장 82 층과 환 달린 공간

앞서 다룬 아핀 대수다양체 $V$ 의 복잡성 대부분은 $\mathcal{O}_{V}$ 에서 비롯됩니다. 이것은 ”층”이라 불리는 유형의 대상입니다. 이 장의 목적은 이 층이 정확히 무엇이며, 무슨 역할을 하는지를 완전히 정의하는 것입니다.

82.1 동기와 주의사항

염두에 둘 전형적인 예시는 위상 공간 $X$ 위의 ”성질 $P$ 를 갖는 함수들”의 층입니다: 모든 열린집합 $U$ 에 대해, $\mathscr{F}(U)$ 는 $X$ 위의 함수들의 환을 우리에게 줍니다. 하지만 우리는 매우 추상적으로 작업할 것이며, $\mathscr{F}(U)$ 가 ”함수”로서의 해석 없이 단지 환이라고만 가정할 것입니다.

이 장 전체에 걸쳐, 저는 대수기하학 예시들뿐만 아니라 $X$ 가 위상 공간이고 $\mathscr{F}$ 가 미분가능/해석적/기타 함수들의 층인 경우도 사용할 것입니다. 층의 좋은 점 중 하나는 동일한 추상화가 잘 작동한다는 것이며, 따라서 대수적 예시와 해석적 예시 양쪽으로 직관을 훈련할 수 있습니다. 특히, 자리스키 위상에서는 실제로 그렇게 생기지 않았음에도 불구하고, 열린집합 $U$ 를 계속 타원 모양으로 그릴 수 있습니다.

이 추상화의 보상은 장 84에서 임의의 스킴을 정의할 수 있게 해준다는 것입니다. 대수다양체는 ”함수들의 환”으로 $\mathbb{C}[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}]/I$ 를 사용하는데, 완전히 일반적인 층을 사용함으로써 우리는 이를 임의의 가환환으로 대체합니다. 특히, $\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 를 선택할 수 있으며, 이는 우리가 줄곧 추구해 온 ”중복도” 거동을 제공할 것입니다.

82.2 준층

대표적인 예: 정칙(또는 정규, 연속, 미분가능, 상수, 무엇이든) 함수의 층.

$\mathcal{O}_{V}$ 의 올바른 일반화는 이른바 환의 층입니다. $\mathcal{O}_{V}$ 가 $V$ 의 열린집합을 환으로 보냈으며, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 가 ”함수의 환”이라는 해석을 가졌음을 상기하십시오.

절 78.5에서 $\mathcal{O}_{V}$ 가 집합으로서 단순히 대수적 함수들로 이루어져 있음을 상기하십시오. 하지만 $\mathcal{O}_{V}$ 를 순전히 집합으로만 본다면, 함수들의 구조는 본질적으로 버려지게 됩니다.

$\mathcal{O}_{V}$ 안의 함수들이 서로 어떻게 관련되어 있는지 살펴봅시다:

•

$\mathcal{O}_{V}$ 의 각 함수는 열린집합 $U\subseteq V$ 위에서 정의됩니다.
•

두 함수가 같은 열린집합 위에서 정의되어 있다면, 이들을 더하고 곱할 수 있습니다. 다시 말해, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 환입니다.
•

함수 $f\in\mathcal{O}_{V}(U)$ 가 주어지면, 이를 더 작은 열린 부분집합 $W\subseteq U$ 로 제한할 수 있습니다.

이것들이 우리가 전층에 부과할 연산들입니다.

82.2.1 통상적인 정의

그럼 여기 전층의 공식적인 정의가 있습니다. 우리는 환의 전층만을 정의할 것이지만, 집합의 전층, 아벨 군의 전층 등을 정의하는 것도 가능합니다.

정의 82.2.1.

위상 공간 $X$ 에 대해, $\operatorname{OpenSets}(X)$ 가 $X$ 의 열린집합들을 나타낸다고 합시다.

정의 82.2.2.

공간 $X$ 위의 환의 전층은 다음과 같은 함수입니다

\mathscr{F}\colon\operatorname{OpenSets}(X)\to\mathsf{Rings}

즉 각 열린집합에 환 $\mathscr{F}(U)$ 가 대응된다는 뜻입니다. $\mathscr{F}(U)$ 의 각 원소는 단면이라 불립니다.

또한 임의의 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 에 대해 제한 사상이 갖추어져 있는데, 이는 다음과 같은 사상입니다

\operatorname{res}_{U_{1},U_{2}}\colon\mathscr{F}(U_{2})\to\mathscr{F}(U_{1}).

이 사상은 두 공리를 만족합니다:

•

사상 $\operatorname{res}_{U,U}$ 는 항등사상이며, 그리고
•

다음과 같이 중첩된 부분집합들이 있을 때마다

$U_{\text{작은}}\subseteq U_{\text{중간}}\subseteq U_{\text{큰}}$

도식이

가환입니다.

정의 82.2.3.

$\mathscr{F}(X)$ 의 원소를 전역 절단(global section)이라고 부릅니다.

표기의 남용 82.2.4.

$s\in\mathscr{F}(U_{2})$ 가 어떤 절단이고 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 일 때, $\operatorname{res}_{U_{1},U_{2}}(s)$ 라고 쓰는 대신 $s{\restriction_{U_{1}}}$ 이라고 쓰겠습니다: ” $U_{1}$ 으로 제한된 $s$ ”. 이는 표기의 남용인데, 절단 $s$ 는 그저 어떤 환의 원소일 뿐이며, 가장 추상적인 경우에는 함수로서의 자연스러운 해석을 갖지 않을 수도 있기 때문입니다.

절단을 그려볼 수 있는 한 가지 방법이 있습니다. 우리가 흔히 다루는 모든 예시에서, 층은 열린집합 $U$ 에 대해 함수를 반환합니다. 그래서 우리는 공간 $X$ 와 열린집합 $U$ 를 그린 다음, 절단 $s$ 를 나타내기 위해 ” $U$ 위의 함수”를 그리고자 합니다. 조잡하게나마, 우리가 초등학교에서 함수를 그리도록 배운 방식대로, 곡선의 $x y$ -그래프를 그려서 $s$ 를 나타내겠습니다.

그러면 제한은, 말하자면, 절단의 일부만을 취하는 것에 해당합니다.

이 모든 것은 아직 꿈에 불과한데, 실제로 $s$ 는 어떤 환의 원소이기 때문입니다. 하지만 이 장이 끝날 무렵에는 우리의 꿈을 현실로 만들 수 있게 될 것입니다.

예제 82.2.5 (준층의 예시).

(a)

아핀 대수다양체 $V$ 에 대해, $\mathcal{O}_{V}$ 는 물론 층이며, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 $U$ 위의 정칙 함수들의 환입니다. 제한 사상은 단지 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 일 때 함수 $s\in\mathcal{O}_{V}(U_{2})$ 가 함수 $s{\restriction_{U_{1}}}\in\mathcal{O}_{V}(U_{1})$ 로도 생각될 수 있다는 것을 말할 뿐이며, 이 때문에 ”제한(restriction)”이라는 이름이 붙었습니다. 그러면 도식의 가환성이 뒤따릅니다.
(b)

$X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 을 열린집합이라 합시다. 그러면 $X$ 위의 매끄러운/미분가능한/등등의 함수로 이루어진 층이 존재합니다. 사실, 임의의 다양체 $M$ 에 대해서도 같은 구성을 할 수 있습니다.
(c)

마찬가지로, $X\subseteq\mathbb{C}$ 가 열린집합이면, $X$ 위의 정칙 함수로 이루어진 층을 구성할 수 있습니다.

이 모든 예시에서, 절단 $s\in\mathscr{F}(U)$ 는 실제로 공간 위의 함수이지만, 일반적으로는 반드시 그럴 필요는 없습니다.

실제로는, 제한 사상에 대해 생각하는 것이 도움이 되기보다 오히려 더 헷갈릴 수 있습니다. 다음과 같이 말하는 편이 낫습니다:

준층은 ”성질 $P$ 를 갖는 함수들의 환을 반환하는 것”으로 생각해야 합니다.

82.2.2 범주론적 정의

범주론을 정말 좋아하신다면, 우리는 동치이면서 더 짧은 두 번째 정의를 줄 수 있습니다. 저 자신도 범주를 사랑하는 사람이지만, 저는 이 정의가 덜 직관적이라고 생각합니다. 그러나 그 간결함은 첫 번째 정의를 기억하는 데 도움이 됩니다.

표기의 남용 82.2.6.

표기의 남용으로, $\operatorname{OpenSets}(X)$ 역시 포함관계에 의한 순서 범주로 생각될 것입니다. 따라서 $\varnothing$ 은 시작 대상이고 전체 공간 $X$ 는 끝 대상입니다.

정의 82.2.7.

$X$ 위의 환의 준층(pre-sheaf)은 반변 함자

\mathscr{F}\colon\operatorname{OpenSets}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Rings}.

연습문제 82.2.8.

이 정의들이 동치임을 확인하십시오.

특히, $\mathsf{Rings}$ 를 우리가 원하는 어떤 범주로든 대체하는 것이 가능합니다. 우리는 당분간 그렇게 할 필요는 없겠지만, 언급할 가치는 있습니다.

82.3 줄기와 싹

대표적인 예: 실매끄러운 함수의 싹은 도함수를 알려주지만, 정칙 함수의 싹은 함수 전체를 결정합니다.

앞서 언급했듯이, 이전 절의 유용한 그림들은 여전히 비유에 불과한데, ”값”이라는 개념이 없기 때문입니다. ”줄기”와 ”싹”이라는 단어를 추가함으로써, 우리는 실제로 이를 바꿀 수 있습니다.

정의 82.3.1.

$\mathscr{F}$ 를 (환의) 준층이라 합시다. 각 점 $p$ 에 대해, 우리는 줄기(stalk) $\mathscr{F}_{p}$ 를 다음 집합으로 정의합니다

\left\{(s,U)\mid s\in\mathscr{F}(U),p\in U\right\}

다음을 만족시키는 동치관계 $\sim$ 을 법으로 하여

(s_{1},U_{1})\sim(s_{2},U_{2})\quad\text{만약}\quad s_{1}{\restriction_{V}}=s_{2% }{\restriction_{V}}

$V\ni p$ 이고 $V\subseteq U_{1}\cap U_{2}$ 인 어떤 열린집합 $V$ 에 대해 그러합니다. 이 동치류 자체를 싹이라고 부릅니다.

정의 82.3.2.

점 $p$ 에서 주어진 $s\in\mathscr{F}(U)$ 의 싹은 $(s,U)\in\mathscr{F}_{p}$ 에 대한 동치류입니다. 이를 $[s]_{p}$ 로 표기합니다.

싹을 순서쌍으로 생각하는 것은 거의 쓸모가 없는데, 집합 $U$ 가 임의로 작아질 수 있기 때문입니다. 대신 싹을 $p$ 근처에 있는 어떤 단면의 ”조각”으로 생각해야 합니다. 올바른 사고방식을 위한 좋은 요약은 다음과 같을 것입니다:

싹은 ”풍부해진 값”이며, 줄기는 가능한 싹들의 집합입니다.

이것을 이전의 그림에 추가해 봅시다. 만약 우리가 단면을 계속 $x y$ -도표로 그리기를 고집한다면, 각 점 $p$ 위에서 좋은 비유는 $p$ 에서 뻗어 나가는 수직선일 것입니다. 그러면 싹은 ” $p$ 에서의 $s$ 의 풍부해진 값”이 될 것입니다. 우리는 이를 도표에서 그저 큰 점으로 그립니다. 주된 차이점은 싹이 문자 그대로 점 $p$ 자체만이 아니라 $p$ 주변의 작은 영역에서도 정보를 담고 있다는 의미에서 풍부해져 있다는 것입니다. 따라서 우리는 $p$ 에서 작은 점을 그리는 대신 $[s]_{p}$ 에 대해 큰 점을 그립니다.

계속하기 전에, 줄기가 그저 집합이 아니라 그 자체로 환이라는 점을 언급해도 좋을 것입니다: 우리는 분명히 풍부해진 값들을 더하거나 뺄 수 있습니다.

정의 82.3.3.

줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 는 그 자체로 환으로 간주될 수 있습니다: 예를 들어, 덧셈은 다음과 같이 이루어집니다

\left(s_{1},U_{1}\right)+\left(s_{2},U_{2}\right)=\left(s_{1}{\restriction_{U_% {1}\cap U_{2}}}+s_{2}{\restriction_{U_{1}\cap U_{2}}},U_{1}\cap U_{2}\right).

예제 82.3.4 (실수 매끄러운 함수의 싹).

$X=\mathbb{R}$ 이라 하고, $\mathscr{F}$ 를 $X$ 위의 매끄러운 함수들의 전층이라 합시다 (즉 $\mathscr{F}(U)$ 는 $U$ 위의 매끄러운 실숫값 함수들의 집합입니다).

전역 단면 $s\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (따라서 $s\in\mathscr{F}(X)$ )와 $0$ 에서의 그 싹을 생각해 봅시다.

(a)

당연히, 싹으로부터 $s(0)$ 을 읽어낼 수 있습니다.
(b)

또한 $s^{\prime}(0)$ 도 구할 수 있는데, 싹이 극한 $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}[s(h)-s(0)]$ 을 계산하기에 충분한 정보를 담고 있기 때문입니다.
(c)

마찬가지로 이계도함수 등도 계산할 수 있습니다.
(d)

그러나 싹으로부터 예를 들어 $s(3)$ 을 읽어낼 수는 없습니다. 예를 들어, 예제 29.4.4의 함수를 생각해 봅시다,

$s(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x-1}}&x>1\\ 0&x\leq 1.\end{cases}$

$s(3)=e^{-\frac{1}{2}}$ 이지만 $[\text{영함수}]_{0}=[s]_{0}$ 임에 유의하십시오. 따라서 싹은 영함수와 $s$ 를 구별할 수 없습니다.

예제 82.3.5 (정칙함수의 싹).

정칙함수는 이 점에서 놀랍습니다. $\mathbb{C}$ 위의 정칙 함수들의 층 $\mathscr{F}$ 를 생각해 봅시다.

전역 단면 $s\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 를 취합시다. $0$ 에서 $s$ 의 싹이 주어지면, $s(0)$ , $s^{\prime}(0)$ 등을 읽어낼 수 있습니다. 복소해석학의 기적은 영점에서 $s$ 의 도함수들을 아는 것만으로 $s$ 전체를 재구성하기에 충분하다는 것입니다: 이제 우리는 $s$ 의 테일러 급수를 계산할 수 있습니다. 따라서 정칙함수의 싹은 함수 전체를 결정합니다; 이는 실함수의 경우보다 ”더 많은 정보를 담고” 있습니다.

특히, 우리는 전층의 줄기를 구체적으로 기술할 수 있습니다:

\mathscr{F}_{p}=\left\{\sum_{k\geq 0}c_{k}(z-p)^{k}\text{$p$ 근방에서 수렴하는}\right\}.

예를 들어, 이는 $p$ 자체에 극이 없는 한 유리형 함수의 싹을 포함합니다.

그리고 물론, 우리의 대수기하학 예시가 있습니다. 이 예시는 나중에 많이 중요해질 것이므로 지금 신중하게 다루겠습니다.

표기의 남용 82.3.6.

$(\mathcal{O}_{X})_{p}$ 라고 쓰는 대신 $\mathcal{O}_{X,p}$ 라고 쓰겠습니다.

정리 82.3.7 ( $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 이 다양체이고 $p\in V$ 가 한 점이라고 합시다. 그러면

\mathcal{O}_{V,p}\cong\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in\mathbb{C}[V],\;g(p)\neq 0% \right\}.

증명.

$U\subseteq V$ 위의 정칙함수 $\varphi$ 는 $\mathbb{C}[V]$ 의 두 함수의 몫이 ”국소적으로” 되는 $U$ 위의 함수여야 합니다. 그러나 우리는 $p$ 근처의 줄기를 살펴보고 있으므로, 싹은 $p$ 에서의 표현 선택까지만 신경을 쓰며, 따라서 우리는 다음과 같이 써도 됩니다

\mathcal{O}_{V,p}=\left\{\left(\tfrac{f}{g},U\right)\mid U\ni p,\;f,g\in% \mathbb{C}[V],\;\text{$U$에서 $g\neq 0$}\right\}

같은 관계를 법으로 합니다.

이제 다음 사상이

\mathcal{O}_{V,p}\to\text{원하는 우변}\qquad\text{~{}에 의해}\qquad\left(\frac{f}{g},U% \right)\mapsto\frac{f}{g}

동형사상임을 주장합니다.

•

단사성: 우리는 복소 다항식을 다루고 있으므로, 유리함수는 $p$ 의 임의의 열린 근방에서의 거동에 의해 결정된다는 것을 알고 있습니다; 따라서 두 싹의 대표원 $(\frac{f_{1}}{g_{1}},U_{1})$ 과 $(\frac{f_{2}}{g_{2}},U_{2})$ 가 $U_{1}\cap U_{2}$ 에서 일치하는 것은 그것들이 실제로 같은 몫일 때, 그리고 그때만입니다.
•

전사성: $U=D(g)$ 로 두십시오. ∎

예제 82.3.8 (원점에서 여러분이 좋아하는 다양체들의 줄기).

(a)

$V=\mathbb{A}^{1}$ 이라고 합시다; 그러면 각 점 $p\in V$ 에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는

$\mathcal{O}_{V,p}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(p)\neq 0\right\}.$

원소의 예로는 $x^{2}+5$ , $p\neq 1$ 일 때 $\frac{1}{x-1}$ , $p\neq\pm 3$ 일 때 $\frac{x+7}{x^{2}-9}$ 등이 있습니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{2}$ 이라고 합시다; 그러면 원점에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.$

원소의 예로는 $x^{2}+y^{2}$ , $\frac{x^{3}}{xy+1}$ , $\frac{13x+37y}{x^{2}+8y+2}$ 가 있습니다.
(c)

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 라고 합시다; 그러면 원점에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid f,g\in\mathbb{C}[x,y]/(% y-x^{2}),\;g(0,0)\neq 0\right\}.$

예를 들어, $\frac{y}{1+x}=\frac{x^{2}}{1+x}$ 는 줄기 안에서 같은 원소를 나타냅니다. 사실, $y$ 를 모든 곳에서 $x^{2}$ 로 치환하여 대표원의 표준적인 선택을 줄 수도 있으므로, 다음과 같이 써도 마찬가지로 옳습니다

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid\;g(0)\neq 0\right\}$

이것은 첫 번째 예와 같습니다.

비고 82.3.9 (범주를 사랑하는 이들을 위한 여담).

여러분은 $\mathscr{F}_{p}$ 가 마치 ” $p\in U$ 인 모든 $\mathscr{F}(U)$ 가 함께 모인 것”처럼 보인다는 것을 눈치챘을 수도 있습니다. 그리고 실제로, $\mathscr{F}_{p}$ 는 $p\in U$ 인 모든 $\mathscr{F}(U)$ 로 이루어진 도식의 범주론적 쌍대극한입니다. 이것은 흔히 다음과 같이 씁니다

\mathscr{F}_{p}=\varinjlim_{U\ni p}\mathscr{F}(U)

따라서 쌍대극한을 갖는 임의의 범주에서 줄기를 정의할 수 있습니다. 다만 싹에 대해 이야기하려면 그 범주가 구체적이어야 합니다.

82.4 층

대표적인 예: 상수함수는 층이 아니지만, 국소적으로 상수인 함수는 층입니다.

우리는 국소적 거동을 연구하는 줄기에 매우 관심이 많으므로, 우리의 전층에 추가적인 국소적 조건을 부과할 것입니다. 이를 생각하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다:

층이란 $P$ 가 국소적 성질인 전층입니다.

형식적 정의는 예시만큼 이를 명확히 밝혀주지는 않지만, 안타깝게도 예시가 의미를 갖기 위해서는 먼저 정의를 제시해야 합니다.

정의 82.4.1.

위상 공간 $X$ 위의 층 $\mathscr{F}$ 란 다음 두 가지 추가 공리를 만족하는 전층입니다: $U$ 가 $X$ 의 열린집합이고, $U$ 가 열린집합 $U_{\alpha}\subseteq U$ 들로 덮여 있다고 합시다. 그러면:

1.

(동일성) $s,t\in\mathscr{F}(U)$ 가 단면이고, 모든 $\alpha$ 에 대해 $s{\restriction_{U_{\alpha}}}=t{\restriction_{U_{\alpha}}}$ 이면, $s=t$ 입니다.
2.

(접합) 각 $\alpha$ 에 대해 단면 $s_{\alpha}\in\mathscr{F}(U_{\alpha})$ 를 생각합시다. 다음이 성립한다고 합시다

$s_{\alpha}{\restriction_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}}=s_{\beta}{\restriction_{U_% {\alpha}\cap U_{\beta}}}$

각 $U_{\alpha}$ 와 $U_{\beta}$ 에 대해. 그러면 $s{\restriction_{U_{\alpha}}}=s_{\alpha}$ 를 만족하는 $s\in\mathscr{F}(U)$ 를 찾을 수 있습니다.

비고 82.4.2 (공집합을 챙기는 이들을 위하여).

위의 공리들은 $\mathscr{F}$ 가 환들의 층일 때 $\mathscr{F}(\varnothing)=0$ (영환)임을 함의합니다. 이는 실제로 필요해지기 전까지는 걱정할 가치가 없으므로, 방금 한 말은 잊어도 좋습니다.

이는 두 개의 열린집합만 있는 경우로 그림을 그려 보면 가장 잘 이해됩니다: 두 열린집합 $U$ 와 $V$ 를 생각해 봅시다. 그러면 층의 공리들은 $\mathscr{F}(U\cup V)$ , $\mathscr{F}(U\cap V)$ , $\mathscr{F}(U)$ , $\mathscr{F}(V)$ 에 관한 어떤 것을 말하고 있습니다.

그러면 함수들의 층에 대해, 그 공리들은 다음을 말하고 있습니다:

•

$s$ 와 $t$ 가 $U\cup V$ 위에서 (성질 $P$ 를 갖는) 함수이고 $s{\restriction_{U}}=t{\restriction_{U}}$ , $s{\restriction_{V}}=t{\restriction_{V}}$ 이면, 전체 합집합 위에서 $s=t$ 입니다. 이는 명백합니다.
•

$s_{1}$ 이 $U$ 위에서 성질 $P$ 를 갖는 함수이고 $s_{2}$ 가 $V$ 위에서 성질 $P$ 를 갖는 함수이며, 두 함수가 겹치는 부분에서 일치한다면, 이들을 붙여 전체 공간 위의 함수 $s$ 를 얻을 수 있습니다: 이는 당연하지만, 함정은 이렇게 짜맞춘 함수도 성질 $P$ 를 가져야 한다는 것입니다 (즉 $\mathscr{F}(U\cup V)$ 의 원소여야 합니다). 바로 이 때문에 $P$ 가 국소적인지가 중요합니다.

그러므로 이 둘을 다음과 같이 요약할 수 있습니다: 겹치는 부분에서 일치하는 $U$ 와 $V$ 위의 임의의 두 함수는 $U\cup V$ 위의 유일한 함수로 붙여집니다. 범주론을 좋아한다면, 이를 예제 69.2.1에서 넌지시 언급했음을 기억할지도 모릅니다.

연습문제 82.4.3 (범주론적 성향을 가진 이들을 위하여).

다음 도식이

당겨오기 사각형임을 보이십시오.

이제 예시들을 살펴봅시다.

예제 82.4.4 (층의 예시와 반례).

앞 절에서 계산한 줄기의 예시들은 모두 층의 예시였음에 주목하십시오. 더 자세한 내용은 다음과 같습니다:

(a)

임의의 / 연속인 / 미분 가능한 / 매끄러운 / 정칙 함수들의 전층은 여전히 층입니다. 이는 어떤 함수가 연속임을 확인하려면 작은 열린 근방들만 한 번에 살펴보면 되기 때문입니다.
(b)

$X=\mathbb{R}$ 이라 하고, 환들의 전층 $\mathscr{F}$ 를 다음과 같이 정의합시다:

$\mathscr{F}(U)=\{f\colon U\to\mathbb{R}\mid\text{$g{\restriction_{U}}=f$를 만족하는% 연속함수 $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 존재합니다}\}.$

그러면 $\mathscr{F}$ 는 층이 아닙니다. 실제로 $\mathscr{F}((-1,0))$ 에서의 $s_{1}(x)=0$ 과 $\mathscr{F}((0,1))$ 에서의 $s_{2}(x)=1$ 은 (공집합인) 겹치는 부분에서 일치하지만, 이들은 $\mathscr{F}((-1,0)\cup(0,1))$ 의 원소로 붙여질 수 없습니다.
(c)

복소 다양체 $V$ 에 대해, $\mathcal{O}_{V}$ 는 층인데, 이는 정확히 우리의 정의가 국소적으로 다항식들의 몫이었기 때문입니다.
(d)

공간 $X$ 위의 상수 실함수들의 전층은 일반적으로 층이 아닌데, 이는 붙임 공리를 만족하지 못하기 때문입니다. 즉, $U_{1}\cap U_{2}=\varnothing$ 인 $X$ 의 서로소인 열린집합들을 가정합시다. 그러면 $s_{1}$ 이 $U_{1}$ 위의 상수 함수 $1$ 이고 $s_{2}$ 가 $U_{2}$ 위의 상수 함수 $2$ 라면, 이들을 $U_{1}\cup U_{2}$ 위의 상수 함수로 붙일 수 없습니다.
(e)

반면, 국소 상수 함수들은 실제로 층을 만들어 냅니다. (함수가 국소 상수라는 것은 모든 점에 대해 어떤 열린 근방 위에서 상수라는 뜻입니다.)

사실 e의 층은 상수 함수 전층의 소위 층화라고 불리는 것인데, 이는 곧 정의하겠습니다.

82.5 층에서 단면은 싹의 수열”입니다”

대표적인 예: $U$ 위의 실함수는 각 $p\in U$ 에 대해 어떤 국소 조건을 만족하는 실수 $f(p)$ 의 수열입니다. 유사하게, 단면 $s\in\mathscr{F}(U)$ 는 어떤 국소 호환 조건을 만족하는 싹의 수열입니다.

층 공리를 부과하면, 우리의 비유적 그림은 실제로 거의 완전해집니다. 함수가 각 점에서 값의 선택이어야 했던 것처럼, 단면은 각 줄기에서 싹의 선택이 될 것입니다.

예제 82.5.1 (실함수 대 줄기(원소)).

$X$ 를 공간이라 하고 $\mathscr{F}$ 를 매끄러운 함수들의 층이라 합시다. 단면 $f\in\mathscr{F}(U)$ 를 취합시다.

•

함수로서 $f$ 는 국소적인 ”매끄러움” 조건을 따르는, 모든 점 $p$ 에서의 값 $f(p)\in\mathbb{R}$ 의 선택일 뿐입니다.
•

이제 $f$ 를 줄기(원소)들의 수열로 생각해 봅시다. 모든 점 $p$ 에서 줄기 $[f]_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ 는 위에서 설명한 값 $f(p)$ 를 우리에게 줍니다. 줄기는 이보다 훨씬 더 많은 데이터를 담고 있습니다: 예를 들어 줄기 $[f]_{p}$ 만으로도 $f^{\prime}(p)$ 를 계산할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 이 비유를 확장하여 $f$ 를 각 점 $p$ 에서 줄기 $[f]_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ 의 선택으로 생각합니다.

따라서 값 $f(p)$ 라는 개념을 싹 $[f]_{p}$ 로 대체할 수 있습니다. 이는 일반적인 층 $\mathscr{F}$ 에서 $s(p)$ 라는 개념은 정의되지 않지만 $[s]_{p}$ 라는 개념은 정의되기 때문에 유용합니다.

위 예시로부터 각 싹 $[s]_{p}$ 를 안다면 이것으로 전체 단면 $s$ 를 재구성할 수 있어야 함이 명백합니다. 층 공리로부터 이를 확인해봅시다:

연습문제 82.5.2 (단면은 줄기에 의해 결정된다).

$\mathscr{F}$ 를 층이라 합시다. 다음 자연스러운 사상을 생각합시다

\mathscr{F}(U)\to\prod_{p\in U}\mathscr{F}_{p}

위에서 설명한 것입니다. 이 사상이 단사임을 보이십시오. 즉, 모든 $p\in U$ 에서 $s$ 의 싹들이 단면 $s$ 를 결정함을 보이십시오. (“항등” 층 공리가 필요하지만, “접합”은 필요하지 않습니다.)

그러나 이 사상은 명백히 전사가 아닙니다! 그럼에도 우리는 상(image)을 서술할 수 있습니다: 싹들의 수열 $(g_{p})_{p\in U}$ 를 원하는데, 이때 모든 싹 $g_{p}$ 근처에서 싹 $g_{q}$ 가 $g_{p}$ 와 ”양립 가능”해야 합니다. 이를 정확히 서술하면 다음과 같습니다:

정의 82.5.3.

$\mathscr{F}$ 를 전층이라 하고 $U$ 를 열린집합이라 합시다. 싹들의 수열 $(g_{p})_{p\in U}$ (각 $p$ 에 대해 $g_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ )가 ”국소적으로 짜맞출” 수 있다면 양립 가능하다고 합니다:

임의의 $p\in U$ 에 대해, 열린 근방 $U_{p}\ni p$ 와 그 위의 단면 $s\in\mathscr{F}(U_{p})$ 가 존재하여 각 $q\in U_{p}$ 에 대해 $[s]_{q}=g_{q}$ 를 만족합니다.

직관적으로, 싹들은 각 개별 점 $q$ 근처에서 어떤 단면으로 ”짜맞춰져야” 합니다 (다만 $U$ 전체에 대한 단면일 필요는 없습니다).

이 정의가 우리가 원하는 것임을 독자가 직접 확인해보도록 남겨두겠습니다:

연습문제 82.5.4.

$U$ 위의 임의의 양립 가능한 싹들의 선택이 $U$ 의 한 단면으로 짜맞춰짐을 증명하십시오. (이때 ”접합” 층 공리가 필요하지만 ”동일성”은 필요하지 않습니다.)

앞의 두 연습문제를 종합하면 다음을 얻습니다:

정리 82.5.5 (”단면”은 그저 양립 가능한 싹이다).

$\mathscr{F}$ 를 층이라 합시다. 다음 사이에는 자연스러운 전단사가 존재합니다

•

$\mathscr{F}(U)$ 의 단면들, 그리고
•

$U$ 위의 양립 가능한 싹들의 수열들.

아래에서는 이를 그림으로 그려 보이는데, 줄기 하나만이 아니라 여러 개의 줄기를 그리고 그 위에 싹들을 그립니다. 서로 다른 점에서의 줄기들은 서로 관련이 있을 필요가 없으므로, 이를 나타내기 위해 줄기들의 높이를 서로 다르게 그렸습니다. 그리고 유의할 점은, 싹들이 충분히 커서 ”서로 가까운” 싹들끼리는 ”양립 가능”해야 한다는 것입니다.

이는 예를 들어 $U$ 위의 매끄러운 실숫값 함수가 국소 매끄러움 조건을 만족시키면서 각 점 $p\in U$ 에서 실수 $f(p)\in\mathbb{R}$ 를 선택하는 것과 정확히 유사합니다.

따라서 줄기라는 개념은 단면을 ”함수”로 보는 관점을 되찾을 수 있게 해줍니다. 그러므로 이론적인 목적에서는,

층 공리에 의하면, 단면은 양립 가능한 싹들의 수열입니다.

특히 이는 제한 사상을 다루기 쉽게 만들어 줍니다: 그저 싹들의 수열을 절단하면 됩니다!

82.6 층화(선택)

대표적인 예: 상수 함수의 준층은 국소적으로 상수인 함수의 층이 됩니다.

아이디어는, $\mathscr{F}$ 가 ”성질 $P$ 를 갖는 함수”의 준층이라면, ”국소적으로 $P$ 인 함수”의 층 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 를 대응시켜 이들을 층으로 만들고자 한다는 것입니다. 우리는 이미 이에 대한 두 가지 예를 보았습니다:

예제 82.6.1 (층화).

(a)

$X$ 가 위상 공간이고, $\mathscr{F}$ 가 $X$ 의 열린집합들 위의 상수 함수들의 준층이라면, $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 국소 상수 함수들의 층입니다.
(b)

$V$ 가 아핀 다양체이고, $\mathscr{F}$ 가 유리 함수들의 준층이라면, $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 정칙 함수들의 층입니다(이는 국소적으로 유리적입니다).

이 절차는 줄기와 싹에 기반합니다. 층의 경우 절편이 호환되는 싹들의 수열에 대응함을 보았습니다. 준층의 경우에도 여전히 줄기와 싹을 정의할 수 있지만, 그 성질은 덜 좋을 것입니다. 하지만 초기 준층 $\mathscr{F}$ 가 주어지면, 우리는 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 의 절편을 호환되는 $\mathscr{F}$ -싹들의 수열로 정의합니다.

정의 82.6.2.

준층 $\mathscr{F}$ 의 층화 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 다음과 같이 정의됩니다

\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)=\left\{\text{호환되는 $\mathscr{F}$-싹 $(g_{p})_{p\in U% }$의 수열}\right\}.

질문 82.6.3.

$\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 의 제한 사상을 서술하여 정의를 완성하십시오.

표기의 남용 82.6.4.

앞으로도 저는 보통 마찬가지로 대충 다룰 것입니다: 층 $\mathscr{F}$ 를 정의할 때, $\mathscr{F}(U)$ 가 무엇인지만 말할 것이며, 제한 사상 $\mathscr{F}(U_{2})\to\mathscr{F}(U_{1})$ 은 암묵적으로 두겠습니다.

이 구성은 절편 $(g_{p})_{p\in U}\in\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)$ 이 주어졌을 때 점 $p$ 에서의 싹이 $g_{p}$ 가 되도록 고안되었습니다:

보조정리 82.6.5 (층화에 의해 보존되는 줄기).

$\mathscr{F}$ 를 준층이라 하고 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 를 그 층화라 합시다. 그러면 임의의 점 $q$ 에 대해 다음과 같은 동형사상이 존재합니다

(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}\cong\mathscr{F}_{q}.

증명.

$(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}$ 의 싹은 $\left((g_{p})_{p\in U},U\right)$ 의 꼴이며, 여기서 $g_{p}=(s_{p},U_{p})$ 자체가 $\mathscr{F}_{p}$ 의 싹이고, $q\in U$ 입니다. 그러면 그 동형사상은 다음과 같이 주어집니다

\left((g_{p})_{p\in U},U\right)\mapsto g_{q}\in\mathscr{F}_{q}.

역사상은 각 $g=(s,U)\in\mathscr{F}_{q}$ 에 대해 다음과 같이 주어집니다

g\mapsto\left((g)_{p\in U},U\right)\in(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}

즉 싹들의 수열이 상수 수열입니다. ∎

앞으로 우리는 층을 경제적으로 구성하기 위해 층화를 사용할 것입니다. 그러나 실제로는 구성의 세부 사항이 중요하지 않은 경우가 많을 것입니다.

82.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 82A.

$\mathscr{F}$ 가 이미 층이라면, 모든 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathscr{F}(U)\cong\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)$ 임을 증명하십시오.

풀이. 줄기가 층화에 의해 보존되므로, 증명할 것이 사실상 없습니다: 양변 모두 $U$ 위의 호환되는 $\mathscr{F}$ -싹들의 수열에 대응합니다.

문제 82B.

$X$ 를 두 점 $\{p,q\}$ 를 갖는 공간이라 하고 $\mathscr{F}$ 를 그 위의 층이라 합시다. $\mathscr{F}_{p}=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 이고 $\mathscr{F}_{q}=\mathbb{Z}$ 라 가정합시다. $X$ 의 각 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathscr{F}(U)$ 를 서술하십시오. 여기서

(a)

$X$ 에는 이산 위상이 주어져 있습니다.
(b)

$X$ 에는 $\varnothing$ , $\{p\}$ , $\{p,q\}$ 만이 열린집합으로 주어져 있습니다.

문제 82C (초고층 층).

$Y$ 를 위상 공간이라 합시다. 점 $p\in Y$ 와 환 $R$ 을 고정합시다. 초고층 층은 다음과 같이 정의됩니다

\mathscr{F}(U)=\begin{cases}R&p\in U\\ 0&\text{그렇지 않으면}\end{cases}

제한 사상은 자명한 방식으로 주어집니다. $\mathscr{F}$ 의 모든 줄기를 계산하십시오.

(가능한 제안: 먼저 $Y$ 가 하우스도르프인 경우를 다루면, 직관이 올바른 답을 줄 것입니다. 그다음 $Y$ 의 모든 열린집합이 $p$ 를 포함하는 병적인 경우를 다루십시오. 그런 다음 일반적인 답을 구해보십시오.)

힌트. 줄기는 $\{p\}$ 의 폐포에 속한 점들에서는 $R$ 이고, 그 외의 곳에서는 $0$ 입니다.

문제 82D.

$X$ 위의 환의 층 $\mathscr{F}$ 가 있고 $s\in\mathscr{F}(X)$ 가 대역 절단면이라 하십시오. $s$ 의 지지집합(support)을 다음과 같이 정의합니다

Z=\left\{p\in X\mid[s]_{p}\neq 0\in\mathscr{F}_{p}\right\}.

$Z$ 가 $X$ 의 닫힌집합임을 보이십시오.

힌트. 여집합 $\{p\mid[s]_{p}=0\}$ 이 열린집합임을 보이십시오.