장 6 거리 공간의 성질

거리 공간에 관한 지난 장의 끝에서 우리는 “열린”과 “닫힌”이라는 두 형용사를 도입했습니다. 이 형용사들이 중요한 이유는, 거리 공간을 졸업하고 나면 이것들이 일반적인 위상 공간의 정의로 자라나기 때문입니다.

앞으로 나아가기 위해, 모공간에 상대적인 집합이 아니라 거리 공간 전체에 적용되는 좋은 성질을 나타내는 형용사 몇 가지를 소개합니다. 바로 “(완전) 유계”와 “완비”입니다. 이 형용사들은 거리 공간에 특유한 것이지만, 나중에 콤팩트성이라는 개념으로 자라나게 됩니다. 콤팩트성은 [PUG02]의 말을 빌리면 “실해석학에서 단연 가장 중요한 개념”입니다. 이 장의 끝에 이르면 우리가 내린 위상동형사상의 정의에 무언가 잘못된 점이 있다는 것을 깨달을 만큼 충분히 알게 될 것이며, 이것이 완전히 일반적인 위상 공간을 정의하는 다음 장의 출발점이 될 것입니다.

6.1 유계성

대표적인 예: $[0,1]$ 은 유계이지만 $\mathbb{R}$ 은 유계가 아닙니다.

다음은 거리 공간이 지나치게 커지는 것을 막는 방법에 관한 한 가지 개념입니다.

정의 6.1.1.

모든 $p,q\in M$ 에 대하여 $d(p,q)\leq D$ 를 만족하는 상수 $D$ 가 존재하면 거리 공간 $M$ 을 유계라고 합니다.

한정기호의 순서를 바꿀 수도 있습니다.

명제 6.1.2 (지름 대신 반지름을 이용한 유계성).

거리 공간 $M$ 이 유계일 필요충분조건은 모든 점 $p\in M$ 에 대하여, 모든 $q\in M$ 에 대해 $d(p,q)\leq R$ 를 만족하는 반지름 $R$ ( $p$ 에 따라 달라질 수 있음)이 존재하는 것입니다.

연습문제 6.1.3.

삼각 부등식을 사용하여 이 둘이 동치임을 보이십시오. (“반지름”과 “지름”이라는 이름이 큰 힌트입니다!)

예제 6.1.4 (유계 공간의 예).

(a)

$[0,1]$ 이나 $(a,b)$ 와 같은 유한 구간은 유계입니다.
(b)

단위 정사각형 $[0,1]^{2}$ 는 유계입니다.
(c)

$\mathbb{R}^{n}$ 은 어떤 $n\geq 1$ 에 대해서도 유계가 아닙니다.
(d)

무한집합 위의 이산 공간은 유계입니다.
(e)

$\mathbb{N}$ 은 이산 공간과 위상동형인데도 유계가 아닙니다!

무한집합 위의 이산 공간이 “유계”라는 사실이 마음에 들지 않을 수도 있으므로, 대신 사용할 수 있는 조금 더 강한 조건을 소개합니다.

정의 6.1.5.

임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $M$ 을 유한 개의 $\varepsilon$ -근방으로 덮을 수 있으면 거리 공간을 완전 유계라고 합니다.

예를 들어 $\varepsilon=1/2$ 이면 $[0,1]^{2}$ 를 $\varepsilon$ -근방들로 덮을 수 있습니다.

연습문제 6.1.6.

“완전 유계”이면 “유계”임을 보이십시오.

예제 6.1.7 (완전 유계 공간의 예).

(a)

$\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합이 유계일 필요충분조건은 그것이 완전 유계인 것입니다.

이는 유클리드 기하학적인 이유 때문입니다. 예를 들어 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 어떤 집합을 반지름 $2$ 인 원판 하나로 덮을 수 있다면, 당연히 반지름 $1/2$ 인 원판 유한 개로도 덮을 수 있습니다. (이를 엄밀하게 증명하지는 않겠습니다.)
(b)

따라서 예를 들어 $[0,1]$ 이나 $[0,2]\times[0,3]$ 은 완전 유계입니다.
(c)

반면, 무한집합 위의 이산 공간은 완전 유계가 아닙니다.

6.2 완비성

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 는 완비이지만, $\mathbb{Q}$ 와 $(0,1)$ 은 완비가 아닙니다.

지금까지는 수열이 극한을 가질 때에만 그 수열이 수렴한다고 말할 수 있었습니다. 그런데 다음 수열을 생각해 보십시오.

x_{1}=1,\;x_{2}=1.4,\;x_{3}=1.41,\;x_{4}=1.414,\dots.

물론 이 수열은 $\mathbb{R}$ 에서 $\sqrt{2}$ 로 수렴합니다. 그러나 $\mathbb{Q}$ 에서는 수렴하지 않습니다. 이 수열이 수렴하는 유리수는 존재하지 않습니다. 따라서 만약 우리가 $\mathbb{R}$ 의 존재를 몰랐다면, 수열 $(x_{n})$ 이 무언가에 “다가가고” 있다는 사실을 전혀 알 수 없었을 것입니다.

이는 아쉬운 일입니다. 공간의 어떤 특정한 점에 다가가지 않더라도 항들이 서로 가까워지는 수열을 기술하기 위해 새로운 정의를 세워 봅시다. 즉, 정의에서는 주어진 점들만 언급하고자 합니다.

정의 6.2.1.

$x_{1},x_{2},\dots$ 를 거리 공간 $M=(M,d_{M})$ 위의 수열이라고 합시다. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 다음이 성립하면 이 수열을 코시 수열이라고 합니다.

d_{M}(x_{m},x_{n})<\varepsilon

이 부등식은 충분히 큰 모든 $m$ 과 $n$ 에 대해 성립해야 합니다.

질문 6.2.2.

수렴하는 수열은 자동으로 코시 수열임을 보이십시오. (그림을 그려 보십시오.)

이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

정의 6.2.3.

거리 공간 $M$ 의 모든 코시 수열이 수렴하면 $M$ 을 완비라고 합니다.

예제 6.2.4 (완비 공간의 예).

(a)

$\mathbb{R}$ 는 완비입니다. ( $\mathbb{R}$ 를 어떻게 정의하느냐에 따라 이는 정의에서 바로 따라 나오거나, 약간의 작업이 필요합니다. 여기서는 이를 다루지 않겠습니다.)
(b)

이산 공간은 완비입니다. 코시 수열은 결국 상수가 되는 수열뿐이기 때문입니다.
(c)

닫힌구간 $[0,1]$ 은 완비입니다.
(d)

$\mathbb{R}^{n}$ 역시 완비입니다. ( $n$ 에 대한 귀납법으로 이를 증명해 보셔도 좋습니다.)

예제 6.2.5 (완비 공간이 아닌 예).

(a)

유리수 $\mathbb{Q}$ 는 완비가 아닙니다.
(b)

열린구간 $(0,1)$ 은 완비가 아닙니다. 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ , $0.9999$ , …는 코시 수열이지만 수렴하지 않기 때문입니다.

이처럼 거리 공간은 $\mathbb{Q}$ 와 같이 완비가 아닐 수도 있습니다. 하지만 우리는 분명 거리 공간이 완비이기를 바라며, 다음 정리를 보면 이는 무리한 바람이 아닙니다.

정리 6.2.6 (완비화).

모든 거리 공간은 “완비화”할 수 있습니다. 즉, 몇몇 점을 추가하여 완비 공간으로 만들 수 있습니다.

이 구성은 앞으로 전혀 필요하지 않으므로 문제 6C으로 남겨 둡니다.

예제 6.2.7 ( $\mathbb{Q}$ 의 완비화는 $\mathbb{R}$ ).

$\mathbb{Q}$ 의 완비화는 $\mathbb{R}$ 입니다.

(실제로 많은 저자들은 실수에 의존하지 않도록 완비화의 정의를 수정한 다음, 이를 $\mathbb{R}$ 의 정의로 사용합니다.)

6.3 구매자는 주의하십시오

이 두 개념에는 모두 수상한 점이 있습니다. 둘 다 위상동형사상에 대해 보존되지 않습니다!

예제 6.3.1 (여기서 뭔가 수상한 일이 벌어지고 있습니다).

$M=(0,1)$ , $N=\mathbb{R}$ 이라고 합시다. 훨씬 앞에서 보았듯이 $M$ 과 $N$ 은 위상동형입니다. 그러나 다음과 같습니다:

•

$(0,1)$ 은 완전 유계이지만 완비가 아닙니다.
•

$\mathbb{R}$ 은 완비이지만 유계가 아닙니다.

이것은 거리에 무언가 문제가 있다는 첫 번째 암시입니다. 위상수학 공부를 더 진행하다 보면, 사실 (거리를 이용해 동기를 부여했던) 열린집합과 닫힌집합이야말로 나중에 진정으로 빛을 발하는 개념임을 보게 될 것입니다. 열린집합과 닫힌집합의 표준적인 그림이 이해되도록 저는 굳이 거리를 먼저 소개하지만, 결국에는 보조 바퀴를 떼어 낼 때가 옵니다.

6.4 부분공간, 그리고 (미리 말해 두자면) 헷갈리는 언어적 문제

대표적인 예: 원은 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간으로 얻어집니다.

예제들에서 이미 암묵적으로 해 왔던 것처럼, 이제 다음과 같이 말하겠습니다:

정의 6.4.1.

모든 부분집합 $S\subseteq M$ 은 $M$ 의 거리 함수를 그대로 다시 사용함으로써 그 자체로 거리 공간이 됩니다. 이때 $S$ 를 $M$ 의 부분공간이라고 합니다.

예를 들어, 원 $S^{1}$ 은 단지 $\mathbb{R}^{2}$ 의 부분공간일 뿐임을 보았습니다.

따라서 다음 둘을 구별하는 것이 중요해집니다.

(i)

“완비”나 “유계”처럼 공간에 적용할 수 있고, 따라서 (부분공간을 취함으로써) 공간의 부분집합에도 적용할 수 있는 “절대적” 형용사, 그리고
(ii)

“( $M$ 에서) 열려 있는”이나 “( $M$ 에서) 닫혀 있는”처럼, 사람들이 흔히 부주의하게 생략하기는 하지만 어떤 공간에 상대적으로만 의미를 가지는 “상대적” 형용사.

따라서 “ $[0,1]$ 은 완비입니다”라는 말은 의미가 있으며, “ $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 의 완비 부분집합입니다”라는 말도 마찬가지인데, 이는 “ $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 의 완비 부분공간입니다”라는 뜻으로 받아들입니다. 이는 “완비”가 절대적 형용사이기 때문입니다.

그러나 상대적 형용사에는 조금 더 주의가 필요함을 보여 주는 몇 가지 예가 있습니다:

•

수열 $1$ , $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , …을 생각해 봅시다. $\mathbb{R}$ 에서의 수열로 보면 이 수열은 $\sqrt{2}$ 로 수렴합니다. 그러나 $\mathbb{Q}$ 에서의 수열로 보면 이 수열은 수렴하지 않습니다! 마찬가지로, 수열 $0.9$ , $0.99$ , $0.999$ , $0.9999$ 는 $[0,1]$ 에서는 수렴하지만 공간 $(0,1)$ 에서는 수렴하지 않습니다.

이 수열들이 “마땅히 수렴해야 함에도” 수렴하지 않는다는 사실은 이상하고 좋지 않은 일이며, 애초에 완비 공간을 정의한 이유가 바로 이것이었습니다.
•

일반적으로 “ $[0,1]$ 은 열려 있습니까?”와 같은 질문은 의미가 없습니다. 그러나 “ $[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있습니까?”와 “ $[0,1]$ 은 $[0,1]$ 에서 열려 있습니까?”라는 질문은 의미가 있습니다. 첫 번째 질문의 답은 “아니요”이지만 두 번째 질문의 답은 “예”입니다. 실제로 모든 공간은 자기 자신에서 열려 있습니다. 마찬가지로, $[0,\frac{1}{2})$ 는 $M$ 에서 $0$ 을 중심으로 하는 반지름 $\frac{1}{2}$ 인 공이므로 공간 $M=[0,1]$ 에서 열린집합 입니다.
•

쌍대적으로, “ $[0,1]$ 은 닫혀 있습니까”?라고 묻는 것도 의미가 없습니다. 이 집합은 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀 있고 자기 자신에서도 닫혀 있습니다(어차피 모든 공간은 자기 자신에서 닫혀 있습니다).

위 내용을 확실히 이해했는지 확인할 수 있도록, 상대적 형용사를 연습하는 데 도움이 되는 두 가지 연습문제를 소개합니다.

연습문제 6.4.2.

$M$ 을 완비 거리 공간이라 하고 $S\subseteq M$ 이라고 합시다. $S$ 가 완비일 필요충분조건은 $S$ 가 $M$ 에서 닫혀 있는 것임을 증명하십시오. 특히 $[0,1]$ 은 완비입니다.

연습문제 6.4.3.

$M=[0,1]\cup(2,3)$ 이라 합시다. $[0,1]$ 과 $(2,3)$ 이 모두 $M$ 에서 열려 있으면서 동시에 닫혀 있음을 보이십시오.

이는 세 번째 요점을 보여 줍니다. 자명하지 않은 집합이 열려 있으면서 동시에 닫혀 있을 수 있습니다.¹¹1이 사실은 늘 놀림거리가 됩니다. 장 7에서 보겠지만, 이는 공간이 비연결임을 뜻합니다. 즉 이러한 예는 모두 위에서 제시한 예와 상당히 비슷한 모습입니다.

6.5 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 6A (바나흐 고정점 정리).

$M=(M,d)$ 를 완비 거리 공간이라 합시다. $T\colon M\to M$ 이 연속 사상이며 임의의 $p,q\in M$ 에 대하여 다음을 만족한다고 가정합시다.

d\left(T(p),T(q)\right)\leq 0.999d(p,q).

(이러한 $T$ 를 축약 사상이라 부릅니다.) $T$ 가 유일한 고정점을 가짐을 보이십시오.

힌트. 핵심 과제는 고정점이 존재함을 보이는 것입니다. 어떤 점 $x_{0}$ 에서 시작하여 수열 $x_{1}=T(x_{0})$ , $x_{2}=T(x_{1})$ , $x_{3}=T(x_{2})$ , …등을 생각하십시오.

풀이. 고정점의 유일성은 $T(p)=p$ , $T(q)=q$ 이고 $p\neq q$ 라면 이를 주어진 조건에 대입하여 곧바로 모순을 얻는다는 점에서 따라 나옵니다. 따라서 핵심 과제는 고정점이 존재함을 보이는 것입니다.

임의의 점 $x_{0}$ 에서 시작합시다. $x_{1}=T(x_{0})$ , $x_{2}=T(x_{1})$ , $x_{3}=T(x_{2})$ , …등으로 둡시다. 우리는 $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots)$ 가 코시 수열이라고 주장합니다. 실제로 $r\coloneqq 0.999<1$ , $c\coloneqq d(x_{0},x_{1})$ 로 두면 다음이 성립합니다.

$\displaystyle d(x_{1},x_{2})$ $\displaystyle<r\cdot c$

$\displaystyle d(x_{2},x_{3})$ $\displaystyle<r^{2}\cdot c$

$\displaystyle d(x_{3},x_{4})$ $\displaystyle<r^{3}\cdot c$

$\displaystyle\mathmakebox[width("{}<{}")][c]{\vdots}$

따라서 충분히 큰 $M<N$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

$d(x_{M},x_{N})<\left(r^{M}+r^{M+1}+\dots+r^{N-1}\right)\cdot c<\frac{r^{M}}{1-% r}\cdot c$

이 값은 $M$ 이 충분히 커지면 0으로 수렴합니다.

따라서 $M$ 이 완비이므로 이 수열은 어떤 극한 $x$ 로 수렴해야 합니다. $T$ 가 연속이므로 다음을 얻습니다.

$T(x)=T\left(\lim_{n\to\infty}x_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}T(x_{n})=\lim_{n\to% \infty}x_{n+1}=x$

이로써 원하는 결과를 얻습니다.

문제 6B (Henning Makholm, math.SE에서).

$\mathbb{R}$ 에 다음 두 거리를 각각 부여하여 얻은 거리 공간을 $M$ 과 $N$ 으로 나타냅시다.

	$\displaystyle d_{M}(x,y)$	$\displaystyle=\min\left\{1,\left\lvert x-y\right\rvert\right\}$
	$\displaystyle d_{N}(x,y)$	$\displaystyle=\left\lvert e^{x}-e^{y}\right\rvert.$

(a)

다음 $2\times 3$ 표의 각 칸을 “예” 또는 “아니요”로 채우십시오.

완비입니까? 유계입니까? 완전유계입니까?

$M$

$N$
(b)

$M$ 과 $N$ 은 위상동형입니까?

힌트. (a): $M$ 은 완비이고 유계이지만 완전 유계는 아닙니다. $N$ 은 모두 아니요입니다. (b)의 경우 $M\cong\mathbb{R}\cong N$ 임을 보이십시오.

풀이. (a)는 본질적으로 정의에 따라 성립합니다. 공간 $M$ 은 어떤 거리도 $1$ 을 넘지 않으므로 유계이지만, 유한 개의 $\frac{1}{2}$ -근방으로 $M$ 을 덮을 수 없으므로 완전 유계는 아닙니다. 실수열이 통상적인 의미로 수렴하면 $M$ 에서도 수렴하므로 공간 $M$ 은 완비입니다. $N$ 의 경우, 수열 $-1$ , $-2$ , … 는 코시 수열이지만 수렴하지 않으며, 유계가 아님은 자명합니다.

(b)를 보이려면, 항등 사상(!) 이 연속이므로 위상동형사상 $M\cong\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{R}\cong N$ 이 된다는 점을 확인하면 됩니다.

이는 $M$ 은 완비이면서 유계이고 $N$ 은 완비도 유계도 아님에도 불구하고 $M\cong N$ 임을 보여 줍니다. 한편, 나중에 보겠지만 완비이고 완전 유계이면 콤팩트이며, 이는 위상동형사상에 의해 보존되는 매우 강한 성질입니다.

문제 6C (거리 공간의 완비화).

^†^†margin:

$M$ 을 거리 공간이라 합시다. $M$ 이 $\overline{M}$ 의 부분공간이고 $\overline{M}$ 의 공집합이 아닌 모든 열린집합이 $M$ 의 점을 포함하도록(즉 $M$ 이 $\overline{M}$ 에서 조밀하도록) 완비 거리 공간 $\overline{M}$ 을 구성하십시오.

힌트. 집합으로서 $\overline{M}$ 은 $M$ 의 코시 수열 $(x_{n})$ 들의 집합을, $\lim_{n}d(x_{n},y_{n})=0$ 일 때 $(x_{n})\sim(y_{n})$ 로 정의되는 관계로 나눈 것으로 둡니다.

문제 6D.

거리 공간이 완전 유계일 필요충분조건은 임의의 수열이 코시 부분수열을 가지는 것임을 보이십시오.

풀이. https://math.stackexchange.com/q/556150/229197을 참고하십시오.

문제 6E.