절5.3닮음¶ 고유 링크

목표

닮은 행렬을 기하학적으로 해석하는 법을 배웁니다.
닮은 행렬들의 고윳값, 고유벡터, 특성다항식 사이의 관계를 이해합니다.
계산 절차: $A=CBC\inv$ 일 때 $Ax$ 를 $B,C$ 로 계산합니다.
그림: 닮은 행렬의 기하학.
용어: 닮음.

어떤 행렬은 이해하기 쉽습니다. 예를 들어, 대각행렬

$\begin{equation*} D = \mat{2 0 ; 0 1/2} \end{equation*}$

는 벡터의 좌표를 단순히 확대·축소할 뿐입니다: $D{x\choose y} = {2x\choose y/2}\text{.}$ 이 장의 나머지 대부분은 복잡해 보이는 행렬이 단순한 행렬과 어느 정도까지 “비슷하게 작용하는지” 분석함으로써 그 행렬을 이해하는 것을 목적으로 합니다. 예를 들어, 행렬

$\begin{equation*} A = \frac 1{10}\mat{11 6; 9 14} \end{equation*}$

는 고윳값 $2$ 와 $1/2$ 를 가지며, 이에 대응하는 고유벡터는 $v_1 = {2/3\choose 1}$ 과 $v_2 = {-1\choose 1}$ 입니다. 다음에 주목하십시오.

$\begin{equation*} \spalignsysdelims..\syseq{ D(xe_1+ye_2) = xDe_1+yDe_2 = 2xe_1-\frac12ye_2; A(xv_1+yv_2) = xAv_1+yAv_2\hfil, = 2xv_1-\frac12yv_2\rlap.} \end{equation*}$

일반적인 좌표 대신 $v_1,v_2$ 를 사용하면 $A$ 는 대각행렬처럼 “작용합니다”.

그림1행렬 $A$ 와 $D$ 는 비슷하게 작용합니다. “multiply”를 클릭하면 색칠된 점들에 왼쪽에서는 $D$ 를, 오른쪽에서는 $A$ 를 곱합니다. (점들이 왜 쌍곡선 경로를 따라가는지는 절 5.4에서 살펴보겠습니다.)

또 하나 특히 중요한 경우는 회전 행렬처럼 “작용하는” 행렬입니다. 실제로 이는 절 5.5를 기하학적으로 이해하는 데 결정적인 역할을 합니다. 이 중요를 참고하십시오.

이 절에서는 두 행렬이 서로 다른 좌표계에 대해 비슷하게 작용하는 상황을 자세히 살펴봅니다. 절 5.4와 절 5.5에서는 고윳값과 고유벡터를 사용하여 주어진 행렬과 비슷하게 작용하는 더 단순한 행렬을 찾는 방법을 보이겠습니다.

소절5.3.1닮은 행렬

닮음의 대수적 정의부터 시작합니다.

정의

두 $n\times n$ 행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해 $A = CBC\inv$ 를 만족하는 가역 $n\times n$ 행렬 $C$ 가 존재하면, $A$ 와 $B$ 는 닮았다고 합니다.

예제

위의 예에서와 마찬가지로, 단위행렬 $I_n$ 과 닮은 행렬은 $I_n$ 뿐임을 보일 수 있으며, $I_n$ 의 임의의 스칼라배에 대해서도 마찬가지입니다.

닮음은 행 동치와 관련이 없습니다. 모든 가역 행렬은 $I_n$ 과 행 동치이지만, $I_n$ 과 닮은 행렬은 $I_n$ 뿐입니다. 예를 들어,

$\begin{equation*} \mat{2 1; 0 2} \sptxt{and} \mat{1 0; 0 1} \end{equation*}$

는 행 동치이지만 닮지 않았습니다.

이름에서 짐작할 수 있듯이, 닮음은 이른바 동치 관계입니다. 이는 닮음이 다음 성질들을 만족한다는 뜻입니다.

명제

$A,B\text{,}$ $C$ 를 $n\times n$ 행렬이라고 합시다.

반사성: $A$ 는 자기 자신과 닮았습니다.
대칭성: $A$ 가 $B$ 와 닮았으면, $B$ 도 $A$ 와 닮았습니다.
추이성: $A$ 가 $B$ 와 닮음이고 $B$ 가 $C$ 와 닮음이면, $A$ 는 $C$ 와 닮음입니다.

증명

예제

닮음과 행렬의 거듭제곱에 관한 관찰로 마무리하겠습니다.

사실

$A = CBC\inv$ 라고 합시다. 그러면 임의의 $n\geq 1$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} A^n = CB^n C\inv. \end{equation*}$

증명

먼저 다음에 주목하십시오.

$\begin{equation*} A^2 = AA = (CBC\inv)(CBC\inv) = CB(C\inv C)BC\inv = CBI_nBC\inv = CB^2C\inv. \end{equation*}$

다음으로 아래를 얻습니다.

$\begin{equation*} A^3 = A^2A = (CB^2C\inv)(CBC\inv) = CB^2(C\inv C)BC\inv = CB^3C\inv. \end{equation*}$

규칙은 분명합니다.

예제

소절5.3.2닮은 행렬의 기하학

닮음은 기하학적으로 볼 때 매우 흥미로운 구성입니다. 대략적으로 말해 닮은 행렬은 서로 다른 좌표계에서 같은 일을 한다는 것을 보게 될 것입니다. 이 소절을 읽기 전에 절 2.8에서 $\cB$ -좌표와 비표준 좌표 격자를 복습하는 것이 좋습니다.

가역행렬 정리 in 절 5.1의 조건 4와 5에 의해, $n\times n$ 행렬 $C$ 는 그 열 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 이 $\R^n$ 의 기저를 이룰 때, 그리고 그때에만 가역입니다. 이는 $\R^n$ 에 속한 벡터의 $\cB$ -좌표를 말할 수 있다는 뜻이며, 여기서 $\cB$ 는 $C$ 의 열들로 이루어진 기저입니다. 다음을 상기하십시오.

$\begin{equation*} [x]_\cB = \vec{c_1 c_2 \vdots, c_n} \sptxt{means} x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n = \mat{| | ,, |; v_1 v_2 \cdots, v_n; | | ,, |}\vec{c_1 c_2 \vdots, c_n}. \end{equation*}$

$C$ 는 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 인 행렬이므로, 이는 $x = C[x]_\cB$ 임을 말해 줍니다. 양변에 $C\inv$ 를 곱하면 $[x]_\cB = C\inv x.$ 를 얻습니다. 요약하면 다음과 같습니다.

$C$ 를 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 인 가역 $n\times n$ 행렬이라 하고, $\cB = \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 를 $\R^n$ 의 기저라 합시다. 그러면 $\R^n$ 의 임의의 $x$ 에 대하여 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} C[x]_\cB = x \sptxt{and} C\inv x = [x]_\cB. \end{equation*}$

이는 $C$ 가 $\cB$ -좌표를 통상적인 좌표로 바꾸고, $C\inv$ 가 통상적인 좌표를 $\cB$ -좌표로 바꾼다는 것을 의미합니다.

$A = CBC\inv.$ 라고 가정합시다. 위의 관찰은 $\R^n$ 의 벡터 $x$ 에 대하여 $Ax$ 를 계산하는 또 다른 방법을 제공합니다. $CBC\inv x = C(B(C\inv x)),$ 임을 상기하십시오. 따라서 $CBC\inv$ 에 $x$ 를 곱한다는 것은 먼저 $C\inv$ 를 곱하고, 그다음 $B$ 를 곱하고, 그다음 $C$ 를 곱한다는 의미입니다. 이 예제 in 절 3.4을 참고하십시오.

계산 절차: $B$ 를 이용하여 $Ax$ 계산하기

$A = CBC\inv,$ 라고 가정합시다. 여기서 $C$ 는 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_n.$ 인 가역 행렬입니다. $\cB = \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 를 $\R^n$ 의 기저라 합시다. $x$ 를 $\R^n$ 의 벡터라 합시다. $Ax$ 를 계산하려면 다음을 수행합니다.

$x$ 에 $C\inv$ 를 곱하여 $\cB$ -좌표로 바꿉니다: $[x]_\cB = C\inv x\text{.}$
여기에 $B$ 를 곱합니다: $B[x]_\cB = BC\inv x\text{.}$
이 벡터를 $\cB$ -좌표 벡터로 해석하여, 여기에 $C$ 를 곱해 통상적인 좌표로 되돌립니다: $Ax = CBC\inv x = CB[x]_\cB.$

$\begin{tikzpicture}[scale=.8, thin border nodes] \draw[help lines] (-3,-3) grid (3,3); \node at (0, 3.5) {$\cB$-coordinates}; \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["{$[x]_\cB$}" above right] (-2, 1); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["{$B[x]_\cB$}"] (-2, -1); \draw[->, shorten=2mm, thick] (8, 1) to[bend right] node[above=1mm] {multiply by $C\inv$} (3, 1); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, -1) to[bend right] node[below=1mm] {multiply by $C$} (8, -1); \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=11cm] \draw[help lines] (-3,-3) grid (3,3); \node at (0, 3.5) {usual coordinates}; \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["$x$" below right] (1, 2); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["$Ax$"] (-1, 2); \point at (0, 0); \end{scope} \end{tikzpicture}$

요약하면, $A = CBC\inv$ 이면 $A$ 와 $B$ 는 단지 서로 다른 좌표계에서 같은 일을 합니다.

다음 예제가 이 절의 핵심입니다.

예제

다음 행렬들을 생각해 봅시다.

$\begin{equation*} A = \mat{1/2 3/2; 3/2 1/2} \qquad B = \mat{2 0; 0 -1} \qquad C = \mat{1 1; 1 -1}. \end{equation*}$

$A = CBC\inv$ 임을 확인할 수 있습니다. 이 예제 in 절 5.4을 참고하십시오. $C$ 의 열인 $v_1 = {1\choose 1}$ 와 $v_2 = {1\choose -1}$ 를 생각하고, $\cB = \{v_1,v_2\}$ 를 $\R^2$ 의 기저라 합시다.

행렬 $B$ 는 대각 행렬입니다. 이 행렬은 $x$ -방향을 $2$ 배로, $y$ -방향을 $-1$ 배로 늘이거나 줄입니다.

$Ax$ 를 계산하려면 먼저 $C\inv$ 를 곱하여 $x$ 의 $\cB$ -좌표를 구하고, 그다음 $B$ 를 곱한 뒤, 다시 $C$ 를 곱합니다. 예를 들어 $\textcolor{seq-green}x = {0\choose -2}$ 라 합시다.

아래의 $\cB$ -좌표 격자로부터 $\textcolor{seq-green}x = -\textcolor{seq-violet}{v_1} + \textcolor{seq-blue}{v_2}$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $C\inv\textcolor{seq-green}x = \textcolor{seq-green}{[x]_\cB} = {-1\choose 1}.$ 입니다.
$B$ 를 곱하면 좌표가 늘어나거나 줄어듭니다: $\textcolor{seq-red}{B[x]_\cB} = {-2\choose -1}\text{.}$
${-2\choose -1}$ 를 $\cB$ -좌표 벡터로 해석하여 $C$ 를 곱하면 다음을 얻습니다.
$\begin{equation*} \textcolor{seq-red}{Ax} = C\vec{-2 -1} = -2\textcolor{seq-violet}{v_1} - \textcolor{seq-blue}{v_2} = \vec{-3 -1}. \end{equation*}$
물론 이 벡터는 $\cB$ -좌표 격자에서 $(-2, -1)$ 에 놓입니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=.85, thin border nodes] \draw[help lines] (-3,-3) grid (3,3); \node at (0, 3.5) {$\cB$-coordinates}; \draw[seq-violet, vector, opacity=.5] (0,0) -- (1,0); \draw[seq-blue, vector, opacity=.5] (0,0) -- (0,1); \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["{$[x]_\cB$}" {above left, pos=1}] (-1, 1); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["{$B[x]_\cB$}"] (-2, -1); \draw[->, shorten=2mm, thick] (9, 1) to[bend right] node[above=1mm] {multiply by $C\inv$} (3, 1); \node[align=center] (A) at (6, 0) {scale $x$ by $2$\\scale $y$ by $-1$}; \draw[->, shorten >=2mm, thick] (A) -- (3, 0); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, -1) to[bend right] node[below=1mm] {multiply by $C$} (9, -1); \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=12cm] \node at (0, 3.5) {usual coordinates}; \draw[help lines] (-3, -3) rectangle (3, 3); \path[clip] (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(1,1,1,-1,(0,0))}, scale=.7] \draw[help lines] (-5,-5) grid (5,5); \draw[seq-violet, vector, opacity=.5] (0,0) -- (1,0); \draw[seq-blue, vector, opacity=.5] (0,0) -- (0,1); \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["$x$" left] (-1, 1); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["$Ax$" above left] (-2, -1); \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \end{tikzpicture}$

이제 벡터 $\textcolor{seq-green}x = \frac 12{5\choose -3}$ 라고 합시다.

$\cB$ -좌표 격자로부터 $\textcolor{seq-green}x = \frac 12\textcolor{seq-violet}{v_1} + 2\textcolor{seq-blue}{v_2}$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $C\inv\textcolor{seq-green}x = \textcolor{seq-green}{[x]_\cB} = {1/2\choose 2}.$ 입니다.
$B$ 를 곱하면 좌표가 늘어나거나 줄어듭니다: $\textcolor{seq-red}{B[x]_\cB} = {1\choose -2}\text{.}$
${1\choose -2}$ 를 $\cB$ -좌표 벡터로 해석하여 $C$ 를 곱하면 다음을 얻습니다.
$\begin{equation*} \textcolor{seq-red}{Ax} = C\vec{1 -2} = \textcolor{seq-violet}{v_1} - 2\textcolor{seq-blue}{v_2} = \vec{-1 3}. \end{equation*}$
이 벡터는 $\cB$ -좌표 격자에서 $(1, -2)$ 에 놓입니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=.85, thin border nodes] \draw[help lines] (-3,-3) grid (3,3); \node at (0, 3.5) {$\cB$-coordinates}; \draw[seq-violet, vector, opacity=.5] (0,0) -- (1,0); \draw[seq-blue, vector, opacity=.5] (0,0) -- (0,1); \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["{$[x]_\cB$}" {above left, pos=1}] (1/2, 2); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["{$B[x]_\cB$}" pos=.7] (1, -2); \draw[->, shorten=2mm, thick] (9, 1) to[bend right] node[above=1mm] {multiply by $C\inv$} (3, 1); \node[align=center] (A) at (6, 0) {scale $x$ by $2$\\scale $y$ by $-1$}; \draw[->, shorten >=2mm, thick] (A) -- (3, 0); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, -1) to[bend right] node[below=1mm] {multiply by $C$} (9, -1); \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=12cm] \node at (0, 3.5) {usual coordinates}; \draw[help lines] (-3, -3) rectangle (3, 3); \path[clip] (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(1,1,1,-1,(0,0))}, scale=.7] \draw[help lines] (-5,-5) grid (5,5); \draw[seq-violet, vector, opacity=.5] (0,0) -- (1,0); \draw[seq-blue, vector, opacity=.5] (0,0) -- (0,1); \draw[seq-green, vector] (0, 0) to["$x$" {above right, pos=.7}] (1/2, 2); \draw[seq-red, vector] (0, 0) to["$Ax$" left] (1, -2); \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \end{tikzpicture}$

이 벡터에 대해 요약하면 다음과 같습니다.

$B$ 는 $e_1$ 방향을 $2$ 만큼, $e_2$ 방향을 $-1$ 만큼 늘립니다.
$A$ 는 $v_1$ 방향을 $2$ 만큼, $v_2$ 방향을 $-1$ 만큼 늘립니다.

$\def\theo{\includegraphics[width=6cm]{theo11.jpg}} \begin{tikzpicture}[scale=.8, thin border nodes] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[right] {$e_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[above] {$e_2$}; \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=9cm, xscale=2, yscale=-1] \clip (-1.5, -3) rectangle (1.5, 3); \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1, 0) node[right] {$Be_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0, 1) node[below] {$Be_2$}; \point at (0, 0); \end{scope} \begin{scope}[yshift=-9cm] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(1,1,1,-1,(0,0))}] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[right] {$v_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[right] {$v_2$}; \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \begin{scope}[yshift=-9cm, xshift=9cm] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(1,1,1,-1,(0,0))}] \begin{scope}[xscale=2, yscale=-1] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[right] {$Av_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[left] {$Av_2$}; \end{scope} \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \draw (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[xshift=9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[yshift=-9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[xshift=9cm, yshift=-9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, 1) to[bend left, "$B$" above=.5mm] (6, 1); \draw[->, shorten=2mm, thick, yshift=-9cm] (3, -1) to[bend right, "$A$" above=.5mm] (6, -1); \draw[->, shorten=2mm, thick] (-1, -6) to[bend left, "$C\inv$" right=.5mm] (-1, -3); \draw[->, shorten=2mm, thick, xshift=9cm] (1, -3) to[bend left, "$C$" left=.5mm] (1, -6); \end{tikzpicture}$

그림13 $\R^2$ 에 작용하는 닮은 행렬 $A$ 와 $B$ 사이의 기하학적 관계입니다. $x$ 와 $[x]_\cB$ 의 머리를 클릭하여 끌어 보십시오. 벡터 하나를 움직였을 때 나머지 세 벡터가 어디에 놓일지 확실하게 예측할 수 있을 때까지 이 그림을 살펴보십시오. 이것이 닮은 행렬의 기하학의 핵심입니다.

그림13 $\R^2$ 에 작용하는 닮은 행렬 $A$ 와 $B$ 사이의 기하학적 관계입니다. $x$ 와 $[x]_\cB$ 의 머리를 클릭하여 끌어 보십시오. 벡터 하나를 움직였을 때 나머지 세 벡터가 어디에 놓일지 확실하게 예측할 수 있을 때까지 이 그림을 살펴보십시오. 이것이 닮은 행렬의 기하학의 핵심입니다.

인터랙티브: $B$ 와 닮은 또 다른 행렬

예제(회전 행렬과 닮은 행렬)

앞의 예를 요약하고 일반화하면 다음과 같습니다.

회전 행렬과 닮은 행렬

$\begin{equation*} B = \mat{\cos\theta,-\sin\theta; \sin\theta,\cos\theta} \qquad C = \mat{| |; v_1 v_2; | |} \qquad A = CBC\inv, \end{equation*}$

라 하고, 여기서 $C$ 는 가역이라고 가정합니다. 그러면 다음이 성립합니다.

$B$ 는 원점을 중심으로 하고 $e_1$ 과 $e_2$ 를 지나는 원을 따라 $e_1$ 에서 $e_2$ 로 향하는 방향으로 평면을 $\theta$ 의 각만큼 회전합니다.
$A$ 는 원점을 중심으로 하고 $v_1$ 과 $v_2$ 를 지나는 타원을 따라 $v_1$ 에서 $v_2$ 로 향하는 방향으로 평면을 $\theta$ 의 각만큼 회전합니다.

$\def\theo{\includegraphics[width=6cm]{theo10.jpg}} \begin{tikzpicture}[scale=.75, thin border nodes] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-yellow, opacity=.5] (0,0) circle[radius=1]; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[right] {$e_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[above] {$e_2$}; \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=9cm, rotate=90] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-yellow, opacity=.5] (0,0) circle[radius=1]; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1, 0) node[right] {$Be_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0, 1) node[below] {$Be_2$}; \point at (0, 0); \end{scope} \begin{scope}[yshift=-9cm] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(2,1,-1/2,1/2,(0,0))}] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-yellow, opacity=.5] (0,0) circle[radius=1]; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[above] {$v_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[left] {$v_2$}; \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \begin{scope}[yshift=-9cm, xshift=9cm] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(2,1,-1/2,1/2,(0,0))}, rotate=90] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-yellow, opacity=.5] (0,0) circle[radius=1]; \draw[seq-violet, opacity=1, vector] (0,0) -- (1,0) node[above] {$Av_1$}; \draw[seq-blue, opacity=1, vector] (0,0) -- (0,1) node[below] {$Av_2$}; \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \draw (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[xshift=9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[yshift=-9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[xshift=9cm, yshift=-9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, 1) to[bend left, "$B$" above=.5mm] (6, 1); \draw[->, shorten=2mm, thick, yshift=-9cm] (3, -1) to[bend right, "$A'$" above=.5mm] (6, -1); \draw[->, shorten=2mm, thick] (-1, -6) to[bend left, "$C\inv$" right=.5mm] (-1, -3); \draw[->, shorten=2mm, thick, xshift=9cm] (1, -3) to[bend left, "$C$" left=.5mm] (1, -6); \end{tikzpicture}$

인터랙티브: 닮은 $3\times 3$ 행렬

소절5.3.3닮은 행렬의 고윳값

닮은 행렬은 서로 다른 좌표계에 대해 같은 방식으로 작용하므로, 그 고윳값과 고유벡터도 밀접하게 관련되어 있으리라 예상할 수 있습니다.

사실

닮은 행렬은 같은 특성다항식을 가집니다.

증명

$A = CBC\inv$ 이고 $A,B,C$ 가 $n\times n$ 행렬이라고 가정합니다. 다음과 같이 계산합니다.

$\begin{equation*} \begin{split} A - \lambda I_n \amp= CBC\inv - \lambda CC\inv = CBC\inv - C\lambda C\inv \\ \amp= CBC\inv - C\lambda I_n C\inv = C(B-\lambda I_n)C\inv. \end{split} \end{equation*}$

따라서

$\begin{equation*} \det(A-\lambda I_n) = \det(C(B-\lambda I_n)C\inv) = \det(C)\det(B-\lambda I_n)\det(C)\inv = \det(B-\lambda I_n). \end{equation*}$

여기서는 곱셈성 in 절 4.1과 그 따름정리 in 절 4.1를 사용했습니다.

행렬의 고윳값은 그 특성다항식의 근이므로, 다음을 보였습니다.

닮은 행렬은 같은 고윳값을 가집니다.

이 정리 in 절 5.2에 의해 닮은 행렬은 대각합과 행렬식도 같습니다.

노트

사실의 역은 거짓입니다. 실제로 행렬

$\begin{equation*} \mat{1 1; 0 1} \sptxt{and} \mat{1 0 ; 0 1} \end{equation*}$

는 둘 다 특성다항식 $f(\lambda) = (\lambda-1)^2$ 를 가지지만, $I_2$ 와 닮은 유일한 행렬은 $I_2$ 자신뿐이므로 두 행렬은 닮지 않았습니다.

닮은 행렬이 같은 고윳값을 가진다는 점을 생각하면, 고유벡터도 같을 것이라고 추측할 수 있습니다. 곰곰이 생각해 보면, 이는 기대할 만한 것이 아닙니다. 실제로 고유벡터는 한 좌표계에서 다른 좌표계로 바꾼 뒤에야 서로 대응해야 합니다. $C$ 와 $C\inv$ 가 일반 좌표와 $\cB$ -좌표 사이를 변환한다는 점을 기억하면, 이것이 바로 다음 사실의 내용입니다.

사실

$A = CBC\inv$ 라고 가정합니다. 그러면

$\begin{equation*} \begin{split} v \text{ is an eigenvector of } A \amp\quad\implies\quad C\inv v \text{ is an eigenvector of } B \\ v \text{ is an eigenvector of } B \amp\quad\implies\quad C v \text{ is an eigenvector of } A. \\ \end{split} \end{equation*}$

고유벡터 $v$ / $C\inv v$ 또는 $v$ / $Cv$ 의 고윳값은 같습니다.

증명

$v$ 가 고윳값 $\lambda$ 를 가지는 $A$ 의 고유벡터여서 $Av = \lambda v$ 라고 가정합니다. 그러면

$\begin{equation*} B(C\inv v) = C\inv(CBC\inv v) = C\inv(Av) = C\inv\lambda v = \lambda(C\inv v), \end{equation*}$

따라서 $C\inv v$ 는 고윳값 $\lambda$ 를 가지는 $B$ 의 고유벡터입니다. 마찬가지로 $v$ 가 고윳값 $\lambda$ 를 가지는 $B$ 의 고유벡터이면 $Bv = \lambda v$ 이고,

$\begin{equation*} A(Cv) = (CBC\inv)Cv = CBv = C(\lambda v) = \lambda(Cv), \end{equation*}$

따라서 $Cv$ 는 고윳값 $\lambda$ 를 가지는 $A$ 의 고윳값입니다.

$A = CBC\inv$ 이면, $C\inv$ 는 $A$ 의 $\lambda$ -고유공간을 $B$ 의 $\lambda$ -고유공간으로 보내고, $C$ 는 $B$ 의 $\lambda$ -고유공간을 $A$ 의 $\lambda$ -고유공간으로 보냅니다.

예제

위의 예제를 계속 살펴봅시다.

$\begin{equation*} A = \mat{1/2 3/2; 3/2 1/2} \qquad B = \mat{2 0; 0 -1} \qquad C = \mat{1 1; 1 -1}, \end{equation*}$

라고 하면 $A = CBC\inv.$ 입니다. $C$ 의 열인 $v_1 = {1\choose 1}$ 과 $v_2 = {1\choose -1}$ 을 생각합니다. 다음을 상기하십시오.

$B$ 는 $e_1$ -방향을 $2$ 만큼, $e_2$ -방향을 $-1$ 만큼 늘입니다.
$A$ 는 $v_1$ -방향을 $2$ 만큼, $v_2$ -방향을 $-1$ 만큼 늘입니다.

이는 $x$ 축이 $B$ 의 $2$ -고유공간이고 $y$ 축이 $B$ 의 $-1$ -고유공간이며, 마찬가지로 “ $v_1$ 축”이 $A$ 의 $2$ -고유공간이고 “ $v_2$ 축”이 $A$ 의 $-1$ -고유공간임을 의미합니다. $C$ 를 곱하면 $e_1$ 은 $Ce_1 = v_1$ 로, $e_2$ 는 $Ce_2 = v_2$ 로 바뀌므로, 이는 고유공간에 관한 사실에 부합합니다.

$\def\theo{\includegraphics[width=6cm]{theo11.jpg}} \begin{tikzpicture}[scale=.8, thin border nodes] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1] (-3,0) -- (3,0) node[below,pos=.75,font=\small] {$2$-eigenspace}; \draw[seq-blue, opacity=1] (0,-3) -- (0,3) node[above,pos=.25, rotate=90, font=\small] {$-1$-eigenspace}; \point at (0, 0); \begin{scope}[xshift=9cm] \clip (-3, -3) rectangle (3, 3); \begin{scope}[cm={(1,1,1,-1,(0,0))}] \node[transform shape] at (0, 0) {\theo}; \draw[seq-violet, opacity=1] (-3,0) -- (3,0) node[above,pos=.75, rotate=45, font=\small] {$2$-eigenspace}; \draw[seq-blue, opacity=1] (0,-3) -- (0,3) node[above,pos=.25, rotate=-45, font=\small] {$-1$-eigenspace}; \end{scope} \point at (0, 0); \end{scope} \draw (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[xshift=9cm] (-3, -3) rectangle (3, 3); \draw[->, shorten=2mm, thick] (3, 1) to[bend left, "$C$" above=.5mm] (6, 1); \end{tikzpicture}$

그림27 $A$ 의 고유공간은 $v_1$ 과 $v_2$ 를 지나는 직선입니다. 이들은 $B$ 의 고유공간인 좌표축의 $C$ 에 의한 상입니다.

그림27 $A$ 의 고유공간은 $v_1$ 과 $v_2$ 를 지나는 직선입니다. 이들은 $B$ 의 고유공간인 좌표축의 $C$ 에 의한 상입니다.

인터랙티브: $B$ 와 닮은 또 다른 행렬

인터랙티브: 닮은 $3\times 3$ 행렬

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목표

정의

예제

예제

명제

증명

예제

사실

증명

예제

계산 절차: 를 이용하여 계산하기

예제

인터랙티브: 와 닮은 또 다른 행렬

예제(회전 행렬과 닮은 행렬)

회전 행렬과 닮은 행렬

인터랙티브: 닮은 행렬

사실

증명

노트

사실

증명

예제

인터랙티브: 와 닮은 또 다른 행렬

인터랙티브: 닮은 행렬

계산 절차: $B$ 를 이용하여 $Ax$ 계산하기

인터랙티브: $B$ 와 닮은 또 다른 행렬

인터랙티브: 닮은 $3\times 3$ 행렬

인터랙티브: $B$ 와 닮은 또 다른 행렬

인터랙티브: 닮은 $3\times 3$ 행렬