장 83 국소화

아핀 스킴을 정의하기에 앞서, 대수적 구성을 하나 더 제대로 다루는 시간을 갖겠습니다. 바로 국소화입니다. 스킴을 정의하고 나면 모든 단면과 줄기가 실제로 이 구성을 통해 얻어진다는 것을 알게 되므로, 이 과정은 반드시 필요합니다.

다소 우스꽝스러운 표어를 하나 들자면 다음과 같습니다.

국소화는 분모를 추가하는 기술입니다.

아핀 다양체를 다룰 때 $\left\{\frac{f}{g}\mid g(p)\neq 0\right\}$ 꼴의 식 등이 끊임없이 등장했던 것을 기억하실 것입니다. 요점은 우리가 분모를 많이 도입했다는 것입니다. 국소화는 이를 일반적으로 간결하게 수행하는 방법을 제공할 것입니다.

이로써 이 연산을 왜 “국소화”라고 부르는지도 설명됩니다. “전역” 함수들의 집합에서 출발하여, “더 작은” 열린집합 위에서, 또는 점 $p$ 의 열린 근방에서 잘 정의되는 (더 큰) 함수들의 집합을 얻기 때문입니다.

물론 이것은 자리스키 위상이므로, “작다”는 것은 “특정 곡선들을 제외한 모든 곳”을 의미합니다.

표기에 관한 참고: 앞으로는 환을 $R$ , $S$ , …대신 $A$ , $B$ , …로 표기하는 편을 택하겠습니다.

83.1 스포일러

앞으로 무엇이 나올지 알 수 있도록 미리 보여 드리겠습니다. 여기 나오는 몇몇 내용은 이해가 되지 않겠지만 괜찮습니다. 복선일 뿐입니다.

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 하고, 간결함을 위해 $R=\mathbb{C}[V]$ 를 그 좌표환이라 합시다. 이전 절들에서 점 $p\in V$ 에 대하여 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 와 $\mathcal{O}_{V,p}$ 를 계산하는 방법을 살펴보았습니다. 예를 들어 $\mathbb{A}^{1}$ 을 택하고 점 $p$ 를 생각하면, $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}(D(x-p))=\left\{\frac{f(x)}{(x-p)^{n}}\right\}$ 이고 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1},p}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(p)\neq 0\right\}$ 입니다. 더 일반적으로는 다음을 얻었습니다.

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V}(D(g))$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g^{n}}\mid f\in R\right\}\quad\text{\lx@cref{% creftypecap~refnum}{thm:reg_func_distinguish_open}에 의해}$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in R,g(p)\neq 0\right\}\quad\text{% \lx@cref{creftypecap~refnum}{thm:stalks_affine_var}에 의해}.$

곧 국소화라는 것을 정의할 것인데, 이것은 위의 내용을 깔끔하게 표현하는 방법을 제공합니다. $R=\mathbb{C}[V]$ 가 좌표환이라면, 위의 식은 다음과 같이 간단히 줄어듭니다.

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V}(D(g))$	$\displaystyle=R[g^{-1}]$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=R_{\mathfrak{m}}\quad\text{여기서}\{p\}=\mathcal{V}(\mathfrak{m}).$

전자는 “ $g$ 에서 벗어나 국소화된 $R$ ”이라 읽고, 후자는 “ $\mathfrak{m}$ 에서 국소화된 $R$ ”이라 읽습니다.

더 일반적으로, 다음 장에서는 좌표환 $R$ 을 아예 버리고 일반적인 가환환 $A$ 로 대체할 것입니다(여전히 함수들로 간주합니다). $X=\operatorname{Spec}A$ 라는 환 달린 공간을 구성할 것인데, 그 원소는 $A$ 의 소 아이디얼이며 이 공간은 자리스키 위상과 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 갖추고 있습니다. 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의하는 올바른 방법은 국소화를 사용하는 것임이 밝혀질 것입니다.

	$\displaystyle\mathcal{O}_{X}(D(f))$	$\displaystyle=A[f^{-1}]$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}$	$\displaystyle=A_{\mathfrak{p}}$

여기서 $f\in A$ 는 임의의 원소이고 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 는 임의의 소 아이디얼입니다. 따라서 복소 아핀 다양체의 경우와 마찬가지로, 국소화는 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 거의 완전하게 기술하는 방법을 제공할 것입니다.

다시 말해,

국소화는 “전역” 정칙 함수들의 환으로부터 더 작은 열린집합 위의 정칙 함수들의 환을 정의하는 순수하게 대수적인 방법입니다.

83.2 정의

정의 83.2.1.

부분집합 $S\subseteq A$ 가 $1\in S$ 를 만족하고 곱셈에 대해 닫혀 있으면, $S$ 를 곱셈적 집합이라 합니다.

정의 83.2.2.

$A$ 를 환이라 하고 $S\subset A$ 를 곱셈적 집합이라 합시다. 그러면 $S^{-1}A$ 로 표기하는 $A$ 의 $S$ 에서의 국소화는 다음 분수들의 집합으로 정의됩니다.

\left\{a/s\mid a\in A,s\in S\right\}

여기서 어떤 $s\in S$ 에 대하여 $s(a_{1}s_{2}-a_{2}s_{1})=0$ 이면 두 분수 $a_{1}/s_{1}=a_{2}/s_{2}$ 가 같다고 선언합니다. 이 환에서의 덧셈과 곱셈은 자명한 방식으로 정의됩니다.

특히 $0\in S$ 이면 $S^{-1}A$ 는 영환입니다. 따라서 보통은 $0\notin S$ 인 경우만 다룹니다.

이제 아핀 스킴을 구성하는 동기가 될 두 가지 예를 간단히 제시하겠습니다.

예제 83.2.3 ( $\mathbb{C}[x]$ 의 국소화).

$A=\mathbb{C}[x]$ 라 합시다.

(a)

$S=\left\{1,x,x^{2},x^{3},\dots\right\}$ 를 $x$ 의 거듭제곱들의 집합이라고 합시다. 그러면

$S^{-1}A=\left\{\frac{f(x)}{x^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x],n\in\mathbb{Z}_{\geq 0% }\right\}.$

다시 말해, $x$ 에 대한 로랑 다항식을 얻습니다.

이것이 다음과 같다는 것을 알아차릴 수 있을 것입니다.

$\mathcal{O}_{V}(U)\text{여기서}V=\mathbb{A}^{1},\;U=V\setminus\{0\}.$

즉 구멍 뚫린 직선의 단면들입니다. “쌍곡선 효과”에 따라, 이것은 $\mathbb{C}[x,y]/(xy-1)$ 로도 표현할 수 있습니다.
(b)

$p\in\mathbb{C}$ 라고 합시다. $S=\left\{g(x)\mid g(p)\neq 0\right\}$ 라고 합시다. 즉 $g(p)\neq 0$ 인 분모는 무엇이든 허용합니다. 그러면

$S^{-1}A=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid f,g\in\mathbb{C}[x],g(p)\neq 0\right\}.$

이것이 줄기 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1},p}$ 임을 알아차릴 수 있을 것입니다. 이는 나중에 중요해집니다.

비고 83.2.4 (왜 $s$ 가 추가로 붙습니까?).

더 간단한 $a_{1}s_{2}-a_{2}s_{1}=0$ 을 사용할 수는 없습니다. 그렇게 하면 동치 관계가 추이적이지 않을 수 있기 때문입니다. 반례는 다음과 같습니다. 다음을 택하십시오.

A=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\qquad S=\{2,4,8\}.

그러면 예를 들어 $\frac{0}{1}=\frac{0}{2}=\frac{12}{2}=\frac{6}{1}$ 입니다. 따라서 $\frac{0}{1}=\frac{6}{1}$ 이 성립해야 하는데, 이는 첫 번째 정의에서만 참입니다. 물론 $A$ 가 정역이면 (그리고 $0\notin S$ 이면) 이는 신경 쓸 필요가 없는 문제입니다.

또는 이 더 간단한 관계에서 시작하여 추이적 폐포를 취할 수도 있습니다. 이렇게 해도 동치인 정의를 얻습니다.

예제 83.2.5 (분수체).

$A$ 를 정역이라 하고 $S=A\setminus\{0\}$ 이라 합시다. 그러면 $S^{-1}A=\operatorname{Frac}(A)$ 입니다.

83.3 원소에 대한 국소화

대표적인 예: $6$ 에 대해 국소화한 $\mathbb{Z}$ 는 $\frac{m}{2^{x}3^{y}}$ 꼴의 분수들로 이루어집니다.

이제 가장 많이 필요하게 될 국소화의 두 가지 특수한 경우에 집중하겠습니다. 하나는 이 절에서, 다른 하나는 다음 절에서 다룹니다.

정의 83.3.1.

$f\in A$ 에 대해, $A[1/f]$ 또는 $A[f^{-1}]$ 로 표기하는 $f$ 에 대한 $A$ 의 국소화를 $\{1,f,f^{2},f^{3},\dots\}^{-1}A$ 로 정의합니다. ( $\left\{1,f,f^{2},\dots\right\}$ 가 곱셈적이라는 점에 유의하십시오.)

비고 83.3.2.

문헌에서는 $A[1/f]$ 대신 $A_{f}$ 라는 표기를 더 흔히 볼 수 있습니다. 이는 혼란스럽습니다. 다음 절에서 정의할 $A_{\mathfrak{p}}$ 는 거의 정반대의 것이기 때문입니다. 그래서 저는 뜻이 더 잘 드러나는 (하지만 더 긴) 이 표기를 선호합니다.

예제 83.3.3 (국소화의 몇 가지 산술적 예).

(a)

$\mathbb{Z}$ 를 $6$ 에 대해 국소화합니다:

$\mathbb{Z}[1/6]=\left\{\frac{m}{6^{n}}\mid m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}_{\geq 0% }\right\}.$

따라서 $A[1/6]$ 은 분모에 $2$ 와 $3$ 의 거듭제곱만 있는 유리수들로 이루어집니다. 예를 들어 $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ 을 포함합니다.
(b)

더 혼란스러운 예는 다음과 같습니다. $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 을 원소 $5$ 에 대해 국소화하면 $(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z})[1/5]\cong\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 를 얻습니다. 왜 그런지 생각해 보십시오. 나중에 절 86.9에서 “기하학적” 이유를 보게 됩니다.

예제 83.3.4 (원소에 대한 국소화, 대수기하학적 관점).

$A$ 가 대수다양체의 좌표환이면 $A[1/g]$ 는 기하학적으로 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 로 해석된다는 것을 보았습니다. 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같습니다:

(a)

앞서 보았듯이, $A=\mathbb{C}[x]$ 이면 $A[1/x]=\left\{\frac{f(x)}{x^{n}}\right\}$ 는 로랑 다항식들로 이루어집니다.
(b)

$A=\mathbb{C}[x,y,z]$ 라고 합시다. 그러면

$A[1/x]=\left\{\frac{f(x,y,z)}{x^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x,y,z],\;n\geq 0\right\}$

는 분모가 $x$ 의 거듭제곱인 유리함수들입니다.
(c)

$A=\mathbb{C}[x,y]$ 라고 합시다. $y-x^{2}$ 에 대해 국소화하면 다음을 얻습니다.

$A[(y-x^{2})^{-1}]=\left\{\frac{f(x,y)}{(y-x^{2})^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x,y],% \;n\geq 0\right\}$

이제는 이것이 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{2}}(D(y-x^{2}))$ 임을 알아볼 수 있어야 합니다.

예제 83.3.5 (영인자가 있는 예시).

$A=\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ 라고 합시다(직관적으로 이것은 두 축의 좌표환입니다). $x$ 에서 국소화한다고 가정합시다. 이는 분모에 $x$ 를 허용하는 것과 같습니다. $A$ 에서 $xy=0$ 이므로 이제 $0=x^{-1}(xy)=y$ 가 되고, 따라서 $A$ 에서 $y=0$ 이며, 결국 $y$ 는 완전히 사라집니다. 이로부터 다음 환 동형사상을 얻습니다

A[1/x]\cong\mathbb{C}[x,1/x].

나중에 아핀 스킴을 정의하고 나면, 절 86.14에서 기하학적 직관을 이용해 이를 “볼” 수 있게 됩니다.

83.4 소 아이디얼에서의 국소화

대표적인 예: $(5)$ 에서 국소화한 $\mathbb{Z}$ 는 $5\nmid n$ 인 분수 $\frac{m}{n}$ 들로 이루어집니다.

정의 83.4.1.

$A$ 가 환이고 $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼이면, 다음과 같이 정의합니다

A_{\mathfrak{p}}\coloneqq\left(A\setminus\mathfrak{p}\right)^{-1}A.

이것을 $\mathfrak{p}$ 에서의 국소화라고 부릅니다.

질문 83.4.2.

위 정의에서 $S=A\setminus\mathfrak{p}$ 가 곱셈적인 이유는 무엇입니까?

이 특수한 경우가 중요한 이유는, 스킴의 줄기가 모두 이러한 형태라는 것을 앞으로 보게 될 것이기 때문입니다. 사실, 아핀 다양체에 대해서도 마찬가지였습니다.

예제 83.4.3 (아핀 다양체와의 관계).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 하고, $A=\mathbb{C}[V]$ 라 하고, $p=(a_{1},\dots,a_{n})$ 을 한 점이라 합시다. 다음 극대 (따라서 소) 아이디얼을 생각합시다.

\mathfrak{m}=(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n}).

함수 $f\in A$ 가 $p$ 에서 0이 되는 것은 $f\pmod{\mathfrak{m}}=0$ 인 것, 즉 $f\in\mathfrak{m}$ 인 것과 동치임에 주목하십시오. 따라서 정리 82.3.7에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in A,g(p)\neq 0\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f\in A,g\in A\setminus\mathfrak{m}\right\}$
		$\displaystyle=\left(A\setminus\mathfrak{m}\right)^{-1}A=A_{\mathfrak{m}}.$

그러므로 $\mathcal{O}_{V,p}$ 역시 국소화로서 간결하게 표현할 수 있습니다.

이에 따라 이러한 맥락의 예시를 몇 가지 제시합니다.

예제 83.4.4 (소 아이디얼에서 국소화하는 기하학적 예시).

(a)

$\mathfrak{m}$ 을 $A=\mathbb{C}[x]$ 의 극대 아이디얼 $(x)$ 라고 합시다. 그러면

$A_{\mathfrak{m}}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(0)\neq 0\right\}$

은 원점에서 극을 갖지 않는 유리함수들로 이루어집니다.
(b)

$\mathfrak{m}$ 을 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 의 극대 아이디얼 $(x,y)$ 라고 합시다. 그러면 다음과 같습니다.

$A_{\mathfrak{m}}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.$
(c)

$\mathfrak{p}$ 를 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 의 소 아이디얼 $(y-x^{2})$ 라고 합시다. 그러면

$A_{\mathfrak{p}}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g\notin(y-x^{2})\right\}.$

이는 이전에 보았던 것과 약간 다릅니다. 분모의 다항식이 포물선 위의 모든 점에서 0이 되지만 않는다면, $(1,1)$ 과 같은 점에서는 0이 되어도 됩니다. 이는 지금 우리에게 익숙한 어떤 줄기에도 대응하지 않지만, 나중에는 대응하게 됩니다(이것은 “포물선의 일반점에서의 줄기”가 됩니다).
(d)

$A=\mathbb{C}[x]$ 라 하고 소 아이디얼 $(0)$ 에서 국소화합시다. 그러면

$A_{(0)}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(x)\neq 0\right\}.$

을 얻습니다. 이것은 그야말로 모든 유리함수입니다.

비고 (표기법의 철학).

다시 정리하면 다음과 같습니다:

•

원소에서 벗어나 국소화할 때는, 함수가 그 원소(의 영점 집합)에서 발산하는 것을 허용합니다;
•

소 아이디얼에서 국소화할 때는, 함수가 그 소 아이디얼(의 영점 집합 전체)을 제외한 모든 곳에서 발산하는 것을 허용합니다.

이로써 두 표기법이 서로 반대라고 말하는 이유를 알 수 있습니다.

“영점 집합 전체에서 발산해서는 안 되는” 함수를 생각하는 것은 혼란스러울 수 있으므로, 소 아이디얼에서 국소화하는 것을 (바라건대) 더 직관적으로 이해하는 또 다른 방법은 함수가 그 소 아이디얼에 대응하는 점에서 발산해서는 안 된다고 생각하는 것입니다. 예를 들어 $\mathfrak{p}$ 가 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 의 아이디얼 $(y-x^{2})$ 이면, $A_{\mathfrak{p}}$ 는 포물선 위의 일반점에서 발산하지 않는 함수들의 집합입니다.

예제 83.4.5 (산술적 예시).

$\mathbb{Z}$ 를 몇 가지 서로 다른 소 아이디얼에서 국소화해 봅시다.

(a)

$\mathbb{Z}$ 를 $(0)$ 에서 국소화하면 다음과 같습니다:

$\mathbb{Z}_{(0)}=\left\{\frac{m}{n}\mid n\neq 0\right\}\cong\mathbb{Q}.$
(b)

$\mathbb{Z}$ 를 $(3)$ 에서 국소화하면 다음을 얻습니다.

$\mathbb{Z}_{(3)}=\left\{\frac{m}{n}\mid\gcd(n,3)=1\right\}$

이는 분모가 $3$ 과 서로소인 유리수들의 환입니다.

예제 83.4.6 (분수체).

$A$ 가 정역이면, 국소화 $A_{(0)}$ 은 $A$ 의 분수체입니다.

83.5 국소화의 소 아이디얼

대표적인 예: $A=\mathbb{Z}$ 인 경우의 예시입니다.

이제 국소화된 환의 소 아이디얼을 어떻게 생각할 수 있는지 잠시 짚어 보겠습니다.

명제 83.5.1 ( $S^{-1}A$ 의 소 아이디얼).

$A$ 를 환, $S\subseteq A$ 를 곱셈적 집합이라 합시다. 그러면 다음 둘 사이에 포함 관계를 보존하는 자연스러운 전단사가 존재합니다:

•

$S^{-1}A$ 의 소 아이디얼들의 집합, 그리고
•

$S$ 와 만나지 않는 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합.

증명.

준동형사상 $\iota\colon A\to S^{-1}A$ 를 생각합시다. 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{q}\subseteq S^{-1}A$ 에 대해, 그 역상 $\iota^{\text{pre}}(\mathfrak{q})$ 는 $A$ 의 소 아이디얼입니다(문제 5C에 의해). 역으로, $S$ 와 만나지 않는 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\subseteq A$ 에 대해, $S^{-1}\mathfrak{p}=\left\{\frac{a}{s}\mid a\in\mathfrak{p},s\in S\right\}$ 는 $S^{-1}A$ 의 소 아이디얼입니다. 번거로운 확인을 거치면 이것이 원하는 전단사를 준다는 것을 알 수 있습니다. ∎

실제로는 거의 항상 $S$ 가 앞서 자세히 논의한 두 가지 특수한 경우 중 하나인 따름정리를 사용하게 됩니다:

따름정리 83.5.2 (국소화의 스펙트럼).

$A$ 를 환이라 합시다.

(a)

$f$ 가 $A$ 의 원소이면, $A[1/f]$ 의 소 아이디얼은 원소 $f$ 를 포함하지 않는 $A$ 의 소 아이디얼과 자연스럽게 전단사 대응합니다.
(b)

$\mathfrak{p}$ 가 $A$ 의 소 아이디얼이면, $A_{\mathfrak{p}}$ 의 소 아이디얼은 $\mathfrak{p}$ 의 부분집합인 $A$ 의 소 아이디얼과 자연스럽게 전단사 대응합니다.

증명.

(b)는 자명합니다. 소 아이디얼이 $A\setminus\mathfrak{p}$ 와 만나지 않는 것은 정확히 그것이 $\mathfrak{p}$ 에 포함될 때입니다. (a)의 경우, $f$ 의 어떤 거듭제곱도 포함하지 않는 $A$ 의 소 아이디얼을 구해야 합니다. 그런데 아이디얼이 소 아이디얼이고 $f^{n}$ 을 포함하면 $f$ 또는 $f^{n-1}$ 중 하나를 포함해야 하므로, 적어도 소 아이디얼에 대해서는 이 두 조건이 동치입니다. ∎

다시 한번 표기법이 다소 성가시다는 점에 주목하십시오. 어쨌든, 이해를 확고히 하는 데 도움이 되도록 몇 가지 예시를 들겠습니다.

예제 83.5.3 ( $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 소 아이디얼).

$\mathbb{Z}$ 를 원소 $6$ 을 벗어나서 국소화한다고, 즉 $\mathbb{Z}[1/6]$ 을 생각한다고 합시다. 앞서 보았듯이,

\mathbb{Z}[1/6]=\left\{\frac{n}{2^{x}3^{y}}\mid n\in\mathbb{Z},x,y\in\mathbb{Z% }_{\geq 0}\right\}.

이는 분모가 $2$ 와 $3$ 의 거듭제곱만으로 이루어진 유리수들로 구성됩니다. $(5)\subset\mathbb{Z}[1/6]$ 은 소 아이디얼이라는 점에 주목하십시오. 이는 분자가 $5$ 로 나누어떨어지는 $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 원소들입니다. 마찬가지로 $(7)$ , $(11)$ , $(13)$ , … 그리고 심지어 $(0)$ 도 $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 소 아이디얼이 됩니다.

그러나 $(2)$ 와 $(3)$ 은 더 이상 소 아이디얼에 대응하지 않습니다. 실제로 $\mathbb{Z}[1/6]$ 에서는 $(2)=(3)=(1)$ , 즉 환 전체입니다.

예제 83.5.4 ( $\mathbb{Z}_{(5)}$ 의 소 아이디얼).

$\mathbb{Z}$ 를 소 아이디얼 $(5)$ 에서 국소화한다고 합시다. 앞서 보았듯이,

\mathbb{Z}_{(5)}=\left\{\frac{m}{n}\mid m,n\in\mathbb{Z},5\nmid n\right\}.

이는 분모가 $5$ 로 나누어떨어지지 않는 유리수들로 구성됩니다. 이것은 정역이므로 $(0)$ 은 여전히 소 아이디얼입니다. 소 아이디얼이 하나 더 있는데, 바로 $(5)$ , 즉 분자가 $5$ 로 나누어떨어지는 원소들입니다.

다른 소 아이디얼은 없습니다. $p\neq 5$ 가 유리 소수이면, 이번에도 $(p)=(1)$ , 즉 환 전체가 됩니다.

83.6 몫환의 소 아이디얼

이왕 여기까지 온 김에, 몫 $A/I$ 의 소 아이디얼을 $A$ 의 소 아이디얼로 해석할 수 있다는 점을 언급해 둡니다(앞 절에서 국소화에 대해 한 것과 마찬가지입니다). 오래전에 문제 4D을 풀었다면 이 내용을 기억하실 수도 있습니다. 하지만 우리의 목적에서 실제로 관심을 두는 것은 소 아이디얼뿐입니다.

명제 83.6.1 ( $A/I$ 의 소 아이디얼).

$A$ 가 환이고 $I$ 가 임의의 아이디얼(반드시 소 아이디얼일 필요는 없음)이면, $A/I$ 의 소(각각 극대) 아이디얼은 $I$ 의 상위집합인 $A$ 의 소(각각 극대) 아이디얼과 전단사 대응을 이룹니다. 이 전단사는 포함 관계를 보존합니다.

증명.

몫 준동형사상 $\psi\colon A\twoheadrightarrow A/I$ 를 생각합시다. 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{q}\subseteq A/I$ 에 대하여, 그 역상 $\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{q})$ 는 소 아이디얼입니다(문제 5C에 의해). 역으로, $I\subseteq\mathfrak{p}\subseteq A$ 인 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대하여, $\mathfrak{p}\pmod{I}$ 를 살펴보면 $A/I$ 의 소 아이디얼을 얻습니다. 번거로운 확인을 거치면 이것이 원하는 전단사를 만든다는 것을 알 수 있습니다. 이 전단사는 포함 관계도 보존하며 — 이로부터 극대 아이디얼에 대해서도 같은 명제가 성립합니다. ∎

예제 83.6.2 ( $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼).

환 $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 은 세 개의 소 아이디얼을 가집니다:

	$\displaystyle(2)$	$\displaystyle=\left\{0,2,4,\dots,58\right\}$
	$\displaystyle(3)$	$\displaystyle=\left\{0,3,6,\dots,57\right\}$
	$\displaystyle(5)$	$\displaystyle=\left\{0,5,10,\dots,55\right\}.$

$\mathbb{Z}$ 로 돌아가면, 이들은 $60\mathbb{Z}=\left\{\dots,-60,0,60,120,\dots\right\}$ 의 상위집합인 세 개의 소 아이디얼에 대응합니다.

83.7 국소화는 몫과 교환됩니다

대표적인 예: $(\mathbb{C}[x,y]/(xy))[1/x]\cong\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ .

이왕 여기까지 온 김에, 몫환에서의 국소화를 계산할 수 있게 해 주는 가환대수학의 유용한 결과 하나를 언급해 둡니다. 몫환에서의 국소화는 놀라울 정도로 직관에 어긋납니다. 소절 85.4.2에 이르기 전까지는 이 내용에 신경 쓸 이유가 없을 것입니다. 그러므로 이것을 앞쪽에 둔 것은, 당분간 필요하지 않더라도 이렇게 일찍 서술할 수 있는(그리고 실제로 서술하는) 순수하게 대수적인 사실임을 강조하기 위해서일 뿐입니다.

다음과 같은 몫환이 있다고 합시다.

A/I=\mathbb{C}[x,y]/(xy)

그리고 이 환을 원소 $x$ 에서 벗어나도록 국소화한 것을 계산하고자 한다고 합시다. (엄밀하게 따지자면, 실제로는 몫환의 원소인 $x\pmod{xy}$ 에서 벗어나도록 국소화하는 것이지만, 그냥 $x$ 라고 부르겠습니다.) 곧 표기조차 거추장스러워진다는 것을 알게 될 것입니다. 그것은 다음과 같습니다.

\left(\mathbb{C}[x,y]/(xy)\right)[1/x]

(83.1)

이는 생각하기 어렵습니다. 관련된 원소들이 몫의 일부이기 때문입니다. 예를 들어 다음과 같은 것은

\frac{1\pmod{xy}}{x\pmod{xy}}

대체 어떻게 생각해야 하겠습니까? 관련된 영인자들만으로도 벌써 불편한 느낌이 들 수 있습니다.

그러나 사실은 국소화를 먼저 할 수 있음이 밝혀집니다. 즉 답은 그저 다음과 같습니다.

\mathbb{C}[x,y,1/x]/(xy)

(83.2)

이는 다시 $\mathbb{C}[x,x^{-1},y]/(y)\cong\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ 가 됩니다.

이것이 당연히 자명할 것처럼 보일 수도 있지만, 생각만큼 뻔하지는 않습니다. 여기에는 표기상의 눈속임이 숨어 있습니다:

•

(83.1)에서 표기 $(xy)$ 는 $\mathbb{C}[x,y]$ 의 아이디얼 — 즉, 집합 $xy\mathbb{C}[x,y]$ 를 나타냅니다.
•

(83.2)에서 표기 $(xy)$ 는 이제 $\mathbb{C}[x,x^{-1},y]$ 의 아이디얼 — 즉, 집합 $xy\mathbb{C}[x,x^{-1},y]$ 를 나타냅니다.

그러므로 정리의 명제를 적는 것조차 실제로는 끔찍해 보일 것입니다.

일반적으로 말하고 싶은 것은, 아이디얼 $I$ 를 가진 환 $A$ 가 있고 $S$ 가 $A$ 의 어떤 곱셈적 부분집합이면 다음이 성립한다는 것입니다.

\text{쉽게 말하면: ``}S^{-1}(A/I)=(S^{-1}A)/I\text{''}.

하지만 여기에는 두 가지 잘못된 점이 있습니다:

•

주된 문제는, 위에서 보았듯이 $I$ 가 $S^{-1}A$ 의 아이디얼이 아니라는 것입니다. 이는 대신 $S^{-1}I$ 를 사용하여 해결됩니다. $S^{-1}I$ 는 $x\in I$ , $s\in S$ 에 대한 원소 $\frac{x}{s}$ 들로 이루어집니다. 앞서 보았듯이 실제로는 이 구별이 대개 가려지는데, 보통 $I=(a_{1},\dots,a_{n})\subseteq A$ 라고 쓰게 되고, 이 경우 새 아이디얼 $S^{-1}I\subseteq A$ 를 정확히 같은 방식인 $(a_{1},\dots,a_{n})$ 으로 나타낼 수 있기 때문입니다. 다만 이제는 이를 $S^{-1}A$ 의 부분집합으로 간주할 뿐입니다.
•

두 번째 문제는, 엄밀히 말하면 $S$ 역시 $A/I$ 의 부분집합이 아니라는 것입니다. 하지만 이는 대신 몫 사상 $A\twoheadrightarrow A/I$ 에 의한 $S$ 의 상을 사용하여 쉽게 해결됩니다.

사실 이것은 앞의 예제에서 이미 보았습니다. $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ 를 국소화하려 할 때, 실제로는 원소 $x\pmod{xy}$ 에서 국소화하고 있었지만, (늘 그렇듯이) 어쨌든 그냥 $x$ 로 나타냈습니다.

그리하여 이 모든 말, 말, 말 끝에, 다음과 같은 흉측한 결과를 얻습니다:

정리 83.7.1 (국소화는 몫과 교환됩니다).

환 $A$ 의 곱셈적 집합을 $S$ 라 하고, $A$ 의 아이디얼을 $I$ 라 합시다. 사영 사상 $A\twoheadrightarrow A/I$ 에 의한 $S$ 의 상을 $\overline{S}$ 라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

{\overline{S}}^{-1}(A/I)\cong S^{-1}A/S^{-1}I

여기서 $S^{-1}I=\left\{\frac{x}{s}\mid x\in I,s\in S\right\}$ 입니다.

증명.

생략합니다. 이런 내용이 궁금하다면 Atiyah-Macdonald를 참고하십시오. 이런 종류의 내용에는 이 책이 적절한 참고문헌입니다. ∎

표기법이 매우 지저분합니다. 하지만 실제로 계산할 때에는 대신 다음과 같이 씁니다.

\left(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})\right)[1/x]\cong\mathbb{C}[x,y,z,1% /x]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})

또는 (소 아이디얼에서 국소화하는 예로는)

\left(\mathbb{Z}[x,y,z]/(x^{2}+yz)\right)_{(x,y)}\cong\mathbb{Z}[x,y,z]_{(x,y)% }/(x^{2}+yz)

등과 같이 씁니다 — 세부 사항을 일부 감추는 우리의 “실생활” 표기법은 실용적이어서, (우리를 잘못 이끌기는커녕) 오히려 직관을 올바르게 이끌어 줍니다. 그러므로 이 절의 교훈은 아마도, 몫환의 국소화를 계산할 때마다 잠시 의심을 접어 두면 대개 올바른 답을 얻게 된다는 것입니다.

이 사실들의 기하학적 해석은 나중에 $\operatorname{Spec}A/I$ 를 다룰 때 보게 될 것이며, 그때가 되면 이 사실들이 더 자연스럽게 느껴질 것입니다.

83.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 83A.

$A=\mathbb{Z}/2016\mathbb{Z}$ 이라 하고, 원소 $60\in A$ 를 생각합시다. $60$ 을 가역으로 만든 $A$ 의 국소화 $A[1/60]$ 을 계산하십시오.

풀이. $A[1/60]=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 을 얻어야 합니다.

문제 83B (국소화의 단사성).

$A$ 를 환이라 하고, $S\subseteq A$ 를 곱셈적 집합이라 합시다. 사상 $A\to S^{-1}A$ 가 단사이기 위한 필요충분조건을 구하십시오.

힌트. 영인자를 생각해 보십시오.

풀이. $S$ 에 영인자가 없을 때, 그리고 그때에만 단사입니다.

문제 83C (국소환에 대한 암시).

$A$ 를 환이라 하고, $\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라 합시다. $A_{\mathfrak{p}}$ 는 극대 아이디얼을 몇 개 가집니까?

힌트. 단 하나뿐입니다! 증명은 몇 장 뒤에서 제시합니다.

문제 83D.

$A$ 를 영이 아닌 환이라 하고, $A$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대하여 $A_{\mathfrak{p}}$ 가 정역이라 합시다. $A$ 는 반드시 정역이어야 합니까?

힌트. 아닙니다. 곱환을 사용하십시오.

풀이. $A=\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ 로 두거나, 더 일반적으로 두 개 이상의 정역의 곱을 취하십시오.