절3.3선형변환¶ 고유 링크

목표

변환이 선형인지 확인하는 방법, 또는 변환이 선형이 아님을 증명하는 방법을 배웁니다.
선형변환과 행렬 변환 사이의 관계를 이해합니다.
계산 절차: 선형변환의 행렬을 계산합니다.
정리: 선형변환과 행렬 변환.
표기법: 표준 좌표 벡터 $e_1,e_2,\ldots\text{.}$
용어: 선형변환, 표준행렬, 단위행렬.

절 3.1에서는 행렬을 함수로 간주하여, 즉 그에 연관된 행렬 변환을 고려하여 행렬의 기하학을 공부하였습니다. 몇 가지 용어(정의역, 공역, 치역)를 정의하고, 변환에 관한 여러 자연스러운 질문을 던졌습니다. 행렬 변환의 경우 이러한 질문은 행렬에 관한 질문으로 바뀌며, 우리에게는 이에 답할 도구가 많이 있습니다.

이 절에서는 관점을 바꿉니다. 연구하고자 하는 변환이 하나 주어졌다고 가정합시다. 이 변환이 행렬 변환임을 증명할 수 있다면, 선형대수학을 사용하여 이를 연구할 수 있습니다. 이로부터 두 가지 중요한 질문이 생깁니다:

어떤 변환이 행렬 변환인지 어떻게 알 수 있습니까?
변환이 행렬 변환이라면, 그 행렬은 어떻게 구합니까?

예를 들어, 이 예제 in 절 3.1에서 행렬 변환

$\begin{equation*} T\colon\R^2\To\R^2 \qquad T(x) = \mat{0 -1; 1 0}x \end{equation*}$

가 평면을 반시계 방향으로 $90^\circ$ 만큼 회전시키는 변환임을 보았습니다. 그러나 $T$ 를 다음과 같이 회전으로 정의할 수도 있었습니다:

$\begin{equation*} T\colon\R^2\To\R^2 \qquad T(x) = \text{the counterclockwise rotation of $x$ by $90^\circ$}. \end{equation*}$

이 정의만으로는 $T$ 가 행렬 변환인지, 또는 어떤 행렬과 연관되어 있는지가 전혀 분명하지 않습니다.

소절3.3.1선형변환: 정의

이 절에서는 행렬로부터 나오는 변환들의 부류를 소개합니다.

정의

선형변환이란 $\R^n$ 의 모든 벡터 $u,v$ 와 모든 스칼라 $c$ 에 대해

$\begin{align*} T(u + v) &= T(u) + T(v)\\ T(cu) &= cT(u) \end{align*}$

를 만족하는 변환 $T\colon\R^n\to\R^m$ 입니다.

$T\colon\R^n\to\R^m$ 가 행렬 변환이라고 합시다. 즉, $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $T(x)=Ax$ 입니다. 이 명제 in 절 2.3에 의해, $\R^n$ 의 모든 벡터 $u,v$ 와 모든 스칼라 $c$ 에 대해

$\begin{align*} T(u + v) = A(u + v) &= Au + Av = T(u) + T(v)\\ T(cu) = A(cu) &= cAu = cT(u) \end{align*}$

가 성립합니다. 행렬 변환은 두 가지 정의 성질을 만족하므로 선형변환입니다

다음 소절에서 그 역도 성립함을 보게 될 것입니다. 즉, 모든 선형변환은 행렬 변환이며, 다만 아직 그 행렬을 계산하지 않았을 뿐입니다.

선형변환에 관한 사실

$T\colon\R^n\to\R^m$ 가 선형변환이라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다:

$T(0)=0\text{.}$
$\R^n$ 의 임의의 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_k$ 와 스칼라 $c_1,c_2,\ldots,c_k$ 에 대해
$\begin{equation*} T\bigl( c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_kv_k \bigr) = c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \cdots + c_k T(v_k). \end{equation*}$
가 성립합니다.

증명

공학에서는 두 번째 사실을 중첩 원리라고 부릅니다. 이는 분배 법칙을 떠올리게 할 것입니다. 예를 들어, 임의의 벡터 $u,v$ 와 임의의 스칼라 $c,d$ 에 대해 $T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)$ 입니다. 첫 번째 사실을 다시 서술하면 다음과 같습니다.

선형변환은 반드시 영벡터를 영벡터로 보냅니다.

예제(비선형변환)

예제(선형성 확인하기: 확대)

예제(선형성 확인하기: 회전)

예제(공식으로 정의된 변환)

위 예제처럼 변환이 좌표에 대한 공식으로 정의된 경우, 그 변환이 선형변환일 필요충분조건은 각 좌표가 상수항이 없는 변수들의 일차식이라는 것임을 보일 수 있습니다.

예제(평행이동)

예제(선형이 아닌 변환의 추가 예)

변환 $T$ 가 선형인지 판단할 때는 일반적으로 먼저 $T(0)=0$ 인지 확인합니다. 그렇지 않다면 $T$ 는 당연히 선형이 아닙니다. 그러나 위 예제의 비선형 변환 $T_1$ 과 $T_2$ 는 영벡터를 영벡터로 보낸다는 점에 유의하십시오.

도전 과제

소절3.3.2표준 좌표 벡터

다음 소절에서는 선형변환과 행렬 변환 사이의 관계를 제시합니다. 그에 앞서 다음과 같은 중요한 표기법이 필요합니다.

표준 좌표 벡터

$\R^n$ 의 표준 좌표 벡터는 다음 $n$ 개의 벡터입니다.

$\begin{equation*} e_1=\vec{1 0 \vdots, 0 0},\quad e_2=\vec{0 1 \vdots, 0 0},\quad\ldots,\quad e_{n-1}=\vec{0 0 \vdots, 1 0},\quad e_n=\vec{0 0 \vdots, 0 1}. \end{equation*}$

$e_i$ 의 $i$ 번째 성분은 1이고, 나머지 성분은 0입니다.

이제부터 이 책의 나머지 부분에서는 표준 좌표 벡터를 나타내는 데 기호 $\color{red}e_1,e_2,\ldots$ 를 사용합니다.

이 표기법에는 모호함이 있습니다. $e_1$ 이 $n$ 개의 성분을 갖는다는 것을 문맥으로부터 알아야 합니다. 즉, $\R^2$ 의 벡터를 다루는지 $\R^3$ 의 벡터를 다루는지에 따라 벡터

$\begin{equation*} \vec{1 0} \quad\text{ and }\quad \vec{1 0 0} \end{equation*}$

가 모두 $e_1$ 로 표기될 수 있습니다.

$\R^2$ 와 $\R^3$ 의 표준 좌표 벡터는 아래 그림과 같습니다.

$\begin{tikzpicture}[thin border nodes] \draw[grid lines] (-2,-2) grid (2,2); \draw[->] (-2,0) -- (2,0); \draw[->] (0,-2) -- (0,2); \draw[vector, seq1] (0,0) to["$e_1$" below=1pt] (1,0); \draw[vector, seq2] (0,0) to["$e_2$"] (0,1); \node[font=\normalsize, above] at (0,2.1) {in $\R^2$}; \point at (0,0); \end{tikzpicture} \qquad \begin{tikzpicture}[myxyz, thin border nodes] \node[font=\normalsize, above] at (0,0,2.1) {in $\R^3$}; \draw[grid lines, transformxy] (-2,-2) grid (2,2); \draw[->] (-2,0,0) -- (2,0,0); \draw[->] (0,-2,0) -- (0,2,0); \draw[->] (0,0,-2) -- (0,0,2); \draw[vector, seq1] (0,0,0) to["$e_1$" pos=.8] (1,0,0); \draw[vector, seq2] (0,0,0) to["$e_2$" below=1pt] (0,1,0); \draw[vector, seq3] (0,0,0) to["$e_3$"] (0,0,1); \point at (0,0,0); \end{tikzpicture}$

이들은 각 축의 양의 방향을 가리키는 길이 1인 벡터입니다.

행렬에 표준 좌표 벡터 곱하기

$A$ 가 열 $v_1,v_2,\ldots,v_m$ 을 갖는 $m\times n$ 행렬이면, 각 $i=1,2,\ldots,n$ 에 대해 $\color{red}Ae_i = v_i$ 입니다.

$\begin{equation*} \mat{| | ,, |; v_1 v_2 \cdots, v_n; | | ,, |}e_i = v_i. \end{equation*}$

다시 말해, 행렬에 $e_i$ 를 곱하는 것은 단순히 그 행렬의 $i$ 번째 열을 골라내는 것입니다.

예를 들어,

$\begin{equation*} \def\A{\mat{1 2 3; 4 5 6; 7 8 9}} \A\vec{1 0 0} = \vec{1 4 7} \quad \A\vec{0 1 0} = \vec{2 5 8} \quad \A\vec{0 0 1} = \vec{3 6 9}. \end{equation*}$

정의

$n\times n$ 단위행렬은 $\R^n$ 의 $n$ 개의 표준 좌표 벡터를 열로 갖는 행렬 $I_n$ 입니다.

$\begin{equation*} I_n = \mat{1 0 \cdots, 0 0; 0 1 \cdots, 0 0; \vdots, \vdots, \ddots, \vdots, \vdots; 0 0 \cdots, 1 0; 0 0 \cdots, 0 1}. \end{equation*}$

아래의 이 예제에서 단위행렬이 항등변환의 행렬임을 보게 됩니다.

소절3.3.3선형변환의 행렬¶ 고유 링크

이제 모든 선형변환이 행렬 변환임을 증명할 수 있으며, 그 행렬을 계산하는 방법을 보이겠습니다.

정리(선형변환의 행렬)

$T\colon\R^n\to\R^m$ 를 선형변환이라고 합시다. $A$ 를 다음과 같은 $m\times n$ 행렬이라고 합시다.

$\begin{equation*} A = \mat{| | ,, |; T(e_1) T(e_2) \cdots, T(e_n); | | ,, | }. \end{equation*}$

그러면 $T$ 는 $A$ 에 대응하는 행렬 변환입니다. 즉, $T(x) = Ax$ 입니다.

증명

위 정리의 행렬 $A$ 를 $T$ 의 표준행렬이라고 합니다. $A$ 의 열은 $\R^n$ 의 $n$ 개의 표준 좌표 벡터에서 $T$ 의 값을 계산하여 얻은 벡터입니다. 정리의 일부를 요약하면 다음과 같습니다.

행렬 변환은 선형변환과 같습니다.

대응표

선형변환은 행렬에서 나오는 행렬 변환과 같습니다. 선형변환과 행렬 사이의 이러한 대응 관계는 다음 사전으로 요약할 수 있습니다.

$\parbox{.3\linewidth}{\centering% $T\colon\R^n\to\R^m$\\ Linear transformation}% \;$\xrightarrow{\phantom{MMM}}$\; \hbox to .5\linewidth{$m\times n$ matrix \small$A = \mat{| | ,, |; T(e_1) T(e_2) \cdots, T(e_n); | | ,, | }$\hss}\\[3mm] \leavevmode \hbox to .3\linewidth{\hfil $\begin{aligned}&T\colon\R^n\to\R^m\\&T(x) = Ax\end{aligned}$\hfil}% \;$\xleftarrow{\phantom{MMM}}$\; \hbox to .5\linewidth{$m\times n$ matrix $A$\hfil}$