장 20 반단순 대수

이하에서는 체 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있다고 가정합니다.

대수 $A$ 를 하나 고정하고 그 표현을 연구하고 싶다고 합시다. 우리에게는 이미 “직합” 연산이 있습니다. 따라서 소수에 특별히 주목하는 것과 마찬가지로, 기약 표현을 연구한 다음 이로부터 $A$ 의 모든 표현을 구성하려는 동기가 생깁니다.

안타깝게도 우리는 기약이 아니면서도 직합으로 분해할 수 없는(분해 불가능한) 표현이 존재함을 이미 보았습니다(연습문제 19.4.5). 이는 이상하고 나쁜 현상이므로, 더 잘 행동하는 표현에 이름을 붙이고자 합니다. 표현이 이러한 나쁜 행동을 보이지 않으면 그 표현을 완전가약이라고 합니다.

더 나아가, 유한 차원 대수 $A$ 의 모든 유한 차원 표현이 완전가약이면 $A$ 를 반단순이라고 합니다. 따라서 반단순 대수 $A$ 의 유한 차원 표현을 연구할 때는 기약 표현이 무엇인지만 알아내면 되고, 그것들을 이어 붙이면 $A$ 의 모든 표현을 얻게 됩니다.

사실 반단순 대수 $A$ 는 훨씬 더 좋은 성질을 가집니다. 이 장의 정점은 $A$ 가 반단순일 필요충분조건이 $A\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 임을 증명하는 부분이며, 여기서 $V_{i}$ 는 $A$ 의 기약 표현들입니다(그렇습니다, 기약 표현은 유한 개뿐입니다!).

결국 유한군 $G$ 의 군 대수 $k[G]$ 가 (적어도 $k$ 의 표수가 $0$ 일 때) 모두 반단순임을 보게 될 것이므로, 반단순 대수 연구에 집중하는 것은 정당합니다.

비고 20.0.1 (여담).

그러나 역은 성립하지 않습니다 — $k$ 의 표수가 $0$ 일 때, 모든 유한차원 반단순 $k$ -대수가 어떤 군 대수와 동형인 것은 아닙니다. $k$ -대수가 정확히 언제 군 대수와 동형인지 분류하는 것은 어려운 문제로 밝혀졌습니다. https://mathoverflow.net/q/314502를 참고하십시오.

20.1 슈어 보조정리(계속)

대표적인 예: $V$ 가 기약일 때, $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus 2},V^{\oplus 2})\cong k^{\oplus 4}$ 입니다.

정의 20.1.1.

대수 $A$ 와 표현 $V$ , $W$ 에 대하여, $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)$ 를 둘 사이의 얽힘 연산자들의 집합이라고 합시다. (이것 역시 $k$ -대수입니다.)

슈어 보조정리에 의해 ( $k$ 가 대수적으로 닫혀 있으므로 — 다시 말하지만, 이는 우리가 계속 유지하는 가정입니다), $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 기약 표현이면 다음이 성립함을 이미 알고 있습니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)\cong\begin{cases}k&\text{$V\cong W$인 경우% }\\ 0&\text{$V\not\cong W$인 경우}.\end{cases}

더 말할 수 있는 것이 있을까요? 예를 들어, 이로부터 다음도 알 수 있습니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,V^{\oplus 2})=k^{\oplus 2}.

가능한 사상은 어떤 $c_{1},c_{2}\in k$ 에 대하여 $v\mapsto(c_{1}v_{1},c_{2}v_{2})$ 꼴입니다.

더 일반적으로, $V$ 가 유한 차원 기약 표현이라 하고 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus m},V^{\oplus n})$ 을 생각해 봅시다. 얽힘 연산자 $T\colon V^{\oplus m}\to V^{\oplus n}$ 은 다음 합성들에 대한 $m n$ 가지 선택에 의해 완전히 결정됩니다.

여기서 첫 번째 화살표는 $V^{\oplus m}$ 의 $i$ 번째 성분으로의 포함 사상( $1\leq i\leq m$ )이고, 두 번째 화살표는 $V^{\oplus n}$ 의 $j$ 번째 성분으로의 사영( $1\leq j\leq n$ )입니다. 그런데 각 합성에 슈어 보조정리를 적용하면 이들이 상수여야 함을 알 수 있습니다.

따라서 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus n},V^{\oplus m})$ 은 상수로 이루어진 $m\times n$ “행렬”들로 구성되며, 사상은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots&c_{1(n-1)}&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\dots&c_{2(n-1)}&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ c_{m1}&c_{m2}&\dots&c_{m(n-1)}&c_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \vdots\\ v_{n}\end{bmatrix}\in V^{\oplus m}

여기서 $c_{ij}\in k$ 이지만 $v_{i}\in V$ 입니다. 타입이 맞지 않는다는 점에 주의하십시오! 이것은 단순히 $k$ -선형 사상 $V^{\oplus n}\to V^{\oplus m}$ 이 아닙니다. 오히려 출력은 입력들의 $m$ 개의 선형 결합입니다.

더 일반적으로 다음이 성립합니다.

정리 20.1.2 (완전가약 표현에 대한 슈어 보조정리).

$V$ 와 $W$ 를 유한차원 완전가약 표현이라 하고, 정수 $n_{i},m_{i}\geq 0$ 에 대하여 $V=\bigoplus V_{i}^{\oplus n_{i}}$ , $W=\bigoplus V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 라고 둡시다. 여기서 각 $V_{i}$ 는 기약 표현입니다. 그러면 다음이 성립합니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{m_{i}% \times n_{i}}(k)

즉, 얽힘 연산자 $T\colon V\to W$ 는 각 $i$ 에 대하여 사상 $V_{i}^{\oplus n_{i}}\to V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 를 주는, 상수로 이루어진 $m_{i}\times n_{i}$ 행렬에 해당합니다.

따름정리 20.1.3 (완전가약 표현의 부분표현).

$V=\bigoplus V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 가 완전가약이라고 합시다. 그러면 $V$ 의 임의의 부분표현 $W$ 는 각 $i$ 에 대하여 $m_{i}\leq n_{i}$ 인 $\bigoplus V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 와 동형이며, 포함 사상 $W\hookrightarrow V$ 는 포함 사상 $V_{i}^{\oplus m_{i}}\hookrightarrow V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 들의 직합으로 주어지고, 이들은 $n_{i}\times m_{i}$ 행렬입니다.

증명.

포함 사상 $W\hookrightarrow V$ 에 슈어 보조정리를 적용하십시오. ∎

절 9.5에서 $n$ 차원 벡터 공간에서 $m$ 차원 벡터 공간으로 가는 선형 사상은 $m\times n$ 행렬로 쓸 수 있다는 것을 떠올려 보십시오. 여기서도 상황은 비슷하지만, 행렬은 각 기약 표현마다 독립적으로 만들어지며, 서로 동형이 아닌 기약 표현들은 어떤 의미에서 “서로 대화하지 않습니다”.

비고 20.1.4.

예제 19.3.2에서 했던 것처럼, 표현 $V^{\oplus n}$ 은 $V$ 의 벡터 $n$ 개를 “가로로 쌓아 놓은” 것으로 볼 수도 있습니다:

\begin{pmatrix}\vdots&\vdots&&\vdots\\ v_{1}&v_{2}&\cdots&v_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\end{pmatrix}\in V^{\oplus n}.

그렇게 하면 작용은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{pmatrix}\vdots&\vdots&&\vdots\\ v_{1}&v_{2}&\cdots&v_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\end{pmatrix}\begin{bmatrix}c_{11}&c_{21}&\cdots&c_{(m-1)% 1}&c_{m1}\\ c_{12}&c_{22}&\cdots&c_{(m-1)2}&c_{m2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ c_{1n}&c_{2n}&\cdots&c_{(m-1)n}&c_{mn}\end{bmatrix}\in V^{\oplus m}.

이렇게 보면 타입 불일치가 일어나는 모습을 더 분명하게 볼 수 있을 것입니다. 또한 이는 문제 19D의 얽힘 연산자가 오른쪽 행렬 곱셈에 대응하는 이유를 자연스럽게 설명해 줍니다.

20.2 밀도 정리

앞의 결과를 활용하여 유한 차원 대수가 유한 개의 기약 표현만을 가짐을 증명하겠습니다.

정리 20.2.1 (제이컵슨 밀도 정리).

$(V_{1},\rho_{1})$ , …, $(V_{r},\rho_{r})$ 를 $A$ 의 서로 동형이 아닌 유한 차원 기약 표현이라고 하십시오. 그러면 다음과 같은 벡터 공간의 전사 사상이 존재합니다.

\bigoplus_{i=1}^{r}\rho_{i}\colon A\twoheadrightarrow\bigoplus_{i=1}^{r}% \mathrm{Mat}(V_{i}).

이 정리를 올바르게 이해하는 방법은 다음과 같습니다.

밀도 정리는 $A$ 의 유한 차원 기약 표현에 대한 “중국인의 나머지 정리”입니다.

정수론에서 중국인의 나머지 정리는 “서로 무관한” 합동식이 많이 주어졌을 때 그 모두를 동시에 만족하는 하나의 $N$ 을 찾을 수 있다는 것을 알려 준다는 점을 떠올려 보십시오. 마찬가지로, 이는 $A$ 의 서로 동형이 아닌 여러 유한 차원 기약 표현이 주어졌을 때 우리가 원하는 임의의 작용의 순서조 $(\rho_{1}(a),\dots,\rho_{r}(a))$ 를 유도하는 하나의 $a\in A$ 를 고를 수 있다는 뜻입니다 — $r=1$ 인 경우조차 전혀 자명하지 않으므로 놀라운 결과입니다!

이로부터 자명하지 않은 다음 따름정리도 얻습니다:

따름정리 20.2.2 (표현 개수의 유한성).

임의의 유한 차원 대수 $A$ 는 많아야 $\dim A$ 개의 기약 표현을 가집니다.

증명.

$V_{i}$ 가 그러한 기약 표현이라면 $A\twoheadrightarrow\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus\dim V_{i}}$ 이므로, 부등식 $\sum(\dim V_{i})^{2}\leq\dim A$ 를 얻습니다. ∎

밀도 정리의 증명.

$V=V_{1}\oplus\dots\oplus V_{r}$ 라 두면, $A$ 는 $\rho=\bigoplus_{i}\rho_{i}$ 를 통해 $V=(V,\rho)$ 에 작용합니다. 따라서 문제 19C에 의해, $\rho$ 를 대신 다음과 같은 얽힘 연산자로 볼 수 있습니다.

\rho\colon\operatorname{Reg}(A)\to\bigoplus_{i=1}^{r}\mathrm{Mat}(V_{i})\cong% \bigoplus_{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus d_{i}}.

이쪽이 다루기 더 쉬우므로 대신 이것을 사용하겠습니다.

먼저 $r=1$ 인 경우를 다룹니다. $V=V_{1}$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 고정합니다. 귀류법을 위해 이 사상이 전사가 아니라고 가정합니다. 그러면 ( $\rho$ 와 동형사상에 의해) $a\mapsto(a\cdot e_{1},\dots,a\cdot e_{n})$ 으로 주어지는 표현의 사상 $\operatorname{Reg}(A)\to V^{\oplus n}$ 이 존재합니다. 가정에 의해 이 사상은 전사가 아닙니다. 즉, 그 상은 $V^{\oplus n}$ 의 진부분표현입니다. 그 상이 $m<n$ 인 $V^{\oplus m}$ 과 동형이라고 하면, 정리 20.1.2에 의해 다음을 만족하는 상수 행렬 $X$ 가 존재합니다.

여기서 윗줄의 두 화살표는 같은 상을 가집니다. 따라서 $(e_{1},\dots,e_{n})$ 의 역상 $(v_{1},\dots,v_{m})$ 을 찾을 수 있습니다. 그런데 $m<n$ 이므로, 열벡터 $(c_{1},\dots,c_{n})$ 에 $X$ 를 적용한 결과가 0이 되도록 하는, 모두 0은 아닌 상수 $c_{1},\dots,c_{n}$ 을 찾을 수 있습니다.

\sum_{i=1}^{n}c_{i}e_{i}=\begin{bmatrix}c_{1}&\dots&c_{n}\end{bmatrix}\begin{% bmatrix}e_{1}\\ \vdots\\ e_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{1}&\dots&c_{n}\end{bmatrix}X\begin{% bmatrix}v_{1}\\ \vdots\\ v_{m}\end{bmatrix}=0

이는 $e_{i}$ 들이 선형독립이라는 사실에 모순입니다. 따라서 $r=1$ 인 경우에 정리가 성립한다고 결론짓습니다.

$r\geq 2$ 인 경우, 상 $\rho^{\text{img}}(A)$ 는 (따름정리 20.1.3에 의해) 반드시 $\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus d_{i}}$ 꼴이며, 위의 논증에 의해 각 $i$ 에 대해 $d_{i}=\dim V_{i}$ 입니다. ∎

예제 20.2.3 (구체적인 예에 밀도 정리의 증명 적용하기).

증명이 어떻게 작동하는지 더 잘 이해하기 위해 구체적인 예에서 논증을 따라가 볼 수 있습니다. 이를 위해서는 $V$ 가 기약 표현이어야 합니다. 그렇지 않으면 $\operatorname{Reg}(A)$ 의 상이 $V^{\oplus m}$ 과 동형이 아니게 되어, 논증을 끝까지 진행할 수 없습니다.

$A=\mathrm{Mat}_{2}(k)$ 라 하고, $V\cong k^{\oplus 2}$ 에 자연스러운 작용을 준다고 합시다. 알다시피 이것은 기약 표현입니다.

밀도 정리는 $\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 전사라고 주장합니다. 이는 일차독립인 임의의 $e_{1},e_{2}\in V$ 와 임의의 $w_{1},w_{2}\in V$ 에 대해 $a\cdot(e_{1},e_{2})=(w_{1},w_{2})$ 를 만족하는 $a\in A$ 를 찾을 수 있다는 뜻입니다.

지금은 반례를 살펴보는 중이므로, 대신 $e_{1}=(1,0)$ , $e_{2}=(2,0)$ 을 택합시다. 그러면 어떤 $w_{1},w_{2}\in V$ 에 대해서는 $e_{1}$ 을 $w_{1}$ 로, $e_{2}$ 를 $w_{2}$ 로 보내는 $a$ 가 존재하지 않을 수 있습니다.

$a\mapsto(a\cdot e_{1},a\cdot e_{2})$ 로 주어지는 표현 사상 $\operatorname{Reg}(A)\to V^{\oplus 2}$ 를 생각합시다. 따라서 그 상은 $\{(v,2v)\mid v\in V\}$ 이며, 이는 $V^{\oplus 2}$ 의 부분표현이고 다음 사상에 의해 표현으로서 $V^{\oplus 1}\cong V$ 와 동형입니다.

v\mapsto(v,2v)=v\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}.

그러면 다음을 만족하는 $v=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\in V^{\oplus 1}$ 를 찾을 수 있습니다.

\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}\end{pmatrix}=v\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}.

이제 명시적인 수의 배열 $\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}$ 가 있으므로, $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 사이의 일차 종속 관계를 쉽게 찾을 수 있습니다.

20.3 반단순 대수

정의 20.3.1.

유한 차원 대수 $A$ 의 모든 유한 차원 표현이 완전가약이면 $A$ 를 반단순이라고 합니다.

정리 20.3.2 (반단순 대수).

$A$ 를 유한 차원 대수라고 합시다. 그러면 다음은 동치입니다.

(i)

어떤 $d_{i}$ 에 대해 $A\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 입니다.
(ii)

$A$ 는 반단순입니다.
(iii)

$\operatorname{Reg}(A)$ 는 완전가약입니다.

증명.

(i) $\implies$ (ii)는 명제 19.3.5을 이용하여 $A$ 의 임의의 유한 차원 표현을 $\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 의 표현들의 직합으로 분해한 다음, 정리 19.6.1에 의해 그러한 표현이 모두 완전가약임을 보이면 따라 나옵니다. (ii) $\implies$ (iii)은 동어반복입니다.

(iii) $\implies$ (i)을 보이기 위해 다음과 같은 영리한 방법을 사용합니다. 다음을 생각해 봅시다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(\operatorname{Reg}(A),\operatorname{Reg}(A)).

한편으로, 문제 19D에 의해 이것은 $A^{\mathrm{op}}$ (곱셈의 순서를 반대로 한 $A$ )와 동형입니다. $\operatorname{Reg}(A)\to\operatorname{Reg}(A)$ 인 얽힘 연산자는 $-\cdot a$ 꼴의 것뿐이기 때문입니다. 다른 한편으로, $\operatorname{Reg}(A)=\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 라고 두었다고 합시다. 정리 20.1.2에 의해 다음을 얻습니다.

A^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(\operatorname{Reg}(A),% \operatorname{Reg}(A))=\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{n_{i}\times n_{i}}(k).

그런데 (단순히 전치를 취하면) $\mathrm{Mat}_{n}(k)^{\mathrm{op}}\cong\mathrm{Mat}_{n}(k)$ 이므로, 원하는 결론을 얻습니다. ∎

비고 20.3.3.

위 증명의 방법은 대상이 자기 자신에 작용하게 하여 명시적인 표현을 얻는다는 점에서 케일리 정리(문제 1F)와 닮았습니다.

비고 20.3.4.

이를 따름정리 18.3.2와 비교할 수 있습니다. 여기서 $A$ 의 임의의 유한 차원 표현은 유한 차원 왼쪽 $A$ -가군이며, 위 정리로부터 $A$ 가 반단순이면 그러한 가군은 모두 기약 표현 $V_{i}\cong k^{\oplus d_{i}}$ 들의 직합으로 분해될 수 있음을 압니다.

$A$ 가 PID인 경우와 달리, $k^{\oplus d_{i}}$ 는 환 $\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 의 몫과 동형이 아니라는 점에 유의하십시오.

사실, 위의 결과를 밀도 정리(및 따름정리 20.2.2)와 결합하면 다음을 얻습니다.

정리 20.3.5 (제곱합 공식).

유한 차원 대수 $A$ 에 대해 다음이 성립합니다.

\sum_{i}\dim(V_{i})^{2}\leq\dim A

여기서 $V_{i}$ 는 $A$ 의 기약 표현들입니다. 등호는 정확히 $A$ 가 반단순일 때 성립하며, 이 경우 다음이 성립합니다.

\operatorname{Reg}(A)\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})\cong\bigoplus_{i}V_% {i}^{\oplus\dim V_{i}}.

증명.

이 부등식은 이미 따름정리 20.2.2에서 언급했습니다. 등호는 사상 $\rho\colon A\to\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 가 동형사상일 때, 그리고 그때에만 성립하며, 이는 모든 $V_{i}$ 가 나타난다는 뜻입니다. ∎

비고 20.3.6 (여담).

임의의 유한 차원 $A$ 에 대해, 사상 $\rho\colon A\to\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 의 핵을 $\operatorname{Rad}(A)$ 로 나타내며, 이를 $A$ 의 이른바 제이콥슨 근기라고 합니다. 이는 $A$ 의 모든 기약 표현에서 0으로 작용하는 모든 $a\in A$ 의 집합입니다. 책에서 흔히 주어지는 “반단순”의 정의는 이 제이콥슨 근기가 자명하다는 것입니다.

20.4 마슈케 정리

이제 군의 표현론이 더할 나위 없이 좋은 성질을 가진다는 것을 증명합니다.

정리 20.4.1 (마슈케 정리).

$G$ 가 유한군이고, $k$ 가 표수가 $|G|$ 를 나누지 않는 대수적으로 닫힌 체라고 합시다. 그러면 $k[G]$ 는 반단순입니다.

이는 군의 표현을 연구할 때 모든 표현이 완전가약이라는 것을 알려 줍니다.

증명.

$k[G]$ 의 임의의 유한 차원 표현 $(V,\rho)$ 를 생각합시다. 진 부분표현 $W\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 우리의 목표는

V=W\oplus W^{\prime}.

을 만족하는 보충 $G$ -불변 부분공간 $W^{\prime}$ 을 구성하는 것입니다. 이로써 분해 불가능 $\iff$ 기약임이 보여지며, 이는 $k[G]$ 가 반단순임을 보이기에 충분합니다.

$\pi\colon V\to W$ 를 $V$ 에서 $W$ 로의 임의의 사영이라고 합시다. 즉, $\pi(v)=v\iff v\in W$ 입니다. 다음과 같이 정의되는 평균화 사상 $P\colon V\to V$ 를 생각합니다.

P=\frac{1}{\left\lvert G\right\rvert}\sum_{g\in G}\rho(g^{-1})\circ\pi\circ% \rho(g).

이 사상의 다음 성질들을 사용하겠습니다.

연습문제 20.4.2.

사상 $P$ 가 다음을 만족함을 보이십시오.

•

임의의 $w\in W$ 에 대하여 $P(w)=w$ 입니다.
•

임의의 $v\in V$ 에 대하여 $P(v)\in W$ 입니다.
•

사상 $P\colon V\to V$ 는 얽힘 연산자입니다.

따라서 $P$ 는 멱등이므로(그 상 $W$ 위에서 항등사상이므로), 문제 9H에 의해 $V=\ker P\oplus\operatorname{im}P$ 이며, 원하던 대로 $\ker P$ 와 $\operatorname{im}P$ 는 모두 부분표현입니다. ∎

비고 20.4.3.

$k=\mathbb{C}$ 인 경우에는 더 짧은 증명이 있습니다. $B\colon V\times V\to\mathbb{C}$ 가 임의의 쌍선형 형식이라고 합시다. 그러면 이를 “평균”하여 다음과 같은 새로운 쌍선형 형식을 얻을 수 있습니다.

\left<v,w\right>\coloneqq\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}B(g\cdot v,g\cdot w).

평균화된 형식 $\left<-,-\right>$ 는 $\left<v,w\right>=\left<g\cdot v,g\cdot w\right>$ 라는 의미에서 $G$ -불변입니다. 그러면 $W\subseteq V$ 가 부분표현일 때 그 직교여공간 $W^{\perp}$ 도 부분표현임을 알 수 있습니다. 이로부터 결과가 따라옵니다.

20.5 예: $\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 표현

$\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 모든 기약 표현을 계산합니다. 지금은 그러한 표현이 정확히 세 개 있다는 사실을 당연하게 받아들이겠습니다(이는 다음 장의 첫 번째 정리로부터 바로 얻어집니다. 실제로 $G$ 의 표현의 개수는 $G$ 의 켤레류의 개수와 정확히 같음을 보게 될 것입니다).

이를 받아들이면, $\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 세 표현의 차원이 $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ 일 때 다음이 성립해야 합니다.

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=|G|=6.

이로부터, 약간의 심오한 산술을 결합하면, $d_{1}=d_{2}=1$ 이고 $d_{3}=2$ 이거나 이들의 어떤 순열이어야 함을 추론할 수 있습니다.

실제로 이 표현들을 명시적으로 기술할 수 있습니다. 먼저 다음을 정의합니다.

정의 20.5.1.

$G$ 가 군이라고 합시다. 군 $G$ 의 복소 자명 군 표현이란 모든 $g\in G$ 와 $v\in\mathbb{C}$ 에 대하여 $g\cdot v=v$ 인(즉 모든 $g\in G$ 에 대하여 $\rho(g)=\mathrm{id}$ 인) 1차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}=(\mathbb{C},\rho)$ 입니다.

비고 20.5.2 (경고).

대수 $A$ 의 자명 표현은 우리에게는 의미가 없습니다. $a\cdot v=v$ 로 두고 싶을 수 있지만, 이는 $A$ 에 대해 선형이 아닙니다. (우리의 정의에서 $1_{A}\cdot v=v$ 라는 조건을 삭제하여 억지로 성립하게 만들어 볼 수는 있습니다. 그러면 그냥 $a\cdot v=0$ 으로 두면 됩니다. 하지만 그렇게 하더라도 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 는 $k[G]$ 의 자명 표현이 되지 않습니다.)

이를 보는 또 다른 방법은 자명한 표현이 $k$ -대수를 군 대수로 어떻게 쓰느냐에 따라 달라진다는 것입니다. $k[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$ 는 $g\mapsto-g$ 로 주어지는 $k$ -대수 자기동형사상을 가지는데, 여기서 $g$ 는 군 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 의 생성원입니다. 그러나 대응하는 자명한 표현들은 서로 다릅니다.

그러면 표현들은 다음과 같습니다.

•

1차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 입니다. 각 $\sigma\in S_{3}$ 는 항등사상으로 작용합니다.
•

사상 $S_{3}\to\mathbb{C}^{\times}$ 가 $\sigma$ 를 $\sigma$ 의 부호로 보내는 것으로 주어지는 자명하지 않은 1차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 이 있습니다. 따라서 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 에서 모든 $\sigma\in S_{3}$ 는 $\pm 1$ 로 작용합니다. 물론 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 와 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 은 동형이 아닙니다(문제 19A에서 보았듯이, 1차원 표현들은 모든 $a$ 에 대하여 작용하는 상수가 일치하지 않는 한 결코 동형이 아니기 때문입니다).
•

마지막으로, 2차원 표현은 이미 보았지만 이제 여기에 이름을 붙이겠습니다. $\operatorname{refl}_{0}$ 을 벡터 공간이 $\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ 이고 그 위에서의 $S_{3}$ 의 작용이 좌표의 순열인 표현으로 정의합니다.

연습문제 20.5.3.

예를 들어 어떠한 부분공간도 $S_{3}$ 의 작용에 대해 불변이 아님을 직접 보임으로써, $\operatorname{refl}_{0}$ 이 기약임을 보이십시오.

따라서 $V$ 는 앞의 두 표현과도 동형이 아닙니다.

이로부터 이것들이 $S_{3}$ 의 기약 표현 전부임을 알 수 있습니다. $k^{\oplus 3}$ 위의 $S_{3}$ 의 표현 $V$ 를 택하면, 단순히 $V=\operatorname{refl}_{0}\oplus\mathbb{C}_{\text{triv}}$ 를 얻는다는 점에 유의하십시오.

20.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 20A.

$\mathbb{C}[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}]$ 의 기약 표현을 모두 구하십시오.

힌트. 모두 1차원이며, $n$ 개가 있습니다. 준동형사상 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^{\times}$ 에는 어떤 것들이 있습니까?

문제 20B (Maschke 정리에는 $|G|$ 가 유한해야 합니다).

덧셈에 대한 군 $\mathbb{R}$ 의 $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 위의 표현이 다음 준동형사상으로 주어진다고 생각합시다.

\mathbb{R}\to\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{C})\quad\text{에 의해}\quad t\mapsto\begin{% bmatrix}1&t\\ 0&1\end{bmatrix}.

이 표현이 기약은 아니지만 분해 불가능함을 보이십시오.

힌트. $(1,0)$ 이 생성하는 공간은 부분표현입니다.

문제 20C.

유한군의 모든 기약 표현은 유한차원임을 증명하십시오.

힌트. 이것은 사실 쉽습니다.

풀이. 임의의 $v\in V$ 를 택하면, $v\in V$ 에 대한 원소 $g\cdot v$ 들로 생성되는 부분공간은 $G$ -불변입니다. 이는 유한차원 부분공간이므로 $V$ 전체와 같아야 합니다.

문제 20D.

$D_{10}$ 의 복소 기약 표현을 모두 결정하십시오.

힌트. 1차원인 것은 두 개뿐입니다(유일한 두 준동형사상 $D_{10}\to\mathbb{C}^{\times}$ 에 대응합니다). 따라서 나머지는 2차원입니다.

문제 20E (AIME 2018).

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아래에 보인 바퀴는 두 개의 원과 다섯 개의 바큇살로 이루어져 있으며, 바큇살이 원과 만나는 곳마다 라벨이 붙어 있습니다. 벌레 한 마리가 $A$ 에서 출발하여 바퀴를 따라 걷습니다. 벌레는 $15$ 걸음을 걷습니다. 각 걸음마다 벌레는 인접한 라벨로 이동하는데, 안쪽 원을 따라서는 반시계 방향으로만, 바깥쪽 원을 따라서는 시계 방향으로만 걷습니다. 모든 걸음을 마친 후 벌레가 $A$ 에 도착하도록 이동하는 방법은 몇 가지입니까?

힌트. $r,t\in D_{10}$ 을 각각 회전과 반사라 합시다. 그러면 벌레의 가능한 모든 이동에 대한 합을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\frac{1}{10}\operatorname{Tr}(\rho(r)+\rho(t))^{15}.$

그런 다음 문제 20D를 사용하여 이 대각합을 계산하십시오.