장 79 사영 다양체

$\mathbb{A}^{n}$ 의 아핀 다양체를 공부했으니, 이제 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 살펴봅니다. 이 역시 $\mathbb{A}^{n}$ 의 경우와 같은 방식으로 아기 환 달린 공간으로 만들 것입니다.

79.1 등급환

대표적인 예: $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 은 등급환입니다.

먼저 시간을 들여 등급환이 무엇인지 설명하겠습니다. (지금과 나중에) 이 용어를 쓸 수 있도록 하기 위해서입니다.

이 정의는 정의 76.3.2과 같습니다.

정의 79.1.1.

등급환 $R$ 은 다음과 같은 추가 구조를 갖춘 환입니다. 아벨 군으로서 $R$ 은 다음과 같이 분해됩니다.

R=\bigoplus_{d\geq 0}R^{d}

여기서 $R^{0}$ , $R^{1}$ , …은 아벨 군입니다. 환의 곱셈은 $r\in R^{d}$ 이고 $s\in R^{e}$ 이면 $rs\in R^{d+e}$ 라는 성질을 가집니다. 어떤 $R^{d}$ 의 원소를 동차 원소라고 부르며, “ $r\in R^{d}$ ”라는 뜻으로 “ $d=\deg r$ ”라고 씁니다.

차수가 0이 아닌 동차 원소들로 생성되는 아이디얼 $R\setminus R^{0}$ 을 $R^{+}$ 로 나타내고, 이를 무관 아이디얼이라고 부릅니다.

비고 79.1.2.

전문가를 위한 참고: 여기서 다루는 등급환은 모두 $1$ 을 가진 가환환입니다.

예제 79.1.3 (등급환의 예).

(a)

환 $\mathbb{C}[x]$ 는 차수에 따라 등급이 매겨집니다. 아벨 군으로서 $\mathbb{C}[x]\cong\mathbb{C}\oplus x\mathbb{C}\oplus x^{2}\mathbb{C}\oplus\dots$ 입니다.
(b)

더 일반적으로, 다항식환 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 도 차수에 따라 등급이 매겨집니다.

표기의 남용 79.1.4.

$r=0$ 인 경우 $\deg r$ 라는 표기는 남용입니다. 모든 $d$ 에 대해 $0\in R^{d}$ 임에 유의하십시오. 따라서 $r=0$ 일 때를 제외하면 $r$ 의 “유일한” 차수를 말하는 것이 의미가 있습니다.

앞으로 동차 아이디얼을 자주 다룰 것입니다.

정의 79.1.5.

아이디얼 $I\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 을 각 $f_{i}$ 가 동차 다항식인 $I=(f_{1},\dots,f_{m})$ 꼴로 쓸 수 있으면, $I$ 를 동차라고 합니다.

비고 79.1.6.

$I$ 와 $J$ 가 동차이면 $I+J$ , $I J$ , $I\cap J$ , $\sqrt{I}$ 도 동차입니다.

보조정리 79.1.7 (등급 몫도 등급이 매겨집니다).

$I$ 를 등급환 $R$ 의 동차 아이디얼이라고 합시다. 그러면

R/I=\bigoplus_{d\geq 0}R^{d}/(R^{d}\cap I)

은 $R/I$ 를 등급환으로 실현합니다.

이 명제들은 단지 대수학일 뿐이므로 여기서는 증명을 생략합니다.

비고 79.1.8.

다른 몇몇 책에서는 동차 아이디얼(또는 등급 아이디얼)을 아벨 군으로서 $I=\bigoplus_{d\geq 0}(R^{d}\cap I)$ 를 만족하는 아이디얼 $I$ 로 동등하게 정의하기도 합니다. 실제로 등급 아이디얼은 정확히 몫에 자연스럽게 등급이 매겨지는 아이디얼임을 확인할 수 있습니다.

예제 79.1.9 (등급 몫환의 예).

$R=\mathbb{C}[x,y]$ 라 하고 $I=(x^{3},y^{2})$ 로 둡시다. $S=R/I$ 라고 합시다. 그러면

	$\displaystyle S^{0}$	$\displaystyle=\mathbb{C}$
	$\displaystyle S^{1}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x\oplus\mathbb{C}y$
	$\displaystyle S^{2}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x^{2}\oplus\mathbb{C}xy$
	$\displaystyle S^{3}$	$\displaystyle=\mathbb{C}x^{2}y$
	$\displaystyle S^{d}$	$\displaystyle=0\qquad\forall d\geq 4.$

따라서 실제로 $S=R/I$ 는 등급이 매겨져 있으며, 6차원 $\mathbb{C}$ -벡터 공간입니다.

79.2 주변 공간

대표적인 예: 아마도 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(x^{2}+y^{2}-z^{2})$ 일 것입니다.

이번에 우리가 다루기로 하는 점들의 집합은 $\mathbb{CP}^{n}$ 이며, 이는 다음과 같은 $n$ -튜플의 집합으로 생각할 수 있습니다.

\left(x_{0}:x_{1}:\dots:x_{n}\right)

이때 성분이 모두 0은 아니며, 스칼라배를 같은 것으로 봅니다. 동치적으로, 이는 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들의 집합입니다. 사영 공간은 절 64.6에서 완전하게 정의되어 있으니, 사영 공간에 익숙하지 않다면 그곳을 참고하십시오.

이를 올바르게 생각하는 방법은 “ $\mathbb{A}^{n}$ 에 무한원점들을 더한 것”으로 보는 것입니다:

정의 79.2.1.

다음 집합을 정의합니다.

U_{i}=\left\{(x_{0}:\dots:x_{n})\mid x_{i}\neq 0\right\}\subseteq\mathbb{CP}^{% n}.

이들을 표준 아핀 차트라고 부릅니다.

이 이름은 다음에서 유래합니다:

연습문제 79.2.2 (필수).

$U_{i}$ 에서 $\mathbb{A}^{n}$ 으로 가는 자연스러운 전단사를 제시하십시오. 따라서 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 아핀 집합 $U_{i}$ 에 “무한원점들”을 더한 것으로 생각할 수 있습니다.

비고 79.2.3.

사실, 이 차트 $U_{i}$ 들은 통상적인 위상을 갖춘 $\mathbb{CP}^{n}$ 을 정칙 전이 함수를 갖는 복소 다양체로 만듭니다.

예제 79.2.4 (비유적으로, $\mathbb{CP}^{1}=\mathbb{A}^{1}\cup\{\infty\}$ ).

공간 $\mathbb{CP}^{1}$ 은 쌍 $(s:t)$ 들로 이루어지며, 이는 복소수 $z/1$ 을 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 특히 $U_{1}=\{(z:1)\}$ 은 본질적으로 $\mathbb{A}^{1}$ 의 또 다른 사본입니다. 새로운 점은 $(1:0)$ 단 하나뿐입니다.

하지만 이전과 마찬가지로 여기에 자리스키 위상을 주고자 합니다. 구체적으로 $\mathbb{CP}^{2}=\left\{(x_{0}:x_{1}:x_{2})\right\}$ 를 생각해 봅시다. 아핀 공간에서 했던 것과 똑같이 $\mathbb{CP}^{2}$ 에서의 영점 자취를 생각하고, 이를 통해 사영 다양체라는 개념을 얻고자 합니다.

하지만 이것은 그리 쉽지 않습니다. 예를 들어, $(x_{0}:x_{1}:x_{2})=(5x_{0}:5x_{1}:5x_{2})$ 이므로 함수 “ $x_{0}$ ”는 $\mathbb{CP}^{2}$ 의 점들 위에서 잘 정의된 함수가 아닙니다! 그래서 여전히 영점 자취를 갖는 이러한 “유사 함수”들을 고려하고자 합니다. 이들은 바로 동차 다항식 $f$ 인데, $f$ 가 $d$ 차 동차일 필요충분조건은 다음과 같기 때문입니다.

f(\lambda x_{0},\dots,\lambda x_{n})=\lambda^{d}f(x_{0},\dots,x_{n}).

특히, $f$ 가 동차이면 관계 “ $f(x_{0},\dots,x_{n})=0$ ”은 잘 정의됩니다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다:

정의 79.2.5.

$f$ 가 동차이면, 그 영점 자취를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\mathcal{V}_{\text{pr}}(f)=\left\{(x_{0}:\dots:x_{n})\mid f(x_{0},\dots,x_{n})% =0\right\}.

동차 조건은 정말로 필요합니다. 예를 들어, 점 $(1:1:1)$ 과 $(2015:2015:2015)$ 는 같은 점이므로 “ $x_{0}-1=0$ ”을 요구하는 것은 의미가 없습니다.

동차 다항식이 정확히 우리가 원하는 역할을 한다는 것은 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 이제 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

정의 79.2.6.

$\mathbb{CP}^{n}$ 에서의 사영 다양체는 $n+1$ 개의 변수에 대한 동차 다항식들의 임의의 모임의 공통 영점 자취입니다.

예제 79.2.7 ( $\mathbb{CP}^{2}$ 에서의 원뿔 곡선, 또는 $\mathbb{C}^{3}$ 에서의 원뿔).

다음 대수다양체를 그려 봅시다.

\mathcal{V}_{\text{pr}}(x^{2}+y^{2}-z^{2})\subseteq\mathbb{CP}^{2}

이는 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 을 만족하는 점 $[x:y:z]$ 들로 이루어집니다. 이를 $\mathbb{C}^{3}$ 의 부분공간으로 본다면(즉, $\mathbb{CP}^{2}$ 를 원점을 지나는 직선들의 집합으로 생각한다면) “원뿔”을 얻습니다:

이제 표준 아핀 차트를 취하면 다음을 얻습니다:

•

$x=1$ 에서는 쌍곡선 $\mathcal{V}(1+y^{2}-z^{2})$ 을 얻습니다.
•

$y=1$ 에서는 쌍곡선 $\mathcal{V}(1+x^{2}-z^{2})$ 을 얻습니다.
•

$z=1$ 에서는 원 $\mathcal{V}(x^{2}+y^{2}-1)$ 을 얻습니다.

다만 $\mathbb{C}$ 위에서는 쌍곡선과 원이 같은 것입니다. 지난 장에서와 마찬가지로 $\mathbb{C}$ 를 1차원으로 그려서 약간 속임수를 쓰고 있습니다.

질문 79.2.8.

위의 원뿔과 $z=1$ 평면의 교집합을 그려 보고, 실제로 원이 나오는지 확인하십시오. (이 기하학적 그림은 나중에 매우 중요해집니다.)

79.3 동차 아이디얼

이제 다음으로 하고 싶은 일은 아이디얼 $I$ 에 대해 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 를 정의하는 것입니다. 물론 $x_{0}-1$ 같은 것이 의미를 갖지 않는다는 문제에 다시 부딪힙니다.

이 문제를 해결하는 방법은 동차 아이디얼만 사용하는 것입니다.

정의 79.3.1.

$I$ 가 동차 아이디얼이면 다음과 같이 정의합니다.

\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\{x\mid f(x)=0\;\forall f\in I\}.

연습문제 79.3.2.

동차 아이디얼 $I$ 에 대해 “ $f(x)=0\;\forall f\in I$ ”라는 개념이 잘 정의됨을 보이십시오.

따라서 동차 근기 아이디얼과 사영 다양체를 전단사로 대응시키는 영점정리와 같은 정리를 기대하게 됩니다. 안타깝게도 다음과 같습니다.

예제 79.3.3 (무관 아이디얼).

꿈과 희망을 산산조각 내기 위해, 다음 아이디얼을 생각해 봅시다.

I=(x_{0},x_{1},\dots,x_{n}).

이를 무관 아이디얼이라고 합니다. 이는 동차 근기 아이디얼이지만 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing$ 입니다.

그러나 무관 아이디얼을 제외하면 다음이 성립합니다.

정리 79.3.4 (동차 영점정리).

$I$ 와 $J$ 를 동차 아이디얼이라고 합시다.

(a)

$\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\mathcal{V}_{\text{pr}}(J)\neq\varnothing$ 이면 $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 입니다.
(b)

$\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)=\varnothing$ 이면 $I=(1)$ 이거나 $\sqrt{I}=(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ 입니다.

따라서 다음 둘 사이에는 자연스러운 전단사가 존재합니다.

•

$\mathbb{CP}^{n}$ 의 사영 다양체,
•

무관 아이디얼을 제외한 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 의 동차 근기 아이디얼.

증명.

첫 번째 부분에 대해, $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 와 $W=\mathcal{V}_{\text{pr}}(J)$ 를 $\mathbb{CP}^{n}$ 의 사영 다양체라고 합시다. $\mathbb{CP}^{n}$ 을 $\mathbb{C}^{n+1}$ 에서 원점을 지나는 직선들로 해석하면, 이들을 $\mathbb{A}^{n+1}$ 의 아핀 다양체로 생각할 수 있습니다.

대수적으로는 동차 아이디얼 $I,J\subseteq\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]$ 을 취하고, 같은 아이디얼을 사용하여 $\mathbb{A}^{n+1}$ 에서 아핀 다양체 $V_{\text{aff}}=\mathcal{V}(I)$ 와 $W_{\text{aff}}=\mathcal{V}(J)$ 를 잘라내는 방식으로 이를 수행합니다. 예를 들어, 원뿔 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ 은 $\mathbb{CP}^{2}$ 에서는 원뿔곡선(1차원 곡선)이지만, $\mathbb{A}^{3}$ 에서는 원뿔(2차원 곡면)로 생각할 수도 있습니다.

그러면 (a)에 대해서는 $V_{\text{aff}}=W_{\text{aff}}$ 이므로 $\sqrt{I}=\sqrt{J}$ 입니다.

(b)에 대해서는 $V_{\text{aff}}$ 가 공집합이거나 $\mathbb{A}^{n+1}$ 의 원점뿐이므로, 영점정리에 의해 원하는 대로 $I=(1)$ 이거나 $\sqrt{I}=(x_{0},\dots,x_{n})$ 입니다. ∎

(다양체의 교집합과 합집합에 관한) 정리 77.4.2의 사영 버전도 사영 다양체에 대해 그대로 성립합니다.

79.4 환 달린 공간으로서

대표적인 예: $\mathbb{CP}^{1}$ 에서 한 점을 뺀 곳 위의 정칙 함수는 정확히 $P(s/t)$ 꼴의 함수들입니다.

이제 모든 사영 다양체 $V$ 를 아기 환 달린 공간으로 만들어 봅시다. 점들의 집합은 이미 $\mathbb{CP}^{n}$ 의 부분집합으로 주어져 있습니다.

위상은 다음과 같이 정의합니다.

정의 79.4.1.

$I$ 가 동차 아이디얼일 때 $\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)$ 꼴의 집합들을 닫힌집합으로 선언하여 $\mathbb{CP}^{n}$ 에 자리스키 위상을 줍니다.

그러면 모든 사영 다양체 $V$ 는 그 모체인 $\mathbb{CP}^{n}$ 으로부터 자리스키 위상을 물려받습니다. 특수 열린집합 $D(f)$ 는 $V\setminus\mathcal{V}_{\text{pr}}(f)$ 입니다.

따라서 이제 모든 사영 다양체 $V$ 는 위상 공간입니다. 남은 것은 여기에 정칙 함수의 층 $\mathcal{O}_{V}$ 를 부여하는 일입니다. 이를 위해서는 조금 조심해야 합니다. 아핀의 경우에는 분자와 분모를 제공하는 데 쓸 수 있는 멋진 함수들의 환, 즉 좌표환 $\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I$ 가 있었습니다. 그러므로 다음과 같이 정의하는 것이 자연스러워 보입니다.

정의 79.4.2.

$I$ 가 동차 근기 아이디얼일 때, 사영 다양체 $V=\mathcal{V}_{\text{pr}}(I)\subseteq\mathbb{CP}^{n}$ 의 동차 좌표환은 다음 환으로 정의합니다.

\mathbb{C}[V]=\mathbb{C}[x_{0},\dots,x_{n}]/I.

비고 79.4.3.

비고 78.4.2의 경우와 달리 $\mathbb{C}[V]$ 의 원소는 더 이상 $V$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수에 대응하지 않습니다. 그럼에도 이는 $\mathcal{V}(I)\subseteq\mathbb{A}^{n+1}$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 함수입니다.

하지만 유리함수를 정의할 때에는 분자와 분모의 차수가 같아야 한다는 새로운 조건을 부과해야 합니다.

정의 79.4.4.

$U\subseteq V$ 를 사영 다양체 $V$ 의 열린집합이라고 합시다. 사영 다양체 $V$ 위의 유리함수 $\phi$ 란 몫 $f/g$ 로서, $f,g\in\mathbb{C}[V]$ 이고, $f$ 와 $g$ 는 같은 차수의 동차식이며, $\mathcal{V}_{\text{pr}}(g)\cap U=\varnothing$ 인 것입니다. 이렇게 하여 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 를 얻습니다.

예제 79.4.5 (유리함수의 예).

$V=\mathbb{CP}^{1}$ 의 좌표를 $(s:t)$ 라고 합시다.

(a)

$U=V$ 이면 상수 함수 $c/1$ 만이 $U$ 위의 유일한 유리함수입니다.
(b)

이제 $U_{1}=V\setminus\{(1:0)\}$ 라고 합시다. 그러면 정칙 함수의 한 예는 다음과 같습니다.

$\frac{s^{2}+9t^{2}}{t^{2}}=\left(\frac{s}{t}\right)^{2}+9.$

$U_{1}$ 을 $\mathbb{C}$ 로 생각하면(즉 무한원점 하나를 뺀 $\mathbb{CP}^{1}$ 이므로 $\mathbb{A}^{1}$ 과 같습니다) 이는 사실 함수 $x^{2}+9$ 에 지나지 않습니다.

그러면 앞에서와 같은 정의를 반복할 수 있습니다.

정의 79.4.6.

$U\subseteq V$ 를 사영 다양체 $V$ 의 열린집합이라고 합시다. 함수 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 가 정칙 함수라는 것은, 모든 점 $p$ 에 대하여 $p$ 를 포함하는 열린집합 $U_{p}$ 와 $U_{p}$ 위의 유리함수 $f_{p}/g_{p}$ 를 찾아 다음이 성립하도록 할 수 있다는 것입니다.

\phi(x)=\frac{f_{p}(x)}{g_{p}(x)}\qquad\forall x\in U_{p}.

특히 $U_{p}\cap\mathcal{V}_{\text{pr}}(g_{p})=\varnothing$ 임을 요구합니다. $U$ 위의 모든 정칙 함수의 집합을 $\mathcal{O}_{V}(U)$ 로 나타냅니다.

물론 앞의 예에 나온 유리함수들 역시 정칙 함수의 예입니다. 이로써 사영 다양체 $V$ 를 아기 환 달린 공간으로 정의하는 일이 완료됩니다.

79.5 정칙 함수의 예

당연히 특수 열린집합 위의 정칙 함수가 무엇인지 말씀드려야 하겠습니다. 이는 지난번 정리 78.6.1에 대응하는 결과입니다.

정리 79.5.1 (사영 다양체의 특수 열린집합 위의 정칙 함수).

$V$ 를 사영 다양체라 하고, $g\in\mathbb{C}[V]$ 를 양의 차수의 동차 원소라고 합시다(따라서 $g$ 는 상수가 아닙니다). 그러면

\mathcal{O}_{V}(D(g))=\left\{\frac{f}{g^{r}}\mid f\in\mathbb{C}[V]\text{차수 $r% \deg g$의 동차}\right\}.

$g=1$ 인 경우는 어떻습니까? 비슷한 결과가 성립하지만, $V$ 가 기약이라는 가정이 필요합니다.

정의 79.5.2.

사영 다양체 $V$ 를 두 진(사영) 부분다양체의 합집합으로 쓸 수 없으면 $V$ 를 기약이라고 합니다.

정리 79.5.3 (사영 공간 위에는 상수 정칙 함수만 존재함).

$V$ 를 기약 사영 다양체라고 합시다. 그러면 $V$ 위의 정칙 함수는 상수뿐이며, 따라서

\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}.

가 성립합니다. 이는 $\mathbb{C}$ 가 대수적으로 닫혀 있다는 사실에 의존합니다.

이에 대한 증명은 일단 생략합니다.

예제 79.5.4 (위에서 기약성이 필요한 이유).

$V$ 가 기약이어야 하는 이유는, 그렇지 않으면 예를 들어 $V$ 를 두 점의 합집합으로 잡을 수 있기 때문입니다. 이 경우 $\mathcal{O}_{V}(V)\cong\mathbb{C}^{\oplus 2}$ 입니다.

비고 79.5.5.

$g=1$ 일 때 $\mathcal{O}_{V}(D(g))$ 가 이토록 다르게 행동한다는 것이 이상해 보일 수도 있습니다. 한 가지 막연한 설명은, 사영 다양체에서 $\deg g>0$ 이면 구별된 열린집합 $D(g)$ 가 아핀 다양체와 매우 비슷해 보인다는 것입니다. 예를 들어 $\mathbb{CP}^{1}$ 에서는 $\mathbb{CP}^{1}\setminus\{0\}\cong\mathbb{A}^{1}$ 입니다(여기서 $\cong$ 은 제가 아직 엄밀히 규정하지 않은 의미로 사용됩니다). 따라서 이 주장은 대응하는 아핀 결과와 관련을 갖게 됩니다. 그러나 $\deg g=0$ 이고 $g\neq 0$ 이면 $D(g)$ 는 사영 다양체 전체가 되는데, 이는 아핀처럼 보이지 않으므로 이 유비는 성립하지 않게 됩니다.

예제 79.5.6 ( $\mathbb{CP}^{1}$ 위의 정칙 함수).

$V=\mathbb{CP}^{1}$ 이라 하고, 좌표를 $(s:t)$ 라 합시다.

(a)

정리 79.5.1에 의해, $U_{1}$ 이 점 $(1:0)$ 을 제외한 표준 아핀 차트라면 $\mathcal{O}_{V}(U_{1})=\left\{\frac{f}{t^{n}}\mid\deg f=n\right\}$ 입니다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathcal{O}_{V}(U_{1})\cong\left\{P(s/t)\mid P\in\mathbb{C}[x]\right\}\cong% \mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}(\mathbb{A}^{1}).$

이는 $U_{1}$ 이 “ $\mathbb{A}^{1}$ 과 매우 비슷해 보인다”는 우리의 지식과 부합합니다.
(b)

$V$ 가 기약이므로 $\mathcal{O}_{V}(V)=\mathbb{C}$ 입니다. 즉, $\mathbb{CP}^{1}$ 위에는 상수가 아닌 함수가 존재하지 않습니다.

예제 79.5.7 ( $\mathbb{CP}^{2}$ 위의 정칙 함수).

$\mathbb{CP}^{2}$ 의 좌표를 $(x:y:z)$ 라 하고, $U_{0}=\left\{(x:y:1)\in\mathbb{CP}^{2}\right\}$ 를 특수 열린집합 $D(z)$ 라고 합시다. 그러면 같은 맥락에서,

\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^{2}}(U_{0})=\left\{\frac{P(x,y)}{z^{n}}\mid\deg P=n% \right\}\cong\left\{P(x/z,y/z)\mid P\in\mathbb{C}[x,y]\right\}.

79.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

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