장 26 극한과 급수

이제 거리 공간(및 위상 공간)의 이론을 충분히 전개했으므로, 일변수 미적분학의 이론을 빠르게 다루는 세 장으로 이루어진 열을 제시합니다.

사실 상당 부분의 작업은 이미 드러나지 않게 끝나 있습니다. 예를 들어 $x_{n}$ 과 $y_{n}$ 이 $\lim_{n}x_{n}=x$ 이고 $\lim_{n}y_{n}=y$ 인 실수열이라면, 실제로 $\lim_{n}(x_{n}+y_{n})=x+y$ 또는 $\lim_{n}(x_{n}y_{n})=xy$ 가 성립하는데, 이는 명제 2.5.5에서 사칙연산이 연속임을 보였기 때문입니다. 또한 완비성이 결정적인 역할을 한다는 것도 보게 될 것입니다.

26.1 완비성과 inf/sup

대표적인 예: $\sup[0,1]=\sup(0,1)=1$ .

$\mathbb{R}$ 은 거리 공간이므로 연속성과 수렴에 대해 논할 수 있습니다. 이어지는 절들 대부분이 작동하게 해 주는 $\mathbb{R}$ 에 관한 중요한 사실이 두 가지 있습니다.

첫 번째 사실은 이미 앞에서 보았습니다.

정리 26.1.1 ( $\mathbb{R}$ 은 완비입니다).

거리 공간으로서 $\mathbb{R}$ 은 완비입니다. 즉, 수열이 수렴하는 것은 그 수열이 코시 수열인 것과 동치입니다.

두 번째 사실은 아직 보지 못한 것으로, 바로 $\inf$ 와 $\sup$ 의 존재입니다. 직관은 다음과 같아야 합니다.

$\sup$ 은 무한집합에 맞게 약간 조정한 $\max$ 입니다. (그리고 $\inf$ 는 조정한 $\min$ 입니다.)

왜 “조정”이 필요합니까?

예제 26.1.2 (왜 max로는 충분하지 않습니까?).

열린구간 $S=(0,1)$ 이 있다고 합시다. 원소들은 $1$ 에 얼마든지 가까워질 수 있으므로 “ $1$ 이 $S$ 의 최댓값”이라고 생각하고 싶지만, 문제는 $1\notin S$ 라는 점입니다. 일반적으로 무한집합이 최댓값을 반드시 가지는 것은 아니므로, 대신 상계와 하계에 대해 이야기해야 합니다.

그래서 $\sup S=1$ 이 되도록 $\sup S$ 를 정의하겠습니다. 정의는 “ $1$ 은 $S$ 의 모든 원소보다 크거나 같은 수 가운데 가장 작은 수”라는 것입니다.

이를 정확히 쓰면 다음과 같습니다.

정의 26.1.3.

$S$ 가 실수의 집합이라고 합시다.

•

$S$ 의 상계란 모든 $x\in S$ 에 대해 $x\leq M$ 을 만족하는 실수 $M$ 입니다. 상계가 존재하면 $S$ 가 위로 유계라고 합니다;
•

$S$ 의 하계란 모든 $x\in S$ 에 대해 $m\leq x$ 를 만족하는 실수 $m$ 입니다. 하계가 존재하면 $S$ 가 아래로 유계라고 합니다.
•

상계와 하계가 모두 존재하면 $S$ 가 유계라고 합니다.

정리 26.1.4 ( $\mathbb{R}$ 에는 inf와 sup이 존재합니다).

$S$ 를 공집합이 아닌 실수의 집합이라고 합시다.

•

$S$ 가 위로 유계이면 $S$ 는 최소 상계를 가지며, 이를 $\sup S$ 로 나타내고 $S$ 의 상한이라고 부릅니다.
•

$S$ 가 아래로 유계이면 $S$ 는 최대 하계를 가지며, 이를 $\inf S$ 로 나타내고 $S$ 의 하한이라고 부릅니다.

정의 26.1.5.

편의상 $S$ 가 위로 유계가 아니면 $\sup S=+\infty$ 로 씁니다. 마찬가지로 $S$ 가 아래로 유계가 아니면 $\inf S=-\infty$ 로 씁니다.

예제 26.1.6 (상한).

하한에 대한 예시도 사실상 같으므로, 당분간은 상한만 다루겠습니다.

(a)

$S=\left\{1,2,3,\dots\right\}$ 이면 $S$ 는 위로 유계가 아니므로 $\sup S=+\infty$ 입니다.
(b)

$S=\left\{\dots,-2,-1\right\}$ 가 음의 정수의 집합을 나타내면 $\sup S=-1$ 입니다.
(c)

$S=[0,1]$ 을 닫힌구간이라고 합시다. 그러면 $\sup S=1$ 입니다.
(d)

$S=(0,1)$ 을 열린구간이라고 합시다. $1$ 자체는 $S$ 의 원소가 아니지만, 이 경우에도 $\sup S=1$ 입니다.
(e)

$S=\mathbb{Q}\cap(0,1)$ 이 $0$ 과 $1$ 사이의 유리수의 집합을 나타낸다고 합시다. 이 경우에도 여전히 $\sup S=1$ 입니다.
(f)

$S$ 가 공집합이 아닌 유한집합이면 $\sup S=\max S$ 입니다.

정의 26.1.7 (정의를 수열로 옮기기).

$a_{1}$ , … 이 수열이면 우리는 종종 다음과 같이 씁니다.

	$\displaystyle\sup_{n}a_{n}$	$\displaystyle\coloneqq\sup\left\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$
	$\displaystyle\inf_{n}a_{n}$	$\displaystyle\coloneqq\inf\left\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$

이는 수열의 원소들로 이루어진 집합의 상한과 하한을 나타냅니다. 또한 “위로/아래로 유계”라는 말도 수열에 대해 같은 방식으로 사용합니다.

예제 26.1.8 (수열의 하한).

수열 $a_{n}=\frac{1}{n}$ 의 하한은 $\inf a_{n}=0$ 입니다.

26.2 $\mathbb{R}$ 의 두 가지 핵심 완비성 성질의 증명

주의 깊은 독자라면 우리가 정리 26.1.4도 정리 26.1.1도 실제로 증명하지 않았다는 점을 알아차렸을 것입니다. 여기서 이를 증명하겠습니다.

먼저, 하한과 상한을 취할 수 있으면 $\mathbb{R}$ 의 완비성을 증명할 수 있음을 보이겠습니다.

정리 26.1.4이 정리 26.1.1을 함의한다는 증명.

$a_{1}$ , $a_{2}$ , … 을 코시 수열이라고 합시다. 앞쪽의 유한 개의 항을 버림으로써, 모든 $i$ 와 $j$ 에 대해 $|a_{i}-a_{j}|\leq 100$ 이라고 가정해도 됩니다. 특히 이제 이 수열은 유계이며, 예를 들어 $[a_{1}-100,a_{1}+100]$ 사이에 놓입니다.

우리는 이 수열이 수렴함을 보이고자 하므로, 먼저 극한이 무엇인지 기술해야 합니다. 이를 위해서는 우리가 $\mathbb{R}$ 안에 있다는 사실을 실제로 사용해야 한다는 것을 알고 있습니다. (예를 들어 $\mathbb{Q}$ 에서는 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , … 의 극한이 존재하지 않는다는 것을 알고 있습니다.)

다음을 제안합니다. 다음과 같이 둡시다.

S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a_{n}\geq x\text{무한히 많은 $n$에 대하여}\right\}.

우리는 이 수열이 $M=\sup S$ 로 수렴한다고 주장합니다.

연습문제 26.2.1.

$a_{1}-100\in S$ 이고(따라서 $S$ 는 공집합이 아님) $S$ 의 모든 원소가 $a_{1}+100$ 이하임을(따라서 $S$ 는 위로 유계임) 증명하여 이 상한이 의미가 있음을 보이십시오. 따라서 실제로 상한을 취할 수 있습니다.

이 집합 $S$ 는 다음과 같은 그림으로 생각할 수 있습니다. 실직선 위에 수렴할 것이라고 생각되는 코시 수열이 그려져 있고, 이를 실직선 위에 어떤 순서가 매겨진 점들의 무리로 시각화할 수 있습니다. 우리는 칼의 왼쪽에 유한 개의 점만 오도록 칼로 직선을 자르고자 합니다. (예를 들어 칼을 맨 왼쪽에 두면 항상 됩니다.) 집합 $S$ 는 칼을 놓을 수 있는 위치들을 나타내며, $M$ 은 우리가 갈 수 있는 “가장 오른쪽”입니다. 상한의 성질 때문에 $M$ 자체는 유효한 칼 위치가 아닐 수도 있지만, 그 왼쪽의 위치는 모두 확실히 유효합니다.

$\varepsilon>0$ 이 주어졌다고 합시다. 결국 모든 항이 $M$ 으로부터 $\varepsilon$ 이내에 있음을 보이고자 합니다. 수열이 코시 수열이므로, $m\geq n\geq N$ 에 대해 결국 $\left\lvert a_{m}-a_{n}\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon$ 가 되는 $N$ 이 존재합니다.

이제 $n$ 을 고정하고 $m$ 을 변화시킨다고 합시다. $M$ 의 정의에 의해 $a_{m}\geq M-\frac{1}{2}\varepsilon$ 를 만족하는 첨자 $m$ 을 고를 수 있어야 합니다( $M-\frac{1}{2}\varepsilon$ 가 유효한 칼 위치이므로 고를 수 있는 것이 무한히 많고, 우리에게는 $m\geq n$ 만 필요합니다). 이 경우 다음을 얻습니다.

\left\lvert a_{n}-M\right\rvert\leq\left\lvert a_{n}-a_{m}\right\rvert+\left% \lvert a_{m}-M\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon

여기서는 삼각 부등식을 사용했습니다. 이로써 증명이 끝납니다. ∎

따라서 후자인 정리 26.1.4을 증명하는 것으로 충분합니다. 하지만 이를 위해서는 실수 $\mathbb{R}$ 의 엄밀한 정의를 실제로 제시해야 합니다. 아직 그렇게 하지 않았기 때문입니다!

이를 쉽게 만드는 한 가지 방법은 이른바 데데킨트 절단 구성을 사용하는 것입니다. 유리수 $\mathbb{Q}$ 를 생각합시다. 그러면 실수를 유리수 집합의 “절단” $A\mid B$ 로 정의합니다. 즉, 다음을 만족하는 $\mathbb{Q}$ 의 부분집합의 쌍입니다.

•

$\mathbb{Q}=A\sqcup B$ 는 서로소 합집합입니다;
•

$A$ 와 $B$ 는 공집합이 아닙니다.
•

모든 $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대하여 $a<b$ 가 성립하며,
•

$A$ 에는 최대 원소가 없습니다(즉, $\sup A\notin A$ ).

이것 역시 여러분이 실직선이라고 생각하는 것을 가져와 어떤 실수에서 자르는 것으로 시각화할 수 있습니다. 부분집합 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 는 두 절반 $A$ 와 $B$ 로 잘립니다. 칼이 정확히 어떤 유리수 위에 떨어지는 경우, 관례상 그 수는 오른쪽 절반에 속한다고 간주합니다(이것이 $\sup A\notin A$ 라는 마지막 조건을 설명해 줍니다).

이 정의를 사용하면 정리 26.1.4는 쉽습니다. 실수 집합의 상한을 구하려면 모든 왼쪽 반쪽의 합집합을 취하면 됩니다. 어려운 부분은 이 다소 번거로운 구성을 가지고 $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ 등을 어떻게 정의할지 알아내는 것입니다. 이 구성에 대해 더 자세히 읽고 싶다면, 제가 가장 좋아하는 참고 문헌은 [PUG02]이며, 그 책의 1장에서 이 모든 것을 꼼꼼하게 다룹니다.

26.3 단조수열

좋은 연습문제를 하나 소개합니다.

연습문제 26.3.1 (필수).

$a_{1}\geq a_{2}\geq\dots\geq 0$ 이면 다음 극한이

\lim_{n\to\infty}a_{n}

존재함을 증명하십시오. 힌트: 이전 절의 증명에 쓰인 아이디어가 도움이 됩니다. $\mathbb{R}$ 의 완비성을 이용해 볼 수도 있습니다. 두 번째 힌트: 정말로 막혔다면 명제 26.4.5 이후까지 기다리십시오. 그 시점에서는 그 증명을 사실상 그대로 옮겨 쓸 수 있습니다.

여기서의 증명은 평행이동을 통해 쉽게 적용할 수 있습니다.

정의 26.3.2.

$a_{1}\geq a_{2}\geq\dots$ 이거나 $a_{1}\leq a_{2}\leq\dots$ 이면 수열 $a_{n}$ 을 단조라고 합니다.

정리 26.3.3 (유계인 단조수열은 수렴한다).

$a_{1}$ , $a_{2}$ , … 가 유계인 단조수열이라고 합시다. 그러면 $\lim_{n\to\infty}a_{n}$ 이 존재합니다.

예제 26.3.4 (단조성의 엉뚱한 예).

다음과 같이 정의된 수열을 생각해 봅시다.

	$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=1.2$
	$\displaystyle a_{2}$	$\displaystyle=1.24$
	$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=1.248$
	$\displaystyle a_{4}$	$\displaystyle=1.24816$
	$\displaystyle a_{5}$	$\displaystyle=1.2481632$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

이와 같이 계속하는데, 일반적으로 $2$ 의 다음 거듭제곱의 십진 표현을 뒤에 덧붙입니다. 이 수열은 어떤 실수로 수렴합니다. 물론 이 수는 상당히 부자연스러우며, 이 수를 잘 설명할 방법은 아마 없을 것입니다.

일반적으로, 이제 “무한소수”를 잘라 낸 유한소수들의 극한으로 정의할 수 있습니다.

예제 26.3.5 ( $0.9999\dots=1$ ).

특히, 여러분이 초등학교 때 논쟁했던 다음 개념을 드디어 엄밀하게 만들 수 있습니다.

0.9999\dots=1.

우리는 단순히 순환소수를 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999\dots$ 의 극한으로 정의합니다. 그리고 이 수열의 극한이 $1$ 이라는 것은 자명합니다.

실제로는 $0.9999=9\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+\dots$ — 즉 “부분합”의 극한 — 이 성립해야 할 것처럼 보이므로 조금 놀라는 분도 있을 것입니다. 걱정하지 마십시오. 곧 그것을 정의할 것입니다.

단조수열의 또 다른 좋은 활용을 하나 소개합니다.

정의 26.3.6.

$a_{1}$ , $a_{2}$ , … 가 아래로 유계인 수열(반드시 단조일 필요는 없음)이라고 합시다. 다음과 같이 정의합니다.

\limsup_{n\to\infty}a_{n}\coloneqq\lim_{N\to\infty}\sup_{n\geq N}a_{n}=\lim_{N% \to\infty}\sup\left\{a_{N},a_{N+1},\dots\right\}.

이것을 $(a_{n})$ 의 상극한이라고 부릅니다. $a_{n}$ 이 위로 유계가 아니면 $\limsup_{n\to\infty}a_{n}$ 을 $+\infty$ 로 둡니다.

$a_{n}$ 이 위로 유계이면 하극한 $\liminf_{n\to\infty}a_{n}$ 도 비슷하게 정의합니다. 특히, $a_{n}$ 이 아래로 유계가 아니면 $\liminf_{n\to\infty}a_{n}=-\infty$ 입니다.

연습문제 26.3.7.

상한들이 증가하지 않으며 아래로 유계임을 확인하여, 이 정의들이 의미가 있음을 보이십시오.

$\limsup_{n}a_{n}$ 은 “유한 개의 항은 버려도 되는 상한”이라고 생각할 수 있습니다.

26.4 무한급수

대표적인 예: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}% \right)=1$ .

사실 우리는 무한급수부터 다루기 시작할 것입니다. 앞 장들에서 수열의 극한을 정의했으므로, 그다음으로 다루기에 가장 가까운 대상이 바로 이것이기 때문입니다.¹¹1개념적으로 보면 이산적인 대상은 연속적인 대상보다 엄밀하게 다루기가 쉽습니다. 그러므로 급수는 사실 도함수보다 “더 쉽습니다”! 대부분의 학교에서 미적분학을 가르칠 때 급수를 마지막에 가르치는 이유는 대부분의 미적분학 강의에 증명이 없기 때문이라고 짐작합니다.

이를 통해 다음과 같은 명제를 엄밀하게 생각하는 방법을 얻을 수 있으며,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

“유리수들을 더해서 어떻게 무리수가 나올 수 있는가?”와 같은 질문에 답하는 데에도 도움이 됩니다.

정의 26.4.1.

실수열 $a_{1}$ , …를 생각합시다. 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 극한 $L$ 로 수렴한다는 것은 다음 “부분합”의 수열이

	$\displaystyle s_{1}$	$\displaystyle=a_{1}$
	$\displaystyle s_{2}$	$\displaystyle=a_{1}+a_{2}$
	$\displaystyle s_{3}$	$\displaystyle=a_{1}+a_{2}+a_{3}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle s_{n}$	$\displaystyle=a_{1}+\dots+a_{n}$

극한 $L$ 로 수렴한다는 뜻입니다. 그렇지 않으면 급수가 발산한다고 합니다.

표기의 남용 26.4.2 (발산을 $+\infty$ 로 표기하기).

모든 $a_{k}$ 가 음이 아닐 때에는 급수가 발산함을 나타내기 위해 $\sum_{k}a_{k}=\infty$ 라고 쓰는 것이 관례입니다.

수열의 정의를 이용함으로써, 그렇지 않았다면 온갖 문제를 일으켰을 “무한히 많은 수를 더하는” 문제를 교묘하게 피해 갔다는 것을 알아차리셨을 것입니다.

“무한합”은 사실 부분합들의 극한입니다. 무한 번의 덧셈은 전혀 관여하지 않습니다.

그렇기 때문에 예를 들어 $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ 이 무리수여도 괜찮습니다. 유리수열이 무리수로 수렴할 수 있다는 것은 이미 여러 번 보았습니다. 또한 $1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$ 에 관한 중학생들의 짜증 나는 게시물들을 모두 기꺼이 무시해도 된다는 뜻이기도 합니다. 부분합이 $+\infty$ 로 폭발하니 이야기는 거기서 끝이며, 그 합에 어떤 값을 부여하고 싶다면 그것은 반드시 정의여야 합니다.

예제 26.4.3 (고전적인 망원급수).

이제 고전적인 망원급수

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}

를 마지막 부분을 대충 얼버무리지 않고 증명할 수 있습니다. $k$ 번째 부분합은 다음과 같다는 점에 주목하십시오.

	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$	$\displaystyle=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$
		$\displaystyle=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n}-% \frac{1}{n+1}\right)$
		$\displaystyle=1-\frac{1}{n+1}.$

$n\to\infty$ 일 때 이 부분합의 극한은 $1$ 입니다.

예제 26.4.4 (조화급수는 발산한다).

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$ 라는 명제(즉, 이 급수가 발산한다는 것)에도 엄밀한 의미를 부여할 수 있습니다. $2^{n}$ 번째 부분합들을 다음과 같이 아래에서 유계로 만들 수 있습니다.

	$\displaystyle\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{k}$	$\displaystyle=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^{n}}$
		$\displaystyle\geq\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+% \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)$
		$\displaystyle+\dots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n}}+\dots+\frac{1}{2^{n}}% \right)}_{2^{n-1}\text{항}}$
		$\displaystyle=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2}=1+\frac{n-1}{2}.$

$s_{2^{n}}\geq 1+\frac{1}{2}(n-1)$ 을 만족하는 수열은 결코 유한한 수로 수렴하지 않습니다!

음이 아닌 항들의 합에 대해서는 수렴이 다음과 같은 의미에서 “유한한 합”을 갖는 것과 똑같다는 점도 언급해 두는 것이 좋겠습니다.

명제 26.4.5 (음이 아닌 항들의 부분합이 유계이면 수렴한다).

$\sum_{k}a_{k}$ 를 음이 아닌 실수들의 급수라고 합시다. 그러면 $\sum_{k}a_{k}$ 가 어떤 극한으로 수렴하는 것은 다음을 만족하는 상수 $M$ 이 존재하는 것과 동치입니다.

a_{1}+\dots+a_{n}<M

이 부등식은 모든 양의 정수 $n$ 에 대하여 성립합니다.

증명.

이것은 사실 정리 26.3.3를 모양만 바꾼 것에 불과하지만, 그때는 증명을 연습문제로 남겨 두었으므로 이번에는 증명을 적어 보겠습니다.

그러한 $M$ 이 존재하지 않으면 부분합의 수열 $s_{n}$ 이 유계가 아니라는 뜻이므로, 당연히 수렴하지 않습니다.

역으로, 그러한 $M$ 이 존재하면 $s_{1}\leq s_{2}\leq\dots<M$ 입니다. 이때 수열 $s_{n}$ 이 $L\coloneqq\sup_{n}s_{n}<\infty$ 로 수렴한다고 주장합니다. (완비성이 코시성을 함의한다는 증명을 읽었다면, 여기서의 그림도 거의 같지만 더 간단합니다.)

실제로 이는 임의의 $\varepsilon$ 에 대하여 $L-\varepsilon$ 보다 큰 수열의 항이 무한히 많다는 뜻입니다. 그런데 수열이 단조이므로, 일단 $s_{n}\geq L-\varepsilon$ 이면 모든 $n^{\prime}\geq n$ 에 대하여 $s_{n^{\prime}}\geq L-\varepsilon$ 입니다. 따라서 수열은 수렴합니다. ∎

표기의 남용 26.4.6 ( $\sum<\infty$ 표기).

이러한 이유로, $a_{k}$ 가 음이 아닌 실수일 때 “ $\sum_{k}a_{k}$ 가 유한한 극한으로 수렴한다”를 줄여서

\sum_{k}a_{k}<\infty

로 쓰는 것이 관례입니다(또는 “ $\sum_{k}a_{k}$ 가 유계이다”를 줄인 것으로 볼 수도 있습니다 — 방금 증명했듯이 이 둘은 동치이기 때문입니다). 이 책에서도 이 표기법을 사용하겠습니다.

26.5 급수의 덧셈은 교환법칙을 만족하지 않습니다: 공포 이야기

위 정의의 한 가지 아쉬운 성질은 실제로 원소들의 순서에 의존한다는 점입니다. 사실, 재배열해도 괜찮은 경우를 명시적으로 기술하는 방법이 있다는 것이 밝혀져 있습니다.

정의 26.5.1.

실수의 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 다음을 만족하면 절대수렴한다고 합니다.

\sum_{k}\left\lvert a_{k}\right\rvert<\infty

즉, 절댓값들의 급수가 어떤 극한으로 수렴한다는 뜻입니다. 급수가 수렴하지만 절대수렴하지는 않으면 조건수렴한다고 합니다.

명제 26.5.2 (절대수렴 $\implies$ 수렴).

실수의 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 절대수렴하면, 통상적인 의미로도 수렴합니다.

연습문제 26.5.3 (좋은 연습문제).

코시 판정법을 사용하여 이를 증명하십시오: $\sum_{k}|a_{k}|$ 의 부분합이 코시 수열이면 $\sum_{k}a_{k}$ 의 부분합도 코시 수열임을 보이십시오.

그러면 재배열은 아주 잘 작동합니다.

정리 26.5.4 (절대수렴에서는 항의 순열이 허용됨).

절대수렴하고 극한이 $L$ 인 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 를 생각합시다. 그러면 항들을 어떤 순열로 바꾸어도 역시 $L$ 로 수렴합니다.

증명.

$\sum_{k}a_{k}$ 가 $L$ 로 수렴하고 $b_{n}$ 이 그 재배열이라고 가정합시다. $\varepsilon>0$ 이라 합시다. $b_{n}$ 의 부분합이 결국 $L$ 로부터 $\varepsilon$ 이내에 들어옴을 보이겠습니다.

가정에 의해 $\varepsilon$ 에 따라 정해지는 충분히 큰 $N$ 이 존재하여 다음이 성립합니다.

\left\lvert\sum_{k=1}^{N}a_{k}-L\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon\quad\text{% 그리고}\quad\sum_{k=N+1}^{n}\left\lvert a_{k}\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon

이는 모든 $n\geq N$ 에 대해 성립합니다(앞의 것은 $a_{k}$ 의 평범한 수렴으로부터, 뒤의 것은 $a_{k}$ 가 절대수렴하므로 그 부분합이 코시 수열이라는 사실로부터 나옵니다).

이제 $M$ 이 충분히 커서 $a_{1}$ , …, $a_{N}$ 이 항들 $\{b_{1},\dots,b_{M}\}$ 안에 모두 포함된다고 가정합시다. 그러면

	$\displaystyle b_{1}+\dots+b_{M}$	$\displaystyle=(a_{1}+\dots+a_{N})$
		$\displaystyle+\underbrace{a_{i_{1}}+a_{i_{2}}+\dots+a_{i_{M-N}}}_{\text{첨자가 $>% N$인 $M-N$개의 항}}$

첫째 줄의 항들의 합은 $L$ 로부터 $\frac{1}{2}\varepsilon$ 이내에 있고, 둘째 줄의 항들의 합은 절댓값이 최대 $\frac{1}{2}\varepsilon$ 이므로, 전체 합 $b_{1}+\dots+b_{M}$ 은 $L$ 로부터 $\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$ 이내에 있습니다. ∎

특히, 항들이 음이 아니면 세상은 아름답습니다:

음이 아닌 급수는 마음대로 재배열할 수 있습니다.

그리고 좋은 소식은, 실제로는 여러분이 다루는 합 대부분이 음이 아니라는 것입니다.

역은 성립하지 않으며, 사실 상상할 수 있는 거의 최악의 방식으로 성립하지 않습니다.

정리 26.5.5 (리만 재배열 정리: 조건수렴에서는 항의 순열이 무의미함).

어떤 실수로 조건수렴하는 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 를 생각합시다. 그러면 $1337$ 로 조건수렴하는 이 급수의 순열이 존재합니다.

(또는 임의의 상수로 수렴하게 할 수 있습니다. 발산하게 만들 수도 있습니다.)

따라서 조건수렴하는 급수에 대해서는 순열이 최악이므로, 아예 시도조차 하지 마십시오.

26.6 점에서의 함수의 극한

대표적인 예: $\lim_{x\to\infty}1/x=0$ .

실함수의 극한 개념도 정의해 두는 것이 좋겠습니다. (놀랍게도) 아직 실제로 정의한 적이 없기 때문입니다. 이 정의는 앞서 연속성에서 본 것과 비슷한 모습일 것입니다.

정의 26.6.1.

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 함수²²2또는 $f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 등의 변형이어도 됩니다. $f$ 가 $p$ 의 열린 근방에서 정의되어 있기만 하면 됩니다. 이고 $p\in\mathbb{R}$ 가 정의역의 한 점이라고 합시다. 다음을 만족하는 실수 $L$ 이 존재한다고 가정합시다:

모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여, $\left\lvert x-p\right\rvert<\delta$ 이고 $x\neq p$ 이면 $\left\lvert f(x)-L\right\rvert<\varepsilon$ 가 성립하도록 하는 $\delta>0$ 이 존재합니다.

이때 $L$ 을 $x\to p$ 일 때 $f$ 의 극한이라고 하고, 다음과 같이 씁니다

\lim_{x\to p}f(x)=L.

여기서 중요한 점이 하나 있습니다. 이 정의에서는 $x\neq p$ 라는 조건을 일부러 요구합니다.

$\lim_{x\to p}f(x)$ 의 값은 $f(p)$ 에 의존하지 않으며, 그래서 $f(p)$ 를 굳이 정의하지 않는 경우도 많습니다.

예제 26.6.2 (구멍이 있는 함수).

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의합니다

f(x)=\begin{cases}3x&\text{만약}x\neq 0\\ 2019&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

그러면 $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ 입니다. $f(0)=2019$ 라는 값은 극한에 영향을 주지 않습니다. 물론 $f(0)$ 을 극한과 일치하지 않는 인위적인 값으로 정해 두었으므로, 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속입니다.

질문 26.6.3 (필수).

함수 $f$ 가 $p$ 에서 연속일 필요충분조건은 $\lim_{x\to p}f(x)$ 가 존재하고 그 값이 $f(p)$ 와 같은 것임을 보이십시오.

예제 26.6.4 (덜 자명한 예: 유리수 조각별 함수).

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의합니다:

f(x)=\begin{cases}1&\text{만약}x=0\\ \frac{1}{q}&\text{만약}x=\frac{p}{q}\text{여기서}q>0\text{그리고}\gcd(p,q)=1\\ 0&\text{만약}x\notin\mathbb{Q}.\end{cases}

예를 들어 $f(\pi)=0$ , $f(2/3)=\frac{1}{3}$ , $f(0.17)=\frac{1}{100}$ 입니다. 그러면

\lim_{x\to 0}f(x)=0.

예를 들어 $|x|<1/100$ 이고 $x\neq 0$ 이면, $f(x)$ 는 ( $x$ 가 무리수이면) 0이거나, ( $x$ 가 유리수이면) 기껏해야 $\frac{1}{101}$ 입니다.

$f(0)=1$ 이므로 이 함수 역시 $x=0$ 에서 불연속입니다. 그러나 정의를 바꾸어 대신 $f(0)=0$ 이 되게 하면 $f$ 는 $0$ 에서 연속이 됩니다.

예제 26.6.5 (유명한 예).

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ , $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 이라 하고, $f(0)$ 에는 아무 값이나 부여합니다. 그러면

\lim_{x\to 0}f(x)=1.

아직 삼각함수를 다루고 싶지 않으므로 여기서는 이를 증명하지 않겠습니다. 일반적으로 저는 삼각함수를 기본적으로 예시에만 사용하고 이론에는 사용하지 않을 것이므로, 삼각함수의 성질 대부분은 그냥 인용만 하겠습니다.

표기의 남용 26.6.6 (통상적인 표기법).

앞으로는 위의 예를 보통 다음과 같이 줄여 씁니다

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

이것이 약간의 표기 남용인 이유는, 원래 극한에는 함수 $f$ 를 넣어야 하는데 그 대신 모든 곳에서 — $x=0$ 만 제외하고 — 정의되는 식을 적었기 때문입니다. 하지만 그 $f(0)$ 값은 아무것도 바꾸지 않습니다. 따라서 위 식의 의미는 “ $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 로 기술되는 함수의 극한, 단 $f(0)$ 은 상관없으므로 아무 값이어도 됨”입니다.

비고 26.6.7 (거리 공간의 경우).

거리 공간 위의 함수 $f\colon M\to N$ 에 대해 제가 $\lim_{x\to p}f(x)$ 의 개념을 앞에서 정의하지 않은 것이 의아할 수도 있습니다. 실제로 위와 같이 정의할 수 있지만, 한 가지 미묘한 점이 있습니다. 거리 공간 $M$ 이 이산적이어서 $p$ 근처에 점이 하나도 없다면 어떻게 될까요? (더 간단하게는, $M$ 이 한 점 공간이라면 어떻게 될까요?) 그러면 $\lim_{x\to p}f(x)$ 를 전혀 정의할 수 없습니다.

따라서 $f\colon M\to N$ 에 대해 $\lim_{x\to p}f(x)$ 를 정의하려면, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $p$ 로부터 $\varepsilon$ 이내에 점이 있어야 한다는 조건이 필요합니다. 다시 말해 $p$ 는 고립점이 아니어야 합니다.

늘 그렇듯이 산술 연산에는 놀라운 점이 없으며, $\lim_{x\to p}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to p}f(x)\pm\lim_{x\to p}g(x)$ 등이 성립합니다. 이 증명은 사실상 앞에서 이미 했으므로 다시 반복하지 않겠습니다.

26.7 무한대에서 함수의 극한

번거롭게도, 앞의 예들과 전혀 다르게 느껴지지 않을 텐데도 이 정의는 실제로 따로 해 주어야 합니다.

정의 26.7.1.

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 이라 합시다. 다음을 만족하는 실수 $L$ 이 존재한다고 가정합니다:

모든 $\varepsilon>0$ 에 대하여, $x>M$ 이면 $\left\lvert f(x)-L\right\rvert<\varepsilon$ 가 성립하도록 하는 상수 $M$ 이 존재합니다.

이때 $L$ 을 $x$ 가 $\infty$ 로 갈 때 $f$ 의 극한이라고 하고, 다음과 같이 씁니다

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

극한 $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ 도 $x>M$ 을 $x<M$ 으로 바꾸어 같은 방식으로 정의합니다.

다행히 $\infty$ 는 $\mathbb{R}$ 의 원소가 아니므로, “ $f(p)$ 를 임의로 정한다”에서 했던 번거로운 처리를 $f(\infty)$ 에 대해서는 할 필요가 없습니다. 그래서 이 예시들은 더 쉽게 적을 수 있습니다.

예제 26.7.2 (무한대에서의 극한).

흔히 보는 예입니다:

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

증명까지 적어 보겠습니다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $x>1/\varepsilon$ 이면 $\left\lvert\frac{1}{x}-0\right\rvert<\varepsilon$ 입니다.

사칙연산에서도 놀라운 점은 없습니다. $\lim_{x\to\infty}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to\infty}f(x)\pm\lim_{x\to\infty}g(x)$ 이고, 나머지도 마찬가지입니다. 이 이야기를 벌써 네 번째쯤 하고 있으니 더 말하지 않겠습니다.

26.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 26A.

다음과 같이 수열을 정의합니다.

a_{n}=(-1)^{n}+\frac{n^{3}}{2^{n}}

여기서 $n$ 은 임의의 양의 정수입니다. 하극한과 상극한을 계산하십시오.

문제 26B.

어떤 유계 수열 $a_{n}$ 에 대하여 $\liminf_{n}a_{n}=\limsup_{n}a_{n}$ 이 성립합니까?

힌트. 수열이 수렴할 때, 그리고 그때에만 성립합니다!

문제 26C (비교 판정법).

$\sum a_{n}$ 과 $\sum b_{n}$ 을 두 급수라고 합시다. $\sum b_{n}$ 이 절대수렴하고, 모든 정수 $n$ 에 대하여 $|a_{n}|\leq|b_{n}|$ 이라고 가정합니다. $\sum_{n}a_{n}$ 이 절대수렴함을 증명하십시오.

문제 26D (등비급수).

$-1<r<1$ 인 실수 $r$ 을 생각합시다. 다음 급수

1+r+r^{2}+r^{3}+\dots

가 절대수렴함을 보이고, 무엇으로 수렴하는지 구하십시오.

힌트. $n$ 번째 부분합은 $\frac{1}{1-r}(1-r^{n+1})$ 입니다.

문제 26E (교대급수 판정법).

$a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\dots$ 를 음이 아닌 실수로 이루어진 넓은 의미의 감소수열이라 하고, $\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$ 이라고 가정합니다. 급수 $\sum_{n}(-1)^{n}a_{n}$ 이 수렴함을 보이십시오(절대수렴할 필요는 없습니다).

풀이. 이는 코시 수렴을 응용한 것입니다. 다음을 보일 수 있기 때문입니다.

$\left\lvert\sum_{n=M}^{N}(-1)^{n}a_{n}\right\rvert\leq a_{\min\{M,N\}}.$

실제로 $M$ 과 $N$ 이 짝수이면(간단히 하기 위한 것이며, 다른 경우도 똑같습니다) 다음이 성립합니다.

$\displaystyle a_{M}-a_{M+1}+a_{M+2}-\dots$ $\displaystyle=a_{M}-(a_{M+1}-a_{M+2})-(a_{M+3}-a_{M+4})$

$\displaystyle\quad-\dots-(a_{N-1}-a_{N})$

$\displaystyle\leq a_{M}$

$\displaystyle a_{M}-a_{M+1}+a_{M+2}-\dots$ $\displaystyle=a_{M}-a_{M+1}+(a_{M+2}-a_{M+3})+(a_{M+4}-a_{M+5})$

$\displaystyle\quad+\dots+(a_{N-2}-a_{N-1})+a_{N}$

$\displaystyle\geq-a_{M+1}.$

이렇게 부분합의 수열이 코시 수열임을 알 수 있으므로, 이 수열은 어떤 극한으로 수렴합니다.

문제 26F ([PUG02, 제3장, 연습문제 55]).

^†^†margin:

$(a_{n})_{n\geq 1}$ 과 $(b_{n})_{n\geq 1}$ 을 실수열이라고 합시다. $a_{1}\leq a_{2}\leq\dots\leq 1000$ 이고, 또한 $\sum_{n}b_{n}$ 이 수렴한다고 가정합니다. $\sum_{n}a_{n}b_{n}$ 이 수렴함을 증명하십시오. (가정과 결론 어디에도 절대수렴은 없다는 점에 유의하십시오.)

힌트. 이것은 매우 까다로운 대수적 조작입니다. $x_{i}\geq 0$ 에 대하여 $a_{n}=x_{1}+\dots+x_{n}$ 으로 놓아 보십시오.

풀이. 단조이며 유계라는 가정을 반영하기 위해, 적당한 $x_{i}$ 에 대하여 $a_{n}=x_{1}+\dots+x_{n}$ 으로 씁니다. 그러면 $x_{2}$ , … 는 모두 부호가 같으므로 어떤 상수 $A$ 에 대하여 $\sum|x_{i}|=A<\infty$ 입니다.

이제 $\sum a_{n}b_{n}$ 의 부분합이 코시 수열임을 증명하겠습니다. 임의의 $\varepsilon>0$ 을 생각합시다. $K$ 이후에 시작하는 $b_{n}$ 의 꼬리의 절댓값이 $\frac{\varepsilon}{A}$ 보다 작도록 $K$ 를 잡습니다. 그러면 임의의 $N>M\geq K$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

$\displaystyle\left\lvert\sum_{k=M}^{N}a_{k}b_{k}\right\rvert$ $\displaystyle=\left\lvert\sum_{k=M}^{N}\sum_{j=1}^{k}b_{k}x_{j}\right\rvert$

$\displaystyle=\left\lvert\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}x_{j}\right\rvert$

$\displaystyle=\left\lvert\sum_{j=1}^{N}x_{j}\cdot\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}\right\rvert$

$\displaystyle\leq\sum_{j=1}^{N}|x_{j}|\left\lvert\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}\right\rvert$

$\displaystyle<\sum_{j=1}^{N}|x_{j}|\cdot\frac{\varepsilon}{A}$

$\displaystyle<\varepsilon$

따라서 원하는 결과를 얻습니다.

문제 26G (Putnam 2016 B1).