절2.8좌표계로서의 기저¶ 고유 링크

목표

기저를 부분공간 위의 좌표계로 보는 법을 배웁니다.
절차: 벡터의 $\cB$ -좌표 계산하기, 벡터의 $\cB$ -좌표로부터 일반적인 좌표 계산하기.
그림: 비표준 좌표 격자 위에서 벡터의 위치를 이용해 나타낸 벡터의 $\cB$ -좌표.
용어: $\cB$ -좌표.

이 절에서는 부분공간 $V$ 의 기저를 $V$ 위의 좌표계로 해석하고, $V$ 에 속한 벡터를 그 좌표계로 나타내는 방법을 배웁니다.

사실

$\cB = \{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 가 부분공간 $V$ 의 기저이면, $V$ 에 속한 임의의 벡터 $x$ 는 일차결합

$\begin{equation*} x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_mv_m \end{equation*}$

로 정확히 한 가지 방법으로 나타낼 수 있습니다.

증명

예제

이 예제 in 절 2.7에서 다룬 $\R^3$ 의 표준 기저를 생각해 봅시다.

$\begin{equation*} e_1=\vec{1 0 0},\quad e_2=\vec{0 1 0}, \quad e_3=\vec{0 0 1}. \end{equation*}$

위의 사실에 따르면, $\R^3$ 의 모든 벡터는 $e_1,e_2,e_3$ 의 일차결합으로 유일한 계수를 가지고 나타낼 수 있습니다. 예를 들어,

$\begin{equation*} v = \vec{\color{seq1}3 \color{seq2}5 \color{seq3}{-2}} = \textcolor{seq1}{3}\vec{1 0 0} + \textcolor{seq2}{5}\vec{0 1 0} \textcolor{seq3}{{}- 2}\vec{0 0 1} = \textcolor{seq1}{3}e_1 + \textcolor{seq2}{5}e_2 \textcolor{seq3}{{}- 2}e_3. \end{equation*}$

이 경우 $v$ 의 좌표는 정확히 $e_1,e_2,e_3$ 의 계수입니다.

그렇다면 좌표란 정확히 무엇입니까? 좌표를 생각하는 한 가지 방법은, 좌표가 원점에서 어떤 점까지 가는 길을 안내해 준다고 보는 것입니다. 위의 예에서 일차결합 $3e_1+5e_2-2e_3$ 은 다음과 같은 지시 목록으로 생각할 수 있습니다. 원점에서 출발하여 북쪽으로 $3$ 만큼 이동하고, 이어서 동쪽으로 $5$ 만큼 이동한 다음, 아래로 $2$ 만큼 이동합니다.

정의

$\cB=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 를 부분공간 $V$ 의 기저라 하고,

$\begin{equation*} x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_mv_m \end{equation*}$

를 $V$ 에 속한 벡터라 합시다. 계수 $c_1,c_2,\ldots,c_m$ 을 $\cB$ 에 대한 $x$ 의 좌표라고 합니다. $x$ 의 $\cB$ -좌표 벡터는 다음 벡터입니다.

$\begin{equation*} [x]_\cB = \vec{c_1 c_2 \vdots, c_m} \quad\text{in }\R^m. \end{equation*}$

기저를 바꾸더라도 점 $(3,5,-2)$ 까지 가는 길을 여전히 안내할 수 있지만, 그 지시는 달라집니다. 예를 들어 다음 기저를 택한다고 합시다.

$\begin{equation*} v_1=e_1+e_2 = \vec{1,1,0}, \quad v_2=e_2 = \vec{0 1 0},\quad v_3 =e_3 = \vec{0 0 1}. \end{equation*}$

이 기저에서 $(3,5,-2)$ 는 $3v_1+2v_2-2v_3$ 으로 나타낼 수 있습니다. 다시 말해, 원점에서 출발하여 북동쪽으로 $v_1$ 의 $3$ 배만큼 이동하고, 이어서 동쪽으로 $2$ 만큼 이동한 다음, 아래로 $2$ 만큼 이동합니다. 이 상황에서 “ $3$ 는 $(3,5,-2)$ 의 $v_1$ -좌표이고, $2$ 는 $(3,5,-2)$ 의 $v_2$ -좌표이며, $-2$ 은 $(3,5,-2)$ 의 $v_3$ -좌표”라고 말할 수 있습니다.

위의 정의는 $\R^m$ 을 이용하여 차원이 $m$ 인 부분공간의 점들에 이름을 붙이는 방법을 제공합니다. 즉, 각 점에 그 점의 $\cB$ -좌표 벡터로 이름을 붙이면 됩니다. 예를 들어, 평면의 기저를 하나 택하면 그 평면의 점들에 $\R^2$ 의 점들로 이름을 붙일 수 있습니다.

예제( $\R^2$ 위의 비표준 좌표계)

예제

$\begin{equation*} v_1 = \vec[r]{2 -1 1} \quad v_2 = \vec[r]{1 0 -1}. \end{equation*}$

라고 합시다. 이 벡터들은 $\R^3$ 안의 평면 $V = \Span\{v_1,v_2\}$ 의 기저 $\cB$ 를 이룹니다. “ $v_1$ -축”과 “ $v_2$ -축”에 평행한 직선들을 그려 $\cB$ 로 정의되는 좌표계를 나타냅니다:

$\begin{tikzpicture}[myxyz, z={(0cm,1.2cm)}, thin border nodes] \useasboundingbox[resetxy] (-3,-3) rectangle (3,2.3); \def\v{(2,-1,1)} \def\w{(1,0,-1)} \node[coordinate] (X) at \v {}; \node[coordinate] (Y) at \w {}; \begin{scope}[x=(X), y=(Y), transformxy] \fill[seq4!10, nearly opaque] (-1,-1) rectangle (1,1); \draw[step=.5cm, seq4!80, thin] (-1,-1) grid (1,1); \end{scope} \begin{scope}[x=($.5*(X)$), y=($.5*(Y)$), every label/.append style={fill=none}] \point[minimum size=1.5mm, seq1, "$u_1$" {seq1, xshift=-2mm}] at (1,1); \point[minimum size=1.5mm, seq2, "$u_2$" {seq2, right}] at (-1,.5); \point[minimum size=1.5mm, seq3, "$u_3$" seq3] at (1.5,-.5); \point[minimum size=1.5mm, seq5, "$u_4$" {seq5, right}] at (0,1.5); \end{scope} \draw[vector] (0,0,0) to["$v_1$"'] ($.5*(X)$); \draw[vector] (0,0,0) to["$v_2$"] ($.5*(Y)$); \node[x=(X),y=(Y),seq-violet] at (0,-1.2) {$V$}; \point at (0,0,0); \end{tikzpicture}$

그림에서 $\color{seq-red}u_1$ 의 $v_1$ -좌표가 $1$ 와 같고 $v_2$ -좌표도 마찬가지임을 알 수 있으므로 $[\textcolor{seq1}{u_1}]_\cB = {1\choose 1}.$ 입니다. 마찬가지로 다음을 얻습니다:

$\begin{equation*} [\textcolor{seq2}{u_2}]_\cB = \vec[r]{-1 \frac 12}\qquad [\textcolor{seq3}{u_3}]_\cB = \vec[r]{\frac 32 -\frac 12}\qquad [\textcolor{seq5}{u_4}]_\cB = \vec{0 \frac 32}. \end{equation*}$