방정식 는 일 때 풀기가 더 쉬우므로, 이 경우부터 시작합니다.

동차 연립방정식은 등호 오른쪽의 상수가 모두 0인 연립일차방정식일 뿐입니다.

관찰

동차 연립일차방정식의 첨가행렬을 행 축약하면, 행 축약 과정 내내 마지막 열은 모두 0입니다. 이는 앞의 예제에서 이미 보았습니다:

따라서 동차 연립방정식을 풀 때는 굳이 첨가행렬을 쓸 필요가 없습니다.

동차 방정식 이 실제로 자명하지 않은 해를 가질 때, 해집합을 생성으로 편리하게 표현할 수 있음이 밝혀집니다.

매개변수 벡터 꼴 (동차인 경우)

다음과 같은 기약 행 사다리꼴 행렬을 생각해 봅시다:

행렬 방정식 은 다음 연립방정식에 대응합니다.

매개변수 꼴은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

위의 연립방정식을 벡터 방정식으로 바꾸기 위해 중복된 방정식 와 를 썼습니다.

이 벡터 방정식을 해집합의 매개변수 벡터 꼴이라고 합니다. 과 는 어떤 값이든 가질 수 있으므로, 이는 해집합이 과 의 모든 일차결합의 집합임을 뜻합니다. 다시 말해, 해집합은

입니다.

일반적인 절차는 다음과 같습니다.

계산 절차: 매개변수 벡터 꼴 (동차인 경우)

를 행렬이라고 합시다. 동차 방정식 의 자유변수가 예를 들어 이라고 가정합시다.

1. 의 기약 행 사다리꼴을 구하십시오.
2. 중복된 방정식 을 포함하여 해집합의 매개변수 꼴을 쓰십시오. 모든 에 대한 방정식을 순서대로 배열하십시오.
3. 과 의 계수를 각각 벡터 과 로 만들어, 이 방정식들로부터 하나의 벡터 방정식을 만드십시오.

그러면 의 해는 의 어떤 벡터 과 임의의 스칼라 에 대하여

꼴로 표현됩니다. 이를 해의 매개변수 벡터 꼴이라고 합니다.

이 경우 해집합은 로 쓸 수 있습니다.

특히 다음 사실을 강조합니다.

위의 예제에는 변수가 두 개 있었으므로, 해집합은 의 부분집합입니다. 변수 중 하나가 자유변수였으므로, 해집합은 직선입니다:

위 예제에는 변수가 세 개 있었으므로, 해집합은 의 부분집합입니다. 변수 중 두 개가 자유변수였으므로, 해집합은 평면입니다.

여기서 자연스럽게 다음과 같은 질문을 던질 수 있습니다. 동차 행렬 방정식의 해를 위 계산 절차에서 제시한 것보다 더 적은 수의 벡터를 사용하여 쓸 수 있습니까? 예제 in 절 2.5에서 그 답이 아니오임을 보게 될 것입니다. 계산 절차에서 얻은 벡터들은 항상 일차독립이며, 이는 더 적은 수의 벡터로 해를 쓸 방법이 없다는 뜻입니다.

또 다른 자연스러운 질문은 다음과 같습니다. 비동차 방정식의 해집합도 생성입니까? 곧 보겠지만, 그것들은 결코 생성이 아니지만 생성과 밀접한 관련이 있습니다.

다음과 같이 자유변수의 개수와 해집합의 “크기” 사이에는 자연스러운 관계가 있습니다.

절 2.7에서 차원의 엄밀한 정의를 전개할 것이지만, 지금은 차원을 단순히 자유변수의 개수라는 의미로 사용하겠습니다. 이 중요 in 절 2.5와 비교해 보십시오.

직관적으로, 해집합의 차원은 해집합의 한 점을 기술하는 데 필요한 매개변수의 개수입니다. 직선에는 매개변수가 하나만 필요하고, 평면에는 매개변수가 두 개 필요합니다. 이는 피치트리 스트리트—직선과 비슷한 거리—에 있는 건물의 위치가 하나의 수로 결정되고, 맨해튼—평면과 비슷한 곳—의 길모퉁이가 두 개의 수로 지정되는 것과 비슷합니다.

행렬 방정식 는 일 때 비동차라고 한다는 것을 떠올려 보십시오.

위의 예제에서 해집합은

꼴의 모든 벡터였으며, 여기서 는 임의의 스칼라입니다. 벡터 또한 의 해입니다: 으로 두면 됩니다. 를 특수해라고 부릅니다.

해집합에서 는 어떤 값이든 될 수 있으므로, 해집합은 다음과 같이 얻어집니다: 의 모든 스칼라배를 취한 다음, 이 각각의 스칼라배에 특수해 를 더합니다. 기하학적으로 이는 먼저 원점을 지나는 직선(그리고 우연이 아니게도 의 해)인 의 생성을 그린 다음, 이 직선을 를 따라 평행이동하는 것, 즉 밀어 옮기는 것으로 이루어집니다. 평행이동된 직선은 벡터 를 지나고 과 평행합니다. 즉, 이 직선은 직선을 평행이동한 것입니다.

위의 예제에서 해집합은

꼴의 모든 벡터였으며, 여기서 와 는 임의의 스칼라입니다. 이 경우 특수해는 입니다.

앞의 예제와 그 앞의 예제에서, 의 해집합의 매개변수 벡터 꼴은 (각각 이 예제와 이 예제에서 구한) 의 해집합의 매개변수 벡터 꼴에 특수해를 더한 것과 정확히 같았습니다.

비동차 방정식 의 해의 매개변수 벡터 꼴은 동차 방정식 의 해의 매개변수 벡터 꼴에 특수해 를 더한 것에 불과합니다.

핵심 관찰가 왜 참인지 알아보는 것은 어렵지 않습니다. 가 특수해이면 이고, 가 동차 방정식 의 해이면

따라서 는 의 또 다른 해입니다. 반대로 의 임의의 해 에서 출발하면,

이므로 는 의 해입니다.

핵심 관찰의 시각화는 다음 소절의 대화형 그림을 참고하십시오.

다시 이 중요 in 절 2.5와 비교해 보십시오.

이제 모든 행렬 에 완전히 다른 두 기하학적 대상을 대응시켰으며, 둘 다 생성을 이용하여 기술됩니다.

• 해집합: 고정된 에 대해, 를 만족하는 모든 의 집합입니다.

  • 이것은 이면 생성이고, 이면 (그리고 가 해를 가지면) 생성의 평행이동입니다.
  • 이것은 의 부분집합입니다.
  • 이것은 연립방정식을 풀어서 계산합니다. 보통 행 축약을 하여 매개변수 벡터 꼴을 구하는 방식으로 계산합니다.

• 의 열의 생성: 이것은 가 해를 가지도록 하는 모든 의 집합입니다.

  • 이것은 항상 생성입니다.
  • 이것은 의 부분집합입니다.
  • 이것은 연립방정식을 풀어서 계산하지 않습니다. 행 축약은 아무 역할도 하지 않습니다.