장 26 극한과 급수

이제 거리 (및 위상) 공간의 이론을 충분히 전개하였으므로, 일변수 미적분학의 이론을 빠르게 다루는 세 개의 장으로 이루어진 시퀀스를 제시합니다.

사실 많은 작업이 이미 은밀히 이루어져 있습니다. 예를 들어, $x_{n}$ 과 $y_{n}$ 이 $\lim_{n}x_{n}=x$ 와 $\lim_{n}y_{n}=y$ 를 만족하는 실수열이라면, 실제로 $\lim_{n}(x_{n}+y_{n})=x+y$ 이거나 $\lim_{n}(x_{n}y_{n})=xy$ 인데, 이는 명제 2.5.5에서 사칙연산이 연속임을 보였기 때문입니다. 또한 완비성이 결정적인 역할을 한다는 것도 보게 될 것입니다.

26.1 완비성과 inf/sup

대표적인 예: $\sup[0,1]=\sup(0,1)=1$ .

$\mathbb{R}$ 은 거리 공간이므로, 연속성과 수렴에 대해 논할 수 있습니다. $\mathbb{R}$ 에 관해서는 이후 대부분의 절이 작동하게 만드는 두 가지 중요한 사실이 있습니다.

첫 번째 사실은 이미 본 적이 있습니다.

정리 26.1.1 ( $\mathbb{R}$ 은 완비입니다).

거리 공간으로서 $\mathbb{R}$ 은 완비입니다: 수열이 수렴하는 것은 그것이 코시 수열인 것과 동치입니다.

두 번째 사실은 아직 본 적이 없는 것으로, 바로 $\inf$ 와 $\sup$ 의 존재입니다. 여러분의 직관은 다음과 같아야 합니다:

$\sup$ 은 무한 집합에 맞게 약간 조정된 $\max$ 입니다. (그리고 $\inf$ 는 조정된 $\min$ 입니다.)

왜 “조정”이 필요할까요?

예제 26.1.2 (왜 max로는 충분하지 않을까요?).

열린 구간 $S=(0,1)$ 이 있다고 합시다. 원소들은 $1$ 에 얼마든지 가까워질 수 있으므로, “ $1$ 이 $S$ 의 max이다”라고 생각하고 싶어지지만, 문제는 $1\notin S$ 라는 것입니다. 일반적으로 무한 집합은 반드시 최댓값을 가지지는 않으며, 대신 경계에 대해 이야기해야 합니다.

그래서 우리는 $\sup S=1$ 이 되도록 $\sup S$ 를 정의할 것입니다. 그 정의는 “ $1$ 은 $S$ 의 모든 원소 이상인 수 중 가장 작은 수이다”라는 것입니다.

이를 풀어서 쓰면 다음과 같습니다:

정의 26.1.3.

$S$ 가 실수의 집합이라고 합시다:

•

$S$ 에 대한 상계란 모든 $x\in S$ 에 대해 $x\leq M$ 을 만족하는 실수 $M$ 입니다. 그러한 것이 존재하면, $S$ 가 위로 유계라고 말합니다;
•

$S$ 에 대한 하계란 모든 $x\in S$ 에 대해 $m\leq x$ 를 만족하는 실수 $m$ 입니다. 그러한 것이 존재하면, $S$ 가 아래로 유계라고 말합니다.
•

상계와 하계가 모두 존재하면, $S$ 가 유계라고 말합니다.

정리 26.1.4 ( $\mathbb{R}$ 은 inf와 sup을 가집니다).

$S$ 를 공집합이 아닌 실수의 집합이라고 합시다.

•

$S$ 가 위로 유계이면 최소 상계를 가지며, 이를 $\sup S$ 로 표기하고 $S$ 의 상한이라고 부릅니다.
•

$S$ 가 아래로 유계이면 최대 하계를 가지며, 이를 $\inf S$ 로 표기하고 $S$ 의 하한이라고 부릅니다.

정의 26.1.5.

편의상, $S$ 가 위로 유계가 아니면 $\sup S=+\infty$ 로 씁니다. 마찬가지로, $S$ 가 아래로 유계가 아니면 $\inf S=-\infty$ 로 씁니다.

예제 26.1.6 (상한).

하한에 대한 예시는 기본적으로 동일하므로, 지금은 상한에 집중하겠습니다.

(a)

만약 $S=\left\{1,2,3,\dots\right\}$ 라면 $S$ 는 위로 유계가 아니므로, $\sup S=+\infty$ 입니다.
(b)

만약 $S=\left\{\dots,-2,-1\right\}$ 가 음의 정수의 집합을 나타낸다면, $\sup S=-1$ 입니다.
(c)

$S=[0,1]$ 을 닫힌 구간이라 합시다. 그러면 $\sup S=1$ 입니다.
(d)

$S=(0,1)$ 을 열린 구간이라 합시다. $1$ 자체가 $S$ 의 원소가 아님에도 불구하고, $\sup S=1$ 입니다.
(e)

$S=\mathbb{Q}\cap(0,1)$ 이 $0$ 과 $1$ 사이의 유리수 집합을 나타낸다고 합시다. 이 경우에도 $\sup S=1$ 입니다.
(f)

만약 $S$ 가 유한한 공집합이 아닌 집합이라면, $\sup S=\max S$ 입니다.

정의 26.1.7 (수열로의 정의 이식).

$a_{1}$ , …가 수열이라면, 우리는 종종 다음과 같이 씁니다

	$\displaystyle\sup_{n}a_{n}$	$\displaystyle\coloneqq\sup\left\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$
	$\displaystyle\inf_{n}a_{n}$	$\displaystyle\coloneqq\inf\left\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$

이는 해당 수열의 원소들로 이루어진 집합의 상한과 하한을 나타냅니다. 또한 수열에 대해서도 같은 방식으로 ”위로/아래로 유계”라는 용어를 사용합니다.

예제 26.1.8 (수열의 하한).

수열 $a_{n}=\frac{1}{n}$ 은 하한 $\inf a_{n}=0$ 을 가집니다.

26.2 $\mathbb{R}$ 의 두 가지 핵심 완비성 성질의 증명

세심한 독자라면 우리가 아직 정리 26.1.4이나 정리 26.1.1 중 어느 것도 실제로 증명하지 않았음을 알아차렸을 것입니다. 여기서 그것을 증명하겠습니다.

먼저, 상한과 하한을 취할 수 있는 능력이 $\mathbb{R}$ 의 완비성을 증명하게 해준다는 것을 보이겠습니다.

정리 26.1.4이 정리 26.1.1을 함의함의 증명.

$a_{1}$ , $a_{2}$ , …를 코시 수열이라 합시다. 유한 개의 앞선 항들을 버림으로써, 모든 $i$ 와 $j$ 에 대해 $|a_{i}-a_{j}|\leq 100$ 이라고 가정해도 무방합니다. 특히, 이제 이 수열은 유계이며, 예를 들어 $[a_{1}-100,a_{1}+100]$ 사이에 놓여 있습니다.

우리는 이 수열이 수렴함을 보이고자 하므로, 먼저 극한이 무엇인지 기술해야 합니다. 이를 위해서는 우리가 실제로 $\mathbb{R}$ 에 살고 있다는 사실을 사용해야 한다는 것을 알고 있습니다. (예를 들어 $\mathbb{Q}$ 에서는 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , …의 극한이 존재하지 않는다는 것을 우리는 알고 있습니다.)

우리는 다음을 제안합니다: 다음과 같이 놓읍시다

S=\left\{x\in\mathbb{R}\mid a_{n}\geq x\text{무한히 많은 $n$에 대해}\right\}.

우리는 이 수열이 $M=\sup S$ 로 수렴한다고 주장합니다.

연습문제 26.2.1.

$a_{1}-100\in S$ 임을 증명하여 ( $S$ 가 공집합이 아님을 보임) 이 상한이 의미가 있음을 보이는 동시에, $S$ 의 모든 원소가 $a_{1}+100$ 이하임을 보이십시오 ( $S$ 가 위로 유계임을 보임). 따라서 우리는 실제로 상한을 취하는 것이 허용됩니다.

이 집합 $S$ 는 다음과 같은 그림으로 생각할 수 있습니다. 실수선 위에 그려진, 우리가 수렴한다고 생각하는 코시 수열이 있으며, 이는 실수선 위의 순서가 매겨진 여러 점들의 무리로 시각화할 수 있습니다. 우리는 오직 유한 개의 점만이 칼의 왼쪽에 있도록 이 선을 칼로 자르고자 합니다. (예를 들어, 칼을 맨 왼쪽 끝에 놓으면 항상 성립합니다.) 집합 $S$ 는 우리가 칼을 놓을 수 있는 위치들을 나타내며, $M$ 은 우리가 갈 수 있는 ”가장 오른쪽” 지점입니다. 상한이 작동하는 방식 때문에 $M$ 자체는 유효한 칼의 위치가 아닐 수도 있지만, 그보다 왼쪽에 있는 것은 확실히 유효합니다.

$\varepsilon>0$ 이 주어졌다고 합시다. 우리는 결국 모든 항이 $M$ 으로부터 $\varepsilon$ 이내에 들어옴을 보이고자 합니다. 수열이 코시 수열이므로, $m\geq n\geq N$ 일 때 결국 $\left\lvert a_{m}-a_{n}\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon$ 가 성립하는 $N$ 이 존재합니다.

이제 $n$ 을 고정하고 $m$ 을 변화시킨다고 합시다. $M$ 의 정의에 의해, $a_{m}\geq M-\frac{1}{2}\varepsilon$ 가 되도록 지표 $m$ 을 선택하는 것이 가능해야 합니다 ( $M-\frac{1}{2}\varepsilon$ 가 유효한 칼의 위치이므로 선택할 수 있는 항이 무한히 많고, 우리는 $m\geq n$ 만 필요합니다). 이 경우 우리는 다음을 얻습니다

\left\lvert a_{n}-M\right\rvert\leq\left\lvert a_{n}-a_{m}\right\rvert+\left% \lvert a_{m}-M\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon

삼각부등식에 의해 성립합니다. 이것으로 증명이 완료됩니다. ∎

따라서 후자의 정리 26.1.4을 증명하는 것으로 충분합니다. 하지만 이를 위해서는 실수 $\mathbb{R}$ 에 대한 엄밀한 정의를 실제로 제시해야 하는데, 우리는 아직 이를 하지 않았습니다!

이를 쉽게 만드는 한 가지 접근법은 이른바 데데킨트 절단(Dedekind cut) 구성을 사용하는 것입니다. 유리수 $\mathbb{Q}$ 를 취한다고 합시다. 그러면 실수는 유리수 집합의 ”절단” $A\mid B$ 로 정의되는데, 이는 다음을 만족하는 $\mathbb{Q}$ 의 부분집합의 쌍입니다

•

$\mathbb{Q}=A\sqcup B$ 는 서로소 합집합입니다;
•

$A$ 와 $B$ 는 공집합이 아닙니다.
•

모든 $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대해 $a<b$ 가 성립하며,
•

$A$ 는 최댓값을 갖지 않습니다 (즉, $\sup A\notin A$ ).

이것 역시 여러분이 실수선이라고 생각하는 것을 어떤 실수에서 자른다고 상상하면 시각화할 수 있습니다. 부분집합 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ 는 두 개의 반쪽 $A$ 와 $B$ 로 잘립니다. 만약 칼날이 정확히 유리수 지점에 떨어진다면, 관례상 그 수는 오른쪽 반쪽에 속하는 것으로 봅니다 (이것이 $\sup A\notin A$ 라는 마지막 조건을 설명해줍니다).

이 정의를 사용하면 정리 26.1.4은 쉽습니다: 실수 집합의 상한을 구하려면, 모든 왼쪽 반쪽들의 합집합을 취하면 됩니다. 어려운 부분은 이 다소 어색한 구성으로 $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ 등을 어떻게 정의할지 알아내는 것입니다. 이 구성에 대해 자세히 더 읽어보고 싶다면, 제가 가장 좋아하는 참고 문헌은 [PUG02]이며, 여기서는 이 모든 것이 1장에서 신중하게 다루어집니다.

26.3 단조수열

여기 훌륭한 연습문제가 하나 있습니다.

연습문제 26.3.1 (필수).

$a_{1}\geq a_{2}\geq\dots\geq 0$ 이면 다음 극한이

\lim_{n\to\infty}a_{n}

존재함을 증명하십시오. 힌트: 이전 절의 증명에 나온 아이디어가 도움이 됩니다; $\mathbb{R}$ 의 완비성을 사용해 볼 수도 있습니다. 두 번째 힌트: 정말로 막힌다면, 명제 26.4.5 이후까지 기다리십시오. 그 시점에서는 사실상 그 증명을 그대로 따라 쓸 수 있습니다.

여기서의 증명은 이동시킴으로써 쉽게 적용됩니다.

정의 26.3.2.

수열 $a_{n}$ 이 $a_{1}\geq a_{2}\geq\dots$ 이거나 $a_{1}\leq a_{2}\leq\dots$ 일 때 단조라고 합니다.

정리 26.3.3 (단조 유계수열은 수렴한다).

$a_{1}$ , $a_{2}$ , …를 단조 유계수열이라 합시다. 그러면 $\lim_{n\to\infty}a_{n}$ 이 존재합니다.

예제 26.3.4 (단조성의 사소한 예시).

다음과 같이 정의된 수열을 생각해봅시다

	$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=1.2$
	$\displaystyle a_{2}$	$\displaystyle=1.24$
	$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=1.248$
	$\displaystyle a_{4}$	$\displaystyle=1.24816$
	$\displaystyle a_{5}$	$\displaystyle=1.2481632$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$

등등, 여기서 일반적으로 다음 $2$ 의 거듭제곱의 십진 표현을 이어 붙입니다. 이것은 어떤 실수로 수렴하겠지만, 물론 이 수는 상당히 부자연스러워서 좋은 설명 방법이 아마 없을 것입니다.

일반적으로, “무한소수”는 이제 절단된 유한소수들의 극한으로 정의될 수 있습니다.

예제 26.3.5 ( $0.9999\dots=1$ ).

특히, 여러분이 초등학교 시절에 논쟁했던 다음 개념을 이제 정확하게 만들 수 있습니다:

0.9999\dots=1.

우리는 순환소수를 단순히 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999\dots$ 의 극한으로 정의합니다. 그리고 이 수열의 극한이 $1$ 이라는 것은 명백합니다.

여러분 중 몇몇은 우리가 정말로 $0.9999=9\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+\dots$ — 즉 “부분합”의 극한 — 을 가져야 할 것 같아서 약간 놀랄 수도 있습니다. 걱정하지 마십시오, 곧 그것들을 정의할 것입니다.

여기 단조수열의 또 다른 훌륭한 활용이 있습니다.

정의 26.3.6.

$a_{1}$ , $a_{2}$ , …를 (반드시 단조일 필요는 없는) 아래로 유계인 수열이라 합시다. 우리는 다음과 같이 정의합니다

\limsup_{n\to\infty}a_{n}\coloneqq\lim_{N\to\infty}\sup_{n\geq N}a_{n}=\lim_{N% \to\infty}\sup\left\{a_{N},a_{N+1},\dots\right\}.

이것을 $(a_{n})$ 의 상극한이라 부릅니다. $a_{n}$ 이 위로 유계가 아니면 $\limsup_{n\to\infty}a_{n}$ 을 $+\infty$ 로 설정합니다.

$a_{n}$ 이 위로 유계이면, 하극한 $\liminf_{n\to\infty}a_{n}$ 도 비슷하게 정의됩니다. 특히, $a_{n}$ 이 아래로 유계가 아니면 $\liminf_{n\to\infty}a_{n}=-\infty$ 입니다.

연습문제 26.3.7.

상한들이 비증가하며 아래로 유계임을 확인하여, 이 정의들이 타당함을 보이십시오.

$\limsup_{n}a_{n}$ 은 ”유한히 많은 항을 버리는 것을 허용한 상한”이라고 생각할 수 있습니다.

26.4 무한급수

대표적인 예: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}% \right)=1$ .

우리는 실제로 무한급수를 다루는 것부터 시작할 것인데, 이전 장들에서 수열의 극한을 정의했으므로 이것이 실제로 다루기에 그다음으로 가까운 대상이기 때문입니다.¹¹1개념적으로 말하면, 이산적인 대상은 연속적인 대상보다 엄밀하게 다루기가 더 쉬우므로, 급수는 실제로 도함수보다 “더 쉽습니다”! 저는 대부분의 학교가 미적분학에서 급수를 마지막에 가르치는 이유가 대부분의 미적분학 강좌에 증명이 없기 때문이라고 짐작합니다.

이는 다음과 같은 서술을 엄밀하게 생각할 방법을 제공할 것입니다

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

그리고 ”유리수를 더해서 어떻게 무리수를 얻을 수 있는가?”와 같은 질문에 답하는 데 도움이 될 것입니다.

정의 26.4.1.

실수의 수열 $a_{1}$ , …을 생각합시다. 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 극한 $L$ 로 수렴한다는 것은, ”부분합”의 수열이

	$\displaystyle s_{1}$	$\displaystyle=a_{1}$
	$\displaystyle s_{2}$	$\displaystyle=a_{1}+a_{2}$
	$\displaystyle s_{3}$	$\displaystyle=a_{1}+a_{2}+a_{3}$
		$\displaystyle\mathmakebox[width("{}={}")][c]{\vdots}$
	$\displaystyle s_{n}$	$\displaystyle=a_{1}+\dots+a_{n}$

극한 $L$ 로 수렴하면, 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 는 극한 $L$ 로 수렴한다고 합니다. 그렇지 않으면 발산한다고 합니다.

표기의 남용 26.4.2 (발산을 $+\infty$ 로 쓰기).

모든 $a_{k}$ 가 음이 아닌 경우, 급수가 발산함을 나타내기 위해 $\sum_{k}a_{k}=\infty$ 로 쓰는 것이 관례입니다.

수열의 정의를 사용함으로써, 그렇지 않았다면 온갖 문제를 일으켰을 ”무한히 많은 수를 더하는” 문제를 훌륭하게 피했다는 것을 눈치채셨을 것입니다.

”무한합”은 사실 부분합의 극한입니다. 무한한 덧셈은 전혀 관여하지 않습니다.

그래서 예를 들어 $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ 이 무리수여도 괜찮은 것입니다; 유리수의 수열이 무리수로 수렴할 수 있다는 것은 이미 여러 번 보았습니다. 이는 또한 중학생들의 $1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$ 에 관한 짜증나는 게시물들을 기꺼이 무시할 수 있다는 뜻이기도 합니다; 부분합은 $+\infty$ 로 폭발하며, 그것으로 끝이고, 그 합에 값을 부여하고 싶다면 그것은 정의여야 마땅합니다.

예제 26.4.3 (고전적인 망원급수).

이제 다음과 같은 고전적인 망원급수를

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}

마무리를 손짓으로 얼버무리지 않는 방식으로 증명할 수 있습니다. $k$ 번째 부분합이 다음과 같음에 주목하십시오

	$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$	$\displaystyle=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$
		$\displaystyle=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n}-% \frac{1}{n+1}\right)$
		$\displaystyle=1-\frac{1}{n+1}.$

$n\to\infty$ 일 때 이 부분합의 극한은 $1$ 입니다.

예제 26.4.4 (조화급수는 발산한다).

또한 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$ 라는 서술(즉, 발산한다는 것)의 의미도 명확히 할 수 있습니다. $2^{n}$ 번째 부분합을 아래로부터 다음과 같이 유계로 만들 수 있습니다:

	$\displaystyle\sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{k}$	$\displaystyle=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2^{n}}$
		$\displaystyle\geq\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+% \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)$
		$\displaystyle+\dots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n}}+\dots+\frac{1}{2^{n}}% \right)}_{2^{n-1}\text{항}}$
		$\displaystyle=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2}=1+\frac{n-1}{2}.$

$s_{2^{n}}\geq 1+\frac{1}{2}(n-1)$ 을 만족하는 수열은 결코 유한한 수로 수렴하지 않습니다!

음이 아닌 합에 대해서는, 수렴이 다음과 같은 의미에서 ”유한한 합”을 갖는 것과 동일하다는 점도 언급해야겠습니다.

명제 26.4.5 (음이 아닌 수의 부분합이 유계이면 수렴한다).

$\sum_{k}a_{k}$ 를 음이 아닌 실수의 급수라고 합시다. 그러면 $\sum_{k}a_{k}$ 가 어떤 극한으로 수렴하는 것은, 다음을 만족하는 상수 $M$ 이 존재하는 것과 동치입니다

a_{1}+\dots+a_{n}<M

모든 양의 정수 $n$ 에 대하여.

증명.

이는 사실 정리 26.3.3가 모습을 바꾼 것에 불과하지만, 그때는 증명을 연습문제로 남겨두었으므로 이번에는 써 내려가겠습니다.

분명히 그러한 $M$ 이 존재하지 않는다면 수렴은 일어나지 않을 것인데, 이는 부분합의 수열 $s_{n}$ 이 유계가 아님을 의미하기 때문입니다.

반대로, 그러한 $M$ 이 존재한다면 $s_{1}\leq s_{2}\leq\dots<M$ 을 얻습니다. 그러면 수열 $s_{n}$ 이 $L\coloneqq\sup_{n}s_{n}<\infty$ 로 수렴한다고 주장할 수 있습니다. (완비성이 코시성을 함의한다는 증명을 읽으셨다면, 여기서의 그림도 거의 같지만 더 간단합니다.)

실제로 이는 임의의 $\varepsilon$ 에 대해 수열의 항 중 $L-\varepsilon$ 를 초과하는 항이 무한히 많다는 것을 의미합니다. 그러나 수열이 단조이므로, 일단 $s_{n}\geq L-\varepsilon$ 이면 모든 $n^{\prime}\geq n$ 에 대해 $s_{n^{\prime}}\geq L-\varepsilon$ 입니다. 이는 수렴을 함의합니다. ∎

표기의 남용 26.4.6 ( $\sum<\infty$ 로 쓰기).

이러한 이유로, $a_{k}$ 가 음이 아닌 실수일 때

\sum_{k}a_{k}<\infty

라고 쓰는 것이 관례인데, 이는 ” $\sum_{k}a_{k}$ 가 유한한 극한으로 수렴한다”의 약칭입니다 (또는 어쩌면 ” $\sum_{k}a_{k}$ 가 유계이다”의 약칭일 수도 있는데, 방금 이 두 가지가 동치임을 증명했기 때문입니다). 저희도 이 표기법을 사용하겠습니다.

26.5 급수의 덧셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다: 공포 이야기

위 정의의 한 가지 불행한 성질은 그것이 실제로 원소들의 순서에 의존한다는 것입니다. 사실, 재배열이 괜찮은 경우를 명시적으로 설명하는 방법이 존재하는 것으로 밝혀집니다.

정의 26.5.1.

실수의 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 절대수렴한다고 하는 것은 다음의 경우를 말합니다

\sum_{k}\left\lvert a_{k}\right\rvert<\infty

즉, 절댓값들의 급수가 어떤 극한으로 수렴한다는 것입니다. 급수가 수렴하지만 절대수렴하지는 않는 경우, 이를 조건수렴한다고 합니다.

명제 26.5.2 (절대수렴 $\implies$ 수렴).

실수의 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 가 절대수렴하면, 이는 보통의 의미로도 수렴합니다.

연습문제 26.5.3 (훌륭한 연습문제).

코시 판정법을 이용하여 이를 증명하십시오: $\sum_{k}|a_{k}|$ 의 부분합이 코시 수열이면 $\sum_{k}a_{k}$ 의 부분합도 코시 수열임을 보이십시오.

그렇다면, 재배열은 아주 잘 작동합니다.

정리 26.5.4 (절대수렴에서는 항의 순열이 허용됨).

절대수렴하며 극한이 $L$ 인 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 를 생각해봅시다. 그러면 항의 어떤 순열도 마찬가지로 $L$ 로 수렴합니다.

증명.

$\sum_{k}a_{k}$ 가 $L$ 로 수렴하고, $b_{n}$ 이 그 재배열이라고 합시다. $\varepsilon>0$ 이라 합시다. $b_{n}$ 의 부분합이 결국 $L$ 로부터 $\varepsilon$ 이내에 들어옴을 보이겠습니다.

가정이 의미하는 바는, $\varepsilon$ 에 대해 다음을 만족하는 충분히 큰 $N$ 이 존재한다는 것입니다

\left\lvert\sum_{k=1}^{N}a_{k}-L\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon\quad\text{% 그리고}\quad\sum_{k=N+1}^{n}\left\lvert a_{k}\right\rvert<\frac{1}{2}\varepsilon

모든 $n\geq N$ 에 대해 (앞의 것은 $a_{k}$ 의 통상적인 수렴으로부터, 뒤의 것은 $a_{k}$ 가 절대수렴하여 그 부분합이 코시 수열이라는 사실로부터 나옵니다).

이제 $a_{1}$ , …, $a_{N}$ 이 항 $\{b_{1},\dots,b_{M}\}$ 안에 포함될 만큼 $M$ 이 충분히 크다고 합시다. 그러면

	$\displaystyle b_{1}+\dots+b_{M}$	$\displaystyle=(a_{1}+\dots+a_{N})$
		$\displaystyle+\underbrace{a_{i_{1}}+a_{i_{2}}+\dots+a_{i_{M-N}}}_{\text{지표가 $>% N$인 $M-N$개의 항}}$

첫 번째 줄의 항들의 합은 $L$ 로부터 $\frac{1}{2}\varepsilon$ 이내이고, 두 번째 줄의 항들의 합은 절댓값이 최대 $\frac{1}{2}\varepsilon$ 이므로, 전체 $b_{1}+\dots+b_{M}$ 은 $L$ 로부터 $\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$ 이내에 있습니다. ∎

특히, 항들이 음이 아닐 때는 상황이 아주 좋습니다:

음이 아닌 급수는 원하는 대로 재배열될 수 있습니다.

그리고 좋은 소식은, 실제로 실무에서는 대부분의 합이 음이 아닌 항으로 이루어진다는 것입니다.

그 역은 성립하지 않으며, 사실 상상할 수 있는 거의 최악의 역입니다.

정리 26.5.5 (리만 재배열 정리: 조건수렴에서는 항의 순열이 무의미함).

어떤 실수로 조건수렴하는 급수 $\sum_{k}a_{k}$ 를 생각해봅시다. 그러면 이 급수의 어떤 순열은 $1337$ 로 조건수렴합니다.

(또는 어떤 상수로도 가능합니다. 발산하게 만들 수도 있습니다.)

따라서, 조건수렴하는 급수에 대해 순열은 최악의 상황이 될 수 있으므로, 시도조차 하지 않는 것이 좋습니다.

26.6 점에서의 함수의 극한

대표적인 예: $\lim_{x\to\infty}1/x=0$ .

저희는 실함수의 극한 개념도 정의해두는 것이 좋겠는데, (놀랍게도) 아직 실제로 정의하지 않았습니다. 이 정의는 앞서 연속성에서 본 것과 비슷한 형태를 띨 것입니다.

정의 26.6.1.

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 함수²²2또는 $f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ 이거나 그 변형이어도 됩니다. 우리는 그저 $f$ 가 $p$ 의 열린 근방에서 정의되어 있기만 하면 됩니다. 이고 $p\in\mathbb{R}$ 이 정의역 내의 한 점이라고 합시다. 다음을 만족하는 실수 $L$ 이 존재한다고 가정합니다:

모든 $\varepsilon>0$ 에 대해, $\left\lvert x-p\right\rvert<\delta$ 이고 $x\neq p$ 이면 $\left\lvert f(x)-L\right\rvert<\varepsilon$ 가 성립하는 $\delta>0$ 이 존재합니다.

그러면 $L$ 을 $x\to p$ 일 때 $f$ 의 극한이라고 하며, 다음과 같이 씁니다

\lim_{x\to p}f(x)=L.

여기서 중요한 점이 하나 있습니다: 이 정의에서 우리는 $x\neq p$ 를 일부러 요구합니다.

$\lim_{x\to p}f(x)$ 의 값은 $f(p)$ 에 의존하지 않으므로, 이에 따라 우리는 흔히 $f(p)$ 를 정의하는 수고조차 하지 않습니다.

예제 26.6.2 (구멍이 있는 함수).

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의합니다

f(x)=\begin{cases}3x&\text{만약}x\neq 0\\ 2019&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

그러면 $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ 입니다. $f(0)=2019$ 라는 값은 극한에 영향을 주지 않습니다. 당연히 $f(0)$ 은 극한과 일치하지 않는 어떤 인위적인 값으로 임의로 만들어졌기 때문에, 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속입니다.

질문 26.6.3 (필수 문제).

함수 $f$ 가 $p$ 에서 연속인 것은 $\lim_{x\to p}f(x)$ 가 존재하고 $f(p)$ 와 같은 것과 동치임을 보이십시오.

예제 26.6.4 (덜 자명한 예: 유리수 조각별 함수).

함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의합니다:

f(x)=\begin{cases}1&\text{만약}x=0\\ \frac{1}{q}&\text{만약}x=\frac{p}{q}\text{여기서}q>0\text{그리고}\gcd(p,q)=1\\ 0&\text{만약}x\notin\mathbb{Q}.\end{cases}

예를 들어, $f(\pi)=0$ , $f(2/3)=\frac{1}{3}$ , $f(0.17)=\frac{1}{100}$ 입니다. 그러면

\lim_{x\to 0}f(x)=0.

예를 들어, $|x|<1/100$ 이고 $x\neq 0$ 이면 $f(x)$ 는 ( $x$ 가 무리수인 경우) 0이거나, 그렇지 않으면 ( $x$ 가 유리수인 경우) 많아야 $\frac{1}{101}$ 입니다.

$f(0)=1$ 이므로, 이 함수 역시 $x=0$ 에서 불연속입니다. 그러나 정의를 바꾸어 대신 $f(0)=0$ 으로 하면, $f$ 는 $0$ 에서 연속이 됩니다.

예제 26.6.5 (유명한 예).

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 인 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 를 생각합시다. 여기서 $f(0)$ 은 임의의 값으로 지정됩니다. 그러면

\lim_{x\to 0}f(x)=1.

아직 삼각함수를 다루고 싶지 않으므로 여기서는 이를 증명하지 않겠습니다. 일반적으로 저는 삼각함수를 기본적으로 예시를 위해서만 사용할 뿐 어떤 이론을 위해서는 사용하지 않을 것이므로, 삼각함수의 대부분의 성질은 그저 인용만 될 것입니다.

표기의 남용 26.6.6 (일반적인 표기법).

이제부터 위 예시는 흔히 다음과 같이 줄여 씁니다

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

여기서 약간의 표기 남용이 있는 이유는, 원래 극한에는 함수 $f$ 를 넣어야 하는데, 대신 저는 $x=0$ 을 제외한 모든 곳에서 정의되는 식을 적었기 때문입니다. 하지만 그 $f(0)$ 값은 아무것도 바꾸지 않습니다. 따라서 위 표현은 다음을 의미합니다: ” $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 로 기술되는 함수의 극한, 단 $f(0)$ 은 중요하지 않으므로 원하는 어떤 값이든 상관없다”.

비고 26.6.7 (거리 공간의 경우).

앞서 거리 공간 위의 함수 $f\colon M\to N$ 에 대해 $\lim_{x\to p}f(x)$ 라는 개념을 정의하지 않은 것이 의아할 수도 있습니다. 실제로 위와 같은 방식으로 정의할 수 있지만, 한 가지 미묘한 점이 있습니다: 만약 우리의 거리 공간 $M$ 이 이산적이어서 $p$ 근처에 아무 점도 없다면 어떻게 될까요? (또는 더 간단히, 만약 $M$ 이 한 점짜리 공간이라면 어떻게 될까요?) 이 경우 우리는 $\lim_{x\to p}f(x)$ 를 아예 정의할 수 없습니다.

따라서 $f\colon M\to N$ 이고 $\lim_{x\to p}f(x)$ 를 정의하고자 한다면, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 $p$ 로부터 $\varepsilon$ 이내에 어떤 점이 있어야 한다는 요건이 필요합니다. 다시 말해, $p$ 는 고립점이어서는 안 됩니다.

늘 그렇듯이, 산술 연산에는 아무런 놀라운 점이 없으며, $\lim_{x\to p}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to p}f(x)\pm\lim_{x\to p}g(x)$ 가 성립하고, 이런 식으로 계속 성립합니다. 이 증명은 사실상 이전에 이미 해보았으므로 다시 반복하지 않겠습니다.

26.7 무한대에서의 함수의 극한

성가시게도, 이 정의는 앞선 예시들과 전혀 다르게 느껴지지 않겠지만 실제로는 별도로 만들어야 합니다.

정의 26.7.1.

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 이라고 합시다. 다음을 만족하는 실수 $L$ 이 존재한다고 가정합니다:

모든 $\varepsilon>0$ 에 대해, $x>M$ 이면 $\left\lvert f(x)-L\right\rvert<\varepsilon$ 가 성립하는 상수 $M$ 이 존재합니다.

이때 $x$ 가 $\infty$ 에 접근할 때 $L$ 을 $f$ 의 극한이라 하고 다음과 같이 씁니다.

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

극한 $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ 도 $x>M$ 을 $x<M$ 으로 바꾸어 마찬가지로 정의합니다.

다행히도 $\infty$ 는 $\mathbb{R}$ 의 원소가 아니므로, “임의로 설정된 $f(p)$ ”에서처럼 $f(\infty)$ 에 대해 같은 곡예를 부릴 필요가 없습니다. 그래서 이러한 예시들은 더 쉽게 적을 수 있습니다.

예제 26.7.2 (무한대에서의 극한).

늘 그렇듯이:

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

증명까지 써 보겠습니다: 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해, $x>1/\varepsilon$ 이면 $\left\lvert\frac{1}{x}-0\right\rvert<\varepsilon$ 입니다.

산술 연산에는 놀라울 것이 없습니다: $\lim_{x\to\infty}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to\infty}f(x)\pm\lim_{x\to\infty}g(x)$ 이며, 나머지도 마찬가지입니다. 이것을 언급하는 것이 이번이 대략 네 번째이므로, 더는 말하지 않겠습니다.

26.8 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 26A.

다음 수열을 정의합니다

a_{n}=(-1)^{n}+\frac{n^{3}}{2^{n}}

모든 양의 정수 $n$ 에 대해. 극하한과 극상한을 계산하십시오.

문제 26B.

유계 수열 $a_{n}$ 중 어떤 것들에서 $\liminf_{n}a_{n}=\limsup_{n}a_{n}$ 이 성립합니까?

힌트. 수열이 수렴할 때, 오직 그때만입니다!

문제 26C (비교 판정법).

$\sum a_{n}$ 과 $\sum b_{n}$ 을 두 급수라 합시다. $\sum b_{n}$ 이 절대수렴하고, 모든 정수 $n$ 에 대해 $|a_{n}|\leq|b_{n}|$ 이라 가정합니다. $\sum_{n}a_{n}$ 이 절대수렴함을 증명하십시오.

문제 26D (등비급수).

$-1<r<1$ 을 실수라 합시다. 다음 급수가

1+r+r^{2}+r^{3}+\dots

절대수렴함을 보이고 무엇으로 수렴하는지 구하십시오.

힌트. $n$ 번째 부분합은 $\frac{1}{1-r}(1-r^{n+1})$ 입니다.

문제 26E (교대급수 판정법).

$a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\dots$ 를 음이 아닌 실수들로 이루어진 약하게 감소하는 수열이라 하고, $\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$ 이라 가정합니다. 급수 $\sum_{n}(-1)^{n}a_{n}$ 이 수렴함을 보이십시오(절대수렴할 필요는 없습니다).

풀이. 이는 코시 수렴의 한 응용으로, 다음을 보일 수 있기 때문입니다

$\left\lvert\sum_{n=M}^{N}(-1)^{n}a_{n}\right\rvert\leq a_{\min\{M,N\}}.$

실제로, $M$ 과 $N$ 이 짝수이면 (단순화를 위해서이며, 다른 경우도 동일합니다) 다음이 성립합니다

$\displaystyle a_{M}-a_{M+1}+a_{M+2}-\dots$ $\displaystyle=a_{M}-(a_{M+1}-a_{M+2})-(a_{M+3}-a_{M+4})$

$\displaystyle\quad-\dots-(a_{N-1}-a_{N})$

$\displaystyle\leq a_{M}$

$\displaystyle a_{M}-a_{M+1}+a_{M+2}-\dots$ $\displaystyle=a_{M}-a_{M+1}+(a_{M+2}-a_{M+3})+(a_{M+4}-a_{M+5})$

$\displaystyle\quad+\dots+(a_{N-2}-a_{N-1})+a_{N}$

$\displaystyle\geq-a_{M+1}.$

이렇게 하여 부분합의 수열이 코시 수열임을, 따라서 어떤 극한으로 수렴함을 알 수 있습니다.

문제 26F ([PUG02, 제3장, 연습문제 55]).

^†^†margin:

$(a_{n})_{n\geq 1}$ 과 $(b_{n})_{n\geq 1}$ 을 실수들의 수열이라 합시다. $a_{1}\leq a_{2}\leq\dots\leq 1000$ 이고 게다가 $\sum_{n}b_{n}$ 이 수렴한다고 가정합니다. $\sum_{n}a_{n}b_{n}$ 이 수렴함을 증명하십시오. (가정과 결론 모두에서 절대수렴을 다루지 않음에 유의하십시오.)

힌트. 이는 매우 까다로운 대수적 조작입니다. $x_{i}\geq 0$ 에 대해 $a_{n}=x_{1}+\dots+x_{n}$ 으로 놓아 보십시오.

풀이. 단조이고 유계라는 가정을 포착하기 위해, 어떤 $x_{i}$ 에 대해 $a_{n}=x_{1}+\dots+x_{n}$ 이라 씁니다. 그러면 $x_{2}$ , … 는 모두 같은 부호를 가지므로 어떤 상수 $A$ 에 대해 $\sum|x_{i}|=A<\infty$ 입니다.

이제 $\sum a_{n}b_{n}$ 의 부분합이 코시 수열임을 증명합니다. 임의의 $\varepsilon>0$ 을 생각합시다. $K$ 이후부터 시작하는 $b_{n}$ 의 꼬리 부분의 절댓값이 $\frac{\varepsilon}{A}$ 보다 작도록 $K$ 를 잡습니다. 그러면 임의의 $N>M\geq K$ 에 대해 다음이 성립합니다

$\displaystyle\left\lvert\sum_{k=M}^{N}a_{k}b_{k}\right\rvert$ $\displaystyle=\left\lvert\sum_{k=M}^{N}\sum_{j=1}^{k}b_{k}x_{j}\right\rvert$

$\displaystyle=\left\lvert\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}x_{j}\right\rvert$

$\displaystyle=\left\lvert\sum_{j=1}^{N}x_{j}\cdot\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}\right\rvert$

$\displaystyle\leq\sum_{j=1}^{N}|x_{j}|\left\lvert\sum_{k=\max\{j,M\}}^{N}b_{k}\right\rvert$

$\displaystyle<\sum_{j=1}^{N}|x_{j}|\cdot\frac{\varepsilon}{A}$

$\displaystyle<\varepsilon$

원하는 대로입니다.

문제 26G (Putnam 2016 B1).