절3.5역행렬¶ 고유 링크

목표

정사각행렬이 가역이라는 것이 무엇을 의미하는지 이해합니다.
가역 변환에 대해 배우고, 가역 행렬과 가역 변환 사이의 관계를 이해합니다.
방법: 역행렬을 계산하고, 역행렬을 이용하여 연립일차방정식을 풉니다.
그림: 변환의 역변환.
용어: 역행렬, 역변환.

절 3.1에서 우리는 행렬끼리 곱하는 법을 배웠습니다. 이 절에서는 행렬로 “나누는” 법을 배웁니다. 이를 통해 행렬 방정식 $Ax=b$ 를 다음과 같이 깔끔하게 풀 수 있습니다:

$\begin{equation*} Ax = b \quad\iff\quad x = A\inv b. \end{equation*}$

그러나 모든 행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니며 행렬 곱셈의 순서가 중요하므로, “행렬로 나눌” 때에는 주의해야 합니다.

소절3.5.1가역 행렬

0이 아닌 수 $a$ 의 역수 또는 역원은 $ab = 1$ 이라는 성질로 특징지어지는 수 $b$ 입니다. 예를 들어, $7$ 의 역수는 $1/7$ 입니다. 이 정식화를 이용하여 행렬의 역행렬을 정의합니다.

정의

$A$ 를 $n\times n$ (정사각)행렬이라고 합시다. 다음을 만족하는 $n\times n$ 행렬 $B$ 가 존재하면 $A$ 가 가역이라고 합니다.

$\begin{equation*} AB = I_n \sptxt{and} BA = I_n. \end{equation*}$

이 경우 행렬 $B$ 를 $A$ 의 역행렬이라고 부르며, $B = A\inv$ 로 씁니다.

일반적으로 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 $AB = I_n$ 과 $BA = I_n$ 을 모두 요구해야 합니다. 그러나 이 따름정리 in 절 3.6에서 $A$ 와 $B$ 가 $AB = I_n$ 을 만족하는 $n\times n$ 행렬이면 자동으로 $BA = I_n$ 임을 보일 것입니다.

예제

참고

가역 행렬에 관한 사실

$A$ 와 $B$ 를 가역인 $n\times n$ 행렬이라고 합시다.

$A\inv$ 는 가역이며, 그 역행렬은 $(A\inv){}\inv = A.$ 입니다.
$AB$ 는 가역이며, 그 역행렬은 $(AB)\inv = B\inv A\inv$ 입니다(순서에 주의하십시오).

증명

등식 $AA^{-1}=I_n$ 과 $A^{-1}A = I_n$ 은 $A^{-1}$ 가 $A$ 의 역행렬이라는 것과 $A$ 가 $A^{-1}.$ 의 역행렬이라는 것을 동시에 보여 줍니다.
다음과 같이 계산합니다.
$\begin{equation*} (B\inv A\inv)AB = B\inv(A\inv A)B = B\inv I_n B = B\inv B = I_n. \end{equation*}$
여기서 행렬 곱셈의 결합법칙과 $I_n B = B$ 라는 사실을 사용했습니다. 이로써 $B\inv A\inv$ 가 $AB$ 의 역행렬임을 알 수 있습니다.

$AB$ 의 역행렬이 $A\inv B\inv$ 와 같지 않은 이유는 무엇입니까? 만약 같다면 다음이 성립할 것입니다.

$\begin{equation*} I_n = (AB)(A\inv B\inv) = ABA\inv B\inv. \end{equation*}$

그러나 $ABA\inv B\inv$ 가 단위행렬과 같아야 할 이유는 없습니다. $A\inv$ 와 $B$ 의 순서를 바꿀 수 없으므로 이 식에서는 약분되는 것이 없습니다. 실제로 $I_n = (AB)(A\inv B\inv)$ 이면 양변의 오른쪽에 $BA$ 를 곱하여 $AB = BA$ 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 다시 말해, $(AB)\inv = A\inv B\inv$ 일 필요충분조건은 $AB=BA$ 입니다.

더 일반적으로, 여러 가역 행렬의 곱의 역행렬은 각 역행렬을 반대 순서로 곱한 것입니다. 증명은 같습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} (ABC)\inv = C\inv B\inv A\inv. \end{equation*}$

소절3.5.2역행렬 계산하기¶ 고유 링크

지금까지 역행렬을 정의하기만 했을 뿐 이를 계산하는 방법은 제시하지 않았습니다. 이제 $2\times 2$ 행렬이라는 특수한 경우부터 시작하여 그 방법을 제시합니다. 그다음에 $n\times n$ 인 경우의 계산 절차를 제시하겠습니다.

정의

$2\times 2$ 행렬의 행렬식은 다음 수입니다.

$\begin{equation*} \det\mat{a b; c d} = ad-bc. \end{equation*}$

명제

$A = \mat{a b; c d}$ 라고 합시다.

$\det(A) \neq 0$ 이면 $A$ 는 가역이며 다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} A\inv = \frac 1{\det(A)}\mat{d -b; -c a}. \end{equation*}$
$\det(A) = 0,$ 이면 $A$ 는 가역이 아닙니다.

증명

$n\times n$ 행렬의 역행렬에 대해서도 비슷한 공식이 있지만, 그만큼 간단하지 않고 계산량도 많습니다. 관심 있는 독자는 이 소절 in 절 4.2에서 찾아볼 수 있습니다.

예제

다음 정리는 일반적인 경우에 $A\inv$ 를 계산하는 절차를 제공합니다.

정리

$A$ 를 $n\times n$ 행렬이라 하고, $(\,A\mid I_n\,)$ 를 $A$ 에 단위행렬을 첨가하여 얻은 행렬이라 합시다. $(\,A\mid I_n\,)$ 의 기약 행 사다리꼴이 $(\,I_n\mid B\,)$ 꼴이면 $A$ 는 가역이고 $B = A\inv$ 입니다. 그렇지 않으면 $A$ 는 가역이 아닙니다.

증명

예제(가역 행렬)

예제(가역 행렬이 아닌 행렬)

소절3.5.3역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

이 절에서는 $Ax=b$ 를 “ $A$ 로 나누어” 푸는 방법을 배웁니다.

정리

$A$ 를 가역인 $n\times n$ 행렬이라 하고, $b$ 를 $\R^n.$ 의 벡터라 합시다. 그러면 행렬 방정식 $Ax=b$ 는 정확히 하나의 해를 가집니다.

$\begin{equation*} x = A\inv b. \end{equation*}$

증명

예제(역행렬을 이용하여 $2\times 2$ 연립방정식 풀기)

예제(역행렬을 이용하여 $3\times 3$ 연립방정식 풀기)

역행렬을 이용하여 연립일차방정식을 풀 때의 장점은 $b$ 가 다른 값이거나 심지어 미지의 값일 때에도 행렬 방정식 $Ax=b$ 를 훨씬 빠르게 풀 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 위의 예제에서 $b_1,b_2,b_3$ 가 미지수일 때 연립방정식

$\begin{equation*} \syseq{2x_1 + 3x_2 + 2x_3 = b_1; x_1 \+ \. + 3x_3 = b_2; 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = b_3\rlap{,}} \end{equation*}$

의 해는

$\begin{equation*} \vec{x_1 x_2 x_3} = \mat{2 3 2; 1 0 3; 2 2 3}\inv\kern-1pt\vec{b_1 b_2 b_3} =\mat[r]{-6 -5 9; 3 2 -4; 2 2 -3}\vec{b_1 b_2 b_3} =\vec{-6b_1-5b_2+9b_3 \phantom-3b_1+2b_2-4b_3 \phantom-2b_1+2b_2-3b_3}. \end{equation*}$

입니다.

소절3.5.4가역 선형변환¶ 고유 링크

행렬 곱셈과 마찬가지로, 행렬의 역을 구하는 것을 선형변환에 대한 연산으로 이해하면 도움이 됩니다. $\R^n$ 위의 항등변환을 $\Id_{\R^n}$ 으로 표기한다는 것을 상기하십시오.

정의

$T\circ U = \Id_{\R^n}$ 이고 $U\circ T = \Id_{\R^n}$ 을 만족하는 변환 $U\colon\R^n\to\R^n$ 이 존재하면, 변환 $T\colon\R^n\to\R^n$ 은 가역입니다. 이 경우 변환 $U$ 를 $T$ 의 역변환이라고 부르며, $U = T\inv$ 로 씁니다.

$T$ 의 역변환 $U$ 는 $T$ 가 한 일을 무엇이든 “되돌립니다”. 모든 벡터 $x$ 에 대하여

$\begin{equation*} T\circ U(x) = x \sptxt{and} U\circ T(x) = x \end{equation*}$

가 성립합니다. 이는 $x$ 에 $T$ 를 적용한 다음 $U$ 를 적용하면 벡터 $x$ 를 다시 얻으며, 순서를 바꾸어도 마찬가지라는 뜻입니다.

예제(일변수 함수)

예제(확대)

예제(회전)

예제(반사)

비예제(사영)

명제

변환 $T\colon\R^n\to\R^n$ 이 가역일 필요충분조건은 일대일이면서 전사인 것입니다.
$T$ 가 가역임을 이미 알고 있다면, $T\circ U = \Id_{\R^n}$ 와 $U\circ T = \Id_{\R^n}$ 중 어느 하나만 성립해도 $U\colon\R^n\to\R^n$ 는 $T$ 의 역변환입니다. 즉, 둘 중 하나만 확인하면 됩니다.