장 21 지표

지표는 기본적으로 최고의 개념입니다. $A$ 의 모든 표현 $V$ 에 대해 우리는 이른바 지표라고 부르는 $\chi_{V}\colon A\to k$ 를 대응시킬 것입니다. $A$ 의 유한 차원 기약표현들의 지표가 표현 $V$ 를 완전히 결정한다는 것이 밝혀질 것입니다. 따라서 유한 차원 기약표현은 단지 $\dim A$ 개의 숫자들의 집합으로 명시됩니다.

21.1 정의

정의 21.1.1.

$V=(V,\rho)$ 를 $A$ 의 유한 차원 표현이라 합시다. $V$ 에 대응되는 지표 $\chi_{V}\colon A\to k$ 는 $\chi_{V}=\operatorname{Tr}\circ\rho$ 로 정의됩니다. 즉

\chi_{V}(a)\coloneqq\operatorname{Tr}\left(\rho(a)\colon V\to V\right).

$\operatorname{Tr}$ 과 $\rho$ 가 가법적이므로, 이는 $k$ -선형 사상입니다(단 곱셈적이지는 않습니다). 또한 임의의 표현 $V$ 와 $W$ 에 대해 $\chi_{V\oplus W}=\chi_{V}+\chi_{W}$ 임에 유의하십시오.

물론 우리는 특히 $A=k[G]$ 인 경우에 관심이 있습니다. 평소와 같이, 전체 사상 $k[G]\to k$ 를 얻기 위해서는 각 $g\in G$ 에 대해 $\chi_{V}(g)$ 만 명시하면 됩니다. 따라서 우리는 종종 $\chi_{V}$ 를 함수 $G\to k$ 로 생각하며, 이를 군 $G$ 의 지표라고 부릅니다. 다음은 $G=S_{3}$ 인 경우입니다:

예제 21.1.2 ( $S_{3}$ 의 지표표).

앞서 다룬 $G=S_{3}$ 의 세 기약표현을 생각해 봅시다. $\mathbb{C}_{\text{자명}}$ 에 대해서는 모든 대각합이 $1$ 이고, $\mathbb{C}_{\text{부호}}$ 에 대해서는 부호에 따라 대각합이 $\pm 1$ 입니다(당연히, 일차원 사상 $k\to k$ 의 경우 대각합은 그 사상 자체와 ”같습니다”). $\operatorname{refl}_{0}$ 에 대해서는 예를 들어 기저 $(1,0,-1)$ 과 $(0,1,-1)$ 을 취하여 이 기저에서 직접 대각합을 계산합니다.

\begin{array}[]{|r|rrrrrr|}\hline\cr\chi_{V}(g)&\mathrm{id}&(1\;2)&(2\;3)&(3\;% 1)&(1\;2\;3)&(3\;2\;1)\\ \hline\cr\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}&1&1&1&1&1&1\\ \mathbb{C}_{\mathrm{sign}}&1&-1&-1&-1&1&1\\ \operatorname{refl}_{0}&2&0&0&0&-1&-1\\ \hline\cr\end{array}

위의 표는 군 $G$ 의 지표표라고 불립니다. 위 표는 이 장이 진행됨에 따라 우리가 증명할 몇 가지 신비로운 성질들을 지니고 있습니다.

(I)

$\chi_{V}(g)$ 의 값은 오직 $g$ 의 켤레류에만 의존합니다.
(II)

행의 개수는 켤레류의 개수와 같습니다.
(III)

어느 행이든 그 제곱합은 다시 $6$ 이 됩니다!
(IV)

임의의 두 행의 ”내적”은 $0$ 입니다.

표기의 남용 21.1.3.

$\chi_{V}\colon G\to k$ 에 대해 ”지표”라는 이름은 다소 오해의 소지가 있습니다. 위 예시에서 보듯이 이 $\chi_{V}$ 는 결코 곱셈적이지 않으며, 거의 $k^{\oplus|G|}$ 의 원소로 생각할 수 있습니다.

질문 21.1.4.

$\chi_{V}(1_{A})=\dim V$ 임을 보이십시오. 따라서 지표표의 가장 왼쪽 열에서 표현들의 차원을 읽어낼 수 있습니다.

21.2 교환자로 나눈 쌍대 공간

임의의 대수에 대해, 우리는 먼저 $\operatorname{Tr}(TS)=\operatorname{Tr}(ST)$ 이므로 임의의 $V$ 에 대해 다음이 성립함을 관찰합니다.

\chi_{V}(ab)=\chi_{V}(ba).

이는 앞서의 관찰 (I)을 설명합니다:

질문 21.2.1.

$g$ 와 $h$ 가 군 $G$ 의 같은 켤레류에 속하고 $V$ 가 $k[G]$ 의 표현일 때, $\chi(g)=\chi(h)$ 임을 유도하십시오.

이제 대수 $A$ 가 주어졌을 때, 교환자(commutator) $[A,A]$ 를 $x,y\in A$ 에 대한 $xy-yx$ 로 생성되는 $k$ -벡터 부분공간으로 정의합니다. 따라서 $[A,A]$ 는 각 $\chi_{V}$ 의 핵에 포함됩니다.

정의 21.2.2.

공간 $A^{\text{ab}}\coloneqq A/[A,A]$ 는 $A$ 의 아벨화라고 불립니다. $A$ 의 각 지표는 $A^{\text{ab}}\to k$ 인 사상, 즉 $(A^{\text{ab}})^{\vee}$ 의 원소로 볼 수 있습니다.

예제 21.2.3 (아벨화의 예시).

(a)

$A$ 가 가환이면, $[A,A]=\{0\}$ 이고 $A^{\text{ab}}=A$ 입니다.
(b)

$A=\mathrm{Mat}_{d}(k)$ 이면, $[A,A]$ 는 정확히 대각합이 $0$ 인 $d\times d$ 행렬들로 이루어집니다. (증명: 간단한 연습문제입니다.) 그 결과, $A^{\text{ab}}$ 는 일차원입니다.
(c)

$A=k[G]$ 라고 합시다. 그러면 $A^{\text{ab}}$ 에서는 각 $g,h\in G$ 에 대해 $g h$ 와 $h g$ 를 동일시합니다. 이는 $ghg^{-1}=h$ 와 동치입니다. 다시 말해, $A^{\text{ab}}$ 는 $G$ 의 켤레류들의 $k$ -선형결합으로 이루어진 공간과 동형입니다.

비고 21.2.4 (경고).

군 $G$ 에 대하여, $G$ 의 아벨화는 $G/[G,G]$ 로 정의되며, 여기서 $[G,G]$ 는 모든 교환자로 생성되는 부분군입니다.

$A=k[G]$ 일 때, 공간 $A^{\text{ab}}$ 는 군 대수 $k[G/[G,G]]$ 와 동형이 아닙니다! 이는 군 $G$ 의 아벨화에서는 모든 $g,h\in G$ 에 대해 $ghg^{-1}h^{-1}=1$ 을 동일시하는데, 이는 $gh-hg$ 와 같지 않기 때문입니다.

사실 일반적인 경우에는, $A^{\text{ab}}$ 는 $A$ 로부터 $k$ -대수의 구조를 물려받지도 못하며, 오직 $k$ -벡터 공간의 구조만 얻을 수 있습니다.

정리 21.2.5 (대수의 표현의 지표).

$A$ 를 대수적으로 닫힌 체 위의 대수라 합시다. 그러면

(a)

서로 동형이 아닌 유한 차원 기약표현들의 지표는 $(A^{\text{ab}})^{\vee}$ 에서 선형 독립입니다.
(b)

$A$ 가 유한 차원이고 반단순이면, 기약표현에 대응하는 지표들은 $(A^{\text{ab}})^{\vee}$ 의 기저를 이룹니다.

특히 (b)에서 $A$ 의 기약표현의 개수는 $\dim A^{\text{ab}}$ 와 같습니다.

증명.

(a)는 조밀성 정리에 의해 거의 자명합니다. 선형 종속 관계가 있다고 가정하면, 모든 $a$ 에 대해 다음이 성립합니다

c_{1}\chi_{V_{1}}(a)+c_{2}\chi_{V_{2}}(a)+\dots+c_{r}\chi_{V_{r}}(a)=0

어떤 정수 $r$ 에 대하여.

질문 21.2.6.

조밀성 정리로부터 $c_{1}=\dots=c_{r}=0$ 임을 유도하십시오.

(b)에 대해서는, $r$ 개의 기약표현이 있다고 가정합시다. 우리는

A=\bigoplus_{i=1}^{r}\mathrm{Mat}(V_{i})

라고 가정할 수 있으며, 여기서 $V_{1}$ , …, $V_{r}$ 은 $A$ 의 기약표현들입니다. 지표들이 선형 독립임을 이미 보였으므로, $\dim(A/[A,A])=r$ 임만 보이면 되는데, 이는 각 $\mathrm{Mat}(V_{i})$ 가 일차원 아벨화를 갖는다는 앞선 관찰로부터 따라옵니다. ∎

$G$ 는 $\dim k[G]^{\text{ab}}$ 개의 켤레류를 가지므로, 이로써 (II)의 증명이 완료됩니다.

21.3 지표의 직교성

이제 $\mathbb{C}$ 위에서 표현된 유한군 $G$ 의 경우로 특수화합니다.

정의 21.3.1.

$\operatorname{Classes}(G)$ 가 $G$ 의 켤레류의 집합을 나타낸다고 합시다.

$G$ 가 $r$ 개의 켤레류를 가지면, $G$ 는 $r$ 개의 기약표현을 갖습니다. 각 (유한 차원) 표현 $V$ 는, 기약이든 아니든, 지표 $\chi_{V}$ 를 줍니다.

표기의 남용 21.3.2.

앞으로는 $\chi_{V}$ 를 함수 $G\to\mathbb{C}$ 로, 또는 함수 $\operatorname{Classes}(G)\to\mathbb{C}$ 로 종종 간주할 것입니다. 예를 들어, $\chi_{V}(g)$ ( $g\in G$ 에 대해)와 $\chi_{V}(C)$ (켤레류 $C$ 에 대해)를 둘 다 사용할 것인데, 후자는 단지 임의의 대표원 $g_{C}\in C$ 에 대한 $\chi_{V}(g_{C})$ 를 의미합니다.

정의 21.3.3.

$\operatorname{Fun}_{\mathrm{class}}(G)$ 가 $\mathbb{C}$ 위의 벡터 공간으로 간주되는 함수 $\operatorname{Classes}(G)\to\mathbb{C}$ 의 집합을 나타낸다고 합시다. 우리는 여기에 다음과 같은 내적 형식을 부여합니다

\left<f_{1},f_{2}\right>=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}f_{1}(g)\overline{f_{2}(g)}.

이는 처음에 $S_{3}$ 의 지표표를 살펴보았을 때 언급했던 것과 같은 ”내적”입니다. 이제 우리는 다음의 직교성 정리를 증명하고자 하는데, 이는 앞서 나온 (III)과 (IV)를 함의할 것입니다.

정리 21.3.4 (직교성).

$G$ 의 임의의 유한 차원 복소 표현 $V$ 와 $W$ 에 대해 다음이 성립합니다

\left<\chi_{V},\chi_{W}\right>=\dim\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(W,V).

특히, $V$ 와 $W$ 가 기약표현이면 다음이 성립합니다

\left<\chi_{V},\chi_{W}\right>=\begin{cases}1&V\cong W\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

따름정리 21.3.5 (기약표현은 정규직교 기저를 줍니다).

기약표현에 결부된 지표들은 $\operatorname{Fun}_{\mathrm{class}}(G)$ 의 정규직교 기저를 이룹니다.

이 정리를 증명하기 위해서는 쌍대 표현과 텐서 표현을 정의해야 하는데, 이는 양 $\chi_{V}(g)\overline{\chi_{W}(g)}$ 을 다루는 자연스러운 방법을 제공합니다.

정의 21.3.6.

$V=(V,\rho)$ 를 $G$ 의 표현이라 합시다. 쌍대 표현 $V^{\vee}$ 은 $V^{\vee}$ 위의 표현으로, $G$ 의 작용은 다음과 같이 주어집니다: 각 $\xi\in V^{\vee}$ 에 대해, $g$ 의 작용은 다음과 같이 명시된 $g\cdot\xi\in V^{\vee}$ 을 줍니다

v\xmapsto{g\cdot\xi}\xi\left(\rho(g^{-1})(v)\right).

정의 21.3.7.

$V=(V,\rho_{V})$ 와 $W=(W,\rho_{W})$ 을 $G$ 의 군 표현이라 합시다. $V$ 와 $W$ 의 텐서곱은 $V\otimes W$ 위의 군 표현으로, $G$ 의 작용은 순수 텐서에 대해 다음과 같이 주어집니다

g\cdot(v\otimes w)=(\rho_{V}(g)(v))\otimes(\rho_{W}(g)(w))

이는 선형적으로 확장되어 $V\otimes W$ 전체에 대한 $G$ 의 작용을 정의합니다.

비고 21.3.8.

주의: 텐서에 대한 정의는 대수로 확장되지 않습니다. $a\cdot(v\otimes w)=(a\cdot v)\otimes(a\cdot w)$ 가 성립하기를 바랄 수도 있지만, 이는 $a\in A$ 에 대해 선형적이지도 않습니다(예를 들어 $a=2$ 를 취하면 어떻게 되겠습니까?).

정리 21.3.9 (지표의 대각합).

$V$ 와 $W$ 가 $G$ 의 유한 차원 표현이라면, 임의의 $g\in G$ 에 대해.

(a)

$\chi_{V\oplus W}(g)=\chi_{V}(g)+\chi_{W}(g)$ .
(b)

$\chi_{V\otimes W}(g)=\chi_{V}(g)\cdot\chi_{W}(g)$ .
(c)

$\chi_{V^{\vee}}(g)=\overline{\chi_{V}(g)}$ .

증명.

(a)와 (b)는 항등식 $\operatorname{Tr}(S\oplus T)=\operatorname{Tr}(S)+\operatorname{Tr}(T)$ 와 $\operatorname{Tr}(S\otimes T)=\operatorname{Tr}(S)\operatorname{Tr}(T)$ 로부터 따라 나옵니다. 하지만 (c)는 더 까다롭습니다. 라그랑주 정리에 의해 $(\rho(g))^{|G|}=\rho(g^{|G|})=\rho(1_{G})=\mathrm{id}_{V}$ 이므로, $\rho(g)$ 를 대각화할 수 있는데, 고윳값을 $\lambda_{1}$ , …, $\lambda_{n}$ 이라 하면 이들은 $|G|$ 차 단위근이며, 고유벡터 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 에 대응합니다. 그러면 기저 $e_{1}^{\vee}$ , …, $e_{n}^{\vee}$ 에서 $V^{\vee}$ 위의 $g$ 의 작용은 고윳값 $\lambda_{1}^{-1}$ , $\lambda_{2}^{-1}$ , …, $\lambda_{n}^{-1}$ 을 가짐을 알 수 있습니다. 따라서

\chi_{V}(g)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\quad\text{그리고}\quad\chi_{V^{\vee}}(g)=% \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{-1}=\sum_{i=1}^{n}\overline{\lambda_{i}}

여기서 마지막 단계는 항등식 $|z|=1\iff z^{-1}=\overline{z}$ 로부터 따라 나옵니다. ∎

비고 21.3.10 (주의).

항등식 (b)와 (c)는 $\mathbb{C}[G]$ 로 선형적으로 확장되지 않습니다. 즉, $\chi_{V}$ 를 사상 $\mathbb{C}[G]\to\mathbb{C}$ 로 생각할 때 예를 들어 $\chi_{V^{\vee}}(a)=\overline{\chi_{V}(a)}$ 가 성립하는 것은 사실이 아닙니다.

직교 관계의 증명.

핵심은 이제 곱들의 합을 다음을 통해 단 하나의 지표로 축소할 수 있다는 것입니다

\chi_{V}(g)\overline{\chi_{W}(g)}=\chi_{V\otimes W^{\vee}}(g).

따라서 문제의 합을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다

\left<\chi_{V},\chi_{W}\right>=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V\otimes W^{% \vee}}(g)=\chi_{V\otimes W^{\vee}}\left(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\right).

$P\colon V\otimes W^{\vee}\to V\otimes W^{\vee}$ 을 $\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g$ 의 작용이라 하면, 우리는 $\operatorname{Tr}P$ 를 구하고자 합니다.

연습문제 21.3.11.

$P$ 가 멱등원임을 보이십시오. ( $P\circ P$ 를 직접 계산하십시오.)

따라서 (문제 9H에 의해) $V\otimes W^{\vee}=\ker P\oplus\operatorname{im}P$ 이며, $\operatorname{im}P$ 는 $G$ 아래에서 고정된 원소들의 부분공간입니다. 이로부터 다음을 이끌어낼 수 있습니다

\operatorname{Tr}P=\dim\operatorname{im}P=\dim\left\{x\in V\otimes W^{\vee}% \mid g\cdot x=x\;\forall g\in G\right\}.

이제 자연스러운 동형사상 $V\otimes W^{\vee}\to\operatorname{Hom}(W,V)$ 을 생각해 봅시다.

연습문제 21.3.12.

$g\in G$ 라 합시다. 이 동형사상 아래에서, $T\in\operatorname{Hom}(W,V)$ 가 $g\cdot T=T$ 를 만족하는 것은 각 $w\in W$ 에 대해 $T(g\cdot w)=g\cdot T(w)$ 인 것과 동치임을 보이십시오. (이는 세 개 혹은 네 개의 정의를 풀어내기만 하면 됩니다.)

결과적으로, $\chi_{V\otimes W^{\vee}}(P)=\operatorname{Tr}P=\dim\operatorname{Hom}_{\mathrm% {rep}}(W,V)$ 이 원하는 대로 성립합니다. ∎

직교 관계는 유한 차원 표현 $V$ 가 기약인지를 확인하는 빠르고 기계적인 방법을 제공합니다. 즉, 각 $g\in G$ 에 대해 대각합 $\chi_{V}(g)$ 를 계산한 다음, $\left<\chi_{V},\chi_{V}\right>=1$ 인지를 확인하면 됩니다. 그래서 예를 들어, 우리가 찾았던 $S_{3}$ 의 세 표현이 기약표현임을 지표표로부터 직접 알 수 있었을 것입니다. 따라서 이제 우리는 기약표현의 완전한 집합을 가질 때마다 효율적으로 검증할 수 있습니다.

21.4 지표표의 예

예제 21.4.1 (원소가 $10$ 개인 이면체군).

$D_{10}=\left<r,s\mid r^{5}=s^{2}=1,rs=sr^{-1}\right>$ 라 합시다. $\omega=\exp(\frac{2\pi i}{5})$ 라 합시다. $D_{10}$ 의 네 가지 표현을 씁니다:

•

$\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 에서는, $D_{10}$ 의 모든 원소가 항등원으로 작용합니다.
•

$\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 에서 $r$ 은 항등원으로 작용하고 $s$ 는 부호 반전으로 작용합니다.
•

$V_{1}$ 은 이차원이며 $r\mapsto\begin{bmatrix}\omega&0\\ 0&\omega^{4}\end{bmatrix}$ 와 $s\mapsto\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}$ 로 주어집니다.
•

$V_{2}$ 는 이차원이며 $r\mapsto\begin{bmatrix}\omega^{2}&0\\ 0&\omega^{3}\end{bmatrix}$ 와 $s\mapsto\begin{bmatrix}0&1\\ 1&0\end{bmatrix}$ 로 주어집니다.

이 네 표현이 기약이며 서로 동형이 아니라고 주장합니다. 이를 지표표를 작성하여 증명합니다:

\begin{array}[]{|c|rccr|}\hline\cr D_{10}&1&r,r^{4}&r^{2},r^{3}&sr^{k}\\ \hline\cr\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}&1&1&1&1\\ \mathbb{C}_{\mathrm{sign}}&1&1&1&-1\\ V_{1}&2&\omega+\omega^{4}&\omega^{2}+\omega^{3}&0\\ V_{2}&2&\omega^{2}+\omega^{3}&\omega+\omega^{4}&0\\ \hline\cr\end{array}

그러면 직접 계산을 통해 직교 관계를 보일 수 있으므로, 실제로 정규직교기저를 갖습니다. 예를 들어 $\left<\mathbb{C}_{\mathrm{triv}},\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}\right>=1+2\cdot 1+% 2\cdot 1+5\cdot(-1)=0$ 입니다.

예제 21.4.2 ( $S_{4}$ 의 지표표).

이제 $S_{4}$ 의 지표표를 계산할 만한 충분한 도구를 갖추었으며, $S_{4}$ 는 다섯 개의 켤레류를 가집니다 (순환 유형 $\mathrm{id}$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2+2$ 에 대응). 먼저, $S_{4}$ 는 두 개의 일차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 와 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 을 가지며, 이것들이 전부임을 주목합니다 (준동형사상 $S_{4}\to\mathbb{C}^{\times}$ 가 오직 두 개뿐이기 때문입니다). 따라서 지금까지 다음과 같은 표를 얻습니다

\begin{array}[]{|c|rrrrr|}\hline\cr S_{4}&1&(\bullet\;\bullet)&(\bullet\;% \bullet\;\bullet)&(\bullet\;\bullet\;\bullet\;\bullet)&(\bullet\;\bullet)(% \bullet\;\bullet)\\ \hline\cr\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}&1&1&1&1&1\\ \mathbb{C}_{\mathrm{sign}}&1&-1&1&-1&1\\ \vdots&\vrule\lx@intercol\hfil\vdots\hfil\lx@intercol\vrule\lx@intercol\end{array}

열들이 $1+6+8+6+3=24$ 개의 원소를 나타냄에 주목하십시오.

이제, 나머지 세 표현은 다음을 만족하는 차원 $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ 을 가집니다

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=4!-2=22

이는 $(d_{1},d_{2},d_{3})=(2,3,3)$ 과 그 순열들만을 해로 가집니다. 이제 $\operatorname{refl}_{0}$ 표현을 취할 수 있습니다

\left\{(w,x,y,z)\mid w+x+y+z=0\right\}

기저 $(1,0,0,-1)$ , $(0,1,0,-1)$ , $(0,0,1,-1)$ 을 가집니다. 이것이 기약임을 기하학적으로 확인할 수 있지만, 지표를 직접 계산함으로써 수치적으로도 확인할 수 있습니다 (지루한 작업입니다): 계산하면 $3$ , $1$ , $0$ , $-1$ , $-1$ 이 나오며, 이는 실제로 다음 노름을 줍니다

\left<\chi_{\operatorname{refl}_{0}},\chi_{\operatorname{refl}_{0}}\right>=% \frac{1}{4!}\left(\underbrace{3^{2}}_{\mathrm{id}}+\underbrace{6\cdot(1)^{2}}_% {(\bullet\;\bullet)}+\underbrace{8\cdot(0)^{2}}_{(\bullet\;\bullet\;\bullet)}+% \underbrace{6\cdot(-1)^{2}}_{(\bullet\;\bullet\;\bullet\;\bullet)}+\underbrace% {3\cdot(-1)^{2}}_{(\bullet\;\bullet)(\bullet\;\bullet)}\right)=1.

이것을 부호 표현과 텐서곱하여 또 다른 기약 표현을 얻을 수도 있음에 주목하십시오 ( $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 의 모든 대각합이 $\pm 1$ 이므로 노름이 변하지 않습니다). 마지막으로, 직교성을 이용해 마지막 행을 복원합니다 (더 나은 이름이 없어 $\mathbb{C}^{2}$ 라고 부릅니다); 따라서 완성된 표는 다음과 같습니다.

\begin{array}[]{|c|rrrrr|}\hline\cr S_{4}&1&(\bullet\;\bullet)&(\bullet\;% \bullet\;\bullet)&(\bullet\;\bullet\;\bullet\;\bullet)&(\bullet\;\bullet)(% \bullet\;\bullet)\\ \hline\cr\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}&1&1&1&1&1\\ \mathbb{C}_{\mathrm{sign}}&1&-1&1&-1&1\\ \mathbb{C}^{2}&2&0&-1&0&2\\ \operatorname{refl}_{0}&3&1&0&-1&-1\\ \operatorname{refl}_{0}\otimes\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}&3&-1&0&1&-1\\ \hline\cr\end{array}

21.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 21A (지표로부터 분해 읽어내기).

$W$ 를 유한군 $G$ 의 복소 표현이라 하십시오. $V_{1}$ , …, $V_{r}$ 을 $G$ 의 복소 기약 표현들이라 하고 $n_{i}=\left<\chi_{W},\chi_{V_{i}}\right>$ 로 두십시오. 각 $n_{i}$ 가 음이 아닌 정수이며 다음이 성립함을 증명하십시오

W=\bigoplus_{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus n_{i}}.

힌트. 자명합니다. $W=\bigoplus V_{i}^{m_{i}}$ 로 두면 ( $\mathbb{C}[G]$ 가 반단순이므로 가능합니다) $\chi_{W}=\sum_{i}m_{i}\chi_{V_{i}}$ 입니다.

문제 21B.

$G=S_{4}$ 의 복소 표현들을 생각하십시오. 표현 $\operatorname{refl}_{0}\otimes\operatorname{refl}_{0}$ 은 $9$ 차원이므로 명백히 가약입니다. 이를 다섯 개의 기약 표현들로 분해하십시오.

힌트. $\chi_{W}=\chi_{\operatorname{refl}_{0}}^{2}$ 로 두고 앞 문제를 이용하십시오.

풀이. $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}\oplus\mathbb{C}^{2}\oplus\operatorname{refl}_{0}% \oplus(\operatorname{refl}_{0}\otimes\mathbb{C}_{\mathrm{sign}})$ .

문제 21C (일차원 기약 표현과의 텐서곱).

$V$ 와 $W$ 를 $G$ 의 기약 표현이라 하고, $\dim W=1$ 이라 하십시오. $V\otimes W$ 가 기약임을 보이십시오.

힌트. 지표를 이용합니다. $|\chi_{W}|=1$ 이 어디서나 성립함에 주목하십시오.

풀이. 먼저, 모든 $g\in G$ 에 대해 $|\chi_{W}(g)|=1$ 임을 관찰하십시오.

$\displaystyle\left<\chi_{V\otimes W},\chi_{V\otimes W}\right>$ $\displaystyle=\left<\chi_{V}\chi_{W},\chi_{V}\chi_{W}\right>$

$\displaystyle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\left\lvert\chi_{V}(g)\right\rvert^{2}% \left\lvert\chi_{W}(g)\right\rvert^{2}$

$\displaystyle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\left\lvert\chi_{V}(g)\right\rvert^{2}$

$\displaystyle=\left<\chi_{V},\chi_{V}\right>=1.$

문제 21D (사원수군).

사원수군 $Q_{8}$ 의 지표표를 계산하십시오.

힌트. 다섯 개의 켤레류가 있습니다: $1$ , $-1$ , 그리고 $\pm i$ , $\pm j$ , $\pm k$ 입니다. 표현들 중 네 개가 주어지면, 직교성을 통해 다섯 번째를 얻을 수 있습니다.

풀이. 표는 다음과 같이 주어집니다

$\begin{array}[]{|c|rrrrr|}\hline\cr Q_{8}&1&-1&\pm i&\pm j&\pm k\\ \hline\cr\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}&1&1&1&1&1\\ \mathbb{C}_{i}&1&1&1&-1&-1\\ \mathbb{C}_{j}&1&1&-1&1&-1\\ \mathbb{C}_{k}&1&1&-1&-1&1\\ \mathbb{C}^{2}&2&-2&0&0&0\\ \hline\cr\end{array}$

일차원 표현들 (처음 네 행)은 준동형사상 $Q_{8}\to\mathbb{C}^{\times}$ 를 생각함으로써 얻어집니다. 마지막 행은 이차원이며 직교성 공식을 이용해 복원할 수 있습니다.

문제 21E (제2 직교성 공식).

^†^†margin:

$g$ 와 $h$ 를 유한군 $G$ 의 원소라 하고, $V_{1}$ , …, $V_{r}$ 을 $G$ 의 기약 표현들이라 하십시오. 다음을 증명하십시오

\sum_{i=1}^{r}\chi_{V_{i}}(g)\overline{\chi_{V_{i}}(h)}=\begin{cases}|C_{G}(g)% |&\text{$g$와 $h$가 켤레일 경우}\\ 0&\text{그 외의 경우}.\end{cases}

여기서 $C_{G}(g)=\left\{x\in G:xg=gx\right\}$ 는 $g$ 의 중심화군입니다.

힌트. 첫 번째 직교성에 의해 $A B$ 가 항등원이 되도록 두 개의 정사각 $r\times r$ 행렬 $A$ 와 $B$ 를 구성하십시오. 그런 다음 $B A$ 를 이용하여 두 번째 직교 관계를 증명하십시오.

	$\displaystyle\left<\chi_{V\otimes W},\chi_{V\otimes W}\right>$	$\displaystyle=\left<\chi_{V}\chi_{W},\chi_{V}\chi_{W}\right>$
		$\displaystyle=\frac{1}{\|G\|}\sum_{g\in G}\left\lvert\chi_{V}(g)\right\rvert^{2}% \left\lvert\chi_{W}(g)\right\rvert^{2}$
		$\displaystyle=\frac{1}{\|G\|}\sum_{g\in G}\left\lvert\chi_{V}(g)\right\rvert^{2}$
		$\displaystyle=\left<\chi_{V},\chi_{V}\right>=1.$