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머리말개요

이 교재의 주제

본문의 내용을 시작하기 전에 먼저 기본적인 질문을 던져 봅시다. 선형대수학이란 무엇입니까?

  • 선형: 직선, 평면 등과 관련된 것입니다.
  • 대수: 미지수가 포함된 방정식을 푸는 것입니다.

이 교재의 이름은 대수와 기하의 종합이라는 중요한 주제를 드러냅니다. 연립일차방정식을 대수적으로(해에 대한 방정식을 세우는 방식으로), 그리고 기하적으로(그림을 그리고 시각화하는 방식으로) 모두 이해하는 것이 우리에게 매우 중요할 것입니다.

참고

가장 단순한 수준에서 연립일차방정식을 푸는 것은 그리 어렵지 않습니다. 아마 고등학교에서

\begin{equation*} \syseq{ x + 3y - z = 4; 2x - y + 3z = 17; \. \+ y - 4z = -3\rlap. } \end{equation*}

과 같은 연립방정식을 푸는 방법을 배웠을 것입니다. 그러나 실제 상황에서는 대개 더 영리하게 접근해야 합니다.

  • 공학자들은 아주 많은 변수로 이루어진 아주 많은 방정식을 풀어야 합니다. 다음은 아주 작은 예입니다:
    \begin{equation*} \syseq{ 3x_1 + 4x_2 + 10x_3 + 19x_4 - 2x_5 - 3x_6 = 141; 7x_1 + 2x_2 - 13x_3 - 7x_4 + 21x_5 + 8x_6 = 2567; -x_1 + 9x_2 + \frac 32x_3 + x_4 + 14x_5 + 27x_6 = 26; \frac 12x_1 + 4x_2 + 10x_3 + 11x_4 + 2x_5 + x_6 = -15\rlap. } \end{equation*}
  • 방정식을 애초에 풀지 않고도 해집합에 관한 몇 가지 정보만 알면 충분한 경우가 많습니다. 예를 들어, 해가 존재합니까? 해집합은 기하적으로 어떤 모양입니까? 26를 27로 바꾸어도 여전히 해가 존재합니까?
  • 때로는 계수에 매개변수가 포함되기도 하는데, 고윳값 방정식
    \begin{equation*} \syseq{ (7-\lambda)x + y + 3z = 0 ; -3x + (2-\lambda)y - 3z = 0 ; -3x - 2y + (-1-\lambda)z = 0\rlap. } \end{equation*}
    이 그러한 예입니다.
  • 데이터 모델링에서는 연립방정식이 일반적으로 실제 해를 갖지 않습니다. 그런 경우 가장 좋은 근사해는 무엇입니까?

이에 따라 이 교재는 세 개의 주요 부분으로 구성되어 있습니다.

  1. 행렬 방정식 Ax=b를 풉니다(2–4장).

    • 행렬, 행 축약, 역행렬을 사용하여 연립일차방정식을 풉니다.
    • 해집합의 기하와 선형변환을 사용하여 연립일차방정식을 기하적으로 분석합니다.

  2. 행렬 방정식 Ax=\lambda x를 풉니다(5–6장).

    • 특성다항식을 사용하여 고윳값 문제를 풉니다.
    • 닮음, 고윳값, 대각화, 복소수를 사용하여 행렬의 기하를 이해합니다.

  3. 행렬 방정식 Ax=b를 근사적으로 풉니다(7장).

    • 최소제곱 근사를 사용하여 실제 해가 없는 연립일차방정식의 최적 근사해를 구합니다.
    • 가장 가까운 벡터와 직교사영의 기하를 공부합니다.

이 교재는 대략 절반은 계산적이고 절반은 개념적인 성격을 띱니다. 주된 목표는 선형대수학 도구의 모음을 제시하는 것이며, 더 중요하게는 주어진 상황에서 어떤 도구를 적용해야 하는지 이해하기 위한 개념적 틀을 가르치는 것입니다.

Matlab이 여러분보다 더 빨리 답을 찾을 수 있다면, 그 질문은 단지 알고리즘일 뿐입니다. 이것은 진정한 문제 해결이 아닙니다.

이 과목의 미묘한 부분은 컴퓨터에게 어떤 계산을 하도록 요청해야 하는지 이해하는 데 있습니다—어차피 컴퓨터가 여러분보다 더 잘할 수 있는 계산을 수행하는 방법을 아는 것은 훨씬 덜 중요합니다.

공학에서 선형대수학의 활용

조지아 공과대학교 학부생 대부분은 선형대수 강의를 반드시 수강해야 합니다. 여기에는 이유가 있습니다.

대부분의 공학 문제는 아무리 복잡하더라도 선형대수학으로 환원할 수 있습니다.

\begin{equation*} Ax=b \sptxt{or} Ax=\lambda x \sptxt{or} Ax\approx b. \end{equation*}

여기서는 풀기 위해 선형대수학이 필요한 과학 및 공학의 예제 문제 몇 가지를 소개합니다.

예제(토목공학)

다음 도표는 마을 광장 주변의 교통 흐름을 나타냅니다. 도로는 모두 일방통행이며, 숫자와 화살표는 도로 밑에 설치된 센서로 측정한 각 도로를 따라 시간당 흐르는 자동차의 수를 나타냅니다.

\tikzset{ mid arrow/.style={ postaction={ decoration={ markings, mark=at position #1 with {\arrow{Stealth[scale=1]}}, }, decorate }, }, rmid arrow/.style={ postaction={ decoration={ markings, mark=at position #1 with {\arrowreversed{Stealth[scale=1]}}, }, decorate } }, mid arrow/.default={0.5}, rmid arrow/.default={0.5}, } \begin{tikzpicture}[scale=2, thick, every node/.style={inner sep=3pt, label distance=1mm}] \node at (0,2.4) {Traffic flow (cars/hr)}; \point[scale=1.5] (A) at (-1,1); \point[scale=1.5] (B) at (1,1); \point[scale=1.5] (C) at (1,-1); \point[scale=1.5] (D) at (-1,-1); \draw[mid arrow] (A.center) to["$x$"] (B.center); \draw[mid arrow] (B.center) to["$y$"] (C.center); \draw[mid arrow] (C.center) to["$z$"] (D.center); \draw[mid arrow] (D.center) to["$w$"] (A.center); \draw[rmid arrow=.3] (A.center) to["$120$"] +(-1,0); \draw[mid arrow=.7] (A.center) to["$250$"] +(0,1); \draw[mid arrow=.7] (B.center) to["$70$" swap] +(1,0); \draw[rmid arrow=.3] (B.center) to["$120$" swap] +(0,1); \draw[rmid arrow=.3] (C.center) to["$530$"] +(1,0); \draw[mid arrow=.7] (C.center) to["$390$"] +(0,-1); \draw[mid arrow=.7] (D.center) to["$175$" swap] +(-1,0); \draw[rmid arrow=.3] (D.center) to["$115$" swap] +(0,-1); \end{tikzpicture}

일부 도로 밑에는 센서가 없으므로, 광장 자체를 도는 교통량이 얼마인지는 알 수 없습니다. x,y,z,w의 값은 무엇입니까? 각 교차로에 들어오는 자동차의 수는 그 교차로를 빠져나가는 자동차의 수와 같아야 하므로, 다음과 같은 연립일차방정식을 얻습니다.

\begin{equation*} \syseq{ w + 120 = x + 250; x + 120 = y + 70; y + 530 = z + 390; z + 115 = w + 175\rlap. } \end{equation*}
예제(화학공학)

어떤 화학 반응(연소)은 에탄과 산소를 받아 이산화탄소와 물을 생성합니다.

\underline{\hbox to 5mm{\hss{$x$}\hss}} C$_2$H$_6$ + \underline{\hbox to 5mm{\hss{$y$}\hss}} O$_2$ $\rightarrow$ \underline{\hbox to 5mm{\hss{$z$}\hss}} CO$_2$ + \underline{\hbox to 5mm{\hss{$w$}\hss}} H$_2$O

반응을 지속하려면 분자들이 어떤 비율로 필요합니까? 다음 세 방정식은 좌변의 탄소, 수소, 산소 원자의 수가 각각 우변의 원자 수와 같아야 한다는 사실에서 나옵니다.

\begin{equation*} \begin{split} 2x \amp= z \\ 6x \amp= 2w \\ 2y \amp= 2z + w\rlap. \end{split} \end{equation*}
예제(생물학)

어떤 토끼 개체군에서,

  1. 갓 태어난 토끼의 절반이 첫해를 살아남고,
  2. 그중 절반이 두 번째 해를 살아남으며,
  3. 최대 수명은 3년이고,
  4. 토끼는 첫째, 둘째, 셋째 해에 각각 0마리, 6마리, 8마리의 새끼를 낳습니다.

2016년의 토끼 개체 수를 (첫째, 둘째, 셋째 해 토끼의 수로) 알고 있다면, 2017년의 개체 수는 얼마입니까? 번식 규칙으로부터 다음과 같은 연립방정식을 얻으며, 여기서 x,y,z는 각각 갓 태어난 토끼, 한 살 토끼, 두 살 토끼의 수를 나타냅니다.

\begin{equation*} \syseq{ \. \+ 6y_{2016} + 8z_{2016} = x_{2017}; \frac 12x_{2016} \+ \. \+ \. = y_{2017}; \. \+ \frac 12y_{2016} \+ \. = z_{2017}\rlap. } \end{equation*}

흔히 묻는 질문은 이 시스템의 점근적 거동이 어떠한가 하는 것입니다. 100년 후 토끼 개체군은 어떤 모습이겠습니까? 이것은 고윳값 문제로 밝혀집니다.

그림7왼쪽: 특정 연도의 토끼 개체 수입니다. 오른쪽: 그해 토끼들의 비율입니다. 초기 개체 수로 원하는 값을 아무것이나 선택한 다음, “1년 진행”을 여러 번 클릭하십시오. 비율의 장기적 거동에 대해 무엇을 알 수 있습니까? 이 현상은 고유벡터 때문인 것으로 밝혀집니다.
예제(천문학)

소행성 하나가 다음 위치들에서 관측되었습니다:

\begin{equation*} (0,2),\, (2,1),\, (1,-1),\, (-1,-2),\, (-3,1),\, (-1,-1). \end{equation*}

태양 주위를 도는 이 소행성의 궤도는 타원이며, 다음 형태의 방정식으로 기술됩니다.

\begin{equation*} x^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. \end{equation*}

위치를 측정할 때 상당한 오차가 있었다고 할 때, 이 소행성의 가장 그럴듯한 궤도는 무엇입니까? 위 방정식에 데이터 점들을 대입하면 다음 연립방정식을 얻습니다.

\begin{equation*} \def\eqline#1#2{(#1)^2 + B(#2)^2 + C(#1)(#2) + D(#1) + E(#2) + F = 0} \edef\eqs{\eqline02; \eqline21; \eqline1{-1}; \eqline{-1}{-2}; \eqline{-3}1; \eqline{-1}{-1} } \spalignsysdelims.. \expandafter\syseq\expandafter{\eqs\rlap.} \end{equation*}

측정 오차 때문에 이 연립방정식에는 실제 해가 존재하지 않지만, 가장 잘 들어맞는 타원은 다음과 같습니다:

\begin{tikzpicture}[thin border nodes, whitebg nodes] \draw[grid lines] (-6,-4) grid (6,4); \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw[->] (0,-4) -- (0,4); \point["{$(0,2)$}" above] at (0,2); \point["{$(2,1)$}" right] at (2,1); \point["{$(1,-1)$}" {right,yshift=-1mm}] at (1,-1); \point["{$(-1,-2)$}" {below,xshift=1.5mm}] at (-1,-2); \point["{$(-3,1)$}" {above,xshift=-1.5mm}] at (-3,1); \point["{$(-1,1)$}" below] at (-1,1); \draw[thick, seq-red] (-0.760768, -0.0153293) ellipse[x radius=2.61837, y radius=1.84472, rotate=26.0068]; \node[text=seq-red, font=\normalsize] at (0, -3.3) {$266 x^2 + 405 y^2 - 178 xy + 402 x - 123 y - 1374 = 0$}; \end{tikzpicture}
예제(컴퓨터 과학)

각 웹 페이지는 어느 정도의 중요도를 지니며, 다른 페이지로 나가는 링크를 통해 이 중요도를 나누어 줍니다. 이로부터 무수히 많은 변수에 대한 무수히 많은 방정식이 생겨납니다. Larry Page와 Sergei Brin은 이것이 본질적으로 선형대수 문제라는 것을 깨달았고, 이 통찰을 바탕으로 Google을 창업했습니다. 이 예제는 절 5.6에서 자세히 다룰 것입니다.

이 교재의 사용법

대부분의 절에는 여러 범주의 개념들이 담겨 있습니다. 쉽게 복습할 수 있도록 이 개념들은 각 절의 맨 위 학습 목표 아래에 나열되어 있습니다. 이 개념들은 다음과 같이 분류합니다.

  • 계산 절차: 일반적으로 (때로는 지루하더라도) 간단한 알고리즘이며, 실제로는 보통 컴퓨터로 수행합니다. 그럼에도 불구하고 이를 배우고 연습하는 것은 중요합니다.
  • 용어: 선형대수라는 주제를 개념적으로 이해한다는 것은 일상적인 말보다 훨씬 더 정확하게 의사소통할 수 있다는 뜻입니다. 용어에는 정확한 정의가 있으며, 이를 익히고 올바르게 사용해야 합니다.
  • 필수 용어: 이 용어들은 선형대수라는 주제의 본질을 이룬다는 점에서 필수적입니다. 예를 들어 고유벡터의 정의를 모른다면, 정의상 선형대수를 이해한다고 말할 수 없습니다.
  • 정리: 관심 대상들이 서로 어떻게 관련되는지를 정확하게 기술합니다. 주어진 상황에서 어떤 계산 절차를 사용할지 안다는 것은 일반적으로 그 상황을 기술하는 데 어떤 용어를 써야 하는지 알아보고, 그 문제에 어떤 정리가 적용되는지 이해한다는 뜻입니다.
  • 그림: 대수의 바탕에 있는 기하를 시각화한다는 것은 관련된 대상들의 그림을 해석하고 그릴 수 있다는 뜻입니다. 그림은 본문 내용의 핵심적인 부분이 되도록 의도된 것이며, 단순히 보기 좋은 부가 요소가 아닙니다.

이 교재는 오로지 조지아 공과대학교의 Math 1553 강의만을 대상으로 합니다. 따라서 이 교재에는 해당 강의에서 가르치는 내용이 정확히, 더도 덜도 없이 담겨 있습니다: Math 1553 수강생은 눈에 보이는 모든 내용을 이해할 책임이 있습니다. 온라인 버전에서는 일부 추가 자료(예를 들어 대부분의 예제와 증명)가 숨겨져 있어서, 다음과 같이 링크를 클릭해야 내용이 나타납니다:

숨겨진 내용

마지막으로, 본문에는 이 주제의 기하학적 측면을 보여 주기 위해 만든 140개가 넘는 인터랙티브 데모가 들어 있음을 말씀드립니다. “새 창에서 보기” 링크를 클릭하여 직접 다루어 보십시오! 최신 브라우저가 필요합니다. Internet Explorer는 최신 브라우저가 아니므로 Safari, Chrome 또는 Firefox를 사용해 보십시오. 다음은 절 6.5에 나오는 데모입니다:

그림11오른쪽 격자 위의 점을 클릭하여 끌어 보십시오.
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