장 83 국소화

아핀 스킴을 정의하는 단계로 나아가기 전에, 국소화라는 또 하나의 대수적 구성을 제대로 다루는 데 시간을 들이겠습니다. 이는 필수적인데, 스킴을 정의할 때 모든 단면과 줄기가 실제로 이 구성을 이용해 얻어진다는 것을 알게 되기 때문입니다.

다소 우스운 슬로건을 하나 들자면 다음과 같습니다:

국소화는 분모를 추가하는 기술입니다.

아핀 다양체를 다룰 때 $\left\{\frac{f}{g}\mid g(p)\neq 0\right\}$ 와 같은 형태의 식이 끊임없이 등장했던 것을 기억하실 것입니다. 요점은 우리가 많은 분모들을 도입했다는 것입니다. 국소화는 이를 일반적으로 수행하는 간결한 방법을 제공해 줍니다.

이는 또한 왜 이 연산이 ”국소화”라고 불리는지를 설명해 줍니다: 우리는 ”전역적인” 함수들의 집합에서 시작하여, ”더 작은” 열린집합 위에서, 또는 점 $p$ 의 열린 근방에서 잘 정의되는 (더 큰) 함수들의 집합을 얻습니다.

물론 이것은 자리스키 위상이므로, ”작다”는 것은 ”특정 곡선들을 제외한 모든 곳”을 의미합니다.

표기법에 관한 참고: 앞으로는 환을 $R$ , $S$ , …가 아니라 $A$ , $B$ , …로 표기하는 것을 선호하겠습니다.

83.1 스포일러

앞으로 다룰 내용들을 미리 살펴보아, 무엇을 기대해야 할지 알 수 있도록 하겠습니다. 여기서 이해가 되지 않는 부분이 있어도 괜찮은데, 이는 단지 앞으로의 내용을 미리 암시하는 것일 뿐이기 때문입니다.

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 하고, 간단히 하기 위해 $R=\mathbb{C}[V]$ 를 그 좌표환이라 합시다. 이전 절들에서 점 $p\in V$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 와 $\mathcal{O}_{V,p}$ 를 계산하는 방법을 살펴본 바 있습니다. 예를 들어, $\mathbb{A}^{1}$ 을 택하고 점 $p$ 를 생각하면, $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}(D(x-p))=\left\{\frac{f(x)}{(x-p)^{n}}\right\}$ 이고 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1},p}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(p)\neq 0\right\}$ 입니다. 더 일반적으로는, 다음을 얻었습니다

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V}(D(g))$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g^{n}}\mid f\in R\right\}\quad\text{\lx@cref{% creftypecap~refnum}{thm:reg_func_distinguish_open}에 의해}$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in R,g(p)\neq 0\right\}\quad\text{% \lx@cref{creftypecap~refnum}{thm:stalks_affine_var}에 의해}.$

곧 국소화라 불리는 것을 정의할 텐데, 이는 위의 내용을 표현하는 좋은 방법을 제공해 줄 것입니다: $R=\mathbb{C}[V]$ 가 좌표환이라면, 위의 것은 다음과 같이 축약될 것입니다

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V}(D(g))$	$\displaystyle=R[g^{-1}]$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=R_{\mathfrak{m}}\quad\text{여기서}\{p\}=\mathcal{V}(\mathfrak{m}).$

앞의 것은 ” $R$ 을 $g$ 에서 떨어뜨려 국소화한 것”이라 읽고, 뒤의 것은 ” $R$ 을 $\mathfrak{m}$ 에서 국소화한 것”이라 읽을 것입니다.

더 일반적으로, 다음 장에서는 좌표환 $R$ 을 완전히 버리고 이를 일반적인 가환환 $A$ (여전히 함수들로 간주되는)로 대체할 것입니다. 우리는 $X=\operatorname{Spec}A$ 라 불리는 환달린 공간을 구성할 것인데, 그 원소들은 $A$ 의 소 아이디얼이며, 이 공간에는 자리스키 위상과 층 $\mathcal{O}_{X}$ 가 갖추어져 있습니다. 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 정의하는 올바른 방법은 국소화를 사용하는 것임이 밝혀질 것입니다,

	$\displaystyle\mathcal{O}_{X}(D(f))$	$\displaystyle=A[f^{-1}]$
	$\displaystyle\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}$	$\displaystyle=A_{\mathfrak{p}}$

임의의 원소 $f\in A$ 와 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ 에 대해서 말입니다. 따라서 복소 아핀 다양체의 경우와 마찬가지로, 국소화는 층 $\mathcal{O}_{X}$ 를 거의 완전히 기술하는 방법을 제공해 줄 것입니다.

다시 말해,

국소화는 ”전역적인” 정칙 함수들의 환으로부터 더 작은 열린집합 위의 정칙 함수들의 환을 정의하는, 순수하게 대수적인 방법입니다.

83.2 정의

정의 83.2.1.

부분집합 $S\subseteq A$ 가 $1\in S$ 이고 $S$ 가 곱셈에 대해 닫혀 있으면 곱셈적 집합이라 합니다.

정의 83.2.2.

$A$ 를 환이라 하고 $S\subset A$ 를 곱셈적 집합이라 합시다. 그러면 $S^{-1}A$ 로 표기되는 $S$ 에서의 $A$ 의 국소화는 다음과 같은 분수들의 집합으로 정의됩니다

\left\{a/s\mid a\in A,s\in S\right\}

여기서 두 분수 $a_{1}/s_{1}=a_{2}/s_{2}$ 가 같다고 선언하는 것은, 어떤 $s\in S$ 에 대해 $s(a_{1}s_{2}-a_{2}s_{1})=0$ 일 때입니다. 이 환에서의 덧셈과 곱셈은 자명한 방식으로 정의됩니다.

특히, $0\in S$ 이면 $S^{-1}A$ 는 영환입니다. 그러므로 우리는 보통 $0\notin S$ 인 상황만을 다룹니다.

이제 아핀 스킴의 구성에 동기를 부여하게 될 두 가지 예를 간략히 제시하겠습니다.

예제 83.2.3 ( $\mathbb{C}[x]$ 의 국소화들).

$A=\mathbb{C}[x]$ 라 합시다.

(a)

$x$ 의 거듭제곱들의 집합 $S=\left\{1,x,x^{2},x^{3},\dots\right\}$ 을 생각해 봅시다. 그러면

$S^{-1}A=\left\{\frac{f(x)}{x^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x],n\in\mathbb{Z}_{\geq 0% }\right\}.$

다시 말해, $x$ 에 대한 로랑 다항식을 얻습니다.

이것을 다음과 같이 알아볼 수 있습니다

$\mathcal{O}_{V}(U)\text{여기서}V=\mathbb{A}^{1},\;U=V\setminus\{0\}.$

즉 구멍 뚫린 직선의 절단들입니다. ”쌍곡선 효과”에 따라, 이는 또한 $\mathbb{C}[x,y]/(xy-1)$ 로도 표현할 수 있습니다.
(b)

$p\in\mathbb{C}$ 라 합시다. $S=\left\{g(x)\mid g(p)\neq 0\right\}$ 이라 하면, 즉 $g(p)\neq 0$ 인 모든 분모를 허용한다고 합시다. 그러면

$S^{-1}A=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid f,g\in\mathbb{C}[x],g(p)\neq 0\right\}.$

이것을 줄기 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1},p}$ 로 알아볼 수 있습니다. 이는 나중에 중요하게 쓰입니다.

비고 83.2.4 (왜 $s$ 가 추가로 필요한가?).

더 단순한 $a_{1}s_{2}-a_{2}s_{1}=0$ 을 사용할 수는 없는데, 그렇지 않으면 동치 관계가 추이적이지 않을 수 있기 때문입니다. 다음은 반례입니다: 다음을 취해 봅시다

A=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\qquad S=\{2,4,8\}.

그러면 예를 들어 $\frac{0}{1}=\frac{0}{2}=\frac{12}{2}=\frac{6}{1}$ 이 성립합니다. 따라서 $\frac{0}{1}=\frac{6}{1}$ 이 성립해야 하는데, 이는 첫 번째 정의에서만 참입니다. 물론 $A$ 가 정역이라면 (그리고 $0\notin S$ 라면) 이는 무의미한 문제입니다.

대안으로, 이 더 단순한 관계에서 시작하여 추이적 폐포를 취할 수도 있는데, 이는 동치인 정의를 내놓습니다.

예제 83.2.5 (분수체).

$A$ 를 정역이라 하고 $S=A\setminus\{0\}$ 이라 합시다. 그러면 $S^{-1}A=\operatorname{Frac}(A)$ 입니다.

83.3 원소를 제외한 국소화

대표적인 예: $6$ 을 제외하고 국소화한 $\mathbb{Z}$ 는 $\frac{m}{2^{x}3^{y}}$ 꼴의 분수를 갖습니다.

이제 우리가 가장 많이 필요로 할 국소화의 두 가지 특수한 경우에 초점을 맞춥니다; 하나는 이 절에서, 다른 하나는 다음 절에서 다룹니다.

정의 83.3.1.

$f\in A$ 에 대해, $f$ 를 제외한 $A$ 의 국소화를 $A[1/f]$ 또는 $A[f^{-1}]$ 로 표기하며, 이를 $\{1,f,f^{2},f^{3},\dots\}^{-1}A$ 로 정의합니다. ( $\left\{1,f,f^{2},\dots\right\}$ 가 곱셈적임에 유의하십시오.)

비고 83.3.2.

문헌에서는 $A[1/f]$ 대신 $A_{f}$ 라는 표기를 더 흔히 볼 수 있습니다. 이는 혼란스러운데, 다음 절에서 정의할 $A_{\mathfrak{p}}$ 가 거의 정반대의 것이기 때문입니다. 그래서 저는 이 더 시사적인 (하지만 더 긴) 표기를 선호합니다.

예제 83.3.3 (국소화의 몇 가지 산술적 예시).

(a)

$6$ 을 제외하고 $\mathbb{Z}$ 를 국소화합니다:

$\mathbb{Z}[1/6]=\left\{\frac{m}{6^{n}}\mid m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z}_{\geq 0% }\right\}.$

따라서 $A[1/6]$ 은 분모가 오직 $2$ 와 $3$ 의 거듭제곱만으로 이루어진 유리수들로 구성됩니다. 예를 들어, 여기에는 $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ 이 포함됩니다.
(b)

더 헷갈리는 예시가 있습니다: 원소 $5$ 를 제외하고 $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 을 국소화하면, $(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z})[1/5]\cong\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 를 얻습니다. 왜 이렇게 되는지 생각해 보시기 바랍니다. 나중에 절 86.9에서 ”기하학적” 이유를 살펴보겠습니다.

예제 83.3.4 (원소에서의 국소화, 대수기하학적 풍미).

우리는 $A$ 가 대수다양체의 좌표환이면, $A[1/g]$ 가 기하학적으로 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 로 해석됨을 보았습니다. 다음은 몇 가지 특수한 경우입니다:

(a)

앞서 보았듯이, $A=\mathbb{C}[x]$ 이면, $A[1/x]=\left\{\frac{f(x)}{x^{n}}\right\}$ 은 로랑 다항식들로 구성됩니다.
(b)

$A=\mathbb{C}[x,y,z]$ 라 합시다. 그러면

$A[1/x]=\left\{\frac{f(x,y,z)}{x^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x,y,z],\;n\geq 0\right\}$

은 분모가 $x$ 의 거듭제곱인 유리 함수들입니다.
(c)

$A=\mathbb{C}[x,y]$ 라 합시다. $y-x^{2}$ 를 제외하고 국소화하면 다음을 얻습니다

$A[(y-x^{2})^{-1}]=\left\{\frac{f(x,y)}{(y-x^{2})^{n}}\mid f\in\mathbb{C}[x,y],% \;n\geq 0\right\}$

이제는 이것을 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{2}}(D(y-x^{2}))$ 로 알아볼 수 있어야 합니다.

예제 83.3.5 (영인자가 있는 예시).

$A=\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ 라고 합시다 (직관적으로 두 축의 좌표환입니다). $x$ 에서 국소화한다고 가정합시다: 즉, $x$ 를 분모로 허용하는 것입니다. $A$ 에서 $xy=0$ 이므로, 이제 $0=x^{-1}(xy)=y$ 가 되어, $A$ 에서 $y=0$ 이 되고, 따라서 $y$ 는 완전히 사라집니다. 이로부터 다음과 같은 환 동형사상을 얻습니다

A[1/x]\cong\mathbb{C}[x,1/x].

나중에 아핀 스킴을 정의하고 나면, 절 86.14에서 기하학적 직관을 이용해 이를 ”볼” 수 있을 것입니다.

83.4 소 아이디얼에서의 국소화

대표적인 예: $\mathbb{Z}$ 를 $(5)$ 에서 국소화하면 $5\nmid n$ 인 분수 $\frac{m}{n}$ 을 갖습니다.

정의 83.4.1.

$A$ 가 환이고 $\mathfrak{p}$ 가 소 아이디얼이면, 다음과 같이 정의합니다

A_{\mathfrak{p}}\coloneqq\left(A\setminus\mathfrak{p}\right)^{-1}A.

이를 $\mathfrak{p}$ 에서의 국소화라고 부릅니다.

질문 83.4.2.

위 정의에서 $S=A\setminus\mathfrak{p}$ 가 왜 곱셈적입니까?

이 특수한 경우가 중요한 이유는, 스킴의 줄기가 모두 이런 형태임을 보게 될 것이기 때문입니다. 사실, 아핀 대수다양체에 대해서도 마찬가지였습니다.

예제 83.4.3 (아핀 대수다양체와의 관계).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이라 하고, $A=\mathbb{C}[V]$ 라 하고, $p=(a_{1},\dots,a_{n})$ 을 한 점이라 합시다. 다음 극대 (따라서 소) 아이디얼을 생각해봅시다

\mathfrak{m}=(x_{1}-a_{1},\dots,x_{n}-a_{n}).

함수 $f\in A$ 가 $p$ 에서 영이 되는 것은 $f\pmod{\mathfrak{m}}=0$ 인 것과 동치이며, 이는 다시 $f\in\mathfrak{m}$ 인 것과 동치임을 관찰하십시오. 따라서 정리 82.3.7에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다

	$\displaystyle\mathcal{O}_{V,p}$	$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in A,g(p)\neq 0\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\frac{f}{g}\mid f\in A,g\in A\setminus\mathfrak{m}\right\}$
		$\displaystyle=\left(A\setminus\mathfrak{m}\right)^{-1}A=A_{\mathfrak{m}}.$

따라서, $\mathcal{O}_{V,p}$ 를 국소화로 간결하게 표현할 수도 있습니다.

이에 따라, 이런 맥락의 예시를 몇 가지 제시합니다.

예제 83.4.4 (소에서의 국소화의 기하학적 예시).

(a)

$\mathfrak{m}$ 을 $A=\mathbb{C}[x]$ 의 극대 아이디얼 $(x)$ 라 합시다. 그러면

$A_{\mathfrak{m}}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(0)\neq 0\right\}$

는 원점에서 극이 없는 유리함수들로 이루어집니다.
(b)

$\mathfrak{m}$ 을 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 의 극대 아이디얼 $(x,y)$ 라 합시다. 그러면

$A_{\mathfrak{m}}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.$
(c)

$\mathfrak{p}$ 를 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 의 소 아이디얼 $(y-x^{2})$ 라 합시다. 그러면

$A_{\mathfrak{p}}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g\notin(y-x^{2})\right\}.$

이는 지금까지 봐온 것과 다소 다릅니다: 분모의 다항식은 포물선 위의 모든 점에서 영이 되지 않는 한, $(1,1)$ 과 같은 점에서 영이 되는 것이 허용됩니다. 이는 지금 우리가 익숙한 어떤 줄기에도 대응되지 않지만, 나중에는 대응될 것입니다 (그것은 ”포물선의 일반점에서의 줄기”가 될 것입니다).
(d)

$A=\mathbb{C}[x]$ 라 하고 소 아이디얼 $(0)$ 에서 국소화합시다. 이는

$A_{(0)}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(x)\neq 0\right\}.$

를 줍니다. 이는 그냥 모든 유리함수입니다.

비고 (표기법의 철학).

다시 말하자면:

•

한 원소로부터 벗어나 국소화할 때는, 함수가 그 원소의 (영집합에서) 발산하는 것을 허용합니다;
•

소에서 국소화할 때는, 함수가 그 소의 (전체 영집합을) 제외한 모든 곳에서 발산하는 것을 허용합니다.

따라서 왜 이 두 표기법을 서로 반대라고 말하는지 알 수 있습니다.

”전체 영집합에서 발산하지 않을 수도 있는” 함수를 생각하는 것은 혼란스러울 수 있으므로, 소에서의 국소화를 생각하는 (바라건대) 더 직관적인 또 다른 방법은 함수가 그 소 아이디얼에 대응하는 점에서 발산하지 않아야 한다는 것입니다. 예를 들어, $\mathfrak{p}$ 가 $A=\mathbb{C}[x,y]$ 에서 아이디얼 $(y-x^{2})$ 이면, $A_{\mathfrak{p}}$ 는 포물선 위의 일반점에서 발산하지 않는 함수들의 집합입니다.

예제 83.4.5 (산술적 예시).

$\mathbb{Z}$ 를 몇 가지 다른 소에서 국소화합니다.

(a)

$\mathbb{Z}$ 를 $(0)$ 에서 국소화하면:

$\mathbb{Z}_{(0)}=\left\{\frac{m}{n}\mid n\neq 0\right\}\cong\mathbb{Q}.$
(b)

$\mathbb{Z}$ 를 $(3)$ 에서 국소화하면, 다음을 얻습니다

$\mathbb{Z}_{(3)}=\left\{\frac{m}{n}\mid\gcd(n,3)=1\right\}$

이는 분모가 $3$ 과 서로소인 유리수들의 환입니다.

예제 83.4.6 (분수체).

$A$ 가 정역이면, 국소화 $A_{(0)}$ 는 $A$ 의 분수체입니다.

83.5 국소화의 소 아이디얼

대표적인 예: $A=\mathbb{Z}$ 인 경우의 예시.

이제 국소화된 환의 소 아이디얼을 어떻게 생각할 수 있는지 짚어보겠습니다.

명제 83.5.1 ( $S^{-1}A$ 의 소 아이디얼).

$A$ 를 환이라 하고 $S\subseteq A$ 를 곱셈적 집합이라 합시다. 그러면 다음 사이에는 포함 관계를 보존하는 자연스러운 전단사가 존재합니다:

•

$S^{-1}A$ 의 소 아이디얼들의 집합, 그리고
•

$S$ 와 교차하지 않는 $A$ 의 소 아이디얼들의 집합.

증명.

준동형사상 $\iota\colon A\to S^{-1}A$ 를 생각해봅시다. $S^{-1}A$ 의 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{q}\subseteq S^{-1}A$ 에 대해, 그 원상 $\iota^{\text{pre}}(\mathfrak{q})$ 는 $A$ 의 소 아이디얼입니다(문제 5C에 의함). 역으로, $S$ 와 만나지 않는 $A$ 의 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}\subseteq A$ 에 대해, $S^{-1}\mathfrak{p}=\left\{\frac{a}{s}\mid a\in\mathfrak{p},s\in S\right\}$ 는 $S^{-1}A$ 의 소 아이디얼입니다. 번거로운 확인을 통해 이것이 필요한 전단사를 만들어냄을 알 수 있습니다. ∎

실제로는 우리가 앞서 자세히 논의한 두 가지 특수한 경우 중 하나가 $S$ 인 따름정리를 거의 항상 사용하게 될 것입니다:

따름정리 83.5.2 (국소화의 스펙트럼).

$A$ 를 환이라 합시다.

(a)

$f$ 가 $A$ 의 원소이면, $A[1/f]$ 의 소 아이디얼들은 $f$ 를 원소로 포함하지 않는 $A$ 의 소 아이디얼들과 자연스럽게 전단사 관계에 있습니다.
(b)

$\mathfrak{p}$ 가 $A$ 의 소 아이디얼이면, $A_{\mathfrak{p}}$ 의 소 아이디얼들은 $\mathfrak{p}$ 의 부분집합인 $A$ 의 소 아이디얼들과 자연스럽게 전단사 관계에 있습니다.

증명.

(b) 부분은 자명합니다. 소 아이디얼이 $A\setminus\mathfrak{p}$ 와 만나지 않는 것은 정확히 그것이 $\mathfrak{p}$ 에 포함될 때입니다. (a) 부분에서는 $f$ 의 어떤 거듭제곱도 포함하지 않는 $A$ 의 소 아이디얼을 원합니다. 그런데 만약 그 아이디얼이 소 아이디얼이고 $f^{n}$ 을 포함한다면, $f$ 또는 $f^{n-1}$ 중 하나를 포함해야 하므로, 적어도 소 아이디얼에 대해서는 이 두 조건이 동치입니다. ∎

표기법이 다시 한번 다소 성가시다는 점에 유의하십시오. 어쨌든 그림을 확실히 하기 위해 몇 가지 예시를 들어보겠습니다.

예제 83.5.3 ( $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 소 아이디얼).

$\mathbb{Z}$ 를 원소 $6$ 에서 벗어나 국소화한다고, 즉 $\mathbb{Z}[1/6]$ 을 생각해봅시다. 앞서 살펴본 것처럼,

\mathbb{Z}[1/6]=\left\{\frac{n}{2^{x}3^{y}}\mid n\in\mathbb{Z},x,y\in\mathbb{Z% }_{\geq 0}\right\}.

분모가 오직 $2$ 와 $3$ 의 거듭제곱만을 갖는 유리수들로 이루어져 있습니다. $(5)\subset\mathbb{Z}[1/6]$ 이 소 아이디얼임에 주목하십시오: 즉 $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 원소 중 분자가 $5$ 로 나누어떨어지는 것들입니다. 마찬가지로 $(7)$ , $(11)$ , $(13)$ , … 그리고 심지어 $(0)$ 도 $\mathbb{Z}[1/6]$ 의 소 아이디얼을 이룹니다.

하지만 $(2)$ 와 $(3)$ 은 더 이상 소 아이디얼에 대응하지 않습니다. 실제로 $\mathbb{Z}[1/6]$ 에서는 $(2)=(3)=(1)$ , 즉 환 전체가 됩니다.

예제 83.5.4 ( $\mathbb{Z}_{(5)}$ 의 소 아이디얼).

$\mathbb{Z}$ 를 소수 $(5)$ 에서 국소화한다고 합시다. 앞서 살펴본 것처럼,

\mathbb{Z}_{(5)}=\left\{\frac{m}{n}\mid m,n\in\mathbb{Z},5\nmid n\right\}.

분모가 $5$ 로 나누어떨어지지 않는 유리수들로 이루어져 있습니다. 이는 정역이므로, $(0)$ 은 여전히 소 아이디얼입니다. 소 아이디얼이 하나 더 있습니다: $(5)$ , 즉 분자가 $5$ 로 나누어떨어지는 원소들입니다.

다른 소 아이디얼은 없습니다: 만약 $p\neq 5$ 인 유리 소수라면, 다시 $(p)=(1)$ , 즉 환 전체가 됩니다.

83.6 몫환의 소 아이디얼

여기까지 온 김에, 몫 $A/I$ 의 소 아이디얼은 (국소화에 대한 이전 절에서와 마찬가지로) $A$ 의 소 아이디얼로 해석할 수 있다는 점을 언급하겠습니다. 만약 그 문제를 풀어봤다면 오래전 문제 4D에서 이를 기억하실 수도 있겠지만, 우리의 목적상 실제로 관심 있는 것은 소 아이디얼뿐입니다.

명제 83.6.1 ( $A/I$ 의 소 아이디얼).

$A$ 가 환이고 $I$ 가 (반드시 소 아이디얼일 필요는 없는) 임의의 아이디얼이라면, $A/I$ 의 소 (또는 극대) 아이디얼은 $I$ 의 초집합인 $A$ 의 소 (또는 극대) 아이디얼과 전단사 관계에 있습니다. 이 전단사는 포함 관계를 보존합니다.

증명.

몫 준동형사상 $\psi\colon A\twoheadrightarrow A/I$ 를 생각해봅시다. 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{q}\subseteq A/I$ 에 대해, 그 원상 $\psi^{\text{pre}}(\mathfrak{q})$ 는 소 아이디얼입니다 (문제 5C에 의함). 역으로, $I\subseteq\mathfrak{p}\subseteq A$ 인 임의의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해, $\mathfrak{p}\pmod{I}$ 를 살펴보면 $A/I$ 의 소 아이디얼을 얻습니다. 성가신 확인 과정을 거치면 이것이 원하는 전단사를 만들어냄을 알 수 있습니다. 이 또한 포함 관계를 보존하며 — 이로부터 극대 아이디얼에 대해서도 같은 명제가 성립합니다. ∎

예제 83.6.2 ( $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼).

환 $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ 은 세 개의 소 아이디얼을 갖습니다:

	$\displaystyle(2)$	$\displaystyle=\left\{0,2,4,\dots,58\right\}$
	$\displaystyle(3)$	$\displaystyle=\left\{0,3,6,\dots,57\right\}$
	$\displaystyle(5)$	$\displaystyle=\left\{0,5,10,\dots,55\right\}.$

$\mathbb{Z}$ 로 돌아가보면, 이들은 $60\mathbb{Z}=\left\{\dots,-60,0,60,120,\dots\right\}$ 의 초집합인 세 개의 소 아이디얼에 대응됩니다.

83.7 국소화는 몫과 교환됩니다

대표적인 예: $(\mathbb{C}[x,y]/(xy))[1/x]\cong\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ .

여기까지 온 김에, 몫환에서의 국소화를 계산할 수 있게 해주는 가환대수학의 유용한 결과 하나를 언급하겠습니다. 이는 놀라울 정도로 직관적이지 않습니다. 소절 85.4.2에 도달하기 전까지는 이것에 신경 쓸 이유가 없을 것이며, 따라서 이는 우리가 순수하게 대수적인 사실을 (그리고 실제로) 이렇게 일찍 진술할 수 있다는 점을 강조하기 위해서만 미리 배치된 것입니다. 물론 당장은 이것이 필요하지 않겠지만 말입니다.

다음과 같은 몫환이 있다고 합시다

A/I=\mathbb{C}[x,y]/(xy)

그리고 이 환을 원소 $x$ 에서 벗어나 국소화하려고 한다고 합시다. (엄밀히 말하자면, 실제로는 몫환의 원소인 $x\pmod{xy}$ 에서 벗어나 국소화하는 것이지만, 그냥 이를 $x$ 라고 부르겠습니다.) 표기법조차 금세 어색해진다는 것을 알게 될 것입니다:

\left(\mathbb{C}[x,y]/(xy)\right)[1/x]

(83.1)

이는 생각하기 어려운데, 여기 등장하는 원소들이 몫의 일부이기 때문입니다: 예를 들어

\frac{1\pmod{xy}}{x\pmod{xy}}

이것을 어떻게 생각해야 할까요? 여기 관여하는 영인자들만으로도 이미 불편함을 느끼실 수 있습니다.

하지만 사실 국소화를 먼저 해도 된다는 것이 밝혀지는데, 이 경우 답은 다음과 같습니다

\mathbb{C}[x,y,1/x]/(xy)

(83.2)

그리고 이는 $\mathbb{C}[x,x^{-1},y]/(y)\cong\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ 가 됩니다.

이는 자명해 보일 수 있지만, 여러분이 예상하는 것만큼 명백하지는 않습니다. 여기에는 표기법상의 눈속임이 존재합니다:

•

(83.1)에서, 표기 $(xy)$ 는 $\mathbb{C}[x,y]$ 의 아이디얼을 나타냅니다 — 즉, 집합 $xy\mathbb{C}[x,y]$ 입니다.
•

(83.2)에서 표기 $(xy)$ 는 이제 $\mathbb{C}[x,x^{-1},y]$ 의 아이디얼을 나타냅니다 — 즉, 집합 $xy\mathbb{C}[x,x^{-1},y]$ 입니다.

그러니 정리의 진술을 적는 것조차 형편없어 보일 수밖에 없습니다.

일반적으로, 우리가 말하고자 하는 것은 만약 아이디얼 $I$ 를 갖는 환 $A$ 가 있고 $S$ 가 $A$ 의 어떤 곱셈적 부분집합이라면,

\text{통속적으로 말하면: ``}S^{-1}(A/I)=(S^{-1}A)/I\text{''}.

라는 것입니다. 하지만 여기에는 두 가지 잘못된 점이 있습니다:

•

주된 문제는 위에서 보았듯이 $I$ 가 $S^{-1}A$ 의 아이디얼이 아니라는 것입니다. 이는 대신 $S^{-1}I$ 를 사용함으로써 해결되는데, 이는 $x\in I$ 이고 $s\in S$ 인 원소 $\frac{x}{s}$ 들로 이루어져 있습니다. 앞서 보았듯이 실제로는 이러한 구별이 보통 감춰지는데, 대개 $I=(a_{1},\dots,a_{n})\subseteq A$ 라고 쓰기 때문이며, 이 경우 새로운 아이디얼 $S^{-1}I\subseteq A$ 는 정확히 같은 방식으로 $(a_{1},\dots,a_{n})$ 이라고 표기할 수 있습니다. 다만 이제는 $S^{-1}A$ 의 부분집합으로 간주될 뿐입니다.
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두 번째 문제는 엄밀히 말하면 $S$ 역시 $A/I$ 의 부분집합이 아니라는 것입니다. 하지만 이는 몫 사상 $A\twoheadrightarrow A/I$ 아래에서의 $S$ 의 상을 대신 사용함으로써 쉽게 해결됩니다.

사실 이는 앞선 예시에서 이미 본 바 있습니다: $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ 를 국소화하려고 했을 때, 실제로는 원소 $x\pmod{xy}$ 에서 국소화하고 있었지만, (언제나처럼) 그냥 이를 $x$ 라고 표기했습니다.

그리하여 이 모든 말, 말, 말 끝에, 우리는 다음의 흉측한 결과를 얻습니다:

정리 83.7.1 (국소화는 몫과 교환됩니다).

$S$ 를 환 $A$ 의 곱셈 집합이라 하고, $I$ 를 $A$ 의 아이디얼이라 합시다. $\overline{S}$ 를 사영 사상 $A\twoheadrightarrow A/I$ 아래에서의 $S$ 의 상이라 합시다. 그러면

{\overline{S}}^{-1}(A/I)\cong S^{-1}A/S^{-1}I

여기서 $S^{-1}I=\left\{\frac{x}{s}\mid x\in I,s\in S\right\}$ 입니다.

증명.

생략합니다; 정말로 궁금하다면 Atiyah-Macdonald가 이런 종류의 내용에 대한 적절한 참고문헌입니다. ∎

표기법이 매우 지저분합니다. 하지만 실제로 계산을 할 때는, 대신 다음과 같이 씁니다

\left(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})\right)[1/x]\cong\mathbb{C}[x,y,z,1% /x]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})

또는 (소 아이디얼에서 국소화하는 예시로는)

\left(\mathbb{Z}[x,y,z]/(x^{2}+yz)\right)_{(x,y)}\cong\mathbb{Z}[x,y,z]_{(x,y)% }/(x^{2}+yz)

등등입니다 — 세부 사항을 일부 숨기는 우리의 “실생활” 표기법의 실용성은 실제로 우리의 직관을 오도하기보다는 오히려 이끌어 줍니다. 그러니 아마도 이 절의 교훈은, 몫환의 국소화를 계산할 때마다 잠시 의심을 접어 둔다면 대개 올바른 답을 얻을 수 있다는 것일지도 모릅니다.

이러한 사실들의 기하학적 해석은 나중에 $\operatorname{Spec}A/I$ 를 다룰 때 살펴볼 것이며, 그때가 되면 더 자연스럽게 느껴질 것입니다.

83.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 83A.

$A=\mathbb{Z}/2016\mathbb{Z}$ 이라 하고, 원소 $60\in A$ 를 생각합시다. $A[1/60]$ , 즉 $60$ 을 제외한 $A$ 의 국소화를 계산하십시오.

풀이. $A[1/60]=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ 을 얻어야 합니다.

문제 83B (국소화의 단사성).

$A$ 를 환이라 하고, $S\subseteq A$ 를 곱셈 집합이라 합시다. 사상 $A\to S^{-1}A$ 가 단사가 되기 위한 필요충분조건을 구하십시오.

힌트. 영인자를 생각해 보십시오.

풀이. $S$ 가 영인자를 가지지 않을 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

문제 83C (국소환에 대한 암시).

$A$ 를 환이라 하고, $\mathfrak{p}$ 를 소 아이디얼이라 합시다. $A_{\mathfrak{p}}$ 는 극대 아이디얼을 몇 개 가집니까?

힌트. 오직 하나입니다! 증명은 몇 장 뒤에 제시될 것입니다.

문제 83D.

$A$ 가 영이 아닌 환이고, $A$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $A_{\mathfrak{p}}$ 가 정역이라고 하겠습니다. $A$ 는 반드시 정역이어야 합니까?

힌트. 아닙니다. 곱환을 사용하십시오.

풀이. $A=\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ 로 놓거나, 더 일반적으로 두 개 이상의 정역의 곱으로 놓으십시오.