장 47 리만 곡면의 기본 정의

대략적으로 말하면, 리만 곡면 이론은 미분기하학의 아이디어를 이용하여 복소해석학을 일반화한 것에 지나지 않습니다. $2$ -다양체를 실평면 $\mathbb{R}^{2}$ 의 조각들을 매끄럽게 이어 붙여 더 복잡한 대상을 만든 것으로 볼 수 있는 것과 마찬가지로, 우리는 복소평면 $\mathbb{C}$ 의 “조각”들을 가져와 해석적으로 이어 붙입니다.

정칙 함수의 이론이 매우 좋다는 것은 이미 알고 있습니다 — 정칙 함수는 모두 해석적입니다! 여기에서도 같은 정도의 강성을 기대할 수 있습니다.

사실 콤팩트 리만 곡면 위에서는 이론이 정칙 함수의 경우보다도 더 좋습니다! 예를 들면 다음과 같습니다.

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$Y$ 가 콤팩트인 두 리만 곡면 $X$ 와 $Y$ 에 대하여, 임의의 유리형 함수 $f\colon X\to Y$ 는 사실 정칙이어야 합니다. 즉, 모든 곳에서 정의됩니다.
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$X$ 가 콤팩트 리만 곡면이면, 정칙 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 는 상수입니다.
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위와 같은 설정에서, 더 나아가 $g\colon X\to\mathbb{C}$ 가 유리형이면 중복도를 고려할 때 $g$ 의 영점의 개수는 $g$ 의 극점의 개수와 같습니다.

비고 47.0.1 (왜 이런 좋은 성질들이 성립하는 것일까요?).

대략적으로 말하면, $\mathbb{C}$ 는 콤팩트가 아닙니다 — $\mathbb{C}$ 는 구멍 하나가 뚫린 리만 구와 동형입니다. 그 구멍을 메우면, 유리형 함수를 이전에 극점이었던 곳에서 값 $\infty$ 를 갖도록 확장할 수 있게 됩니다.

리만 곡면은 방향 가능 $2$ -다양체이므로 그 종수를 정의할 수 있습니다. 종수는 순수하게 위상적인 개념이지만, 매우 놀라운 방식으로 여러 대수적 불변량과 긴밀하게 연결되어 있습니다. 암호학에서 타원 곡선에 대해 들어 보셨을 것입니다. 타원 곡선 역시 리만 곡면으로 나타나며, 그 일반화인 초타원 곡선은 임의의 종수 $\geq 2$ 를 갖는 리만 곡면들의 족을 이룹니다!

47.1 복소 구조

앞 장들에서 본 정의를 상기해 봅시다.

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위상 $n$ -다양체는 각각이 $\mathbb{R}^{n}$ 과 위상동형인 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 갖는 하우스도르프 공간입니다.
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매끄러운 $n$ -다양체는 모든 전이 사상이 매끄러운 위상 $n$ -다양체입니다.

이들의 공통점은 무엇일까요? 겉보기에는 그다지 많지 않은 것 같습니다. 그러나 본질적으로 이들은 모두 같은 철학을 기술하고 있습니다.

가산 개의 조각 $\{U_{i}\}$ 를 가져와, 밑바탕의 구조를 유지하면서 이들을 이어 붙입니다.

여기에서 위상 다양체는 위상 구조를 갖고, 매끄러운 다양체는 매끄러운 구조를 갖습니다. 비슷한 방식으로, 복소 다양체는 복소 구조를 갖습니다.

여기에서 “구조”란 무엇을 의미하는 것일까요?

먼저, 위상 구조는 여러분에게 익숙할 것입니다 — 그것은 그저 위상일 뿐입니다. 형식적으로 위상은 열린집합들의 모임으로 정의되지만, 위상 구조의 실제 의미는 다음을 결정합니다.

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어떤 집합이 열린 것으로 간주되는지 닫힌 것으로 간주되는지,
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점들의 수열이 주어진 점으로 수렴하는지,
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( $Y$ 가 또 다른 위상 공간일 때) 사상 $X\to Y$ 또는 $Y\to X$ 가 연속인지,
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등.

이미 (하우스도르프) 위상이 주어진 위상 $n$ -다양체가 있으면, 국소 차트가 위상 구조를 존중하는지, 다시 말해 위상동형사상인지를 판별할 수 있습니다.

예제 47.1.1 ( $(0,2)$ 는 위상 $1$ -다양체입니다).

$\mathbb{R}$ 에 포함된 열린구간 $(0,2)$ 는 위상 다양체로 볼 수 있습니다.

이 공간에 대해 가능한 두 차트 $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 가 나타나 있습니다.

두 차트의 식은 $\phi_{1}\colon(0,2)\to(0,2),\phi_{1}(x)=x$ 와 $\phi_{2}\colon(0,2)\to(0,1.3),\phi_{2}(x)=x+0.35\cdot(1-x-\left\lvert 1-x% \right\rvert)$ 입니다.

위의 예에서 차트 $\phi_{2}$ 는 위상동형사상이지만 매끄러워 보이지는 않는다는 점을 알아차렸을 것입니다. 그래서 매끄러운 $2$ -다양체를 대략 다음과 같이 정의하고 싶을 것입니다.

곡면 $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$ 에 대하여 각 $p\in S$ 마다 $E\subseteq\mathbb{R}^{2}$ 와 미분동형인 열린 근방 $V\subseteq S$ 가 존재하면, $S$ 를 매끄러운 $2$ -다양체라고 합니다.

실제로 이것은 고전 미분기하학에서 쓰는 실제 정의입니다 — 물론 이 정의가 완전히 일반적이지는 않습니다. 예를 들어 클라인 병은 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장될 수 없다는 것이 알려져 있습니다.

그렇다면 정의 46.2.2에서는 왜 이런 식으로 정의하지 않았겠습니까? 문제는 미분동형사상이라는 개념이 하우스도르프 위상 공간 위에서는 정의되어 있지 않다는 점입니다 — 사실은 정의할 수가 없습니다. 바로 위의 예에서 미분동형사상이 아닌 위상동형사상을 볼 수 있습니다 — 다시 말해 하나의 위상 공간에 서로 다른 매끄러운 구조를 줄 수 있습니다.

따라서 정의 46.2.2 정의가 하는 일의 핵심은 각 조각 $E_{i}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 의 매끄러운 구조를 위상 공간 $M$ 으로 유도함으로써 매끄러운 구조가 무엇을 뜻하는지를 암묵적으로 정의하는 것입니다. 전이 함수가 매끄러워야 한다는 조건은 물론 서로 다른 $\phi_{i}$ 가 유도하는 $M$ 위의 매끄러운 구조들이 모두 같도록 보장하기 위한 것입니다.

완전히 같은 방식으로 정의 46.1.2를 다음과 같이 바꿀 수도 있었습니다.

위상 $n$ -다양체 $M$ 은 $M$ 을 덮는 부분집합들의 모임 $\{U_{i}\}$ 를 가진 집합으로, 각 $U_{i}$ 마다 이로부터 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합으로 가는 전단사 사상이 존재합니다. 이를 다음과 같이 쓰겠습니다.

$\phi_{i}\colon U_{i}\to E_{i}\subseteq\mathbb{R}^{n}$

여기서 각 $E_{i}$ 는 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린 부분집합이며, 모든 전이 사상은 위상동형사상이어야 합니다.

여기서 $\phi_{i}$ 는 “집합 동형사상”이며 정의 46.2.2의 위상동형사상과 비슷한 역할을 합니다. 또한 위상 공간 구조도 마찬가지로 조각 $E_{i}$ 로부터 유도됩니다.

예제 47.1.2 ( $(0,2)$ 는 매끄러운 $1$ -다양체입니다).

위와 마찬가지로, $\mathbb{R}$ 에 포함된 열린구간 $(0,2)$ 는 매끄러운 다양체로도 볼 수 있습니다.

이번에는 $\phi_{1}$ 은 앞에서와 같지만, $\phi_{2}\colon(0,2)\to(0,2+\frac{1}{e})$ 는 다음과 같이 정의합니다.

\phi_{2}(x)=\begin{cases}x&\text{만약}x\leq 1\\ x+e^{-1/(x-1)}&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

$\phi_{1}$ , $\phi_{2}$ 와 그 역함수가 모두 매끄러운 함수이므로 전이 사상 $\phi_{1}\circ\phi_{2}^{-1}$ 와 $\phi_{2}\circ\phi_{1}^{-1}$ 도 매끄럽습니다. 따라서 정의 46.2.2의 가정을 만족합니다.

잠시 시간을 들여 이 개념을 곰곰이 생각해 보십시오 — $\mathbb{R}^{n}$ 위의 매끄러운 함수는 너무나 자연스럽기 때문에, 매끄러운 다양체가 단순한 위상 이상의 구조를 지닌다는 사실을 잊기 쉽습니다.

다시 한 번, 위의 예에서 보았듯이 $\mathbb{R}^{n}$ 은 단순히 매끄럽다는 것 이상의 구조를 지닙니다 — 바로 해석적 구조입니다. 차트 $\phi_{2}$ 는 이 구조를 보존하지 않습니다.

따라서 리만 곡면은 간단히 다음과 같이 정의하겠습니다.

리만 곡면은 국소적으로 $\mathbb{C}$ 처럼 보이고 복소-매끄러운 구조를 지닌 매끄러운 (실) $2$ -다양체입니다.

물론 복소해석학의 기적 덕분에 — 정칙 함수는 해석적입니다! — 이는 리만 곡면이 복소-해석적 구조를 지닌다고 말하는 것과 동치입니다.

47.2 리만 곡면

대표적인 예: 리만 구, 또는 $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ 과 같은 $\mathbb{C}$ 의 임의의 열린 부분집합입니다.

위의 동기로부터 리만 곡면의 정의가 자연스럽게 도출됩니다:

정의 47.2.1 (리만 곡면).

리만 곡면 $X$ 는 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합과 위상동형인 가산 개의 집합으로 이루어진 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 가지는 제2가산 연결 하우스도르프 공간으로, 이때 위상동형사상을 다음과 같이 두면

\phi_{i}\colon U_{i}\xrightarrow{\cong}E_{i}\subseteq\mathbb{C}

다음과 같이 정의되는 전이 사상 $\phi_{ij}$ 가

\phi_{ij}\colon E_{i}\cap\phi_{i}^{\text{img}}(U_{i}\cap U_{j})\xrightarrow{% \phi_{i}^{-1}}U_{i}\cap U_{j}\xrightarrow{\phi_{j}}E_{j}\cap\phi_{j}^{\text{% img}}(U_{i}\cap U_{j}).

해석 함수입니다. 각 $\phi_{i}$ 를 복소 차트라고 하며, 이들이 모여 복소 아틀라스를 이룹니다.

복소 아틀라스가 하우스도르프 공간에 복소 구조를 부여한다고 말합니다. 따라서 다시 말해, 리만 곡면은 복소 구조를 가진 (제2가산이고 연결된 하우스도르프) 위상 공간입니다.

[MIR95]에는 극대 복소 아틀라스를 이용한 다른 정의가 있습니다. 두 정의는 같지만, 실제로는 무한히 많은 복소 차트를 지정하는 것보다 유한히 많은 복소 차트를 지정하는 편이 더 쉽습니다.

복소 차트 $U_{i}\to E_{i}$ 는 $U_{i}$ 위의 국소 좌표를 주는 것으로 생각해야 합니다. 형식적으로는 다음과 같습니다.

정의 47.2.2.

점 $p\in X$ , 열린집합 $U\subseteq X$ , 복소 차트 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 에 대하여, 각 $x\in U$ 에 대해 $z=\phi(x)$ 라 할 때 $z$ 를 국소 좌표라고 합니다. $\phi(p)=0$ 이면 그 국소 좌표가 $p$ 에서 중심을 갖는다고 합니다.

47.3 복소 다양체

실 $n$ -다양체의 정의와 유사하게 복소 다양체를 정의할 수 있습니다. 위와 마찬가지로, 이 구조는 매끄러운 곡면보다 훨씬 더 강한 경직성을 가집니다.

정의 47.3.1 (복소 $n$ -다양체).

복소 $n$ -다양체는 $\mathbb{C}^{n}$ 의 열린 부분집합과 위상동형인 가산 개의 집합으로 이루어진 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 가지는 하우스도르프 공간으로, 이때 위상동형사상을 다음과 같이 두면

\phi_{i}\colon U_{i}\xrightarrow{\cong}E_{i}\subseteq\mathbb{C}^{n}

전이 사상 $\phi_{ij}$ 가 해석 함수가 되는 것입니다.

물론 복소 $n$ -다양체는 자연스럽게 매끄러운 (실) $2n$ -다양체입니다.

47.4 리만 곡면의 예

이 장에서는 몇 가지 예를 제시합니다.

예제 47.4.1 ( $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합).

연결된 열린 부분집합 $U\subseteq\mathbb{C}$ 는 모두 리만 곡면입니다.

이것은 지루한 예이지만(전체를 아무런 이어 붙이기 없이 정의할 수 있습니다), 계속 진행합시다.

예제 47.4.2 (리만 구면).

리만 구면 $\mathbb{C}_{\infty}$ 는 매끄러운 $2$ -다양체로서는 그저 구면일 뿐입니다.

그 복소 구조는 다음과 같이 정의됩니다:

$N=(0,0,1)$ 과 $S=(0,0,0)$ 이 서로 대척점인 두 점이 되도록 구면을 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장합니다.

$E_{1}$ 을 $x y$ -평면이라 하고, $E_{2}$ 를 $z=1$ 인 점들의 집합이라 합시다.

그러면 $\phi_{1}\colon\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{N\}\to E_{1}$ 을 (점 $N$ 을 제외한) 구에서 점 $N$ 을 지나 $E_{1}$ 로 가는 입체 사영이라 하고, $\phi_{2}\colon\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{S\}\to E_{2}$ 를 (점 $S$ 를 제외한) 구에서 점 $S$ 를 지나 $E_{2}$ 로 가는 입체 사영이라 합시다.

$E_{1}$ 과 $E_{2}$ 를 각각 $z\mapsto(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z,0)\in E_{1}$ 과 $t\mapsto(\operatorname{Re}t,-\operatorname{Im}t,1)\in E_{2}$ 에 의해 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장된 복소평면의 사본으로 생각합니다. 그러면 $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 는 $\mathbb{C}_{\infty}$ 의 복소 차트입니다.

$\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 의 정의역은 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 덮습니다. $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 복소 다양체로 만들려면 $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 가 유도하는 복소 구조가 같음을 확인해야 합니다 — 실제로 $N$ 도 $S$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U$ 위에서, 두 사영은 모든 $p\in U$ 에 대해 $\phi_{1}(p)=\frac{1}{\phi_{2}(p)}$ 라는 관계를 가집니다.

이는 $t\mapsto(\operatorname{Re}t,-\operatorname{Im}t,1)$ 에 음의 부호가 필요한 이유도 설명해 줍니다 — 그렇지 않으면 두 사영은 $\phi_{1}(p)=\frac{1}{\left(\overline{\phi_{2}(p)}\right)}$ 라는 관계를 가지게 되는데, 이는 해석적이지 않습니다.

리만 구는 빠진 점 $\infty$ 를 “채워 넣기” 위해 $\mathbb{C}$ 의 두 사본을 서로 용접한 결과로 생각할 수 있습니다.

위의 예에서 $\phi_{1}$ 이 주는 국소 좌표는 $S$ 를 중심으로 하고, $\phi_{2}$ 가 주는 국소 좌표는 $N$ 을 중심으로 합니다. 점 $\phi_{1}^{-1}(4)$ 는 차트 $\phi_{1}$ 아래에서 국소 좌표 $z=4$ 를 가지고, 차트 $\phi_{2}$ 아래에서는 국소 좌표 $t=\frac{1}{4}$ 를 가집니다.

예제 47.4.3 (복소 원환면).

$L$ 을 실수부와 허수부가 모두 $\mathbb{C}$ 의 성분인 복소수들의 집합 $\mathbb{Z}[i]$ 라 합시다. 그러면 $L$ 은 $\mathbb{C}$ 의 덧셈 부분군을 이룹니다.

몫 $\mathbb{C}/L$ 을 생각합시다. 몫 사상 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}/L$ 은 $\mathbb{C}/L$ 위에 자연스러운 복소 구조를 유도합니다.

여기서는 $\mathbb{C}/L$ 을 정사각형으로 그리지만, 위쪽 변과 아래쪽 변, 그리고 왼쪽 변과 오른쪽 변이 매끄럽게 용접되어 있다고 상상하십시오.

원환면의 각 작은 조각에 대해, 몫 사상의 역상에서 적절한 성분을 택하면 그 조각을 $\mathbb{C}$ 로 동형적으로 사상할 수 있습니다. 사영을 서로 다르게 택한 것들은 $a\in L$ 에 대한 전이 함수 $\phi_{ij}(x)=x+a$ 로 연결되며, 이는 해석적입니다.

복소 원환면은 콤팩트이므로 $\mathbb{C}/L$ 위의 모든 정칙 함수는 상수입니다. 유리형 함수는 더 흥미로우며, 구성하기도 더 어렵습니다.

그리고 예가 아닌 경우도 몇 가지 살펴봅시다.

예제 47.4.4.

두 리만 구의 서로소 합집합은 연결되어 있지 않으므로 리만 곡면이 아닙니다.

리만 곡면이 연결되어 있어야 한다는 조건은 정리들을 깔끔하게 만들기 위한 기술적인 조건에 불과합니다 — 복소 구조를 가진 임의의 위상 공간은 각 연결 성분마다 하나씩, 리만 곡면들의 서로소 합집합으로 분해할 수 있으므로 이 조건을 요구해도 잃는 것은 많지 않습니다.