장 66 피복 사영

몇 장 전에 기본군이 무엇인지 이야기했지만, 단순 연결 공간이라는 가장 자명한 경우를 제외하고는 실제로 기본군을 계산하는 방법을 보이지 않았습니다. 이 장에서는 피복 사영이라는 개념을 도입하며, 이를 통해 이러한 군 중 일부를 어떻게 구할 수 있는지 알아볼 수 있습니다.

66.1 고른 피복과 피복 사영

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 은 $S^{1}$ 을 피복합니다.

지금 우리가 원하는 것은 큰 공간 $E$ , 즉 “피복 공간”을 기저 공간 $B$ 위로 좋은 방식으로 사영할 수 있다는 개념입니다. “좋은”이라는 개념은 다음과 같습니다.

정의 66.1.1.

$p\colon E\to B$ 가 연속함수라고 합시다. $U$ 가 $B$ 의 열린집합이라고 합시다. $p^{\text{pre}}(U)$ 가 $E$ 의 (무한히 많을 수도 있는) 열린집합들의 서로소 합집합이고, 이 집합 각각으로 제한한 $p$ 가 위상동형사상이면, $U$ 가 ( $p$ 에 의해) 고르게 피복된다고 합니다.

그림:

요컨대 $U$ 의 역상이 $U$ 의 복사본 여러 개로 이루어져 있으면 $U$ 가 고르게 덮인다는 뜻입니다. (사실은 조금 더 있습니다. 각 팬케이크가 $U$ 와 위상동형일 뿐만 아니라, 그 위상동형사상이 바로 $p$ 여야 한다는 조건도 요구합니다.)

정의 66.1.2.

피복 사영 $p\colon E\to B$ 는 모든 기저점 $b\in B$ 가 $p$ 에 의해 고르게 피복되는 열린 근방 $U\ni b$ 를 갖는 전사 연속 사상입니다.

연습문제 66.1.3 ( $p$ 의 전사성을 요구하는 것에 대하여).

$p\colon E\to B$ 가 이 정의를 만족하되, $p$ 가 전사일 필요는 없다고 합시다. $p$ 의 상이 $B$ 의 연결 성분들의 서로소 합집합임을 보이십시오. 따라서 $B$ 가 연결되어 있고 $E$ 가 공집합이 아니면, $p\colon E\to B$ 는 이미 전사입니다. 이러한 이유로, 보통 $B$ 가 경로 연결이므로 일부 저자들은 전사성 가정을 생략합니다.

다음은 피복 사영의 가장 시시한 예입니다.

예제 66.1.4 (동어반복적 피복 사영).

임의의 공간 $B$ 의 서로 떨어진 사본 $n$ 개를 생각합시다. 형식적으로는 $\{1,\dots,n\}$ 에 이산 위상을 준 $E=B\times\{1,\dots,n\}$ 입니다. 그러면 $(x,m)\mapsto x$ 로 주어지는 동어반복적 피복 사영 $E\to B$ 가 존재합니다. 즉 $n$ 개의 사본을 모두 그대로 사영하는 것입니다.

$B$ 의 모든 열린집합이 고르게 피복되므로 이것은 피복 사영입니다.

$B\times[n]$ 이 경로 연결이 아니므로 이 예는 그다지 흥미롭지 않습니다.

훨씬 더 흥미로운 예는 $\mathbb{R}$ 과 $S^{1}$ 의 예입니다.

예제 66.1.5 ( $S^{1}$ 의 피복 사영).

$\theta\mapsto e^{2\pi i\theta}$ 로 $p\colon\mathbb{R}\to S^{1}$ 을 정의합시다. 이것은 본질적으로 실직선을 하나의 나선으로 감은 뒤 아래로 사영하는 것입니다.

이것이 피복 사영이라고 주장합니다. 실제로 점 $1\in S^{1}$ 을 생각해 봅시다(여기서 $S^{1}$ 은 복소평면의 단위원으로 봅니다). 이 점의 작은 열린 근방으로서 그 역상이 $\mathbb{R}$ 안의 복사본 여러 개가 되는 것을 그릴 수 있습니다.

이번에는 모든 열린 근방이 되는 것은 아니라는 점에 유의하십시오. 특히 $U=S^{1}$ 은 되지 않는데, 그 역상은 $\mathbb{R}$ 전체가 되고 이것은 $S^{1}$ 과 위상동형이 아니기 때문입니다.

예제 66.1.6 ( $S^{1}$ 의 자기 자신에 의한 피복).

$z\mapsto z^{3}$ 으로 주어지는 사상 $S^{1}\to S^{1}$ 역시 피복 사영입니다. 그 이유를 아시겠습니까?

예제 66.1.7 ( $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 의 피복 사영).

복소수 연산에 익숙한 분들을 위하여,

(a)

지수 사상 $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 은 피복 사영입니다.
(b)

각 $n$ 에 대하여 $n$ 제곱 사상 $-^{n}:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 은 피복 사영입니다.

66.2 올림 정리

대표적인 예: $\mathbb{R}$ 은 $S^{1}$ 을 피복합니다.

이제 핵심 아이디어는 다음과 같습니다. $B$ 의 고리를 $\mathbb{R}$ 의 경로로 해석해 보려는 것입니다. 이렇게 하면 대개 훨씬 간단해집니다. 예를 들어, 우리는 $S^{1}$ 의 기본군을 계산하는 방법을 전혀 알지 못했지만, $\mathbb{R}$ 의 기본군은 그저 자명군입니다. 따라서 $S^{1}$ 의 고리를 $\mathbb{R}$ 의 경로로 해석할 수 있다면, $\pi_{1}(S^{1})$ 을 계산하는 일이 어쩌면 (그리고 실제로도!) 다룰 만해질 수 있습니다.

정의 66.2.1.

$\gamma\colon[0,1]\to B$ 가 경로이고 $p\colon E\to B$ 가 피복 사영이라고 합시다. $\gamma$ 의 올림이란 $p\circ\tilde{\gamma}=\gamma$ 를 만족하는 경로 $\tilde{\gamma}\colon[0,1]\to E$ 입니다.

그림:

예제 66.2.2 (올림의 전형적인 예).

$p\colon\mathbb{R}\to S^{1}\subseteq\mathbb{C}$ 를 $\theta\mapsto e^{2\pi i\theta}$ 로 정의합시다(즉, $S^{1}$ 을 다시 단위원으로 간주합니다). $1\in\mathbb{C}$ 에서 출발하여 $S^{1}$ 을 반시계 방향으로 한 바퀴 돈 뒤 다시 $1$ 에서 끝나는 $S^{1}$ 의 경로 $\gamma$ 를 생각합시다. 기호로 쓰면 $\gamma\colon[0,1]\to S^{1}$ 는 $t\mapsto e^{2\pi it}$ 입니다.

그러면 올림 $\tilde{\gamma}$ 중 하나는 $0$ 에서 $1$ 까지 걸어가는 경로입니다. 사실 임의의 정수 $n$ 에 대하여 $n$ 에서 $n+1$ 까지 걸어가는 경로도 올림이 됩니다.

마찬가지로, $1\in S^{1}$ 에서 $-1\in S^{1}$ 까지의 반시계 방향 경로에도 올림이 있습니다. 어떤 정수 $n$ 에 대하여 $n$ 에서 $n+\frac{1}{2}$ 까지의 경로가 그것입니다.

위의 예가 올림의 가장 기본적인 예입니다. 다음과 같은 구조가 있는 것처럼 보입니다. $b_{0}$ 에서 출발하는 $B$ 의 경로 $\gamma$ 가 주어지면, 올 $p^{\text{pre}}(b_{0})$ 의 아무 점에서나 출발합니다. (우리의 전형적인 예에서는 $B=S^{1}$ , $b_{0}=1\in\mathbb{C}$ 이며, 그래서 임의의 정수 $n$ 에서 출발하는 것입니다.) 그다음에는 $B$ 의 경로를 그대로 따라가기만 하면 $E$ 에서 대응하는 경로를 얻습니다.

질문 66.2.3.

$\gamma(0)=1\in\mathbb{C}$ 인 $S^{1}$ 의 경로 $\gamma$ 를 하나 잡으십시오. 정수 $n\in\mathbb{R}$ 을 하나 고르면 $n$ 에서 출발하는 올림이 정확히 하나 존재함을 스스로 확인해 보십시오.

이 사실은 더 일반적으로도 성립합니다.

정리 66.2.4 (경로의 올림).

$\gamma\colon[0,1]\to B$ 가 $\gamma(0)=b_{0}$ 인 경로이고, $p\colon(E,e_{0})\to(B,b_{0})$ 가 피복 사영이라고 합시다. 그러면 $\tilde{\gamma}(0)=e_{0}$ 을 만족하는 올림 $\tilde{\gamma}\colon[0,1]\to E$ 가 유일하게 존재합니다.

증명.

각 점 $b\in B$ 에 대하여, $B$ 에서 고르게 피복되는 열린 근방 $U_{b}$ 를 생각합시다. 그러면 다음 열린집합들의 족

\left\{\gamma^{\text{pre}}(U_{b})\mid b\in B\right\}

는 $[0,1]$ 의 열린 덮개입니다. $[0,1]$ 은 콤팩트이므로 유한 부분 덮개를 택할 수 있습니다. 따라서 $[0,1]$ 을 내부가 서로소인 유한 개의 닫힌구간 $[0,1]=I_{1}\sqcup I_{2}\sqcup\dots\sqcup I_{N}$ 으로 이 순서대로 잘라서, 모든 $I_{k}$ 에 대해 $\gamma^{\text{img}}(I_{k})$ 가 어떤 $U_{b}$ 에 포함되도록 할 수 있습니다.

이제 $I_{1}$ 에서 시작하여 구간별로 $\tilde{\gamma}$ 를 구성하겠습니다. 처음에 로봇 하나를 $e_{0}\in E$ 에, 쥐 한 마리를 $b_{0}\in B$ 에 놓습니다. 각 구간 $I_{k}$ 에서 쥐는 $I_{k}$ 위에서 $\gamma$ 가 움직이는 대로 돌아다닙니다. 그러나 그동안 쥐는 줄곧 고르게 피복되는 어떤 $U_{k}$ 안에 있습니다. $p$ 가 피복 사영이라는 사실로부터 $E$ 안에 $U_{k}$ 의 사본이 여러 개 있음을 알 수 있습니다. 그중 정확히 하나, 이를테면 $V_{k}$ 가 우리의 로봇을 포함합니다. 따라서 로봇은 $I_{k}$ 의 끝에 도달할 때까지 쥐를 그대로 흉내 내기만 하면 됩니다. 그러면 쥐는 고르게 피복되는 새로운 $U_{k+1}$ 안에 있게 되고, 같은 과정을 반복할 수 있습니다. ∎

이 정리는 다음과 같이 도식

으로 일반화할 수 있으며, 여기서 $Y$ 는 충분히 좋은 공간입니다.

정의 66.2.5.

공간 $Y$ 의 임의의 점 $x\in Y$ 에서 $x$ 의 모든 열린 근방 $U$ 가 경로 연결인 열린 근방 $V\subseteq U$ 를 포함하면, $Y$ 를 국소 경로 연결 공간이라고 합니다.

정리 66.2.6 (일반적인 올림 판정법).

$p\colon(E,e_{0})\to(B,b_{0})$ 를 피복 사영이라고 합시다. $Y$ 가 국소적으로도 경로 연결인 경로 연결 공간이면, 임의의 연속인 $f\colon(Y,y_{0})\to(B,b_{0})$ 에 대하여 $\tilde{f}(y_{0})=e_{0}$ 인 올림 $\tilde{f}$ 가 존재할 필요충분조건은 다음과 같습니다.

f_{\sharp}^{\text{img}}(\pi_{1}(Y,y_{0}))\subseteq p_{\sharp}^{\text{img}}(\pi% _{1}(E,e_{0})),

즉, $f$ 에 의한 $\pi_{1}(Y,y_{0})$ 의 상이 $p$ 에 의한 $\pi_{1}(E,e_{0})$ 의 상에 포함된다는 것입니다(둘 다 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 의 부분군으로 봅니다). 이러한 올림이 존재하면 그 올림은 유일합니다.

$p_{\sharp}$ 가 단사이므로, 실제로 $p_{\sharp}^{\text{img}}(\pi_{1}(E,e_{0}))\cong\pi_{1}(E,e_{0})$ 가 성립합니다. 그러나 이 경우에 우리가 관심을 두는 것은 군의 동형사상류만이 아니라 실제 원소들입니다.

질문 66.2.7.

$Y=[0,1]$ 로 두면 어떻게 됩니까?

비고 66.2.8 (호모토피의 올림).

또 다른 멋진 특수한 경우가 있습니다. 호모토피는 연속함수 $[0,1]\times[0,1]\to X$ 로 표현할 수 있다는 것을 떠올려 보십시오. 그런데 $[0,1]\times[0,1]$ 역시 단순 연결입니다. 따라서 밑공간 $B$ 에서 호모토피 $\gamma_{1}\simeq\gamma_{2}$ 가 주어지면, 이를 올려서 $E$ 에서의 호모토피 $\tilde{\gamma}_{1}\simeq\tilde{\gamma}_{2}$ 를 얻을 수 있습니다.

비고 66.2.9 (국소 경로 연결 조건은 정말로 필요합니다).

$Y$ 를 아래에 그려진 바르샤바 원이라 합시다. 이는 $0<x<1/\pi$ 에 대한 $y=\sin(1/x)$ 의 그래프, 선분 $\{0\}\times[-1,1]$ , 그리고 전체를 닫아 주는 곡선으로 이루어져 있습니다.

공간 $Y$ 는 단순 연결이므로 올림 판정법은 자명하게 만족되지만, 사인 곡선을 수직으로 붕괴시키는 함수 $f:Y\to S^{1}$ 는 함수 $\tilde{f}:Y\to\mathbb{R}$ 로 올라가지 않습니다. $Y$ 가 원점에서 국소 경로 연결이 아니기 때문에 여기서는 올림 정리가 적용되지 않습니다.

이 결과의 또 다른 멋진 응용은 장 33입니다.

66.3 올림 대응

대표적인 예: $(\mathbb{R},0)$ 은 $(S^{1},1)$ 을 피복합니다.

기본군을 계산하는 과제로 돌아갑시다. 피복 사영 $p\colon(E,e_{0})\to(B,b_{0})$ 를 생각합시다.

$B$ 의 고리 $\gamma$ 는 $e_{0}$ 에서 시작하여 올 $p^{\text{pre}}(b_{0})$ 의 어떤 점 $e$ 에서 끝나는 $E$ 의 $\tilde{\gamma}$ 로 유일하게 올릴 수 있습니다. $\gamma$ 와 호모토픽한 다른 경로 $\gamma^{\prime}$ 을 택하더라도 이 $e\in E$ 가 바뀌지 않는다는 것은 쉽게 확인할 수 있습니다.

질문 66.3.1.

예제 66.2.2의 그림을 보십시오.

한 손가락은 $1\in S^{1}$ 에, 다른 한 손가락은 $0\in\mathbb{R}$ 에 두십시오. $S^{1}$ 에서 $\gamma$ 와 호모토픽한 고리를 따라가면서(즉, 앞뒤로 움직여도 되지만 최종적으로는 정확히 반시계 방향으로 한 바퀴를 돌아야 합니다) 다른 손가락으로 $\mathbb{R}$ 에서 함께 따라가십시오.

반드시 점 $1\in\mathbb{R}$ 에서 끝나야 한다는 것을 스스로 납득하십시오.

따라서 $b_{0}$ 에서의 고리의 모든 호모토피류(즉, $\pi_{1}(B,b_{0})$ 의 원소)는 $b_{0}$ 의 올에 속하는 어떤 $e$ 와 대응시킬 수 있습니다. 아래 명제는 이것과 그 이상을 정리한 것입니다.

명제 66.3.2.

$p\colon(E,e_{0})\to(B,b_{0})$ 를 피복 사영이라 합시다. 그러면 다음과 같은 집합 사이의 함수가 있습니다

\Phi\colon\pi_{1}(B,b_{0})\to p^{\text{pre}}(b_{0})

이 함수는 $[\gamma]\mapsto\tilde{\gamma}(1)$ 로 주어지며, 여기서 $\tilde{\gamma}$ 는 $e_{0}$ 에서 시작하는 유일한 올림입니다. 더 나아가,

•

$E$ 가 경로 연결이면 $\Phi$ 는 전사입니다.
•

$E$ 가 단순 연결이면 $\Phi$ 는 단사입니다.

질문 66.3.3.

$E$ 가 경로 연결이면 $\Phi$ 가 전사임을 증명하십시오. (이것은 정말 어이없을 정도로 쉽습니다.)

증명.

명제를 증명하기 위해 남은 것은 $E$ 가 단순 연결이면 $\Phi$ 가 단사임을 보이는 것뿐입니다. 이를 위해 $\gamma_{1}$ 과 $\gamma_{2}$ 가 $\Phi([\gamma_{1}])=\Phi([\gamma_{2}])$ 를 만족하는 고리라고 가정합시다.

올림을 적용하면, 둘 다 어떤 점 $e_{0}\in E$ 에서 시작하여 어떤 점 $e_{1}\in E$ 에서 끝나는 경로 $\tilde{\gamma}_{1}$ 과 $\tilde{\gamma}_{2}$ 를 얻습니다. $E$ 가 단순 연결이므로 이는 두 경로가 호모토픽하다는 뜻이며, 둘을 잇는 호모토피 $F\colon[0,1]\times[0,1]\to E$ 를 쓸 수 있습니다. 그러면 이제 다음과 같은 사상의 합성을 생각합시다

[0,1]\times[0,1]\xrightarrow{F}E\xrightarrow{p}B.

$p\circ F$ 가 $\gamma_{1}$ 에서 $\gamma_{2}$ 로의 호모토피임을 확인할 수 있습니다. 따라서 $[\gamma_{1}]=[\gamma_{2}]$ 이며, 증명이 끝납니다. ∎

이것이 다음 정의의 동기가 됩니다.

정의 66.3.4.

공간 $B$ 의 보편 피복이란 $E$ 가 단일 연결인(특히 경로 연결인) 피복 사영 $p\colon E\to B$ 를 말합니다.

표기의 남용 66.3.5.

$p$ 가 문맥상 분명할 때에는 간단히 $E$ 가 $B$ 의 보편 피복이라고 말하기도 합니다.

예제 66.3.6 ( $S^{1}$ 의 기본군).

표준적인 $p\colon\mathbb{R}\to S^{1}$ 로 돌아가 봅시다. $\mathbb{R}$ 은 단일 연결이므로 이것은 $S^{1}$ 의 보편 피복입니다. 실제로 $S^{1}$ 의 임의의 점의 올은 정수의 복사본이며, $S^{1}$ 의 고리들과 자연스럽게 전단사 대응을 이룹니다.

다음 전단사

\Phi\colon\pi_{1}(S^{1})\leftrightarrow\mathbb{Z}

는 $\mathbb{Z}$ 에 덧셈군 구조를 부여하면 사실 군 준동형사상임을 보일 수 있습니다(직관적으로도 자명합니다). 이것은 전단사이므로 $\pi_{1}(S^{1})\cong\mathbb{Z}$ 라는 결론을 얻습니다.

66.4 정규 피복

대표적인 예: $\mathbb{R}\to S^{1}$ 은 $n\cdot x=n+x$ 에서 나옵니다

피복을 만드는 또 다른 방법을 소개합니다. $X$ 를 위상 공간이라 하고 $G$ 를 $X$ 의 점들에 작용하는 군이라 합시다. 그러면 각 $g$ 에 대해 다음과 같이 사상 $X\to X$ 를 얻습니다.

x\mapsto g\cdot x.

모든 $g\in G$ 에 대해 이 사상이 연속¹¹1이를 다르게 표현하면, 사상 $G\times X\to X$ 로 해석한 작용이 연속이어야 한다는 것입니다. 여기서 좌변의 $G$ 는 이산 위상을 준 집합으로 해석합니다.이고, $X$ 의 각 점의 안정자군이 자명할 것을 요구합니다. 그러면 이 작용의 같은 궤도에 있는 점들을 모두 하나로 합쳐서 정의한 몫공간 $X/G$ 를 생각할 수 있습니다. 따라서 $X/G$ 의 점들은 작용의 궤도들과 동일시됩니다. 그러면 자연스러운 “사영”을 얻습니다.

X\to X/G

을 얻는데, 이는 단순히 각 점을 그 점이 속한 궤도로 보내는 것입니다.

정의 66.4.1.

이러한 사영을 정규라고 합니다. (끔찍한 이름이라는 것은 압니다.)

예제 66.4.2 ( $\mathbb{R}\to S^{1}$ 은 정규입니다).

$G=\mathbb{Z}$ , $X=\mathbb{R}$ 라 하고 $X$ 위의 $G$ 의 군 작용을 다음과 같이 정의합니다.

n\cdot x=n+x

그러면 $X/G$ 를 “ $1$ 을 법으로 한 실수”로 생각할 수 있으며, 이때 $[0,1)$ 은 대표원의 완전한 집합이고 $0\sim 1$ 입니다.

따라서 $X/G$ 를 $S^{1}$ 과 동일시할 수 있고, 이에 대응하는 정규 사영은 바로 우리에게 익숙한 $\exp\colon\theta\mapsto e^{2i\pi\theta}$ 입니다.

예제 66.4.3 (원환면).

$G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ , $X=\mathbb{R}^{2}$ 라 하고, $X$ 위의 $G$ 의 군 작용을 $(m,n)\cdot(x,y)=(m+x,n+y)$ 로 정의합시다. $[0,1)^{2}$ 이 대표원의 완전한 집합이므로, 이를 변들이 동일시된 단위 정사각형으로 생각할 수 있습니다. 그러면 원환면 $S^{1}\times S^{1}$ 과 피복 사영 $\mathbb{R}^{2}\to S^{1}\times S^{1}$ 을 얻습니다.

예제 66.4.4 ( $\mathbb{RP}^{2}$ ).

$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\left<T\mid T^{2}=1\right>$ 라 하고, $X=S^{2}$ 를 $\mathbb{R}^{3}$ 의 부분집합으로 본 구면이라 합시다. $G$ 가 $T\cdot\vec{x}=-\vec{x}$ 로 $X$ 에 작용하도록 합니다. 따라서 궤도는 서로 반대편에 있는 점들의 쌍입니다(예: 북극과 남극).

공간의 그림을 그려 봅시다. 모든 궤도의 크기는 2입니다. 적도 아래의 모든 점은 적도 위의 한 점과 합쳐집니다. 적도 위의 점들은 그중 절반을 취하면 되고, 나머지 절반은 각각 대응하는 대척점과 합쳐집니다.

이제 모든 것을 평평하게 펴면, 그 결과를 경계의 절반을 포함하는 원판으로 생각할 수 있습니다. 이것이 바로 앞에서 본 $\mathbb{RP}^{2}$ 입니다. 이렇게 얻은 공간에는 이름이 있는데, 실사영 $2$ -공간이라 하고 $\mathbb{RP}^{2}$ 로 표기합니다.

이로부터 피복 사영 $S^{2}\to\mathbb{RP}^{2}$ 를 얻습니다(충분히 작은 조각의 역상은 $S^{2}$ 위에 있는 그 조각의 복사본 두 개일 뿐이라는 점에 유의하십시오.)

예제 66.4.5 ( $\mathbb{RP}^{2}$ 의 기본군).

앞에서 피복 사영 $S^{2}\to\mathbb{RP}^{2}$ 가 있음을 보았습니다. 게다가 임의의 점의 올의 크기는 2입니다. $S^{2}$ 는 단일 연결이므로 $\pi_{1}(\mathbb{RP}^{2})$ 에서 크기가 2인 집합으로 가는 자연스러운 전단사가 존재합니다. 즉,

\left\lvert\pi_{1}(\mathbb{RP}^{2})\right\rvert=2.

위수가 2인 군은 하나뿐이므로, 이는 $\pi_{1}(\mathbb{RP}^{2})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 인 경우에만 일어날 수 있습니다!

질문 66.4.6.

각 연속 사상 $x\mapsto g\cdot x$ 가 실제로 위상동형사상임을 보이십시오. (그 연속인 역사상을 제시하십시오.)

66.5 기본군의 대수

대표적인 예: 기본군이 $\mathbb{Z}$ 인 $S^{1}$ .

다음으로, 공간 사이의 함수를 기본군의 준동형사상으로 바꾸어 보겠습니다.

$X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이고 $f\colon(X,x_{0})\to(Y,y_{0})$ 라고 합시다. 우리가 다음과 같은 군 준동형사상을 정의했음을 상기하십시오.

f_{\sharp}\colon\pi_{1}(X,x_{0})\to\pi_{1}(Y,y_{0})\quad\text{의해}\quad[\gamma]% \mapsto[f\circ\gamma].

더 중요한 것은 다음이 성립한다는 점입니다:

명제 66.5.1.

$p\colon(E,e_{0})\to(B,b_{0})$ 가 경로 연결 공간들의 피복 사영이라고 합시다. 그러면 준동형사상 $p_{\sharp}\colon\pi_{1}(E,e_{0})\to\pi_{1}(B,b_{0})$ 는 단사입니다. 따라서 $p_{\sharp}^{\text{img}}(\pi_{1}(E,e_{0}))$ 는 $\pi_{1}(B,b_{0})$ 의 부분군으로서 $\pi_{1}(E,e_{0})$ 와 동형인 사본입니다.

증명.

$\ker p_{\sharp}$ 가 자명함을 보이겠습니다. $\gamma$ 가 $B$ 에서 영호모토픽한 고리이면 그 올림도 영호모토픽함을 보이는 것으로 충분합니다.

정의에 의해, $\gamma$ 를 상수 고리 $1_{B}$ 로 보내는 호모토피 $F\colon[0,1]\times[0,1]\to B$ 가 존재합니다. 이를 올려서 $\tilde{\gamma}\simeq\tilde{1}_{B}$ 를 성립시키는 호모토피 $\tilde{F}\colon[0,1]\times[0,1]\to E$ 를 얻을 수 있습니다. 그런데 $1_{E}$ 는 $1_{B}$ 의 올림이고(당연합니다) 올림은 유일합니다. ∎

예제 66.5.2 ( $\mathbb{Z}$ 의 부분군).

기본군이 $\mathbb{Z}$ 인 공간 $S^{1}$ 을 살펴봅시다. 군 $\mathbb{Z}$ 에는 두 종류의 부분군이 있습니다:

•

자명한 부분군입니다. 이는 표준 사영 $\mathbb{R}\to S^{1}$ 에 대응합니다. $\pi_{1}(\mathbb{R})$ 은 자명군이므로( $\mathbb{R}$ 은 단순 연결입니다) $\mathbb{Z}$ 에서의 그 상도 자명군이기 때문입니다.
•

$n\geq 1$ 에 대한 $n\mathbb{Z}$ 입니다. 이는 $z\mapsto z^{n}$ 으로 주어지는 피복 사영 $S^{1}\to S^{1}$ 에 의해 얻어집니다. 피복하는 $S^{1}$ 에 있는 고리의 상은 밑공간 $S^{1}$ 에서 “ $n$ 의 배수”입니다.

사실 이것들이 경로 연결 공간에 의한 $S^{1}$ 의 유일한 피복 사영들입니다. 즉 $\mathbb{Z}$ 의 각 부분군마다 하나씩 있습니다. (연결되지 않은 공간은 신경 쓰지 않습니다. 다시 말하지만, 연결되지 않은 공간에 의한 피복 사영은 서로 관련 없는 “좋은” 피복들의 모음일 뿐이기 때문입니다.) 이 명제가 의미를 가지려면 두 피복 사영이 동치라는 것이 무엇을 뜻하는지 말씀드려야 합니다.

정의 66.5.3.

공간 $B$ 를 고정합시다. 두 피복 사영 $p_{1}\colon E_{1}\to B$ 와 $p_{2}\colon E_{2}\to B$ 가 주어졌을 때, 피복 사영의 사상이란 $p_{2}\circ f=p_{1}$ 을 만족하는 연속함수 $f\colon E_{1}\to E_{2}$ 입니다.

그러면 두 피복 사영 $p_{1}$ 과 $p_{2}$ 는 $f\circ g=\mathrm{id}_{E_{1}}$ 이고 $g\circ f=\mathrm{id}_{E_{2}}$ 를 만족하는 $f\colon E_{1}\to E_{2}$ 와 $g\colon E_{2}\to E_{1}$ 이 존재할 때 동형이라고 합니다.

비고 66.5.4 (범주론자를 위하여).

피복 사영들의 집합은 이런 방식으로 범주를 이룹니다.

이것이 더 일반적으로도 참이라는 것은 그야말로 기적입니다. 피복 공간의 가장 위대한 성과가 바로 다음 결과입니다. 공간 $X$ 가 다음과 같은 좋은 조건들을 만족한다고 가정합시다:

정의 66.5.5.

공간 $X$ 의 각 점 $x\in X$ 와 그 열린 근방 $V$ 에 대하여 $x\in U\subseteq V$ 인 연결된 열린집합 $U$ 가 존재하면, $X$ 를 국소 연결이라고 합니다.

정의 66.5.6.

공간 $X$ 의 모든 점 $x\in X$ 에 대하여 $U$ 안의 모든 고리가 영호모토픽이 되는 열린 근방 $U$ 가 존재하면, $X$ 를 반국소 단순 연결이라고 합니다. (단, 수축이 $U$ 안에서 일어날 필요는 없습니다.)

예제 66.5.7 (이 조건들은 약합니다).

지금까지 보여 드린 거의 모든 공간이 이 두 성질을 가집니다. 다시 말해 이들은 상당히 약한 조건이며, 단지 “공간이 지나치게 병적이지 않다”는 뜻으로 생각하셔도 됩니다.

그러면 다음을 얻습니다:

정리 66.5.8 (피복 공간을 통한 군론).

$B$ 가 국소 연결이고 반국소 단순 연결인 공간이라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

•

모든 부분군 $H\subseteq\pi_{1}(B)$ 에는 $E$ 가 경로 연결인 피복 사영 $p\colon E\to B$ 가 (동형사상을 무시하면) 정확히 하나 대응합니다.

(구체적으로, $H$ 는 $p_{\sharp}$ 에 의한 $\pi_{1}(E)$ 의 $\pi_{1}(B)$ 안에서의 상입니다.)
•

더 나아가, $\pi_{1}(B)$ 의 정규 부분군은 정확히 정규 피복 사영에 대응합니다.

따라서 $\pi_{1}(B)$ 의 군론을 피복 사영의 관점에서 완전히 이해할 수 있습니다.

또한 “보편 피복”이라는 이름도 여기에서 유래합니다. 보편 피복은 $\pi_{1}(B)$ 의 자명한 부분군에 대응하는 피복입니다. 실제로, $p\colon E\to B$ 가 또 다른 피복 사영이면 $E$ 가 다시 보편 공간에 의해 피복된다는 의미에서 이것이 정말로 보편적임을 보일 수 있습니다. 더 일반적으로, $H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$ 가 부분군이면 $H_{2}$ 에 대응하는 공간은 $H_{1}$ 에 대응하는 공간에 의해 피복될 수 있습니다.

66.6 생각해 볼 만한 조금 더 어려운 문제

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