장 82 층과 환 달린 공간

앞에서 본 아핀 다양체 $V$ 의 복잡성은 대부분 $\mathcal{O}_{V}$ 에서 비롯됩니다. 이것은 “층”이라고 불리는 종류의 대상입니다. 이 장의 목적은 이 층이 무엇인지 완전히 정의하고, 이 층이 정확히 어떤 역할을 하는지 밝히는 것입니다.

82.1 동기와 주의 사항

염두에 두어야 할 전형적인 예는 위상 공간 $X$ 위의 “성질 $P$ 를 갖는 함수”들의 층입니다. 즉, 모든 열린집합 $U$ 에 대하여 $\mathscr{F}(U)$ 는 $X$ 위의 함수들의 환을 줍니다. 그러나 우리는 매우 추상적으로 다룰 것이며, “함수”라는 해석 없이 $\mathscr{F}(U)$ 가 환이라는 것만 가정하겠습니다.

이 장 전체에 걸쳐 저는 대수기하학의 예뿐만 아니라, $X$ 가 위상 공간이고 $\mathscr{F}$ 가 미분 가능/해석적/기타 함수들의 층인 예도 사용할 것입니다. 층의 좋은 점 가운데 하나는 같은 추상화가 어느 쪽에서든 잘 작동한다는 것이므로, 대수적인 예와 해석적인 예 모두로 직관을 기를 수 있습니다. 특히, 자리스키 위상에서는 열린집합이 그렇게 생기지 않았음에도 불구하고 우리는 열린집합 $U$ 를 계속 타원으로 그릴 수 있습니다.

이러한 추상화의 결실은 장 84에서 임의의 스킴을 정의할 수 있게 된다는 점입니다. 다양체는 $\mathbb{C}[x_{1},x_{2},\dots,x_{n}]/I$ 를 “함수들의 환”으로 사용하는데, 완전히 일반적인 층을 사용하면 이를 임의의 가환환으로 바꿀 수 있습니다. 특히, $\mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 를 선택할 수도 있으며, 이것이 우리가 줄곧 찾던 “중복도” 현상을 줍니다.

82.2 준층

대표적인 예: 정칙(또는 정규, 연속, 미분 가능, 상수 등 무엇이든) 함수들의 층.

우리의 $\mathcal{O}_{V}$ 를 적절히 일반화한 것이 이른바 환의 층입니다. $\mathcal{O}_{V}$ 는 $V$ 의 열린집합을 환으로 보냈으며, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 “함수들의 환”으로 해석되었다는 것을 상기하십시오.

절 78.5에서 $\mathcal{O}_{V}$ 가 집합으로서는 단순히 대수적 함수들로 이루어져 있었음을 상기하십시오. 그러나 $\mathcal{O}_{V}$ 를 순전히 집합으로만 보면 함수들의 구조는 사실상 버려지게 됩니다.

$\mathcal{O}_{V}$ 의 함수들이 서로 어떻게 관련되어 있는지 살펴봅시다.

•

$\mathcal{O}_{V}$ 의 각 함수는 열린집합 $U\subseteq V$ 위에서 정의됩니다.
•

두 함수가 같은 열린집합 위에서 정의되어 있다면, 이들을 더하고 곱할 수 있습니다. 다시 말해, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 환입니다.
•

함수 $f\in\mathcal{O}_{V}(U)$ 가 주어지면, 이를 더 작은 열린 부분집합 $W\subseteq U$ 로 제한할 수 있습니다.

이것들이 우리가 준층에 부과할 연산입니다.

82.2.1 통상적인 정의

그러면 준층의 공식적인 정의는 다음과 같습니다. 우리는 환의 준층만 정의하겠지만, 집합의 준층, 아벨 군의 준층 등도 정의할 수 있습니다.

정의 82.2.1.

위상 공간 $X$ 에 대하여 $\operatorname{OpenSets}(X)$ 가 $X$ 의 열린집합들을 나타낸다고 합시다.

정의 82.2.2.

공간 $X$ 위의 환의 준층은 다음과 같은 함수입니다

\mathscr{F}\colon\operatorname{OpenSets}(X)\to\mathsf{Rings}

이는 각 열린집합에 환 $\mathscr{F}(U)$ 가 대응된다는 뜻입니다. $\mathscr{F}(U)$ 의 각 원소를 단면이라고 부릅니다.

또한 임의의 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 에 대하여 제한 사상이 주어집니다. 이는 다음과 같은 사상입니다

\operatorname{res}_{U_{1},U_{2}}\colon\mathscr{F}(U_{2})\to\mathscr{F}(U_{1}).

이 사상은 두 가지 공리를 만족합니다.

•

사상 $\operatorname{res}_{U,U}$ 는 항등 사상이며,
•

다음과 같이 포함 관계에 있는 부분집합들이 있을 때마다

$U_{\text{작음}}\subseteq U_{\text{중간}}\subseteq U_{\text{큼}}$

도식이

가환합니다.

정의 82.2.3.

$\mathscr{F}(X)$ 의 원소를 대역적 단면이라고 합니다.

표기의 남용 82.2.4.

$s\in\mathscr{F}(U_{2})$ 가 어떤 단면이고 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 이면, $\operatorname{res}_{U_{1},U_{2}}(s)$ 라고 쓰는 대신 $s{\restriction_{U_{1}}}$ 이라고 쓰겠습니다. 이는 “ $U_{1}$ 로 제한된 $s$ ”라는 뜻입니다. 단면 $s$ 는 어떤 환의 원소일 뿐이고, 가장 추상적인 경우에는 함수로 자연스럽게 해석되지 않을 수도 있으므로 이것은 표기 남용입니다.

단면을 머릿속에 그리는 방법을 하나 소개합니다. 우리가 흔히 보는 예에서는 모두 층이 열린집합 $U$ 위의 함수들을 돌려줍니다. 그래서 공간 $X$ 와 열린집합 $U$ 를 그린 다음, 단면 $s$ 를 나타내기 위해 “ $U$ 위의 함수”를 그리려고 합니다. 대충이나마 곡선의 $x y$ -그래프를 그려서 $s$ 를 나타내겠습니다. 초등학교에서 함수를 그렇게 그리라고 배웠기 때문입니다.

그러면 제한은, 말하자면, 단면의 한 조각만 떼어 내는 것에 해당합니다.

실제로 $s$ 는 환의 원소이므로 이 모든 것은 아직 꿈에 불과합니다. 하지만 이 장이 끝날 때쯤에는 이 꿈을 현실로 만들 수 있을 것입니다.

예제 82.2.5 (준층의 예).

(a)

아핀 다양체 $V$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}$ 는 당연히 층이며, $\mathcal{O}_{V}(U)$ 는 $U$ 위의 정칙 함수들의 환입니다. 제한 사상은 단지 $U_{1}\subseteq U_{2}$ 이면 함수 $s\in\mathcal{O}_{V}(U_{2})$ 를 함수 $s{\restriction_{U_{1}}}\in\mathcal{O}_{V}(U_{1})$ 로도 생각할 수 있다는 것을 말하며, 그래서 “제한”이라는 이름이 붙었습니다. 그러면 도식의 가환성은 바로 따라 나옵니다.
(b)

$X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 을 열린집합이라고 합시다. 그러면 $X$ 위의 매끄러운/미분 가능한/기타 등등의 함수들의 층이 존재합니다. 사실 임의의 다양체 $M$ 에 대해서도 같은 구성을 할 수 있습니다.
(c)

마찬가지로 $X\subseteq\mathbb{C}$ 가 열린집합이면 $X$ 위의 정칙 함수들의 층을 구성할 수 있습니다.

이 모든 예에서 단면 $s\in\mathscr{F}(U)$ 는 실제로 공간 위의 함수이지만, 일반적으로는 반드시 그럴 필요는 없습니다.

실제로는 제한 사상을 생각하는 것이 도움이 되기보다 오히려 더 헷갈릴 수 있으므로, 다음과 같이 말하는 편이 낫습니다.

준층은 “성질 $P$ 를 갖는 함수들의 환을 돌려주는 것”으로 생각해야 합니다.

82.2.2 범주론적 정의

범주론을 정말 좋아한다면, 동치이면서 더 짧은 두 번째 정의를 제시할 수 있습니다. 저 자신도 범주를 사랑하는 사람이지만 이 정의는 덜 직관적이라고 생각합니다. 그래도 간결해서 첫 번째 정의를 기억하는 데 도움이 됩니다.

표기의 남용 82.2.6.

표기 남용으로, $\operatorname{OpenSets}(X)$ 를 포함 관계에 의한 부분순서집합 범주로도 생각하겠습니다. 따라서 $\varnothing$ 은 시작 대상이고 전체 공간 $X$ 는 끝 대상입니다.

정의 82.2.7.

$X$ 위의 환의 준층은 다음과 같은 반변 함자입니다.

\mathscr{F}\colon\operatorname{OpenSets}(X)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Rings}.

연습문제 82.2.8.

이 정의들이 동치임을 확인하십시오.

특히, $\mathsf{Rings}$ (환의 범주)를 우리가 원하는 어떤 범주로든 바꾸는 것이 가능합니다. 당분간은 그렇게 할 필요가 없겠지만, 언급해 둘 가치는 있습니다.

82.3 줄기와 싹

대표적인 예: 실수 매끄러운 함수의 싹은 도함수를 알려 주지만, 정칙 함수의 싹은 함수 전체를 결정합니다.

앞서 언급했듯이, 이전 절의 유용한 그림들은 “값”이라는 개념이 없으므로 여전히 비유에 불과합니다. “줄기”와 “싹”이라는 용어를 더하면 실제로 이를 바꿀 수 있습니다.

정의 82.3.1.

$\mathscr{F}$ 를 (환의) 준층이라고 합시다. 모든 점 $p$ 에 대하여 줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 를 다음 집합으로 정의합니다.

\left\{(s,U)\mid s\in\mathscr{F}(U),p\in U\right\}

다음을 만족하는 동치 관계 $\sim$ 으로 나눈 것입니다.

(s_{1},U_{1})\sim(s_{2},U_{2})\quad\text{만약}\quad s_{1}{\restriction_{V}}=s_{2% }{\restriction_{V}}

여기서 이 관계는 $V\ni p$ 이고 $V\subseteq U_{1}\cap U_{2}$ 인 어떤 열린집합 $V$ 에 대해 성립해야 합니다. 이 동치류 자체를 싹이라고 부릅니다.

정의 82.3.2.

주어진 $s\in\mathscr{F}(U)$ 의 점 $p$ 에서의 싹은 $(s,U)\in\mathscr{F}_{p}$ 의 동치류입니다. 이를 $[s]_{p}$ 로 표기합니다.

집합 $U$ 는 얼마든지 작아질 수 있으므로, 싹을 순서쌍으로 생각하는 것은 거의 도움이 되지 않습니다. 그 대신 싹을 $p$ 근처에 있는 어떤 단면의 “조각”으로 생각해야 합니다. 올바른 관점을 잘 요약하면 다음과 같을 것입니다.

싹은 “풍부해진 값”이며, 줄기는 가능한 싹들의 집합입니다.

이것을 앞서 그린 그림에 추가해 봅시다. 단면을 계속 $x y$ -그래프로 그리기로 한다면, 각 점 $p$ 위로는 $p$ 에서 뻗어 나가는 수직선이 좋은 비유가 될 것입니다. 그러면 싹은 “ $p$ 에서 $s$ 의 풍부해진 값”이 됩니다. 이것을 그래프에 큰 점으로 그리기만 하면 됩니다. 주된 차이점은, 싹이 말 그대로 점 $p$ 자체만이 아니라 $p$ 주변의 작은 영역에 대한 정보까지 담고 있다는 의미에서 풍부해졌다는 것입니다. 그래서 이에 맞게 $p$ 에 작은 점을 찍는 대신 $[s]_{p}$ 를 큰 점으로 그립니다.

계속하기 전에, 줄기가 단순한 집합이 아니라 그 자체로 환이라는 점도 짚어 두겠습니다. 풍부해진 값끼리도 당연히 더하거나 뺄 수 있습니다.

정의 82.3.3.

줄기 $\mathscr{F}_{p}$ 는 그 자체로 환으로 볼 수 있습니다. 예를 들어 덧셈은 다음과 같이 정의됩니다.

\left(s_{1},U_{1}\right)+\left(s_{2},U_{2}\right)=\left(s_{1}{\restriction_{U_% {1}\cap U_{2}}}+s_{2}{\restriction_{U_{1}\cap U_{2}}},U_{1}\cap U_{2}\right).

예제 82.3.4 (실수 매끄러운 함수의 싹).

$X=\mathbb{R}$ 라 하고, $\mathscr{F}$ 를 $X$ 위의 매끄러운 함수들의 준층이라 합시다(즉 $\mathscr{F}(U)$ 는 $U$ 위의 실숫값 매끄러운 함수들의 집합입니다).

대역적 단면 $s\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (따라서 $s\in\mathscr{F}(X)$ )와 $0$ 에서의 그 싹을 생각합시다.

(a)

당연히 싹으로부터 $s(0)$ 을 읽어 낼 수 있습니다.
(b)

싹에는 극한 $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}[s(h)-s(0)]$ 을 계산하기에 충분한 정보가 담겨 있으므로 $s^{\prime}(0)$ 도 구할 수 있습니다.
(c)

마찬가지로 이계도함수 등도 계산할 수 있습니다.
(d)

그러나 싹으로부터 이를테면 $s(3)$ 은 읽어 낼 수 없습니다. 예를 들어 예제 29.4.4의 함수를 생각해 봅시다.

$s(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x-1}}&x>1\\ 0&x\leq 1.\end{cases}$

$s(3)=e^{-\frac{1}{2}}$ 이지만 $[\text{영함수}]_{0}=[s]_{0}$ 임에 주목하십시오. 따라서 싹은 영함수와 $s$ 를 구별할 수 없습니다.

예제 82.3.5 (정칙 함수의 싹).

정칙 함수는 이 점에서 놀랍습니다. $\mathbb{C}$ 위의 정칙 함수들의 층 $\mathscr{F}$ 를 생각해 봅시다.

대역적 단면 $s\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 를 잡읍시다. $0$ 에서 $s$ 의 싹이 주어지면 $s(0)$ , $s^{\prime}(0)$ 등을 읽어 낼 수 있습니다. 복소해석의 기적은 $s$ 의 0에서의 도함수들을 아는 것만으로 $s$ 전체를 재구성하기에 충분하다는 것입니다. 이제 $s$ 의 테일러 급수를 계산할 수 있기 때문입니다. 따라서 정칙 함수의 싹은 함수 전체를 결정합니다. 즉, 정칙 함수의 싹은 실함수의 싹보다 “더 많은 정보를 담고” 있습니다.

특히 이 준층의 줄기를 구체적으로 기술할 수 있습니다.

\mathscr{F}_{p}=\left\{\sum_{k\geq 0}c_{k}(z-p)^{k}\text{$p$ 근방에서 수렴}\right\}.

예를 들어 여기에는 $p$ 자체에 극이 없는 한 유리형 함수의 싹도 포함됩니다.

그리고 물론 대수기하학의 예도 있습니다. 이 예는 나중에 매우 중요하므로 지금 꼼꼼히 다루겠습니다.

표기의 남용 82.3.6.

$(\mathcal{O}_{X})_{p}$ 라고 쓰는 대신 $\mathcal{O}_{X,p}$ 라고 쓰겠습니다.

정리 82.3.7 ( $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기).

$V\subseteq\mathbb{A}^{n}$ 를 대수다양체라 하고, $p\in V$ 를 한 점이라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

\mathcal{O}_{V,p}\cong\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in\mathbb{C}[V],\;g(p)\neq 0% \right\}.

증명.

$U\subseteq V$ 위의 정칙 함수 $\varphi$ 는 “국소적으로” $\mathbb{C}[V]$ 의 두 함수의 몫인 $U$ 위의 함수여야 합니다. 그런데 우리는 $p$ 근처의 줄기를 보고 있으므로, 싹은 $p$ 에서의 표현 선택까지만 신경 씁니다. 따라서 바로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mathcal{O}_{V,p}=\left\{\left(\tfrac{f}{g},U\right)\mid U\ni p,\;f,g\in% \mathbb{C}[V],\;\text{$U$ 위에서 $g\neq 0$}\right\}

같은 관계로 나눈 것입니다.

이제 다음 사상이

\mathcal{O}_{V,p}\to\text{원하는 우변}\qquad\text{에 의해}\qquad\left(\frac{f}{g},U% \right)\mapsto\frac{f}{g}

동형사상임을 주장합니다.

•

단사성: 우리는 복소 다항식을 다루고 있으므로, 유리함수는 $p$ 의 임의의 열린 근방에서의 거동으로 결정된다는 것을 압니다. 따라서 두 싹 대표원 $(\frac{f_{1}}{g_{1}},U_{1})$ 과 $(\frac{f_{2}}{g_{2}},U_{2})$ 가 $U_{1}\cap U_{2}$ 위에서 일치할 필요충분조건은 이 둘이 실제로 같은 몫이라는 것입니다.
•

전사성: $U=D(g)$ 로 잡으십시오. ∎

예제 82.3.8 (여러분이 좋아하는 다양체들의 원점에서의 줄기).

(a)

$V=\mathbb{A}^{1}$ 이라 합시다. 그러면 각 점 $p\in V$ 에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는 다음과 같습니다.

$\mathcal{O}_{V,p}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid g(p)\neq 0\right\}.$

원소의 예로는 $x^{2}+5$ , $p\neq 1$ 일 때 $\frac{1}{x-1}$ , $p\neq\pm 3$ 일 때 $\frac{x+7}{x^{2}-9}$ 등이 있습니다.
(b)

$V=\mathbb{A}^{2}$ 라 합시다. 그러면 원점에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는 다음과 같습니다.

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid g(0,0)\neq 0\right\}.$

원소의 예로는 $x^{2}+y^{2}$ , $\frac{x^{3}}{xy+1}$ , $\frac{13x+37y}{x^{2}+8y+2}$ 가 있습니다.
(c)

$V=\mathcal{V}(y-x^{2})\subseteq\mathbb{A}^{2}$ 라 합시다. 그러면 원점에서 $\mathcal{O}_{V}$ 의 줄기는 다음과 같습니다.

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\mid f,g\in\mathbb{C}[x,y]/(% y-x^{2}),\;g(0,0)\neq 0\right\}.$

예를 들어, $\frac{y}{1+x}=\frac{x^{2}}{1+x}$ 는 줄기에서 같은 원소를 나타냅니다. 사실 모든 곳에서 $y$ 를 $x^{2}$ 로 바꾸면 대표원을 표준적으로 고를 수 있으므로, 다음과 같이 쓰는 것도 옳습니다.

$\mathcal{O}_{V,(0,0)}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\mid\;g(0)\neq 0\right\}$

이는 첫 번째 예와 같습니다.

비고 82.3.9 (범주를 좋아하는 분들을 위한 여담).

$\mathscr{F}_{p}$ 가 “ $p\in U$ 인 모든 $\mathscr{F}(U)$ 가 한데 모인 것”처럼 보인다는 것을 눈치챘을지도 모릅니다. 실제로 $\mathscr{F}_{p}$ 는 $p\in U$ 인 모든 $\mathscr{F}(U)$ 로 이루어진 도식의 범주론적 쌍대극한입니다. 이는 흔히 다음과 같이 씁니다.

\mathscr{F}_{p}=\varinjlim_{U\ni p}\mathscr{F}(U)

따라서 쌍대극한을 갖는 임의의 범주에서 줄기를 정의할 수 있습니다. 다만 싹에 대해 이야기하려면 그 범주가 구체적 범주여야 합니다.

82.4 층

대표적인 예: 상수 함수는 층이 아니지만, 국소 상수 함수는 층입니다.

우리는 국소적 거동을 연구하는 줄기에 큰 관심을 두므로, 준층에 추가적인 국소 조건을 부과하겠습니다. 이를 생각하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

층은 $P$ 가 국소적 성질인 준층입니다.

형식적인 정의는 예시만큼 이를 잘 드러내지 못하지만, 안타깝게도 예시를 이해하려면 정의를 먼저 제시해야 합니다.

정의 82.4.1.

위상 공간 $X$ 위의 층 $\mathscr{F}$ 는 두 가지 추가 공리를 만족하는 준층입니다. $U$ 가 $X$ 의 열린집합이고, $U$ 가 열린집합들 $U_{\alpha}\subseteq U$ 로 덮인다고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

1.

(항등) $s,t\in\mathscr{F}(U)$ 가 단면이고 모든 $\alpha$ 에 대해 $s{\restriction_{U_{\alpha}}}=t{\restriction_{U_{\alpha}}}$ 이면, $s=t$ 입니다.
2.

(붙이기) 각 $\alpha$ 에 대해 단면 $s_{\alpha}\in\mathscr{F}(U_{\alpha})$ 를 생각합시다. 다음이

$s_{\alpha}{\restriction_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}}=s_{\beta}{\restriction_{U_% {\alpha}\cap U_{\beta}}}$

각 $U_{\alpha}$ 와 $U_{\beta}$ 에 대해 성립한다고 합시다. 그러면 $s{\restriction_{U_{\alpha}}}=s_{\alpha}$ 를 만족하는 $s\in\mathscr{F}(U)$ 를 찾을 수 있습니다.

비고 82.4.2 (공집합을 신경 쓰는 분들을 위해).

$\mathscr{F}$ 가 환의 층일 때, 위의 공리들로부터 $\mathscr{F}(\varnothing)=0$ (영환)이 따라 나옵니다. 실제로 필요해지기 전까지는 신경 쓸 필요가 없으므로, 제가 한 말은 잊으셔도 됩니다.

이는 열린집합이 단 두 개인 경우를 그림으로 보면 가장 잘 이해됩니다. 두 열린집합 $U$ 와 $V$ 를 생각해 봅시다. 그러면 층 공리는 $\mathscr{F}(U\cup V)$ , $\mathscr{F}(U\cap V)$ , $\mathscr{F}(U)$ , $\mathscr{F}(V)$ 에 관한 무언가를 말하고 있습니다.

그러면 함수의 층에 대해 공리들이 말하는 바는 다음과 같습니다.

•

$s$ 와 $t$ 가 $U\cup V$ 위의 (성질 $P$ 를 갖는) 함수이고 $s{\restriction_{U}}=t{\restriction_{U}}$ , $s{\restriction_{V}}=t{\restriction_{V}}$ 이면, 합집합 전체에서 $s=t$ 입니다. 이는 자명합니다.
•

$s_{1}$ 이 $U$ 위에서 성질 $P$ 를 갖는 함수이고 $s_{2}$ 가 $V$ 위에서 성질 $P$ 를 갖는 함수이며 두 함수가 겹치는 부분에서 일치하면, 이들을 붙여서 공간 전체 위의 함수 $s$ 를 얻을 수 있습니다. 이는 당연하지만, 문제는 이렇게 모아 붙인 함수 역시 성질 $P$ 를 가져야 한다는 점입니다(즉, $\mathscr{F}(U\cup V)$ 의 원소여야 합니다). 바로 이 때문에 $P$ 가 국소적이라는 점이 중요합니다.

따라서 이 두 가지를 다음과 같이 요약할 수 있습니다. 겹치는 부분에서 일치하는 $U$ 와 $V$ 위의 임의의 두 함수는 붙여서 $U\cup V$ 위의 유일한 함수가 됩니다. 범주론을 좋아하신다면, 우리가 예제 69.2.1에서 이를 넌지시 언급했던 것을 기억하실 것입니다.

연습문제 82.4.3 (범주론적 성향이 있는 분들을 위해).

다음 도식이

당겨오기 사각형임을 보이십시오.

이제 예시를 살펴봅시다.

예제 82.4.4 (층의 예와 반례).

앞 절에서 계산한 줄기의 예는 모두 층의 줄기였다는 점에 유의하십시오. 더 자세한 내용은 다음과 같습니다.

(a)

임의의 / 연속 / 미분 가능 / 매끄러운 / 정칙 함수의 준층은 여전히 층입니다. 함수가 연속임을 확인하려면 한 번에 작은 열린 근방만 살펴보면 되기 때문입니다.
(b)

$X=\mathbb{R}$ 로 두고, 환의 준층 $\mathscr{F}$ 를 다음과 같이 정의합시다.

$\mathscr{F}(U)=\{f\colon U\to\mathbb{R}\mid\text{$g{\restriction_{U}}=f$를 만족하는% 연속함수 $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 존재합니다}\}.$

그러면 $\mathscr{F}$ 는 층이 아닙니다. 실제로 $\mathscr{F}((-1,0))$ 의 $s_{1}(x)=0$ 과 $\mathscr{F}((0,1))$ 의 $s_{2}(x)=1$ 은 (공집합인) 겹치는 부분에서 일치하지만, 이들을 붙여서 $\mathscr{F}((-1,0)\cup(0,1))$ 의 원소를 만들 수는 없습니다.
(c)

복소 대수다양체 $V$ 에 대해 $\mathcal{O}_{V}$ 는 층인데, 이는 바로 우리의 정의가 국소적으로 다항식의 몫이었기 때문입니다.
(d)

공간 $X$ 위의 상수 실함수의 준층은 붙이기 공리를 만족하지 않으므로 일반적으로 층이 아닙니다. 즉, $U_{1}\cap U_{2}=\varnothing$ 인 $X$ 의 서로소인 열린집합들을 생각해 봅시다. 그러면 $s_{1}$ 이 $U_{1}$ 위의 상수 함수 $1$ 이고 $s_{2}$ 가 $U_{2}$ 위의 상수 함수 $2$ 일 때, 이들을 붙여서 $U_{1}\cup U_{2}$ 위의 상수 함수를 만들 수 없습니다.
(e)

반면에 국소 상수 함수들은 실제로 층을 이룹니다. (함수가 국소 상수라는 것은 모든 점에 대해 어떤 열린 근방에서 상수라는 뜻입니다.)

사실 e의 층은 상수 함수 준층의 층화라고 불리는 것이며, 이는 곧 정의하겠습니다.

82.5 층에서 단면은 싹들의 열“입니다”

대표적인 예: $U$ 위의 실함수는 어떤 국소적 조건을 만족하는, 각 $p\in U$ 에 대한 실수들의 열 $f(p)$ 입니다. 마찬가지로 단면 $s\in\mathscr{F}(U)$ 는 어떤 국소적 호환 조건을 만족하는 싹들의 열입니다.

층 공리를 부과하고 나면, 우리의 비유적인 그림은 실제로 거의 완성됩니다. 함수가 각 점에서 값을 하나씩 고르는 것이었던 것처럼, 단면은 각 줄기에서 싹을 하나씩 고르는 것이 됩니다.

예제 82.5.1 (실함수 대 싹).

$X$ 를 공간이라 하고 $\mathscr{F}$ 를 매끄러운 함수의 층이라 합시다. 단면 $f\in\mathscr{F}(U)$ 를 하나 잡습니다.

•

함수로서 $f$ 는 단지 국소적인 “매끄러움” 조건 하에서 모든 점 $p$ 마다 값 $f(p)\in\mathbb{R}$ 을 고른 것일 뿐입니다.
•

이제 $f$ 를 싹들의 열로 생각해 봅시다. 모든 점 $p$ 에서 싹 $[f]_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ 는 앞서 설명한 대로 값 $f(p)$ 를 알려 줍니다. 싹은 이보다 훨씬 더 많은 정보를 담고 있습니다. 예를 들어 싹 $[f]_{p}$ 만으로도 $f^{\prime}(p)$ 를 계산할 수 있습니다. 그럼에도 우리는 비유를 확장하여 $f$ 를 각 점 $p$ 에서 싹 $[f]_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ 를 고른 것으로 생각합니다.

따라서 값 $f(p)$ 라는 개념을 싹 $[f]_{p}$ 로 대체할 수 있습니다. 이것이 유용한 이유는 일반적인 층 $\mathscr{F}$ 에서는 $s(p)$ 라는 개념이 정의되지 않지만 $[s]_{p}$ 라는 개념은 정의되기 때문입니다.

위의 예로부터 각 싹 $[s]_{p}$ 를 모두 알면 이를 통해 단면 $s$ 전체를 재구성할 수 있어야 한다는 것은 자명합니다. 이를 층 공리로부터 확인해 봅시다.

연습문제 82.5.2 (줄기에 의한 단면의 결정).

$\mathscr{F}$ 를 층이라고 합시다. 위에서 설명한 자연스러운 사상

\mathscr{F}(U)\to\prod_{p\in U}\mathscr{F}_{p}

을 생각하십시오. 이 사상이 단사임을, 즉 모든 점 $p\in U$ 에서의 $s$ 의 싹들이 단면 $s$ 를 결정함을 보이십시오. (“항등” 층 공리는 필요하지만 “붙이기”는 필요하지 않습니다.)

그러나 이 사상은 분명히 전사가 아닙니다! 그럼에도 그 상은 기술할 수 있습니다. 우리가 원하는 것은 모든 싹 $g_{p}$ 근처에서 싹 $g_{q}$ 들이 $g_{p}$ 와 “호환되는” 싹들의 열 $(g_{p})_{p\in U}$ 입니다. 이를 엄밀하게 표현하면 다음과 같습니다.

정의 82.5.3.

$\mathscr{F}$ 를 준층이라 하고 $U$ 를 열린집합이라 합시다. 싹들의 열 $(g_{p})_{p\in U}$ (각 $p$ 에 대해 $g_{p}\in\mathscr{F}_{p}$ )가 “국소적으로 짜맞춰질” 수 있을 때, 이를 호환된다고 합니다.

임의의 $p\in U$ 에 대해 열린 근방 $U_{p}\ni p$ 와 그 위의 단면 $s\in\mathscr{F}(U_{p})$ 가 존재하여, 각 $q\in U_{p}$ 에 대해 $[s]_{q}=g_{q}$ 가 성립합니다.

직관적으로, 싹들은 각 개별 점 $q$ 근처에서 어떤 단면으로 “함께 짜맞춰져야” 합니다(하지만 반드시 $U$ 전체 위의 단면으로 짜맞춰질 필요는 없습니다).

이 정의가 우리가 원하는 것임을 확인하는 일은 독자에게 맡기겠습니다.

연습문제 82.5.4.

$U$ 위의 호환되는 싹들을 어떻게 택하든 $U$ 의 단면으로 함께 짜맞춰짐을 증명하십시오. (“붙이기” 층 공리는 필요하지만 “항등”은 필요하지 않습니다.)

앞의 두 연습문제를 종합하면 다음을 얻습니다.

정리 82.5.5 (단면은 호환되는 싹들“일 뿐”).

$\mathscr{F}$ 를 층이라고 합시다. 다음 둘 사이에는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

•

$\mathscr{F}(U)$ 의 단면들, 그리고
•

$U$ 위의 호환되는 싹들의 열.

아래 그림에서는 줄기를 하나만 그리는 대신 여러 개를 그리고, 그 위에 싹들을 그려서 이를 나타냈습니다. 서로 다른 점에서의 줄기들은 서로 관련될 필요가 없으므로, 이를 나타내기 위해 줄기들의 높이를 다르게 그렸습니다. 그리고 주의할 점은, 싹들이 충분히 커서 “서로 가까운” 싹들은 “호환되어야” 한다는 것입니다.

이는 예를 들어 $U$ 위의 매끄러운 실숫값 함수가 국소적 매끄러움 조건을 만족하도록 각 점 $p\in U$ 에서 실수 $f(p)\in\mathbb{R}$ 를 택한 것이라는 점과 정확히 유사합니다.

따라서 줄기라는 개념 덕분에 단면이 “함수”라는 관점을 되찾을 수 있습니다. 그러므로 이론적인 목적으로는,

층 공리가 주어지면, 단면은 호환되는 싹들의 열입니다.

특히 이렇게 하면 제한 사상을 다루기가 쉬워집니다. 싹들의 열을 잘라내기만 하면 됩니다!

82.6 층화 (선택 사항)

대표적인 예: 상수 함수들의 준층은 국소 상수 함수들의 층이 됩니다.

아이디어는 $\mathscr{F}$ 가 “성질 $P$ 를 갖는 함수”들의 준층이라면, 여기에 “국소적으로 $P$ 인 함수”들의 층 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 를 대응시켜 이들을 층으로 만들고자 한다는 것입니다. 우리는 이미 이러한 예를 두 가지 보았습니다.

예제 82.6.1 (층화).

(a)

$X$ 가 위상 공간이고 $\mathscr{F}$ 가 $X$ 의 열린집합 위의 상수 함수들의 준층이면, $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 국소 상수 함수들의 층입니다.
(b)

$V$ 가 아핀 다양체이고 $\mathscr{F}$ 가 유리함수들의 준층이면, $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 (국소적으로 유리인) 정칙 함수들의 층입니다.

이 절차는 줄기와 싹에 기반합니다. 층의 경우 단면이 서로 호환되는 싹들의 수열에 대응한다는 것을 보았습니다. 준층에 대해서도 줄기와 싹을 정의할 수는 있지만, 그 성질은 덜 좋습니다. 그러나 처음에 주어진 준층 $\mathscr{F}$ 에 대해, 우리는 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 의 단면을 서로 호환되는 $\mathscr{F}$ -싹들의 수열로 정의합니다.

정의 82.6.2.

준층 $\mathscr{F}$ 의 층화 $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)=\left\{\text{호환되는 $\mathscr{F}$-싹들의 열 $(g_{p})_{p% \in U}$}\right\}.

질문 82.6.3.

$\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 의 제한 사상을 기술하여 정의를 완성하십시오.

표기의 남용 82.6.4.

앞으로도 대개 이처럼 엄밀하지 않게 서술하겠습니다. 즉, 층 $\mathscr{F}$ 를 정의할 때 $\mathscr{F}(U)$ 가 무엇인지만 말하고, 제한 사상 $\mathscr{F}(U_{2})\to\mathscr{F}(U_{1})$ 은 암묵적으로 두겠습니다.

이 구성은 단면 $(g_{p})_{p\in U}\in\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)$ 가 주어졌을 때 점 $p$ 에서의 싹이 $g_{p}$ 가 되도록 의도적으로 고안된 것입니다:

보조정리 82.6.5 (층화는 줄기를 보존한다).

$\mathscr{F}$ 를 준층, $\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}$ 를 그 층화라고 합시다. 그러면 임의의 점 $q$ 에 대해 다음 동형사상이 존재합니다.

(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}\cong\mathscr{F}_{q}.

증명.

$(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}$ 의 싹은 $\left((g_{p})_{p\in U},U\right)$ 의 꼴입니다. 여기서 $g_{p}=(s_{p},U_{p})$ 는 그 자체로 $\mathscr{F}_{p}$ 의 싹이며, $q\in U$ 입니다. 그러면 동형사상은 다음과 같이 주어집니다.

\left((g_{p})_{p\in U},U\right)\mapsto g_{q}\in\mathscr{F}_{q}.

역사상은 각 $g=(s,U)\in\mathscr{F}_{q}$ 에 대해 다음과 같이 주어집니다.

g\mapsto\left((g)_{p\in U},U\right)\in(\mathscr{F}^{\mathrm{sh}})_{q}

즉, 싹들의 수열은 상수 수열입니다. ∎

앞으로 층을 간편하게 구성하기 위해 층화를 사용할 것입니다. 그러나 실제로는 구성의 세부 사항이 중요하지 않은 경우가 많습니다.

82.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 82A.

$\mathscr{F}$ 가 이미 층이면 모든 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathscr{F}(U)\cong\mathscr{F}^{\mathrm{sh}}(U)$ 임을 증명하십시오.

풀이. 층화는 줄기를 보존하므로 본질적으로 증명할 것이 없습니다. 양쪽 모두 $U$ 위에서 서로 호환되는 $\mathscr{F}$ -싹들의 수열에 대응하기 때문입니다.

문제 82B.

$X$ 를 두 점 $\{p,q\}$ 로 이루어진 공간이라 하고, $\mathscr{F}$ 를 그 위의 층이라고 합시다. $\mathscr{F}_{p}=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 이고 $\mathscr{F}_{q}=\mathbb{Z}$ 라고 가정합시다. 다음 각 경우에 $X$ 의 각 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathscr{F}(U)$ 를 기술하십시오.

(a)

$X$ 에 이산 위상이 주어져 있습니다.
(b)

$X$ 에 $\varnothing$ , $\{p\}$ , $\{p,q\}$ 만이 열린집합으로 주어져 있습니다.

문제 82C (마천루 층).

$Y$ 를 위상 공간이라고 합시다. 점 $p\in Y$ 와 환 $R$ 을 고정합니다. 마천루 층은 다음과 같이 정의됩니다.

\mathscr{F}(U)=\begin{cases}R&p\in U\\ 0&\text{그렇지 않으면}\end{cases}

제한 사상은 자명한 방식으로 주어집니다. $\mathscr{F}$ 의 모든 줄기를 계산하십시오.

(제안: 먼저 $Y$ 가 하우스도르프인 경우를 다루십시오. 이 경우에는 직관이 올바른 답을 줄 것입니다. 다음으로 $Y$ 의 모든 열린집합이 $p$ 를 포함하는 병적인 경우를 다루십시오. 그런 다음 일반적인 답을 구해 보십시오.)

힌트. 줄기는 $\{p\}$ 의 폐포에 속하는 점에서는 $R$ 이고, 그 밖의 점에서는 $0$ 입니다.

문제 82D.

$\mathscr{F}$ 를 공간 $X$ 위의 환의 층이라 하고, $s\in\mathscr{F}(X)$ 를 대역적 단면이라 합시다. $s$ 의 받침을 다음과 같이 정의합니다.

Z=\left\{p\in X\mid[s]_{p}\neq 0\in\mathscr{F}_{p}\right\}.

$Z$ 가 $X$ 의 닫힌집합임을 보이십시오.

힌트. 여집합 $\{p\mid[s]_{p}=0\}$ 이 열린집합임을 보이십시오.