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장2연립일차방정식: 기하

핵심 목표

앞에서 이미 연립일차방정식과 그것이 행렬과 어떻게 관련되는지를 다루었습니다. 이 장에서는 연립일차방정식을 Ax=b와 같은 행렬 방정식으로 간결하게 쓰는 방법을 배웁니다. 여기서 A는 m \times n 행렬이고, b는 \R^m의 벡터이며, x는 \R^n의 변수 벡터입니다. 앞으로 보겠지만, 이는 강력한 관점입니다. 서로 관련된 두 가지 질문을 살펴보겠습니다.

  1. Ax=b의 해집합은 무엇입니까?
  2. Ax=b가 해를 가지도록 하는 b의 집합은 무엇입니까?

첫 번째 질문은 처음 배운 대수 수업에서 익숙하게 접했던 종류의 질문입니다. x^2-1=0의 해집합은 무엇입니까? 두 번째 질문 역시 이전 대수 수업에서 다루었을 법한 질문입니다. 어떤 b에 대해 x^2=b가 해를 가집니까? 이 질문은 언뜻 보기에 더 미묘하지만, 첫 번째 질문과 같은 방식으로 근의 공식을 사용하여 풀 수 있습니다.

위의 두 질문에 답하기 위해 기하를 사용하겠습니다. 이는 일변수 이차방정식의 해를 이해하기 위해 포물선을 사용했던 것과 비슷합니다. 구체적으로 이 장에서는 다음 두 대상을 기하적으로 연구합니다.

  1. 행렬 방정식 Ax=b의 해집합,
  2. 특정 연립방정식이 해를 가지도록 하는 모든 b의 집합.

두 번째 대상은 A의 열공간이라고 부릅니다. 두 대상은 절 2.9의 랭크 정리에 의해 아름다운 방식으로 연결됩니다.

여기서 다루는 기하적 대상은 포물선이나 쌍곡선이 아니라 직선이나 평면과 같은 부분공간입니다. 기하적 대상은 \R^{27} 안의 13차원 평면과 같은 것들이 될 것입니다. 직접 시각화할 수 없는 대상에 대해 실질적인 무언가를 말할 수 있다는 것은 놀라운 일입니다.

위의 대상들을 기술하는 데 사용할 많은 용어를 정립하겠습니다. 벡터(절 2.1), 생성(절 2.2), 일차독립(절 2.5), 부분공간(절 2.6), 차원(절 2.7), 좌표계(절 2.8), 등이 그것입니다. 이 개념들을 사용하여 임의의 연립방정식의 해집합을 기하적으로 정확하게 기술하겠습니다(절 2.4). 또한 행렬 방정식을 사용하여 연립방정식을 더 간단하게 나타내는 방법도 배웁니다(절 2.3).