장 59 갈루아에 관한 것들

59.1 동기

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 와 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ .

갈루아 이론의 핵심 개념은 매장이며, 이는 앞서 설명한 “켤레”라는 개념에 접근하는 또 다른 방법을 제공합니다.

$K$ 를 수체라고 합시다. 매장 $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb{C}$ 는 단사 체 준동형사상입니다. 즉, 덧셈과 곱셈을 보존해야 하며, 특히 $1$ 을 고정해야 합니다.

질문 59.1.1.

이 맥락에서 임의의 유리수 $q$ 에 대해 $\sigma(q)=q$ 임을 보이십시오.

예제 59.1.2 (매장의 예).

(a)

$K=\mathbb{Q}(i)$ 이면, $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 두 매장은 $z\mapsto z$ (항등 사상)와 $z\mapsto\overline{z}$ (복소켤레)입니다.
(b)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 이면, $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 두 매장은 $a+b\sqrt{2}\mapsto a+b\sqrt{2}$ (항등 사상)와 $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ (켤레)입니다.
(c)
$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 이면, 세 개의 매장이 있습니다.
- •
  
  $1\mapsto 1$ , $\sqrt[3]{2}\mapsto\sqrt[3]{2}$ 로 보내는 항등 매장입니다.
- •
  
  $1\mapsto 1$ , $\sqrt[3]{2}\mapsto\omega\sqrt[3]{2}$ 로 보내는 매장입니다. 여기서 $\omega$ 는 세제곱 단위근입니다. 이것만으로 매장의 나머지 부분이 결정된다는 점에 유의하십시오.
- •
  
  $1\mapsto 1$ , $\sqrt[3]{2}\mapsto\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 로 보내는 매장입니다.

이 매장들에 대해 몇 가지 관찰을 하고자 하며, 이는 갈루아 이론의 핵심 개념을 이루게 됩니다. 여기에 주목하십시오!

•

먼저 근들 사이에 어떤 쌍대성이 있다는 것을 알아차릴 것입니다. 첫 번째 예에서 $i$ 는 $\pm i$ 로, $\sqrt{2}$ 는 $\pm\sqrt{2}$ 로, $\sqrt[3]{2}$ 는 $x^{3}-2$ 의 다른 근들로 보내집니다. 이것은 우연이 아니며, 일반적으로 이런 일이 일어난다는 것을 보일 수 있습니다. 구체적으로, $\alpha$ 의 최소 다항식이 다음과 같다고 합시다.

$0=c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{0}$

여기서 $c_{i}$ 는 유리수입니다. 그러면 양변에 임의의 매장 $\sigma$ 를 적용하여 다음을 얻습니다.

$\displaystyle 0$ $\displaystyle=\sigma(c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{% 0})$

$\displaystyle=\sigma(c_{n})\sigma(\alpha)^{n}+\sigma(c_{n-1})\sigma(\alpha)^{n% -1}+\dots+\sigma(c_{1})\sigma(\alpha)+\sigma(c_{0})$

$\displaystyle=c_{n}\sigma(\alpha)^{n}+c_{n-1}\sigma(\alpha)^{n-1}+\dots+c_{1}% \sigma(\alpha)+c_{0}$

여기서 마지막 단계에서는 $c_{i}\in\mathbb{Q}$ 이므로 이들이 $\sigma$ 에 의해 고정된다는 사실을 사용했습니다. 따라서 최소 다항식의 근은 그 다항식의 다른 근으로 갑니다.
•

다음으로, 두 번째 예와 세 번째 예 사이의 차이를 짚어 보고자 합니다. 구체적으로, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장을 고려하는 예 (b)를 봅시다. 이 매장들의 상은 전부 $K$ 안에 놓입니다. 즉, $K\to\mathbb{C}$ 를 보는 대신 $K\to K$ 를 보아도 마찬가지였을 것입니다. 그러나 (c)에서는 그렇지 않습니다. 실제로 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ 이지만, 항등이 아닌 매장들은 복소수 값을 출력합니다!

핵심적인 차이는 다시 켤레에 대해 생각해 보는 데 있습니다. 핵심 관찰은 다음과 같습니다.

체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 는 “부족”합니다. 최소 다항식 $x^{3}-2$ 가 $K$ 에 포함되지 않는 다른 두 근 $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 를 가지기 때문입니다.

반면 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 $x^{2}-2$ 의 두 근이 모두 $K$ 안에 포함되므로 아무 문제가 없습니다. 마지막으로, $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 체 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 로 완성하면 실제로 그 결함을 고칠 수 있습니다. $\mathbb{Q}(i)$ 나 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 처럼 “자기완결적인” 체를 갈루아 확대라고 부르며, 이에 대해서는 곧 설명하겠습니다.
•

마지막으로, 위의 예들에서 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로의 매장의 개수가 마침 $K$ 의 차수와 같다는 것을 알아차리실 것입니다. 이는 중요한 정리인 정리 59.3.1입니다.

이 장에서는 이러한 개념들을 $\mathbb{Q}$ 이외의 임의의 체에 대해 완전한 일반성을 갖추어 전개하겠습니다.

59.2 체 확대, 대수적 확대, 분해체

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 는 확대이고, $\mathbb{C}$ 는 임의의 수체의 대수적 확대입니다.

먼저, 수체의 개념을 일반화하기 위해 한 체가 다른 체 안에 들어 있다는 개념을 정의합니다.

정의 59.2.1.

$K$ 와 $F$ 를 체라고 합시다. $F\subseteq K$ 이면 $K/F$ 로 쓰고, $K$ 를 $F$ 의 체 확대라고 합니다.

따라서 $K$ 는 자동으로 $F$ -벡터 공간이 됩니다( $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 가 자동으로 $\mathbb{Q}$ -벡터 공간이 되는 것과 마찬가지입니다). 차수는 이 공간의 차원이며, $[K:F]$ 로 나타냅니다. $[K:F]$ 가 유한하면 $K/F$ 를 유한 (체) 확대라고 합니다.

정말 이것이 전부입니다. 까다로운 부분은 전혀 없습니다.

질문 59.2.2.

$\mathbb{Q}$ 의 유한 확대를 무엇이라고 부릅니까?

유한 확대의 차수는 곱셈적입니다.

정리 59.2.3 (체 확대의 차수는 곱셈적입니다).

$F\subseteq K\subseteq L$ 이 체이고 $L/K$ , $K/F$ 가 유한하다고 합시다. 그러면

[L:K][K:F]=[L:F].

증명.

기저로 밀어붙이기: $K$ 위에서 $L$ 의 기저를 찾은 다음, 이를 $F$ 위에서 $L$ 의 기저로 확장하면 됩니다. (성실한 독자께서는 세부 사항을 채워 보십시오.) ∎

다음으로, ( $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 와 같은) 체가 주어졌을 때 이를 매장할 대상(우리의 경우 $\mathbb{C}$ )이 필요합니다. 즉, 모든 다항식의 모든 근을 포함하는 체가 필요할 뿐입니다. $E$ 에 계수를 갖는 모든 다항식이 $E$ 위의 일차 다항식들의 곱으로 나타날 때 체 $E$ 가 대수적으로 닫혀 있다고 하기로 합시다. 대표적인 예는 다음과 같습니다.

예제 59.2.4 ( $\mathbb{C}$ ).

$\mathbb{C}$ 는 대수적으로 닫혀 있습니다.

중요한 정리 중 하나는 임의의 체 $F$ 를 대수적으로 닫힌 체 $\overline{F}$ 로 확대할 수 있다는 것입니다. $\overline{F}[x]$ 에 속하는 다항식의 모든 근은 $\overline{F}$ 에 있으므로, 특히 $F[x]$ 에 속하는 다항식의 모든 근도 $\overline{F}$ 에 있습니다. 그 결과는 다음과 같습니다.

정리 59.2.5 (대수적 폐포).

임의의 체 $F$ 는 대수적으로 닫힌 체 확대를 갖습니다. 사실 포함 관계에 대해 극소인 그러한 확대가 유일하게 존재하며, 이를 대수적 폐포라고 부르고 $\overline{F}$ 로 나타냅니다. (여기서 “극소”란 $F$ 의 다른 모든 대수적으로 닫힌 확대가 $\overline{F}$ 와 동형인 사본을 포함한다는 뜻입니다.) 대수적 폐포는 $\overline{F}$ 의 모든 원소가 실제로 $F$ 에 계수를 갖는 어떤 다항식의 근이라는 성질을 갖습니다.

예제 59.2.6 ( $\overline{\mathbb{R}}=\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\supsetneq\overline{% \mathbb{Q}}$ ).

$\mathbb{C}$ 는 $\mathbb{R}$ 의 (그리고 자기 자신의) 대수적 폐포입니다. 그러나 $\mathbb{Q}$ 의 대수적 폐포 $\overline{\mathbb{Q}}$ (즉, 대수적 수들의 집합)는 $\mathbb{C}$ 의 진부분체입니다(어떤 복소수는 유리수 계수 다항식의 근이 되지 않습니다).

보통은 이러한 확대가 어떻게 생겼는지에 크게 신경 쓰지 않고, 존재한다는 사실에 만족할 것입니다. 대수적 폐포조차 쓰지 않고 그저 충분히 큰 체를 쓰는 경우도 많습니다. 예를 들어 $\mathbb{Q}$ -계수 다항식 $f$ 를 다룰 때는 $\mathbb{C}$ 대신 더 작은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 를 쓰는 편이 덜 낭비적일 수 있더라도, 편의와 구체성을 위해 $f$ 의 근을 그냥 $\mathbb{C}$ 의 원소로 생각합니다.

59.3 수체의 대수적 폐포로의 매장

이제 이 재료들을 모두 정의했으니 다음을 증명할 수 있습니다.

정리 59.3.1 (수체의 $n$ 개의 매장).

$K$ 를 차수가 $n$ 인 수체라고 합시다. 그러면 $\mathbb{Q}$ 를 고정하는 체 준동형사상 $K\hookrightarrow\mathbb{C}$ 가 정확히 $n$ 개 존재하며, 이를 $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}$ 이라고 합시다.

비고 59.3.2.

체의 자명하지 않은 준동형사상은 반드시 단사라는 점에 유의하십시오(핵이 아이디얼이기 때문입니다). 이로써 “ $\hookrightarrow$ ”의 사용이 정당화되며, 각 $\sigma_{i}$ 를 $K$ 의 $\mathbb{C}$ 로의 매장이라고 부릅니다.

증명.

사실 꽤 재미있는 증명입니다! $\mathbb{Q}$ 위의 모든 기약 다항식은 서로 다른 근을 갖는다는 사실(보조정리 54.1.2)을 떠올리십시오. 원소 $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{m}$ 을 하나씩 $\mathbb{Q}$ 에 첨가하여 마침내 $K$ 전체를 얻을 것입니다. 즉,

K=\mathbb{Q}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}).

이를 도식으로 나타내면 다음과 같습니다.

먼저 $\tau_{1}$ 을 고르는 방법이 정확히

[\mathbb{Q}(\alpha_{1}):\mathbb{Q}]

가지라고 주장합니다. $\tau_{1}$ 은 $\alpha_{1}$ 을 어디로 보내는지에 따라 결정된다는 점에 주목하십시오( $\tau_{1}$ 은 $\mathbb{Q}$ 를 고정해야 하기 때문입니다). $p_{1}$ 을 $\alpha_{1}$ 의 최소 다항식이라 하면, $\tau_{1}$ 의 선택지는 $p_{1}$ 의 (서로 다른) 근 하나당 하나씩, 모두 $\deg p_{1}$ 개임을 알 수 있습니다. 이로써 주장이 증명됩니다.

마찬가지로, $\tau_{1}$ 의 선택이 주어졌을 때

[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\alpha_{2}):\mathbb{Q}(\alpha_{1})]

가지의 $\tau_{2}$ 를 고르는 방법이 있습니다. (조금 다른 점이 있습니다. $\tau_{1}$ 이 항등사상일 필요는 없습니다. 그러나 $\tau_{2}$ 가 $\alpha_{2}$ 를 어디로 보내는지에 따라 결정된다는 사실은 여전히 성립하며, 앞에서와 마찬가지로 가능한 방법은 $[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\alpha_{2}):\mathbb{Q}(\alpha_{1})]$ 가지입니다.)

이들을 모두 곱하면 원하는 $[K:\mathbb{Q}]$ 를 얻습니다. ∎

비고 59.3.3.

사실 원시 원소 정리에 따르면 $m=1$ 로 충분하므로, 탑 전체를 쌓을 필요가 없습니다. 이렇게 하면 증명이 다소 간단해집니다.

“ $K$ 를 차수가 $n$ 인 수체라 하고, $\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}$ 을 그 $n$ 개의 매장이라 하자”와 같은 표현이 별다른 설명 없이 쓰이는 경우가 흔합니다. 이 매장들과 갈루아 켤레 사이의 관계는 다음과 같습니다.

정리 59.3.4 (매장은 켤레들에 고르게 분포합니다).

$K$ 를 $n$ 개의 매장 $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 을 갖는 차수 $n$ 의 수체라 하고, $\alpha\in K$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 $m$ 개의 갈루아 켤레를 갖는다고 합시다.

그러면 $\sigma_{j}(\alpha)$ 는 이 $m$ 개의 켤레 각각에 “고르게 분포”합니다. 즉, 임의의 갈루아 켤레 $\beta$ 에 대하여 매장 중 정확히 $\frac{n}{m}$ 개가 $\alpha$ 를 $\beta$ 로 보냅니다.

증명.

앞의 증명에서 $\alpha_{1}=\alpha$ 를 가장 먼저 첨가하십시오. ∎

이제 $\mathbb{Q}$ 위의 대각합과 노름을 깔끔하게 정의할 수 있습니다. 수체 $K$ 가 주어지면 다음과 같이 둡니다.

\operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha)\quad% \text{그리고}\quad\operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_{% i}(\alpha)

여기서 $\sigma_{i}$ 는 $K$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 $n$ 개의 매장입니다.

59.4 모두가 싫어하는 표수 2: 분리 가능성 대 기약성

대표적인 예: $\mathbb{Q}$ 는 표수가 0이므로, 기약 다항식은 분리 가능합니다.

이제 임의의 체 $F$ 에 대해 성립하는 위 정리의 한 형태를 얻고자 합니다. 증명을 읽어 보면, 체 $\mathbb{Q}$ 에 관한 성질을 사용하는 유일한 부분은 보조정리 54.1.2이며, 여기서 다음 사실을 사용한다는 것을 알 수 있습니다.

$F$ 위의 기약 다항식은 중근을 갖지 않습니다.

중근이 없는 다항식을 분리 가능하다고 부릅시다. 따라서 우리는 기약 다항식이 분리 가능하기를 원합니다. 지난 장에서는 $\mathbb{Q}$ 에 대해 도함수를 이용하여 이를 보였습니다. 어떤 체에서든 통하지 않겠습니까?

그렇지 않습니다. $2x^{3}+24x+9$ 와 같은 다항식의 도함수, 즉 $6x^{2}+24$ 를 구했다고 합시다. $\mathbb{C}$ 에서는 상수가 아닌 다항식의 도함수 $f^{\prime}$ 이 0이 아니라는 것이 자명합니다. 그러나 위 다항식을 $\mathbb{F}_{3}$ 에서의 다항식으로, 즉 $3$ 을 법으로 하여 생각한다고 합시다. 그러면 도함수는 0이 됩니다. 이런!

이런 일이 일어나지 않도록 막는 조건을 부과해야 합니다.

정의 59.4.1.

체 $F$ 에 대하여, $F$ 의 표수는 다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $p$ 이며,

\underbrace{1_{F}+\dots+1_{F}}_{\text{$p$번}}=0

그러한 정수 $p$ 가 존재하지 않으면 0입니다.

예제 59.4.2 (체의 표수).

오랜 친구인 $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{C}$ 는 모두 표수가 0입니다. 그러나 $p$ 를 법으로 하는 정수들인 $\mathbb{F}_{p}$ 는 표수가 $p$ 인 체입니다.

연습문제 59.4.3.

$F$ 를 표수가 $p$ 인 체라 합시다. $p>0$ 이면 $p$ 가 소수임을 보이십시오. (증명은 다음 장에 있습니다.)

표수가 0이라고 가정하면 앞의 증명이 그대로 성립합니다.

보조정리 59.4.4 (표수가 0일 때의 분리 가능성).

표수가 0인 체에서 모든 기약 다항식은 분리 가능합니다.

안타깝게도 “표수가 0”이라는 조건을 빼면 이 보조정리는 거짓입니다.

비고 59.4.5.

이것을 분리 가능하다고 부르는 이유는 (제 생각에는) 다음과 같은 그림 때문입니다. 다항식이 하나 있고, 이를 기약인 부분들로 쪼개고 싶다고 합시다. 보통은 다항식이 중근을 가지면 그 다항식은 기약이 아닙니다. 하지만 표수 $p>0$ 에서는 이것이 성립하지 않습니다. 그래서 분리 불가능한 다항식은 생각해 보면 이상합니다. 어째서인지 서로 분리할 수 없는 중근을 가지기 때문입니다.

분리 가능성이 문제가 되지 않는 모든 체 확대에 대해 이것이 성립하도록 만들 수 있습니다.

정의 59.4.6.

분리 확대 $K/F$ 란 각 $\alpha\in K$ 에 대해 $F$ 위에서 $\alpha$ 의 최소 다항식이 분리 가능한 확대입니다(예를 들어 $F$ 의 표수가 0인 경우가 그렇습니다). 체 $F$ 는 모든 유한 체 확대 $K/F$ 가 분리 확대일 때 완전하다고 합니다.

사실 다음 장에서 보겠지만 다음이 성립합니다.

정리 59.4.7 (유한체는 완전합니다).

$F$ 가 유한 개의 원소를 가진 체라고 합시다. 그러면 $F$ 는 완전합니다.

따라서 Napkin에서 보는 모든 체는 유한체이거나 표수가 $0$ 이므로, 분리 가능성에 대해 걱정할 일은 거의 없습니다. 그러므로 “분리 가능”이라는 단어를 넣는 것은 대부분 형식적인 것입니다.

계속 진행하면 다음을 얻습니다.

정리 59.4.8 (분리 확대의 $n$ 개의 매장).

$K/F$ 를 차수가 $n$ 인 분리 확대라 하고, $\overline{F}$ 를 $F$ 의 대수적 폐포라 합시다. 그러면 $F$ 를 고정하는 체 준동형사상 $K\hookrightarrow\overline{F}$ 가 정확히 $n$ 개 존재하며, 이를 $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 이라 합시다.

어쨌든 이를 이용하면 임의의 분리 정규 확대에 대해 대각합을 정의할 수 있습니다.

정의 59.4.9.

$K/F$ 를 차수가 $n$ 인 분리 확대라 하고, $\sigma_{1}$ , …, $\sigma_{n}$ 을 $F$ 의 대수적 폐포로의 $n$ 개의 매장이라 합시다. 그러면 다음과 같이 정의합니다.

\operatorname{Tr}_{K/F}(\alpha)=\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha)\quad\text{그리고% }\quad\operatorname{N}_{K/F}(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_{i}(\alpha).

$F=\mathbb{Q}$ 이고 대수적 폐포가 $\mathbb{C}$ 일 때, 이는 앞에서의 정의와 일치합니다!

59.5 자기동형사상군과 갈루아 확대

대표적인 예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 는 갈루아 확대이지만 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 는 그렇지 않습니다.

이제 이 절의 처음에 언급했던 생각, 즉 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 에는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에는 없는 결함이 있다는 생각으로 돌아가고자 합니다.

먼저 “내부” 자기동형사상을 정의합니다.

정의 59.5.1.

$K/F$ 가 유한 확대라고 합시다. 그러면 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 는 $F$ 를 고정하는 체 동형사상 $\sigma\colon K\to K$ 들의 집합입니다. 기호로 쓰면 다음과 같습니다.

\operatorname{Aut}(K/F)=\left\{\sigma\colon K\to K\mid\text{$\sigma$는 $F$ 위에서 % 항등사상입니다}\right\}.

이는 함수 합성에 대해 군을 이룹니다!

이번에는 $F$ 가 $\sigma$ 에 의해 고정된다는 조건이 있다는 점에 유의하십시오. (앞에서 $F=\mathbb{Q}$ 를 고려할 때는 이 조건이 자동으로 성립했기 때문에 이 조건이 없었습니다.)

예제 59.5.2 (앞에서 본 자기동형사상군의 예).

이 장의 처음에 나온 예제를 새로운 표기법으로 다시 살펴보면 다음과 같습니다.

(a)

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이며, 그 원소는 $z\mapsto z$ 와 $z\mapsto\overline{z}$ 입니다.
(b)

같은 방식으로 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})$ 는 항등 매장만을 원소로 갖는 자명군입니다!

예제 59.5.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 의 자기동형사상군).

새로운 예제를 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 라 하겠습니다. 이때 $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$ 임이 밝혀집니다. 여기서

\sigma:\begin{cases}\sqrt{2}&\mapsto-\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&\mapsto\sqrt{3}\end{cases}\quad\text{그리고}\quad\tau:\begin{cases}\sqrt% {2}&\mapsto\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&\mapsto-\sqrt{3}.\end{cases}

다시 말해, $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})$ 는 클라인 4원군입니다.

먼저, 이 매장들이 근들을 서로 뒤섞는다는 관찰(서론의 첫 번째 관찰과 비슷합니다)의 증명을 다시 살펴봅시다.

보조정리 59.5.4 ( $\operatorname{Aut}(K/F)$ 에서의 근 뒤섞기).

$f\in F[x]$ 라 하고, $K/F$ 가 유한 확대이며 $\alpha\in K$ 가 $f$ 의 근이라고 가정합시다. 그러면 임의의 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 에 대해 $\sigma(\alpha)$ 역시 $f$ 의 근입니다.

증명.

$f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_{0}$ 라 하고, 여기서 $c_{i}\in F$ 입니다. 따라서

0=\sigma(f(\alpha))=\sigma\left(c_{n}\alpha^{n}+\dots+c_{0}\right)=c_{n}\sigma% (\alpha)^{n}+\dots+c_{0}=f(\sigma(\alpha)).\qed

특히 $f$ 를 $\alpha$ 의 최소 다항식으로 잡으면 다음을 얻습니다.

매장 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 는 $\alpha\in K$ 를 ( $F$ 위에서의) 여러 갈루아 켤레 중 하나로 보냅니다.

다음으로, 어떤 체들의 “결함”을 다시 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 보겠습니다. 이 경우에도 $K/\mathbb{Q}$ 에는 두 가지 이유로 결함이 있습니다. 첫째, 사상 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\hookrightarrow\mathbb{C}$ 는 세 개가 있지만, 그중 $\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})$ 에 속하는 것은 하나, 즉 항등사상뿐입니다. 다시 말해, $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/\mathbb{Q})\right\rvert$ 가 너무 작습니다. 둘째, $K$ 에는 일부 갈루아 켤레( $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ )가 빠져 있습니다.

빠진 갈루아 켤레가 있다는 사실은 분해체라는 개념으로 포착할 수 있습니다.

정의 59.5.5.

$F$ 를 체라 하고 $p(x)\in F[x]$ 를 $n$ 차 다항식이라 합시다. 그러면 $p(x)$ 는 $F$ 의 대수적 폐포 안에서 근 $\alpha_{1}$ , …, $\alpha_{n}$ 을 갖습니다. $F$ 위에서 $p(x)$ 의 분해체는 $F(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ 으로 정의합니다.

다시 말해, 분해체는 $p(x)$ 가 완전히 분해되는 가장 작은 체입니다.

예제 59.5.6 (분해체의 예).

(a)

$\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{2}-5$ 의 분해체는 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 입니다. 이는 $2$ 차 확대입니다.
(b)

$\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{2}+x+1$ 의 분해체는 $\mathbb{Q}(\omega)$ 입니다. 여기서 $\omega$ 는 세제곱 단위근입니다. 이것은 차수가 $2$ 인 확대입니다.
(c)

$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$ 의 분해체는 그냥 $\mathbb{Q}$ 입니다! 따로 할 일이 없습니다.

예제 59.5.7 (분해체: 주의할 점).

$\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{3}-2$ 의 분해체는 사실

\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)

이며, 단순히 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 아닙니다! 반드시 모든 근을 첨가해야 하며, 이 근들이 서로를 생성한다는 보장은 없습니다.

명확히 하자면 다음과 같습니다.

•

$x^{2}-5$ 의 경우 $\sqrt{5}$ 를 첨가하면 $-\sqrt{5}$ 도 자동으로 포함됩니다.
•

$x^{2}+x+1$ 의 경우 $\omega$ 를 첨가하면 다른 근 $\omega^{2}$ 도 저절로 얻어집니다.
•

그러나 $x^{3}-2$ 의 경우 $\sqrt[3]{2}$ 를 첨가해도 $\omega\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega^{2}\sqrt[3]{2}$ 는 저절로 얻어지지 **않습니다**. 실제로 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ 입니다!

특히 $\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{3}-2$ 의 분해체는 단순히 3차가 아니라 6차라는 점에 유의하십시오.

일반적으로 다항식의 분해체는 최대 $n!$ 차까지의 확장이 될 수 있습니다. 그 이유는 $p(x)$ 가 $n$ 개의 근을 가지고 그 근들 사이에 “우연한” 관계가 없다면 그러면 근들의 어떤 순열이든 성립합니다.

이제 다음을 얻습니다.

정리 59.5.8 (갈루아 확대는 분해체입니다).

유한 확대 $K/F$ 에 대하여 $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/F)\right\rvert$ 는 $[K:F]$ 를 나누며, 등호는 $K$ 가 $F$ 에 계수를 가지는 어떤 분리 가능 다항식의 분해체일 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

이것의 증명은 이 장 끝의 선택 절로 미룹니다. $K/F$ 가 유한 확대이고 $\left\lvert\operatorname{Aut}(K/F)\right\rvert=[K:F]$ 이면, 확대 $K/F$ 가 갈루아라고 합니다. 이 경우 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 대신 $\operatorname{Gal}(K/F)$ 로 표기하고, 이를 $K/F$ 의 갈루아 군이라고 부릅니다.

예제 59.5.9 (갈루아 확대의 예와 반례).

(a)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{Q}$ 위에서 $x^{2}-2$ 의 분해체이므로 갈루아입니다. 갈루아 군의 위수는 2이며, $\sqrt{2}\mapsto\pm\sqrt{2}$ 입니다.
(b)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{Q}$ 위에서 $(x^{2}-5)^{2}-24$ 의 분해체이므로 갈루아입니다. 앞서 논의했듯이 갈루아 군은 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 입니다.
(c)

확장 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 는 갈루아가 아닙니다.

마지막으로 한 번 더 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 를 살펴봅시다.

예제 59.5.10 (갈루아 폐포, 그리고 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 의 자기동형사상군).

체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ 로 돌아갑시다. 이는 $[K:\mathbb{Q}]=6$ 인 체입니다. 다음 두 자기동형사상을 생각하십시오.

\sigma:\begin{cases}\sqrt[3]{2}&\mapsto\omega\sqrt[3]{2}\\ \omega&\mapsto\omega\end{cases}\quad\text{그리고}\quad\tau:\begin{cases}\sqrt[3]{% 2}&\mapsto\sqrt[3]{2}\\ \omega&\mapsto\omega^{2}.\end{cases}

$\sigma^{3}=\tau^{2}=\mathrm{id}$ 임에 주목하십시오. 이로부터 $K$ 의 자기동형사상군의 위수가 $6$ 이어야 함을 알 수 있습니다(위수가 $\leq 6$ 인 것은 분명하므로, 이제 라그랑주 정리를 사용하십시오). 따라서 $K/\mathbb{Q}$ 는 갈루아입니다! 실제로 다음이

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_{3}

위수가 $3!=6$ 인, $3$ 개 원소 위의 대칭군임을 명시적으로 확인할 수 있습니다.

이 예는 갈루아가 아닌 체 확대가 주어졌을 때, 빠진 켤레들을 “추가하여” 갈루아로 만들 수 있다는 사실을 보여 줍니다. 이를 갈루아 폐포를 취한다고 합니다.

59.6 갈루아 이론의 기본 정리

갈루아 이론에 관해 이만큼 이야기했으니, 증명은 하지 않겠지만 기본 정리를 알려 드리는 것이 좋겠습니다. 요컨대 이 정리는 $K/F$ 가 갈루아 군 $G$ 를 갖는 갈루아 확장이면 다음이 성립한다고 말합니다.

$G$ 의 부분군은 $F\subseteq E\subseteq K$ 인 체 $E$ 와 정확히 대응합니다.

이 전단사가 어떻게 이루어지는지 설명하려면 고정체를 정의해야 합니다.

정의 59.6.1.

$K$ 를 체, $H$ 를 $\operatorname{Aut}(K/F)$ 의 부분군이라고 합시다. $K^{H}$ 로 표기하는 $H$ 의 고정체를 다음과 같이 정의합니다.

K^{H}\coloneqq\left\{x\in K:\sigma(x)=x\;\forall\sigma\in H\right\}.

질문 59.6.2.

$K^{H}$ 가 실제로 체임을 간단히 확인하십시오.

이제 다시 예제를 살펴봅시다. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 를 생각해 봅시다. 여기서

G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id},\sigma,\tau,\sigma\tau\}

는 클라인 4원군입니다(여기서 $\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ 이지만 $\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}$ 이며, $\tau$ 는 그 반대로 작용합니다).

질문 59.6.3.

$H=\{\mathrm{id},\sigma\}$ 라고 합시다. $K^{H}$ 는 무엇입니까?

이 경우 $\mathbb{Q}$ 와 $K$ 사이의 체들의 도식은 다음과 같이 $G$ 의 부분군들과 정확히 일치합니다.

부분군이 고정체에 대응한다는 것을 알 수 있습니다. 이 사실을 비롯하여 훨씬 더 많은 것이 일반적으로 성립합니다.

정리 59.6.4 (갈루아 이론의 기본 정리).

$K/F$ 를 갈루아 군이 $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ 인 갈루아 확대라고 합시다.

(a)

체의 탑 $F\subseteq E\subseteq K$ 와 부분군 $H\subseteq G$ 사이에는 다음과 같은 전단사가 존재합니다.

$\left\{\begin{array}[]{c}K\\ \mid\\ E\\ \mid\\ F\end{array}\right\}\iff\left\{\begin{array}[]{c}1\\ \mid\\ H\\ \mid\\ G\end{array}\right\}$

이 전단사는 $H$ 를 그 고정체 $K^{H}$ 로 보내며, 따라서 포함 관계를 뒤집습니다.
(b)

이 전단사 아래에서 $[K:E]=\left\lvert H\right\rvert$ 이고 $[E:F]=|G/H|$ 입니다.
(c)

$K/E$ 는 항상 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 $\operatorname{Gal}(K/E)=H$ 입니다.
(d)

$E/F$ 가 갈루아 확대일 필요충분조건은 $H$ 가 $G$ 의 정규 부분군인 것입니다. 이 경우 $\operatorname{Gal}(E/F)=G/H$ 입니다.

연습문제 59.6.5.

이 정리를 다음에 적용한다고 해 봅시다.

K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega).

$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 가 갈루아 확대가 아니라는 사실이 $S_{3}$ 에 위수 $2$ 인 정규 부분군이 없다는 사실에 대응함을 확인하십시오.

59.7 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

문제 59A (원분체의 갈루아 군).

$p$ 를 홀수인 유리 소수라 하고, $\zeta_{p}$ 를 원시 $p$ 제곱 단위근이라 합시다. $K=\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ 라 합시다.

\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}

임을 보이십시오.

힌트. $\zeta_{p}$ 의 상을 살펴보십시오.

풀이. 이는 그저 $\mathbb{Z}/p-1\mathbb{Z}$ 입니다. $\zeta_{p}$ 는 $p-1$ 개의 원시 단위근 중 하나(어느 것이든)로 보내져야 하기 때문입니다.

문제 59B.

$\mathbb{Q}$ 의 3차 갈루아 확대의 예를 하나 드십시오.

문제 59C (그리스 작도 문제).

다음 세 가지 그리스 작도 문제, 즉

(a)

정육면체의 부피를 두 배로 늘리는 것,
(b)

원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 것, 그리고
(c)

각을 삼등분하는 것

이 모두 불가능함을 증명하십시오. ( $\pi$ 가 초월수라고 가정하십시오.)

힌트. 이차 확대를 반복하면 매번 차수가 $2$ 이므로, 2의 거듭제곱만 얻을 수 있습니다.

문제 59D (중국 홍콩 수학 올림피아드).

^†^†margin:

다음을 만족하는 유리수 $p$ , $q$ , $r$ 이 존재하지 않음을 증명하십시오.

\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)=p+\sqrt{q}+\sqrt[3]{r}.

풀이. 비슷한(그러나 동일하지는 않은) 문제의 풀이가 다음에 있습니다: https://aops.com/community/c6h149153p842956.

문제 59E.

$\mathbb{R}$ 의 자기동형사상은 항등사상뿐임을 보이십시오. 따라서 $\operatorname{Aut}(\mathbb{R}/\mathbb{Q})$ 는 자명군입니다.

힌트. 힌트: $\sigma(x^{2})=\sigma(x)^{2}\geq 0$ 과 코시 함수 방정식을 이용하십시오.

문제 59F (아르틴의 원시원소 정리).

^†^†margin:

$K$ 를 수체라고 합시다. 어떤 $\gamma$ 에 대하여 $K\cong\mathbb{Q}(\gamma)$ 임을 보이십시오.

힌트. 귀납법에 의해, $\alpha$ 와 $\beta$ 로 표현되는 어떤 $\gamma$ 에 대하여 $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=\mathbb{Q}(\gamma)$ 임을 보이는 것으로 충분합니다. 유한히 많은 경우를 제외한 모든 유리수 $\lambda$ 에 대하여, $\gamma=\alpha+\lambda\beta$ 로 택하면 됩니다.

풀이. https://www.math.cornell.edu/~kbrown/6310/primitive.pdf

59.8 (선택) 갈루아 확대가 분해체임의 증명

정리 59.5.8를 증명합니다. 먼저, 기본 정리에서 유용한 부분을 추려 냅니다.

정리 59.8.1 (고정체 정리).

$K$ 를 체, $G$ 를 $\operatorname{Aut}(K)$ 의 부분군이라고 합시다. 그러면 $[K:K^{G}]=\left\lvert G\right\rvert$ 입니다.

부등식 자체는 어렵지 않습니다:

연습문제 59.8.2.

$[K:F]\geq|\operatorname{Aut}(K/F)|$ 임을 보이고, 모든 $\sigma\in\operatorname{Aut}(K/F)$ 에 의해 고정되는 원소들의 집합이 정확히 $F$ 일 때, 그리고 그때에만 등호가 성립함을 보이십시오. (정리 59.8.1를 이용하십시오.)

등호가 성립하는 경우는 더 까다롭습니다.

더 쉬운 방향은 $K$ 가 분해체인 경우입니다. $K=F(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ 가 서로 다른 $n$ 개의 근 $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$ 을 갖는 어떤 분리 다항식 $p\in F[x]$ 의 분해체라고 가정합시다. 이 근들을 하나씩 첨가합니다:

(이 도식이 익숙해 보입니까?) $F$ 를 고정하는 모든 사상 $K\to K$ 는 위와 같은 가환 도식 하나에 대응합니다. 앞에서와 같이, $\tau_{1}$ 을 고르는 방법은 정확히 $[F(\alpha_{1}):F]$ 가지입니다. (이를 위해서는 $\alpha_{1}$ 의 최소 다항식 $p_{1}$ 이 분리 다항식이라는 사실이 필요합니다. $p_{1}$ 을 보낼 서로 다른 근이 정확히 $\deg p_{1}=[F(\alpha_{1}):F]$ 개 있어야 하기 때문입니다.) 마찬가지로, $\tau_{1}$ 을 하나 고르면 $\tau_{2}$ 를 고르는 방법은 $[F(\alpha_{1},\alpha_{2}):F(\alpha_{1})]$ 가지입니다. 이들을 모두 곱하면 원하는 $[K:F]$ 를 얻습니다.

이제 $K/F$ 가 갈루아 확대라고 가정합시다. 먼저 다음을 서술합니다:

보조정리 59.8.3.

$K/F$ 가 갈루아 확대이고 $p\in F[x]$ 가 기약 다항식이라고 합시다. ( $\overline{F}$ 에서) $p$ 의 근 중 하나라도 $K$ 에 속하면 모든 근이 $K$ 에 속하며, 나아가 $p$ 는 분리 다항식입니다.

증명.

$\alpha\in K$ 를 주어진 근이라고 합시다. 다음 집합을 생각합시다.

S=\left\{\sigma(\alpha)\mid\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F)\right\}.

( $\operatorname{Gal}(K/F)\ni\mathrm{id}$ 이므로 $\alpha\in S$ 임에 유의하십시오.) 구성에 의해, 임의의 $\tau\in\operatorname{Gal}(K/F)$ 는 $S$ 를 고정합니다. 따라서 다음과 같이 구성하면

\tilde{p}(x)=\prod_{\beta\in S}(x-\beta),

비에트 공식에 의해 $\tilde{p}$ 의 모든 계수가 $\sigma$ 의 원소들에 의해 고정됨을 알 수 있습니다. 연습문제에서 명시한 등호가 성립하는 경우에 의해, $\tilde{p}$ 의 계수는 $F$ 에 속합니다! (바로 여기서 조건을 사용합니다.) 또한 보조정리 59.5.4에 의해 $\tilde{p}$ 는 $p$ 를 나눕니다.

그런데 $p$ 는 기약이므로 $F[x]$ 에서 $\alpha$ 의 최소 다항식이고, 따라서 $p$ 는 $\tilde{p}$ 를 나누어야 합니다. 그러므로 $p=\tilde{p}$ 입니다. $\tilde{p}$ 는 분리 다항식이 되도록 구성되었으므로, $p$ 도 분리 다항식입니다. ∎

이제 거의 끝났습니다 – $K/F$ 의 기저 $\omega_{1}$ , …, $\omega_{n}$ 을 고르고, $p_{i}$ 를 이들의 최소 다항식이라 합시다. 위의 논의에 의해 $K$ 밖의 근은 생기지 않습니다. $P=p_{1}\dots p_{n}$ 을 생각하되, 중복되는 인수는 모두 제거합니다. $P$ 의 근은 $\omega_{1}$ , …, $\omega_{n}$ 과 $K$ 에 속하는 다른 몇몇 원소입니다. 따라서 $K$ 는 $P$ 의 분해체입니다.

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sigma(c_{n}\alpha^{n}+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+c_{1}\alpha+c_{% 0})$
		$\displaystyle=\sigma(c_{n})\sigma(\alpha)^{n}+\sigma(c_{n-1})\sigma(\alpha)^{n% -1}+\dots+\sigma(c_{1})\sigma(\alpha)+\sigma(c_{0})$
		$\displaystyle=c_{n}\sigma(\alpha)^{n}+c_{n-1}\sigma(\alpha)^{n-1}+\dots+c_{1}% \sigma(\alpha)+c_{0}$