장 59 갈루아에 관한 것들

59.1 동기

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 과 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ .

갈루아 이론의 핵심 아이디어는 매장이라는 개념으로, 이는 앞서 설명한 ”켤레”라는 개념에 도달하는 또 다른 방법을 제공합니다.

$K$ 를 수체라고 합시다. 매장 $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb{C}$ 는 단사 체 준동형사상입니다. 즉 덧셈과 곱셈을 보존해야 하며, 특히 $1$ 을 고정해야 합니다.

질문 59.1.1.

이러한 맥락에서 임의의 유리수 $q$ 에 대해 $\sigma(q)=q$ 임을 보이십시오.

예제 59.1.2 (매장의 예시).

(a)

$K=\mathbb{Q}(i)$ 인 경우, $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 두 매장은 $z\mapsto z$ (항등사상)와 $z\mapsto\overline{z}$ (복소켤레)입니다.
(b)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 인 경우, $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 두 매장은 $a+b\sqrt{2}\mapsto a+b\sqrt{2}$ (항등사상)와 $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ (켤레)입니다.
(c)
$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 인 경우, 세 가지 매장이 있습니다:
- •
  
  $1\mapsto 1$ 과 $\sqrt[3]{2}\mapsto\sqrt[3]{2}$ 를 보내는 항등 매장.
- •
  
  $1\mapsto 1$ 과 $\sqrt[3]{2}\mapsto\omega\sqrt[3]{2}$ 를 보내는 매장으로, 여기서 $\omega$ 는 1의 세제곱근입니다. 이것만으로도 매장의 나머지 부분이 결정되기에 충분함을 유의하십시오.
- •
  
  $1\mapsto 1$ 과 $\sqrt[3]{2}\mapsto\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 를 보내는 매장.

이러한 매장들에 대해 몇 가지 관찰을 하고자 하며, 이는 갈루아 이론의 핵심 아이디어를 이룰 것입니다. 여기에 주의를 기울이십시오!

•

먼저, 근들 사이에 일종의 쌍대성이 있음을 알아챌 수 있습니다: 첫 번째 예시에서 $i$ 는 $\pm i$ 로 보내지고, $\sqrt{2}$ 는 $\pm\sqrt{2}$ 로 보내지며, $\sqrt[3]{2}$ 는 $x^{3}-2$ 의 다른 근들로 보내집니다. 이는 우연이 아니며, 일반적으로 이러한 현상이 발생함을 보일 수 있습니다. 구체적으로, $\alpha$ 의 최소다항식이 다음과 같다고 합시다

$0=c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{0}$

여기서 $c_{i}$ 는 유리수입니다. 그러면 양변에 임의의 매장 $\sigma$ 를 적용하면 다음을 얻습니다

$\displaystyle 0$ $\displaystyle=\sigma(c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{% 0})$

$\displaystyle=\sigma(c_{n})\sigma(\alpha)^{n}+\sigma(c_{n-1})\sigma(\alpha)^{n% -1}+\dots+\sigma(c_{1})\sigma(\alpha)+\sigma(c_{0})$

$\displaystyle=c_{n}\sigma(\alpha)^{n}+c_{n-1}\sigma(\alpha)^{n-1}+\dots+c_{1}% \sigma(\alpha)+c_{0}$

여기서 마지막 단계에서는 $c_{i}\in\mathbb{Q}$ 이므로 $\sigma$ 에 의해 고정된다는 사실을 사용하였습니다. 따라서 최소다항식의 근들은 그 다항식의 다른 근들로 갑니다.
•

다음으로, 두 번째와 세 번째 예시 사이의 대조를 이끌어내고자 합니다. 구체적으로, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장을 고려하는 예시 (b)에서, 이 매장들의 상은 전적으로 $K$ 안에 들어갑니다: 즉 $K\to\mathbb{C}$ 를 살펴보는 대신 $K\to K$ 를 살펴보아도 마찬가지였을 것입니다. 그러나 (c)에서는 이것이 성립하지 않습니다: 실제로 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ 이지만, 항등사상이 아닌 매장들은 복소수 출력값을 가집니다!

핵심적인 차이는 다시 켤레를 생각해보는 것입니다. 핵심 관찰:

체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 는 ”결핍”되어 있는데, 이는 최소다항식 $x^{3}-2$ 가 $K$ 에 포함되지 않은 다른 두 근 $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 를 가지기 때문입니다.

반면 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 $x^{2}-2$ 의 두 근 모두가 $K$ 안에 포함되어 있으므로 아무 문제가 없습니다. 마지막으로, $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 의 결핍은 이를 완비하여 체 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 로 만듦으로써 실제로 해결할 수 있습니다. $\mathbb{Q}(i)$ 나 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 처럼 ”자체 완결적”인 체들은 갈루아 확대라고 불리며, 이는 곧 설명하겠습니다.
•

마지막으로, 위의 예시들에서 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장의 개수가 마침 $K$ 의 차수와 같다는 것을 알아챌 수 있습니다. 이는 중요한 정리로, 정리 59.3.1입니다.

이 장에서는 $\mathbb{Q}$ 이외의 임의의 체에 대해 이러한 아이디어들을 완전히 일반적인 형태로 전개하겠습니다.

59.2 체 확대, 대수적 확대, 분해체

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 는 확대이며, $\mathbb{C}$ 는 임의의 수체의 대수적 확대입니다.

먼저, 수체의 개념을 일반화하기 위해 한 체가 다른 체 안에 들어있다는 개념을 정의합니다.

정의 59.2.1.

$K$ 와 $F$ 를 체라고 합시다. $F\subseteq K$ 이면 $K/F$ 라고 쓰고 $K$ 를 $F$ 의 체 확대라고 합니다.

따라서 $K$ 는 자동으로 $F$ -벡터 공간이 됩니다 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 가 자동으로 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간이 되는 것과 마찬가지입니다). 차수는 이 공간의 차원이며, $[K:F]$ 로 표기합니다. $[K:F]$ 가 유한하면 $K/F$ 를 유한 (체) 확대라고 합니다.

이게 정말 전부입니다. 까다로운 부분은 전혀 없습니다.

질문 59.2.2.

$\mathbb{Q}$ 의 유한 확대를 뭐라고 부를까요?

유한 확대의 차수는 곱셈적입니다.

정리 59.2.3 (체 확대는 곱셈적 차수를 가집니다).

$F\subseteq K\subseteq L$ 을 체라고 하고, $L/K$ , $K/F$ 가 유한하다고 합시다. 그러면

[L:K][K:F]=[L:F].

증명.

기저 계산: $K$ 위에서 $L$ 의 기저를 찾은 다음, 이를 확장하여 $F$ 위에서 $L$ 의 기저로 만들 수 있습니다. (성실한 독자라면 세부사항을 채워 넣을 수 있습니다.) ∎

다음으로, ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 과 같은) 체가 주어졌을 때 그것을 매장할 대상(우리 경우에는 $\mathbb{C}$ )이 필요합니다. 즉 모든 다항식의 모든 근을 포함하는 체가 필요할 뿐입니다. 체 $E$ 가 대수적으로 닫혀 있다고 하는 것은 $E$ 의 계수를 갖는 모든 다항식이 $E$ 에서 일차다항식들의 곱으로 분해되는 경우로 약속합시다. 고전적인 예는 다음과 같습니다:

예제 59.2.4 ( $\mathbb{C}$ ).

$\mathbb{C}$ 는 대수적으로 닫혀 있습니다.

중요한 정리는 임의의 체 $F$ 를 대수적으로 닫힌 체 $\overline{F}$ 로 확대할 수 있다는 것입니다. $\overline{F}[x]$ 의 다항식의 모든 근은 $\overline{F}$ 에 있으므로, 특히 $F[x]$ 의 다항식의 모든 근도 그러합니다. 결과는 다음과 같습니다:

정리 59.2.5 (대수적 폐포).

임의의 체 $F$ 는 대수적으로 닫힌 체 확대를 가집니다. 사실, 포함 관계에 대해 극소인 이러한 확대는 유일하게 존재하며, 이를 대수적 폐포라고 하고 $\overline{F}$ 로 표기합니다. (여기서 “극소”란 $F$ 의 다른 임의의 대수적으로 닫힌 확대가 $\overline{F}$ 와 동형인 사본을 포함한다는 뜻입니다.) 이는 $\overline{F}$ 의 모든 원소가 실제로 $F$ 의 계수를 갖는 어떤 다항식의 근이라는 성질을 가집니다.

예제 59.2.6 ( $\overline{\mathbb{R}}=\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\supsetneq\overline{% \mathbb{Q}}$ ).

$\mathbb{C}$ 는 $\mathbb{R}$ 의 (그리고 자기 자신의) 대수적 폐포입니다. 하지만 $\mathbb{Q}$ 의 대수적 폐포 $\overline{\mathbb{Q}}$ (즉, 대수적 수의 집합)는 $\mathbb{C}$ 의 진부분체입니다 (일부 복소수는 유리수 계수 다항식의 근이 아닙니다).

보통 이러한 확대가 어떤 모습인지는 별로 신경 쓰지 않고, 그저 존재한다는 사실에 만족합니다. 종종 대수적 폐포조차 사용하지 않고, 단지 충분히 큰 아무 체나 사용합니다. 예를 들어 $\mathbb{Q}$ -계수를 갖는 다항식 $f$ 를 다룰 때, $\mathbb{C}$ 대신 더 작은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 를 사용하는 편이 덜 낭비적일 수 있음에도 불구하고, 편의와 구체성을 위해 단순히 $f$ 의 근을 $\mathbb{C}$ 의 원소로 간주합니다.

59.3 수체의 대수적 폐포로의 매장

이제 이 모든 재료를 정의했으니, 다음을 증명할 수 있습니다:

정리 59.3.1 (수체의 $n$ 개의 매장).

$K$ 를 차수 $n$ 의 수체라고 합시다. 그러면 $\mathbb{Q}$ 를 고정하는 체 준동형사상 $K\hookrightarrow\mathbb{C}$ 가 정확히 $n$ 개 존재하며, 이를 $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}$ 이라고 합시다.

비고 59.3.2.

체의 자명하지 않은 준동형사상은 반드시 단사임에 유의하십시오(핵이 아이디얼이기 때문입니다). 이는 “ $\hookrightarrow$ ”의 사용을 정당화하며, 우리는 각 $\sigma_{i}$ 를 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장(매장)이라고 부릅니다.

증명.

이것은 사실 꽤 재미있습니다! $\mathbb{Q}$ 위의 임의의 기약다항식은 서로 다른 근을 가진다는 것을 기억하십시오 (보조정리 54.1.2). 우리는 원소 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 을 한 번에 하나씩 $\mathbb{Q}$ 에 첨가하여, 결국 $K$ 전체를 얻을 것입니다. 즉,

K=\mathbb{Q}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}).

도식으로 나타내면, 이는

먼저, $\tau_{1}$ 을 선택하는 방법이 정확히

[\mathbb{Q}(\alpha_{1}):\mathbb{Q}]

가지임을 주장합니다. $\tau_{1}$ 은 그것이 $\alpha_{1}$ 을 어디로 보내는지에 의해 결정된다는 점에 주목하십시오( $\mathbb{Q}$ 를 고정해야 하기 때문입니다). $p_{1}$ 을 $\alpha_{1}$ 의 최소 다항식이라 하면, $\tau_{1}$ 에 대해 $\deg p_{1}$ 가지 선택지가 있으며, 이는 $p_{1}$ 의 (서로 다른) 근 각각에 대응합니다. 이로써 주장이 증명됩니다.

마찬가지로, $\tau_{1}$ 의 선택이 주어지면

[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\alpha_{2}):\mathbb{Q}(\alpha_{1})]

$\tau_{2}$ 를 선택하는 방법의 가짓수입니다. (조금 다릅니다: $\tau_{1}$ 이 항등원일 필요는 없습니다. 하지만 $\tau_{2}$ 가 그것이 $\alpha_{2}$ 를 어디로 보내는지에 의해 결정된다는 것은 여전히 참이며, 앞서와 마찬가지로 $[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\alpha_{2}):\mathbb{Q}(\alpha_{1})]$ 가지의 가능한 방법이 있습니다.)

이들을 모두 곱하면 원하는 $[K:\mathbb{Q}]$ 가 나옵니다. ∎

비고 59.3.3.

원시원소 정리는 사실 $m=1$ 이면 충분함을 함의합니다. 즉 탑 전체를 세울 필요가 없습니다. 이는 증명을 다소 단순화합니다.

” $K$ 를 차수 $n$ 인 수체라 하고, $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}$ 을 그것의 $n$ 개의 매장이라 하자”와 같은 표현을 더 이상의 설명 없이 보는 것은 흔한 일입니다. 이러한 매장과 갈루아 켤레 사이의 관계는 다음과 같이 주어집니다.

정리 59.3.4 (매장은 켤레들에 고르게 분포합니다).

$K$ 를 차수 $n$ 인 수체로 두고 그 $n$ 개의 매장을 $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 이라 하며, $\alpha\in K$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 $m$ 개의 갈루아 켤레를 갖는다고 합시다.

그러면 $\sigma_{j}(\alpha)$ 는 이 $m$ 개의 켤레 각각에 ”고르게 분포”합니다: 임의의 갈루아 켤레 $\beta$ 에 대해, 정확히 $\frac{n}{m}$ 개의 매장이 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 보냅니다.

증명.

앞선 증명에서, 먼저 $\alpha_{1}=\alpha$ 를 첨가하십시오. ∎

이제 우리는 $\mathbb{Q}$ 위에서 대각합과 노름을 다음과 같이 좋은 방식으로 정의할 수 있습니다: 수체 $K$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 둡니다

\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha)\quad% \text{그리고}\quad\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_{% i}(\alpha)

여기서 $\sigma_{i}$ 는 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 $n$ 개의 매장입니다.

59.4 모두가 표수 2를 싫어하는 이유: 분리 가능 대 기약

대표적인 예: $\mathbb{Q}$ 는 표수 0을 가지므로, 기약 다항식은 분리 가능합니다.

이제 우리는 위 정리를 임의의 체 $F$ 에 대해 성립하는 형태로 만들고자 합니다. 증명을 읽어보면, 체 $\mathbb{Q}$ 에 대해 사용되는 유일한 성질은 보조정리 54.1.2이며, 여기서 우리는 다음 사실을 사용한다는 것을 알 수 있습니다

$F$ 위의 기약 다항식은 이중근을 갖지 않습니다.

이중근을 갖지 않는 다항식을 분리 가능하다고 부릅시다. 따라서 우리는 기약 다항식이 분리 가능하기를 원합니다. 지난 장에서 우리는 $\mathbb{Q}$ 에 대해 도함수를 취함으로써 이를 해냈습니다. 임의의 체에 대해서도 통해야 하지 않을까요?

아닙니다. $2x^{3}+24x+9$ 와 같은 다항식의 도함수를 취했다고 합시다. 즉 $6x^{2}+24$ 입니다. $\mathbb{C}$ 에서는 상수가 아닌 다항식의 도함수 $f^{\prime}$ 가 영이 아니라는 것이 자명합니다. 하지만 위 다항식을 $\mathbb{F}_{3}$ 에서의 다항식, 즉 $3$ 을 법으로 하여 생각했다고 합시다. 그러면 도함수는 영이 됩니다. 이런!

우리는 이런 일이 일어나는 것을 막는 조건을 부과해야 합니다.

정의 59.4.1.

체 $F$ 에 대해, $F$ 의 표수란 다음을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $p$ 입니다,

\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$p$ 번}}=0

또는 그러한 정수 $p$ 가 존재하지 않으면 영입니다.

예제 59.4.2 (체의 표수).

오랜 친구인 $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{C}$ 는 모두 표수 0을 갖습니다. 하지만 $p$ 를 법으로 하는 정수들인 $\mathbb{F}_{p}$ 는 표수 $p$ 인 체입니다.

연습문제 59.4.3.

$F$ 를 표수 $p$ 인 체라 합시다. $p>0$ 이면 $p$ 가 소수임을 보이십시오. (증명은 다음 장에서 주어집니다.)

표수가 0이라는 가정 하에서, 앞서의 증명이 그대로 작동합니다.

보조정리 59.4.4 (표수 0에서의 분리가능성).

표수 0인 체 위의 모든 기약 다항식은 분리가능합니다.

안타깝게도 이 보조정리는 ”표수 0” 조건을 빼면 성립하지 않습니다.

비고 59.4.5.

이것이 분리가능이라고 불리는 이유는 (제 생각에는) 다음과 같은 그림 때문입니다: 다항식이 하나 있고 이를 기약인 부분들로 쪼개고 싶습니다. 보통 다항식에 중근이 있다면, 이는 그것이 기약이 아니라는 뜻입니다. 하지만 표수 $p>0$ 에서는 이것이 성립하지 않습니다. 그래서 분리불가능한 다항식은 생각해 보면 이상합니다: 어쩐지 서로 분리될 수 없는 중근을 갖게 되는 것입니다.

분리가능성이 문제가 되지 않는 어떠한 체 확대에 대해서도 이것이 작동하도록 만들 수 있습니다.

정의 59.4.6.

분리가능 확대 $K/F$ 란 각 $\alpha\in K$ 에 대해 $F$ 위에서의 $\alpha$ 의 최소다항식이 분리가능한 경우를 말합니다(예를 들어 $F$ 의 표수가 0인 경우가 그렇습니다). 체 $F$ 는 임의의 유한 체 확대 $K/F$ 가 분리가능하면 완전체라고 합니다.

실제로 다음 장에서 보게 되듯이:

정리 59.4.7 (유한체는 완전체이다).

$F$ 가 유한개의 원소를 갖는 체라고 합시다. 그러면 이는 완전체입니다.

따라서 냅킨에서 등장하는 모든 체는 유한체이거나 표수 $0$ 이므로, 우리는 분리가능성에 대해 거의 걱정할 필요가 없을 것입니다. 그러므로 ”분리가능”이라는 단어를 포함시키는 것은 대체로 형식적인 것에 지나지 않습니다.

계속 나아가면 다음을 얻습니다

정리 59.4.8 (임의의 분리가능 확대의 $n$ 개의 매장).

$K/F$ 가 차수 $n$ 인 분리가능 확대이고 $\overline{F}$ 가 $F$ 의 대수적 폐포라고 합시다. 그러면 $F$ 를 고정하는 체 준동형사상 $K\hookrightarrow\overline{F}$ 가 정확히 $n$ 개 존재하며, 이를 $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 이라 합시다.

어쨌든 이를 통해 임의의 분리가능 정규 확대에 대해 자취를 정의할 수 있습니다.

정의 59.4.9.

$K/F$ 가 차수 $n$ 인 분리가능 확대이고, $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 이 $F$ 의 대수적 폐포로의 $n$ 개의 매장이라고 합시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다

\operatorname{Tr}_{K/F}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha)\quad\text{그리고% }\quad\operatorname{N}_{K/F}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha).

$F=\mathbb{Q}$ 이고 대수적 폐포가 $\mathbb{C}$ 일 때, 이는 앞서의 정의와 일치합니다!

59.5 자기동형사상군과 갈루아 확대

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 갈루아이지만 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 는 그렇지 않습니다.

이제 이 절의 시작에서 언급했던, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 그렇지 않은 방식으로 결핍되어 있다는 발상으로 돌아가고자 합니다.

먼저 ”내부” 자기동형사상을 정의합니다.

정의 59.5.1.

$K/F$ 가 유한 확대라고 합시다. 그러면 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 는 $F$ 를 고정하는 체 동형사상 $\sigma\colon K\to K$ 들의 집합입니다. 기호로 나타내면

\operatorname{Aut}(K/F)=\left\{\sigma\colon K\to K\mid\text{$\sigma$는 $F$ 위에서 % 항등입니다}\right\}.

이는 함수 합성에 대해 군을 이룹니다!

이번에는 $\sigma$ 에 의해 $F$ 가 고정된다는 조건이 있음에 유의하십시오. (앞서 $F=\mathbb{Q}$ 를 고려했을 때는 이 조건이 저절로 성립했기 때문에 이것이 없었습니다.)

예제 59.5.2 (자기동형사상군의 예전 예시들).

새로운 표기법으로 이 장 시작 부분의 예를 다시 살펴보면 다음과 같습니다:

(a)

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이며, 원소는 $z\mapsto z$ 와 $z\mapsto\overline{z}$ 입니다.
(b)

같은 방식으로 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})$ 는 자명군이며, 항등 임베딩만을 가집니다!

예제 59.5.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 의 자기동형사상군).

새로운 예를 들어보겠습니다: $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 라고 합시다. $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$ 임이 밝혀지며, 여기서

\sigma:\begin{cases}\sqrt{2}&\mapsto-\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&\mapsto\sqrt{3}\end{cases}\quad\text{그리고}\quad\tau:\begin{cases}\sqrt% {2}&\mapsto\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&\mapsto-\sqrt{3}.\end{cases}

다시 말해, $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})$ 는 클라인 4원군입니다.

먼저, 이러한 임베딩들이 근들을 뒤섞는다는 관찰(서론의 첫 번째 관찰과 유사한)의 증명을 반복해 봅시다:

보조정리 59.5.4 ( $\operatorname{Aut}(K/F)$ 에서의 근의 뒤섞임).

$f\in F[x]$ 라 하고, $K/F$ 가 유한 확대라 가정하며, $\alpha\in K$ 가 $f$ 의 근이라고 가정합시다. 그러면 임의의 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 에 대해, $\sigma(\alpha)$ 또한 $f$ 의 근입니다.

증명.

$f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_{0}$ 라 하고, 여기서 $c_{i}\in F$ 입니다. 따라서,

0=\sigma(f(\alpha))=\sigma\left(c_{n}\alpha^{n}+\dots+c_{0}\right)=c_{n}\sigma% (\alpha)^{n}+\dots+c_{0}=f(\sigma(\alpha)).\qed

특히, $f$ 를 $\alpha$ 의 최소다항식으로 취하면 다음을 유도할 수 있습니다

임베딩 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 는 $\alpha\in K$ 를 그것의 여러 갈루아 켤레( $F$ 위에서의) 중 하나로 보냅니다.

다음으로, 특정 체들의 “결핍”을 다시 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 봅시다. 그러면, 역시 $K/\mathbb{Q}$ 는 두 가지 이유로 결핍되어 있습니다. 첫째, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\hookrightarrow\mathbb{C}$ 인 사상이 세 개 있지만, 그중 오직 하나만이 $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})$ 에 속하며, 그것은 바로 항등사상입니다. 다시 말해, $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})\right\rvert$ 가 너무 작습니다. 둘째, $K$ 에는 몇몇 갈루아 켤레( $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ )가 빠져 있습니다.

빠진 갈루아 켤레가 있다는 사실을 포착하는 방법이 바로 분해체라는 개념입니다.

정의 59.5.5.

$F$ 를 체라 하고 $p(x)\in F[x]$ 를 차수 $n$ 인 다항식이라 합시다. 그러면 $p(x)$ 는 $F$ 의 대수적 폐포 안에 근 $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 가집니다. $F$ 위에서의 $p(x)$ 의 분해체는 $F(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ 로 정의됩니다.

다시 말해, 분해체는 $p(x)$ 가 분해되는 가장 작은 체입니다.

예제 59.5.6 (분해체의 예).

(a)

$\mathbb{Q}$ 위에서의 $x^{2}-5$ 의 분해체는 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 입니다. 이는 차수 $2$ 의 확대입니다.
(b)

$\mathbb{Q}$ 위에서의 $x^{2}+x+1$ 의 분해체는 $\mathbb{Q}(\omega)$ 이며, 여기서 $\omega$ 는 1의 세제곱근입니다. 이는 차수 $2$ 의 확대입니다.
(c)

$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$ 의 분해체는 그냥 $\mathbb{Q}$ 입니다! 할 일이 없습니다.

예제 59.5.7 (분해체: 주의해야 할 사례).

$\mathbb{Q}$ 위에서의 $x^{3}-2$ 의 분해체는 사실

\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)

단순히 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 아닙니다! 정말로 모든 근을 첨가해야 하며, 이 근들이 서로를 생성하는 경우가 반드시 성립하는 것은 아닙니다.

명확히 하자면:

•

$x^{2}-5$ 의 경우, $\sqrt{5}$ 를 첨가하면 이는 자동으로 $-\sqrt{5}$ 를 포함하게 됩니다.
•

$x^{2}+x+1$ 의 경우, $\omega$ 를 첨가하면 다른 근 $\omega^{2}$ 도 공짜로 얻습니다.
•

하지만 $x^{3}-2$ 의 경우, $\sqrt[3]{2}$ 를 첨가하더라도 $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 를 공짜로 얻지는 못합니다. 실제로 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ 입니다!

특히 $\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{3}-2$ 의 분해체는 삼차가 아니라 육차라는 점에 주목하십시오.

일반적으로, 다항식의 분해체는 최대 $n!$ 차까지의 확장이 될 수 있습니다. 그 이유는 $p(x)$ 가 $n$ 개의 근을 가지고 그 사이에 어떠한 ”우연한” 관계도 없다면 근들의 어떤 치환이든 성립하기 때문입니다.

이제 다음을 얻습니다:

정리 59.5.8 (갈루아 확장은 분해체입니다).

유한 확장 $K/F$ 에 대해, $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/F)\right\rvert$ 는 $[K:F]$ 를 나누며, 등호는 $K$ 가 $F$ 에 계수를 갖는 어떤 분리 다항식의 분해체일 때 그리고 그때만 성립합니다.

이에 대한 증명은 이 장의 끝에 있는 선택적 절로 미룹니다. $K/F$ 가 유한 확장이고 $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/F)\right\rvert=[K:F]$ 이면, 확장 $K/F$ 를 갈루아라고 부릅니다. 이 경우, $\operatorname{Aut}(K/F)$ 대신 $\operatorname{Gal}(K/F)$ 로 표기하고 이를 $K/F$ 의 갈루아 군이라고 부릅니다.

예제 59.5.9 (갈루아 확장의 예와 비예).

(a)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확장인데, 이는 $\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{2}-2$ 의 분해체이기 때문입니다. 갈루아 군은 위수 2를 가지며, $\sqrt{2}\mapsto\pm\sqrt{2}$ 입니다.
(b)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확장인데, 이는 $\mathbb{Q}$ 위에서 $(x^{2}-5)^{2}-24$ 의 분해체이기 때문입니다. 앞서 논의했듯이, 갈루아 군은 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 는 갈루아 확장이 아닙니다.

마지막으로 한 번 더 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 탐구해 봅시다:

예제 59.5.10 (갈루아 폐포, 그리고 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 의 자기동형사상군).

체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 로 돌아가 봅시다. 이는 $[K:\mathbb{Q}]=6$ 인 체입니다. 다음 두 자기동형사상을 생각해 봅시다:

\sigma:\begin{cases}\sqrt[3]{2}&\mapsto\omega\sqrt[3]{2}\\ \omega&\mapsto\omega\end{cases}\quad\text{그리고}\quad\tau:\begin{cases}\sqrt[3]{% 2}&\mapsto\sqrt[3]{2}\\ \omega&\mapsto\omega^{2}.\end{cases}

$\sigma^{3}=\tau^{2}=\mathrm{id}$ 임에 주목하십시오. 이로부터 $K$ 의 자기동형사상 군은 위수가 $6$ 이어야 함을 알 수 있습니다(위수는 확실히 $\leq 6$ 입니다; 이제 라그랑주 정리를 사용하십시오). 따라서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아입니다! 실제로 다음을 명시적으로 확인할 수 있습니다

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_{3}

$3$ 개의 원소에 대한 대칭군이며, 위수는 $3!=6$ 입니다.

이 예는 비갈루아 체 확장이 주어졌을 때, 빠진 켤레들을 ”추가”하여 갈루아 확장으로 만들 수 있다는 사실을 보여줍니다. 이를 갈루아 폐포를 취한다고 부릅니다.

59.6 갈루아 이론의 기본 정리

갈루아 이론에 관한 이 모든 내용을 다룬 후, 증명은 하지 않겠지만 기본 정리를 알려드리는 것이 좋겠습니다. 기본적으로, 이 정리는 $K/F$ 가 갈루아 군 $G$ 를 갖는 갈루아 확장이라면 다음이 성립한다는 것을 말합니다:

$G$ 의 부분군은 $F\subseteq E\subseteq K$ 를 만족하는 체 $E$ 와 정확히 대응합니다.

이 전단사가 어떻게 이루어지는지 말씀드리려면, 고정체를 정의해야 합니다.

정의 59.6.1.

$K$ 를 체, $H$ 를 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 의 부분군이라 합시다. $H$ 의 고정체를 $K^{H}$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의합니다

K^{H}\coloneqq\left\{x\in K:\sigma(x)=x\;\forall\sigma\in H\right\}.

질문 59.6.2.

$K^{H}$ 가 실제로 체임을 빠르게 확인해 보십시오.

이제 다시 예시를 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 를 생각해 보면,

G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id},\sigma,\tau,\sigma\tau\}

는 클라인 사원군입니다 (여기서 $\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ 이지만 $\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}$ 이며, $\tau$ 는 그 반대 방향으로 작용합니다).

질문 59.6.3.

$H=\{\mathrm{id},\sigma\}$ 라 합시다. $K^{H}$ 는 무엇입니까?

이 경우, $\mathbb{Q}$ 와 $K$ 사이의 체 도식은 다음과 같이 $G$ 의 부분군과 정확히 일치합니다.

부분군이 고정체에 대응함을 알 수 있습니다. 이 사실은, 그리고 그보다 훨씬 많은 것이, 일반적으로 성립합니다.

정리 59.6.4 (갈루아 이론의 기본 정리).

$K/F$ 를 갈루아 군 $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ 를 갖는 갈루아 확대라 합시다.

(a)

체 탑 $F\subseteq E\subseteq K$ 와 부분군 $H\subseteq G$ 사이에는 전단사가 존재합니다.

$\left\{\begin{array}[]{c}K\\ \mid\\ E\\ \mid\\ F\end{array}\right\}\iff\left\{\begin{array}[]{c}1\\ \mid\\ H\\ \mid\\ G\end{array}\right\}$

이 전단사는 $H$ 를 그 고정체 $K^{H}$ 로 보내며, 따라서 포함 관계를 뒤집습니다.
(b)

이 전단사 아래, $[K:E]=\left\lvert H\right\rvert$ 이고 $[E:F]=|G/H|$ 입니다.
(c)

$K/E$ 는 항상 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 $\operatorname{Gal}(K/E)=H$ 입니다.
(d)

$E/F$ 가 갈루아 확대인 것은 $H$ 가 $G$ 의 정규부분군인 것과 동치입니다. 그러한 경우, $\operatorname{Gal}(E/F)=G/H$ 입니다.

연습문제 59.6.5.

이 정리를 다음의 경우에 적용해 봅시다

K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega).

$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 갈루아 확대가 아니라는 사실이 $S_{3}$ 가 위수 $2$ 인 정규부분군을 갖지 않는다는 사실에 대응함을 확인하십시오.

59.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 59A (원분체의 갈루아 군).

$p$ 를 홀수인 유리소수라 하고 $\zeta_{p}$ 를 $p$ 차 원시근이라 합시다. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ 라 합시다. 다음을 보이십시오.

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}.

힌트. $\zeta_{p}$ 의 상을 살펴보십시오.

풀이. 이는 단순히 $\mathbb{Z}/p-1\mathbb{Z}$ 인데, 이는 $\zeta_{p}$ 가 $p-1$ 개의 원시 단위근 중 하나(임의의 것)로 보내져야 하기 때문입니다.

문제 59B.

$\mathbb{Q}$ 의 3차 갈루아 확대의 예를 하나 드십시오.

문제 59C (그리스 작도).

세 가지 그리스 작도가

(a)

정육면체의 배적,
(b)

원의 정사각형화, 그리고
(c)

각의 삼등분이

모두 불가능함을 증명하십시오. ( $\pi$ 가 초월수라고 가정하십시오.)

힌트. 반복된 이차 확대는 차수가 $2$ 이므로, 2의 거듭제곱만 얻을 수 있습니다.

문제 59D (중국 홍콩 수학 올림피아드).

^†^†margin:

다음을 만족하는 유리수 $p$ , $q$ , $r$ 이 존재하지 않음을 증명하십시오.

\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)=p+\sqrt{q}+\sqrt[3]{r}.

풀이. 비슷하지만 동일하지는 않은 문제가 여기에서 풀렸습니다: https://aops.com/community/c6h149153p842956.

문제 59E.

$\mathbb{R}$ 의 유일한 자기동형사상이 항등사상임을 보이십시오. 따라서 $\operatorname{Aut}(\mathbb{R}/\mathbb{Q})$ 는 자명군입니다.

힌트. 힌트: $\sigma(x^{2})=\sigma(x)^{2}\geq 0$ 와 코시의 함수 방정식을 사용하십시오.

문제 59F (아르틴의 원시원소 정리).

^†^†margin:

$K$ 를 수체라고 합시다. 어떤 $\gamma$ 에 대해 $K\cong\mathbb{Q}(\gamma)$ 임을 보이십시오.

힌트. 귀납법에 의해, $\alpha$ 와 $\beta$ 로 표현되는 어떤 $\gamma$ 에 대해 $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=\mathbb{Q}(\gamma)$ 임을 보이는 것으로 충분합니다. 유한 개를 제외한 모든 유리수 $\lambda$ 에 대해, $\gamma=\alpha+\lambda\beta$ 로 선택하면 작동합니다.

풀이. https://www.math.cornell.edu/~kbrown/6310/primitive.pdf

59.8 (선택) 갈루아 확장이 분해체임의 증명

정리 59.5.8를 증명합니다. 먼저, 기본 정리로부터 유용한 조각을 추출합니다.

정리 59.8.1 (고정체 정리).

$K$ 를 체라 하고 $G$ 를 $\operatorname{Aut}(K)$ 의 부분군이라 합시다. 그러면 $[K:K^{G}]=\left\lvert G\right\rvert$ 입니다.

부등식 자체는 어렵지 않습니다:

연습문제 59.8.2.

$[K:F]\geq|\operatorname{Aut}(K/F)|$ 임을 보이고, 모든 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 에 의해 고정되는 원소들의 집합이 정확히 $F$ 일 때에만 등호가 성립함을 보이십시오. (정리 59.8.1를 사용하십시오.)

등호가 성립하는 경우는 더 까다롭습니다.

더 쉬운 방향은 $K$ 가 분해체인 경우입니다. $K=F(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ 가 $n$ 개의 서로 다른 근 $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$ 을 갖는 어떤 분리다항식 $p\in F[x]$ 의 분해체라고 합시다. 이들을 하나씩 첨가합니다:

(이 도식이 익숙해 보입니까?) $F$ 를 고정하는 모든 사상 $K\to K$ 는 위의 가환 도식에 대응됩니다. 이전과 마찬가지로, $\tau_{1}$ 을 선택하는 방법은 정확히 $[F(\alpha_{1}):F]$ 가지입니다. (이를 위해서는 $\alpha_{1}$ 의 최소다항식 $p_{1}$ 이 분리다항식이라는 사실이 필요합니다: $p_{1}$ 을 대응시킬 서로 다른 근이 정확히 $\deg p_{1}=[F(\alpha_{1}):F]$ 개 있어야 합니다.) 마찬가지로, $\tau_{1}$ 의 선택이 주어지면, $\tau_{2}$ 를 선택하는 방법은 $[F(\alpha_{1},\alpha_{2}):F(\alpha_{1})]$ 가지입니다. 이들을 모두 곱하면 원하는 $[K:F]$ 가 나옵니다.

이제 $K/F$ 가 갈루아라고 가정합시다. 먼저, 다음을 서술합니다:

보조정리 59.8.3.

$K/F$ 가 갈루아 확대이고 $p\in F[x]$ 가 기약이라고 합시다. 만약 $p$ 의 (근이 $\overline{F}$ 에 있는) 근 하나가 $K$ 에 속한다면, 모든 근이 $K$ 에 속하며, 실제로 $p$ 는 분리가능합니다.

증명.

$\alpha\in K$ 를 주어진 근이라 합시다. 다음 집합을 생각합니다

S=\left\{\sigma(\alpha)\mid\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F)\right\}.

( $\operatorname{Gal}(K/F)\ni\mathrm{id}$ 이므로 $\alpha\in S$ 임에 유의하십시오.) 구성상, 임의의 $\tau\in\operatorname{Gal}(K/F)$ 는 $S$ 를 고정합니다. 그러므로 다음을 구성하면

\tilde{p}(x)=\prod_{\beta\in S}(x-\beta),

비에트의 공식에 의해, $\tilde{p}$ 의 모든 계수가 $\sigma$ 의 원소들에 의해 고정됨을 알 수 있습니다. 연습문제에서 명시한 등호가 성립하는 경우에 의해, $\tilde{p}$ 가 $F$ 에 계수를 갖는다는 것이 따라 나옵니다! (바로 이 지점에서 그 조건을 사용합니다.) 또한, 보조정리 59.5.4에 의해 $\tilde{p}$ 는 $p$ 를 나눕니다.

그런데 $p$ 는 기약다항식이었으므로, 이는 $F[x]$ 에서 $\alpha$ 의 최소다항식이며, 따라서 $p$ 가 $\tilde{p}$ 를 나누어야 합니다. 그러므로 $p=\tilde{p}$ 입니다. $\tilde{p}$ 가 분리다항식이 되도록 구성되었으므로, $p$ 도 분리다항식입니다. ∎

이제 거의 다 끝났습니다 – $K/F$ 의 기저 $\omega_{1}$ , …, $\omega_{n}$ 을 선택하고, $p_{i}$ 를 이들의 최소다항식이라고 합시다. 위의 사실에 의해, $K$ 바깥에서는 근을 얻지 않습니다. $P=p_{1}\dots p_{n}$ 을 생각하되, 반복되는 인수는 제거합니다. $P$ 의 근은 $\omega_{1}$ , …, $\omega_{n}$ 과 $K$ 안의 다른 몇몇 원소입니다. 따라서 $K$ 는 $P$ 의 분해체입니다.

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sigma(c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{% 0})$
		$\displaystyle=\sigma(c_{n})\sigma(\alpha)^{n}+\sigma(c_{n-1})\sigma(\alpha)^{n% -1}+\dots+\sigma(c_{1})\sigma(\alpha)+\sigma(c_{0})$
		$\displaystyle=c_{n}\sigma(\alpha)^{n}+c_{n-1}\sigma(\alpha)^{n-1}+\dots+c_{1}% \sigma(\alpha)+c_{0}$