장 54 정수환

54.1 노름과 대각합

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 의 원소로서 $a+b\sqrt{2}$ 의 노름은 $a^{2}-2b^{2}$ 이고 대각합은 $2a$ 입니다.

올림피아드를 하던 시절에 $a+bi$ 의 “노름”이 $a^{2}+b^{2}$ 라고 했던 것을 기억하십니까? 좋습니다. 실제로 무슨 일이 일어나고 있는지 알려 드리겠습니다.

먼저 켤레의 개념을 정확히 정의하겠습니다.

정의 54.1.1.

$\alpha$ 를 대수적 수라 하고, $P(x)$ 를 그 최소 다항식이라 하며 그 차수를 $m$ 이라 합시다. 그러면 $P$ 의 $m$ 개의 근을 $\alpha$ 의 (갈루아) 켤레라고 합니다.

여기서 중복된 켤레가 없다는 것을 보여 둘 만합니다.

보조정리 54.1.2 (기약 다항식은 서로 다른 근을 가집니다).

$\mathbb{Q}[x]$ 의 기약 다항식은 복소수 중근을 가질 수 없습니다.

증명.

$f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ 를 기약 다항식이라 하고, $f$ 가 중근 $\alpha$ 를 가진다고 가정합시다. 도함수 $f^{\prime}(x)$ 를 취하십시오. 이 도함수는 세 가지 흥미로운 성질을 가집니다.

•

$f^{\prime}$ 의 차수는 $f$ 의 차수보다 1만큼 작습니다.
•

다항식 $f$ 와 $f^{\prime}$ 는 인수 $x-\alpha$ 를 공유하므로 서로소가 아닙니다.
•

$f^{\prime}$ 의 계수들 또한 $\mathbb{Q}$ 에 속합니다.

$g=\gcd(f,f^{\prime})$ 를 생각합시다. 유클리드 알고리즘에 의해 $g\in\mathbb{Q}[x]$ 이어야 합니다. 그런데 $f^{\prime}$ 에 관한 처음 두 사실에 의해 $g$ 는 상수가 아니며 $\deg g<\deg f$ 입니다. 그러나 $g$ 는 $f$ 를 나누므로, 이는 $f$ 가 기약이어야 한다는 사실에 모순입니다. ∎

따라서 $\alpha$ 는 정확히 $\alpha$ 의 차수만큼의 켤레를 가집니다.

이제 원소의 노름 $\operatorname{N}(\alpha)$ 를 그 켤레들의 곱으로 정의하고 싶습니다. 예를 들어 $2+i$ 의 노름은 $(2+i)(2-i)=5$ 이고, 일반적으로 $a+bi$ 의 노름은 $a^{2}+b^{2}$ 이기를 바랍니다. 노름이 곱셈적이라면 정말 멋질 것입니다. 복소수에 대해서는 이것이 참이라는 것을 이미 알고 있습니다!

안타깝게도 이는 제대로 들어맞지 않습니다. 다음을 생각해 보십시오.

\operatorname{N}(2+i)=5\text{그리고}\operatorname{N}(2-i)=5.

그런데 $(2+i)(2-i)=5$ 이고, $5$ 는 차수가 $1$ 이어서 켤레가 전혀 없으므로 우리가 원하는 대로 노름이 $25$ 가 되지 않습니다. 이런 “나쁜” 일이 일어나는 이유는, 실제로는 원소의 노름을 특정한 $K$ 에 대하여 정의해야 하는데 원소의 노름을 정의하려 했기 때문입니다.

제가 말하고자 하는 바는, 노름은 어느 체 안에 있느냐에 따라 다른 의미를 가져야 한다는 것입니다. $5$ 를 $\mathbb{Q}$ 의 원소로 생각하면 그 노름은 $5$ 입니다. 그러나 $\mathbb{Q}(i)$ 의 원소로 생각하면 그 노름은 마땅히 $25$ 여야 합니다. 이를 실현해 봅시다. 수체 $K$ 에 대하여, 이제 $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$ 를 $K$ 에 대한 $\alpha$ 의 노름으로 다음과 같이 정의하겠습니다.

정의 54.1.3.

$\alpha\in K$ 의 차수가 $n$ 이라 하면 $\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq K$ 이고, $k=(\deg K)/n$ 으로 둡니다. $\alpha$ 의 노름은 다음과 같이 정의됩니다

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\coloneqq\left(\prod\text{$\alpha$의 갈루아% 켤레}\right)^{k}.

대각합은 다음과 같이 정의됩니다

\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\coloneqq k\cdot\left(\sum\text{$% \alpha$의 갈루아 켤레}\right).

지수 $k$ 는 $5$ 를 $\mathbb{Q}$ 의 원소가 아니라 $\mathbb{Q}(i)$ 의 원소로 볼 때 $5$ 의 노름을 $5^{2}=25$ 로 만들어 주는 “보정 인자”입니다. $K$ 의 “일반적인” 원소에 대해서는 $k=1$ 일 것으로 예상합니다.

연습문제 54.1.4.

중첩된 벡터 공간에 대해 알고 있는 것을 이용하여 $k$ 가 실제로 정수임을 스스로 확인해 보십시오.

예제 54.1.5 ( $a+b\sqrt{2}$ 의 노름).

$\alpha=a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})=K$ 라고 합시다. $b\neq 0$ 이면 $\alpha$ 와 $K$ 의 차수는 $2$ 입니다. 따라서 $\alpha$ 의 켤레는 $a\pm b\sqrt{2}$ 뿐이며, 이로부터 노름

(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})=a^{2}-2b^{2},

을 얻습니다. 대각합은 $(a-b\sqrt{2})+(a+b\sqrt{2})=2a$ 입니다.

다행히도 $a^{2}-2b^{2}$ 와 $2a$ 라는 공식은 $b=0$ 일 때에도 성립합니다.

예제 54.1.6 ( $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$ 의 노름).

$\alpha=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=K$ 라고 합시다. 위와 마찬가지로 $b\neq 0$ 이거나 $c\neq 0$ 이면 $\alpha$ 와 $K$ 는 같은 차수 $3$ 을 가집니다. $\alpha$ 의 켤레는 $a+b\sqrt[3]{2}\omega+c\sqrt[3]{4}\omega^{2}$ 와 $a+b\sqrt[3]{2}\omega^{2}+c\sqrt[3]{4}\omega$ 이며, $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=a^{3}+2b^{3}+4c^{3}-6abc$ 와 $\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=3a$ 를 계산할 수 있습니다.

이 경우에는 $\alpha$ 의 켤레가 체 $K$ 안에 있지 않다는 점에 유의하십시오!

중요한 것은 다음과 같습니다.

명제 54.1.7 (노름과 대각합은 유리 정수입니다).

$\alpha$ 가 대수적 정수이면 그 노름과 대각합은 유리 정수입니다.

질문 54.1.8.

이를 증명하십시오. (비에타 공식.)

훌륭하지만, 한 가지 질문이 해결되지 않은 채 남습니다. 노름은 왜 곱셈적입니까? 이에 답하려면 노름과 대각합의 새로운 정의를 제시해야 합니다.

비고 54.1.9.

“보정 인자”를 자동으로 추가하는 또 다른 방법은 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장을 사용하는 것입니다.

나중에 정리 59.3.1에서 보겠지만, $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장은 정확히 $d=\deg K$ 개 있으며, 이를 $\sigma_{1},\dots,\sigma_{d}$ 라고 합시다. 그러면 $\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sum_{i=1}^{d}\sigma_{i}(\alpha)$ 이고 $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\prod_{i=1}^{d}\sigma_{i}(\alpha)$ 입니다.

정리 54.1.10 (노름과 대각합의 본질적으로 올바른 정의).

$K$ 를 차수가 $n$ 인 수체라 하고, $\alpha\in K$ 라고 합시다. $\mu_{\alpha}\colon K\to K$ 를 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간의 선형 사상으로 본 사상

x\mapsto\alpha x

라고 합시다. 그러면

•

$\alpha$ 의 노름은 행렬식 $\det\mu_{\alpha}$ 와 같고,
•

$\alpha$ 의 대각합은 대각합 $\operatorname{Tr}\mu_{\alpha}$ 와 같습니다.

행렬식의 정의에는 명백한 기하학적 해석이 있습니다. $K\cong\mathbb{Q}^{n}$ 을 벡터 공간으로 보면, 행렬식은 $\alpha$ 를 곱할 때 $\mathbb{Q}^{n}$ 이 얼마나 늘어나는지를 측정합니다. 즉, $\mathbb{Q}^{n}$ 에서 부피가 $v$ 인 평행육면체가 주어지면, 이는 변환 $\mu_{\alpha}$ 에 의해 부피가 $|\operatorname{N}(\alpha)|v$ 인 평행육면체로 변환됩니다.

대각합과 행렬식은 기저의 선택에 의존하지 않으므로, 원하는 아무 기저나 골라서 고등학교에서 배운 어떤 정의든 사용할 수 있습니다. 멋지지 않습니까?

예제 54.1.11 ( $a+b\sqrt{2}$ 에 대한 행렬의 명시적 계산).

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 라 하고, $1$ , $\sqrt{2}$ 를 $K$ 의 기저라고 합시다.

\alpha=a+b\sqrt{2}

라 하고(심지어 $b=0$ 이어도 됩니다), 다음에 주목하십시오.

\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(x+y\sqrt{2}\right)=(ax+2yb)+(bx+ay)\sqrt{2}.

이를 행렬 형태로 다시 쓰면 다음과 같습니다.

\begin{bmatrix}a&2b\\ b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+2yb\\ bx+ay\end{bmatrix}.

따라서 $\mu_{\alpha}$ 를 다음 행렬로 해석할 수 있습니다.

\mu_{\alpha}=\begin{bmatrix}a&2b\\ b&a\end{bmatrix}.

물론 다른 기저를 고르면 행렬은 바뀌지만, 행렬식과 대각합은 바뀌지 않습니다. 이들은 항상 다음과 같이 주어집니다.

\det\mu_{\alpha}=a^{2}-2b^{2}\text{그리고}\operatorname{Tr}\mu_{\alpha}=2a.

이 해석은 $b=0$ 인 경우에도 왜 같은 공식이 $a+b\sqrt{2}$ 에 대해 성립해야 하는지를 설명해 줍니다.

증명.

여기서는 노름에 대해서만 결과를 증명하겠습니다. 대각합도 비슷한 방법으로 얻어집니다. 다음과 같이 둡니다.

n=\deg\alpha,\qquad kn=\deg K.

증명은 $k=1$ 인지 아닌지에 따라 두 부분으로 나뉩니다.

$k=1$ 인 경우의 증명.

$n=\deg\alpha=\deg K$ 로 둡니다. 따라서 노름은 실제로 갈루아 켤레들의 곱입니다. 또한

\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}

은 $K$ 에서 선형 독립이므로 ( $\dim K=n$ 이므로) 기저입니다. 이것을 $\mu_{\alpha}$ 의 기저로 사용합시다.

x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_{0}

를 $\alpha$ 의 최소 다항식이라고 합시다. 따라서 $\mu_{\alpha}(1)=\alpha$ , $\mu_{\alpha}(\alpha)=\alpha^{2}$ 등이 성립하지만, $\mu_{\alpha}(\alpha^{n-1})=-c_{n-1}\alpha^{n-1}-\dots-c_{0}$ 입니다. 그러므로 $\mu_{\alpha}$ 는 다음 행렬로 주어집니다.

M=\begin{bmatrix}0&0&0&\dots&0&-c_{0}\\ 1&0&0&\dots&0&-c_{1}\\ 0&1&0&\dots&0&-c_{2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&0&-c_{n-2}\\ 0&0&0&\dots&1&-c_{n-1}\end{bmatrix}.

따라서

\det M=(-1)^{n}c_{0}

이고, 비에트 공식에 의해 증명이 끝납니다. ∎

$k>1$ 인 경우의 증명.

다음과 같이 포개진 벡터 공간들이 있습니다.

\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq K.

$e_{1}$ , …, $e_{k}$ 를 $K$ 의 $\mathbb{Q}(\alpha)$ -기저라고 합시다(즉, $K$ 를 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 위의 벡터 공간으로 보고 그 기저를 고른다는 뜻입니다). $\{1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}\}$ 이 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 의 $\mathbb{Q}$ 기저이므로, 다음 원소들은

\begin{array}[]{cccc}e_{1},&e_{1}\alpha,&\dots,&e_{1}\alpha^{n-1}\\ e_{2},&e_{2}\alpha,&\dots,&e_{2}\alpha^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e_{k},&e_{k}\alpha,&\dots,&e_{k}\alpha^{n-1}\end{array}

$K$ 의 $\mathbb{Q}$ -기저를 이룹니다. 이 기저를 사용하면 사상 $\mu_{\alpha}$ 는 다음과 같은 모양이 됩니다.

\underbrace{\begin{bmatrix}M&&&\\ &M&&\\ &&\ddots&\\ &&&M\end{bmatrix}}_{\text{$k$번}}

여기서 $M$ 은 위와 같은 행렬입니다. 즉, 각 $e_{i}$ 마다 이전 행렬의 사본이 하나씩 생길 뿐입니다. 따라서 원하던 대로 $\det\mu_{\alpha}=(\det M)^{k}$ 입니다. ∎

질문 54.1.12.

대각합에 대해서도 결과를 확인하십시오. ∎

이로부터 다음이 곧바로 따릅니다.

\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha\beta)=\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(% \alpha)\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)

왜냐하면 정의에 의해 다음이 성립하고

\mu_{\alpha\beta}=\mu_{\alpha}\circ\mu_{\beta},

행렬식은 곱셈적이기 때문입니다. 같은 방법으로 대각합은 덧셈적입니다.

54.2 정수환

대표적인 예: $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 이면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 입니다. 그러나 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 이면 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ 입니다.

$\mathbb{Z}$ 에서는 $\mathbb{Q}$ 에서보다 더 나은 정수론을 할 수 있습니다. 같은 방식으로, $K$ 의 대수적 정수에 초점을 맞추면 정말 좋은 구조를 얻을 수 있으며, 여기서 그렇게 하겠습니다.

정의 54.2.1.

수체 $K$ 가 주어졌을 때, 다음을

\mathcal{O}_{K}\coloneqq K\cap\overline{\mathbb{Z}}

$K$ 의 정수환으로 정의합니다. 다시 말해 $\mathcal{O}_{K}$ 는 $K$ 의 대수적 정수들로 이루어집니다.

이제 이차 체라는 고전적인 예를 다루겠습니다. 진행하기 전에 사소한 정수론 사실 하나를 적어 두어야 합니다.

연습문제 54.2.2 (성가시지만 간단함).

$a$ 와 $b$ 를 유리수, $d$ 를 제곱 인수가 없는 양의 정수라고 합시다.

•

$d\equiv 2,3\pmod{4}$ 이면, $2a,a^{2}-db^{2}\in\mathbb{Z}$ 일 필요충분조건이 $a,b\in\mathbb{Z}$ 임을 증명하십시오.
•

$d\equiv 1\pmod{4}$ 이면, $2a,a^{2}-db^{2}\in\mathbb{Z}$ 일 필요충분조건이 $a,b\in\mathbb{Z}$ 이거나 $a-\frac{1}{2},b-\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}$ 인 것임을 증명하십시오.

$4$ 를 법으로 하여 살펴보아야 합니다.

예제 54.2.3 ( $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 의 정수환).

$K$ 를 위와 같이 둡시다. 다음이 성립한다고 주장합니다.

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]=\left\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}% \right\}.

$\alpha=a+b\sqrt{3}$ 로 둡시다. 그러면 최소 다항식이 정수 계수를 가질 때 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 입니다.

$b=0$ 이면 최소 다항식은 $x-\alpha=x-a$ 이므로, $\alpha$ 는 정수일 때, 그리고 그때에만 조건을 만족합니다. $b\neq 0$ 이면 최소 다항식은 다음과 같습니다.

(x-a)^{2}-3b^{2}=x^{2}-2a\cdot x+(a^{2}-3b^{2}).

연습문제로부터, 이는 정확히 $a,b\in\mathbb{Z}$ 일 때 일어납니다.

예제 54.2.4 ( $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 의 정수환).

이 경우에는 다음이 성립함을 주장합니다.

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]=\left\{m+n\cdot% \frac{1+\sqrt{5}}{2}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.

증명은 완전히 같지만, 이번에는 연습문제로부터 $b\neq 0$ 일 때 $a,b\in\mathbb{Z}$ 일 가능성과 $a,b\in\mathbb{Z}-\frac{1}{2}$ 일 가능성이 모두 있음을 알 수 있다는 점만 다릅니다. 이는 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 가 $x^{2}-x-1=0$ 의 근이라는 사실을 반영하며, $\sqrt{3}$ 의 경우에는 이런 일이 불가능합니다.

일반적으로, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 정수환은 다음과 같습니다.

\mathcal{O}_{K}=\begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{d}]&d\equiv 2,3\pmod{4}\\[10.000% 02pt] \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]&d\equiv 1\pmod{4}.\end{cases}

우리가 보이려는 것은 $\mathcal{O}_{K}$ 가 $K$ 안에서 정수가 $\mathbb{Q}$ 안에서 행동하는 것과 매우 비슷하게 행동한다는 것입니다. 먼저 $K$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 에 속하는 수들의 몫으로 이루어져 있음을 보입니다. 사실은 이보다 더 나은 결과를 얻을 수 있습니다.

예제 54.2.5 (분모의 유리화).

예를 들어 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 를 생각해 봅시다. 수 $x=\frac{1}{4+\sqrt{3}}$ 는 $K$ 의 원소이지만, “분모를 유리화”하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\frac{1}{4+\sqrt{3}}=\frac{4-\sqrt{3}}{13}.

따라서 사실 $x$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 에 속하는 정수의 $\frac{1}{13}$ 임을 알 수 있습니다.

이 정리는 더 일반적으로도 성립합니다.

정리 54.2.6 ( $K=\mathbb{Q}\cdot\mathcal{O}_{K}$ ).

$K$ 를 수체라 하고, $x\in K$ 를 임의의 원소라 합시다. 그러면 $nx\in\mathcal{O}_{K}$ 를 만족하는 정수 $n$ 이 존재합니다. 다시 말해, 어떤 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대하여

x=\frac{1}{n}\alpha

입니다.

연습문제 54.2.7.

이를 직접 증명하십시오. ( $x$ 가 유리수 계수의 최소 다항식을 가진다는 사실을 이용하는 것으로 시작하십시오. 또는 노름을 취하십시오.)

이제 $\mathcal{O}_{K}$ 가 환임을 보이겠습니다. 즉, 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있음을 확인하겠습니다. 이를 위한 가장 쉬운 방법은 다음과 같습니다.

보조정리 54.2.8 ( $\alpha\in\overline{\mathbb{Z}}$ $\iff$ $\mathbb{Z}[\alpha]$ 가 유한 생성됨).

$\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ 라 합시다. 그러면 $\alpha$ 가 대수적 정수인 것은 아벨 군 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 가 유한 생성되는 것과 동치입니다.

증명.

$\alpha$ 가 대수적 정수인 것은 $\alpha$ 가 정수 계수를 갖는 영이 아닌 어떤 모닉 다항식의 근인 것과 동치임에 유의하십시오. 먼저 다음이 성립한다고 가정합시다.

\alpha^{N}=c_{N-1}\alpha^{N-1}+c_{N-2}\alpha^{N-2}+\dots+c_{0}.

그러면 집합 $1,\alpha,\dots,\alpha^{N-1}$ 은 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 를 생성합니다. $\alpha$ 의 모든 거듭제곱의 지수가 $N$ 보다 작아질 때까지 $\alpha^{N}$ 을 반복하여 치환할 수 있기 때문입니다.

역으로, $\mathbb{Z}[\alpha]$ 가 어떤 $b_{1},\dots,b_{m}$ 에 의해 유한 생성된다고 가정합시다. $b_{i}$ 를 $\alpha$ 에 대한 다항식으로 보면, 큰 정수 $N$ (예를 들어 $N=\deg b_{1}+\dots+\deg b_{m}+2015$ )을 선택하고 $\alpha^{N}$ 을 $b_{i}$ 들로 나타내어 다음을 얻을 수 있습니다.

\alpha^{N}=c_{1}b_{1}(\alpha)+\dots+c_{m}b_{m}(\alpha).

위 식은 $\alpha$ 에 대한 모닉 다항식을 주며, $N$ 의 선택에 의해 이 다항식이 영이 아님이 보장됩니다. 따라서 $\alpha$ 는 대수적 정수입니다. ∎

예제 54.2.9 ( $\frac{1}{2}$ 는 대수적 정수가 아님).

우리는 이미 $\frac{1}{2}$ 가 대수적 정수가 아님을 알고 있습니다. 따라서 다음이

\mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]=\left\{\frac{a}{2^{m}}\mid a,m\in\mathbb{Z}% \text{그리고}m\geq 0\right\}

유한 생성되지 않을 것이라 예상할 수 있으며, 실제로 그렇습니다.

질문 54.2.10.

마지막 예를 구체적으로 살펴봅시다. $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ 의 원소 중에서 다음의 정수 계수 결합으로 쓸 수 없는 원소를 모두 제시하십시오.

\left\{\frac{1}{2},\frac{7}{8},\frac{13}{64},\frac{2015}{4096},\frac{1}{104857% 6}\right\}

이제 정리를 서술할 수 있습니다.

정리 54.2.11 (대수적 정수는 $+$ 와 $\times$ 에 대해 닫혀 있습니다).

집합 $\overline{\mathbb{Z}}$ 는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있습니다. 즉, 이 집합은 환입니다. 특히 임의의 수체 $K$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}$ 또한 환입니다.

증명.

$\alpha,\beta\in\overline{\mathbb{Z}}$ 라고 합시다. 그러면 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 와 $\mathbb{Z}[\beta]$ 는 유한 생성됩니다. 따라서 $\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ 도 유한 생성됩니다. (자세히 말하면, $\mathbb{Z}[\alpha]$ 가 $\mathbb{Z}$ -기저 $a_{1},\dots,a_{m}$ 을 가지고 $\mathbb{Z}[\beta]$ 가 $\mathbb{Z}$ -기저 $b_{1},\dots,b_{n}$ 을 가진다면, $m n$ 개의 원소 $a_{i}b_{j}$ 를 택하면 됩니다.)

이제 $\mathbb{Z}[\alpha\pm\beta]$ 와 $\mathbb{Z}[\alpha\beta]$ 는 $\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ 의 부분집합이므로 이들 역시 유한 생성됩니다. 따라서 $\alpha\pm\beta$ 와 $\alpha\beta$ 는 대수적 정수입니다. ∎

사실은 이보다 더 좋은 결과가 성립합니다. 앞에서 보았듯이 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 에 대해서는 $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ 이었습니다. 다시 말해 $\mathcal{O}_{K}$ 는 $1$ 과 $\sqrt{3}$ 으로 생성되었습니다. $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 에 대해서도 비슷한 사실이 성립했습니다. 사실 일반적인 상황도 정확히 이와 같은 모습이라고 주장합니다.

정리 54.2.12 ( $\mathcal{O}_{K}$ 는 계수가 $n$ 인 자유 $\mathbb{Z}$ -가군입니다).

$K$ 를 차수가 $n$ 인 수체라고 합시다. 그러면 $\mathcal{O}_{K}$ 는 계수가 $n$ 인 자유 $\mathbb{Z}$ -가군입니다. 즉, 아벨 군으로서 $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{\oplus n}$ 입니다. 다시 말해 $\mathcal{O}_{K}$ 는 다음과 같이 $n$ 개의 원소로 이루어진 $\mathbb{Z}$ -기저를 가집니다.

\mathcal{O}_{K}=\left\{c_{1}\alpha_{1}+\dots+c_{n-1}\alpha_{n-1}+c_{n}\alpha_{% n}\mid c_{i}\in\mathbb{Z}\right\}

여기서 $\alpha_{i}$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 에 속하는 대수적 정수입니다.

증명은 뒤의 장으로 미루겠습니다.

이 마지막 정리는 여러 면에서 $\mathcal{O}_{K}$ 가 $K$ 안의 “격자”임을 보여 줍니다. 즉, 수체 $K$ 에 대해 $\mathcal{O}_{K}$ 안에서 다음을 만족하는 $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 찾을 수 있습니다.

	$\displaystyle\mathcal{O}_{K}$	$\displaystyle\cong\alpha_{1}\mathbb{Z}\oplus\alpha_{2}\mathbb{Z}\oplus\dots% \oplus\alpha_{n}\mathbb{Z}$
	$\displaystyle K$	$\displaystyle\cong\alpha_{1}\mathbb{Q}\oplus\alpha_{2}\mathbb{Q}\oplus\dots% \oplus\alpha_{n}\mathbb{Q}$

이는 아벨 군으로서 성립합니다.

54.3 단생성 확대에 관하여

수체 $K$ 는 모두 어떤 $\alpha$ 에 대해 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 로 나타낼 수 있었음을 떠올려 보십시오. 정수환에 대해서도 비슷한 사실이 성립하기를, 즉

\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\theta]

로 쓸 수 있기를 기대해 볼 수 있습니다. 이 경우 $\{1,\theta,\dots,\theta^{n-1}\}$ 은 $K$ 의 기저이자 $\mathcal{O}_{K}$ 의 $\mathbb{Z}$ -기저 역할을 동시에 합니다(여기서 $n=[K:\mathbb{Q}]$ 입니다). 다시 말해 $\mathcal{O}_{K}$ 의 기저가 실제로 “거듭제곱 기저”이기를 기대하는 것입니다.

이는 우리가 사용하는 가장 흔한 예들에서 성립합니다.

•

이차 수체, 그리고
•

문제 54E의 원분체.

안타깝게도 이는 일반적으로 성립하지 않습니다. 첫 번째 반례는 $\alpha$ 가 $X^{3}-X^{2}-2X-8$ 의 근일 때의 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ 입니다.

이러한 좋은 성질을 가지는 확대를 단생성이라고 부릅니다. 나중에 보겠지만, 단생성 확대에는 아주 좋은 인수분해 알고리즘 정리 55.5.4가 있습니다.

비고 54.3.1 ( $\mathcal{O}_{K}$ 에서 무엇이 잘못되었을까요?).

바로 위에서 언급했듯이 아벨 군으로서 $\mathcal{O}_{K}\cong\mathbb{Z}^{3}$ 이므로, $\mathcal{O}_{K}$ 는 유한 개의 원소로 생성됩니다.

사실 $\beta=\frac{\alpha+\alpha^{2}}{2}$ 라 할 때 $\{1,\alpha,\beta\}$ 는 $\mathcal{O}_{K}$ 의 기저입니다. $\{1,\alpha,\alpha^{2}\}$ 로 생성되는 군은 $\mathcal{O}_{K}$ 에서 지수가 2입니다. 즉, $|\mathcal{O}_{K}/\langle 1,\alpha,\alpha^{2}\rangle|=2$ 이며, $\beta$ 를 놓치게 됩니다.

대신 $\{1,\beta,\beta^{2}\}$ 를 기저로 택하려 해도 다시 $|\mathcal{O}_{K}/\langle 1,\beta,\beta^{2}\rangle|=2$ 가 되어 $\alpha$ 를 놓치게 됩니다. 직접 계산해 보면 $\beta^{2}=\frac{3\alpha^{2}+7\alpha}{2}+6=3\beta+2\alpha+6$ 임을 얻을 수 있습니다.

이것이 이 확대가 단생성이 아니라는 증명은 아니지만, $\mathcal{O}_{K}$ 의 구조에 대한 감을 잡는 데 도움이 되기를 바랍니다.

54.4 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 54A.

$\alpha$ 가 $\mathcal{O}_{K}$ 의 단원(즉, $\alpha^{-1}\in\mathcal{O}_{K}$ )일 필요충분조건이 $\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm 1$ 임을 보이십시오.

힌트. 노름은 곱셈적이며 갈루아 켤레들의 곱과 같습니다.

문제 54B.

$K$ 를 수체라고 합시다. $\mathcal{O}_{K}$ 의 분수체는 무엇입니까?

힌트. $K$ 와 동형입니다.

문제 54C (러시아 올림피아드 1984).

다음을 만족하는 모든 정수 $m$ 과 $n$ 을 구하십시오.

\left(5+3\sqrt{2}\right)^{m}=\left(3+5\sqrt{2}\right)^{n}.

힌트. $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 위의 표준 노름을 취하면 이 문제는 단숨에 해결됩니다.

문제 54D (USA TST 2012).

다음을 만족하는 $a,b,c>2010$ 이 존재하는지 판별하십시오.

a^{3}+2b^{3}+4c^{3}=6abc+1.

힌트. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 에서의 노름.

문제 54E (원분체).

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$p$ 를 홀수 유리 소수라 하고 $\zeta_{p}$ 를 원시 $p$ 제곱 단위근이라 합시다. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ 라 합시다. $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\zeta_{p}]$ 임을 증명하십시오. (사실 이 결과는 $p$ 가 소수가 아니어도 성립합니다.)

힌트. 자명하게 $\mathbb{Z}[\zeta_{p}]\subseteq\mathcal{O}_{K}$ 이므로, 우리의 목표는 역방향 포함 관계를 보이는 것입니다. 임의의 $\alpha\in\mathcal{O}_{K}$ 에 대하여 $\alpha(1-\zeta_{p})$ 의 대각합이 $p$ 로 나누어떨어짐을 보이십시오. $x=a_{0}+a_{1}\zeta_{p}+\dots+a_{p-2}\zeta^{p-2}\in\mathcal{O}_{K}$ (단, $a_{i}\in\mathbb{Q}$ )가 주어졌을 때, $(1-\zeta_{p})x$ 를 생각하십시오.