장 79 사영 다양체

$\mathbb{A}^{n}$ 에서 아핀 다양체를 공부했으니, 이제 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 고려합니다. $\mathbb{A}^{n}$ 의 경우와 마찬가지로 이것도 초보적인 환 공간으로 만들겠습니다.

79.1 등급환

대표적인 예: $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 은 등급환입니다.

먼저 등급환이 무엇인지 정의하는 데 시간을 들여, 이 용어를 지금과 나중에 사용할 수 있도록 하겠습니다.

이 정의는 정의 76.3.2와 동일합니다.

정의 79.1.1.

등급환 $R$ 은 다음과 같은 추가적인 구조를 갖는 환입니다: 아벨 군으로서 다음과 같이 분해됩니다

R=\bigoplus_{d\geq 0}R^{d}

여기서 $R^{0}$ , $R^{1}$ , …,는 아벨 군입니다. 환의 곱셈은 $r\in R^{d}$ 이고 $s\in R^{e}$ 이면 $rs\in R^{d+e}$ 가 되는 성질을 가집니다. $R^{d}$ 의 원소를 동차 원소라고 부르며, “ $r\in R^{d}$ ”를 뜻하기 위해 “ $d=\deg r$ ”라고 씁니다.

0이 아닌 차수의 동차 원소들로 생성되는 아이디얼 $R\setminus R^{0}$ 을 $R^{+}$ 로 표기하고, 이를 비관계 아이디얼이라고 부릅니다.

비고 79.1.2.

전문가를 위해: 우리가 다루는 모든 등급환은 $1$ 을 갖는 가환환입니다.

예제 79.1.3 (등급환의 예).

(a)

환 $\mathbb{C}[x]$ 는 차수에 의해 등급화됩니다: 아벨 군으로서 $\mathbb{C}[x]\cong\mathbb{C}\oplus x\mathbb{C}\oplus x^{2}\mathbb{C}\oplus\dots$ 입니다.
(b)

더 일반적으로, 다항식환 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 은 차수에 의해 등급화됩니다.

표기의 남용 79.1.4.

$r=0$ 인 경우 $\deg r$ 이라는 표기는 남용적입니다; 모든 $d$ 에 대해 $0\in R^{d}$ 임에 유의하십시오. 따라서 $r=0$ 인 경우를 제외하면 $r$ 의 “유일한” 차수에 대해 말하는 것이 타당합니다.

동차 아이디얼을 자주 언급하게 될 것입니다:

정의 79.1.5.

아이디얼 $I\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 이 $I=(f_{1},\dots,f_{m})$ 로 쓸 수 있고 각 $f_{i}$ 가 동차 다항식이면 동차라고 합니다.

비고 79.1.6.

$I$ 와 $J$ 가 동차이면, $I+J$ , $I J$ , $I\cap J$ , $\sqrt{I}$ 도 동차입니다.

보조정리 79.1.7 (등급 몫도 등급화됩니다).

$I$ 를 등급환 $R$ 의 동차 아이디얼이라고 합시다. 그러면

R/I=\bigoplus_{d\geq 0}R^{d}/(R^{d}\cap I)

$R/I$ 를 등급환으로 실현합니다.

이러한 주장들은 단순히 대수학이므로, 여기서는 증명을 생략합니다.

비고 79.1.8.

다른 몇몇 책에서는 동차 아이디얼(또는 등급 아이디얼)을 아벨 군으로서 $I=\bigoplus_{d\geq 0}(R^{d}\cap I)$ 를 만족하는 아이디얼 $I$ 로 동등하게 정의하기도 합니다. 실제로, 등급 아이디얼은 정확히 몫이 자연스럽게 등급화되는 아이디얼임을 확인할 수 있습니다.

예제 79.1.9 (등급 몫환의 예).

$R=\mathbb{C}[x,y]$ 이고 $I=(x^{3},y^{2})$ 로 설정합시다. $S=R/I$ 라고 합시다. 그러면

	$\displaystyle S^{0}$	$\displaystyle=\mathbb{C}$
	$\displaystyle S^{1}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x\oplus\mathbb{C}y$
	$\displaystyle S^{2}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x^{2}\oplus\mathbb{C}xy$
	$\displaystyle S^{3}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x^{2}y$
	$\displaystyle S^{d}$	$\displaystyle=0\qquad\forall d\geq 4.$

그래서 실제로 $S=R/I$ 는 등급화되며, 6차원 $\mathbb{C}$ -벡터 공간입니다.

79.2 주변 공간

대표적인 예: 아마도 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(x^{2}+y^{2}-z^{2})$ 일 것입니다.

이번에 우리가 다루기로 선택한 점들의 집합은 $\mathbb{CP}^{n}$ 이며, 이는 우리에게 $n$ -순서쌍의 집합으로 생각될 수 있습니다

\left(x_{0}:x_{1}:\dots:x_{n}\right)

모두 0은 아니며, 스케일링에 대해 동일시합니다. 동등하게, 이는 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합입니다. 사영 공간은 절 64.6에서 완전히 정의되어 있으므로, 사영 공간에 익숙하지 않다면 그곳을 참조하십시오.

이를 생각하는 올바른 방법은 “무한대에서의 점들을 더한 $\mathbb{A}^{n}$ ”입니다:

정의 79.2.1.

다음과 같은 집합을 정의합니다

U_{i}=\left\{(x_{0}:\dots:x_{n})\mid x_{i}\neq 0\right\}\subseteq\mathbb{CP}^{% n}.

이들은 표준 아핀 차트라고 불립니다.

이 이름은 다음에서 유래합니다:

연습문제 79.2.2 (필수).

$U_{i}$ 에서 $\mathbb{A}^{n}$ 으로의 자연스러운 전단사를 제시하십시오. 이로써 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 아핀 집합 $U_{i}$ 에 “무한대에서의 점들”을 더한 것으로 생각할 수 있습니다.

비고 79.2.3.

실제로 이 차트들 $U_{i}$ 는 통상적인 위상을 가진 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 정칙 전이 함수를 갖는 복소 다양체로 만듭니다.

예제 79.2.4 (구어적으로, $\mathbb{CP}^{1}=\mathbb{A}^{1}\cup\{\infty\}$ ).

공간 $\mathbb{CP}^{1}$ 은 순서쌍 $(s:t)$ 들로 이루어지며, 이는 복소수 $z/1$ 을 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 특히 $U_{1}=\{(z:1)\}$ 은 본질적으로 $\mathbb{A}^{1}$ 의 또 다른 사본입니다. 새로운 점은 오직 하나, $(1:0)$ 뿐입니다.

그러나 이전과 마찬가지로 이 위에 자리스키 위상을 부여하고자 합니다. 구체적으로, $\mathbb{CP}^{2}=\left\{(x_{0}:x_{1}:x_{2})\right\}$ 를 살펴봅시다. 아핀 공간에서 그랬던 것처럼 $\mathbb{CP}^{2}$ 에서의 영점 궤적을 고려하고자 하며, 이를 통해 사영 대수다양체의 개념을 얻고자 합니다.

그런데 이것이 그리 쉽지는 않습니다: 예를 들어, 함수 “ $x_{0}$ ”은 $\mathbb{CP}^{2}$ 의 점들 위에서 잘 정의된 함수가 아닌데, 이는 $(x_{0}:x_{1}:x_{2})=(5x_{0}:5x_{1}:5x_{2})$ 이기 때문입니다! 그래서 우리는 여전히 영점 궤적을 가지는 이러한 “의사 함수”들을 고려하고 싶습니다. 이들은 바로 동차 다항식 $f$ 인데, $f$ 가 차수 $d$ 의 동차 다항식인 것은 다음과 동치이기 때문입니다

f(\lambda x_{0},\dots,\lambda x_{n})=\lambda^{d}f(x_{0},\dots,x_{n}).

특히, $f$ 가 동차 다항식이면 “ $f(x_{0},\dots,x_{n})=0$ ”이라는 관계는 잘 정의됩니다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다:

정의 79.2.5.

$f$ 가 동차 다항식이면, 그 영점 궤적을 다음과 같이 정의할 수 있습니다

\mathcal{V}_{\text{pr}}(f)=\left\{(x_{0}:\dots:x_{n})\mid f(x_{0},\dots,x_{n})% =0\right\}.

동차 조건은 정말로 필요합니다. 예를 들어, “ $x_{0}-1=0$ ”을 요구하는 것은 말이 되지 않는데, 이는 점 $(1:1:1)$ 과 $(2015:2015:2015)$ 가 같은 점이기 때문입니다.

동차 다항식이 우리가 원하는 바를 정확히 수행함을 확인하는 것은 자명합니다; 따라서 이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 79.2.6.

$\mathbb{CP}^{n}$ 에서의 사영 대수다양체는 $n+1$ 개의 변수를 가진 동차 다항식들의 임의의 모임에 대한 공통 영점 궤적입니다.

예제 79.2.7 ( $\mathbb{CP}^{2}$ 에서의 원뿔곡선, 또는 $\mathbb{C}^{3}$ 에서의 원뿔).

다음 대수다양체를 그려봅시다

\mathcal{V}_{\text{pr}}(x^{2}+y^{2}-z^{2})\subseteq\mathbb{CP}^{2}

이는 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 을 만족하는 점 $[x:y:z]$ 들로 이루어져 있습니다. 이를 $\mathbb{C}^{3}$ 의 부분공간으로 본다면(즉, $\mathbb{CP}^{2}$ 를 원점을 지나는 직선들의 집합으로 생각함으로써), “원뿔”을 얻게 됩니다:

이제 표준 아핀 차트를 취하면, 다음을 얻습니다:

•

$x=1$ 에서는 쌍곡선 $\mathcal{V}(1+y^{2}-z^{2})$ 을 얻습니다.
•

$y=1$ 에서는 쌍곡선 $\mathcal{V}(1+x^{2}-z^{2})$ 을 얻습니다.
•

$z=1$ 일 때, 원 $\mathcal{V}(x^{2}+y^{2}-1)$ 을 얻습니다.

그렇긴 하지만, $\mathbb{C}$ 위에서는 쌍곡선과 원이 같은 것입니다; 지난 장에서와 마찬가지로 $\mathbb{C}$ 를 1차원으로 그림으로써 약간의 편법을 쓰고 있습니다.

질문 79.2.8.

위 원뿔과 $z=1$ 평면의 교집합을 그려보고, 실제로 원이 나오는지 확인하십시오. (이 기하학적 그림은 나중에 중요하게 쓰입니다.)

79.3 동차 아이디얼

이제, 다음으로 하고 싶은 것은 아이디얼 $I$ 에 대해 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 를 정의하는 것입니다. 물론, $x_{0}-1$ 과 같은 것이 의미가 없다는 문제에 다시 부딪히게 됩니다.

이를 해결하는 방법은 동차 아이디얼만을 사용하는 것입니다.

정의 79.3.1.

$I$ 가 동차 아이디얼이면, 다음과 같이 정의합니다

\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\{x\mid f(x)=0\;\forall f\in I\}.

연습문제 79.3.2.

동차 아이디얼 $I$ 에 대해 ” $f(x)=0\;\forall f\in I$ ”라는 개념이 잘 정의됨을 보이십시오.

그래서, 우리는 동차 근 아이디얼과 사영 다양체를 전단사로 대응시키는 널스텔렌자츠와 같은 정리를 기대하고 싶습니다. 안타깝게도:

예제 79.3.3 (무관 아이디얼).

몇 가지 꿈과 희망을 짓밟기 위해, 다음 아이디얼을 생각해봅시다

I=(x_{0},x_{1},\dots,x_{n}).

이를 무관 아이디얼이라 부릅니다; 이는 동차 근 아이디얼이지만 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing$ 입니다.

그러나, 무관 아이디얼을 제외하면:

정리 79.3.4 (동차 널스텔렌자츠).

$I$ 와 $J$ 를 동차 아이디얼이라 합시다.

(a)

$\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\mathcal{V}_{\text{pr}}(J)\neq\varnothing$ 이면 $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 입니다.
(b)

$\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing$ 이면, $I=(1)$ 이거나 $\sqrt{I}=(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ 입니다.

따라서 다음 사이에 자연스러운 전단사가 존재합니다:

•

$\mathbb{CP}^{n}$ 안의 사영 다양체들, 그리고
•

무관 아이디얼을 제외한 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 의 동차 근 아이디얼들.

증명.

첫 번째 부분을 위해, $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 와 $W=\mathcal{V}_{\text{pr}}(J)$ 를 $\mathbb{CP}^{n}$ 안의 사영 다양체라 합시다. $\mathbb{CP}^{n}$ 을 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들로 해석함으로써, 이들을 $\mathbb{A}^{n+1}$ 안의 아핀 다양체로 볼 수 있습니다.

대수적으로, 이는 동차 아이디얼 $I,J\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 을 취하고, 같은 아이디얼을 사용하여 $\mathbb{A}^{n+1}$ 안의 아핀 다양체 $V_{\text{aff}}=\mathcal{V}(I)$ 와 $W_{\text{aff}}=\mathcal{V}(J)$ 를 잘라냄으로써 이루어집니다. 예를 들어, 원뿔 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ 은 $\mathbb{CP}^{2}$ 에서는 원뿔곡선(1차원 곡선)이지만, $\mathbb{A}^{3}$ 에서는 원뿔(2차원 곡면)로도 생각할 수 있습니다.

그러면 (a)에 대해, $V_{\text{aff}}=W_{\text{aff}}$ 이므로 $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 입니다.

(b)에 대해, $V_{\text{aff}}$ 는 공집합이거나 $\mathbb{A}^{n+1}$ 의 원점뿐이므로, 널스텔렌자츠에 의해 원하는 대로 $I=(1)$ 이거나 $\sqrt{I}=(x_{0},\dots,x_{n})$ 입니다. ∎

다양체의 교집합과 합집합에 관한 정리 77.4.2의 사영적 유사물은 사영 다양체에 대해서도 그대로 성립합니다.

79.4 환달린 공간으로서

대표적인 예: $\mathbb{CP}^{1}$ 에서 한 점을 제외한 부분의 정규 함수는 정확히 $P(s/t)$ .

형태의 함수입니다. 이제 모든 사영 다양체 $V$ 를 초보적인 환달린 공간으로 만들어 봅시다. 우리는 이미 점들의 집합, 즉 $\mathbb{CP}^{n}$ 의 부분집합을 가지고 있습니다.

위상은 다음과 같이 정의됩니다.

정의 79.4.1.

$I$ 가 동차 아이디얼일 때 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 꼴의 집합들을 닫힌집합으로 선언함으로써 $\mathbb{CP}^{n}$ 에 자리스키 위상을 부여합니다.

그러면 모든 사영 다양체 $V$ 는 그 부모인 $\mathbb{CP}^{n}$ 으로부터 자리스키 위상을 물려받습니다. 특별 열린집합 $D(f)$ 는 $V\setminus\mathcal{V}_{\text{pr}}(f)$ 입니다.

따라서 이제 모든 사영 다양체 $V$ 는 위상 공간이 됩니다. 남은 것은 정칙함수의 층 $\mathcal{O}_{V}$ 를 부여하는 일입니다. 이를 위해서는 조금 조심할 필요가 있습니다. 아핀의 경우에는 분자와 분모를 제공하는 데 사용할 수 있는 함수들의 좋은 작은 환, 즉 좌표환 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I$ 가 있었습니다. 그러므로 다음과 같이 정의하는 것이 자연스러워 보입니다.

정의 79.4.2.

$I$ 가 동차 근기 아이디얼일 때, 사영 다양체 $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 의 동차 좌표환은 다음 환으로 정의됩니다

\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I.

비고 79.4.3.

비고 78.4.2의 경우와 달리, $\mathbb{C}[V]$ 의 원소는 더 이상 $V$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수에 대응하지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 이는 $\mathcal{V}(I)\subseteq\mathbb{A}^{n+1}$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수입니다.

그러나 유리함수를 정의할 때는 분자와 분모가 같은 차수여야 한다는 새로운 요구 사항을 부과해야 합니다.

정의 79.4.4.

$U\subseteq V$ 를 사영 다양체 $V$ 의 열린집합이라 합시다. 사영 다양체 $V$ 위의 유리함수 $\phi$ 는 몫 $f/g$ 로서, 여기서 $f,g\in\mathbb{C}[V]$ 이고, $f$ 와 $g$ 는 같은 차수의 동차이며, $\mathcal{V}_{\text{pr}}(g)\cap U=\varnothing$ 입니다. 이렇게 하여 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 를 얻습니다.

예제 79.4.5 (유리함수의 예시).

$V=\mathbb{CP}^{1}$ 이 좌표 $(s:t)$ 를 갖는다고 합시다.

(a)

$U=V$ 이면, 상수함수 $c/1$ 이 $U$ 위의 유일한 유리함수입니다.
(b)

이제 $U_{1}=V\setminus\{(1:0)\}$ 이라 합시다. 그러면 정칙함수의 한 예시는 다음과 같습니다

$\frac{s^{2}+9t^{2}}{t^{2}}=\left(\frac{s}{t}\right)^{2}+9.$

$U_{1}$ 을 $\mathbb{C}$ 로 생각하면(즉, 무한대 점을 뺀 $\mathbb{CP}^{1}$ 이므로 $\mathbb{A}^{1}$ 과 같습니다) 이는 정말로 그저 함수 $x^{2}+9$ 일 뿐입니다.

그러면 이전과 같은 정의를 반복할 수 있습니다.

정의 79.4.6.

$U\subseteq V$ 를 사영 다양체 $V$ 의 열린집합이라 합시다. 모든 점 $p$ 에 대해, $p$ 를 포함하는 열린집합 $U_{p}$ 와 $U_{p}$ 위의 유리함수 $f_{p}/g_{p}$ 를 찾아 다음을 만족시킬 수 있으면, 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙함수라고 합니다

\phi(x)=\frac{f_{p}(x)}{g_{p}(x)}\qquad\forall x\in U_{p}.

특히, $U_{p}\cap\mathcal{V}_{\text{pr}}(g_{p})=\varnothing$ 을 요구합니다. $U$ 위의 모든 정칙함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 나타냅니다.

물론, 앞선 예시의 유리함수들도 정칙함수의 예시입니다. 이로써 베이비 환 공간으로서의 사영 다양체 $V$ 의 정의가 완성됩니다.

79.5 정칙함수의 예시

당연히, 특별 열린집합 위의 정칙함수가 무엇인지 말씀드려야 하는데, 이는 지난번의 정리 78.6.1에 대응됩니다.

정리 79.5.1 (사영 다양체에 대한 특별 열린집합 위의 정칙함수).

$V$ 를 사영 다양체라 하고, $g\in\mathbb{C}[V]$ 가 양의 차수의 동차라고 합시다(따라서 $g$ 는 상수가 아닙니다). 그러면

\mathcal{O}_{V}(D(g))=\left\{\frac{f}{g^{r}}\mid f\in\mathbb{C}[V]\text{차수 $r% \deg g$의 동차}\right\}.

$g=1$ 인 경우는 어떨까요? 비슷한 결과가 성립하지만, $V$ 가 기약이라는 가정이 필요합니다.

정의 79.5.2.

사영 다양체 $V$ 는 두 개의 진(사영) 부분다양체의 합집합으로 쓸 수 없으면 기약입니다.

정리 79.5.3 (사영 공간 위의 상수 정칙함수만 존재).

$V$ 를 기약 사영 다양체라고 합시다. 그러면 $V$ 위의 정칙함수는 오직 상수뿐이며, 따라서

\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}.

이는 $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실에 의존합니다.

이에 대한 증명은 지금은 생략합니다.

예제 79.5.4 (위에서 기약성이 필요한 이유).

$V$ 가 기약이어야 하는 이유는, 그렇지 않으면 예를 들어 $V$ 를 두 점의 합집합으로 취할 수 있기 때문입니다. 이 경우 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 입니다.

비고 79.5.5.

$g=1$ 일 때 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 가 그토록 다르게 동작하는 것이 이상하게 보일 수 있습니다. 한 가지 모호한 설명은, 사영 다양체에서 $\deg g>0$ 이면 특정 열린집합 $D(g)$ 가 아핀 다양체와 매우 비슷해 보인다는 것입니다. 예를 들어 $\mathbb{CP}^{1}$ 에서 $\mathbb{CP}^{1}\setminus\{0\}\cong\mathbb{A}^{1}$ 입니다(여기서 $\cong$ 는 제가 정확히 규정하지 않은 의미로 사용됩니다). 따라서 이 주장은 대응하는 아핀의 결과와 관련되게 됩니다. 하지만 $\deg g=0$ 이고 $g\neq 0$ 이면 $D(g)$ 는 사영 다양체 전체가 되며, 이는 아핀처럼 보이지 않으므로 이러한 유비가 성립하지 않습니다.

예제 79.5.6 ( $\mathbb{CP}^{1}$ 위의 정칙 함수).

$V=\mathbb{CP}^{1}$ 이라 하고, 좌표를 $(s:t)$ 라 합시다.

(a)

정리 79.5.1에 의해, $U_{1}$ 이 점 $(1:0)$ 을 제외한 표준 아핀 차트라면, $\mathcal{O}_{V}(U_{1})=\left\{\frac{f}{t^{n}}\mid\deg f=n\right\}$ 입니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$\mathcal{O}_{V}(U_{1})\cong\left\{P(s/t)\mid P\in\mathbb{C}[x]\right\}\cong% \mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}(\mathbb{A}^{1}).$

이는 $U_{1}$ 이 “ $\mathbb{A}^{1}$ 과 매우 비슷해 보인다”는 우리의 지식과 부합합니다.
(b)

$V$ 가 기약이므로, $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}$ 입니다: 즉 $\mathbb{CP}^{1}$ 위에는 상수가 아닌 함수가 존재하지 않습니다.

예제 79.5.7 ( $\mathbb{CP}^{2}$ 위의 정칙 함수).

$\mathbb{CP}^{2}$ 의 좌표를 $(x:y:z)$ 라 하고, $U_{0}=\left\{(x:y:1)\in\mathbb{CP}^{2}\right\}$ 를 특정 열린집합 $D(z)$ 라 합시다. 그러면 같은 맥락에서,

\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^{2}}(U_{0})=\left\{\frac{P(x,y)}{z^{n}}\mid\deg P=n% \right\}\cong\left\{P(x/z,y/z)\mid P\in\mathbb{C}[x,y]\right\}.

79.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

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