장 20 반단순 대수

이어지는 내용에서는 체 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있다고 가정합니다.

대수 $A$ 를 고정하고 그 표현을 연구하고자 한다고 합시다. 우리는 이미 ”직합” 연산을 가지고 있습니다. 그러므로 소수에 특별히 주목하는 것과 마찬가지로, 기약 표현을 연구한 다음 이로부터 $A$ 의 모든 표현을 구성하고자 하는 동기가 생깁니다.

안타깝게도 우리는 (연습문제 19.4.5) 기약이 아니면서도 직합으로 분해될 수 없는(즉 비분해인) 표현이 존재함을 보았습니다. 이는 이상하고 나쁜 상황이므로, 더 다루기 좋은 성질을 가진 표현에 이름을 붙이고자 합니다. 표현이 이러한 나쁜 성질을 보이지 않을 때 그 표현을 완전 기약이라고 부릅니다.

더 나아가, 유한 차원 대수 $A$ 의 모든 유한 차원 표현이 완전 기약일 때 $A$ 를 반단순이라고 부릅니다. 따라서 반단순 대수 $A$ 의 유한 차원 표현을 연구할 때는, 기약 표현이 무엇인지만 알아내면 그것들을 조합하여 $A$ 의 모든 표현을 얻을 수 있습니다.

실제로 반단순 대수 $A$ 는 훨씬 더 좋은 성질을 가집니다. 이 장의 정점은 $A$ 가 반단순인 것과 $A\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 인 것이 동치임을 증명하는 부분인데, 여기서 $V_{i}$ 는 $A$ 의 기약 표현들입니다(그렇습니다, 유한 개밖에 없습니다!).

결국 우리는 유한군 $G$ 의 군 대수 $k[G]$ 가 모두 반단순임을 (적어도 $k$ 의 표수가 $0$ 일 때) 보게 될 것이므로, 반단순 대수를 집중적으로 연구하는 것은 정당화됩니다.

비고 20.0.1 (여담).

하지만 그 역은 성립하지 않습니다 — $k$ 의 표수가 $0$ 이더라도, 모든 유한 차원 반단순 $k$ -대수가 어떤 군 대수와 동형인 것은 아닙니다. $k$ -대수가 정확히 언제 군 대수와 동형인지를 분류하는 것은 어려운 문제로 밝혀져 있습니다. https://mathoverflow.net/q/314502를 참고하십시오.

20.1 슈어의 보조정리 (계속)

대표적인 예: $V$ 가 기약일 때, $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus 2},V^{\oplus 2})\cong k^{\oplus 4}$ 입니다.

정의 20.1.1.

대수 $A$ 와 표현 $V$ , $W$ 에 대해, $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)$ 를 이들 사이의 교환 연산자들의 집합이라고 하겠습니다. (이것 또한 $k$ -대수입니다.)

슈어의 보조정리에 의해 (다시 말하지만 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 것을 항상 가정하고 있으므로), $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 기약 표현이라면 다음이 성립함을 이미 알고 있습니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)\cong\begin{cases}k&\text{$V\cong W$인 경우% }\\ 0&\text{$V\not\cong W$인 경우}.\end{cases}

더 말할 것이 있을까요? 예를 들어, 이는 또한 다음을 알려줍니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,V^{\oplus 2})=k^{\oplus 2}.

가능한 사상들은 어떤 $c_{1},c_{2}\in k$ 의 선택에 대해 $v\mapsto(c_{1}v_{1},c_{2}v_{2})$ 입니다.

더 일반적으로, $V$ 가 유한 차원 기약 표현이라 하고 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus m},V^{\oplus n})$ 을 생각해 봅시다. 얽힘 연산자 $T\colon V^{\oplus m}\to V^{\oplus n}$ 은 다음 합성들의 $m n$ 가지 선택에 의해 완전히 결정됩니다.

여기서 첫 번째 화살표는 $V^{\oplus m}$ 의 $i$ 번째 성분으로의 포함(단, $1\leq i\leq m$ )이고, 두 번째 화살표는 $V^{\oplus n}$ 의 $j$ 번째 성분으로의 사영(단, $1\leq j\leq n$ )입니다. 그러나 이 각각의 합성에 슈어의 보조정리를 적용하면, 이들이 상수여야 함을 알 수 있습니다.

따라서 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V^{\oplus n},V^{\oplus m})$ 은 상수들의 $m\times n$ ”행렬”로 이루어지며, 그 사상은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots&c_{1(n-1)}&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\dots&c_{2(n-1)}&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ c_{m1}&c_{m2}&\dots&c_{m(n-1)}&c_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \vdots\\ v_{n}\end{bmatrix}\in V^{\oplus m}

여기서 $c_{ij}\in k$ 이지만 $v_{i}\in V$ 입니다. 유형이 일치하지 않음에 주의하십시오! 이는 단순한 $k$ -선형 사상 $V^{\oplus n}\to V^{\oplus m}$ 이 아닙니다. 오히려 출력은 입력들의 $m$ 개의 선형결합입니다.

더 일반적으로, 다음이 성립합니다.

정리 20.1.2 (완전 기약 표현에 대한 슈어의 보조정리).

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 완전 기약 표현이라 하고, 정수 $n_{i},m_{i}\geq 0$ 에 대해 $V=\bigoplus V_{i}^{\oplus n_{i}}$ , $W=\bigoplus V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 라고 설정합시다. 여기서 각 $V_{i}$ 는 기약 표현입니다. 그러면 다음이 성립합니다.

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(V,W)\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{m_{i}% \times n_{i}}(k)

이는 얽힘 연산자 $T\colon V\to W$ 가 각 $i$ 에 대해 $V_{i}^{\oplus n_{i}}\to V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 인 사상을 주는 $m_{i}\times n_{i}$ 상수 행렬에 해당함을 의미합니다.

따름정리 20.1.3 (완전 기약 표현의 부분표현).

$V=\bigoplus V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 를 완전 기약이라고 합시다. 그러면 $V$ 의 임의의 부분표현 $W$ 는 각 $i$ 에 대해 $m_{i}\leq n_{i}$ 인 $\bigoplus V_{i}^{\oplus m_{i}}$ 와 동형이며, 포함 $W\hookrightarrow V$ 는 포함 $V_{i}^{\oplus m_{i}}\hookrightarrow V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 의 직합으로 주어지는데, 이는 $n_{i}\times m_{i}$ 행렬들입니다.

증명.

포함 $W\hookrightarrow V$ 에 슈어의 보조정리를 적용하십시오. ∎

절 9.5에서 $n$ 차원 벡터 공간에서 $m$ 차원 벡터 공간으로의 선형 사상은 $m\times n$ 행렬로 쓸 수 있다는 것을 상기하십시오. 여기서도 상황은 비슷하지만, 행렬은 각 기약표현마다 독립적으로 만들어지며, 서로 동형이 아닌 기약표현들은 어떤 의미에서 ”서로 대화하지 않습니다”.

비고 20.1.4.

표현 $V^{\oplus n}$ 은 예제 19.3.2에서 했던 것처럼 $V$ 의 $n$ 개의 벡터를 ”수평으로 쌓은 것”으로도 볼 수 있습니다:

\begin{pmatrix}\vdots&\vdots&&\vdots\\ v_{1}&v_{2}&\cdots&v_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\end{pmatrix}\in V^{\oplus n}.

그런 방식으로, 작용은 다음과 같이 주어집니다

\begin{pmatrix}\vdots&\vdots&&\vdots\\ v_{1}&v_{2}&\cdots&v_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\end{pmatrix}\begin{bmatrix}c_{11}&c_{21}&\cdots&c_{(m-1)% 1}&c_{m1}\\ c_{12}&c_{22}&\cdots&c_{(m-1)2}&c_{m2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ c_{1n}&c_{2n}&\cdots&c_{(m-1)n}&c_{mn}\end{bmatrix}\in V^{\oplus m}.

이런 방식이 타입 불일치가 발생하는 것을 더 명확히 볼 수 있게 해줄 수 있습니다. 그리고 이는 또한 문제 19D의 뒤엉킴 연산자가 왜 오른쪽 행렬 곱셈에 대응하는지에 대한 자연스러운 설명을 제공합니다.

20.2 조밀성 정리

우리는 앞선 결과를 활용하여 유한 차원 대수가 유한 개의 기약표현만을 가진다는 것을 증명할 것입니다.

정리 20.2.1 (야콥슨 조밀성 정리).

$(V_{1},\rho_{1})$ , …, $(V_{r},\rho_{r})$ 을 $A$ 의 서로 동형이 아닌 유한 차원 기약표현들이라 합시다. 그러면 다음과 같은 벡터 공간의 전사 사상이 존재합니다

\bigoplus_{i=1}^{r}\rho_{i}\colon A\twoheadrightarrow\bigoplus_{i=1}^{r}% \mathrm{Mat}(V_{i}).

이 정리를 생각하는 올바른 방법은 다음과 같습니다

조밀성은 $A$ 의 유한 차원 기약표현들에 대한 ”중국인의 나머지 정리”입니다.

정수론에서 중국인의 나머지 정리는 서로 ”무관한” 여러 합동식이 주어졌을 때, 이 모두를 동시에 만족하는 단 하나의 $N$ 을 찾을 수 있음을 알려준다는 것을 상기하십시오. 마찬가지로, $A$ 의 서로 동형이 아닌 여러 유한 차원 기약표현이 주어졌을 때, 이는 우리가 원하는 임의의 작용 튜플 $(\rho_{1}(a),\dots,\rho_{r}(a))$ 을 유도하는 단 하나의 $a\in A$ 를 선택할 수 있다는 것을 의미합니다 — 이는 놀라운 결과인데, $r=1$ 인 경우조차 전혀 자명하지 않기 때문입니다!

이는 또한 다음과 같은 자명하지 않은 따름정리를 제공합니다:

따름정리 20.2.2 (표현의 개수의 유한성).

임의의 유한 차원 대수 $A$ 는 최대 $\dim A$ 개의 기약표현을 가집니다.

증명.

$V_{i}$ 가 그러한 기약표현들이라면 $A\twoheadrightarrow\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus\dim V_{i}}$ 이므로, 우리는 부등식 $\sum(\dim V_{i})^{2}\leq\dim A$ 를 얻습니다. ∎

조밀성 정리의 증명.

$V=V_{1}\oplus\dots\oplus V_{r}$ 이라 하면, $A$ 는 $\rho=\bigoplus_{i}\rho_{i}$ 에 의해 $V=(V,\rho)$ 에 작용합니다. 따라서 문제 19C에 의해, 우리는 대신 $\rho$ 를 뒤엉킴 연산자로 생각할 수 있습니다

\rho\colon\operatorname{Reg}(A)\to\bigoplus_{i=1}^{r}\mathrm{Mat}(V_{i})\cong% \bigoplus_{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus d_{i}}.

우리는 이를 사용하는 것이 다루기 더 쉬우므로 이를 대신 사용할 것입니다.

먼저, $r=1$ 인 경우를 다룹니다. $V=V_{1}$ 의 기저 $e_{1}$ , …, $e_{n}$ 을 고정합니다. 모순을 이끌어내기 위해 이 사상이 전사가 아니라고 가정합시다. 그러면 ( $\rho$ 와 동형사상에 의한) 표현들의 사상 $\operatorname{Reg}(A)\to V^{\oplus n}$ 이 $a\mapsto(a\cdot e_{1},\dots,a\cdot e_{n})$ 으로 존재합니다. 가정에 의해 이는 전사가 아닙니다: 그 상은 $V^{\oplus n}$ 의 진부분 부분표현입니다. 그 상이 $m<n$ 에 대해 $V^{\oplus m}$ 과 동형이라고 가정하면, 정리 20.1.2에 의해 다음을 만족하는 상수 행렬 $X$ 가 존재합니다

여기서 윗줄의 두 화살표는 같은 상을 가집니다; 따라서 $(e_{1},\dots,e_{n})$ 의 원상 $(v_{1},\dots,v_{m})$ 을 찾을 수 있습니다. 하지만 $m<n$ 이므로, $X$ 를 열벡터 $(c_{1},\dots,c_{n})$ 에 적용했을 때 영이 되도록 모두 영은 아닌 상수 $c_{1},\dots,c_{n}$ 을 찾을 수 있습니다:

\sum_{i=1}^{n}c_{i}e_{i}=\begin{bmatrix}c_{1}&\dots&c_{n}\end{bmatrix}\begin{% bmatrix}e_{1}\\ \vdots\\ e_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{1}&\dots&c_{n}\end{bmatrix}X\begin{% bmatrix}v_{1}\\ \vdots\\ v_{m}\end{bmatrix}=0

이는 $e_{i}$ 가 선형 독립이라는 사실에 모순됩니다. 따라서 $r=1$ 에 대해 정리를 결론짓습니다.

$r\geq 2$ 인 경우, 상 $\rho^{\text{img}}(A)$ 는 (따름정리 20.1.3에 의해) 반드시 $\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus d_{i}}$ 의 형태이며, 위에서 본 바에 의해 각 $i$ 에 대해 $d_{i}=\dim V_{i}$ 입니다. ∎

예제 20.2.3 (조밀성 정리의 증명을 구체적인 예에 적용하기).

우리는 이 논증이 어떻게 작동하는지 더 잘 이해하기 위해 구체적인 예를 통해 논증을 실행해볼 수 있습니다 — 이를 위해서는 $V$ 가 기약표현이어야 하는데, 그렇지 않으면 $\operatorname{Reg}(A)$ 의 상이 $V^{\oplus m}$ 과 동형이 아니게 되어, 우리는 논증을 끝까지 실행할 수 없게 됩니다.

$A=\mathrm{Mat}_{2}(k)$ 이고, 자명한 작용을 갖는 $V\cong k^{\oplus 2}$ 라 합시다. 우리가 알고 있듯이, 이는 기약표현입니다.

조밀성 정리는 $\rho\colon A\to\mathrm{Mat}(V)$ 가 전사임을 주장하는데, 이는 독립인 임의의 $e_{1},e_{2}\in V$ 와 임의의 $w_{1},w_{2}\in V$ 에 대해, $a\cdot(e_{1},e_{2})=(w_{1},w_{2})$ 를 만족하는 $a\in A$ 를 찾을 수 있음을 의미합니다.

우리는 반례를 살펴보고 있으므로, 대신 $e_{1}=(1,0)$ , $e_{2}=(2,0)$ 을 선택합니다. 그러면 어떤 $w_{1},w_{2}\in V$ 에 대해서는, $e_{1}$ 을 $w_{1}$ 으로, $e_{2}$ 를 $w_{2}$ 로 보내는 $a$ 가 존재하지 않을 수 있습니다.

표현 사상 $\operatorname{Reg}(A)\to V^{\oplus 2}$ 를 $a\mapsto(a\cdot e_{1},a\cdot e_{2})$ 로 생각해 봅시다; 그 상은 $\{(v,2v)\mid v\in V\}$ 이며, 이는 $V^{\oplus 2}$ 의 부분표현으로서, 표현으로서 $V^{\oplus 1}\cong V$ 와 다음에 의해 동형입니다

v\mapsto(v,2v)=v\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}.

그러면 $v=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\in V^{\oplus 1}$ 을 찾을 수 있고, 이에 대해

\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}\end{pmatrix}=v\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}.

이제 $\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}$ 라는 구체적인 수의 배열을 이용하면, $e_{1}$ 과 $e_{2}$ 사이의 선형 종속 관계를 쉽게 찾을 수 있습니다.

20.3 반단순 대수

정의 20.3.1.

유한 차원 대수 $A$ 가 반단순이라는 것은 $A$ 의 모든 유한 차원 표현이 완전 가약임을 의미합니다.

정리 20.3.2 (반단순 대수).

$A$ 를 유한 차원 대수라고 합시다. 그러면 다음이 동치입니다:

(i)

어떤 $d_{i}$ 에 대해 $A\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 입니다.
(ii)

$A$ 는 반단순입니다.
(iii)

$\operatorname{Reg}(A)$ 는 완전 가약입니다.

증명.

(i) $\implies$ (ii)는 명제 19.3.5을 사용하여 $A$ 의 임의의 유한 차원 표현을 $\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 의 표현들의 직합으로 분해하고, 그다음 정리 19.6.1이 그러한 표현들이 모두 완전 가약임을 보임으로써 따라옵니다. (ii) $\implies$ (iii)은 자명합니다.

(iii) $\implies$ (i)를 보이기 위해, 다음의 영리한 트릭을 사용합니다. 다음을 생각해 봅시다

\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(\operatorname{Reg}(A),\operatorname{Reg}(A)).

한편으로, 문제 19D에 의해, 이는 $A^{\mathrm{op}}$ ( $A$ 에 반대 곱셈을 준 것)와 동형인데, 왜냐하면 $\operatorname{Reg}(A)\to\operatorname{Reg}(A)$ 의 얽힘 연산자는 오직 $-\cdot a$ 형태의 것들뿐이기 때문입니다. 다른 한편으로, $\operatorname{Reg}(A)=\bigoplus_{i}V_{i}^{\oplus n_{i}}$ 로 설정했다고 합시다. 정리 20.1.2에 의해, 다음을 얻습니다

A^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{rep}}(\operatorname{Reg}(A),% \operatorname{Reg}(A))=\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}_{n_{i}\times n_{i}}(k).

그런데 $\mathrm{Mat}_{n}(k)^{\mathrm{op}}\cong\mathrm{Mat}_{n}(k)$ 이므로(단순히 전치를 취함으로써), 원하는 결론을 얻습니다. ∎

비고 20.3.3.

위 증명의 트릭은 케일리 정리(문제 1F)와 닮아 있는데, 대상이 자기 자신에 작용하게 하여 명시적인 표현을 얻는다는 점에서 그렇습니다.

비고 20.3.4.

이를 따름정리 18.3.2와 비교할 수 있습니다. 여기서, $A$ 의 임의의 유한 차원 표현은 유한 차원 왼쪽 $A$ -가군이며, 위 정리로부터, $A$ 가 반단순이면 그러한 임의의 가군은 기약표현 $V_{i}\cong k^{\oplus d_{i}}$ 들의 직합으로 분해될 수 있음을 알 수 있습니다.

$A$ 가 PID인 경우와 달리, $k^{\oplus d_{i}}$ 는 환 $\mathrm{Mat}_{d_{i}}(k)$ 의 몫과 동형이 아님에 유의하십시오.

실제로, 위 결과를 조밀성 정리(그리고 따름정리 20.2.2)와 결합하면, 다음을 얻습니다:

정리 20.3.5 (제곱합 공식).

유한 차원 대수 $A$ 에 대해 다음이 성립합니다

\sum_{i}\dim(V_{i})^{2}\leq\dim A

여기서 $V_{i}$ 는 $A$ 의 기약표현들입니다; 등식은 정확히 $A$ 가 반단순일 때 성립하며, 이 경우

\operatorname{Reg}(A)\cong\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})\cong\bigoplus_{i}V_% {i}^{\oplus\dim V_{i}}.

증명.

이 부등식은 이미 따름정리 20.2.2에서 언급되었습니다. 등식이 성립하는 것은 사상 $\rho\colon A\to\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 가 동형사상일 때이자 오직 그때뿐이며, 이는 모든 $V_{i}$ 가 존재함을 의미합니다. ∎

비고 20.3.6 (여담).

임의의 유한 차원 $A$ 에 대해, 사상 $\rho\colon A\to\bigoplus_{i}\mathrm{Mat}(V_{i})$ 의 핵을 $\operatorname{Rad}(A)$ 로 표기하며, 이는 $A$ 의 소위 야콥슨 근기입니다; 이는 $A$ 의 모든 기약 표현에서 영으로 작용하는 모든 $a\in A$ 의 집합입니다. 책에서 흔히 주어지는 ”반단순”의 정의는 이 야콥슨 근기가 자명하다는 것입니다.

20.4 마슈케 정리

이제 군의 표현론이 가능한 한 좋다는 것을 증명하겠습니다.

정리 20.4.1 (마슈케 정리).

$G$ 를 유한군이라 하고, $k$ 를 그 표수가 $|G|$ 를 나누지 않는 대수적으로 닫힌 체라고 합시다. 그러면 $k[G]$ 는 반단순입니다.

이는 군의 표현을 연구할 때 모든 표현이 완전 가약임을 말해줍니다.

증명.

$k[G]$ 의 임의의 유한 차원 표현 $(V,\rho)$ 을 생각해봅시다. 진부분표현 $W\subseteq V$ 가 주어졌을 때, 우리의 목표는

V=W\oplus W^{\prime}.

를 만족하는 보충적인 $G$ -불변 부분공간 $W^{\prime}$ 를 구성하는 것입니다. 이는 분해불가능 $\iff$ 기약임을 보여줄 것이며, 이는 $k[G]$ 가 반단순임을 보이기에 충분합니다.

$\pi\colon V\to W$ 를 $V$ 에서 $W$ 로의 임의의 사영이라 하고, 이는 $\pi(v)=v\iff v\in W$ 를 의미합니다. 우리는 다음과 같은 평균화 사상 $P\colon V\to V$ 를 고려합니다

P=\frac{1}{\left\lvert G\right\rvert}\sum_{g\in G}\rho(g^{-1})\circ\pi\circ% \rho(g).

우리는 이 사상의 다음 성질들을 사용할 것입니다:

연습문제 20.4.2.

사상 $P$ 가 다음을 만족함을 보이십시오:

•

임의의 $w\in W$ 에 대해, $P(w)=w$ 입니다.
•

임의의 $v\in V$ 에 대해, $P(v)\in W$ 입니다.
•

사상 $P\colon V\to V$ 는 교환 연산자입니다.

따라서 $P$ 는 멱등원입니다(이는 그 상 $W$ 위에서 항등사상입니다). 그러므로 문제 9H에 의해 $V=\ker P\oplus\operatorname{im}P$ 가 성립하는데, $\ker P$ 와 $\operatorname{im}P$ 둘 다 원하는 대로 부분표현입니다. ∎

비고 20.4.3.

$k=\mathbb{C}$ 인 경우에는 더 짧은 증명이 있습니다. $B\colon V\times V\to\mathbb{C}$ 가 임의의 쌍선형 형식이라고 합시다. 그러면 이를 ”평균화”하여 새로운 쌍선형 형식을 얻을 수 있습니다

\left<v,w\right>\coloneqq\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}B(g\cdot v,g\cdot w).

평균화된 형식 $\left<-,-\right>$ 는 $\left<v,w\right>=\left<g\cdot v,g\cdot w\right>$ 라는 의미에서 $G$ -불변입니다. 그러면 $W\subseteq V$ 가 부분표현이면 그 직교 여공간 $W^{\perp}$ 도 부분표현임을 알 수 있습니다. 이로부터 결과가 따라옵니다.

20.5 예시: $\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 표현들

우리는 $\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 모든 기약표현을 계산합니다. 지금은 정확히 세 개의 그러한 표현이 존재한다는 것을 당연한 것으로 받아들이겠습니다(이는 다음 장의 첫 번째 정리에 의해 즉시 알 수 있을 것입니다: 실제로 우리는 $G$ 의 표현의 개수가 $G$ 의 켤레류의 개수와 정확히 같다는 것을 보게 될 것입니다).

이를 감안할 때, $\mathbb{C}[S_{3}]$ 의 세 표현이 차원 $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ 를 가진다면, 우리는 다음이 성립해야 합니다

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=|G|=6.

이로부터, 약간의 심오한 산술과 결합하여, 우리는 $d_{1}=d_{2}=1$ 이고 $d_{3}=2$ 이거나 그 순열이어야 함을 추론합니다.

사실, 우리는 이 표현들을 명시적으로 기술할 수 있습니다. 먼저, 다음을 정의합니다:

정의 20.5.1.

$G$ 를 군이라 합시다. 군 $G$ 의 복소 자명 군 표현은 일차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}=(\mathbb{C},\rho)$ 로서, 모든 $g\in G$ 와 $v\in\mathbb{C}$ 에 대해 $g\cdot v=v$ 입니다(즉, 모든 $g\in G$ 에 대해 $\rho(g)=\mathrm{id}$ 입니다).

비고 20.5.2 (경고).

대수 $A$ 의 자명 표현은 우리에게 의미가 없습니다: $a\cdot v=v$ 로 설정하고 싶을 수 있지만, 이는 $A$ 에서 선형이 아닙니다. (우리 정의에서 조건 $1_{A}\cdot v=v$ 를 삭제하여 이를 억지로 작동시키려 시도할 수는 있습니다; 그러면 단순히 $a\cdot v=0$ 으로 설정할 수 있습니다. 하지만 그렇게 하더라도 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 는 $k[G]$ 의 자명 표현이 되지 않을 것입니다.)

이를 확인하는 또 다른 방법은, 자명 표현이 $k$ -대수가 군 대수로 어떻게 쓰이는지에 의존한다는 것입니다: $k[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$ 는 $g\mapsto-g$ 로 주어지는 $k$ -대수 자기동형사상을 가지는데, 여기서 $g$ 는 군 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 의 생성원입니다; 그러나 대응하는 자명 표현들은 서로 다릅니다.

그러면 표현들은 다음과 같습니다:

•

일차원 $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ ; 각 $\sigma\in S_{3}$ 는 항등사상으로 작용합니다.
•

$S_{3}\to\mathbb{C}^{\times}$ 사상이 $\sigma$ 를 $\sigma$ 의 부호로 보내는 자명하지 않은 일차원 표현 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 이 있습니다. 따라서 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 에서 모든 $\sigma\in S_{3}$ 는 $\pm 1$ 로 작용합니다. 물론, $\mathbb{C}_{\mathrm{triv}}$ 와 $\mathbb{C}_{\mathrm{sign}}$ 은 동형이 아닙니다(일차원 표현들은 문제 19A에서 보았듯이 모든 $a$ 에 대해 작용하는 상수가 일치하지 않는 한 결코 동형이 아니기 때문입니다).
•

마지막으로, 우리는 이미 이차원 표현을 살펴본 바 있으나, 이제 여기에 이름을 붙이도록 하겠습니다. $\operatorname{refl}_{0}$ 을 벡터 공간이 $\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ 이고, 그 위에서의 $S_{3}$ 의 작용이 좌표의 순열인 표현으로 정의합니다.

연습문제 20.5.3.

$\operatorname{refl}_{0}$ 이 기약임을 보이십시오. 예를 들어 $S_{3}$ 의 작용 아래 불변인 부분공간이 없음을 직접 보임으로써 보일 수 있습니다.

따라서 $V$ 는 앞의 두 표현과도 동형이 아닙니다.

이는 이것들이 $S_{3}$ 의 모든 기약 표현임을 의미합니다. $S_{3}$ 의 $k^{\oplus 3}$ 위에서의 표현 $V$ 를 취하면, $V=\operatorname{refl}_{0}\oplus\mathbb{C}_{\text{triv}}$ 를 얻는다는 점에 유의하십시오.

20.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 20A.

$\mathbb{C}[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}]$ 의 모든 기약 표현을 구하십시오.

힌트. 이들은 모두 일차원이며, 그 개수는 $n$ 개입니다. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^{\times}$ 인 준동형사상은 무엇입니까?

문제 20B (Maschke의 정리는 $|G|$ 가 유한할 것을 요구합니다).

덧셈에 대한 군 $\mathbb{R}$ 의 $\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 위에서의 표현을 준동형사상

\mathbb{R}\to\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{C})\quad\text{에 의해}\quad t\mapsto\begin{% bmatrix}1&t\\ 0&1\end{bmatrix}.

이 표현이 기약이 아니지만 분해 불가능함을 보이십시오.

힌트. $(1,0)$ 의 생성 공간은 부분표현입니다.

문제 20C.

유한군의 모든 기약 표현이 유한 차원임을 증명하십시오.

힌트. 이는 사실 쉽습니다.

풀이. 임의로 $v\in V$ 를 선택하면, $v\in V$ 에 대해 원소 $g\cdot v$ 들로 생성된 부분공간은 $G$ -불변입니다; 이는 유한 차원 부분공간이므로 $V$ 전체와 같아야 합니다.

문제 20D.

$D_{10}$ 의 모든 복소 기약 표현을 결정하십시오.

힌트. 일차원인 것은 오직 두 개뿐입니다(오직 두 개의 준동형사상 $D_{10}\to\mathbb{C}^{\times}$ 에 대응). 따라서 나머지는 이차원입니다.

문제 20E (AIME 2018).

^†^†margin:

아래에 나타난 바퀴는 두 개의 원과 다섯 개의 바퀴살로 이루어져 있으며, 바퀴살이 원과 만나는 곳에 레이블이 붙어 있습니다. 벌레 한 마리가 $A$ 에서 출발하여 바퀴를 따라 걷습니다. 벌레는 $15$ 번의 걸음을 걷습니다. 각 걸음마다 벌레는 안쪽 원을 따라서는 반시계 방향으로만, 바깥쪽 원을 따라서는 시계 방향으로만 걷도록 인접한 레이블로 이동합니다. 모든 걸음을 마친 후 벌레가 $A$ 에 도달하는 경우의 수는 몇 가지입니까?

힌트. $r,t\in D_{10}$ 을 각각 회전과 반사라 합시다. 그러면 벌레가 가능한 모든 이동에 대해 합을 취할 수 있습니다.

$\frac{1}{10}\operatorname{Tr}(\rho(r)+\rho(t))^{15}.$

그런 다음 문제 20D를 사용하여 이 대각합을 계산하십시오.