 로 나타냅니다.

질문 58.1.1.

$\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 가 곱셈에 대해 군을 이룸을 보이십시오. 따라서 이를 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위군이라고 부릅니다.

단위원의 예로는 어떤 것들이 있습니까?

예제 58.1.2 (수체의 단위원의 예).

1.

$\pm 1$ 은 분명히 단위원이며, 모든 수체에 존재합니다.
2.

$\mathcal{O}_{K}$ 가 단위근 $\omega$ 를 포함하면(즉 $\omega^{n}=1$ 이면) $\omega$ 는 단원입니다. (사실 $\pm 1$ 은 이것의 특수한 경우입니다.)
3.

물론 $\mathcal{O}_{K}$ 의 모든 단원이 단위근인 것은 아닙니다. 예를 들어 ( $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 에서 온) $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 이면 수 $2+\sqrt{3}$ 은 단원입니다. 그 노름이 다음과 같기 때문입니다.

$\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(2+\sqrt{3})=2^{2}-3\cdot 1^{2}=1.$

또는 역원도 $2-\sqrt{3}\in\mathcal{O}_{K}$ 임에 주목하기만 해도 됩니다:

$\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=1.$

어느 쪽이든 $2-\sqrt{3}$ 은 단위원입니다.
4.

임의의 단원 $u\in\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 가 주어지면 그 거듭제곱도 모두 단원입니다. 예를 들어 $(3-2\sqrt{2})^{n}$ 은 임의의 $n$ 에 대해 항상 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 의 단원입니다. $u$ 가 단위근이 아니면 이로부터 $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 에 새로운 단원이 무한히 많이 생깁니다.

질문 58.1.3.

위에서 제시한 다음 주장들을 확인하십시오.

(a)

단위근은 단원이며,
(b)

단위원의 거듭제곱은 단위원입니다.

정의로부터 출발할 수도 있고, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ 이라는 특징을 이용할 수도 있습니다. 어느 한쪽 정의가 더 자연스럽게 느껴진다면 다른 쪽을 사용하십시오.

58.2 디리클레 단위 정리

대표적인 예: $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 의 단위원은 $\pm(2+\sqrt{3})^{n}$ 입니다.

정의 58.2.1.

수체 $K$ 에 (동치로 $\mathcal{O}_{K}$ 에) 포함된 단위근의 집합을 $\mu(\mathcal{O}_{K})$ 로 나타냅시다.

예제 58.2.2 ( $\mu(\mathcal{O}_{K})$ 의 예).

(a)

$K=\mathbb{Q}(i)$ 이면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[i]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\{\pm 1,\pm i\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(i).$
(b)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 이면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\{\pm 1\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}).$
(c)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 이면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{-3})]$ 입니다. 따라서

$\mu(\mathcal{O}_{K})=\left\{\pm 1,\frac{\pm 1\pm\sqrt{-3}}{2}\right\}\quad% \text{여기서}K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$

여기서 둘째 항의 $\pm$ 들은 서로 독립적으로 정할 수 있습니다. 다시 말해 $\mu(\mathcal{O}_{K})=\left\{z\mid z^{6}=1\right\}$ 입니다.

연습문제 58.2.3.

$\mu(\mathcal{O}_{K})$ 가 항상 어떤 정수 $n$ 에 대한 $x^{n}-1$ 의 근들로 이루어져 있음을 보이십시오. (먼저 이것이 곱셈에 대한 유한군임을 보이십시오.)

이제 이른바 디리클레 단위 정리를 증명 없이 인용합니다. 이 정리는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단위가 무엇인지 훨씬 더 완전하게 보여 줍니다. 전설에 따르면 디리클레는 시스티나 성당의 부활절 음악회 도중에 이 정리의 증명을 찾아냈다고 합니다.

정리 58.2.4 (디리클레 단위 정리).

$K$ 를 부호수가 $(r_{1},r_{2})$ 인 수체라 하고 다음과 같이 놓습니다.

s=r_{1}+r_{2}-1.

그러면 단위 $u_{1}$ , …, $u_{s}$ 가 존재하여, 모든 단위 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 를 다음 꼴로 유일하게 쓸 수 있습니다.

\alpha=\omega\cdot u_{1}^{n_{1}}\dots u_{s}^{n_{s}}

여기서 $\omega\in\mu(\mathcal{O}_{K})$ 는 단위근이고 $n_{1},\dots,n_{s}\in\mathbb{Z}$ 입니다.

더 간결하게 쓰면 다음과 같습니다.

$\mathcal{O}_{K}^{\times}\cong\mathbb{Z}^{r_{1}+r_{2}-1}\times\mu(\mathcal{O}_{% K})$ 입니다.

$u_{1}$ , …, $u_{s}$ 를 하나 고르는 것을 기본 단위의 선택이라고 합니다.

다음은 몇 가지 응용 예입니다.

예제 58.2.5 (몇 가지 단위군).

(a)

부호수가 $(0,1)$ 인 $K=\mathbb{Q}(i)$ 를 생각하십시오. 그러면 $s=0$ 이므로, 디리클레 단위 정리에 따르면 단위근 외에는 단위가 없습니다. 따라서

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\{\pm 1,\pm i\}\quad\text{여기서}K=\mathbb{Q}(i).$

이는 놀라운 일이 아닙니다. $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$ 가 단위일 필요충분조건은 $a^{2}+b^{2}=1$ 이기 때문입니다.
(b)

부호수가 $(2,0)$ 인 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 을 생각하십시오. 그러면 $s=1$ 이므로 기본 단위가 정확히 하나 있을 것으로 예상됩니다. 노름이 $1$ 인 $2+\sqrt{3}$ (또는 그 역원인 $2-\sqrt{3}$ )이 기본 단위이므로, 다음을 얻습니다.

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\left\{\pm(2+\sqrt{3})^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$
(c)

부호수가 $(1,1)$ 인 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 생각하십시오. 그러면 $s=1$ 이므로 기본 단위가 정확히 하나 있을 것으로 예상됩니다. 기본 단위로 $1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ 를 택할 수 있습니다. 따라서

$\mathcal{O}_{K}^{\times}=\left\{\pm\left(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^{n}% \mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$

사실 이것들이 기본 단위임을 보이지는 않았으며, 실제로 기본 단위를 계산하는 일은 일반적으로 어렵습니다.

58.3 기본 단위 찾기

다음은 몇 가지 기본 단위를 정리한 표입니다.

\begin{array}[]{rl}d&\text{단위}\\ \hline\cr d=2&1+\sqrt{2}\\ d=3&2+\sqrt{3}\\ d=5&\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\\ d=6&5+2\sqrt{6}\\ d=7&8+3\sqrt{7}\\ d=10&3+\sqrt{10}\\ d=11&10+3\sqrt{1}1\end{array}

일반적으로 기본 단위를 결정하는 일은 계산상 어렵습니다.

그러나 기본 단위가 무엇인지 일단 알려 주면, (적어도 $s=1$ 인 경우에는) 이를 검증하는 일은 그리 어렵지 않습니다. 예를 들어 정수환이 $\mathbb{Z}[\sqrt{11}]$ 인 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{1}1)$ 에서 $10+3\sqrt{11}$ 이 기본 단위임을 보이고 싶다고 합시다. 그렇지 않다면 어떤 $n>1$ 에 대하여 다음이 성립해야 합니다.

10+3\sqrt{11}=\pm\left(x+y\sqrt{11}\right)^{n}.

이것이 성립하려면 최소한 $\left\lvert y\right\rvert<3$ 이어야 합니다. 또한 $x^{2}-11y^{2}=\pm 1$ 이어야 합니다. 따라서 ( $y=1,2$ 를 대입하여) 이것이 성립하지 않음을 직접 확인할 수 있습니다.

요점은 다음과 같습니다. $(10,3)$ 이 $x^{2}-11y^{2}=\pm 1$ 의 ( $\left\lvert y\right\rvert$ 의 의미에서) 가장 작은 정수해이므로, 이것이 기본 단위일 수밖에 없습니다. 이는 더 일반적으로도 성립합니다. 다만 $d\equiv 1\pmod{4}$ 인 경우에는 $x$ , $y$ 가 ( $\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ 처럼) 반정수일 수 있으므로 약간 수정해야 합니다.

정리 58.3.1 (펠 방정식의 기본 단위).

$d$ 가 제곱 인수가 없는 정수라고 가정합니다.

(a)

$d\equiv 2,3\pmod{4}$ 이고 $(x,y)$ 가 $x^{2}-dy^{2}=\pm 1$ 의 최소 정수해이면, $x+y\sqrt{d}$ 는 기본 단위입니다.
(b)

$d\equiv 1\pmod{4}$ 이고 $(x,y)$ 가 $x^{2}-dy^{2}=\pm 1$ 의 최소 반정수해이면, $x+y\sqrt{d}$ 는 기본 단위입니다. (동치로, $a^{2}-db^{2}=\pm 4$ 의 최소 정수해는 $\frac{1}{2}(a+b\sqrt{d})$ 를 줍니다.)

(“최소”의 정의는 $\left\lvert y\right\rvert$ 에 따라 정렬하는 것처럼 합리적이기만 하면 어떤 것이든 됩니다.)

58.4 펠 방정식

이러한 부류의 결과는 펠 방정식을 완전히 해결합니다. 결국 다음 방정식을 푸는 것은

a^{2}-d\cdot b^{2}=\pm 1

노름이 $\pm 1$ 인 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 의 원소를 찾는 것과 같습니다. $d\equiv 1\pmod{4}$ 인 경우는 조금 더 까다로운데, 이 경우 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})]$ 이므로 기본 단위가 실제로는 해가 아닐 수도 있기 때문입니다. (예를 들어 $d=5$ 일 때 해 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 를 얻습니다.) 그럼에도 모든 정수해는 결국 생성됩니다.

이 모든 것을 구체적으로 보이기 위해 간단한 예를 하나 들겠습니다.

예제 58.4.1 ( $x^{2}-5y^{2}=\pm 1$ ).

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 로 두면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})]$ 입니다. 디리클레 단위 정리에 의해 $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ 는 단 하나의 원소 $u$ 로 생성됩니다. 다음과 같이 택한

u=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}

원소는 $a^{2}-5b^{2}=\pm 4$ 의 더 작은 정수해가 없으므로 기본 단위 역할을 합니다.

$u$ 의 처음 몇 거듭제곱은 다음과 같습니다.

\begin{array}[]{rrr}n&\lx@intercol\hfil u^{n}\hfil\lx@intercol&\text{노름}\\ \hline\cr-2&\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})&1\\ -1&\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})&-1\\ 0&1&1\\ 1&\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})&-1\\ 2&\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})&1\\ 3&2+\sqrt{5}&-1\\ 4&\frac{1}{2}(7+3\sqrt{5})&1\\ 5&\frac{1}{2}(11+5\sqrt{5})&-1\\ 6&9+4\sqrt{5}&1\end{array}

첫 번째 정수해는 $(2,1)$ 이며 이것이 $-1$ 을 준다는 것을 알 수 있습니다. $+1$ 을 주는 첫 번째 해는 $(9,4)$ 입니다. 이 패턴을 이어 가면 $u$ 의 거듭제곱 세 개마다 하나씩 정수해가 나오며(문제 58B도 참고하십시오), 그중 홀수 번째 것은 $x^{2}-5y^{2}=-1$ 의 해를, 짝수 번째 것은 $x^{2}-5y^{2}=+1$ 의 해를 준다는 것을 알 수 있습니다. ( $\pm u^{\pm n}$ 을 고려하면) $\pm$ 부호를 제외하고 모든 해가 이런 방식으로 생성됩니다.

58.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 58A (헤이스팅스 전투에 관한 가상의 기록).

다음 전투에 참가한 병사의 수를 구하십시오:

해럴드의 병사들은 늘 그랬듯이 굳건히 뭉쳐 서서 열세 개의 방진을 이루었는데, 각 방진마다 같은 수의 병사가 있었습니다. 그들의 보루에 감히 들어서려는 대담한 노르만인에게는 화가 미칠 것이었습니다. 색슨족의 전투 도끼 한 번이면 그의 창이 부러지고 사슬 갑옷이 베어졌기 때문입니다 . . . 해럴드가 몸소 전투에 뛰어들었을 때 색슨족은 하나의 거대한 방진을 이루어 “Ut!”, “Olicrosse!”, “Godemite!”라는 함성을 외쳤습니다.

문제 58B.

$d>0$ 을 제곱 인수가 없는 정수라 하고, $u$ 를 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 기본 단위라 합시다. $u\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 이거나, $u^{n}\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\iff 3\mid n$ 임을 보이십시오.

문제 58C.

다음 방정식의 정수해가 존재하지 않음을 보이십시오.

x^{2}-34y^{2}=-1

$-1$ 이 법 $34$ 에 대한 이차 잉여인데도 그렇습니다.