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장5고윳값과 고유벡터

핵심 목표

행렬 방정식 Ax=\lambda x.를 푸십시오.

이 장은 모든 선형대수학 입문 과목의 핵심을 이룹니다. 고윳값과 고유벡터는 선형대수학의 실제 응용 대부분에서 결정적인 역할을 합니다.

예제

어떤 토끼 개체군에서

  1. 갓 태어난 토끼의 절반이 첫해를 살아남고,
  2. 그중 절반이 두 번째 해를 살아남으며,
  3. 최대 수명은 3년이고,
  4. 토끼는 첫째, 둘째, 셋째 해에 각각 0마리, 6마리, 8마리의 새끼를 낳습니다.

이 계의 점근적 거동은 어떠합니까? 100년 후 토끼 개체군은 어떤 모습이겠습니까?

그림3왼쪽: 특정 연도의 토끼 개체 수입니다. 오른쪽: 그 연도의 토끼 비율입니다. 초기 개체 수를 원하는 값으로 정한 뒤 “1년 진행”을 여러 번 누르십시오. 비율의 장기적 거동에서 무엇을 발견할 수 있습니까? 이 현상은 고유벡터 때문인 것으로 밝혀집니다.

절 5.1에서는 고윳값과 고유벡터를 정의하고 고유벡터를 계산하는 방법을 보이며, 절 5.2에서는 고윳값을 계산하는 방법을 배웁니다. 절 5.3에서는 닮은 행렬의 개념을 도입하고, 닮은 행렬이 실제로 비슷하게 작용함을 보입니다. 절 5.4에서는 대각행렬과 닮은 행렬을, 절 5.5에서는 회전-확대 행렬과 닮은 행렬을 공부하며, 이를 통해 폭넓은 부류의 행렬을 기하학적으로 확실하게 이해하게 됩니다. 마지막으로 절 5.6에서는 Google’s PageRank 알고리즘을 이용한 인터넷 검색을 비롯하여, 고윳값과 고유벡터를 실제 문제에 응용하는 대표적인 사례를 소개합니다.