장 6 거리 공간의 성질

거리 공간에 관한 지난 장의 마지막에서, 우리는 “열린”과 “닫힌”이라는 두 형용사를 소개했습니다. 이것들이 중요한 이유는, 거리 공간을 졸업하고 나면 일반적인 위상 공간의 정의로 성장하게 되기 때문입니다.

앞으로 나아가기 위해, 모(母) 공간에 상대적인 하나의 집합이 아니라 거리 공간 전체에 적용되는 몇 가지 좋은 성질을 나타내는 형용사를 제공하겠습니다. 그것은 “(전) 유계”와 “완비”입니다. 이 형용사들은 거리 공간에 특유한 것이지만, 콤팩트성이라는 개념으로 성장하게 되는데, 이는 [PUG02]의 표현을 빌리면 “실해석학에서 단연 가장 중요한 개념”입니다. 이 장의 끝에 이르면, 우리는 위상동형사상의 정의에 뭔가 미심쩍은 부분이 있음을 깨달을 만큼 충분히 알게 될 것이며, 이것이 완전히 일반적인 위상 공간을 정의하게 될 다음 장의 출발점 역할을 하게 됩니다.

6.1 유계성

대표적인 예: $[0,1]$ 은 유계이지만 $\mathbb{R}$ 은 그렇지 않습니다.

다음은 거리 공간이 지나치게 커지는 것을 막는 하나의 개념입니다.

정의 6.1.1.

거리 공간 $M$ 은, $d(p,q)\leq D$ 가 모든 $p,q\in M$ 에 대해 성립하는 상수 $D$ 가 존재하면 유계라고 합니다.

한정사의 순서를 바꿀 수도 있습니다:

명제 6.1.2 (지름 대신 반지름을 이용한 유계성).

거리 공간 $M$ 이 유계인 것은, 모든 점 $p\in M$ 에 대해 (아마도 $p$ 에 따라 달라질 수 있는) 반지름 $R$ 이 존재하여 모든 $q\in M$ 에 대해 $d(p,q)\leq R$ 이 성립하는 것과 동치입니다.

연습문제 6.1.3.

삼각부등식을 이용하여 이것들이 동치임을 보이십시오. (“반지름”과 “지름”이라는 이름이 큰 힌트입니다!)

예제 6.1.4 (유계 공간의 예).

(a)

$[0,1]$ 이나 $(a,b)$ 와 같은 유한 구간은 유계입니다.
(b)

단위 정사각형 $[0,1]^{2}$ 은 유계입니다.
(c)

$\mathbb{R}^{n}$ 은 어떤 $n\geq 1$ 에 대해서도 유계가 아닙니다.
(d)

무한 집합 위의 이산 공간은 유계입니다.
(e)

$\mathbb{N}$ 은 이산 공간과 위상동형임에도 불구하고 유계가 아닙니다!

무한 집합 위의 이산 공간이 “유계”라는 사실이 당신을 불편하게 만들 수도 있으므로, 여기 사용할 수 있는 다소 더 강한 조건을 소개합니다:

정의 6.1.5.

거리 공간이, 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 유한히 많은 $\varepsilon$ -근방들로 $M$ 을 덮을 수 있으면 전유계라고 합니다.

예를 들어, $\varepsilon=1/2$ 이면 $[0,1]^{2}$ 을 $\varepsilon$ -근방들로 덮을 수 있습니다.

연습문제 6.1.6.

“전유계”가 “유계”를 함의함을 보이십시오.

예제 6.1.7 (전유계 공간의 예).

(a)

$\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합이 유계인 것은 그것이 전유계인 것과 동치입니다.

이는 유클리드 기하학적인 이유 때문입니다: 예를 들어 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 반지름 $2$ 인 원판 하나로 어떤 집합을 덮을 수 있다면, 반지름 $1/2$ 인 유한히 많은 원판들로도 분명히 덮을 수 있습니다. (이것을 엄밀하게 증명하지는 않겠습니다.)
(b)

그래서 예를 들어 $[0,1]$ 이나 $[0,2]\times[0,3]$ 은 전유계입니다.
(c)

반면, 무한 집합 위의 이산 공간은 전유계가 아닙니다.

6.2 완비성

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 은 완비이지만, $\mathbb{Q}$ 와 $(0,1)$ 은 그렇지 않습니다.

지금까지는 극한을 가지는 경우에만 수열이 수렴한다고 말할 수 있었습니다. 하지만 다음 수열을 생각해봅시다

x_{1}=1,\;x_{2}=1.4,\;x_{3}=1.41,\;x_{4}=1.414,\dots.

물론 이 수열은 $\mathbb{R}$ 에서 $\sqrt{2}$ 로 수렴합니다. 하지만 $\mathbb{Q}$ 에서는 수렴하지 못합니다. 이 수열이 수렴하는 유리수는 존재하지 않습니다. 그러니 만약 우리가 $\mathbb{R}$ 의 존재를 몰랐다면, 어쩐지 수열 $(x_{n})$ 이 무언가로 ”다가가고” 있다는 것을 전혀 알 수 없었을 것입니다.

그것은 아쉬운 일인 것 같습니다. 항들이 공간 안의 어떤 특정한 점으로 다가가지 않더라도, 항들끼리 서로 가까워지는 이런 수열들을 기술하기 위한 새로운 정의를 세워봅시다. 따라서 우리는 정의에서 주어진 점들만을 언급하고자 합니다.

정의 6.2.1.

$x_{1},x_{2},\dots$ 를 거리 공간 $M=(M,d_{M})$ 안에 있는 수열이라고 합시다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대해 다음이 성립하면 이 수열을 코시 수열이라고 부릅니다

d_{M}(x_{m},x_{n})<\varepsilon

충분히 큰 모든 $m$ 과 $n$ 에 대해.

질문 6.2.2.

수렴하는 수열은 자동으로 코시 수열임을 보이십시오. (그림을 그려보십시오.)

이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 6.2.3.

모든 코시 수열이 수렴하면 거리 공간 $M$ 을 완비라고 합니다.

예제 6.2.4 (완비 공간의 예).

(a)

$\mathbb{R}$ 은 완비입니다. ( $\mathbb{R}$ 의 정의에 따라, 이는 정의에 의해 바로 성립하거나 약간의 작업이 필요합니다. 여기서는 이를 다루지 않겠습니다.)
(b)

이산 공간은 완비입니다. 유일한 코시 수열은 결국 상수 수열이기 때문입니다.
(c)

닫힌 구간 $[0,1]$ 은 완비입니다.
(d)

$\mathbb{R}^{n}$ 또한 완비입니다. ( $n$ 에 대한 귀납법으로 이를 증명해보셔도 좋습니다.)

예제 6.2.5 (완비 공간이 아닌 예).

(a)

유리수 $\mathbb{Q}$ 는 완비가 아닙니다.
(b)

열린 구간 $(0,1)$ 은 완비가 아닙니다. 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ , $0.9999$ , …는 코시 수열이지만 수렴하지 않기 때문입니다.

그러므로 $\mathbb{Q}$ 처럼 거리 공간이 반드시 완비일 필요는 없습니다. 하지만 우리는 분명히 그것들이 완비이기를 바라며, 다음 정리에 비추어 보면 이는 무리한 바람이 아닙니다.

정리 6.2.6 (완비화).

모든 거리 공간은 몇몇 점들을 추가함으로써 ”완비화”될 수 있습니다. 즉, 완비 공간으로 만들 수 있습니다.

우리는 이 구성을 전혀 필요로 하지 않으므로, 이는 문제 6C로 남겨두겠습니다.

예제 6.2.7 ( $\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{R}$ 로 완비화됩니다).

$\mathbb{Q}$ 의 완비화는 $\mathbb{R}$ 입니다.

(사실, 실수에 의존하지 않는 수정된 완비화의 정의를 사용하여, 다른 저자들은 종종 이를 $\mathbb{R}$ 의 정의로 삼기도 합니다.)

6.3 구매자는 조심하십시오

이 두 개념 모두에는 뭔가 미심쩍은 점이 있습니다: 둘 다 위상동형사상 하에서 보존되지 않습니다!

예제 6.3.1 (여기서 뭔가 수상한 일이 벌어지고 있습니다).

$M=(0,1)$ 이고 $N=\mathbb{R}$ 이라고 합시다. 훨씬 앞서 보았듯이 $M$ 과 $N$ 은 위상동형입니다. 그러나:

•

$(0,1)$ 은 전유계이지만 완비는 아닙니다.
•

$\mathbb{R}$ 은 완비이지만 유계는 아닙니다.

이는 거리에 뭔가 잘못되어 가고 있다는 첫 번째 힌트입니다. 위상수학 공부를 더 진행해 나가면서, 사실 (거리를 이용해 동기를 부여했던) 열린집합과 닫힌집합이야말로 나중에 진정으로 빛을 발할 개념임을 보게 될 것입니다. 열린집합과 닫힌집합에 대한 표준적인 그림이 이해되도록 하기 위해 거리를 먼저 도입할 것을 고집했지만, 결국에는 보조 바퀴를 뗄 때가 옵니다.

6.4 부분공간, 그리고 (미리 말해두는) 헷갈리는 언어적 요점

대표적인 예: 원은 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간으로 얻어집니다.

우리가 예제들에서 이미 암묵적으로 해 왔듯이, 이제 다음과 같이 말하겠습니다:

정의 6.4.1.

모든 부분집합 $S\subseteq M$ 은 $M$ 위의 거리 함수를 재사용함으로써 그 자체로 하나의 거리 공간이 됩니다. 우리는 $S$ 가 $M$ 의 부분공간이라고 말합니다.

예를 들어, 우리는 원 $S^{1}$ 이 그저 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간임을 보았습니다.

따라서 다음을 구별하는 것이 중요해집니다

(i)

”완비”나 ”유계”와 같은 ”절대적” 형용사는 공간에도 적용될 수 있고, 따라서 (부분공간을 취함으로써) 공간의 부분집합에도 적용될 수 있으며,
(ii)

”( $M$ 에서) 열려 있다”나 ”( $M$ 에서) 닫혀 있다”와 같은 ”상대적” 형용사는 공간과 관련해서만 의미를 가지지만, 사람들은 종종 부주의하게 이를 생략합니다.

따라서 ” $[0,1]$ 은 완비이다”는 의미가 통하며, ” $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 의 완비 부분집합이다”도 마찬가지로 의미가 통하는데, 우리는 이를 ” $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 의 완비 부분공간이다”를 뜻하는 것으로 받아들입니다. 이는 ”완비”가 절대적 형용사이기 때문입니다.

그러나 상대적 형용사가 조금 더 주의를 요하는 방식의 몇 가지 예가 여기 있습니다:

•

수열 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , …를 생각해 봅시다. $\mathbb{R}$ 안의 수열로 보면 $\sqrt{2}$ 로 수렴합니다. 하지만 $\mathbb{Q}$ 안의 수열로 보면 이 수열은 수렴하지 않습니다! 마찬가지로, 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ , $0.9999$ 는 공간 $(0,1)$ 에서는 수렴하지 않지만, $[0,1]$ 에서는 수렴합니다.

이 수열들이 ”마땅히 그래야 함에도” 수렴하지 못한다는 사실은 이상하고 나쁜 것이며, 이것이 바로 우리가 애초에 완비 공간을 정의한 이유였습니다.
•

일반적으로, ” $[0,1]$ 은 열려 있는가?”와 같은 질문을 던지는 것은 의미가 없습니다. 그러나 ” $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있는가?”와 ” $[0,1]$ 은 $[0,1]$ 에서 열려 있는가?”라는 질문은 의미가 통합니다. 첫 번째 질문에 대한 답은 ”아니오”이지만 두 번째 질문에 대한 답은 ”예”입니다; 실제로, 모든 공간은 그 자신 안에서 열려 있습니다. 마찬가지로, $[0,\frac{1}{2})$ 는 공간 $M=[0,1]$ 에서 열린집합 인데, 이는 그것이 $M$ 안에서 $0$ 을 중심으로 하는 반지름 $\frac{1}{2}$ 의 공입니다.
•

쌍대적으로, ” $[0,1]$ 은 닫혀 있는가?”라고 묻는 것도 의미가 없습니다. 그것은 $\mathbb{R}$ 에서 그리고 그 자신 안에서 닫혀 있습니다(하지만 어차피 모든 공간은 그 자신 안에서 닫혀 있습니다).

위 내용을 제대로 이해했는지 확인하기 위해, 상대적 형용사를 연습해 볼 수 있는 두 가지 연습문제가 여기 있습니다.

연습문제 6.4.2.

$M$ 을 완비 거리 공간이라 하고 $S\subseteq M$ 이라고 합시다. $S$ 가 완비인 것과 $S$ 가 $M$ 에서 닫혀 있는 것이 동치임을 증명하십시오. 특히, $[0,1]$ 은 완비입니다.

연습문제 6.4.3.

$M=[0,1]\cup(2,3)$ 이라 합시다. $[0,1]$ 과 $(2,3)$ 이 $M$ 에서 모두 열려 있으면서 닫혀 있음을 보이십시오.

이는 세 번째 요점을 보여줍니다: 자명하지 않은 집합이 열려 있으면서 동시에 닫혀 있을 수 있습니다.¹¹1언제나 놀림받는 사실입니다. 장 7에서 보게 되듯이, 이는 공간이 비연결임을 함의합니다. 즉, 위에서 든 예와 상당히 비슷한 경우들만 존재합니다.

6.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 6A (바나흐 부동점 정리).

$M=(M,d)$ 를 완비 거리 공간이라 합시다. $T\colon M\to M$ 이 다음과 같은 연속 사상이라고 가정합시다. 즉, 임의의 $p,q\in M$ 에 대해,

d\left(T(p),T(q)\right)\leq 0.999d(p,q).

( $T$ 를 축약사상이라 부릅니다.) $T$ 가 유일한 부동점을 가짐을 보이십시오.

힌트. 주된 과제는 부동점이 존재함을 보이는 것입니다. 어떤 점 $x_{0}$ 에서 시작하여 수열 $x_{1}=T(x_{0})$ , $x_{2}=T(x_{1})$ , $x_{3}=T(x_{2})$ , …을 생각해봅시다.

풀이. 부동점의 유일성은, $T(p)=p$ 이고 $T(q)=q$ 이면서 $p\neq q$ 라면 이를 주어진 식에 대입했을 때 바로 모순이 나온다는 사실로부터 따라 나옵니다. 따라서 주된 과제는 부동점이 존재함을 보이는 것입니다.

임의의 점 $x_{0}$ 에서 시작합시다. $x_{1}=T(x_{0})$ , $x_{2}=T(x_{1})$ , $x_{3}=T(x_{2})$ , …라 합시다. 우리는 $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots)$ 가 코시 수열임을 주장합니다. 실제로, $r\coloneqq 0.999<1$ 이고 $c\coloneqq d(x_{0},x_{1})$ 이라 하면,

$\displaystyle d(x_{1},x_{2})$ $\displaystyle<r\cdot c$

$\displaystyle d(x_{2},x_{3})$ $\displaystyle<r^{2}\cdot c$

$\displaystyle d(x_{3},x_{4})$ $\displaystyle<r^{3}\cdot c$

$\displaystyle\mathmakebox[width("{}<{}")][c]{\vdots}$

따라서 충분히 큰 $M<N$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$d(x_{M},x_{N})<\left(r^{M}+r^{M+1}+\dots+r^{N-1}\right)\cdot c<\frac{r^{M}}{1-% r}\cdot c$

이는 $M$ 이 충분히 크면 $0$ 으로 수렴합니다.

따라서 $M$ 이 완비이므로, 수열은 어떤 극한 $x$ 로 수렴해야 합니다. $T$ 가 연속이므로 다음을 얻습니다.

$T(x)=T\left(\lim_{n\to\infty}x_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}T(x_{n})=\lim_{n\to% \infty}x_{n+1}=x$

원하는 바와 같습니다.

문제 6B (Henning Makholm, math.SE에서).

$\mathbb{R}$ 에 다음 두 거리를 부여하여 얻은 거리 공간을 각각 $M$ 과 $N$ 이라 합시다:

	$\displaystyle d_{M}(x,y)$	$\displaystyle=\min\left\{1,\left\lvert x-y\right\rvert\right\}$
	$\displaystyle d_{N}(x,y)$	$\displaystyle=\left\lvert e^{x}-e^{y}\right\rvert.$

(a)

다음 $2\times 3$ 표의 각 칸을 ”예” 또는 ”아니오”로 채우십시오.

완비인가? 유계입니까? 전유계입니까?

$M$

$N$
(b)

$M$ 과 $N$ 은 위상동형입니까?

힌트. (a): $M$ 은 완비이고 유계이지만 전유계는 아닙니다. $N$ 은 전부 아니오입니다. (b)의 경우 $M\cong\mathbb{R}\cong N$ 임을 보이십시오.

풀이. (a) 부분은 본질적으로 정의에 의해 성립합니다. 공간 $M$ 은 거리가 $1$ 을 넘지 않으므로 유계이지만, 유한 개의 $\frac{1}{2}$ -근방으로 $M$ 을 덮을 수 없으므로 전유계는 아닙니다. 공간 $M$ 은 실수의 수열이 통상적인 의미로 수렴하면 $M$ 에서도 수렴하므로 완비입니다. $N$ 의 경우, 수열 $-1$ , $-2$ , …은 코시 수열이지만 수렴하지 않으며, 명백히 유계도 아닙니다.

(b)를 보이기 위해, 항등 사상(!)이 연속이므로 이는 $M\cong\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{R}\cong N$ 의 위상동형사상이 됩니다.

이는 $M$ 이 완비이면서 유계임에도 불구하고 $N$ 은 완비도 유계도 아니지만 $M\cong N$ 임을 보여줍니다. 반면, 나중에 우리는 완비이면서 전유계인 것이 콤팩트함을 함의함을 보게 될 것인데, 이는 위상동형사상 아래 보존되는 매우 강력한 성질입니다.

문제 6C (거리 공간의 완비화).

^†^†margin:

$M$ 을 거리 공간이라 합시다. $M$ 이 $\overline{M}$ 의 부분공간이 되고, $\overline{M}$ 의 공집합이 아닌 모든 열린집합이 $M$ 의 점을 포함하도록(즉 $M$ 이 $\overline{M}$ 에서 조밀하도록) 완비 거리 공간 $\overline{M}$ 을 구성하십시오.

힌트. 집합으로서, $\overline{M}$ 을 $M$ 에서의 코시 수열 $(x_{n})$ 들의 집합으로 두되, $\lim_{n}d(x_{n},y_{n})=0$ 이면 $(x_{n})\sim(y_{n})$ 이라는 관계로 나눈 몫으로 둡니다.

문제 6D.

거리 공간이 전유계인 것과 임의의 수열이 코시 부분수열을 가지는 것이 동치임을 보이십시오.

풀이. https://math.stackexchange.com/q/556150/229197를 참조하십시오.

문제 6E.