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절5.4대각화

목표
  1. 행렬이 대각화 가능하기 위한 두 가지 주요 판정 기준을 배웁니다.
  2. 대각화 가능한 행렬과 대각화 가능하지 않은 행렬의 다양한 예를 익힙니다.
  3. 대각화 가능성과 중복도가 닮음에 대해 무엇을 알려 주는지 이해합니다.
  4. 방법: 행렬 대각화하기, 대각화를 이용하여 행렬의 거듭제곱 빠르게 계산하기.
  5. 그림: 대각행렬의 기하학, 층밀림이 대각화 가능하지 않은 이유.
  6. 정리: 대각화 정리(두 가지 형태).
  7. 용어: 대각화 가능, 대수적 중복도, 기하적 중복도.

대각행렬은 가장 이해하기 쉬운 종류의 행렬입니다. 대각행렬은 각 좌표 방향을 대각성분만큼 늘이거나 줄일 뿐입니다. 절 5.3에서 우리는 닮은 행렬들이 서로 다른 좌표계에 대해 같은 방식으로 작용함을 보았습니다. 따라서 어떤 행렬이 대각행렬과 닮음이면 그 행렬 역시 비교적 이해하기 쉽습니다. 이 절에서는 다음 질문을 다룹니다: “행렬은 언제 대각행렬과 닮음입니까?”

소절5.4.1대각화 가능성

위의 질문에 답하기 전에, 먼저 이 성질에 이름을 붙입니다.

정의

n\times n 행렬 A는 대각행렬과 닮음일 때, 즉 다음을 만족하는 가역 n\times n 행렬 C와 대각행렬 D가 존재할 때 대각화 가능하다고 합니다.

\begin{equation*} A = CDC\inv. \end{equation*}
예제

임의의 대각행렬 D는 대각화 가능합니다. 자기 자신과 닮음이기 때문입니다. 예를 들어,

\begin{equation*} \mat{1 0 0; 0 2 0; 0 0 3} = I_3\mat{1 0 0; 0 2 0; 0 0 3}I_3\inv. \end{equation*}
예제
예제

행렬 A가 대각화 가능하고 B가 A와 닮음이면 B 역시 대각화 가능합니다. 이는 이 명제 in 절 5.3에 의한 것입니다.

대각화 가능한 행렬의 거듭제곱

대각행렬끼리 곱하면 대각성분끼리 곱해질 뿐입니다.

\begin{equation*} \mat{x_1 0 0; 0 x_2 0; 0 0 x_3}\mat{y_1 0 0; 0 y_2 0; 0 0 y_3} = \mat{x_1y_1 0 0; 0 x_2y_2 0; 0 0 x_3y_3}. \end{equation*}

따라서 대각행렬의 거듭제곱은 쉽게 구할 수 있습니다:

\begin{equation*} \mat{x 0 0; 0 y 0; 0 0 z}^n = \mat{x^n 0 0; 0 y^n 0; 0 0 z^n}. \end{equation*}

이 사실 in 절 5.3에 의해 A = CDC\inv이면 A^n = CD^nC\inv이므로, 대각화 가능 행렬의 거듭제곱도 쉽게 구할 수 있습니다. 이는 절 5.6에서 차분방정식에 응용할 때 매우 중요합니다.

계산 절차: 대각화 가능한 행렬의 거듭제곱 계산하기

D가 대각행렬이고 A = CDC\inv이면 A^n = CD^nC\inv입니다:

\begin{equation*} A = C\mat{x 0 0; 0 y 0; 0 0 z}C\inv \quad\implies\quad A^n = C\mat{x^n 0 0; 0 y^n 0; 0 0 z^n}C\inv. \end{equation*}
예제

행렬에 관한 근본적인 질문 중 하나는 그 행렬이 대각화 가능한지 여부입니다. 다음은 대각화 가능성에 대한 주요 판정 기준입니다. 이 정리는 대각화 가능성이 고윳값 문제임을 보여 줍니다.

증명

이 사실 in 절 5.1에 의해, n\times n 행렬 A가 서로 다른 n개의 고윳값 \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n을 가지면, 이에 대응하는 고유벡터 v_1,v_2,\ldots,v_n을 어떻게 선택하든 자동으로 일차독립입니다.

n개의 서로 다른 고윳값을 가지는 n\times n 행렬은 대각화 가능합니다.

쉬운 예제

대각화의 비유일성

위의 예에서 고윳값과 고유벡터의 순서를 바꾸면 같은 행렬의 다른 대각화가 만들어진다는 것을 보았습니다. 일반적으로 행렬을 대각화하는 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 그 행렬의 고윳값을 나열하는 여러 가지 순서에 대응합니다. 중요한 것은 고윳값과 고유벡터를 같은 순서로 나열해야 한다는 점입니다.

\begin{equation*} \begin{split} A \amp= \mat{| | |; v_1 v_2 v_3; | | |} \mat{\lambda_1 0 0; 0 \lambda_2 0; 0 0 \lambda_3} \mat{| | |; v_1 v_2 v_3; | | |}\inv \\ \amp= \mat{| | |; v_3 v_2 v_1; | | |} \mat{\lambda_3 0 0; 0 \lambda_2 0; 0 0 \lambda_1} \mat{| | |; v_3 v_2 v_1; | | |}\inv. \end{split} \end{equation*}

같은 행렬의 다른 대각화를 찾는 방법은 이 밖에도 있습니다. 예를 들어, 고유벡터 중 하나를 상수 c배 할 수도 있고:

\begin{equation*} \begin{split} A \amp= \mat{| | |; v_1 v_2 v_3; | | |} \mat{\lambda_1 0 0; 0 \lambda_2 0; 0 0 \lambda_3} \mat{| | |; v_1 v_2 v_3; | | |}\inv \\ \amp= \mat{| | |; cv_1 v_2 v_3; | | |} \mat{\lambda_1 0 0; 0 \lambda_2 0; 0 0 \lambda_3} \mat{| | |; cv_1 v_2 v_3; | | |}\inv, \end{split} \end{equation*}

차원이 2 이상인 고유공간에 대해 완전히 다른 기저를 찾을 수도 있습니다.

예제(대각화 가능한 2\times 2 행렬)
예제(고윳값 0에 대한 고유벡터를 갖는 대각화 가능한 2\times 2 행렬)

위의 예에서 (가역이 아닌) 행렬 A = \frac 13\smallmat{2}{-4}{-2}{4}는 대각행렬 D = \smallmat0002.와 닮음입니다. A는 가역이 아니므로 가역행렬 정리에 의해 0은 고윳값이며, 따라서 D의 대각성분 중 하나는 반드시 0입니다. 아래의 이 예제도 참고하십시오.

예제(대각화 가능한 3\times 3 행렬)

위의 예들에서 사용한 절차는 다음과 같습니다.

계산 절차: 대각화

A를 n\times n 행렬이라고 합시다. A를 대각화하려면 다음과 같이 하십시오:

  1. 특성다항식을 이용하여 A의 고윳값을 구하십시오.
  2. A의 각 고윳값 \lambda에 대해 \lambda-고유공간의 기저 \cB_\lambda를 계산하십시오.
  3. 모든 고유공간 기저 B_\lambda에 들어 있는 벡터의 총개수가 n보다 적으면, 그 행렬은 대각화 가능하지 않습니다.
  4. 그렇지 않으면, 고유공간 기저들에 들어 있는 n개의 벡터 v_1,v_2,\ldots,v_n은 일차독립이며,
    \begin{equation*} C = \mat{| |,, |; v_1 v_2 \cdots, v_n; | | ,, |} \sptxt{and} D = \mat{\lambda_1 0 \cdots, 0; 0 \lambda_2 \cdots, 0; \vdots, \vdots, \ddots, \vdots; 0 0 \cdots, \lambda_n}, \end{equation*}
    에 대해 A = CDC\inv입니다. 여기서 \lambda_i는 v_i에 대응하는 고윳값입니다.

4단계의 일차독립 주장은 아래 이 정리의 증명에서 정당화하겠습니다.

예제(층밀림은 대각화 가능하지 않습니다)
예제(사영은 대각화 가능합니다)
예제(대각화 가능하지 않은 3\times 3 행렬)
예제(회전 행렬)

다음 사항은 자주 혼동을 일으킵니다.

대각화 가능성은 가역성과 아무 관련이 없습니다

독자가 확인할 수 있듯이, 다음 행렬 중 첫 번째는 대각화 가능하고 가역이며, 두 번째는 대각화 가능하지만 가역이 아니고, 세 번째는 가역이지만 대각화 가능하지 않으며, 네 번째는 가역도 아니고 대각화 가능하지도 않습니다:

\begin{equation*} \mat{1 0; 0 1} \qquad \mat{1 0; 0 0} \qquad \mat{1 1; 0 1} \qquad \mat{0 1; 0 0}. \end{equation*}
참고(고윳값을 가지는 대각화 가능하지 않은 2\times 2 행렬)

소절5.4.2대각화 가능한 행렬의 기하학

대각행렬은 좌표축을 단순히 확대·축소할 뿐이므로 기하학적으로 이해하기 쉽습니다:

\begin{equation*} \mat{1 0 0; 0 2 0; 0 0 3}\vec{1 0 0} = 1\cdot\vec{1 0 0} \qquad \mat{1 0 0; 0 2 0; 0 0 3}\vec{0 1 0} = 2\cdot\vec{0 1 0} \end{equation*}
\begin{equation*} \mat{1 0 0; 0 2 0; 0 0 3}\vec{0 0 1} = 3\cdot\vec{0 0 1}. \end{equation*}

따라서 절 5.3로부터 대각화 가능한 행렬은 다른 좌표계에 대해 “축”을 단순히 확대·축소할 뿐임을 압니다. 실제로 v_1,v_2,\ldots,v_n이 n\times n 행렬 A의 일차독립인 고유벡터라면, A는 v_i 방향을 고윳값 \lambda_i만큼 확대·축소합니다.

다음 예제들에서는 대각화 가능한 행렬 A의 작용을 그 동역학의 관점에서 시각화합니다. 다시 말해, 벡터들의 모임(점으로 그림)에서 시작하여, 이 벡터들에 A를 반복해서 곱할 때 어디로 움직이는지 살펴봅니다.

예제(고윳값 |\lambda_1| > 1,\,|\lambda_2|\lt1)
예제(고윳값 |\lambda_1| > 1,\,|\lambda_2| > 1)
예제(고윳값 |\lambda_1| \lt 1,\,|\lambda_2| \lt 1)
예제(고윳값 |\lambda_1| = 1,\,|\lambda_2|\lt1)
인터랙티브: 대각화 가능한 3\times 3 행렬

소절5.4.3대수적 중복도와 기하적 중복도

이 소절에서는 대각화 가능성에 대한 또 다른 판정 기준을 제공하는 대각화 정리의 변형을 제시합니다. 이는 고윳값의 중복도라는 언어로 서술됩니다.

대수학에서는 다항식 f(\lambda)의 근 \lambda_0의 중복도를 f(\lambda).를 나누는 \lambda-\lambda_0 인수의 개수로 정의합니다. 예를 들어 다항식

\begin{equation*} f(\lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2 = -(\lambda-1)^2(\lambda-2), \end{equation*}

에서 근 \lambda_0=2의 중복도는 1이고, 근 \lambda_0=1의 중복도는 2입니다.

정의

A를 n\times n 행렬이라 하고, \lambda를 A의 고윳값이라 합시다.

  1. \lambda의 대수적 중복도는 A의 특성다항식의 근으로서 갖는 중복도입니다.
  2. \lambda의 기하적 중복도는 \lambda-고유공간의 차원입니다.

A의 \lambda-고유공간은 \Nul(A-\lambda I_n)이므로, 그 차원은 연립방정식 (A - \lambda I_n)x=0의 자유변수의 개수, 즉 행렬 A-\lambda I_n에서 피벗이 없는 열의 개수입니다.

예제
예제

위의 예들에서 대수적 중복도와 기하적 중복도가 반드시 일치하지는 않음을 보았습니다. 그러나 두 중복도는 다음의 기본적인 부등식을 만족하며, 그 증명은 이 책의 범위를 벗어납니다.

특히 \lambda의 대수적 중복도가 1과 같으면, 기하적 중복도도 그러합니다.

A가 대수적 중복도 1인 고윳값 \lambda를 가지면, \lambda-고유공간은 직선입니다.

정리를 이용하여 (대각화 정리에 더하여) 대각화 가능성에 대한 또 다른 판정 기준을 제시할 수 있습니다.

증명

세 번째 명제의 첫 번째 부분은 단순히 A의 특성다항식이 실수 범위에서 일차다항식들로 완전히 인수분해된다는 것, 다시 말해 복소수(실수가 아닌) 근이 없다는 것을 말합니다. 세 번째 명제의 두 번째 부분은 특히 임의의 대각화 가능한 행렬에 대하여 대수적 중복도와 기하적 중복도가 일치한다는 것을 말합니다.

A를 정사각행렬이라 하고 \lambda를 A의 고윳값이라 합시다. \lambda의 대수적 중복도가 기하적 중복도와 같지 않으면, A는 대각화 가능하지 않습니다.

이 소절의 처음에 나온 예제들이 이 정리를 잘 보여 줍니다. 여기서는 2\times 2 행렬과 3\times 3 행렬의 대각화 가능성에 관한 몇 가지 일반적인 결과를 제시합니다.

2\times 2 행렬의 대각화 가능성

A를 2\times 2 행렬이라 합시다. 다음 네 가지 경우가 있습니다.

  1. A가 서로 다른 두 고윳값을 가지는 경우입니다. 이 경우 각 고윳값의 대수적 중복도와 기하적 중복도는 1입니다. 이는 A가 대각화 가능하다는 것을 의미합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
    \begin{equation*} A = \mat{1 7; 0 2}. \end{equation*}
  2. A는 대수적 중복도와 기하적 중복도가 모두 2인 고윳값 \lambda를 하나 가집니다. 기하적 중복도가 2라는 것은 \Nul(A-\lambda I_2) = \R^2라는 뜻이며, 즉 \R^2의 모든 벡터가 A-\lambda I_2의 영공간에 속한다는 뜻입니다. 이는 A-\lambda I_2가 영행렬임을 의미하므로, A는 대각행렬 \lambda I_2입니다. 특히 A는 대각화 가능합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
    \begin{equation*} A = \mat{1 0; 0 1}. \end{equation*}
  3. A는 대수적 중복도가 2이고 기하적 중복도가 1인 고윳값 \lambda를 하나 가집니다. 이 경우 정리의 3번 항목에 따라 A는 대각화 가능하지 않습니다. 예를 들어 층밀림이 그렇습니다.
    \begin{equation*} A = \mat{1 1; 0 1}. \end{equation*}
  4. A는 고윳값을 갖지 않습니다. 이는 특성다항식이 실근을 갖지 않을 때 일어납니다. 특히 A는 대각화 가능하지 않습니다. 예를 들어 회전이 그렇습니다.
    \begin{equation*} A = \mat{1 -1; 1 1}. \end{equation*}
3\times 3 행렬의 대각화 가능성
닮음과 중복도

이 사실 in 절 5.3에서 닮은 행렬은 같은 고윳값을 가진다는 것을 떠올려 보십시오. 고윳값의 두 가지 중복도 개념은 모두 닮음에 의해 보존됨이 밝혀집니다.

증명

예를 들어 이 예제의 네 행렬은 고윳값의 대수적 중복도 또는 기하적 중복도(혹은 둘 다)가 서로 맞지 않으므로 서로 닮지 않았습니다. 또한 위의 정리와 결합하면, 대각화 가능한 행렬과 대각화 가능하지 않은 행렬은 대수적 중복도와 기하적 중복도가 모두 일치할 수 없으므로 서로 닮을 수 없음을 알 수 있습니다.

예제

정리의 역은 거짓입니다. 즉, 고유벡터들의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같지만 닮지 않은 행렬들이 존재합니다. 아래의 예제를 참고하십시오. 그러나 특성다항식이 복소(실수가 아닌) 근을 갖지 않는 2\times 2 및 3\times 3 행렬에 대해서는 정리의 역이 참입니다. (복소근의 경우는 절 5.5에서 다루겠습니다.)

예제(닮아 보이지만 닮지 않은 행렬)

한편, A와 B가 같은 특성다항식을 가지는 대각화 가능 행렬이라고 가정합시다. 고윳값들의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하고, 대수적 중복도는 A와 B에서 같으므로, 각 행렬에 대해 모두 같은 고윳값들을 가지는 n개의 일차독립인 고유벡터가 존재한다고 결론지을 수 있습니다. 이는 A와 B가 모두 같은 대각행렬과 닮았음을 보여 줍니다. 닮은 행렬의 추이성을 이용하면, 이로부터 다음을 알 수 있습니다.

대각화 가능 행렬들은 같은 특성다항식을 가질 때, 또는 동치로 대수적 중복도가 같은 동일한 고윳값들을 가질 때, 그리고 그때에만 닮았습니다.

예제
예제(같은 성분을 가지는 대각행렬은 닮았습니다)