비형식적으로 말하면, 함수란 입력을 받아 출력을 내놓는 규칙입니다. 예를 들어 는 수 하나 를 입력으로 받아 그 수의 제곱을 출력하는 함수입니다: 이 소절에서는 행렬을 함수로 해석합니다.

를 개의 행과 개의 열을 가진 행렬이라고 합시다. 행렬 방정식 를 생각해 봅시다( 대신 이렇게 쓰는 것은 독자에게 라는 표기를 떠올리게 하기 위해서입니다). 를 바꾸면 도 바뀝니다. 이런 식으로 를 독립변수가 이고 종속변수가 인 함수로 생각합니다.

• 독립변수(입력)는 이며, 이는 의 벡터입니다.
• 종속변수(출력)는 이며, 이는 의 벡터입니다.

가능한 모든 출력 벡터의 집합은 가 해를 갖게 하는 벡터 들의 집합입니다. 이 참고 in 절 2.3에 따르면 이는 의 열공간과 같습니다.

이 시점에서 함수에 관한 개념과 용어를 정리해 두는 것이 편리합니다. 이 책에서는 함수를 변환이라고 부르겠습니다. 이렇게 하면 행렬을 함수로 보는 논의를 체계화할 수 있습니다.

를 를 입력으로 받아 를 출력으로 내놓는 “기계”로 생각하면 도움이 될 수 있습니다.

정의역 의 점들은 의 입력입니다. 이는 단순히 개의 성분을 갖는 벡터, 즉 개의 수로 이루어진 목록에 대해 의 값을 구하는 것이 의미가 있다는 뜻입니다. 마찬가지로, 공역 의 점들은 의 출력입니다. 이는 의 값을 구한 결과가 항상 개의 성분을 갖는 벡터라는 뜻입니다.

의 치역은 공역의 벡터 중에서 어떤 입력에 대해 실제로 함수 의 출력으로 나타나는 모든 벡터의 집합입니다. 다시 말해, 치역은 가 정의역에서 해 를 갖도록 하는 공역의 모든 벡터 입니다.

정의

항등변환 은 다음 규칙으로 정의되는 변환입니다.

다시 말해, 항등변환은 입력 벡터를 움직이지 않습니다. 즉 출력은 입력과 같습니다. 항등 변환의 정의역과 공역은 모두 이며, 의 모든 벡터는 자기 자신의 출력이므로 치역 또한 입니다.

이제 앞의 소절에서 다룬 일반적인 개념과 용어를 첫 번째 소절에서 살펴본 행렬로 정의되는 함수에 특수화해 봅시다.

정의

를 행렬이라고 합시다. 에 연관된 행렬 변환은 다음과 같은 변환입니다.

이는 의 벡터 를 의 벡터 로 보내는 변환입니다.

의 열이 개이면, 에는 성분이 개인 벡터만 곱할 수 있습니다. 이 때문에 의 정의역은 입니다. 의 행이 개이면, 의 모든 벡터 에 대해 의 성분은 개입니다. 이 때문에 의 공역은 입니다.

행렬 변환 의 정의는 주어진 벡터에서 의 값을 구하는 방법을 알려 줍니다. 입력 벡터에 행렬을 곱하면 됩니다. 예를 들어,

라 하고 를 대응하는 행렬 변환이라 합시다. 그러면 다음과 같습니다.

의 열이 이라고 가정합시다. 에 일반적인 벡터 를 곱하면 다음을 얻습니다.

이는 의 일반적인 일차결합일 뿐입니다. 따라서 의 출력은 정확히 의 열들의 일차결합입니다. 즉, 의 치역은 의 열공간입니다. 이 참고 in 절 2.3을 참고하십시오.

정사각행렬의 경우, 의 정의역과 공역은 모두 입니다. 이러한 상황에서는 를 위에서 작용하는 것으로 볼 수 있습니다. 즉, 는 같은 공간 안에서 벡터들을 이리저리 옮깁니다.