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부록A복소수

이 부록에서는 복소수의 산술과 기본 성질을 간략히 복습합니다.

동기를 부여하기 위해, 회전 행렬

\begin{equation*} A = \mat{0 -1; 1 0} \end{equation*}

의 특성다항식이 f(\lambda) = \lambda^2 + 1임에 주목하십시오. 이 함수의 영점은 -1의 제곱근입니다. 이 다항식이 근을 갖기를 원한다면 더 큰 수 체계를 사용해야 합니다. 즉, -1의 제곱근이 존재한다고 임의로 선언해야 합니다.

정의

  1. 허수 i는 방정식 i^2 = -1을 만족하도록 정의됩니다.
  2. 복소수는 a,b가 실수일 때 a+bi 꼴의 수입니다.

모든 복소수의 집합은 \C로 나타냅니다.

실수는 바로 a + 0i 꼴의 복소수이므로, \R는 \C에 포함됩니다.

a+bi \longleftrightarrow {a\choose b}를 통해 \C를 \R^2와 동일시할 수 있습니다. 따라서 \C를 그림으로 나타낼 때는 평면을 그립니다.

\begin{tikzpicture}[whitebg nodes, thin border nodes] \draw[grid lines] (-2,-2) grid (2,2); \draw[thick, ->] (-2,0) -- (2,0); \draw[<-, overlay] (-2.05,0) -- (-2.5,0) node[left] {real axis}; \draw[thick, ->] (0,-2) -- (0,2); \draw[<-, overlay] (-.05,-1.5) -- ++(-2.5,0) node[left] {imaginary axis}; \point["$1$" above] at (1,0); \point["$i$" left] at (0,1); \point at (0,0); \point["$1-i$" below] at (1,-1); \end{tikzpicture}
복소수의 산술

복소수에 대해서도 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 절댓값 등 일반적인 산술 연산을 모두 수행할 수 있습니다. 또한 켤레 복소수를 취하는 연산이라는 중요한 새 연산도 있습니다.

  • 덧셈은 성분별로 수행합니다.
    \begin{equation*} (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. \end{equation*}
  • 곱셈은 분배법칙과 i^2=-1을 이용하여 수행합니다.
    \begin{equation*} (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i. \end{equation*}
  • 켤레 복소수를 취하는 연산은 i를 -i로 바꾸는 연산이며, 윗줄로 나타냅니다.
    \begin{equation*} \bar{a+bi} = a - bi. \end{equation*}
    수 \bar{a+bi}를 a+bi의 켤레 복소수라고 합니다. 임의의 두 복소수 z,w에 대해 다음이 성립함을 확인할 수 있습니다.
    \begin{equation*} \bar{z+w} = \bar z + \bar w \sptxt{and} \bar{zw} = \bar z\cdot\bar w. \end{equation*}
    또한 (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2이므로, 임의의 복소수 z에 대해 z\bar z는 음이 아닌 실수입니다.
  • 복소수 z의 절댓값은 실수 |z| = \sqrt{z\bar z}입니다.
    \begin{equation*} |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}. \end{equation*}
    |zw| = |z|\cdot|w|.임을 확인할 수 있습니다.
  • 0이 아닌 실수로 하는 나눗셈은 성분별로 진행합니다.
    \begin{equation*} \frac{a+bi}c = \frac ac + \frac bci. \end{equation*}
  • 0이 아닌 복소수로 하는 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱해야 합니다.
    \begin{equation*} \frac zw = \frac{z\bar w}{w\bar w} = \frac{z\bar w}{|w|^2}. \end{equation*}
    예를 들면 다음과 같습니다.
    \begin{equation*} \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{1^2+(-1)^2} = \frac{1+2i+i^2}2 = i. \end{equation*}
  • 복소수의 실수부와 허수부는 다음과 같습니다.
    \begin{equation*} \Re(a+bi) = a \qquad \Im(a+bi) = b. \end{equation*}

복소수를 도입하는 목적은 다항식의 근을 찾는 것입니다. 사실 i를 도입하는 것만으로도 모든 다항식의 근을 찾기에 충분합니다.

2차 다항식

근의 공식은 2차 다항식의 근을 실근이든 복소근이든 알려 줍니다:

\begin{equation*} f(x) = x^2 + bx + c \implies x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}2. \end{equation*}

예를 들어 f(x) = x^2 - \sqrt 2x + 1이면 다음과 같습니다.

\begin{equation*} x = \frac{\sqrt 2\pm\sqrt{-2}}2 = \frac{\sqrt 2}2(1\pm i) = \frac{1\pm i}{\sqrt 2}. \end{equation*}

b,c가 실수이면 두 근은 켤레 복소수라는 점에 유의하십시오.

복소수 z는 z = \bar z일 때, 그리고 그때에만 실수입니다. 이로부터 다음 관찰을 얻습니다.

f가 실수 계수 다항식이고 \lambda가 f의 복소근이면 \bar\lambda도 f의 복소근입니다:

\begin{equation*} \begin{split} 0 = \bar{f(\lambda)} \amp= \bar{\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0} \\ \amp= \bar\lambda{}^n + a_{n-1}\bar\lambda{}^{n-1}+\cdots+a_1\bar\lambda+a_0 = f\bigl(\bar\lambda\bigr). \end{split} \end{equation*}

따라서 실수 다항식의 복소근은 켤레 쌍으로 나타납니다.

3차 다항식

실계수 3차 다항식은 실근 세 개를 가지거나, 실근 하나와 복소근의 켤레 쌍을 가집니다.

예를 들어 f(x) = x^3-x = x(x-1)(x+1)는 실근 세 개를 가지며, 그 그래프는 다음과 같습니다:

\begin{tikzpicture}[domain=-1.5:1.5,smooth] \draw (-2,0) -- (2,0); \draw[color=seq-red, <->] plot (\x,\x^3-\x); \end{tikzpicture}

반면에 다항식

\begin{equation*} g(x) = x^3-5x^2+x-5 = (x-5)(x^2+1) = (x-5)(x+i)(x-i) \end{equation*}

은 5에서 실근 하나를 가지고 복소근의 켤레 쌍 \pm i를 가집니다. 그 그래프는 다음과 같습니다:

\begin{tikzpicture}[domain=-.5:.5,smooth,xscale=-4,yscale=3] \draw (-.5,-4.7) -- (.5,-4.7); \draw[color=seq-red, <->] plot (\x,\x^3-5*\x^2+\x-5); \end{tikzpicture}