절2.7기저와 차원¶ 고유 링크

목표

부분공간의 기저의 정의를 이해합니다.
기저 정리를 이해합니다.
방법: 열공간의 기저, 영공간의 기저, 생성의 기저.
그림: $\R^2$ 또는 $\R^3$ 의 부분공간의 기저.
정리: 기저 정리.
필수 용어: 기저, 차원.

소절2.7.1부분공간의 기저

절 2.6에서 논의했듯이, 부분공간은 생성과 같은 것이지만 생성하는 벡터들의 집합을 염두에 두지 않는다는 점만 다릅니다. 영이 아닌 부분공간의 생성 집합은 무수히 많이 고를 수 있습니다. 중복을 피하기 위해, 보통은 벡터의 개수가 최소인 생성 집합을 고르는 것이 가장 편리합니다. 이것이 기저라는 개념의 바탕에 있는 아이디어입니다.

정의

$V$ 를 $\R^n$ 의 부분공간이라고 합시다. $V$ 의 기저란 다음을 만족하는 $V$ 안의 벡터들의 집합 $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 입니다.

$V = \Span\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 이고,
집합 $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 은 일차독립입니다.

벡터들의 집합이 일차독립일 필요충분조건은 그 집합에서 어떤 벡터를 제거하더라도 생성이 줄어드는 것임을 상기하십시오(정리 2.5.12). 다시 말해, $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 가 부분공간 $V$ 의 기저이면 $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 의 어떤 진부분집합도 $V$ 를 생성하지 않습니다. 즉, 이것은 최소 생성 집합입니다. 이 정리 in 절 2.6에 의해 모든 부분공간은 기저를 가집니다.

영이 아닌 부분공간은 서로 다른 기저를 무한히 많이 가지지만, 그 기저들은 모두 같은 개수의 벡터를 포함합니다.

임의의 두 기저가 같은 개수의 벡터를 가진다는 것의 증명은 연습문제로 남겨 둡니다. 절 3.5에서 가역행렬 정리를 배운 이후까지 기다리는 것이 좋을 수도 있습니다.

정의

$V$ 를 $\R^n$ 의 부분공간이라고 합시다. $V$ 의 임의의 기저에 들어 있는 벡터의 개수를 $V$ 의 차원이라고 하며, $\dim V$ 로 씁니다.

예제( $\R^2$ 의 기저)

예제( $\R^2$ 의 모든 기저)

예제( $\R^n$ 의 표준 기저)

예제

앞의 예제에 따르면 $\R^n$ 의 모든 기저는 $n$ 개의 벡터로 이루어집니다. $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 을 $\R^n$ 의 벡터라 하고, $A$ 를 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 을 열로 갖는 $n\times n$ 행렬이라 합시다.

$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 이 $\R^n$ 을 생성한다는 것은 $A$ 의 모든 행에 피벗 위치가 있다는 뜻입니다. 이 정리 in 절 2.3을 참고하십시오.
$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 이 일차독립이라는 것은 $A$ 의 모든 열에 피벗 위치가 있다는 뜻입니다. 이 중요 in 절 2.5을 참고하십시오.

$A$ 는 정사각행렬이므로, 모든 행에 피벗이 있는 것은 모든 열에 피벗이 있는 것과 필요충분조건입니다. 절 3.5에서 위의 두 조건이 행렬 $A$ 의 가역성과 동치임을 보게 될 것입니다.

예제

소절2.7.2부분공간의 기저 계산하기

이제 행렬의 열공간과 행렬의 영공간에 대한 기저를 구하는 방법을 보이겠습니다. 주어진 부분공간의 기저를 구하려면, 보통 먼저 그 부분공간을 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 가장 좋습니다. 이 중요 in 절 2.6을 참고하십시오.

열공간의 기저

먼저 행렬의 열공간에 대한 기저를 계산하는 방법을 보이겠습니다.

정리

행렬 $A$ 의 피벗 열들은 $\Col(A)$ 의 기저를 이룹니다.

증명

위 정리는 기약 행 사다리꼴이 아니라 원래 행렬의 피벗 열을 가리킵니다. 실제로 행렬과 그 기약 행 사다리꼴은 일반적으로 서로 다른 열공간을 가집니다. 예를 들어, 아래 행렬 $A$ 에서

$\begin{tikzpicture} \tikzset{ my matrix/.style={ matrix, math matrix, column sep={2.2em,between origins}, every node/.append style={anchor=base east}}, } \node (symb) {$A=\;\;\null$}; \path (symb.east) node[my matrix, right] (A) { 1 \& 2 \& 0 \& -1 \\ -2 \& -3 \& 4 \& 5 \\ 2 \& 4 \& 0 \& -2 \\ } (A.east) ++(2cm,0) node {$\xrightarrow{\text{RREF}}$} ++(2cm, 0) node[my matrix, right] (B) { 1 \& 0 \& -8 \& -7 \\ 0 \& 1 \& 4 \& 3 \\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\ }; \node[fit=(A-1-1) (A-3-1), draw=orange, rounded corners] (box1) {}; \node[fit=(A-1-2) (A-3-2), draw=orange, rounded corners] (box2) {}; \path ($(box1.south)!.5!(box2.south)$) ++(0,-1cm) node[blue!50, font=\small,anchor=base] (orig) {pivot columns $=$ basis}; \draw[->,blue!50, shorten >=1pt] (orig.north) to[out=90,in=-90] (box1.south); \draw[->,blue!50, shorten >=1pt] (orig.north) to[out=90,in=-90] (box2.south); \path let \p1=($(B-3-1.south)!.5!(B-3-2.south)$) in (\p1 |- orig.base) node[blue!50, font=\small,anchor=base] (rref) {pivot columns in RREF}; \draw[->,blue!50, shorten >=1pt] (rref.north) to[out=90,in=-90] (B-3-1.south); \draw[->,blue!50, shorten >=1pt] (rref.north) to[out=90,in=-90] (B-3-2.south); \ifpdfvers \draw[->] (rref.west) -- (orig.east); \else \draw[->, decoration={snake, amplitude=.4mm, segment length=1mm, post length=.5mm}, decorate] (rref.west) -- (orig.east); \fi \end{tikzpicture}$

피벗 열은 처음 두 열이므로 $\Col(A)$ 의 기저는 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \left\{\vec{1 -2 2},\;\vec{2 -3 4}\right\}. \end{equation*}$

기약 행 사다리꼴의 처음 두 열은 분명히 다른 부분공간을 생성합니다.

$\begin{equation*} \Span\left\{\vec{1 0 0},\;\vec{0 1 0}\right\} = \left\{\vec{a b 0}\Bigm|a, b \text{ in } \R\right\} = \text{($xy$-plane)}, \end{equation*}$

이지만 $\Col(A)$ 는 마지막 좌표가 0이 아닌 벡터를 포함하기 때문입니다.

따름정리

$\Col(A)$ 의 차원은 $A$ 의 피벗 개수입니다.

생성의 기저

생성의 기저를 계산하는 것은 열공간의 기저를 계산하는 것과 같습니다. 실제로 유한 개의 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_m$ 의 생성은 어떤 행렬의 열공간, 즉 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_m$ 인 행렬 $A$ 의 열공간입니다.

$\begin{equation*} A = \mat{| | ,, |; v_1 v_2 \cdots, v_m; | | ,, |}. \end{equation*}$

예제(생성의 기저)

예제(같은 생성의 또 다른 기저)

영공간의 기저

행렬의 영공간의 기저를 계산하려면 동차 방정식 $Ax=0$ 의 해를 매개변수 벡터 꼴로 구해야 합니다.

정리

$Ax=0$ 의 해집합의 매개변수 벡터 꼴에서 자유변수에 붙은 벡터들은 $\Nul(A)$ 의 기저를 이룹니다.

정리의 증명은 두 부분으로 이루어집니다. 첫 번째 부분은 모든 해가 주어진 벡터들의 생성공간에 속한다는 것입니다. 이는 자명합니다. 모든 해가 그 벡터들의 일차결합이 되도록 벡터들을 정확히 선택했기 때문입니다. 두 번째 부분은 그 벡터들이 일차독립이라는 것입니다. 이 부분은 이 예제 in 절 2.5에서 다루었습니다.

일반적인 부분공간의 기저

이 소절의 처음에서 언급했듯이, 다른 형태로 쓰인 부분공간이 주어졌을 때 기저를 계산하려면 보통 그것을 행렬의 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 가장 좋습니다.

예제(부분공간의 기저)

소절2.7.3기저 정리

$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 이 $\R^n$ 의 기저를 이룰 필요충분조건은 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 을 열로 하는 행렬 $A$ 가 모든 행과 모든 열에 피벗을 가지는 것임을 상기하십시오(이 예제를 참고하십시오). $A$ 는 $n\times n$ 행렬이므로 이 두 조건은 동치입니다. 즉, 벡터들이 생성할 필요충분조건은 그 벡터들이 일차독립인 것입니다. 기저 정리는 앞의 명제를 추상화한 것으로, 임의의 부분공간에 적용됩니다.