절6.1내적과 직교성¶ 고유 링크

목표

내적, 길이, 거리 사이의 관계를 이해합니다.
내적과 직교성 사이의 관계를 이해합니다.
용어: 내적, 길이, 거리, 단위 벡터, $x$ 방향의 단위 벡터.
필수 용어: 직교.

이 장에서는 다음과 같이 주어진 점에 가장 가까운 부분공간 위의 점을 찾아야 합니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, thin border nodes] \coordinate (u) at (0,1,0); \coordinate (v) at (1.1,0,-.2); \coordinate (uxv) at (.2,0,1.1); \coordinate (x) at ($-1.1*(u)+(v)+1.5*(uxv)$); \begin{scope}[x=(u),y=(v),transformxy] \fill[seq-violet!30] (-2,-2) rectangle (2,2); \draw[seq-violet, help lines] (-2,-2) grid (2,2); \end{scope} \point[seq-blue, "closest point" {below,text=seq-blue}] (y) at ($-1.1*(u)+1*(v)$); \coordinate (yu) at ($(y)+(u)$); \coordinate (yv) at ($(y)+(v)$); \pic[draw, right angle len=3mm] {right angle=(x)--(y)--(yu)}; \pic[draw, right angle len=3mm] {right angle=(x)--(y)--(yv)}; \point[seq-red, "$x$" {above,text=seq-red}] (xx) at (x); \draw[vector, thin] (y) -- (xx); \point at (0,0,0); \end{tikzpicture}$

가장 가까운 점은 두 점의 차가 부분공간에 직교한다는, 즉 수직이라는 성질을 가집니다. 이러한 이유로 직교성, 길이, 거리의 개념을 정립해야 합니다.

소절6.1.1내적

이 절의 기본 구성은 내적입니다. 내적은 벡터 사이의 각을 재고 벡터의 길이를 계산합니다.

정의

$\R^n$ 의 두 벡터 $x,y$ 의 내적은 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} x\cdot y = \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} \cdot \vec{y_1 y_2 \vdots, y_n} \;=\; x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n. \end{equation*}$

$x,y$ 를 열벡터로 생각하면 이는 $x^Ty$ 와 같습니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \vec{1 2 3}\cdot\vec{4 5 6} = \mat{1 2 3}\vec{4 5 6} = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32. \end{equation*}$

두 벡터의 내적은 스칼라라는 점에 주목하십시오.

두 벡터끼리만 내적할 수 있고 그 결과가 스칼라라는 점만 기억한다면, 내적으로 대부분 평소처럼 산술 연산을 할 수 있습니다.

내적의 성질

$x,y,z$ 를 $\R^n$ 의 벡터라 하고 $c$ 를 스칼라라 합시다.

교환법칙: $x\cdot y = y \cdot x\text{.}$
덧셈에 대한 분배법칙: $(x + y)\cdot z = x\cdot z+y\cdot z\text{.}$
스칼라 곱에 대한 분배법칙: $(cx)\cdot y = c(x\cdot y)\text{.}$

벡터와 자기 자신의 내적은 중요한 특수한 경우입니다.

$\begin{equation*} \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n}\cdot\vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2. \end{equation*}$

따라서 임의의 벡터 $x$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$x\cdot x \geq 0$
$x\cdot x = 0 \iff x = 0.$

이로부터 길이를 적절하게 정의할 수 있습니다.

사실

$\R^n$ 의 벡터 $x$ 의 길이는 다음 수입니다.

$\begin{equation*} \|x\| = \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}. \end{equation*}$

$\R^2$ 의 벡터에 대해 이것이 참인 이유는 피타고라스 정리로 쉽게 알 수 있습니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=1,decoration={brace,raise=3pt}] \draw[grid lines] (0,0) grid (5,5); \point at (0,0); \point["$\vec{3 4}$" right] (x) at (3,4); \draw[vector] (0,0) -- node[sloped,above,inner sep=1pt] {$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$} (x); \draw[decorate,decoration={mirror}] (0,0) -- node[below=4pt] {3} (3,0); \draw[decorate] (0,0) -- node[left=3pt] {4} (0,4); \node at (8,2.5) {$\left\|\vec{3 4}\right\| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$}; \end{tikzpicture}$

$\R^3$ 의 벡터에 대해서도 $\|x\|$ 가 실제로 $x$ 의 길이임을 확인할 수 있지만, 이번에는 피타고라스 정리를 두 번 적용해야 합니다.

벡터의 길이는 화살표의 길이라는 점에 유의하십시오. 점의 관점에서 생각하면 길이는 원점으로부터의 거리입니다.

예제

사실

$x$ 가 벡터이고 $c$ 가 스칼라이면 $\|cx\|=|c|\cdot\|x\|.$ 입니다.

이것은 벡터를 $c$ 배 하면 그 길이가 $|c|$ 배가 된다는 뜻입니다. 예를 들어,

$\begin{equation*} \left\|\vec{6 8}\right\| = \left\|2\vec{3 4}\right\| = 2\left\|\vec{3 4}\right\| = 10. \end{equation*}$

이제 길이에 대한 적절한 개념을 갖추었으므로, $\R^n$ 의 점들 사이의 거리를 정의할 수 있습니다. 두 점 $x,y$ 의 차는 자연스럽게 벡터, 즉 $x$ 에서 $y$ 를 가리키는 벡터 $y-x$ 가 된다는 것을 상기하십시오.

정의

$\R^n$ 의 두 점 $x,y$ 사이의 거리는 $x$ 에서 $y$ 로 향하는 벡터의 길이입니다:

$\begin{equation*} \dist(x,y) = \|y-x\|. \end{equation*}$

예제

길이가 $1$ 인 벡터는 응용에서 매우 흔히 나타나므로, 이들에게 이름을 붙입니다.

정의

단위 벡터는 길이가 $\|x\| = \sqrt{x\cdot x} =1$ 인 벡터 $x$ 입니다.

표준 좌표 벡터 $e_1,e_2,e_3,\ldots$ 는 단위 벡터입니다:

$\begin{equation*} \|e_1\| = \left\|\vec{1 0 0}\right\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1. \end{equation*}$

영이 아닌 벡터 $x$ 가 주어지면, 같은 방향을 가리키는 단위 벡터가 유일하게 존재합니다. 이 벡터는 $x$ 의 길이로 나누어 얻습니다.

사실

$x$ 를 $\R^n$ 의 영이 아닌 벡터라고 합시다. $x$ 방향의 단위 벡터는 벡터 $x/\|x\|$ 입니다.

이것은 실제로 단위 벡터입니다( $\|x\|$ 는 양수이므로 $\bigl|1/\|x\|\bigr| = 1/\|x\|$ 임에 유의하십시오):

$\begin{equation*} \left\|\frac{x}{\|x\|}\right\| = \frac 1{\|x\|}\|x\| = 1. \end{equation*}$

예제

소절6.1.2직교 벡터

이 절에서는 내적을 사용하여 직교성, 즉 두 벡터가 서로 수직인 경우를 어떻게 정의할 수 있는지 보입니다.

정의

$x\cdot y = 0$ 이면 $\R^n$ 의 두 벡터 $x,y$ 는 직교한다 또는 수직이다라고 합니다.

표기법: $x\perp y$ 는 $x\cdot y = 0$ 을 의미합니다.

임의의 벡터 $x$ 에 대하여 $0 \cdot x = 0$ 이므로, 영벡터는 $\R^n$ 의 모든 벡터와 직교합니다.

$\R^2$ 에서의 코사인 법칙을 사용하여 위 정의의 동기를 설명합니다. 우리의 용어로 말하면, 코사인 법칙은 $x,y$ 가 두 영이 아닌 벡터이고 $\alpha>0$ 가 두 벡터 사이의 각이면

$\begin{equation*} \|y-x\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\|x\|\,\|y\|\cos\alpha. \end{equation*}$

임을 말합니다.

$\begin{tikzpicture}[baseline=1cm] \point ["$x$" right] (x) at (3,1); \point ["$y$" above] (y) at (-2,3); \coordinate (o) at (0,0); \draw[vector] (0,0) -- node[below] {$\|x\|$} (x); \draw[vector] (0,0) -- node[left] {$\|y\|$} (y); \draw[vector] (x) -- node[sloped,above] {$\|y-x\|$} (y); \pic[draw, "$\alpha$"] {angle=x--o--y}; \end{tikzpicture}$

특히, $\alpha=90^\circ$ 일 필요충분조건은 $\cos(\alpha)=0$ 이며, 이는 $\|y-x\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2$ 일 때 그리고 그때에만 성립합니다. 따라서

$\begin{equation*} \begin{split} \text{$x$ and $y$ are perpendicular} \amp\iff \|x\|^2 + \|y\|^2 = \|y-x\|^2 \\ \amp\iff x\cdot x + y\cdot y = (y-x)\cdot(y-x) \\ \amp\iff x\cdot x + y\cdot y = y\cdot y + x\cdot x -2x\cdot y \\ \amp\iff x\cdot y = 0. \end{split} \end{equation*}$

다시 정리하면 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} x\perp y \quad\iff\quad x\cdot y = 0 \quad\iff\quad \|y-x\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2. \end{equation*}$

예제

참고(두 벡터 사이의 각)

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