절2.1벡터¶ 고유 링크

목표

$\R^n$ 에서 벡터를 더하고 스칼라배하는 방법을 대수적으로, 그리고 기하적으로 익힙니다.
일차결합을 기하적으로 이해합니다.
그림: 벡터 덧셈, 벡터 뺄셈, 일차결합.
용어: 벡터, 일차결합.

소절2.1.1 $\R^n$ 의 벡터

지금까지 $\R^n$ 의 점을 직선, 평면, 공간 등에 찍힌 점으로 그려 왔습니다. 이 점들을 화살표로 그릴 수도 있습니다. 이처럼 기하적 해석이 두 가지 있으므로, 이제 두 관점 사이의 관계를 살펴보겠습니다.

점과 벡터

다시 말하지만, $\R^n$ 의 점은 점으로 그립니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=1, every pin/.style={whitebg, thin border}] \draw[grid lines] (-1,-1) grid (4, 4); \draw[->, thick] (-1,0) -- (4,0); \draw[->, thick] (0,-1) -- (0,4); \point[seq-blue, pin={ [pin edge={seq-blue}, text=seq-blue] -85:the point $(1,3)$}] (x) at (1,3); \end{tikzpicture}$

벡터는 $\R^n$ 의 점을 화살표로 그린 것입니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=1, every pin/.style={whitebg, thin border}] \draw[grid lines] (-1,-1) grid (4, 4); \draw[thick vector, green!50!black] (0,0) -- node[midway, pin={[right]-10:the vector $1\choose3$}] {} (1,3); \end{tikzpicture}$

둘의 차이는 순전히 심리적인 것입니다. 점과 벡터는 모두 수의 목록일 뿐입니다.

인터랙티브: 좌표로 나타낸 $\R^3$ 의 벡터

$\R^n$ 의 점을 벡터로 생각할 때는 보통 열이 하나인 행렬처럼 세로로 씁니다.

$\begin{equation*} v = \vec{1 3}. \end{equation*}$

또한 영벡터는 $0$ 로 씁니다.

점과 벡터를 왜 구별할까요? 벡터는 원점에서 시작하지 않아도 됩니다. 어디에든 놓일 수 있습니다! 다시 말해, 화살표는 위치가 아니라 길이와 방향으로 결정됩니다. 예를 들어, 이 화살표들은 모두 벡터 $\color{seq-green}\vec{1 2}$ 를 나타냅니다.

$\begin{tikzpicture} \draw[help lines] (-1,-1) grid (4, 4); \draw[thick vector, seq-green] (0,1) -- (1,3); \draw[thick vector, seq-green] (1,1) -- (2,3); \draw[thick vector, seq-green] (2,0) -- (3,2); \end{tikzpicture}$

따로 언급하지 않는 한, 모든 벡터는 원점에서 시작한다고 가정합니다.

벡터는 현실 세계에서도 의미가 있습니다. 속도와 같은 많은 물리량이 벡터로 표현됩니다. 그런데 자동차의 속도는 자동차가 있는 위치에 놓여 있다고 생각하는 편이 더 자연스럽습니다.

참고

노트

벡터를 두 점 사이의 차, 즉 한 점에서 다른 점으로 향하는 화살표로 생각할 수도 있습니다. 예를 들어, ${1\choose 2}$ 는 $(1,1)$ 에서 $(2,3)$ 로 향하는 화살표입니다.

$\begin{tikzpicture}[whitebg nodes, thin border nodes] \draw[help lines] (0,0) grid (4,4); \draw[->] (0,0) -- (4,0); \draw[->] (0,0) -- (0,4); \point["${(1,1)}$" {left, text=seq-red}, seq-red] (x) at (1,1); \point["${(2,3)}$" {right, text=seq-green}, seq-green] (y) at (2,3); \draw[vector, seq-blue] (x) -- node[below right=1pt] {${1\choose 2}$} (y); \end{tikzpicture}$

소절2.1.2벡터의 대수와 기하

여기서는 벡터끼리 더하는 방법과 벡터에 수를 곱하는 방법을 대수적으로, 그리고 기하적으로 익힙니다.

벡터 덧셈과 스칼라 곱셈

두 벡터를 더할 수 있습니다:
$\begin{equation*} \vec{ a b c} + \vec{ x y z} = \vec{ a+x b+y c+z}. \end{equation*}$
벡터에 실수 $c$ 를 곱할 수 있으며, 이를 벡터를 스케일링한다고도 합니다:
$\begin{equation*} \def\r{\textcolor{red}} \r c\vec{ x y z} = \vec{ \r c\cdot x \r c\cdot y \r c\cdot z}. \end{equation*}$
벡터와 구별하기 위해 $c$ 를 스칼라라고 부릅니다. $v$ 가 벡터이고 $c$ 가 스칼라이면, $cv$ 를 $v$ 의 스칼라배라고 합니다.

덧셈과 스칼라 곱셈은 길이가 $n$ 인 벡터에서도 같은 방식으로 작동합니다.

예제

벡터 덧셈의 평행사변형 법칙

기하학적으로, 두 벡터 $v,w$ 의 합은 다음과 같이 얻습니다: $w$ 의 꼬리를 $v$ 의 머리에 놓습니다. 그러면 $v+w$ 는 꼬리가 $v$ 의 꼬리이고 머리가 $w$ 의 머리인 벡터입니다. 이를 양쪽 순서로 모두 해 보면 평행사변형이 만들어집니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \textcolor{seq-blue}{\vec{1 3}} + \textcolor{seq-green}{\vec{4 2}} = \vec{5 5}. \end{equation*}$

왜 그럴까요? $v+w$ 의 너비는 각 너비의 합이며, 높이도 마찬가지입니다.

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (0,0) grid (5,5); \fill[red!30, nearly transparent] (0,0) -- (1,3) -- (5,5) -- (4,2) -- cycle; \begin{scope}[thin border nodes] \draw[vector, seq-blue] (0,0) to["$v$"] (1,3); \draw[vector, seq-green] (1,3) to["$w$"] (5,5); \draw[vector, seq-green] (0,0) to["$w$"'] (4,2); \draw[vector, seq-blue] (4,2) to["$v$"'] (5,5); \draw[vector] (0,0) to["$v+w$" {sloped, pos=.6}] (5,5); \end{scope} \draw[|<->|] (0,5.5) -- (1,5.5); \draw[|<->|] (1,5.5) -- (5,5.5); \draw[|<->|] (0,-.5) -- (4,-.5); \draw[|<->|] (4,-.5) -- (5,-.5); \path (0,-.5) -- (5,-.5) node[pos=.5, font=\small, below=1mm] {$5 = 1 + 4 = 4+1$}; \draw[|<->|] (5.5,0) -- (5.5,2); \draw[|<->|] (5.5,2) -- (5.5,5); \draw[|<->|] (-.5,0) -- (-.5,3); \draw[|<->|] (-.5,3) -- (-.5,5); \path (-.5, 0) -- (-.5, 5) node[pos=.5, font=\small, above, rotate=90] {$5 = 2 + 3 = 3 + 2$}; \end{tikzpicture}$

인터랙티브: 벡터 덧셈의 평행사변형 법칙

벡터 뺄셈

기하학적으로, 두 벡터 $v,w$ 의 차는 다음과 같이 얻습니다: $v$ 와 $w$ 의 꼬리를 같은 점에 놓습니다. 그러면 $v-w$ 는 $w$ 의 머리에서 $v$ 의 머리로 향하는 벡터입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \textcolor{seq-blue}{\vec{1 4}} - \textcolor{seq-green}{\vec{4 2}} = \vec{-3 2}. \end{equation*}$

왜 그럴까요? $v-w$ 를 $w$ 에 더하면 $v$ 가 됩니다.

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (0,0) grid (5,5); \begin{scope}[thin border nodes] \draw[vector, seq-blue] (0,0) to["$v$"] (1,4); \draw[vector, seq-green] (0,0) to["$w$"] (4,2); \draw[vector] (4,2) to["$v-w$"' {sloped, pos=.7}] (1,4); \end{scope} \end{tikzpicture}$

인터랙티브: 벡터 뺄셈

스칼라 곱셈

벡터 $v$ 의 스칼라배는 방향은 같지만(또는 반대이지만) 길이가 다릅니다. 예를 들어, $2v$ 는 $v$ 와 같은 방향이면서 길이가 두 배인 벡터이고, $-\frac 12v$ 는 $v$ 와 반대 방향이면서 길이가 절반인 벡터입니다. (영벡터가 아닌) 벡터 $v$ 의 모든 스칼라배의 집합은 직선이라는 점에 유의하십시오.

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (-2,-2) grid (3,5); \node[anchor=south] at (.5,5) {Some multiples of $v$.}; \draw[vector] (0,0) -- (1,2) node[below right, whitebg] {$v$}; \draw[vector] (0,0) -- (2,4) node[below right, whitebg] {$2v$}; \draw[vector] (0,0) -- (-.5,-1) node[left, whitebg] {$-\frac 12v$}; \point["$0v$" below right] at (0,0); \begin{scope}[xshift=6cm] \node[anchor=south] at (.5,5) {All multiples of $v$.}; \draw[help lines] (-2,-2) grid (3,5); \draw[thick, seq-blue, <->] (-1,-2) -- (2.5, 5); \point at (0,0); \end{scope} \end{tikzpicture}$

인터랙티브: 스칼라 곱셈

소절2.1.3일차결합

같은 식 안에서 벡터를 더하고 스칼라배할 수 있습니다.

정의

$c_1,c_2,\ldots,c_k$ 를 스칼라라 하고, $v_1,v_2,\ldots,v_k$ 를 $\R^n$ 의 벡터라 합시다. $\R^n$ 의 벡터

$\begin{equation*} c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_kv_k \end{equation*}$

를 가중치 또는 계수 $c_1,c_2,\ldots,c_k$ 를 갖는 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_k$ 의 일차결합이라고 합니다.

기하학적으로, 일차결합은 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_k$ 를 계수에 따라 늘이거나 줄인 다음, 평행사변형 법칙을 사용하여 이들을 더해서 얻습니다.

예제

그림17 $\R^2$ 에 있는 두 벡터의 일차결합: 슬라이더를 움직여 $v_1$ 과 $v_2$ 의 계수를 바꾸어 보십시오. 평면 위의 모든 벡터를 적절한 계수를 갖는 $v_1,v_2$ 의 일차결합으로 얻을 수 있다는 점에 주목하십시오.

그림17 $\R^2$ 에 있는 두 벡터의 일차결합: 슬라이더를 움직여 $v_1$ 과 $v_2$ 의 계수를 바꾸어 보십시오. 평면 위의 모든 벡터를 적절한 계수를 갖는 $v_1,v_2$ 의 일차결합으로 얻을 수 있다는 점에 주목하십시오.

인터랙티브: 세 벡터의 일차결합

예제(단일 벡터의 일차결합)

단일 벡터 $v = {1\choose 2}$ 의 일차결합은 단순히 $v$ 의 스칼라배입니다. 따라서 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} v=\vec{1 2},\quad \frac 32v=\vec{3/2 3},\quad -\frac12v = \vec{-1/2 -1},\quad\ldots \end{equation*}$

모든 일차결합의 집합은 $v$ 를 지나는 직선입니다. (단, $v=0$ 인 경우는 예외이며, 이때 $v$ 의 모든 스칼라배는 다시 $0$ 입니다.)

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (-3,-3) grid (4, 4); \clip (-3,-3) rectangle (4, 4); \draw[thin, seq4] ($-2*(2,1)$) -- ($2*(2,1)$); \draw[vector, seq1] (0,0) to["$v$" thin border] (2,1); \point at (0,0); \end{tikzpicture}$

예제(공선 벡터의 일차결합)

벡터

$\begin{equation*} v_1 = \vec{2 2} \sptxt{and} v_2 = \vec{-1 -1} \end{equation*}$

의 모든 일차결합의 집합은 두 벡터를 모두 포함하는 직선입니다.

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (-3,-3) grid (4, 4); \path[clip] (-3,-3) rectangle (4, 4); \draw[thin, seq4] ($-2*(2,2)$) -- ($2*(2,2)$); \draw[vector, seq1] (0,0) to["$v_1$" thin border] (2,2); \draw[vector, seq2] (0,0) to["$v_2$"' thin border] (-1,-1); \point at (0,0); \end{tikzpicture}$

이 경우와 앞의 예의 차이점은 두 벡터가 같은 직선 위에 있다는 것입니다. 따라서 $v_1,v_2$ 의 모든 스칼라배는 그 직선 위에 있으며, 이들의 합도 마찬가지입니다.

인터랙티브: 공선인 두 벡터의 일차결합

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