장 47 리만 곡면의 기본 정의

대략적으로 말하면, 리만 곡면 이론은 미분기하학의 아이디어를 사용한 복소해석학의 일반화에 불과합니다: $2$ -다양체가 실평면 $\mathbb{R}^{2}$ 의 조각들을 매끄럽게 접합하여 더 복잡한 대상을 이루는 것으로 볼 수 있는 것처럼, 우리는 복소평면 $\mathbb{C}$ 의 “조각”들을 해석적으로 접합합니다.

정칙 함수의 이론이 매우 좋다는 것은 이미 알고 있습니다 — 그것들은 모두 해석적입니다! 여기서도 같은 정도의 경직성을 기대할 수 있습니다.

실제로 콤팩트 리만 곡면 위에서는, 이론이 정칙 함수의 경우보다 더욱 좋아집니다! 예를 들면:

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$Y$ 가 콤팩트인 두 리만 곡면 $X$ 와 $Y$ 에 대해, 임의의 유리형 함수 $f\colon X\to Y$ 는 사실 정칙이어야 합니다. 즉, 모든 곳에서 정의됩니다.
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$X$ 가 콤팩트 리만 곡면이면, 정칙 함수 $f\colon X\to\mathbb{C}$ 는 상수입니다.
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위와 같은 설정에서, 더 나아가 $g\colon X\to\mathbb{C}$ 가 유리형 함수이면, $g$ 의 영점의 개수는 중복도를 포함하여 $g$ 의 극점의 개수와 같습니다.

비고 47.0.1 (왜 우리는 이러한 좋은 성질들을 가지는 것일까요?).

대략적으로 말하면, $\mathbb{C}$ 는 콤팩트하지 않습니다 — 이는 구멍이 제거된 리만 구와 동형입니다. 구멍을 메움으로써, 우리는 이전에 극점이었던 곳에서 값 $\infty$ 를 취하도록 유리형 함수를 확장할 수 있습니다.

방향 가능한 $2$ -다양체로서, 우리는 리만 곡면의 종수를 정의할 수 있습니다 — 이는 순전히 위상적인 개념이지만, 매우 놀라운 방식으로 여러 대수적 불변량과 결정적으로 연결되어 있습니다. 암호학에서 타원 곡선에 대해 들어본 적이 있을 것입니다 — 이것들 또한 리만 곡면으로 나타나며, 그 일반화인 초타원 곡선은 임의의 종수 $\geq 2$ 를 가지는 리만 곡면의 족을 이룹니다!

47.1 복소 구조

이전 장들에서의 정의를 상기해봅시다:

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위상 $n$ -다양체는 하우스도르프 공간으로서, 각각이 $\mathbb{R}^{n}$ 과 동형인 피복 $\{U_{i}\}$ 를 가집니다.
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매끄러운 $n$ -다양체는 모든 전이 사상이 매끄러운 위상 $n$ -다양체입니다.

이들의 공통점은 무엇일까요? 겉보기에는 그리 많지 않아 보입니다. 하지만 본질적으로, 이들은 모두 같은 철학을 설명하고 있습니다:

우리는 가산 개의 조각 $\{U_{i}\}$ 를 취하여, 근본적인 구조를 유지하면서 이들을 접합합니다.

여기서, 위상 다양체는 위상적 구조를 가지며, 매끄러운 다양체는 매끄러운 구조를 가집니다. 비슷한 방식으로, 복소 다양체는 복소 구조를 가집니다.

여기서 “구조”란 무엇을 의미할까요?

먼저, 위상적 구조는 여러분에게 익숙합니다 — 그것은 그저 위상입니다. 형식적으로, 위상은 열린집합들의 모임으로 정의되지만, 위상적 구조의 실제 의미는 다음을 결정합니다:

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어떤 집합이 열려있다고 또는 닫혀있다고 간주되는지,
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점들의 수열이 주어진 점으로 수렴하는지,
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사상 $X\to Y$ 또는 $Y\to X$ 가 연속인지 ( $Y$ 가 또 다른 위상 공간으로 주어졌을 때),
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등입니다.

기존의 (하우스도르프) 위상을 가진 위상 $n$ -다양체가 주어졌을 때, 우리는 국소 좌표계가 위상적 구조를 존중하는지, 즉 동형사상인지 여부를 판별할 수 있습니다.

예제 47.1.1 ( $(0,2)$ 는 위상 $1$ -다양체입니다).

$\mathbb{R}$ 에 포함된 열린 구간 $(0,2)$ 는 위상 다양체로 간주될 수 있습니다.

이 공간에 대한 두 가지 가능한 좌표계, $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 가 나타나 있습니다.

이들의 공식은 $\phi_{1}\colon(0,2)\to(0,2),\phi_{1}(x)=x$ 와 $\phi_{2}\colon(0,2)\to(0,1.3),\phi_{2}(x)=x+0.35\cdot(1-x-\left\lvert 1-x% \right\rvert)$ 입니다.

위의 예시에서, 좌표계 $\phi_{2}$ 가 위상동형사상임에도 불구하고 매끄러워 보이지 않는다는 것을 알아차렸을 것입니다. 그래서 매끄러운 $2$ -다양체를 다음과 같은 식으로 정의하고 싶어집니다:

곡면 $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$ 이 매끄러운 $2$ -다양체라는 것은, 각 $p\in S$ 에 대해 $E\subseteq\mathbb{R}^{2}$ 와 미분동형인 열린 근방 $V\subseteq S$ 가 존재한다는 것입니다.

실제로 이것이 고전 미분기하학에서의 실제 정의입니다 — 물론 이것이 완전히 일반적이지는 않은데, 예를 들어 클라인 병은 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장될 수 없다는 것을 우리는 알고 있습니다.

그렇다면 우리는 왜 정의 46.2.2에서 이와 비슷한 것을 정의하지 않았을까요? 문제는, 미분동형사상이라는 개념이 하우스도르프 위상 공간 위에서 정의되지 않는다는 것입니다 — 사실 정의될 수가 없는데, 바로 위의 예시에서 미분동형사상이 아닌 위상동형사상을 볼 수 있습니다 — 다시 말해, 하나의 위상 공간에 서로 다른 매끄러운 구조가 부여될 수 있다는 것입니다.

그러므로 정의 정의 46.2.2이 하고 있는 일의 본질은, 각 조각 $E_{i}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 으로부터 위상 공간 $M$ 으로 매끄러운 구조를 유도함으로써 매끄러운 구조가 무엇을 의미하는지를 암묵적으로 정의하는 것입니다. 전이 함수가 매끄러워야 한다는 조건은, 물론, 서로 다른 $\phi_{i}$ 에 의해 $M$ 위에 유도된 매끄러운 구조들이 동일함을 보장하기 위한 것입니다.

완전히 같은 방식으로, 우리는 정의 46.1.2를 다음과 같이 대체할 수도 있었을 것입니다:

위상 $n$ -다양체 $M$ 이란, $M$ 을 덮는 부분집합들의 모임 $\{U_{i}\}$ 를 갖춘 집합으로서, 각 $U_{i}$ 에 대해 $\mathbb{R}^{n}$ 의 부분집합으로 가는 전단사 사상이 존재하며, 이를

$\phi_{i}\colon U_{i}\to E_{i}\subseteq\mathbb{R}^{n}$

이라 할 때, 각 $E_{i}$ 는 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린집합이며, 모든 전이 사상이 위상적 위상동형사상이라는 조건을 만족시킵니다.

여기서 $\phi_{i}$ 는 ”집합 동형사상”이며, 정의 46.2.2에서의 위상동형사상과 비슷한 역할을 하고, 위상 공간 구조 역시 조각 $E_{i}$ 로부터 유사하게 유도됩니다.

예제 47.1.2 ( $(0,2)$ 는 매끄러운 $1$ -다양체입니다).

위와 마찬가지로, $\mathbb{R}$ 에 포함된 열린 구간 $(0,2)$ 또한 매끄러운 다양체로 간주될 수 있습니다.

이번에는 $\phi_{1}$ 은 위와 동일하지만, $\phi_{2}\colon(0,2)\to(0,2+\frac{1}{e})$ 는 다음과 같이 정의됩니다

\phi_{2}(x)=\begin{cases}x&\text{만약}x\leq 1\\ x+e^{-1/(x-1)}&\text{그렇지 않으면}.\end{cases}

$\phi_{1}$ , $\phi_{2}$ , 그리고 이들의 역함수가 모두 매끄러운 함수이므로, 전이 사상 $\phi_{1}\circ\phi_{2}^{-1}$ 와 $\phi_{2}\circ\phi_{1}^{-1}$ 역시 매끄러우며, 따라서 정의 46.2.2의 가정을 만족시킵니다.

이 개념을 잠시 곰곰이 생각해 볼 필요가 있습니다 — $\mathbb{R}^{n}$ 위의 매끄러운 함수는 너무나 자연스러운 것이기에, 매끄러운 다양체가 단순한 위상 이상의 구조를 지닌다는 사실을 잊기 쉽습니다.

다시 한번, 위의 예시에서 보았듯이, $\mathbb{R}^{n}$ 은 단순히 매끄럽다는 것 이상의 구조를 가지고 있습니다 — 바로 해석적 구조입니다. 좌표계 $\phi_{2}$ 는 이 구조를 보존하지 않습니다.

그러므로 리만 곡면에 대해서는 다음과 같이 정의하겠습니다:

리만 곡면이란, 국소적으로 $\mathbb{C}$ 처럼 보이며 복소-매끄러운 구조를 지니는 매끄러운 (실) $2$ -다양체입니다.

물론, 복소해석학의 기적 덕분에 — 정칙 함수는 해석적입니다! — 이는 리만 곡면이 복소해석적 구조를 지닌다고 말하는 것과 동치입니다.

47.2 리만 곡면

대표적인 예: 리만 구, 또는 $\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\}$ 과 같은 $\mathbb{C}$ 의 임의의 열린집합.

위의 동기로부터, 리만 곡면의 정의가 자연스럽게 도출됩니다:

정의 47.2.1 (리만 곡면).

리만 곡면 $X$ 란 가산 개의 집합으로 이루어진 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 가지는 제2가산 연결 하우스도르프 공간이며, 이 집합들은 동형사상에 의해 $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합들과 위상동형인 것을 말합니다,

\phi_{i}\colon U_{i}\xrightarrow{\cong}E_{i}\subseteq\mathbb{C}

다음과 같이 정의되는 전이 사상 $\phi_{ij}$ 가

\phi_{ij}\colon E_{i}\cap\phi_{i}^{\text{img}}(U_{i}\cap U_{j})\xrightarrow{% \phi_{i}^{-1}}U_{i}\cap U_{j}\xrightarrow{\phi_{j}}E_{j}\cap\phi_{j}^{\text{% img}}(U_{i}\cap U_{j}).

해석함수가 되도록 하는 것입니다. 각 $\phi_{i}$ 를 복소 좌표계라 부르며, 이들을 함께 모으면 복소 아틀라스를 이룹니다.

복소 아틀라스가 하우스도르프 공간에 복소 구조를 부여한다고 말합니다. 따라서 다시 말해, 리만 곡면은 복소 구조를 갖는 (제2가산, 연결, 하우스도르프) 위상 공간입니다.

[MIR95]에는 극대 복소 아틀라스에 의한 다른 정의가 있습니다. 두 정의는 동일하지만, 실제로는 무한히 많은 복소 좌표계를 지정하는 것보다 유한히 많은 복소 좌표계를 지정하는 것이 더 쉽습니다.

복소 좌표계 $U_{i}\to E_{i}$ 는 $U_{i}$ 위에 국소 좌표를 부여하는 것으로 생각해야 합니다. 형식적으로는:

정의 47.2.2.

점 $p\in X$ , 열린집합 $U\subseteq X$ , 그리고 복소 좌표계 $\phi\colon U\to\mathbb{C}$ 에 대해, 각 $x\in U$ 마다 $z=\phi(x)$ 라 하면, $z$ 를 국소 좌표라 부릅니다. $\phi(p)=0$ 이면 이 국소 좌표가 $p$ 에 중심을 둔다고 말합니다.

47.3 복소 다양체

실 $n$ -다양체의 정의와 유사하게, 복소 다양체를 정의할 수 있습니다. 위에서와 마찬가지로, 이 구조는 매끄러운 곡면보다 훨씬 더 강한 경직성을 가집니다.

정의 47.3.1 (복소 $n$ -다양체).

복소 $n$ -다양체란 가산 개의 집합으로 이루어진 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 를 가지는 하우스도르프 공간이며, 이 집합들은 동형사상에 의해 $\mathbb{C}^{n}$ 의 열린 부분집합들과 위상동형인 것을 말합니다,

\phi_{i}\colon U_{i}\xrightarrow{\cong}E_{i}\subseteq\mathbb{C}^{n}

전이 사상 $\phi_{ij}$ 가 해석 함수가 되도록 합니다.

물론, 복소 $n$ -다양체는 자연스럽게 매끄러운 (실) $2n$ -다양체가 됩니다.

47.4 리만 곡면의 예

이 장에서는 몇 가지 예가 제시될 것입니다.

예제 47.4.1 ( $\mathbb{C}$ 의 열린 부분집합).

연결된 열린 부분집합 $U\subseteq\mathbb{C}$ 는 어느 것이든 리만 곡면입니다.

이는 지루한 예시입니다 (전체가 어떠한 접합도 없이 정의될 수 있습니다), 하지만 계속 진행해 봅시다.

예제 47.4.2 (리만 구면).

리만 구면 $\mathbb{C}_{\infty}$ 는 매끄러운 $2$ -다양체로서 그저 하나의 구면입니다.

그 복소 구조는 다음과 같이 정의됩니다:

$N=(0,0,1)$ 과 $S=(0,0,0)$ 이 두 대척점이 되도록 구면을 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장합니다.

$E_{1}$ 을 $x y$ -평면이라 하고, $E_{2}$ 를 $z=1$ 인 점들의 집합이라 합시다.

그러면 $\phi_{1}\colon\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{N\}\to E_{1}$ 을 (점 $N$ 을 제외한) 구에서 점 $N$ 을 지나 $E_{1}$ 로 향하는 입체 사영이라 하고, $\phi_{2}\colon\mathbb{C}_{\infty}\setminus\{S\}\to E_{2}$ 를 (점 $S$ 를 제외한) 구에서 점 $S$ 를 지나 $E_{2}$ 로 향하는 입체 사영이라 합시다.

$E_{1}$ 과 $E_{2}$ 를 $z\mapsto(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z,0)\in E_{1}$ 과 $t\mapsto(\operatorname{Re}t,-\operatorname{Im}t,1)\in E_{2}$ 에 의해 $\mathbb{R}^{3}$ 에 매장된 복소평면의 사본으로 생각합니다. 그러면 $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 는 $\mathbb{C}_{\infty}$ 의 복소 좌표계입니다.

$\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 의 정의역은 $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 덮습니다. $\mathbb{C}_{\infty}$ 를 복소다양체로 만들려면, $\phi_{1}$ 과 $\phi_{2}$ 에 의해 유도되는 복소 구조가 동일함을 확인해야 합니다 — 실제로, $N$ 도 $S$ 도 포함하지 않는 임의의 열린집합 $U$ 위에서, 이 사영들은 모든 $p\in U$ 에 대해 $\phi_{1}(p)=\frac{1}{\phi_{2}(p)}$ 의 관계를 만족합니다.

이는 또한 $t\mapsto(\operatorname{Re}t,-\operatorname{Im}t,1)$ 에서 왜 음의 부호가 필요한지 설명해줍니다 — 그렇지 않으면 이 사영들은 $\phi_{1}(p)=\frac{1}{\left(\overline{\phi_{2}(p)}\right)}$ 의 관계를 만족하게 되는데, 이는 해석적이지 않습니다.

우리는 리만 구를 빠진 점 $\infty$ 를 ”채우기” 위해 $\mathbb{C}$ 의 두 사본을 용접하여 얻은 결과로 생각할 수 있습니다.

위의 예에서, $\phi_{1}$ 이 주는 국소 좌표는 $S$ 를 중심으로 하고, $\phi_{2}$ 가 주는 국소 좌표는 $N$ 을 중심으로 합니다. 점 $\phi_{1}^{-1}(4)$ 는 좌표계 $\phi_{1}$ 아래에서 국소 좌표 $z=4$ 를 가지며, 좌표계 $\phi_{2}$ 아래에서는 국소 좌표 $t=\frac{1}{4}$ 를 가지게 됩니다.

예제 47.4.3 (복소 원환면).

$L$ 을 $\mathbb{C}$ 의 실부와 허부가 모두 정수인 복소수들의 집합 $\mathbb{Z}[i]$ 라고 합시다. 그러면 $L$ 은 $\mathbb{C}$ 의 덧셈 부분군을 이룹니다.

몫 $\mathbb{C}/L$ 을 생각해봅시다. 몫사상 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}/L$ 은 $\mathbb{C}/L$ 위에 자연스러운 복소 구조를 유도합니다.

여기서는 $\mathbb{C}/L$ 을 정사각형으로 그리지만, 위쪽 변과 아래쪽 변, 그리고 왼쪽 변과 오른쪽 변이 매끄럽게 용접되어 있다고 상상해야 합니다.

원환면의 각 작은 조각에 대해, 몫사상의 원상 중 적절한 성분을 취함으로써 이를 $\mathbb{C}$ 로 동형적으로 대응시킬 수 있습니다 — 사영의 서로 다른 선택들은 $a\in L$ 에 대한 전이함수 $\phi_{ij}(x)=x+a$ 로 관계되며, 이는 해석적입니다.

복소 원환면은 콤팩트하므로, $\mathbb{C}/L$ 위의 임의의 정칙 함수는 상수입니다. 유리형 함수는 더 흥미로우며, 구성하기도 더 어렵습니다.

그리고 몇 가지 반례들입니다.

예제 47.4.4.

두 리만 구의 서로소 합집합은 연결되어 있지 않으므로 리만 곡면이 아닙니다.

리만 곡면이 연결되어야 한다는 조건은 정리들이 깔끔하게 성립하도록 하기 위한 단순한 기술적 조건에 불과합니다 — 복소 구조를 갖는 임의의 위상 공간은 각 연결 성분마다 하나씩 대응하는 리만 곡면들의 서로소 합집합으로 분해될 수 있기 때문에, 이 조건을 요구한다고 해서 잃는 것은 그리 많지 않습니다.