절2.6부분공간¶ 고유 링크

목표

부분공간의 정의를 배웁니다.
부분집합이 부분공간인지 아닌지 판별하는 방법을 배웁니다.
부분공간의 가장 중요한 예들을 배웁니다.
주어진 부분공간을 열공간이나 영공간으로 나타내는 방법을 배웁니다.
계산 절차: 영공간의 생성 집합을 구합니다.
그림: $\R^2$ 또는 $\R^3$ 의 부분집합이 부분공간인지 아닌지를 그림으로 살펴봅니다.
용어: 부분공간, 열공간, 영공간.

이 절에서는 $\R^n$ 의 부분공간에 대해 논의합니다. 부분공간은 생성(span)과 정확히 같은 것으로 밝혀지는데, 다만 특정한 생성 벡터 집합을 염두에 두지 않는다는 점만 다릅니다’. 이러한 관점의 전환은 꽤 유용합니다. 생성임이 분명하게 드러나지 않는 부분공간을 쉽게 만들어 낼 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 방정식 $x + 3y + z = 0$ 의 해집합은 동차 방정식의 해집합이므로 생성입니다. 그러나 이를 생성으로 나타내려면 매개변수 벡터 꼴을 계산해야 합니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, z={(0cm,0.8cm)}, scale=.75] \def\v{(2,-1,1)} \def\w{(1,0,-1)} \node[coordinate] (X) at \v {}; \node[coordinate] (Y) at \w {}; \begin{scope}[x=(X), y=(Y), transformxy] \fill[seq4!30, nearly opaque] (-1,-1.5) rectangle (1,1.5); \draw[step=.5cm, seq4!50, very thin] (-1,-1.5) grid (1,1.5); \end{scope} \node[seq4, resetxy, right] at (3.5, 0) {$x+3y+z=0$}; \point at (0,0,0); \end{tikzpicture}$

(부분공간은 동차 연립방정식의 해집합과도 같은 것임이 밝혀집니다.)

소절2.6.1부분공간: 정의와 예

정의

$\R^n$ 의 부분집합이란 $\R^n$ 의 점들을 모아 놓은 임의의 모임입니다.

예를 들어, 단위원

$\begin{equation*} C = \bigl\{ (x,y)\text{ in }\R^2 \bigm| x^2 + y^2 = 1 \bigr\} \end{equation*}$

은 $\R^2$ 의 부분집합입니다.

위에서는 $C$ 를 조건제시법으로 나타냈습니다. 이를 말로 풀어 읽으면 “ $C$ 는 $x^2+y^2=1$ 을 만족하는 $\R^2$ 의 모든 순서쌍 $(x,y)$ 의 집합입니다.”

정의

$\R^n$ 의 부분공간이란 다음을 만족하는 $\R^n$ 의 부분집합 $V$ 입니다.

비어 있지 않음: 영벡터가 $V$ 에 속합니다.
덧셈에 대해 닫혀 있음: $u$ 와 $v$ 가 $V$ 에 속하면 $u+v$ 도 $V$ 에 속합니다.
스칼라 곱에 대해 닫혀 있음: $v$ 가 $V$ 에 속하고 $c$ 가 $\R$ 에 속하면, $cv$ 도 $V$ 에 속합니다.

이러한 성질들로부터 다음을 알 수 있습니다.

$v$ 가 $V$ 의 벡터이면, 세 번째 성질에 의해 $v$ 의 모든 스칼라배가 $V$ 에 속합니다. 다시 말해, $V$ 에 속하는 임의의 영이 아닌 벡터를 지나는 직선도 $V$ 에 포함됩니다.
$u,v$ 가 $V$ 의 벡터이고 $c,d$ 가 스칼라이면, 세 번째 성질에 의해 $cu,dv$ 도 $V$ 에 속하므로, 두 번째 성질에 의해 $cu+dv$ 가 $V$ 에 속합니다. 따라서 $\Span\{u,v\}$ 전체가 $V$ 에 포함됩니다.
마찬가지로, $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 이 모두 $V$ 에 속하면 $\Span\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 은 $V$ 에 포함됩니다. 다시 말해, 부분공간은 그 안에 있는 임의의 벡터들의 생성을 포함합니다.

벡터를 충분히 많이 고르면 결국 그 생성이 $V$ 를 가득 채우게 되므로, 부분공간은 생성임을 이미 알 수 있습니다. 정확한 명제는 아래의 정리를 참고하십시오.

참고

예제

집합 $\R^n$ 은 그 자신의 부분공간입니다. 실제로 이 집합은 영벡터를 포함하며, 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있습니다.

예제

영벡터만을 포함하는 집합 $\{0\}$ 은 $\R^n$ 의 부분공간입니다. 이 집합은 영벡터를 포함하며, 영벡터를 자기 자신에 더하거나 스칼라를 곱하면 항상 영벡터가 됩니다.

예제(원점을 지나는 직선)

예제(원점을 지나는 평면)

반례 (원점을 포함하지 않는 직선)

반례 (원)

반례 (제1사분면)

반례 (직선과 평면의 합집합)

부분집합과 부분공간

$\R^n$ 의 부분집합은 벡터들의 어떠한 모임이든 될 수 있습니다. 예를 들어 단위원

$\begin{equation*} C = \bigl\{ (x,y)\text{ in }\R^2 \bigm| x^2 + y^2 = 1 \bigr\} \end{equation*}$

은 $\R^2$ 의 부분집합이지만 부분공간은 아닙니다. 사실 위의 반례들은 모두 여전히 $\R^n$ 의 부분집합입니다. 부분공간이란 추가로 세 가지 정의 성질을 만족하는 부분집합입니다.

$\R^n$ 의 부분집합이 실제로 부분공간임을 확인하려면 세 가지 정의 성질을 확인해야 합니다. 다만 그 부분집합이 이미 부분공간임이 확인된 경우는 예외입니다. 아래의 중요를 참고하십시오.

예제(부분집합이 부분공간임을 확인하기)

예제(부분집합이 부분공간이 아님을 보이기)

소절2.6.2부분공간의 일반적인 유형

정리(생성은 부분공간이고 부분공간은 생성입니다)

$v_1,v_2,\ldots,v_p$ 가 $\R^n$ 의 임의의 벡터이면, $\Span\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}$ 는 $\R^n$ 의 부분공간입니다. 또한 $\R^n$ 의 임의의 부분공간은 $p\leq n$ 인 $\R^n$ 의 일차독립인 벡터 $p$ 개로 이루어진 집합의 생성으로 쓸 수 있습니다.

증명

$V = \Span\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}$ 이면, $V$ 를 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_p$ 에 의해 생성되는 또는 만들어지는 부분공간이라고 합니다. $\{v_1,v_2,\ldots,v_p\}$ 를 $V$ 의 생성 집합이라고 부릅니다.

모든 행렬에서는 자연스럽게 두 개의 부분공간이 생깁니다.

정의

$A$ 를 $m\times n$ 행렬이라고 합시다.

$A$ 의 열공간은 $A$ 의 열들로 생성되는 $\R^m$ 의 부분공간입니다. 이를 $\Col(A)$ 로 씁니다.
$A$ 의 영공간은 동차 방정식 $Ax=0$ 의 모든 해로 이루어진 $\R^n$ 의 부분공간입니다:
$\begin{equation*} \Nul(A) = \bigl\{ x \text{ in } \R^n\bigm| Ax=0 \bigr\}. \end{equation*}$

열공간은 생성으로 정의되므로, 위의 정리에 의해 부분공간입니다. 영공간이 실제로 부분공간인지 확인해야 합니다. 절 2.4에서 이미 $Ax=0$ 의 해 집합이 항상 생성임을 보았으므로, 영공간이 부분공간이라는 사실은 그리 놀랍지 않을 것입니다.

증명

예제

행렬의 열공간과 영공간은 모두 부분공간이므로, 둘 다 생성입니다. 행렬 $A$ 의 열공간은 $A$ 의 열들의 생성으로 정의됩니다. 영공간은 $Ax=0$ 의 해집합으로 정의되므로, 이는 생성 집합을 전혀 염두에 두지 않고 정의할 수 있는 부분공간의 좋은 예입니다. 다시 말해, 영공간이 생성임을 보이는 것보다 부분공간임을 보이는 것이 더 쉽습니다—위의 증명을 참고하십시오. 그러나 계산을 하려면 보통 생성 집합을 구해야 합니다.

영공간은 해집합입니다

행렬의 영공간은 동차 연립방정식의 해집합입니다. 예를 들어, 행렬

$\begin{equation*} A = \mat{1 7 2; -2 1 3; 4 -2 -3} \end{equation*}$

의 영공간은 $Ax=0$ 의 해집합, 즉 연립방정식

$\begin{equation*} \syseq{ x + 7y + 2z = 0; -2x + y + 3z = 0; 4x - 2y - 3z = 0\rlap. } \end{equation*}$

의 해집합입니다. 역으로, 임의의 동차 연립방정식의 해집합은 정확히 그에 대응하는 계수 행렬의 영공간입니다.

영공간의 생성 집합을 구하려면 동차 방정식으로 이루어진 연립방정식을 풀어야 합니다.

계산 절차: 영공간의 생성 집합 구하기

$\Nul(A)$ 의 생성 집합을 구하려면, 동차 방정식 $Ax=0$ 의 해를 매개변수 벡터 꼴로 구하십시오. 자유변수에 붙은 벡터들이 $\Nul(A)$ 의 생성 집합을 이룹니다.

예제(자유변수가 두 개인 경우)

예제(자유변수가 없는 경우)

부분공간을 열공간이나 영공간으로 나타내기

부분공간은 여러 가지 다양한 형태로 주어질 수 있습니다. 실제로 부분공간이 어떤 행렬의 열공간이나 영공간이면, 부분공간과 관련된 계산이 훨씬 쉬워집니다. 그러한 계산의 가장 간단한 예는 생성 집합을 구하는 것입니다. 열공간은 정의상 행렬의 열들의 생성이며, 영공간의 생성 집합을 매개변수 벡터 꼴을 이용해 구하는 방법은 위에서 보였습니다. 이러한 이유로, 부분공간에 관한 질문에 답하기 전에 그 부분공간을 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 유용합니다.

부분공간에 관한 질문을 할 때는, 보통 그 부분공간을 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 가장 좋습니다.

이는 “내 부분집합이 부분공간인가?”라는 질문에도 적용됩니다. 주어진 부분집합이 어떤 행렬의 열공간이나 영공간이라면, 답은 '그렇다'입니다.

예제

$\begin{equation*} V = \left\{ \vec{a b} \text{ in } \R^2 \bigm| 2a = 3b\right\} \end{equation*}$

를 앞선 예제의 부분집합이라고 합시다. 부분집합 $V$ 는 정확히 동차 방정식 $2x - 3y = 0$ 의 해집합입니다. 따라서

$\begin{equation*} V = \Nul\mat{2 -3}. \end{equation*}$

특히 이는 부분공간입니다. $\mat{2 -3}$ 의 기약 행 사다리꼴은 $\mat{1 -3/2}$ 이므로 $V$ 의 매개변수 꼴은 $x = 3/2y$ 이고, 따라서 매개변수 벡터 꼴은 ${x\choose y} = y{3/2\choose 1},$ 이며, 그러므로 $\bigl\{{3/2\choose 1}\bigr\}$ 는 $V$ 를 생성합니다.

예제

번역에 대한 의견이나 오류 제보(GitHub 계정 필요)