절4.1행렬식: 정의¶ 고유 링크

목표

행렬식의 정의를 익힙니다.
행렬식이 0인 행렬을 한눈에 알아보는 몇 가지 방법과 상삼각행렬 및 하삼각행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 익힙니다.
행렬식의 기본 성질과 그 활용 방법을 익힙니다.
계산 절차: 행 연산과 열 연산을 이용하여 행렬식을 계산합니다.
정리: 존재 정리, 가역성 성질, 곱셈성, 전치 성질.
용어: 대각, 상삼각, 하삼각, 전치.
필수 용어: 행렬식.

이 절에서는 행렬식을 정의하고, 이를 계산하는 한 가지 방법을 제시합니다. 그런 다음 행렬식이 지닌 수많은 훌륭한 성질 가운데 몇 가지를 살펴봅니다.

소절4.1.1행렬식의 정의

정사각행렬 $A$ 의 행렬식은 실수 $\det(A)$ 입니다. 행렬식은 행 연산에 대해 어떻게 변하는지를 통해 정의됩니다. 이는 행 축약을 이용하여 행렬식을 계산할 수 있다는 뜻입니다. 절 4.2에서는 행렬식의 재귀적 공식을 제시합니다. 또한 이 소절에서는 행렬식이 가역성과 관련되어 있음을, 절 4.3에서는 부피와 관련되어 있음을 보입니다.

정의

행렬식은 다음 성질을 만족하는 함수

$\begin{equation*} \det\colon \bigl\{\text{square matrices}\bigr\}\To\R \end{equation*}$

입니다.

$A$ 에 행 대체를 하여도 $\det(A)$ 는 변하지 않습니다.
$A$ 의 한 행에 스칼라 $c$ 를 곱하면 행렬식에 $c$ 가 곱해집니다.
행렬의 두 행을 맞바꾸면 행렬식에 $-1$ 이 곱해집니다.
단위행렬 $I_n$ 의 행렬식은 $1$ 입니다.

다시 말해, 모든 정사각행렬 $A$ 에 위의 성질을 만족하도록 수 $\det(A)$ 를 대응시킵니다.

처음 세 경우 각각에서, 행렬에 행 연산을 수행하면 행렬식에 0이 아닌 수가 곱해집니다. (한 행에 0을 곱하는 것은 행 연산이 아닙니다.) 따라서 정사각행렬 $A$ 에 행 연산을 수행해도 행렬식이 0인지 아닌지는 변하지 않습니다.

이러한 특정한 성질들로 정의하는 주된 동기는 기하학적인 것입니다. 절 4.3를 참고하십시오. 이 정의의 또 다른 동기는 행렬식을 계산하는 방법을 알려 준다는 점입니다. 즉, 행 축약을 하면서 그 변화를 추적하면 됩니다.

예제

$\det\smallmat2114.$ 를 계산해 봅시다. 먼저 행 축약을 한 다음, 반대 순서로 행렬식을 계산합니다.

$\begin{align*} \amp\mat{2 1; 1 4} \amp\strut\det\amp=7\\ \;\xrightarrow{\hbox to 1.7cm{\hss\tiny$R_1\longleftrightarrow R_2$\hss}}\;\amp \mat{1 4; 2 1} \amp \strut\det \amp= -7\\ \;\xrightarrow{\hbox to 1.7cm{\hss\tiny$R_2 = R_2 - 2R_1$\hss}}\;\amp \mat{1 4; 0 -7} \amp \strut\det \amp= -7\\ \;\xrightarrow{\hbox to 1.7cm{\hss\tiny$R_2 = R_2 \div -7$\hss}}\;\amp \mat{1 4; 0 1} \amp \strut\det \amp= 1\\ \;\xrightarrow{\hbox to 1.7cm{\hss\tiny$R_1 = R_1 - 4R_2$\hss}}\;\amp \mat{1 0; 0 1} \amp \strut\det \amp= 1 \end{align*}$

이 행렬의 기약 행 사다리꼴은 단위행렬 $I_2$ 이므로, 그 행렬식은 $1$ 입니다. 행 축약의 끝에서 두 번째 단계는 행 대체였으므로, 끝에서 두 번째 행렬의 행렬식도 $1$ 입니다. 행 축약의 이전 단계는 $-1/7$ 에 의한 행 스케일링이었습니다. (두 번째 행렬의 행렬식에 $-1/7$ 를 곱한 값)이 $1$ 이므로, 두 번째 행렬의 행렬식은 $-7$ 이어야 합니다. 행 축약의 첫 단계는 행 교환이었으므로, 첫 번째 행렬의 행렬식은 두 번째 행렬의 행렬식에 음의 부호를 붙인 값입니다. 따라서 원래 행렬의 행렬식은 $7$ 입니다.

이 답이 행렬식의 이 정의와 일치한다는 점에 주목하십시오.

예제

다음은 행 축약을 이용하여 행렬식을 계산하는 일반적인 방법입니다.

계산 절차: 행 축약으로 행렬식 계산하기

$A$ 를 정사각행렬이라고 합시다. $A$ 에 몇 번의 행 연산을 수행하여 행 사다리꼴인 행렬 $B$ 를 얻었다고 가정합시다. 그러면

$\begin{equation*} \det(A) = (-1)^r\cdot \frac{\text{(product of the diagonal entries of $B$)}} {\text{(product of scaling factors used)}}, \end{equation*}$

이 성립합니다. 여기서 $r$ 은 수행한 행 교환의 횟수이며, 대각성분은 행 사다리꼴 B의 대각성분입니다.

다시 말해, $A$ 의 행렬식은 행 사다리꼴 $B$ 의 대각성분의 곱에 행 교환 횟수에 따른 인수 $\pm1$ 을 곱하고, 이를 행 축약에서 사용한 스케일링 인수들의 곱으로 나눈 값입니다.

참고

예제

예제( $2\times 2$ 행렬의 행렬식)

계산 절차를 사용하여 일반적인 $2\times 2$ 행렬 $A = \smallmat abcd$ 의 행렬식을 계산해 봅시다.

$a = 0$ 이면 다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} \det\mat{a b; c d} = \det\mat{0 b; c d} = -\det\mat{c d; 0 b} = -bc. \end{equation*}$
$a\neq 0$ 이면 다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} \begin{split} \det\mat{a b; c d} \amp= a\cdot\det\mat{1 b/a; c d} = a\cdot\det\mat{1 b/a; 0 d-c\cdot b/a} \\ \amp= a\cdot 1\cdot(d-bc/a) = ad-bc. \end{split} \end{equation*}$

어느 경우든 다음 공식 in 절 3.5을 다시 얻습니다.

$\begin{equation*} \det\mat{a b; c d} = ad-bc. \end{equation*}$

행렬이 이미 행 사다리꼴이라면, 행렬식을 대각성분의 곱으로 바로 읽어 낼 수 있습니다. 이는 삼각 행렬이라고 부르는 조금 더 넓은 부류의 행렬에서도 성립합니다.

정의

행렬 $A$ 의 대각 성분은 $a_{11},a_{22},\ldots$ 성분입니다.
$\tikzstyle{circle entry} = [draw,rounded corners,thick,blue!50,inner sep=2pt] \begin{tikzpicture} \matrix[math matrix, nodes={minimum width=1em, minimum height=1em}] (mat1) { \node[circle entry]{a_{11}}; \& a_{12} \& a_{13} \& a_{14} \\ a_{21} \& \node[circle entry]{a_{22}}; \& a_{23} \& a_{24} \\ a_{31} \& a_{32} \& \node[circle entry]{a_{33}}; \& a_{34} \\ }; \matrix[math matrix, nodes={minimum width=1em, minimum height=1em}, xshift=4.75cm] (mat2) { \node[circle entry]{a_{11}}; \& a_{12} \& a_{13} \\ a_{21} \& \node[circle entry]{a_{22}}; \& a_{23} \\ a_{31} \& a_{32} \& \node[circle entry]{a_{33}}; \\ a_{41} \& a_{42} \& a_{43} \\ }; \node[circle entry] at (4.75/2, 1.6) {diagonal entries}; \end{tikzpicture}$
정사각행렬의 0이 아닌 성분이 모두 대각 위쪽에 놓여 있으면 그 행렬을 상삼각이라 하고, 0이 아닌 성분이 모두 대각 아래쪽에 놓여 있으면 하삼각이라 합니다. 0이 아닌 성분이 모두 대각 위에 놓여 있으면, 즉 상삼각이면서 동시에 하삼각이면 그 행렬을 대각이라 합니다.
$\pgfdeclarelayer{background} \pgfsetlayers{background,main} \begin{tikzpicture} \node[math matrix, nodes={minimum width=1em,minimum height=1em}] (ut) { \star \& \star \& \star \& \star \\ 0 \& \star \& \star \& \star \\ 0 \& 0 \& \star \& \star \\ 0 \& 0 \& 0 \& \star \\ }; \node[above] at (ut.north) {upper-triangular}; \begin{pgfonlayer}{background} \fill[fill=seq-green!20!white, rounded corners=1.4mm] ($(ut-1-1.west)+(-1mm,0)$) -- (ut-1-1.north west) -- (ut-1-4.north east) -- (ut-4-4.south east) -- ($(ut-4-4.south)+(0,-1mm)$) -- cycle; \end{pgfonlayer} \end{tikzpicture} \qquad\qquad \begin{tikzpicture} \node[math matrix, nodes={minimum width=1em,minimum height=1em}] (lt) { \star \& 0 \& 0 \& 0 \\ \star \& \star \& 0 \& 0 \\ \star \& \star \& \star \& 0 \\ \star \& \star \& \star \& \star \\ }; \node[above] at (lt.north) {lower-triangular}; \begin{pgfonlayer}{background} \fill[fill=seq-green!20!white, rounded corners=1.4mm] ($(lt-1-1.north)+(0,1mm)$) -- (lt-1-1.north west) -- (lt-4-1.south west) -- (lt-4-4.south east) -- ($(lt-4-4.east)+(1mm,0)$) -- cycle; \end{pgfonlayer} \end{tikzpicture} \qquad\qquad \begin{tikzpicture} \node[math matrix, nodes={minimum width=1em,minimum height=1em}] (diag) { \star \& 0 \& 0 \& 0 \\ 0 \& \star \& 0 \& 0 \\ 0 \& 0 \& \star \& 0 \\ 0 \& 0 \& 0 \& \star \\ }; \node[above] at (diag.north) {diagonal}; \begin{pgfonlayer}{background} \fill[fill=seq-green!20!white, rounded corners=2mm] ($(diag-1-1.west)+(-1mm,0)$) -- ($(diag-1-1.north)+(0,1mm)$) -- ($(diag-4-4.east)+(1mm,0)$) -- ($(diag-4-4.south)+(0,-1mm)$) -- cycle; \end{pgfonlayer} \end{tikzpicture}$

명제

$A$ 를 $n\times n$ 행렬이라고 합시다.

$A$ 에 영행 또는 영열이 있으면 $\det(A) = 0.$ 입니다.
$A$ 가 상삼각행렬이거나 하삼각행렬이면 $\det(A)$ 는 대각성분들의 곱입니다.

증명

$A$ 에 영행이 있다고 가정합시다. 그 영행에 -1을 곱하여 얻은 행렬을 $B$ 라고 합시다. 그러면 두 번째 정의 성질에 의해 $\det(A) = -\det(B)$ 입니다. 그런데 $A = B$ 이므로 $\det(A) = \det(B)$ 입니다:

$\begin{equation*} \mat{1 2 3; 0 0 0; 7 8 9} \;\xrightarrow{R_2 = -R_2}\; \mat{1 2 3; 0 0 0; 7 8 9}. \end{equation*}$

이를 종합하면 $\det(A) = -\det(A)$ 를 얻으므로 $\det(A)=0$ 입니다.

이제 $A$ 에 영열이 있다고 가정합시다. 그러면 가역행렬 정리 in 절 3.6에 의해 $A$ 는 가역이 아니므로, 그 기약 행 사다리꼴에는 영행이 있습니다. 행 연산은 행렬식이 0인지 여부를 바꾸지 않으므로 $\det(A)=0$ 이라는 결론을 얻습니다.
먼저 $A$ 가 상삼각행렬이고 대각성분 중 하나가 0, 예를 들어 $a_{ii}=0$ 이라고 가정합시다. 행 연산을 수행하여 0이 아닌 대각성분 위에 있는 성분들을 소거할 수 있습니다:

$\begin{equation*} \mat{a_{11} \star, \star, \star; 0 a_{22} \star, \star; 0 0 0 \star; 0 0 0 a_{44}} \;\xrightarrow{\phantom{MMM}}\; \mat{a_{11} 0, \star, 0; 0 a_{22} \star, 0; 0 0 0 0; 0 0 0 a_{44}} \end{equation*}$

그 결과로 얻은 행렬에서 $i$ 번째 행은 영행이므로, 첫 번째 부분에 의해 $\det(A) = 0$ 입니다.

여전히 $A$ 가 상삼각행렬이라고 가정하고, 이제 $A$ 의 대각성분이 모두 0이 아니라고 가정합시다. 그러면 대각성분을 스케일링한 다음 행 대체를 하여 $A$ 를 단위행렬로 변환할 수 있습니다.

$\begin{equation*} \begin{split} \amp\mat{a \star, \star; 0 b \star; 0 0 c} \;\xrightarrow{% \begin{minipage}{1.8cm}% \tiny\centering scale by\\$a\inv,b\inv,c\inv$% \end{minipage}}\; \mat{1 \star, \star; 0 1 \star; 0 0 1} \;\xrightarrow{% \begin{minipage}{1.6cm}% \tiny\centering row\\replacements% \end{minipage}}\; \mat{1 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \\ \amp \hbox to 2.1cm{\hss$\det=abc$\hss} \;\xleftarrow{\hbox to 1.8cm{\hss}}\; \hbox to 2.1cm{\hss$\det=1$\hss} \;\xleftarrow{\hbox to 1.6cm{\hss}}\; \hbox to 1.8cm{\hss$\det=1$} \end{split} \end{equation*}$

$\det(I_n) = 1$ 이고 대각성분의 역수로 스케일링하였으므로, 이로부터 $\det(A)$ 가 대각성분의 곱임을 알 수 있습니다.

하삼각 행렬에 대해서도 같은 논증이 성립하며, 다만 행 대체가 위쪽이 아니라 아래쪽으로 진행된다는 점만 다릅니다.

예제

행렬은 일련의 행 연산을 통해 항상 행 사다리꼴로 변환할 수 있으며, 행 사다리꼴인 행렬은 상삼각행렬입니다. 따라서 행렬식을 계산하는 계산 절차을 완전히 정당화하였습니다.

위의 계산 절차에서처럼 행 축약을 이용하면 임의의 행렬의 행렬식을 계산할 수 있으므로, 행렬식은 그 정의 성질에 의해 특징지어집니다. 그러나 아직 정의 성질을 만족하는 함수가 존재한다는 것은 증명하지 않았습니다! 행 축약을 하면 행렬식이 존재한다면 그 값을 계산할 수 있지만, 행 축약을 이용해 존재성을 증명할 수는 없습니다. 서로 다른 두 가지 방식으로 행 축약을 했을 때 같은 수가 계산된다는 사실을 아직 모르기 때문입니다.

정리(행렬식의 존재성)

정사각행렬들의 집합에서 실수로 가는 함수 중 네 가지 정의 성질을 만족하는 함수는 단 하나 존재합니다.

존재 정리는 절 4.2에서 행렬식의 재귀적 공식을 제시하여 증명하겠습니다. 다시 말하지만, 존재 정리의 실제 내용은 다음과 같습니다.

어떤 행 연산을 수행하더라도 항상 같은 행렬식 값이 계산됩니다.

소절4.1.2행렬식의 놀라운 성질¶ 고유 링크

이 소절에서는 행렬식이 갖는 여러 놀라운 성질, 즉 가역성 성질, 곱셈성 성질, 전치 성질에 대해 논의하겠습니다.

가역성 성질

정사각행렬은 $\det(A)\neq 0$ 일 때, 그리고 그때에만 가역입니다.

증명

가역성 성질에 의해, 가역행렬 정리 in 절 3.6의 성질을 하나도 만족하지 않는 행렬의 행렬식은 0입니다.

따름정리

$A$ 를 정사각행렬이라 합시다. $A$ 의 행 또는 열이 일차종속이면 $\det(A)=0$ 입니다.

증명

특히 $A$ 의 두 행 또는 두 열이 서로의 상수배이면 $\det(A)=0.$ 입니다. 또한 성분이 모두 0인 행이나 열을 가진 행렬의 행렬식이 0이라는 사실도 다시 얻습니다.

예제

아래의 곱셈성과 전치 성질의 증명, 그리고 여인수 전개 정리 in 절 4.2와 행렬식과 부피 정리 in 절 4.3의 증명은 다음 전략을 사용합니다. 다른 함수 $d\colon\{\text{$n\times n$ matrices}\} \to \R$ 를 정의하고, $d$ 가 행렬식과 같은 네 가지 정의 성질을 만족함을 증명합니다. 존재 정리에 의해 함수 $d$ 는 행렬식과 같습니다. 이것이 함수를 그 성질로 정의하는 것의 장점입니다. 그 함수가 다른 함수와 같음을 증명하려면 정의 성질만 확인하면 됩니다.

곱셈성

$A$ 와 $B$ 가 $n\times n$ 행렬이면 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} \det(AB) = \det(A)\det(B). \end{equation*}$

증명

이 증명에서는 기본행렬이라는 개념을 사용해야 합니다. 기본행렬은 단위행렬에 행 연산을 한 번 수행하여 얻은 행렬입니다. 기본행렬에는 행 대체, 행 스케일링, 행 교환에서 생기는 세 종류가 있습니다.

$\begin{equation*} \begin{split} \mat{1 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \xrightarrow{\parbox{2cm}{\tiny\centering$R_2 = R_2 - 2R_1$}}\amp \mat{1 0 0; -2 1 0; 0 0 1} \\ \mat{1 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \xrightarrow{\parbox{2cm}{\tiny\centering$R_1 = 3R_1$}}\amp \mat{3 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \\ \mat{1 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \xrightarrow{\parbox{2cm}{\tiny\centering$R_1 \longleftrightarrow R_2$}}\amp \mat{0 1 0; 1 0 0; 0 0 1} \end{split} \end{equation*}$

기본행렬의 중요한 성질은 다음 주장입니다.

주장: $E$ 가 어떤 행 연산에 대한 기본행렬이면, $EA$ 는 $A$ 에 같은 행 연산을 수행하여 얻은 행렬입니다.

다시 말해, 기본행렬을 왼쪽에 곱하면 행 연산이 적용됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \begin{split} \mat{1 0 0; -2 1 0; 0 0 1} \mat{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}; a_{31} a_{32} a_{33}} \amp= \mat[l]{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21}-2a_{11} a_{22}-2a_{12} a_{23}-2a_{13}; a_{31} a_{32} a_{33}} \\ \mat{3 0 0; 0 1 0; 0 0 1} \mat{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}; a_{31} a_{32} a_{33}} \amp= \mat[r]{3a_{11} 3a_{12} 3a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}; a_{31} a_{32} a_{33}} \\ \mat{0 1 0; 1 0 0; 0 0 1} \mat{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}; a_{31} a_{32} a_{33}} \amp= \mat{a_{21} a_{22} a_{23}; a_{11} a_{12} a_{13}; a_{31} a_{32} a_{33}}. \end{split} \end{equation*}$

주장의 증명은 직접 계산으로 이루어지며, 위의 등식들을 $n\times n$ 행렬로 일반화하는 것은 독자에게 맡깁니다.

주장과 네 가지 정의 성질의 결과로 다음 관찰을 얻습니다. $C$ 를 임의의 정사각행렬이라 합시다.

$E$ 가 행 대체에 대한 기본행렬이면 $\det(EC) = \det(C).$ 입니다. 다시 말해, $E$ 를 왼쪽에 곱해도 행렬식은 바뀌지 않습니다.
$E$ 가 행을 $c$ 배하는 스케일링에 대한 기본행렬이면 $\det(EC) = c\det(C).$ 입니다. 다시 말해, $E$ 를 왼쪽에 곱하면 행렬식이 $c$ 배가 됩니다.
$E$ 가 행 교환에 대한 기본행렬이면 $\det(EC) = -\det(C).$ 입니다. 다시 말해, $E$ 를 왼쪽에 곱하면 행렬식의 부호가 바뀝니다.

이제 곱셈성의 증명으로 넘어갑니다. 먼저 $B$ 가 가역이 아니라고 가정합니다. 그러면 $AB$ 도 가역이 아닙니다. 그렇지 않다면 $(AB)\inv AB = I_n$ 으로부터 $B\inv = (AB)\inv A.$ 가 성립하기 때문입니다. 가역성 성질에 의해 등식 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 의 양변은 모두 0입니다.

이제 $B$ 가 가역이라고 가정하면 $\det(B)\neq 0$ 입니다. 다음과 같이 함수를 정의합니다.

$\begin{equation*} d\colon\bigl\{\text{$n\times n$ matrices}\bigr\} \To \R \sptxt{by} d(C) = \frac{\det(CB)}{\det(B)}. \end{equation*}$

$d$ 가 행렬식의 네 가지 정의 성질을 만족함을 보이겠습니다.

$C$ 에 행 대체를 수행하여 얻은 행렬을 $C'$ 이라 하고, 이 행 대체에 대한 기본행렬을 $E$ 라 하면 $C' = EC$ 입니다. $E$ 를 왼쪽에 곱해도 행렬식이 변하지 않으므로 $\det(ECB) = \det(CB)$ 이고, 따라서 다음을 얻습니다.
$\begin{equation*} d(C') = \frac{\det(C'B)}{\det(B)} = \frac{\det(ECB)}{\det(B)} = \frac{\det(CB)}{\det(B)} = d(C). \end{equation*}$
$C$ 의 한 행을 $c$ 배하여 얻은 행렬을 $C'$ 이라 하고, 이 행 대체에 대한 기본행렬을 $E$ 라 하면 $C' = EC$ 입니다. $E$ 를 왼쪽에 곱하면 행렬식이 $c$ 배가 되므로 $\det(ECB) = c\det(CB)$ 이고, 따라서 다음을 얻습니다.
$\begin{equation*} d(C') = \frac{\det(C'B)}{\det(B)} = \frac{\det(ECB)}{\det(B)} = \frac{c\det(CB)}{\det(B)} = c\cdot d(C). \end{equation*}$
$C$ 의 두 행을 교환하여 얻은 행렬을 $C'$ 이라 하고, 이 행 대체에 대한 기본행렬을 $E$ 라 하면 $C' = EC$ 입니다. $E$ 를 왼쪽에 곱하면 행렬식의 부호가 바뀌므로 $\det(ECB) = -\det(CB)$ 이고, 따라서 다음을 얻습니다.
$\begin{equation*} d(C') = \frac{\det(C'B)}{\det(B)} = \frac{\det(ECB)}{\det(B)} = \frac{-\det(CB)}{\det(B)} = -d(C). \end{equation*}$
다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} d(I_n) = \frac{\det(I_nB)}{\det(B)} = \frac{\det(B)}{\det(B)} = 1. \end{equation*}$

$d$ 가 행렬식의 네 가지 정의 성질을 만족하므로, 존재 정리에 의해 $d$ 는 행렬식과 같습니다. 다시 말해, 모든 행렬 $A$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} \det(A) = d(A) = \frac{\det(AB)}{\det(B)}. \end{equation*}$

양변에 $\det(B)$ 를 곱하면 $\det(A)\det(B)=\det(AB).$ 를 얻습니다.

정사각행렬 $A$ 의 거듭제곱을 취한다는 것은 $A$ 를 자기 자신과 곱하는 것을 의미함을 상기하십시오.

$\begin{equation*} A^2 = AA \qquad A^3 = AAA \qquad \text{etc.} \end{equation*}$

$A$ 가 가역이면 다음과 같이 정의합니다.

$\begin{equation*} A^{-2} = A\inv A\inv \qquad A^{-3} = A\inv A\inv A\inv \qquad \text{etc.} \end{equation*}$

완전성을 위해 $A\neq 0$ 이면 $A^0 = I_n$ 으로 둡니다.

따름정리

$A$ 가 정사각행렬이면 모든 $n\geq 1$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} \det(A^n) = \det(A)^n \end{equation*}$

$A$ 가 가역이면 이 등식은 모든 $n\leq 0$ 에 대해서도 성립하며, 특히 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} \det(A\inv) = \frac 1{\det(A)}. \end{equation*}$

증명

예제

다음은 곱셈성의 또 다른 응용입니다.

따름정리

$A_1,A_2,\ldots,A_k$ 를 $n\times n$ 행렬이라고 합시다. 그러면 곱 $A_1A_2\cdots A_k$ 가 가역일 필요충분조건은 각 $A_i$ 가 가역인 것입니다.

증명

곱셈성에 의해 곱의 행렬식은 행렬식들의 곱입니다:

$\begin{equation*} \det(A_1A_2\cdots A_k) = \det(A_1)\det(A_2)\cdots\det(A_k). \end{equation*}$

가역성 성질에 의해, 이 값은 $A_1A_2\cdots A_k$ 가 가역일 때, 그리고 그때에만 0이 아닙니다. 한편, $\det(A_1)\det(A_2)\cdots\det(A_k)$ 가 0이 아닐 필요충분조건은 각각 $\det(A_i)\neq0$ 인 것이며, 이는 각 $A_i$ 가 가역임을 뜻합니다.

예제

전치 성질을 서술하려면 행렬의 전치를 정의해야 합니다.

정의

$m\times n$ 행렬 $A$ 의 전치는 $A$ 의 열들을 행으로 갖는 $n\times m$ 행렬 $A^T$ 입니다. 다시 말해, 행렬 $A^T$ 의 $ij$ 성분, 즉 i번째 행의 j번째 성분은 $a_{ji}$ 입니다.

$\begin{tikzpicture}[ every matrix/.append style={nodes={ minimum width=1.5em, minimum height=1.5em}, row sep=.3em, column sep=.3em} ] \matrix[math matrix, label={[yshift=1mm]above:$A$}] (aij) { a_{11} \& a_{12} \& a_{13} \& a_{14} \\ a_{21} \& a_{22} \& a_{23} \& a_{24} \\ a_{31} \& a_{32} \& a_{33} \& a_{34} \\ }; \matrix[math matrix, right=2.4cm of aij, label={[yshift=1mm]above:$A^T$}] (aijT) { a_{11} \& a_{21} \& a_{31} \\ a_{12} \& a_{22} \& a_{32} \\ a_{13} \& a_{23} \& a_{33} \\ a_{14} \& a_{24} \& a_{34} \\ }; \draw[->, thick, shorten=6mm] (aij.east) -- (aijT.west); \draw[green!50!black, opacity=.5, shorten >=-8mm] (aij-1-1.north west) -- (aij-3-3.south east) coordinate[pos=1.3, below left=3mm] (left) coordinate[pos=1.3, above right=3mm] (right) node[pos=1.2, below right, opaque] {\small flip}; \draw[<->, green!50!black] (left) to[bend left] (right); \draw[green!50!black, opacity=.5, shorten >=-8mm] (aijT-1-1.north west) -- (aijT-3-3.south east); \end{tikzpicture}$

역행렬을 구하는 연산과 마찬가지로, 전치는 행렬 곱셈의 순서를 뒤바꿉니다.

사실

$A$ 를 $m\times n$ 행렬이라 하고, $B$ 를 $n\times p$ 행렬이라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} (AB)^T = B^TA^T. \end{equation*}$

증명

전치 성질

임의의 정사각행렬 $A$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} \det(A) = \det(A^T). \end{equation*}$

증명

전치 성질은 매우 유용합니다. 구체적으로 말하면, $\det(A)=\det(A^T)$ 는 예를 들어

$\begin{equation*} \det\mat{1 2 3; 4 5 6; 7 8 9} = \det\mat{1 4 7; 2 5 8; 3 6 9}. \end{equation*}$

임을 의미합니다. 이는 행렬식이 열 연산에 대해서도 잘 작동한다는 흥미로운 특징을 가짐을 뜻합니다. 실제로 $A$ 에 대한 열 연산은 $A^T$ 에 대한 행 연산과 같고, $\det(A) = \det(A^T)$ 입니다.

따름정리

행렬식은 열 연산에 대해 다음 성질을 만족합니다:

$A$ 에 열 치환을 수행해도 $\det(A)$ 는 변하지 않습니다.
$A$ 의 한 열에 스칼라 $c$ 를 곱하면 행렬식에 $c$ 가 곱해집니다.
행렬의 두 열을 맞바꾸면 행렬식에 $-1$ 이 곱해집니다.

앞의 따름정리 덕분에 행렬식을 더 쉽게 계산할 수 있습니다. 행렬을 단순화할 때 행 연산과 열 연산을 모두 사용할 수 있기 때문입니다. (물론 행 연산과 열 연산이 행렬식을 어떻게 바꾸는지는 여전히 추적해야 합니다.)

예제

다중선형성

다음 관찰은 이론적인 목적에 유용합니다.

$\det$ 를 행렬의 행들에 대한 함수로 생각할 수 있습니다:

$\begin{equation*} \det(v_1,v_2,\ldots,v_n) = \det\mat{\matrow{v_1}; \matrow{v_2}; \vdots; \matrow{v_n}}. \end{equation*}$

다중선형성 성질

$i$ 를 $1$ 과 $n$ 사이의 정수라 하고, $\R^n$ 의 $n-1$ 개 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_n$ 을 고정합니다. 그러면

$\begin{equation*} T(x) = \det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},x,v_{i+1},\ldots,v_n) \end{equation*}$

로 정의된 변환 $T\colon\R^n\to\R$ 은 선형입니다.

증명

예를 들어

$\begin{equation*} \det\mat{\matrow{\makebox[\widthof{$av+bw$}]{$v_1$}}; \matrow{av+bw}; \matrow{\makebox[\widthof{$av+bw$}]{$v_3$}}} = a\det\mat{\matrow{v_1}; \matrow{\makebox[\widthof{$v_1$}]{$v$}}; \matrow{v_3}} + b\det\mat{\matrow{v_1}; \matrow{\makebox[\widthof{$v_1$}]{$w$}}; \matrow{v_3}} \end{equation*}$

입니다. 전치 성질에 의해 행렬식은 행렬의 열에 대해서도 다중선형입니다:

$\begin{equation*} \det\mat{| | |; v_1 av+bw v_3; | | |} = a\det\mat{| | |; v_1 v v_3; | | |} + b\det\mat{| | |; v_1 w v_3; | | |}. \end{equation*}$

참고(대안적 정의 성질)

예제

요약: 행렬식의 마법 같은 성질

네 가지 정의 성질을 만족하는 함수 $\det\colon\{n\times n\text{ matrices}\}\to\R$ 는 오직 하나뿐입니다.
상삼각 또는 하삼각 행렬의 행렬식은 대각성분의 곱입니다.
정사각행렬은 $\det(A)\neq 0$ 일 때, 그리고 그때에만 가역이며, 이 경우
$\begin{equation*} \det(A\inv) = \frac 1{\det(A)}. \end{equation*}$
$A$ 와 $B$ 가 $n\times n$ 행렬이면 다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} \det(AB) = \det(A)\det(B). \end{equation*}$
임의의 정사각행렬 $A$ 에 대하여 다음이 성립합니다.
$\begin{equation*} \det(A^T) = \det(A). \end{equation*}$
행렬식은 행 연산이나 열 연산, 또는 둘 다를 수행하여 계산할 수 있습니다.

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목표

정의

예제

예제

예제

계산 절차: 행 축약으로 행렬식 계산하기

참고

예제

예제

예제( 행렬의 행렬식)

정의

명제

증명

예제

정리(행렬식의 존재성)

가역성 성질

증명

따름정리

증명

예제

곱셈성

증명

따름정리

증명

예제

따름정리

증명

예제

정의

사실

증명

전치 성질

증명

따름정리

예제

다중선형성

다중선형성 성질

증명

참고(대안적 정의 성질)

예제

요약: 행렬식의 마법 같은 성질

예제( $2\times 2$ 행렬의 행렬식)